Poincaré অনুমানে পেরেলম্যানের সমাধান। একটি ডোনাট গর্ত জন্য এক মিলিয়ন ডলার

পয়নকারের উপপাদ্যের সারমর্ম কী?

1. ই প্রমাণিত হয়েছিল লাল কেশিক সোফিয়া, কিন্তু তিনিও লাল কেশিক....
2. মূল কথা হল মহাবিশ্ব গোলকের মতো নয়, ডোনাটের মতো।
3. এর মূল সূত্রে Poincaré অনুমানের অর্থ হল যে কোনও ত্রিমাত্রিক শরীরের জন্য গর্ত ছাড়াই একটি রূপান্তর রয়েছে যা এটিকে কাটা এবং আঠা ছাড়াই একটি বলেতে পরিণত করার অনুমতি দেবে। যদি এটি সুস্পষ্ট বলে মনে হয়, তবে স্থানটি যদি ত্রিমাত্রিক না হয় তবে দশ বা এগারোটি মাত্রা ধারণ করে (অর্থাৎ, আমরা Poincare conjecture এর একটি সাধারণীকরণের কথা বলছি, যা পেরেলম্যান প্রমাণ করেছেন)
4. আপনি এটি 2 শব্দে বলতে পারবেন না
5. 1900 সালে, পয়নকেরে পরামর্শ দিয়েছিলেন যে একটি গোলকের সমস্ত হোমোলজি গ্রুপের সাথে একটি ত্রিমাত্রিক বহুগুণ একটি গোলকের হোমিওমরফিক। 1904 সালে, তিনি একটি পাল্টা উদাহরণও খুঁজে পান, যাকে এখন Poincare sphere বলা হয় এবং তার অনুমানের চূড়ান্ত সংস্করণ তৈরি করেন। Poincaré অনুমান প্রমাণ করার প্রচেষ্টা বহুগুণে টপোলজিতে অনেক অগ্রগতির দিকে পরিচালিত করেছে।

   n #10878-এর জন্য সাধারণীকৃত পয়ঙ্কার অনুমানের প্রমাণ; 5 প্রাপ্ত হয়েছিল 1960 এবং 1970-এর দশকের গোড়ার দিকে প্রায় একই সময়ে Smale দ্বারা, স্বাধীনভাবে এবং অন্যান্য পদ্ধতিতে Stallings (ইংরেজি) দ্বারা (n #10878; 7-এর জন্য, তার প্রমাণ জিমন (ইংরেজি) দ্বারা n = 5 এবং 6 কেস পর্যন্ত প্রসারিত হয়েছিল) . অনেক বেশি কঠিন কেস n = 4 এর একটি প্রমাণ শুধুমাত্র 1982 সালে ফ্রিডম্যান পেয়েছিলেন। নোভিকভের উপপাদ্য থেকে পন্ট্রিয়াগিনের চারিত্রিক শ্রেণীগুলির টপোলজিকাল ইনভেরিয়েন্স থেকে এটি অনুসরণ করে যে হোমোটোপি সমতুল্য, কিন্তু হোমোমরফিক নয়, উচ্চ মাত্রায় বহুগুণ।

   মূল Poincaré অনুমান (এবং আরো সাধারণ Trston অনুমান) এর প্রমাণ শুধুমাত্র 2002 সালে গ্রিগরি পেরেলম্যান দ্বারা পাওয়া যায়। পরবর্তীকালে, পেরেলম্যানের প্রমাণ যাচাই করা হয় এবং বিজ্ঞানীদের অন্তত তিনটি গ্রুপ দ্বারা প্রসারিত আকারে উপস্থাপন করা হয়। 1 প্রমাণটি অস্ত্রোপচারের সাথে রিকি প্রবাহ ব্যবহার করে এবং মূলত হ্যামিল্টন দ্বারা বর্ণিত পরিকল্পনা অনুসরণ করে, যিনি রিকি প্রবাহ ব্যবহার করেন।

6. ইনি কে
7. Poincare এর উপপাদ্য:
   ভেক্টর ক্ষেত্রের উপর Poincare-এর উপপাদ্য
   Bendixson এর Poincare তত্ত্ব
   বৃত্ত হোমিওমরফিজমের শ্রেণীবিভাগের উপর পয়নকারের উপপাদ্য
   হোমোটোপি গোলকের উপর পয়নকারের অনুমান
   পয়নকারের রিটার্ন থিওরেম

   আপনি কোনটি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছেন?

8. ডাইনামিক্যাল সিস্টেমের তত্ত্বে, বৃত্তের হোমিওমরফিজমের শ্রেণীবিভাগের বিষয়ে পয়নকারের উপপাদ্য বৃত্তের সম্ভাব্য প্রকারের ইনভার্টেবল গতিবিদ্যা বর্ণনা করে, পুনরাবৃত্ত ম্যাপিং f এর ঘূর্ণন সংখ্যা p(f) এর উপর নির্ভর করে। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, এটি দেখা যাচ্ছে যে ম্যাপিং পুনরাবৃত্তির গতিবিদ্যা একটি নির্দিষ্ট পরিমাণে সংশ্লিষ্ট কোণ দ্বারা ঘূর্ণনের গতিবিদ্যার অনুরূপ।
   যথা, একটি বৃত্ত হোমোমরফিজম f দেওয়া যাক। তারপর:
   1) ঘূর্ণন সংখ্যা মূলদ হয় যদি এবং শুধুমাত্র f এর পর্যায়ক্রমিক বিন্দু থাকে। এই ক্ষেত্রে, ঘূর্ণন সংখ্যার হর হল যেকোনো পর্যায়ক্রমিক বিন্দুর সময়কাল এবং যেকোনো পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথের বিন্দুর বৃত্তের চক্রীয় ক্রম p(f) এ ঘূর্ণন কক্ষপথের বিন্দুগুলির সমান। আরও, যেকোন ট্র্যাজেক্টোরি সামনের দিকে এবং বিপরীত সময়ে উভয় সময়েই কিছু পর্যায়ক্রমিকতার দিকে ঝুঁকতে থাকে (a- এবং -w সীমা ট্রাজেক্টোরি ভিন্ন হতে পারে)।
   2) যদি ঘূর্ণন সংখ্যা f অমূলদ হয়, তাহলে দুটি বিকল্প সম্ভব:
   i) হয় f এর একটি ঘন কক্ষপথ রয়েছে, এই ক্ষেত্রে f এর হোমিওমরফিজম p(f) দ্বারা একটি ঘূর্ণনের সাথে সংযুক্ত হয়। এই ক্ষেত্রে, f এর সমস্ত কক্ষপথ ঘন (যেহেতু এটি অযৌক্তিক ঘূর্ণনের জন্য সত্য);
   ii) হয় f এর একটি Cantor invariant সেট C রয়েছে, যা সিস্টেমের একমাত্র ন্যূনতম সেট। এই ক্ষেত্রে, সমস্ত ট্র্যাজেক্টরি এগিয়ে এবং পিছনে উভয় সময়েই C-তে থাকে। এছাড়াও, f ম্যাপিং p(f) দ্বারা ঘূর্ণনের সাথে সেমিকনজুগেট: ডিগ্রী 1 এর কিছু ম্যাপিংয়ের জন্য, p o f =R p (f) o h

   অধিকন্তু, C সেটটি ঠিক h এর বৃদ্ধি বিন্দুগুলির সেট; অন্য কথায়, টপোলজিকাল দৃষ্টিকোণ থেকে, h C এর পরিপূরকের ব্যবধানগুলিকে ভেঙে দেয়।

9. বিষয়টির মূলধন হল $1 মিলিয়ন
10. এই যে তাকে 1 জন ছাড়া কেউ বোঝে না
11. ফরাসি পররাষ্ট্রনীতিতে...
12. এখানে Lka সর্বোত্তম উত্তর দিয়েছে http://otvet.mail.ru/question/24963208/
13. একজন উজ্জ্বল গণিতবিদ এবং প্যারিসের অধ্যাপক, হেনরি পয়নকেরে, এই বিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে কাজ করেছেন। 1905 সালে আইনস্টাইনের কাজ থেকে স্বাধীনভাবে এবং স্বাধীনভাবে, তিনি আপেক্ষিকতার বিশেষ তত্ত্বের মূল নীতিগুলি সামনে রেখেছিলেন। এবং তিনি 1904 সালে তার বিখ্যাত হাইপোথিসিস তৈরি করেছিলেন, তাই এটি সমাধান করতে প্রায় এক শতাব্দী লেগেছিল।

    পয়নকেরে টপোলজির অন্যতম প্রতিষ্ঠাতা ছিলেন, জ্যামিতিক চিত্রের বৈশিষ্ট্যের বিজ্ঞান যা বিরতি ছাড়া ঘটে যাওয়া বিকৃতির অধীনে পরিবর্তিত হয় না। উদাহরণস্বরূপ, একটি বেলুন সহজেই বিভিন্ন আকারে বিকৃত হতে পারে, যেমনটি তারা পার্কে শিশুদের জন্য করে। কিন্তু বলটিকে ডোনাটে (অথবা, জ্যামিতিক ভাষায়, একটি টরাস) বাঁকানোর জন্য আপনাকে বলটি কাটতে হবে; অন্য কোন উপায় নেই। এবং তদ্বিপরীত: একটি রাবার ডোনাট নিন এবং এটি একটি গোলক পরিণত করার চেষ্টা করুন। যাইহোক, এটি এখনও কাজ করবে না। তাদের টপোলজিকাল বৈশিষ্ট্য অনুসারে, একটি গোলক এবং একটি টরাসের পৃষ্ঠগুলি বেমানান, বা নন-হোমিওমরফিক। কিন্তু ছিদ্রবিহীন যে কোনো পৃষ্ঠতল (বন্ধ পৃষ্ঠ), বিপরীতে, হোমোমরফিক এবং বিকৃত হয়ে গোলায় রূপান্তরিত হতে সক্ষম।

    19 শতকে গোলক এবং টরাসের দ্বি-মাত্রিক পৃষ্ঠের বিষয়ে সবকিছু ঠিক করা হলে, আরও বহুমাত্রিক ক্ষেত্রে এটি অনেক বেশি সময় নেয়। প্রকৃতপক্ষে, এটি পয়ঙ্কার অনুমানের সারমর্ম, যা প্যাটার্নটিকে বহুমাত্রিক ক্ষেত্রে প্রসারিত করে। একটু সরলীকরণ করে, Poincaré অনুমান বলে: প্রতিটি সহজভাবে সংযুক্ত এন-ডাইমেনশনাল ম্যানিফোল্ড একটি এন-ডাইমেনশনাল গোলকের সাথে হোমোমরফিক। এটা মজার যে ত্রিমাত্রিক পৃষ্ঠের বিকল্পটি সবচেয়ে কঠিন হয়ে উঠেছে। 1960 সালে, হাইপোথিসিসটি 5 এবং উচ্চতর মাত্রার জন্য প্রমাণিত হয়েছিল, 1981 সালে n=4 এর জন্য। হোঁচট খাওয়া ছিল অবিকল ত্রিমাত্রিকতা।

    1980-এর দশকে তাদের দ্বারা প্রস্তাবিত উইলিয়াম ট্রস্টেন এবং রিচার্ড হ্যামিল্টনের ধারণাগুলি বিকাশ করে, গ্রিগরি পেরেলম্যান ত্রিমাত্রিক পৃষ্ঠগুলিতে মসৃণ বিবর্তনের একটি বিশেষ সমীকরণ প্রয়োগ করেছিলেন। এবং তিনি দেখাতে সক্ষম হয়েছিলেন যে মূল ত্রিমাত্রিক পৃষ্ঠ (যদি এতে কোনও বিচ্ছিন্নতা না থাকে) অগত্যা একটি ত্রি-মাত্রিক গোলক (এটি একটি চার-মাত্রিক বলের পৃষ্ঠ, এবং এটি 4-মাত্রিক) মধ্যে বিবর্তিত হবে। স্থান)। অনেক বিশেষজ্ঞের মতে, এটি ছিল একটি নতুন প্রজন্মের ধারণা, যার সমাধান গাণিতিক বিজ্ঞানের জন্য নতুন দিগন্ত উন্মোচন করে।

    এটি আকর্ষণীয় যে কিছু কারণে পেরেলম্যান নিজেই তার সিদ্ধান্তকে চূড়ান্ত উজ্জ্বলতায় আনতে বিরক্ত হননি। প্রিপ্রিন্টে সমাধানটিকে সামগ্রিকভাবে বর্ণনা করার পর 2002 সালের নভেম্বরে রিকি প্রবাহ এবং এর জ্যামিতিক প্রয়োগের জন্য এনট্রপি সূত্র, মার্চ 2003 সালে তিনি প্রমাণটির পরিপূরক করেন এবং তিন-মেনিফোল্ডে অস্ত্রোপচারের মাধ্যমে প্রিপ্রিন্ট রিকি প্রবাহে উপস্থাপন করেন এবং রিপোর্টও করেন। তিনি 2003 সালে বেশ কয়েকটি বিশ্ববিদ্যালয়ের আমন্ত্রণে সিরিজের বক্তৃতার পদ্ধতি সম্পর্কে। পর্যালোচকদের কেউই তার প্রস্তাবিত সংস্করণে ত্রুটি খুঁজে পাননি, কিন্তু পেরেলম্যান পিয়ার-পর্যালোচিত বৈজ্ঞানিক প্রকাশনায় (যেটি, বিশেষ করে, ক্লে ম্যাথমেটিকাল ইনস্টিটিউট পুরস্কার পাওয়ার জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত ছিল) একটি প্রকাশনা প্রকাশ করেননি। কিন্তু 2006 সালে, তার পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে, প্রমাণের একটি সম্পূর্ণ সেট প্রকাশ করা হয়েছিল, যেখানে আমেরিকান এবং চীনা গণিতবিদরা সমস্যাটি বিশদভাবে এবং সম্পূর্ণভাবে পরীক্ষা করেছিলেন, পেরেলম্যানের বাদ দেওয়া পয়েন্টগুলিকে পরিপূরক করেছিলেন এবং পয়ঙ্কার অনুমানের চূড়ান্ত প্রমাণ দিয়েছিলেন।

14. সাধারণীকৃত পয়ঙ্কার অনুমান বলে যে:
    যেকোন n-এর জন্য, মাত্রা n-এর যে কোনও বহুগুণ হল হোমোটোপি n মাত্রার গোলকের সমতুল্য যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি হোমোমরফিক হয়।
    মূল Poincare conjecture হল n = 3 এর জন্য সাধারণীকৃত অনুমানের একটি বিশেষ কেস।
    স্পষ্টীকরণের জন্য, মাশরুম বাছাই করতে বনে যান, গ্রিগরি পেরেলম্যান সেখানে যান)
15. পয়নকারের রিটার্ন থিওরেম হল এরগোডিক তত্ত্বের মৌলিক তত্ত্বগুলির মধ্যে একটি। এর সারমর্ম হল যে স্থানের একটি পরিমাপ-সংরক্ষিত ম্যাপিং এর সাথে, প্রায় প্রতিটি বিন্দু তার প্রাথমিক প্রতিবেশীতে ফিরে আসবে। উপপাদ্যটির সম্পূর্ণ সূত্রটি নিম্নরূপ: 1:
    সসীম পরিমাপ সহ একটি স্থানের পরিমাপ-সংরক্ষণকারী রূপান্তর হতে দিন এবং একটি পরিমাপযোগ্য সেট হতে দিন। তারপর কোন প্রাকৃতিক জন্য
    .
    এই উপপাদ্যটির একটি অপ্রত্যাশিত পরিণতি রয়েছে: এটি দেখা যাচ্ছে যে যদি একটি পাত্রে একটি পার্টিশন দ্বারা দুটি বগিতে বিভক্ত হয়, যার একটি গ্যাসে ভরা থাকে এবং অন্যটি খালি থাকে, পার্টিশনটি সরানো হয়, তবে কিছু সময়ের পরে সমস্ত গ্যাসের অণুগুলি আবার জাহাজের মূল অংশে জড়ো করা। এই প্যারাডক্সের সমাধান হল কিছু সময় বিলিয়ন বছরের ক্রম অনুসারে।
16. কোরিয়াতে জবাই করা কুকুরের মত তার উপপাদ্য আছে...

    মহাবিশ্ব গোলাকার... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincaré, _হেনরি

    গতকাল বিজ্ঞানীরা ঘোষণা করেছেন যে মহাবিশ্ব একটি হিমায়িত পদার্থ... এবং এটি প্রমাণ করার জন্য প্রচুর অর্থ চেয়েছে... আবার মেরিকোস প্রিন্টিং প্রেস চালু করবে... ডিমের মাথার চিত্তবিনোদনের জন্য...

17. শূন্য অভিকর্ষে কোথায় উপরে এবং নিচে আছে তা প্রমাণ করার চেষ্টা করুন।
18. গতকাল সংস্কৃতির উপর একটি চমৎকার চলচ্চিত্র ছিল, যেখানে এই সমস্যাটি বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। হয়তো তারা এখনও এটা আছে?

    http://video.yandex.ru/#search?text=РРР SR R РРРР ССРРРwhere=allfilmId=36766495-03-12
    ইয়ানডেক্সে লগ ইন করুন এবং পেরেলম্যান সম্পর্কে চলচ্চিত্র লিখুন এবং চলচ্চিত্রটিতে যান

গ্রিগরি পেরেলম্যান। রিফেসেনিক

ভ্যাসিলি মাকসিমভ

2006 সালের আগস্টে, গ্রহের সেরা গণিতবিদদের নাম ঘোষণা করা হয়েছিল যারা মর্যাদাপূর্ণ ফিল্ডস মেডেল পেয়েছেন - নোবেল পুরস্কারের এক ধরণের অ্যানালগ, যা আলফ্রেড নোবেলের ইচ্ছায় গণিতবিদরা বঞ্চিত ছিলেন। ফিল্ডস মেডেল - সম্মানের ব্যাজ ছাড়াও, বিজয়ীদের পনের হাজার কানাডিয়ান ডলারের একটি চেক প্রদান করা হয় - প্রতি চার বছরে গণিতবিদদের আন্তর্জাতিক কংগ্রেস দ্বারা পুরস্কৃত করা হয়। এটি কানাডিয়ান বিজ্ঞানী জন চার্লস ফিল্ডস দ্বারা প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল এবং প্রথম 1936 সালে পুরস্কৃত হয়েছিল। 1950 সাল থেকে, গাণিতিক বিজ্ঞানের উন্নয়নে অবদানের জন্য স্পেনের রাজা নিয়মিতভাবে ফিল্ডস মেডেল প্রদান করেন। পুরস্কার বিজয়ীরা চল্লিশ বছরের কম বয়সী এক থেকে চারজন বিজ্ঞানী হতে পারেন। আট রাশিয়ান সহ ৪৪ জন গণিতবিদ ইতিমধ্যে পুরস্কার পেয়েছেন।

গ্রিগরি পেরেলম্যান। হেনরি পয়নকেরে।

2006 সালে, বিজয়ীরা ছিলেন ফরাসি ওয়েন্ডেলিন ওয়ার্নার, অস্ট্রেলিয়ান টেরেন্স টাও এবং দুই রাশিয়ান - মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে কর্মরত আন্দ্রে ওকুনকভ এবং সেন্ট পিটার্সবার্গের একজন বিজ্ঞানী গ্রিগরি পেরেলম্যান। যাইহোক, শেষ মুহুর্তে জানা গেল যে পেরেলম্যান এই মর্যাদাপূর্ণ পুরস্কার প্রত্যাখ্যান করেছেন - যেমন আয়োজকরা ঘোষণা করেছিলেন, "নীতিগত কারণে।"

রাশিয়ান গণিতবিদ দ্বারা এই ধরনের একটি অসামান্য কাজ তাকে যারা চিনতেন তাদের কাছে বিস্মিত হয়নি। এই প্রথমবার নয় যে তিনি গাণিতিক পুরস্কার প্রত্যাখ্যান করেছেন, এই বলে তার সিদ্ধান্ত ব্যাখ্যা করেছেন যে তিনি আনুষ্ঠানিক অনুষ্ঠান এবং তার নামের চারপাশে অপ্রয়োজনীয় প্রচার পছন্দ করেন না। দশ বছর আগে, 1996 সালে, পেরেলম্যান ইউরোপীয় গণিত কংগ্রেস পুরষ্কার প্রত্যাখ্যান করেছিলেন, এই কারণে যে তিনি পুরস্কারের জন্য মনোনীত বৈজ্ঞানিক সমস্যার উপর কাজ শেষ করেননি এবং এটিই শেষ ঘটনা ছিল না। জনমত এবং বৈজ্ঞানিক সম্প্রদায়ের বিরুদ্ধে গিয়ে জনগণকে অবাক করাই রাশিয়ান গণিতবিদকে তার জীবনের লক্ষ্য বানিয়েছিলেন বলে মনে হয়েছিল।

গ্রিগরি ইয়াকোলেভিচ পেরেলম্যান 13 জুন, 1966 সালে লেনিনগ্রাদে জন্মগ্রহণ করেছিলেন। অল্প বয়স থেকেই, তিনি সঠিক বিজ্ঞানের প্রতি অনুরাগী ছিলেন, গণিতের গভীর অধ্যয়নের সাথে বিখ্যাত 239 তম মাধ্যমিক বিদ্যালয় থেকে উজ্জ্বলভাবে স্নাতক হন, অসংখ্য গাণিতিক অলিম্পিয়াড জিতেছিলেন: উদাহরণস্বরূপ, 1982 সালে, সোভিয়েত স্কুলছাত্রদের একটি দলের অংশ হিসাবে, তিনি অংশ নিয়েছিলেন বুদাপেস্টে অনুষ্ঠিত আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াডে। পরীক্ষা ছাড়াই, পেরেলম্যান লেনিনগ্রাদ বিশ্ববিদ্যালয়ের মেকানিক্স এবং গণিত অনুষদে নথিভুক্ত হন, যেখানে তিনি সব স্তরে গাণিতিক প্রতিযোগিতায় জয়লাভ করে চমৎকার নম্বর নিয়ে পড়াশোনা করেছিলেন। বিশ্ববিদ্যালয় থেকে অনার্স সহ স্নাতক হওয়ার পর, তিনি স্টেক্লভ গাণিতিক ইনস্টিটিউটের সেন্ট পিটার্সবার্গ শাখায় স্নাতক স্কুলে প্রবেশ করেন। তার বৈজ্ঞানিক সুপারভাইজার ছিলেন বিখ্যাত গণিতবিদ একাডেমিশিয়ান আলেকসান্দ্রভ। তার পিএইচডি থিসিস রক্ষা করার পরে, গ্রিগরি পেরেলম্যান জ্যামিতি এবং টপোলজির পরীক্ষাগারে ইনস্টিটিউটে থেকে যান। আলেকজান্দ্রভ স্পেস তত্ত্বের উপর তার কাজ জানা যায়; তিনি বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ অনুমানের জন্য প্রমাণ খুঁজে পেতে সক্ষম হন। নেতৃস্থানীয় পশ্চিমা বিশ্ববিদ্যালয় থেকে অসংখ্য অফার সত্ত্বেও, পেরেলম্যান রাশিয়ায় কাজ করতে পছন্দ করেন।

তার সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য সাফল্য ছিল 2002 সালে বিখ্যাত Poincare conjecture এর সমাধান, যা 1904 সালে প্রকাশিত হয়েছিল এবং তারপর থেকে অপ্রমাণিত ছিল। পেরেলম্যান আট বছর ধরে এটিতে কাজ করেছিলেন। Poincaré অনুমানকে সর্বশ্রেষ্ঠ গাণিতিক রহস্যগুলির মধ্যে একটি হিসাবে বিবেচনা করা হয়েছিল, এবং এর সমাধানকে গাণিতিক বিজ্ঞানের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অর্জন হিসাবে বিবেচনা করা হয়েছিল: এটি অবিলম্বে মহাবিশ্বের ভৌত এবং গাণিতিক ভিত্তিগুলির সমস্যাগুলির গবেষণাকে অগ্রসর করবে। গ্রহের সবচেয়ে বিশিষ্ট মনীষীরা মাত্র কয়েক দশকের মধ্যেই এর সমাধানের ভবিষ্যদ্বাণী করেছিলেন এবং ম্যাসাচুসেটসের ক্যামব্রিজে ক্লে ইনস্টিটিউট অফ ম্যাথমেটিক্স, সহস্রাব্দের সাতটি সবচেয়ে আকর্ষণীয় অমীমাংসিত গাণিতিক সমস্যার মধ্যে পয়েন্টকার সমস্যাটিকে অন্তর্ভুক্ত করেছে, যার প্রতিটির সমাধানের জন্য এক মিলিয়ন ডলার পুরস্কারের প্রতিশ্রুতি দেওয়া হয়েছিল (সহস্রাব্দ পুরস্কার সমস্যা)।

ফরাসি গণিতবিদ হেনরি পয়ঙ্কারে (1854-1912) এর অনুমান (কখনও কখনও সমস্যা বলা হয়) নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছে: যেকোন বন্ধ সহজভাবে সংযুক্ত ত্রিমাত্রিক স্থান একটি ত্রিমাত্রিক গোলকের সাথে হোমোমরফিক। স্পষ্ট করার জন্য, একটি স্পষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করুন: আপনি যদি একটি রাবার ব্যান্ড দিয়ে একটি আপেল মুড়িয়ে থাকেন, তবে নীতিগতভাবে, টেপটি শক্ত করে আপনি আপেলটিকে একটি বিন্দুতে সংকুচিত করতে পারেন। আপনি যদি একই টেপ দিয়ে একটি ডোনাট মুড়েন, আপনি ডোনাট বা রাবার ছিঁড়ে না দিয়ে এটিকে একটি বিন্দুতে সংকুচিত করতে পারবেন না। এই প্রসঙ্গে, একটি আপেলকে "সহজভাবে সংযুক্ত" চিত্র বলা হয়, কিন্তু একটি ডোনাট কেবল সংযুক্ত নয়। প্রায় একশ বছর আগে, পয়নকেরে প্রতিষ্ঠা করেছিলেন যে একটি দ্বি-মাত্রিক গোলক সহজভাবে সংযুক্ত, এবং প্রস্তাব করেছিলেন যে একটি ত্রিমাত্রিক গোলকও সহজভাবে সংযুক্ত। বিশ্বের সেরা গণিতবিদরা এই অনুমান প্রমাণ করতে পারেননি।

ক্লে ইনস্টিটিউট পুরষ্কারের জন্য যোগ্যতা অর্জনের জন্য, পেরেলম্যানকে শুধুমাত্র একটি বৈজ্ঞানিক জার্নালে তার সমাধান প্রকাশ করতে হয়েছিল এবং যদি দুই বছরের মধ্যে কেউ তার গণনায় ত্রুটি খুঁজে না পায়, তবে সমাধানটি সঠিক বলে বিবেচিত হবে। যাইহোক, পেরেলম্যান লস আলামোস সায়েন্টিফিক ল্যাবরেটরির প্রিপ্রিন্ট ওয়েবসাইটে তার সিদ্ধান্ত প্রকাশ করে প্রথম থেকেই নিয়ম থেকে বিচ্যুত হন। সম্ভবত তিনি ভয় পেয়েছিলেন যে তার গণনার মধ্যে একটি ত্রুটি তৈরি হয়েছে - অনুরূপ গল্প ইতিমধ্যে গণিতে ঘটেছে। 1994 সালে, ইংরেজ গণিতবিদ অ্যান্ড্রু ওয়াইলস ফার্মাটের বিখ্যাত উপপাদ্যের একটি সমাধান প্রস্তাব করেছিলেন এবং কয়েক মাস পরে দেখা গেল যে তার গণনার মধ্যে একটি ত্রুটি তৈরি হয়েছিল (যদিও এটি পরে সংশোধন করা হয়েছিল এবং সংবেদনটি এখনও ঘটেছিল)। পয়ঙ্কার অনুমানের প্রমাণের এখনও কোনও সরকারী প্রকাশনা নেই, তবে গ্রহের সেরা গণিতবিদদের একটি প্রামাণিক মতামত রয়েছে যা পেরেলম্যানের গণনার সঠিকতা নিশ্চিত করে।

ফিল্ডস মেডেল গ্রিগরি পেরেলম্যানকে দেওয়া হয়েছিল সঠিকভাবে পয়েন্টকারে সমস্যা সমাধানের জন্য। কিন্তু রাশিয়ান বিজ্ঞানী পুরস্কার প্রত্যাখ্যান করেছিলেন, যা তিনি নিঃসন্দেহে প্রাপ্য। ওয়ার্ল্ড ইউনিয়ন অফ ম্যাথমেটিশিয়ানস (ডব্লিউইএম) এর প্রেসিডেন্ট ইংলিশম্যান জন বল বলেন, "গ্রেগরি আমাকে বলেছিলেন যে তিনি এই সম্প্রদায়ের বাইরে আন্তর্জাতিক গাণিতিক সম্প্রদায় থেকে বিচ্ছিন্ন বোধ করেন এবং তাই পুরস্কারটি পেতে চান না।" মাদ্রিদ।

গুজব রয়েছে যে গ্রিগরি পেরেলম্যান সম্পূর্ণভাবে বিজ্ঞান ছেড়ে যাচ্ছেন: ছয় মাস আগে তিনি তার স্থানীয় স্টেক্লভ গণিত ইনস্টিটিউট থেকে পদত্যাগ করেছিলেন এবং তারা বলে যে তিনি আর গণিত অধ্যয়ন করবেন না। সম্ভবত রাশিয়ান বিজ্ঞানী বিশ্বাস করেন যে বিখ্যাত হাইপোথিসিস প্রমাণ করে, তিনি বিজ্ঞানের জন্য যা করতে পারেন তা করেছেন। কিন্তু এমন একজন উজ্জ্বল বিজ্ঞানী এবং অসাধারণ ব্যক্তির চিন্তার ট্রেন নিয়ে আলোচনা করার দায়িত্ব কে নেবে?... পেরেলম্যান কোনো মন্তব্য করতে অস্বীকার করেন এবং তিনি দ্য ডেইলি টেলিগ্রাফ পত্রিকাকে বলেন: "আমি যা বলতে পারি তার কোনোটাই সামান্যতম জনস্বার্থের নয়।" যাইহোক, নেতৃস্থানীয় বৈজ্ঞানিক প্রকাশনাগুলি তাদের মূল্যায়নে সর্বসম্মত ছিল যখন তারা রিপোর্ট করেছিল যে "গ্রিগরি পেরেলম্যান, পয়নকেয়ার উপপাদ্য সমাধান করে, অতীত এবং বর্তমানের সর্বশ্রেষ্ঠ প্রতিভাগুলির সাথে সমানে দাঁড়িয়েছিলেন।"

মাসিক সাহিত্য ও সাংবাদিকতামূলক পত্রিকা এবং প্রকাশনা সংস্থা।

বিজ্ঞানীরা বিশ্বাস করেন যে 38 বছর বয়সী রাশিয়ান গণিতবিদ গ্রিগরি পেরেলম্যান পয়ঙ্কার সমস্যার সঠিক সমাধানের প্রস্তাব করেছিলেন। স্ট্যানফোর্ড ইউনিভার্সিটির গণিতের অধ্যাপক কিথ ডেভলিন এক্সেটারে (ইউকে) বিজ্ঞান উৎসবে একথা বলেন।

Poincare's সমস্যা (একটি সমস্যা বা অনুমানও বলা হয়) সাতটি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সমস্যার একটি, যার প্রতিটির সমাধানের জন্য তিনি এক মিলিয়ন ডলার পুরস্কার প্রদান করেন। গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানের গবেষণাগারের কর্মচারী গ্রিগরি পেরেলম্যানের প্রাপ্ত ফলাফলের প্রতি এই ধরনের ব্যাপক মনোযোগ আকর্ষণ করেছে।

লস অ্যালামোস সায়েন্টিফিক ল্যাবরেটরির প্রাথমিক কাজের আর্কাইভের ওয়েবসাইটে লেখক কর্তৃক নভেম্বর 2002 এবং মার্চ 2003-এ পোস্ট করা দুটি প্রিপ্রিন্ট (একটি পূর্ণাঙ্গ বৈজ্ঞানিক প্রকাশনার আগের নিবন্ধগুলি) থেকে সারা বিশ্বের বিজ্ঞানীরা পেরেলম্যানের অর্জন সম্পর্কে শিখেছেন।

ক্লে ইনস্টিটিউটের বৈজ্ঞানিক উপদেষ্টা বোর্ড কর্তৃক গৃহীত নিয়ম অনুসারে, একটি নতুন অনুমান অবশ্যই "আন্তর্জাতিক খ্যাতি" এর একটি বিশেষ জার্নালে প্রকাশ করা উচিত। উপরন্তু, ইনস্টিটিউটের নিয়ম অনুসারে, পুরস্কার প্রদানের সিদ্ধান্তটি শেষ পর্যন্ত "গাণিতিক সম্প্রদায়" দ্বারা তৈরি করা হয়: প্রকাশের পর দুই বছরের মধ্যে প্রমাণটি অবশ্যই খণ্ডন করা উচিত নয়। প্রতিটি প্রমাণ বিশ্বের বিভিন্ন দেশে গণিতবিদদের দ্বারা পরীক্ষা করা হয়।

Poincare সমস্যা

13 জুন, 1966 সালে লেনিনগ্রাদে কর্মচারীদের একটি পরিবারে জন্মগ্রহণ করেন। তিনি গণিতের গভীর অধ্যয়নের সাথে বিখ্যাত মাধ্যমিক বিদ্যালয় নং 239 থেকে স্নাতক হন। 1982 সালে, সোভিয়েত স্কুলছাত্রীদের একটি দলের অংশ হিসাবে, তিনি বুদাপেস্টে অনুষ্ঠিত আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াডে অংশগ্রহণ করেছিলেন। তিনি পরীক্ষা ছাড়াই লেনিনগ্রাদ স্টেট ইউনিভার্সিটিতে গণিত এবং মেকানিক্সে ভর্তি হন। তিনি অনুষদ, শহর এবং সর্ব-ইউনিয়ন ছাত্র গণিত অলিম্পিয়াড জিতেছেন। লেনিন বৃত্তি পেয়েছিলেন। বিশ্ববিদ্যালয় থেকে স্নাতক হওয়ার পর, পেরেলম্যান স্টেক্লভ গাণিতিক ইনস্টিটিউটের সেন্ট পিটার্সবার্গ শাখায় স্নাতক স্কুলে প্রবেশ করেন। ভৌত ও গাণিতিক বিজ্ঞানের প্রার্থী। গাণিতিক পদার্থবিদ্যার গবেষণাগারে কাজ করে।

Poincare-এর সমস্যাটি ম্যানিফোল্ডের তথাকথিত টপোলজির ক্ষেত্রফলের সাথে সম্পর্কিত - একটি বিশেষ উপায়ে সাজানো স্থান যার বিভিন্ন মাত্রা রয়েছে। দ্বি-মাত্রিক ম্যানিফোল্ডগুলি কল্পনা করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, ত্রিমাত্রিক দেহগুলির পৃষ্ঠের উদাহরণ ব্যবহার করে - একটি গোলক (একটি বলের পৃষ্ঠ) বা একটি টরাস (ডোনাটের পৃষ্ঠ)।

একটি বেলুন যদি বিকৃত হয় (বাঁকানো, বাঁকানো, টানা, সংকুচিত, চিমটি করা, ডিফ্লেটেড বা স্ফীত) তাহলে তার কী হবে তা কল্পনা করা সহজ। এটা স্পষ্ট যে উপরের সমস্ত বিকৃতির সাথে, বলটি একটি বিস্তৃত পরিসরে তার আকৃতি পরিবর্তন করবে। যাইহোক, আমরা কখনই একটি বলকে ডোনাটে পরিণত করতে পারব না (অথবা এর বিপরীতে) তার পৃষ্ঠের ধারাবাহিকতা ভঙ্গ না করে, অর্থাৎ এটিকে ছিঁড়ে না দিয়ে। এই ক্ষেত্রে, টপোলজিস্টরা বলছেন যে গোলক (বল) টরাস (ডোনাট) এর জন্য অ-হোমিওমরফিক। এর মানে হল যে এই পৃষ্ঠগুলি একে অপরের সাথে ম্যাপ করা যাবে না। সহজ ভাষায়, একটি গোলক এবং একটি টরাস তাদের টপোলজিক্যাল বৈশিষ্ট্যে আলাদা। এবং একটি বেলুনের পৃষ্ঠ, তার সমস্ত সম্ভাব্য বিকৃতির অধীনে, একটি গোলকের জন্য হোমোমরফিক, যেমন একটি লাইফবয়ের পৃষ্ঠটি একটি টরাস। অন্য কথায়, যে কোনো বদ্ধ দ্বি-মাত্রিক পৃষ্ঠ যা গর্তের মধ্য দিয়ে থাকে না তার টপোলজিক্যাল বৈশিষ্ট্য দ্বি-মাত্রিক গোলকের মতোই থাকে।

TOPOLOGY, গণিতের একটি শাখা যা স্ট্রেচিং, কম্প্রেশন বা বাঁকানোর মতো ক্রমাগত বিকৃতির অধীনে সংরক্ষিত পরিসংখ্যানের (বা স্পেস) বৈশিষ্ট্যগুলির অধ্যয়ন করে। ক্রমাগত বিকৃতি হল এমন একটি চিত্রের বিকৃতি যেখানে কোন বিরতি নেই (অর্থাৎ, চিত্রের অখণ্ডতা লঙ্ঘন) বা আঠালো (অর্থাৎ, এর বিন্দু চিহ্নিতকরণ)।
একটি জ্যামিতিক চিত্রের অন্য একটি জ্যামিতিক চিত্রের টপোলজিকাল রূপান্তর হল প্রথম চিত্রের একটি নির্বিচারী বিন্দু P এর সাথে অন্য একটি চিত্রের P' বিন্দুতে ম্যাপিং, যা নিম্নলিখিত শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে: 1) প্রথম চিত্রের প্রতিটি বিন্দু P অবশ্যই একটি এবং শুধুমাত্র একটির সাথে মিল থাকতে হবে দ্বিতীয় চিত্রের বিন্দু P' এবং তদ্বিপরীত; 2) ম্যাপিং পারস্পরিক অবিচ্ছিন্ন হতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, একই চিত্রের অন্তর্গত দুটি বিন্দু P এবং N রয়েছে। যদি, যখন P বিন্দু N বিন্দুতে চলে যায়, তখন তাদের মধ্যকার দূরত্ব শূন্যের দিকে থাকে, তাহলে অন্য চিত্রের P' এবং N' বিন্দুর মধ্যে দূরত্বও শূন্যের দিকে ঝুঁকতে হবে এবং এর বিপরীতে।
হোমিওমরফিজম। জ্যামিতিক পরিসংখ্যান যা টপোলজিক্যাল ট্রান্সফর্মেশনের সময় একে অপরে রূপান্তরিত হয় তাকে হোমোমরফিক বলা হয়। বৃত্ত এবং একটি বর্গক্ষেত্রের সীমানা হোমোমরফিক, যেহেতু এগুলি একটি টপোলজিক্যাল ট্রান্সফর্মেশনের মাধ্যমে একে অপরে রূপান্তরিত হতে পারে (অর্থাৎ, ভাঙ্গা বা আঠালো ছাড়াই বাঁকানো এবং প্রসারিত করা, উদাহরণস্বরূপ, একটি বর্গক্ষেত্রের সীমানাকে চারপাশে ঘেরা বৃত্তে প্রসারিত করা) . যে অঞ্চলে যে কোনো বদ্ধ সরল (অর্থাৎ, একটি বৃত্ত থেকে হোমোমরফিক) বক্ররেখা একটি বিন্দুতে সংকুচিত হতে পারে যখন এই অঞ্চলে সব সময় অবশিষ্ট থাকে তাকে বলা হয় সহজভাবে সংযুক্ত, এবং অঞ্চলের সংশ্লিষ্ট সম্পত্তি সহজভাবে সংযুক্ত। যদি এই অঞ্চলের কিছু বদ্ধ সরল বক্ররেখা একটি বিন্দুতে সংকুচিত করা না যায়, এই অঞ্চলে সব সময় অবশিষ্ট থাকে, তাহলে অঞ্চলটিকে গুণিতভাবে সংযুক্ত বলা হয়, এবং অঞ্চলের সংশ্লিষ্ট বৈশিষ্ট্যকে বলা হয় গুণিত সংযুক্ত।

Poincare-এর সমস্যা ত্রি-মাত্রিক বহুগুণের জন্য একই জিনিস বলে (দ্বিমাত্রিক বহুগুণে, যেমন গোলকের জন্য, এই বিন্দুটি 19 শতকে প্রমাণিত হয়েছিল)। ফরাসি গণিতবিদ যেমন উল্লেখ করেছেন, দ্বি-মাত্রিক গোলকের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি হল যে কোনও বদ্ধ লুপ (উদাহরণস্বরূপ, একটি ল্যাসো) এটির উপর পড়ে থাকলে তা পৃষ্ঠটি না রেখে একটি বিন্দুতে টানতে পারে। একটি টরাসের জন্য, এটি সর্বদা সত্য নয়: তার গর্তের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি লুপ একটি বিন্দুতে টানা হবে যখন টরাসটি ভেঙে যাবে, বা যখন লুপটি নিজেই ভেঙে যাবে। 1904 সালে, Poincaré প্রস্তাব করেছিলেন যে যদি একটি লুপ একটি বদ্ধ ত্রিমাত্রিক পৃষ্ঠের একটি বিন্দুতে সংকোচন করতে পারে, তাহলে এই জাতীয় পৃষ্ঠটি একটি ত্রিমাত্রিক গোলকের হোমোমরফিক। এই অনুমান প্রমাণ করা একটি অত্যন্ত কঠিন কাজ হতে পরিণত.

আসুন আমরা অবিলম্বে স্পষ্ট করি: আমরা যে পয়েন্টকারে সমস্যার কথা উল্লেখ করেছি তার সূত্রটি একটি ত্রিমাত্রিক বলের কথা বলে না, যা আমরা খুব অসুবিধা ছাড়াই কল্পনা করতে পারি, তবে একটি ত্রিমাত্রিক গোলক সম্পর্কে, অর্থাৎ চারটির পৃষ্ঠ সম্পর্কে -মাত্রিক বল, যা কল্পনা করা অনেক বেশি কঠিন। কিন্তু 1950 এর দশকের শেষের দিকে, এটি হঠাৎ করেই স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে উচ্চ-মাত্রিক বহুমাত্রিকের সাথে কাজ করা ত্রি- এবং চার-মাত্রিকগুলির তুলনায় অনেক সহজ। স্পষ্টতই, গণিতবিদরা তাদের গবেষণায় যে প্রধান অসুবিধার সম্মুখীন হন তার থেকে স্পষ্টতার অভাব অনেক দূরে।

1960 সালে স্টিফেন স্মেল, জন স্টলিংস এবং অ্যান্ড্রু ওয়ালেসের দ্বারা 5 এবং উচ্চতর মাত্রার জন্য Poincare-এর অনুরূপ একটি সমস্যা সমাধান করা হয়েছিল। এই বিজ্ঞানীদের দ্বারা ব্যবহৃত পন্থা, যাইহোক, চার-মাত্রিক বহুগুণে প্রযোজ্য নয়। তাদের জন্য, মাইকেল ফ্রিডম্যান শুধুমাত্র 1981 সালে পয়ঙ্কার সমস্যাটি প্রমাণ করেছিলেন। ত্রিমাত্রিক কেস সবচেয়ে কঠিন হতে পরিণত; গ্রিগরি পেরেলম্যান তার সমাধান প্রস্তাব করেন।

এটি উল্লেখ করা উচিত যে পেরেলম্যানের প্রতিদ্বন্দ্বী রয়েছে। এপ্রিল 2002 সালে, সাউদাম্পটনের ব্রিটিশ ইউনিভার্সিটির গণিতের অধ্যাপক মার্টিন ডানউডি, পয়নকেরে সমস্যা সমাধানের জন্য তার পদ্ধতির প্রস্তাব করেছিলেন এবং এখন ক্লে ইনস্টিটিউট থেকে একটি রায়ের জন্য অপেক্ষা করছেন।

বিশেষজ্ঞরা বিশ্বাস করেন যে Poincaré সমস্যা সমাধানের ফলে জটিল ত্রিমাত্রিক বস্তুগুলিতে শারীরিক প্রক্রিয়াগুলির গাণিতিক বর্ণনায় একটি গুরুতর পদক্ষেপ নেওয়া সম্ভব হবে এবং কম্পিউটার টপোলজির বিকাশে নতুন প্রেরণা দেবে। গ্রিগরি পেরেলম্যানের প্রস্তাবিত পদ্ধতিটি জ্যামিতি এবং টপোলজিতে একটি নতুন দিক খোলার দিকে নিয়ে যাবে। সেন্ট পিটার্সবার্গের গণিতবিদ ফিল্ডস পুরস্কারের জন্য উপযুক্ত হতে পারেন (নোবেল পুরস্কারের অনুরূপ, যা গণিতে দেওয়া হয় না)।

এদিকে, কেউ কেউ গ্রিগরি পেরেলম্যানের আচরণকে অদ্ভুত বলে মনে করেন। ব্রিটিশ সংবাদপত্র দ্য গার্ডিয়ান লিখেছে: “সম্ভবত, পয়নকেয়ার সমস্যা সমাধানে পেরেলম্যানের দৃষ্টিভঙ্গি সঠিক। তবে সবকিছু এত সহজ নয়। পেরেলম্যান প্রমাণ দেন না যে কাজটি সম্পূর্ণ বৈজ্ঞানিক প্রকাশনা (প্রিপ্রিন্ট) হিসাবে প্রকাশিত হয়েছিল। এই ধরনের বিবেচনা করা হয় না। এবং এটি প্রয়োজন যদি একজন ব্যক্তি ক্লে ইনস্টিটিউট থেকে একটি পুরস্কার পেতে চান। এছাড়া তিনি অর্থের প্রতি মোটেই আগ্রহ দেখান না।"

স্পষ্টতই, গ্রিগরি পেরেলম্যানের জন্য, একজন প্রকৃত বিজ্ঞানী হিসাবে, অর্থ প্রধান জিনিস নয়। তথাকথিত "সহস্রাব্দের সমস্যা" সমাধানের জন্য, একজন সত্যিকারের গণিতবিদ তার আত্মাকে শয়তানের কাছে বিক্রি করবেন।

সহস্রাব্দের তালিকা

8 আগস্ট, 1900-এ, প্যারিসে গণিতের আন্তর্জাতিক কংগ্রেসে, গণিতবিদ ডেভিড হিলবার্ট সমস্যার একটি তালিকা তুলে ধরেন যা তিনি বিশ্বাস করেন যে বিংশ শতাব্দীতে সমাধান করা হবে। তালিকায় 23টি আইটেম ছিল। তাদের মধ্যে 21টি এখন পর্যন্ত সমাধান করা হয়েছে। সমাধান করার জন্য হিলবার্টের তালিকার শেষ সমস্যাটি ছিল ফার্মাটের বিখ্যাত উপপাদ্য, যা বিজ্ঞানীরা 358 বছর ধরে সমাধান করতে পারেননি। 1994 সালে, ব্রিটিশ অ্যান্ড্রু ওয়াইলস তার সমাধানের প্রস্তাব করেছিলেন। এটা সত্য হতে পরিণত.

গিলবার্টের উদাহরণ অনুসরণ করে, গত শতাব্দীর শেষে, অনেক গণিতবিদ একবিংশ শতাব্দীর জন্য একই ধরনের কৌশলগত কাজ প্রণয়নের চেষ্টা করেছিলেন। এই তালিকাগুলির মধ্যে একটি বোস্টনের বিলিয়নেয়ার ল্যান্ডন টি. ক্লে-এর জন্য ব্যাপকভাবে পরিচিত হয়ে উঠেছে। 1998 সালে, তার তহবিল দিয়ে, কেমব্রিজে (ম্যাসাচুসেটস, মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র) আধুনিক গণিতের বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা সমাধানের জন্য পুরষ্কারগুলি প্রতিষ্ঠিত এবং প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল। 24 মে, 2000-এ, ইনস্টিটিউটের বিশেষজ্ঞরা সাতটি সমস্যা নির্বাচন করেছিলেন - পুরস্কারের জন্য বরাদ্দ করা মিলিয়ন ডলারের সংখ্যা অনুসারে। তালিকাটিকে সহস্রাব্দ পুরস্কারের সমস্যা বলা হয়:

1. কুকের সমস্যা (1971 সালে প্রণীত)

ধরা যাক যে আপনি, একটি বড় কোম্পানিতে থাকা, নিশ্চিত করতে চান যে আপনার বন্ধুও সেখানে আছে। যদি তারা আপনাকে বলে যে তিনি কোণে বসে আছেন, তবে আপনার এক নজর দেখার জন্য এবং তথ্যের সত্যতা সম্পর্কে নিশ্চিত হওয়ার জন্য একটি বিভক্ত সেকেন্ডই যথেষ্ট হবে। এই তথ্য ব্যতীত, আপনি অতিথিদের দিকে তাকিয়ে পুরো ঘরে ঘুরে বেড়াতে বাধ্য হবেন। এটি পরামর্শ দেয় যে একটি সমস্যা সমাধান করতে প্রায়শই সমাধানের সঠিকতা পরীক্ষা করার চেয়ে বেশি সময় লাগে।

স্টিফেন কুক সমস্যাটি প্রণয়ন করেছেন: যাচাইকরণ অ্যালগরিদম নির্বিশেষে একটি সমস্যার সমাধানের সঠিকতা পরীক্ষা করতে সমাধানটি নিজেই পেতে বেশি সময় নিতে পারে। এই সমস্যাটি যুক্তিবিদ্যা এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানের ক্ষেত্রেও একটি অমীমাংসিত সমস্যা। এর সমাধান ডেটা ট্রান্সমিশন এবং স্টোরেজের ক্ষেত্রে ব্যবহৃত ক্রিপ্টোগ্রাফির মৌলিক বিষয়গুলিতে বিপ্লব ঘটাতে পারে।

2. রিম্যান হাইপোথিসিস (1859 সালে প্রণীত)

কিছু পূর্ণসংখ্যাকে দুটি ছোট পূর্ণসংখ্যার গুণফল হিসাবে প্রকাশ করা যায় না, যেমন 2, 3, 5, 7, ইত্যাদি। এই জাতীয় সংখ্যাগুলিকে মৌলিক সংখ্যা বলা হয় এবং বিশুদ্ধ গণিত এবং এর প্রয়োগগুলিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার সিরিজের মধ্যে মৌলিক সংখ্যার বণ্টন কোনো প্যাটার্ন অনুসরণ করে না। যাইহোক, জার্মান গণিতবিদ রিম্যান মৌলিক সংখ্যার অনুক্রমের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে একটি অনুমান করেছিলেন। রিম্যান হাইপোথিসিস প্রমাণিত হলে, এটি এনক্রিপশন সম্পর্কে আমাদের জ্ঞানে একটি বৈপ্লবিক পরিবর্তন এবং ইন্টারনেট নিরাপত্তায় একটি অভূতপূর্ব অগ্রগতির দিকে নিয়ে যাবে।

3. বার্চ এবং সুইনারটন-ডায়ার হাইপোথিসিস (1960 সালে প্রণীত)

পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ কয়েকটি ভেরিয়েবলে কিছু বীজগণিতীয় সমীকরণের সমাধানের সেটের বর্ণনার সাথে যুক্ত। এই ধরনের সমীকরণের একটি উদাহরণ হল x 2 + y 2 = z 2 রাশি। ইউক্লিড এই সমীকরণের সমাধানগুলির একটি সম্পূর্ণ বিবরণ দিয়েছেন, কিন্তু আরও জটিল সমীকরণের জন্য, সমাধানগুলি খুঁজে পাওয়া অত্যন্ত কঠিন হয়ে পড়ে।

4. হজের হাইপোথিসিস (1941 সালে প্রণীত)

20 শতকে, গণিতবিদরা জটিল বস্তুর আকৃতি অধ্যয়নের জন্য একটি শক্তিশালী পদ্ধতি আবিষ্কার করেছিলেন। মূল ধারণাটি হ'ল বস্তুর পরিবর্তে সাধারণ "ইট" ব্যবহার করা, যা একসাথে আঠালো এবং এর সাদৃশ্য তৈরি করে। হজের অনুমান এই ধরনের "বিল্ডিং ব্লক" এবং বস্তুর বৈশিষ্ট্য সম্পর্কিত কিছু অনুমানের সাথে যুক্ত।

5. নেভিয়ার - স্টোকস সমীকরণ (1822 সালে প্রণীত)

আপনি যদি হ্রদে নৌকায় যাত্রা করেন তবে ঢেউ উঠবে এবং আপনি যদি বিমানে উড়ে যান তবে বাতাসে উত্তাল স্রোত উঠবে। এটা অনুমান করা হয় যে এই এবং অন্যান্য ঘটনাগুলি নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ নামে পরিচিত সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়। এই সমীকরণগুলির সমাধানগুলি অজানা, এবং কীভাবে সেগুলি সমাধান করা যায় তাও জানা নেই। এটি একটি সমাধান বিদ্যমান এবং একটি যথেষ্ট মসৃণ ফাংশন দেখানো প্রয়োজন. এই সমস্যাটি সমাধান করার ফলে হাইড্রো- এবং অ্যারোডাইনামিক গণনা চালানোর পদ্ধতিগুলি উল্লেখযোগ্যভাবে পরিবর্তন হবে।

6. Poincare সমস্যা (1904 সালে প্রণীত)

আপনি যদি একটি আপেলের উপর একটি রাবার ব্যান্ড টেনে আনেন, আপনি ব্যান্ডটিকে পৃষ্ঠ থেকে না তুলে ধীরে ধীরে সরানোর মাধ্যমে এটিকে একটি বিন্দুতে সংকুচিত করতে পারেন। অন্যদিকে, যদি একই রাবার ব্যান্ডটি একটি ডোনাটের চারপাশে উপযুক্তভাবে প্রসারিত করা হয়, তবে টেপটি ছিঁড়ে বা ডোনাটটি না ভেঙে ব্যান্ডটিকে একটি বিন্দুতে সংকুচিত করার কোন উপায় নেই। তারা বলে যে একটি আপেলের পৃষ্ঠটি কেবল সংযুক্ত, তবে একটি ডোনাটের পৃষ্ঠটি নয়। এটি প্রমাণ করা এত কঠিন যে শুধুমাত্র গোলকটি সহজভাবে সংযুক্ত যে গণিতবিদরা এখনও সঠিক উত্তর খুঁজছেন।

7. ইয়াং-মিলস সমীকরণ (1954 সালে প্রণীত)

কোয়ান্টাম পদার্থবিদ্যার সমীকরণ প্রাথমিক কণার জগতকে বর্ণনা করে। পদার্থবিদ ইয়াং এবং মিলস, জ্যামিতি এবং কণা পদার্থবিদ্যার মধ্যে সংযোগ আবিষ্কার করে, তাদের সমীকরণ লিখেছেন। এইভাবে, তারা ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক, দুর্বল এবং শক্তিশালী মিথস্ক্রিয়াগুলির তত্ত্বগুলিকে একীভূত করার একটি উপায় খুঁজে পেয়েছিল। ইয়াং-মিলস সমীকরণগুলি এমন কণার অস্তিত্বকে বোঝায় যেগুলি আসলে সারা বিশ্বের গবেষণাগারগুলিতে পর্যবেক্ষণ করা হয়েছিল, তাই ইয়াং-মিলস তত্ত্বটি বেশিরভাগ পদার্থবিদদের দ্বারা গৃহীত হয় যদিও এই তত্ত্বের কাঠামোর মধ্যে এটি এখনও ভবিষ্যদ্বাণী করা সম্ভব নয়। প্রাথমিক কণার ভর।

মিখাইল ভিটেবস্কি

"সমস্যা যে সমাধান করা হয়েছিল পেরেলম্যান,মহান ফরাসি গণিতবিদ দ্বারা 1904 সালে দেওয়া একটি অনুমান প্রমাণ করার প্রয়োজনীয়তা হেনরি পয়নকেরে(1854-1912) এবং তার নাম বহন করে। এনসাইক্লোপিডিয়ার তুলনায় গণিতে পয়নকারের ভূমিকা সম্পর্কে ভালভাবে বলা কঠিন: “গণিতের ক্ষেত্রে পয়নকারের কাজ একদিকে শাস্ত্রীয় দিকনির্দেশ সম্পূর্ণ করে এবং অন্যদিকে বিকাশের পথ খুলে দেয়। নতুন গণিতের, যেখানে, পরিমাণগত সম্পর্কের সাথে, এমন তথ্যগুলি প্রতিষ্ঠিত হয় যেগুলির গুণগত চরিত্র রয়েছে" (টিএসবি, 3য় সংস্করণ, ভলিউম 2)। পয়ঙ্কার অনুমানটি অবিকল একটি গুণগত প্রকৃতির - যেমন গণিতের সমগ্র ক্ষেত্রটি (যেমন টপোলজি) যার সাথে এটি সম্পর্কিত এবং যার সৃষ্টিতে পয়নকেরে একটি সিদ্ধান্তমূলক অংশ নিয়েছিলেন।

আধুনিক ভাষায়, Poincaré অনুমানটি এরকম শোনায়: সীমানা ছাড়াই প্রতিটি সহজভাবে সংযুক্ত কমপ্যাক্ট ত্রি-মাত্রিক বহুগুণ একটি ত্রিমাত্রিক গোলকের জন্য হোমোমরফিক।

নিম্নলিখিত অনুচ্ছেদে আমরা অন্তত আংশিক এবং খুব মোটামুটিভাবে এই ভয়ঙ্কর মৌখিক সূত্রের অর্থ ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করব। শুরুতে, আমরা লক্ষ্য করি যে একটি সাধারণ গোলক, যা একটি সাধারণ বলের পৃষ্ঠ, দ্বি-মাত্রিক (এবং বলটি নিজেই ত্রিমাত্রিক)। একটি দ্বি-মাত্রিক গোলক ত্রিমাত্রিক স্থানের সমস্ত বিন্দু নিয়ে গঠিত যা কিছু নির্বাচিত বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে থাকে, যাকে কেন্দ্র বলা হয়, যা গোলকের অন্তর্গত নয়। একটি ত্রিমাত্রিক গোলক চার-মাত্রিক স্থানের সমস্ত বিন্দু নিয়ে গঠিত যা তার কেন্দ্র থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত (যা গোলকের অন্তর্গত নয়)। দ্বিমাত্রিক গোলকের বিপরীতে, ত্রিমাত্রিক গোলক পাওয়া যায় নাআমাদের প্রত্যক্ষ পর্যবেক্ষণ, এবং তাদের কল্পনা করা আমাদের পক্ষে ততটাই কঠিন যতটা ভ্যাসিলি ইভানোভিচের পক্ষে বিখ্যাত কৌতুক থেকে বর্গাকার ত্রিনামিক কল্পনা করা। তবে এটা সম্ভব যে আমরা সবাই ত্রিমাত্রিক গোলকের মধ্যে আছি, অর্থাৎ আমাদের মহাবিশ্ব একটি ত্রিমাত্রিক গোলক।

এই হল ফলাফলের অর্থ পেরেলম্যানপদার্থবিদ্যা এবং জ্যোতির্বিদ্যার জন্য। "প্রান্ত ছাড়াই সহজভাবে সংযুক্ত কমপ্যাক্ট ত্রিমাত্রিক বহুগুণ" শব্দটিতে আমাদের মহাবিশ্বের অনুমিত বৈশিষ্ট্যগুলির ইঙ্গিত রয়েছে। "হোমিওমরফিক" শব্দের অর্থ একটি নির্দিষ্ট উচ্চ মাত্রার সাদৃশ্য, একটি নির্দিষ্ট অর্থে, স্বতন্ত্রতা। সামগ্রিকভাবে ফর্মুলেশনের অর্থ হল, যদি আমাদের মহাবিশ্বে একটি প্রান্ত ছাড়াই একটি সহজভাবে সংযুক্ত কমপ্যাক্ট ত্রিমাত্রিক বহুগুণের সমস্ত বৈশিষ্ট্য থাকে, তবে এটি - একই "পরিচিত অর্থে" - একটি ত্রিমাত্রিক গোলক।

সহজভাবে সংযোগের ধারণাটি একটি মোটামুটি সহজ ধারণা। আসুন কল্পনা করি একটি রাবার ব্যান্ড (অর্থাৎ আঠালো প্রান্ত সহ একটি রাবার থ্রেড) এতটাই স্থিতিস্থাপক যে আপনি যদি এটি ধরে না রাখেন তবে এটি একটি বিন্দুতে সঙ্কুচিত হবে। আমরা আমাদের ইলাস্টিক ব্যান্ড থেকেও চাইব যে একটি বিন্দুতে টানা হলে, এটি আমরা যে পৃষ্ঠের উপর রেখেছি তার বাইরে প্রসারিত না হয়। যদি আমরা একটি সমতলে এমন একটি ইলাস্টিক ব্যান্ড প্রসারিত করি এবং এটি ছেড়ে দিই, এটি অবিলম্বে একটি বিন্দুতে সঙ্কুচিত হবে। একই জিনিস ঘটবে যদি আমরা একটি ইলাস্টিক ব্যান্ড একটি গ্লোবের উপর, অর্থাৎ একটি গোলকের উপর রাখি। একটি লাইফবুয়ের পৃষ্ঠের জন্য, পরিস্থিতি সম্পূর্ণ ভিন্ন হবে: সদয় পাঠক সহজেই এই পৃষ্ঠে ইলাস্টিকটির এমন বিন্যাস খুঁজে পাবেন যেখানে প্রশ্নযুক্ত পৃষ্ঠের বাইরে না গিয়ে ইলাস্টিকটিকে একটি বিন্দুতে টানানো অসম্ভব। একটি জ্যামিতিক চিত্রকে সহজভাবে সংযুক্ত বলা হয় যদি এই চিত্রের সীমার মধ্যে অবস্থিত কোনও বন্ধ কনট্যুর নামযুক্ত সীমার বাইরে না গিয়ে একটি বিন্দুতে সংকুচিত হতে পারে। আমরা এইমাত্র দেখেছি যে সমতল এবং গোলক সহজভাবে সংযুক্ত, কিন্তু লাইফবুয়ের পৃষ্ঠটি কেবল সংযুক্ত নয়। এটিতে একটি গর্ত কাটা একটি প্লেন সহজভাবে সংযুক্ত করা হয় না। সহজভাবে সংযোগের ধারণাটি ত্রিমাত্রিক চিত্রের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। সুতরাং, একটি ঘনক এবং একটি বল সহজভাবে সংযুক্ত: তাদের পুরুত্বে অবস্থিত যে কোনও বন্ধ কনট্যুর একটি বিন্দুতে সংকুচিত হতে পারে এবং সংকোচন প্রক্রিয়া চলাকালীন কনট্যুরটি সর্বদা এই বেধে থাকবে। তবে ব্যাগেলটি কেবল সংযুক্ত নয়: এতে আপনি একটি কনট্যুর খুঁজে পেতে পারেন যা একটি বিন্দুতে সংকোচন করা যায় না যাতে সংকোচনের প্রক্রিয়া চলাকালীন কনট্যুরটি সর্বদা ব্যাগেলের ময়দার মধ্যে থাকে। প্রিটজেলটিও মনোসংযুক্ত নয়। এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে ত্রিমাত্রিক গোলকটি সহজভাবে সংযুক্ত।

আমরা আশা করি পাঠক একটি বিভাগ এবং একটি ব্যবধানের মধ্যে পার্থক্য ভুলে যাননি, যা স্কুলে পড়ানো হয়। একটি অংশের দুটি প্রান্ত রয়েছে; এটি এই প্রান্তগুলি এবং তাদের মধ্যে অবস্থিত সমস্ত বিন্দু নিয়ে গঠিত। একটি ব্যবধান শুধুমাত্র তার প্রান্তগুলির মধ্যে অবস্থিত সমস্ত বিন্দু নিয়ে গঠিত; শেষগুলি ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত নয়: আমরা বলতে পারি যে একটি ব্যবধান হল একটি সেগমেন্ট যার প্রান্তগুলি এটি থেকে সরানো হয়েছে এবং একটি সেগমেন্ট হল একটি ব্যবধান যার সাথে শেষগুলি যুক্ত করা হয়েছে এটা একটি ব্যবধান এবং একটি সেগমেন্ট হল এক-মাত্রিক ম্যানিফোল্ডের সবচেয়ে সহজ উদাহরণ, যেখানে একটি ব্যবধান হল একটি প্রান্তবিহীন বহুগুণ এবং একটি সেগমেন্ট হল একটি প্রান্ত সহ একটি বহুগুণ; একটি অংশের ক্ষেত্রে একটি প্রান্ত দুটি প্রান্ত নিয়ে গঠিত। ম্যানিফোল্ডগুলির প্রধান বৈশিষ্ট্য, যা তাদের সংজ্ঞার অন্তর্গত, হ'ল মেনিফোল্ডে সমস্ত বিন্দুর আশেপাশের, প্রান্তের বিন্দুগুলি বাদ দিয়ে (যা নাও থাকতে পারে), ঠিক একইভাবে সাজানো হয়েছে।

এই ক্ষেত্রে, একটি বিন্দু A এর আশেপাশের হল এই বিন্দু A এর কাছাকাছি অবস্থিত সমস্ত বিন্দুর সংগ্রহ। একটি আণুবীক্ষণিক প্রাণী একটি প্রান্তবিহীন বহুগুণে বসবাস করে এবং নিজের সবচেয়ে কাছের এই বহুগুণটির শুধুমাত্র বিন্দুগুলি দেখতে সক্ষম হয় না। এটি কোন বিন্দুতে, হচ্ছে, তা নির্ধারণ করুন: নিজের চারপাশে এটি সর্বদা একই জিনিস দেখে। প্রান্ত ছাড়া এক-মাত্রিক বহুগুণের আরও উদাহরণ: সম্পূর্ণ সরলরেখা, একটি বৃত্ত। এক-মাত্রিক চিত্রের একটি উদাহরণ যা বহুগুণ নয় তা হল T অক্ষরের আকারের একটি রেখা: একটি বিশেষ বিন্দু রয়েছে, যার প্রতিবেশী অন্যান্য বিন্দুর প্রতিবেশীর মতো নয় - এটি সেই বিন্দু যেখানে তিনটি সেগমেন্ট মিলিত হয়। এক-মাত্রিক বহুগুণের আরেকটি উদাহরণ হল একটি চিত্র-আট লাইন; এখানে একটি বিশেষ বিন্দুতে চারটি লাইন মিলিত হয়। একটি সমতল, একটি গোলক এবং একটি লাইফবুয়ের পৃষ্ঠ হল প্রান্তবিহীন দ্বি-মাত্রিক বহুগুণের উদাহরণ। একটি ছিদ্র সহ একটি সমতল এটিতে কাটাও একটি বহুগুণ হবে - তবে একটি প্রান্ত সহ বা ছাড়া, এটি নির্ভর করে আমরা গর্তটির রূপরেখা কোথায় রাখি তার উপর। যদি আমরা এটিকে একটি গর্তে উল্লেখ করি, আমরা একটি প্রান্ত ছাড়াই বহুগুণ পাই; যদি আমরা সমতলে কনট্যুরটি ছেড়ে যাই, আমরা একটি প্রান্ত সহ বহুগুণ পাই, যা এই কনট্যুর হিসাবে কাজ করবে। অবশ্যই, আমরা এখানে একটি আদর্শ গাণিতিক কাটার কথা মাথায় রেখেছিলাম, এবং কাঁচি দিয়ে প্রকৃত শারীরিক কাটাতে, কনট্যুরটি কোথায় সেই প্রশ্নের কোনও অর্থ নেই।

ত্রিমাত্রিক বহুগুণ সম্পর্কে কয়েকটি শব্দ। গোলক, গোলকের সাথে যা তার পৃষ্ঠ হিসাবে কাজ করে, একটি প্রান্ত সহ বহুগুণ; নির্দেশিত গোলকটি অবিকল এই প্রান্ত। যদি আমরা আশেপাশের স্থান থেকে এই বলটি সরিয়ে ফেলি, তাহলে আমরা প্রান্ত ছাড়াই বহুগুণ পাই। যদি আমরা একটি বলের পৃষ্ঠ থেকে খোসা ছাড়ি, তাহলে আমরা গাণিতিক পরিভাষায় "বালিযুক্ত বল" এবং আরও বৈজ্ঞানিক ভাষায় একটি খোলা বল পাই। আমরা যদি আশেপাশের স্থান থেকে একটি খোলা বল সরিয়ে ফেলি, আমরা একটি প্রান্ত সহ বহুগুণ পাই এবং প্রান্তটি সেই গোলকটি হবে যা আমরা বল থেকে ছিঁড়ে ফেলেছি। ব্যাগেল, এর ভূত্বক সহ, একটি প্রান্ত সহ একটি ত্রিমাত্রিক বহুগুণ, এবং আপনি যদি ভূত্বকটি ছিঁড়ে ফেলেন (যা আমরা অসীম পাতলা হিসাবে বিবেচনা করি, অর্থাৎ একটি পৃষ্ঠ হিসাবে), আমরা প্রান্ত ছাড়াই বহুগুণ পাই। একটি "বালিযুক্ত ব্যাগেল" এর রূপ। সামগ্রিকভাবে সমস্ত স্থান, যদি আমরা এটিকে হাই স্কুলে বোঝার মতো বুঝি, এটি একটি প্রান্তবিহীন ত্রিমাত্রিক বহুগুণ।

কম্প্যাক্টনেসের গাণিতিক ধারণাটি আংশিকভাবে প্রতিদিনের রাশিয়ান ভাষায় "কমপ্যাক্ট" শব্দের অর্থ প্রতিফলিত করে: "বন্ধ", "সংকুচিত"। একটি জ্যামিতিক চিত্রকে কম্প্যাক্ট বলা হয় যদি, অসীম সংখ্যক বিন্দুর বিন্যাসের জন্য, তারা একটি বিন্দুতে বা একই চিত্রের অনেকগুলি বিন্দুতে জমা হয়। একটি সেগমেন্ট কমপ্যাক্ট: সেগমেন্টে তার বিন্দুগুলির যে কোনো অসীম সেটের জন্য কমপক্ষে একটি তথাকথিত সীমা বিন্দু থাকে, যার যেকোনো আশেপাশে বিবেচনাধীন সেটের অসীম অনেক উপাদান থাকে। একটি ব্যবধান কমপ্যাক্ট নয়: আপনি এর পয়েন্টগুলির একটি সেট নির্দিষ্ট করতে পারেন যা তার শেষের দিকে জমা হয় এবং শুধুমাত্র এটির দিকে - তবে শেষটি ব্যবধানের অন্তর্গত নয়!

স্থানের অভাবে আমরা এই তাফসীর পর্যন্ত নিজেদের সীমাবদ্ধ রাখব। আসুন শুধু বলি যে আমরা যে উদাহরণগুলি বিবেচনা করেছি, কমপ্যাক্টগুলি হল একটি সেগমেন্ট, একটি বৃত্ত, একটি গোলক, একটি ব্যাগেল এবং একটি প্রেটজেলের পৃষ্ঠতল, একটি বল (একসাথে এর গোলকের সাথে), একটি ব্যাগেল এবং একটি প্রেটজেল (একসাথে এর ভূত্বক)। বিপরীতে, ব্যবধান, সমতল, স্যান্ডেড বল, ব্যাগেল এবং প্রিটজেল কমপ্যাক্ট নয়। প্রান্তবিহীন ত্রি-মাত্রিক কমপ্যাক্ট জ্যামিতিক চিত্রগুলির মধ্যে, সবচেয়ে সহজ হল ত্রিমাত্রিক গোলক, কিন্তু এই ধরনের পরিসংখ্যানগুলি আমাদের স্বাভাবিক "স্কুল" স্থানের সাথে খাপ খায় না। সম্ভবত অনুমান দ্বারা সংযুক্ত করা হয় যে সবচেয়ে গভীর ধারণা পয়েন্ট কেয়ার, হোমিওমর্ফির ধারণা। হোমোমরফি হল জ্যামিতিক সমতার সর্বোচ্চ স্তর . এখন আমরা ধীরে ধীরে এটির কাছে গিয়ে এই ধারণাটির একটি আনুমানিক ব্যাখ্যা দেওয়ার চেষ্টা করব।

ইতিমধ্যেই স্কুলের জ্যামিতিতে আমরা দুই ধরনের মিলের সম্মুখীন হই - পরিসংখ্যানের মিলন এবং তাদের মিল। মনে রাখবেন যে পরিসংখ্যানগুলিকে বলা হয় সঙ্গতিপূর্ণ যদি তারা একে অপরের সাথে মিলে যায় যখন সুপারইম্পোজ করা হয়। স্কুলে, সঙ্গতিপূর্ণ পরিসংখ্যানগুলিকে আলাদা করা হয় বলে মনে হয় না, এবং সেইজন্য সামঞ্জস্যকে সমতা বলা হয়। সঙ্গতিপূর্ণ পরিসংখ্যানগুলির সমস্ত বিবরণে একই মাত্রা রয়েছে। সাদৃশ্য, একই আকারের প্রয়োজন ছাড়াই, মানে এই মাপের একই অনুপাত; সুতরাং, সাদৃশ্য একসংগতির চেয়ে পরিসংখ্যানের আরও অপরিহার্য মিল প্রতিফলিত করে।সাধারণভাবে জ্যামিতি হল পদার্থবিদ্যার চেয়ে উচ্চতর স্তরের বিমূর্ততা, এবং পদার্থবিদ্যা হল পদার্থ বিজ্ঞানের চেয়ে উচ্চতর।

উদাহরণস্বরূপ বল বিয়ারিং, বিলিয়ার্ড বল, ক্রোকেট বল এবং বল নিন। পদার্থবিদ্যা যে উপাদান থেকে তারা তৈরি করা হয়েছে তার মতো বিশদ বিবরণে অনুসন্ধান করে না, তবে কেবলমাত্র আয়তন, ওজন, বৈদ্যুতিক পরিবাহিতা ইত্যাদির মতো বৈশিষ্ট্যগুলিতে আগ্রহী। গণিতের জন্য, এগুলি সবই বল, শুধুমাত্র আকারে ভিন্ন। যদি বলগুলির বিভিন্ন মাপ থাকে, তবে তারা মেট্রিক জ্যামিতির জন্য আলাদা, কিন্তু সাদৃশ্য জ্যামিতির জন্য তারা সব একই। জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে, সমস্ত বল এবং সমস্ত ঘনক একই, কিন্তু একটি বল এবং একটি ঘনক এক নয়।

এবার টরাসের দিকে তাকাই। শীর্ষ হল জ্যামিতিক চিত্র যার আকৃতি একটি স্টিয়ারিং হুইল এবং একটি লাইফবুয়ের মতো। এনসাইক্লোপিডিয়া টরাসকে বৃত্তের বাইরে অবস্থিত একটি অক্ষের চারপাশে একটি বৃত্ত ঘুরিয়ে প্রাপ্ত একটি চিত্র হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে। আমরা সদয় পাঠককে অনুধাবন করার জন্য অনুরোধ করছি যে বল এবং ঘনক্ষেত্র একে অপরের সাথে টরাসের সাথে তাদের প্রত্যেকের চেয়ে "অধিক একরকম"। নিম্নলিখিত চিন্তা পরীক্ষা আমাদের এই স্বজ্ঞাত সচেতনতাকে সুনির্দিষ্ট অর্থ দিয়ে পূরণ করতে দেয়। আসুন কল্পনা করি এমন একটি উপাদান দিয়ে তৈরি একটি বল এত নমনীয় যে এটি বাঁকানো, প্রসারিত, সংকুচিত এবং সাধারণভাবে, আপনার পছন্দ মতো বিকৃত হতে পারে - কেবল ছেঁড়া বা একসাথে আঠালো করা যাবে না। স্পষ্টতই, বলটি তখন ঘনক্ষেত্রে পরিণত হতে পারে, তবে টরাসে পরিণত হওয়া অসম্ভব। উশাকভের ব্যাখ্যামূলক অভিধান একটি প্রিটজেলকে প্যাস্ট্রি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছে (আক্ষরিক অর্থে: একটি বাটারী টুইস্টেড বানের মতো) অক্ষর B এর আকারে। এই বিস্ময়কর অভিধানের প্রতি যথাযথ সম্মানের সাথে, "8 নম্বর আকারে" শব্দগুলি আমার কাছে আরও বেশি মনে হয় সঠিক যাইহোক, হোমিওমরফির ধারণায় ব্যক্ত দৃষ্টিকোণ থেকে, 8 নম্বর আকারে বেক করা, B অক্ষরের আকারে বেক করা এবং ফিতার আকারে বেক করা একই আকৃতি রয়েছে। এমনকি যদি আমরা ধরে নিই যে বেকাররা ময়দা পেতে সক্ষম হয়েছিল যা উপরে উল্লিখিত নমনীয়তার বৈশিষ্ট্য রয়েছে, একটি বান অসম্ভব - অশ্রু এবং আঠা ছাড়া! - একটি ব্যাগেল বা প্রিটজেল নয়, যেমন শেষ দুটি বেকড পণ্য একে অপরের মধ্যে পরিণত হয়। তবে আপনি একটি গোলাকার বানকে ঘনক্ষেত্র বা পিরামিডে পরিণত করতে পারেন। দয়ালু পাঠক নিঃসন্দেহে বেকিংয়ের একটি সম্ভাব্য ফর্ম খুঁজে পেতে সক্ষম হবেন যাতে একটি বান, প্রেটজেল বা ব্যাগেলও পরিণত করা যায় না।

এই ধারণার নামকরণ ছাড়া, আমরা ইতিমধ্যে হোমোমরফির সাথে পরিচিত হয়েছি। দুটি পরিসংখ্যানকে হোমোমরফিক বলা হয় যদি একটিকে ক্রমাগত (অর্থাৎ, ভাঙা বা আঠা ছাড়া) বিকৃতির মাধ্যমে অন্যটিতে রূপান্তরিত করা যায়; এই ধরনের বিকৃতিগুলিকে হোমোমরফিজম বলা হয়।আমরা এইমাত্র খুঁজে পেয়েছি যে বলটি কিউব এবং পিরামিডের জন্য হোমোমরফিক, কিন্তু টরাস বা প্রিটজেলের জন্য হোমোমরফিক নয় এবং শেষ দুটি দেহ একে অপরের জন্য হোমোমরফিক নয়। আমরা পাঠককে বুঝতে চাই যে আমরা যান্ত্রিক রূপান্তরের পরিপ্রেক্ষিতে প্রদত্ত হোমিওমর্ফি ধারণার শুধুমাত্র একটি আনুমানিক বর্ণনা দিয়েছি।

আসুন আমরা হোমোমর্ফির ধারণার দার্শনিক দিকটি স্পর্শ করি। আমাদের কল্পনা করা যাক একটি চিন্তা কিছু জ্যামিতিক চিত্রের ভিতরে বসবাস করছে এবং নাএই চিত্রটিকে বাইরে থেকে দেখার সুযোগ রয়েছে, "বাইরে থেকে।" তার জন্য, এটি যে চিত্রে বাস করে তা মহাবিশ্ব গঠন করে। আসুন আমরা আরও কল্পনা করি যে যখন আবদ্ধ চিত্রটি ক্রমাগত বিকৃতির শিকার হয়, তখন সত্তাটি তার সাথে বিকৃত হয়। যদি প্রশ্নে থাকা চিত্রটি একটি বল হয়, তাহলে প্রাণীটি কোনোভাবেই পার্থক্য করতে পারে না যে এটি একটি বল, একটি ঘনক্ষেত্র বা পিরামিড। যাইহোক, তার পক্ষে নিশ্চিত হওয়া সম্ভব যে তার মহাবিশ্ব টরাস বা প্রিটজেলের মতো আকৃতির নয়। সাধারণভাবে, একটি প্রাণী কেবলমাত্র হোমোমরফি পর্যন্ত তার চারপাশের স্থানের আকৃতি স্থাপন করতে পারে, অর্থাৎ, যতক্ষণ পর্যন্ত এই রূপগুলি হোমোমরফিক হয় ততক্ষণ পর্যন্ত এটি একটি ফর্ম থেকে অন্য রূপকে আলাদা করতে সক্ষম হয় না।

গণিতের জন্য, একটি অনুমানের অর্থ পয়েন্ট কেয়ার, যা এখন একটি হাইপোথিসিস থেকে Poincare-Perelman উপপাদ্যে পরিণত হয়েছে, এটি বিশাল (এটি কোন কিছুর জন্য নয় যে সমস্যাটি সমাধানের জন্য এক মিলিয়ন ডলার প্রস্তাব করা হয়েছিল), ঠিক যেমনটি প্রমাণ করার জন্য পেরেলম্যান যে পদ্ধতিটি খুঁজে পেয়েছেন তার তাত্পর্য বিশাল, কিন্তু এখানে এই তাৎপর্য ব্যাখ্যা করা আমাদের ক্ষমতার বাইরে। বিষয়টির মহাজাগতিক দিক হিসাবে, সম্ভবত এই দিকটির তাত্পর্য সাংবাদিকদের দ্বারা কিছুটা অতিরঞ্জিত ছিল।

যাইহোক, কিছু প্রামাণিক বিশেষজ্ঞ বলেছেন যে পেরেলম্যানের বৈজ্ঞানিক অগ্রগতি ব্ল্যাক হোল গঠনের প্রক্রিয়াগুলি অধ্যয়নে সহায়তা করতে পারে। ব্ল্যাক হোল, যাইহোক, বিশ্বের জানার বিষয়ে থিসিসের সরাসরি খণ্ডন হিসাবে কাজ করে - সেই সবচেয়ে উন্নত, একমাত্র সত্য এবং সর্বশক্তিমান শিক্ষার কেন্দ্রীয় বিধানগুলির মধ্যে একটি, যা 70 বছর ধরে আমাদের দরিদ্র মাথায় জোরপূর্বক ড্রাম করা হয়েছিল। সর্বোপরি, পদার্থবিদ্যা যেমন শেখায়, নীতিগতভাবে এই গর্তগুলি থেকে কোনও সংকেত আমাদের কাছে পৌঁছাতে পারে না, তাই সেখানে কী ঘটছে তা খুঁজে বের করা অসম্ভব। আমাদের মহাবিশ্ব সামগ্রিকভাবে কীভাবে কাজ করে সে সম্পর্কে আমরা সাধারণত খুব কমই জানি এবং এটা সন্দেহজনক যে আমরা কখনও খুঁজে পাব। এবং এর গঠন সম্পর্কে প্রশ্নটির অর্থ সম্পূর্ণরূপে পরিষ্কার নয়। এটা সম্ভব যে এই প্রশ্নটি সেইগুলির মধ্যে একটি যে, শিক্ষা অনুসারে বুদ্ধ, নাএকটি উত্তর আছে। পদার্থবিদ্যা শুধুমাত্র ডিভাইসের মডেল অফার করে যেগুলো কমবেশি পরিচিত তথ্যের সাথে একমত। এই ক্ষেত্রে, পদার্থবিদ্যা, একটি নিয়ম হিসাবে, গণিত দ্বারা এটি প্রদান করা ইতিমধ্যে উন্নত প্রস্তুতি ব্যবহার করে।

গণিত অবশ্যই মহাবিশ্বের কোনো জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য প্রতিষ্ঠা করার ভান করে না। কিন্তু এটি আমাদের সেই বৈশিষ্ট্যগুলিকে বোঝার অনুমতি দেয় যা অন্যান্য বিজ্ঞান দ্বারা আবিষ্কৃত হয়েছে। তাছাড়া. এটি আমাদের কিছু বৈশিষ্ট্যকে আরও বোধগম্য করতে দেয় যা কল্পনা করা কঠিন; এটি কীভাবে হতে পারে তা ব্যাখ্যা করে। এই ধরনের সম্ভাব্য (আমরা জোর দিই: কেবল সম্ভব!) বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে রয়েছে মহাবিশ্বের সসীমতা এবং এর অ-প্রাচ্যত্ব।

দীর্ঘকাল ধরে, মহাবিশ্বের জ্যামিতিক কাঠামোর একমাত্র ধারণাযোগ্য মডেলটি ছিল ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান, অর্থাৎ সেই স্থান যা হাই স্কুল থেকে সকলের কাছে পরিচিত। এই স্থান অসীম; মনে হচ্ছিল অন্য কোনো ধারণা সম্ভব ছিল না; মহাবিশ্বের সীমাবদ্ধতা সম্পর্কে ভাবতে পাগল মনে হয়েছিল। যাইহোক, এখন মহাবিশ্বের অসীমতার ধারণা তার অসীমতার ধারণার চেয়ে কম বৈধ নয়। বিশেষ করে, ত্রিমাত্রিক গোলকটি সসীম। পদার্থবিদদের সাথে যোগাযোগ করা থেকে, আমি এমন ধারণা রেখেছিলাম যে কেউ কেউ উত্তর দিয়েছিলেন "সম্ভবত। মহাবিশ্ব অসীম," যখন অন্যরা বলেছিল, "সম্ভবত, মহাবিশ্ব সসীম।"

Uspensky V.A. , গণিতের ক্ষমা, বা আধ্যাত্মিক সংস্কৃতির অংশ হিসাবে গণিত সম্পর্কে, ম্যাগাজিন "নিউ ওয়ার্ল্ড", 2007, এন 12, পৃ. 141-145।

প্রায় প্রত্যেক ব্যক্তি, এমনকি যাদের গণিতের সাথে কোন সম্পর্ক নেই, তারা "পয়নকেরে অনুমান" শব্দটি শুনেছেন, তবে সবাই এর সারমর্ম কী তা ব্যাখ্যা করতে পারে না। অনেকের কাছে উচ্চতর গণিতকে খুব জটিল এবং বোঝার অযোগ্য বলে মনে হয়। অতএব, আসুন সহজ কথায় Poincare hypothesis এর অর্থ কী তা বোঝার চেষ্টা করি।

বিষয়বস্তু:

Poincare এর অনুমান কি?

অনুমানের মূল সূত্রটি এইরকম শোনাচ্ছে: " সীমানা ছাড়াই ত্রিমাত্রিক বহুগুণে সংযুক্ত প্রতিটি কমপ্যাক্ট একটি ত্রিমাত্রিক গোলকের সাথে হোমোমরফিক।».

একটি বল একটি জ্যামিতিক ত্রিমাত্রিক দেহ, এর পৃষ্ঠকে একটি গোলক বলা হয়, এটি দ্বি-মাত্রিক এবং ত্রিমাত্রিক স্থানের বিন্দু নিয়ে গঠিত যা এই গোলকের অন্তর্গত নয় এমন একটি বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে থাকে - বলের কেন্দ্র . দ্বি-মাত্রিক গোলক ছাড়াও, চার-মাত্রিক স্থানের অনেকগুলি বিন্দু নিয়ে গঠিত ত্রিমাত্রিক গোলকও রয়েছে, যা গোলকের অন্তর্গত নয় এমন একটি বিন্দু থেকেও সমান দূরত্ব রয়েছে - এর কেন্দ্র। আমরা যদি আমাদের নিজের চোখ দিয়ে দ্বিমাত্রিক গোলক দেখতে পারি, তাহলে ত্রিমাত্রিকগুলি আমাদের চাক্ষুষ উপলব্ধির বিষয় নয়।

যেহেতু আমাদের মহাবিশ্ব দেখার সুযোগ নেই, তাই আমরা ধরে নিতে পারি যে এটি ত্রিমাত্রিক গোলক যেখানে সমস্ত মানবতা বাস করে। এটি হল পয়ঙ্কার অনুমানের সারমর্ম। যথা, মহাবিশ্বের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে: ত্রিমাত্রিকতা, সীমাহীনতা, সহজভাবে সংযুক্ততা, কম্প্যাক্টনেস। হাইপোথিসিসে "হোমিওমরফি" ধারণার অর্থ হল মহাবিশ্বের ক্ষেত্রে সর্বোচ্চ মাত্রার সাদৃশ্য, সাদৃশ্য - স্বতন্ত্রতা।

Poincare কে?

জুলস হেনরি পয়নকেরে- সর্বশ্রেষ্ঠ গণিতবিদ যিনি 1854 সালে ফ্রান্সে জন্মগ্রহণ করেছিলেন। তার আগ্রহ শুধুমাত্র গাণিতিক বিজ্ঞানের মধ্যে সীমাবদ্ধ ছিল না, তিনি পদার্থবিদ্যা, বলবিদ্যা, জ্যোতির্বিদ্যা এবং দর্শন অধ্যয়ন করেছিলেন। তিনি সেন্ট পিটার্সবার্গ একাডেমি অফ সায়েন্সেস সহ বিশ্বের 30 টিরও বেশি বৈজ্ঞানিক একাডেমির সদস্য ছিলেন। সর্বকালের এবং জনগণের ইতিহাসবিদরা ডেভিড হিলবার্ট এবং হেনরি পয়ঙ্কারকে বিশ্বের সর্বশ্রেষ্ঠ গণিতবিদদের মধ্যে স্থান দেন। 1904 সালে, বিজ্ঞানী একটি বিখ্যাত গবেষণাপত্র প্রকাশ করেছিলেন যাতে একটি অনুমান ছিল যা আজ "পয়নকেয়ার অনুমান" নামে পরিচিত। এটি ত্রিমাত্রিক স্থান যা গণিতবিদদের জন্য অধ্যয়ন করা খুব কঠিন ছিল; অন্যান্য ক্ষেত্রে প্রমাণ খুঁজে পাওয়া কঠিন ছিল না। প্রায় এক শতাব্দীর মধ্যে, এই উপপাদ্যটির সত্যতা প্রমাণিত হয়েছিল।

21 শতকের শুরুতে, এই বৈজ্ঞানিক সমস্যা সমাধানের জন্য কেমব্রিজে এক মিলিয়ন মার্কিন ডলারের একটি পুরস্কার প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল, যা সহস্রাব্দের সমস্যার তালিকায় অন্তর্ভুক্ত ছিল। শুধুমাত্র সেন্ট পিটার্সবার্গের একজন রাশিয়ান গণিতবিদ, গ্রিগরি পেরেলম্যান, ত্রিমাত্রিক গোলকের জন্য এটি করতে সক্ষম হন। 2006 সালে, এই কৃতিত্বের জন্য তাকে ফিল্ডস মেডেল দেওয়া হয়েছিল, কিন্তু তিনি এটি গ্রহণ করতে অস্বীকার করেছিলেন।

পয়নকারের বৈজ্ঞানিক কর্মকাণ্ডের গুণাবলীর জন্যনিম্নলিখিত অর্জনগুলি দায়ী করা যেতে পারে:

• টপোলজির ভিত্তি (বিভিন্ন ঘটনা এবং প্রক্রিয়ার তাত্ত্বিক ভিত্তির বিকাশ);
• ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি গুণগত তত্ত্ব তৈরি করা;
• নিরাকার ফাংশন তত্ত্বের বিকাশ, যা আপেক্ষিকতার বিশেষ তত্ত্বের ভিত্তি হয়ে উঠেছে;
• রিটার্ন থিওরেম সামনে রেখে;
• স্বর্গীয় মেকানিক্সের সর্বশেষ, সবচেয়ে কার্যকর পদ্ধতির বিকাশ।

অনুমানের প্রমাণ

একটি সহজভাবে সংযুক্ত ত্রিমাত্রিক স্থানকে জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য বরাদ্দ করা হয় এবং মেট্রিক উপাদানগুলিতে বিভক্ত করা হয় যেগুলির মধ্যে দূরত্ব থাকে কোণ গঠনের জন্য। সরলীকরণের জন্য, আমরা নমুনা হিসাবে একটি এক-মাত্রিক বহুগুণ নিই, যেখানে ইউক্লিডীয় সমতলে, 1 এর সমান স্পর্শক ভেক্টর প্রতিটি বিন্দুতে একটি মসৃণ বন্ধ বক্ররেখায় টানা হয়। বক্ররেখা অতিক্রম করার সময়, ভেক্টর একটি নির্দিষ্ট কৌণিক বেগের সাথে ঘোরে। বক্রতা সমান। রেখা যত বাঁকে, বক্রতা তত বেশি। বক্রতার একটি ধনাত্মক ঢাল থাকে যদি বেগ ভেক্টরটি লাইনটি বিভক্ত সমতলের ভিতরের দিকে ঘোরানো হয় এবং যদি এটি বাইরের দিকে ঘোরানো হয় তবে একটি ঋণাত্মক ঢাল থাকে। ইনফ্লেকশনের জায়গায়, বক্রতা 0 এর সমান। এখন, বক্রতার প্রতিটি বিন্দু কৌণিক বেগ ভেক্টরের সাথে একটি ভেক্টর লম্ব এবং বক্রতার মানের সমান দৈর্ঘ্য সহ বরাদ্দ করা হয়েছে। বক্রতা ধনাত্মক হলে এটি অভ্যন্তরীণ দিকে পরিণত হয় এবং যখন এটি ঋণাত্মক হয় তখন বাইরের দিকে। সংশ্লিষ্ট ভেক্টর সমতলের প্রতিটি বিন্দুর গতিপথ এবং গতি নির্ধারণ করে। আপনি যদি কোথাও একটি বদ্ধ বক্ররেখা আঁকেন তবে এই ধরনের বিবর্তনের সাথে এটি একটি বৃত্তে পরিণত হবে। এটি ত্রিমাত্রিক স্থানের জন্য সত্য, যা প্রমাণ করা দরকার ছিল।

উদাহরণ:ভাঙ্গা ছাড়া বিকৃত হলে, একটি বেলুন বিভিন্ন আকারে তৈরি করা যেতে পারে। তবে আপনি ব্যাগেল তৈরি করতে পারবেন না; এটি করার জন্য আপনাকে কেবল এটি কাটাতে হবে। এবং তদ্বিপরীত, একটি ব্যাগেল থাকার ফলে আপনি একটি শক্ত বল তৈরি করতে পারবেন না। যদিও বিকৃতির সময় বিচ্ছিন্নতা ছাড়াই অন্য কোনও পৃষ্ঠ থেকে একটি গোলক পাওয়া সম্ভব। এটি নির্দেশ করে যে এই পৃষ্ঠটি একটি বলের জন্য হোমোমরফিক। যে কোনও বল এক গিঁট দিয়ে একটি থ্রেড দিয়ে বেঁধে রাখা যেতে পারে, তবে ডোনাট দিয়ে এটি করা অসম্ভব।

একটি বল হল সবচেয়ে সরল ত্রিমাত্রিক সমতল যা বিকৃত এবং একটি বিন্দুতে ভাঁজ করা যায় এবং এর বিপরীতে।

গুরুত্বপূর্ণ ! Poincaré অনুমান বলে যে একটি বদ্ধ n-মাত্রিক বহুগুণ একটি n-মাত্রিক গোলকের সমতুল্য যদি এটি এর হোমোমরফিক হয়। এটি বহুমাত্রিক সমতল তত্ত্বের বিকাশের সূচনা বিন্দু হয়ে ওঠে।