چگونه تفکیک یک معادله درجه دوم را پیدا کنیم. در مورد چه معادلاتی صحبت خواهیم کرد؟ روش های حل معادلات درجه دوم

معادله درجه دوم - آسان برای حل! *از این پس "KU" نامیده می شود.دوستان، به نظر می رسد که هیچ چیز ساده تر از حل چنین معادله ای در ریاضیات وجود ندارد. اما چیزی به من گفت که خیلی ها با او مشکل دارند. تصمیم گرفتم ببینم که Yandex در هر ماه چه تعداد برداشت بر اساس تقاضا ارائه می دهد. این چیزی است که اتفاق افتاده است، نگاه کنید:

چه مفهومی داره؟ این به این معنی است که حدود 70000 نفر در ماه جستجو می کنند این اطلاعات، این تابستان چه ربطی به آن دارد و چه اتفاقی خواهد افتاد سال تحصیلی- دو برابر بیشتر درخواست وجود خواهد داشت. این تعجب آور نیست، زیرا آن دسته از پسران و دخترانی که مدت ها پیش از مدرسه فارغ التحصیل شده اند و برای آزمون یکپارچه دولتی آماده می شوند به دنبال این اطلاعات هستند و دانش آموزان مدرسه نیز در تلاش هستند تا حافظه خود را تازه کنند.

علیرغم اینکه سایت های زیادی وجود دارند که به شما می گویند چگونه این معادله را حل کنید، من تصمیم گرفتم که مطالب را نیز منتشر کنم. اولاً، من می خواهم بازدیدکنندگان بر اساس این درخواست به سایت من بیایند. ثانیاً، در مقالات دیگر، وقتی موضوع "KU" مطرح شد، لینک این مقاله را ارائه خواهم کرد. ثالثاً، من کمی بیشتر از آنچه که معمولاً در سایت های دیگر بیان می شود، در مورد راه حل او به شما خواهم گفت. بیا شروع کنیم!محتوای مقاله:

معادله درجه دوم معادله ای به شکل زیر است:

جایی که ضرایب a،بو c اعداد دلخواه با a≠0 هستند.

در دوره مدرسه، مطالب به شکل زیر ارائه می شود - معادلات به سه کلاس تقسیم می شوند:

1. دو ریشه دارند.

2. *فقط یک ریشه داشته باشید.

3. ریشه ندارند. در اینجا به ویژه شایان ذکر است که آنها ریشه واقعی ندارند

ریشه ها چگونه محاسبه می شوند؟ فقط!

تفکیک کننده را محاسبه می کنیم. در زیر این کلمه "وحشتناک" یک فرمول بسیار ساده نهفته است:

فرمول های ریشه به شرح زیر است:

*باید این فرمول ها را از روی قلب بدانید.

بلافاصله می توانید یادداشت کنید و حل کنید:

مثال:

1. اگر D > 0 باشد، معادله دو ریشه دارد.

2. اگر D = 0 باشد، معادله یک ریشه دارد.

3. اگر D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

بیایید به معادله نگاه کنیم:

توسط در این فرصت، وقتی ممیز صفر باشد، درس مدرسه می گوید نتیجه یک ریشه است، اینجا برابر با نه است. همه چیز درست است، همینطور است، اما...

این تصور تا حدودی نادرست است. در واقع دو ریشه وجود دارد. بله، بله، تعجب نکنید، شما دو ریشه مساوی دریافت می کنید، و برای اینکه از نظر ریاضی دقیق باشیم، در پاسخ باید دو ریشه بنویسید:

x 1 = 3 x 2 = 3

اما این چنین است - یک انحراف کوچک. در مدرسه می توانید آن را یادداشت کنید و بگویید که یک ریشه است.

حالا مثال بعدی:

همانطور که می دانیم، ریشه عدد منفیاستخراج نمی شود، بنابراین راه حل ها در در این موردخیر

این کل فرآیند تصمیم گیری است.

تابع درجه دوم.

این نشان می دهد که راه حل از نظر هندسی چگونه به نظر می رسد. درک این امر بسیار مهم است (در آینده در یکی از مقالات راه حل نابرابری درجه دوم را با جزئیات تجزیه و تحلیل خواهیم کرد).

این تابعی از فرم است:

که در آن x و y متغیر هستند

a, b, c – اعداد داده شده با ≠ 0

نمودار سهمی است:

یعنی معلوم می شود که با حل یک معادله درجه دوم با “y” برابر با صفر، نقاط تقاطع سهمی را با محور x می یابیم. دو مورد از این نقاط می تواند وجود داشته باشد (ممیز مثبت است)، یکی (ممیز صفر است) و هیچ یک (ممیز منفی است). جزئیات در مورد تابع درجه دوم می توانید مشاهده کنیدمقاله اینا فلدمن

بیایید به مثال ها نگاه کنیم:

مثال 1: حل کنید 2 برابر 2 +8 ایکس–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

پاسخ: x 1 = 8 x 2 = -12

*این امکان وجود داشت که بلافاصله رفت و سمت راستمعادله را بر 2 تقسیم کنید، یعنی آن را ساده کنید. محاسبات راحت تر خواهد بود.

مثال 2: تصميم گرفتن x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

دریافتیم که x 1 = 11 و x 2 = 11

نوشتن x=11 در جواب جایز است.

پاسخ: x = 11

مثال 3: تصميم گرفتن x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

ممیز منفی است، هیچ راه حلی در اعداد واقعی وجود ندارد.

پاسخ: راه حلی نیست

ممیز منفی است. راه حلی وجود دارد!

در اینجا در مورد حل معادله در موردی که ممیز منفی به دست می آید صحبت خواهیم کرد. آیا شما چیزی در مورد اعداد مختلط? من در اینجا به جزئیات نمی پردازم که چرا و کجا پدید آمدند و نقش و ضرورت خاص آنها در ریاضیات چیست؛ این موضوع برای یک مقاله بزرگ جداگانه است.

مفهوم عدد مختلط

کمی تئوری

عدد مختلط z عددی از فرم است

z = a + bi

جایی که a و b اعداد واقعی هستند، i به اصطلاح واحد خیالی است.

a+bi - این یک عدد واحد است، نه یک عدد.

واحد خیالی برابر است با ریشه منهای یک:

حالا معادله را در نظر بگیرید:

دو ریشه مزدوج می گیریم.

معادله درجه دوم ناقص.

بیایید موارد خاصی را در نظر بگیریم، این زمانی است که ضریب "b" یا "c" برابر با صفر (یا هر دو برابر با صفر) باشد. آنها را می توان به راحتی و بدون هیچ تبعیضی حل کرد.

مورد 1. ضریب b = 0.

معادله تبدیل می شود:

تبدیل کنیم:

مثال:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

مورد 2. ضریب c = 0.

معادله تبدیل می شود:

بیایید تبدیل و فاکتورسازی کنیم:

*زمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است.

مثال:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 یا x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

مورد 3. ضرایب b = 0 و c = 0.

در اینجا واضح است که جواب معادله همیشه x = 0 خواهد بود.

خواص مفید و الگوهای ضرایب.

خواصی وجود دارد که به شما امکان می دهد معادلات را با ضرایب بزرگ حل کنید.

آایکس 2 + bx+ ج=0 برابری برقرار است

آ + ب+ c = 0،که

- اگر برای ضرایب معادله آایکس 2 + bx+ ج=0 برابری برقرار است

آ+ ج =ب, که

این ویژگی ها به حل یک نوع معادله کمک می کند.

مثال 1: 5001 ایکس 2 –4995 ایکس – 6=0

مجموع شانس ها 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0، به این معنی

مثال 2: 2501 ایکس 2 +2507 ایکس+6=0

برابری برقرار است آ+ ج =ب, به معنای

نظم ضرایب.

1. اگر در معادله ax 2 + bx + c = 0 ضریب "b" برابر با (a 2 +1) و ضریب "c" از نظر عددی برابر با ضریب "a" باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

مثال. معادله 6 x 2 + 37 x + 6 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = -6 x 2 = -1/6.

2. اگر در معادله ax 2 – bx + c = 0 ضریب “b” برابر با (a 2 +1) و ضریب “c” از نظر عددی برابر با ضریب “a” باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

مثال. معادله 15x2 –226x+15 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. اگر در معادله ax 2 + bx – c = 0 ضریب "b" برابر است با (a 2 - 1) و ضریب "c" عددی برابر با ضریب a است, سپس ریشه های آن برابر است

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

مثال. معادله 17x2 +288x – 17 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. اگر در معادله ax 2 – bx – c = 0 ضریب “b” برابر با (a 2 – 1) و ضریب c از نظر عددی برابر با ضریب “a” باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

مثال. معادله 10x2 – 99x –10 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

قضیه ویتا

قضیه ویتا به افتخار ریاضیدان معروف فرانسوی فرانسوا ویتا نامگذاری شده است. با استفاده از قضیه ویتا می توان مجموع و حاصلضرب ریشه های یک KU دلخواه را بر حسب ضرایب آن بیان کرد.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

در کل عدد 14 فقط 5 و 9 را می دهد. اینها ریشه هستند. با مهارت خاصی، با استفاده از قضیه ارائه شده، می توانید بسیاری از معادلات درجه دوم را بلافاصله به صورت شفاهی حل کنید.

علاوه بر این، قضیه ویتا. راحت است زیرا پس از حل معادله درجه دومریشه های حاصل را می توان به روش معمول (از طریق یک تشخیص) بررسی کرد. توصیه می کنم همیشه این کار را انجام دهید.

روش حمل و نقل

با این روش، ضریب الف در عبارت آزاد ضرب می شود، گویی به آن پرتاب می شود، به همین دلیل به آن می گویند. روش "انتقال".این روش زمانی استفاده می‌شود که ریشه‌های معادله را بتوان به راحتی با استفاده از قضیه ویتا پیدا کرد و مهمتر از همه، زمانی که ممیز یک مربع دقیق باشد.

اگر آ± b+c≠ 0، سپس از تکنیک انتقال استفاده می شود، به عنوان مثال:

2ایکس 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => ایکس 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

با استفاده از قضیه ویتا در رابطه (2)، به راحتی می توان تعیین کرد که x 1 = 10 x 2 = 1

ریشه های حاصل از معادله باید بر 2 تقسیم شود (از آنجایی که این دو از x 2 "پرتاب" شده اند)، به دست می آوریم

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

منطق چیست؟ ببین چه خبره

ممیز معادلات (1) و (2) برابر است:

اگر به ریشه معادلات نگاه کنید، فقط مخرج های متفاوتی بدست می آورید و نتیجه دقیقاً به ضریب x 2 بستگی دارد:

دومی (اصلاح شده) دارای ریشه هایی است که 2 برابر بزرگتر هستند.

بنابراین، نتیجه را بر 2 تقسیم می کنیم.

*اگر این سه را دوباره بچرخانیم، حاصل را بر 3 و غیره تقسیم می کنیم.

پاسخ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

مربع آزمون ur-ie و یکپارچه دولتی.

من به طور خلاصه در مورد اهمیت آن به شما می گویم - شما باید بتوانید سریع و بدون فکر تصمیم بگیرید، باید فرمول های ریشه ها و تمایزات را از روی قلب بدانید. بسیاری از مسائل موجود در وظایف آزمون یکپارچه ایالتی به حل یک معادله درجه دوم (شامل موارد هندسی) خلاصه می شود.

چیزی که قابل توجه است!

1. شکل نوشتن یک معادله می تواند "ضمنی" باشد. به عنوان مثال، ورودی زیر ممکن است:

15+ 9x 2 - 45x = 0 یا 15x+42+9x 2 - 45x=0 یا 15 -5x+10x 2 = 0.

باید او را به او بیاوری نمای استاندارد(برای اینکه هنگام تصمیم گیری گیج نشوید).

2. به یاد داشته باشید که x یک کمیت مجهول است و می توان آن را با هر حرف دیگری نشان داد - t، q، p، h و غیره.

در این مقاله به حل معادلات درجه دوم ناقص خواهیم پرداخت.

اما ابتدا بیایید تکرار کنیم که چه معادلاتی درجه دوم نامیده می شوند. معادله ای به شکل ax 2 + bx + c = 0 که x یک متغیر است و ضرایب a، b و c برخی از اعداد و a ≠ 0 نامیده می شود. مربع. همانطور که می بینیم ضریب x 2 برابر با صفر نیست و بنابراین ضرایب x یا جمله آزاد می تواند برابر با صفر باشد که در این صورت یک معادله درجه دوم ناقص بدست می آید.

سه نوع معادله درجه دوم ناقص وجود دارد:

1) اگر b = 0، c ≠ 0، سپس ax 2 + c = 0.

2) اگر b ≠ 0، c = 0، سپس ax 2 + bx = 0.

3) اگر b = 0، c = 0، سپس ax 2 = 0.

• بیایید بفهمیم که چگونه حل کنیم معادلات شکل ax 2 + c = 0.

برای حل معادله، عبارت آزاد c را به سمت راست معادله منتقل می کنیم، به دست می آوریم

تبر 2 = ‒s. از آنجایی که a ≠ 0 است، هر دو طرف معادله را بر a تقسیم می کنیم، سپس x 2 = ‒c/a.

اگر ‒с/а > 0 باشد، معادله دو ریشه دارد

x = ±√(–c/a) .

اگر ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

بیایید سعی کنیم با مثال هایی بفهمیم که چگونه چنین معادلاتی را حل کنیم.

مثال 1. معادله 2 x 2 ‒ 32 = 0 را حل کنید.

پاسخ: x 1 = - 4، x 2 = 4.

مثال 2. معادله 2 x 2 + 8 = 0 را حل کنید.

پاسخ: معادله هیچ راه حلی ندارد.

• بیایید دریابیم که چگونه آن را حل کنیم معادلات شکل ax 2 + bx = 0.

برای حل معادله ax 2 + bx = 0، آن را فاکتورگیری می کنیم، یعنی x را از پرانتز خارج می کنیم، x(ax + b) = 0 به دست می آید. اگر حداقل یکی از عوامل مساوی باشد حاصلضرب برابر با صفر است. به صفر سپس یا x = 0، یا ax + b = 0. با حل معادله ax + b = 0، ما ax = - b، که از آن x = - b/a. معادله ای به شکل ax 2 + bx = 0 همیشه دو ریشه x 1 = 0 و x 2 = ‒ b/a دارد. حل معادلات از این نوع را در نمودار ببینید.

بیایید دانش خود را با یک مثال خاص تثبیت کنیم.

مثال 3. معادله 3x 2 ‒ 12x = 0 را حل کنید.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 یا 3x – 12 = 0

پاسخ: x 1 = 0، x 2 = 4.

• معادلات نوع سوم تبر 2 = 0خیلی ساده حل می شوند

اگر ax 2 = 0، آنگاه x 2 = 0. معادله دارای دو ریشه مساوی x 1 = 0، x 2 = 0 است.

برای وضوح، بیایید به نمودار نگاه کنیم.

اجازه دهید هنگام حل مثال 4 مطمئن شویم که معادلات از این نوع را می توان خیلی ساده حل کرد.

مثال 4.معادله 7×2 = 0 را حل کنید.

پاسخ: x 1، 2 = 0.

همیشه بلافاصله مشخص نیست که چه نوع معادله درجه دوم ناقصی را باید حل کنیم. مثال زیر را در نظر بگیرید.

مثال 5.معادله را حل کنید

بیایید هر دو طرف معادله را در یک مخرج مشترک ضرب کنیم، یعنی در 30

بیایید آن را کاهش دهیم

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) = 90.

بیایید پرانتزها را باز کنیم

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 = 90.

بیایید مشابه بدهیم

بیایید 99 را از سمت چپ معادله به سمت راست حرکت دهیم و علامت را به عکس تغییر دهیم

پاسخ: بدون ریشه.

ما به چگونگی حل معادلات درجه دوم ناقص نگاه کردیم. امیدوارم اکنون با چنین کارهایی مشکلی نداشته باشید. در تعیین نوع معادله درجه دوم ناقص دقت کنید، آنگاه موفق خواهید شد.

اگر سوالی در مورد این موضوع دارید، در درس های من ثبت نام کنید، ما با هم مشکلات پیش آمده را حل خواهیم کرد.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

به عنوان مثال، برای مثلث \(3x^2+2x-7\)، ممیز برابر با \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\ خواهد بود. و برای مثلث \(x^2-5x+11\) برابر با \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\ خواهد بود.

تمایز با \(D\) نشان داده می شود و اغلب در حل استفاده می شود. همچنین، با مقدار تفکیک کننده، می توانید بفهمید که نمودار تقریباً چه شکلی است (به زیر مراجعه کنید).

تمایز و ریشه های یک معادله درجه دوم

مقدار متمایز تعداد معادلات درجه دوم را نشان می دهد:
- اگر \(D\) مثبت باشد، معادله دو ریشه خواهد داشت.
- اگر \(D\) برابر با صفر باشد - فقط یک ریشه وجود دارد.
- اگر \(D\) منفی باشد، هیچ ریشه ای وجود ندارد.

این نیازی به آموزش ندارد، رسیدن به چنین نتیجه ای دشوار نیست، فقط با دانستن این موضوع که از ممیز (یعنی \(\sqrt(D)\) در فرمول محاسبه ریشه های درجه دوم گنجانده شده است. معادله: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) و \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( د))(2a)\) بیایید به جزئیات بیشتر هر مورد نگاه کنیم.

اگر ممیز مثبت باشد

در این صورت، ریشه آن مقداری عدد مثبت است، یعنی \(x_(1)\) و \(x_(2)\) معانی متفاوتی خواهند داشت، زیرا در فرمول اول \(\sqrt(D)\ ) اضافه می شود و در دومی کم می شود. و ما دو ریشه متفاوت داریم.

مثال : ریشه های معادله \(x^2+2x-3=0\) را پیدا کنید
راه حل :

پاسخ : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

اگر ممیز صفر باشد

اگر ممیز صفر باشد چند ریشه خواهد بود؟ بیایید استدلال کنیم.

فرمول های ریشه شبیه به این هستند: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) و \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . و اگر ممیز صفر باشد، ریشه آن نیز صفر است. سپس معلوم می شود:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

یعنی مقادیر ریشه های معادله یکسان خواهد بود، زیرا جمع یا تفریق صفر چیزی را تغییر نمی دهد.

مثال : ریشه های معادله \(x^2-4x+4=0\) را پیدا کنید
راه حل :

\(x^2-4x+4=0\)		ضرایب را می نویسیم:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		ما تشخیص دهنده را با استفاده از فرمول \(D=b^2-4ac\) محاسبه می کنیم.
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		پیدا کردن ریشه های معادله
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		ما دو ریشه یکسان داریم، بنابراین هیچ فایده ای ندارد که آنها را جداگانه بنویسیم - آنها را به عنوان یکی می نویسیم.

پاسخ : \(x=2\)

مسائل معادلات درجه دوم نیز در برنامه آموزشی مدرسهو در دانشگاه ها منظور آنها معادلات به شکل a*x^2 + b*x + c = 0 است که در آن ایکس-متغیر، a، b، c - ثابت. آ<>0 . وظیفه یافتن ریشه های معادله است.

معنی هندسی معادله درجه دوم

نمودار تابعی که با یک معادله درجه دوم نمایش داده می شود سهمی است. جواب ها (ریشه های) یک معادله درجه دوم، نقاط تقاطع سهمی با محور آبسیسا (x) هستند. نتیجه این است که سه حالت ممکن است:
1) سهمی نقطه تقاطع با محور آبسیسا ندارد. این بدان معنی است که در صفحه بالایی با شاخه های بالا یا پایین با شاخه های پایین قرار دارد. در چنین مواردی معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد (دو ریشه پیچیده دارد).

2) سهمی یک نقطه تقاطع با محور Ox دارد. چنین نقطه ای راس سهمی نامیده می شود و معادله درجه دوم در آن مقدار حداقل یا حداکثر خود را به دست می آورد. در این حالت، معادله درجه دوم یک ریشه واقعی (یا دو ریشه یکسان) دارد.

3) مورد آخر در عمل جالب تر است - دو نقطه تقاطع سهمی با محور آبسیسا وجود دارد. این بدان معنی است که دو ریشه واقعی معادله وجود دارد.

بر اساس تجزیه و تحلیل ضرایب توان متغیرها، می توان نتایج جالبی در مورد قرارگیری سهمی گرفت.

1) اگر ضریب a بزرگتر از صفر باشد، شاخه های سهمی به سمت بالا و اگر منفی باشد، انشعابات سهمی به سمت پایین هستند.

2) اگر ضریب b بزرگتر از صفر باشد، آنگاه راس سهمی در نیمه صفحه چپ و اگر مقدار منفی بگیرد در سمت راست قرار دارد.

استخراج فرمول حل معادله درجه دوم

بیایید ثابت را از معادله درجه دوم منتقل کنیم

برای علامت مساوی، عبارت را دریافت می کنیم

هر دو طرف را در 4a ضرب کنید

برای چپ شدن مربع کامل b^2 را به هر دو طرف اضافه کنید و تبدیل را انجام دهید

از اینجا پیدا می کنیم

فرمول تفکیک و ریشه های یک معادله درجه دوم

ممیز مقدار عبارت رادیکال است، اگر مثبت باشد، معادله دارای دو ریشه واقعی است که با فرمول محاسبه می شود. هنگامی که ممیز صفر باشد، معادله درجه دوم یک راه حل (دو ریشه متقابل) دارد که به راحتی می توان از فرمول فوق برای D = 0 به دست آورد. تمایز منفیهیچ معادله ریشه واقعی وجود ندارد. با این حال، راه حل های معادله درجه دوم در صفحه مختلط یافت می شوند و مقدار آنها با استفاده از فرمول محاسبه می شود.

قضیه ویتا

بیایید دو ریشه یک معادله درجه دوم را در نظر بگیریم و یک معادله درجه دوم را بر اساس آنها بسازیم، خود قضیه ویتا به راحتی از نماد نتیجه می گیرد: اگر یک معادله درجه دوم شکل داشته باشیم. سپس مجموع ریشه های آن برابر با ضریب p است که از آن گرفته شده است علامت مخالف، و حاصل ضرب ریشه های معادله برابر با عبارت آزاد q است. نمایش فرمولی بالا به این صورت خواهد بود که اگر در یک معادله کلاسیک ثابت a غیر صفر باشد، باید کل معادله را بر آن تقسیم کنید و سپس قضیه ویتا را اعمال کنید.

برنامه ریزی معادلات درجه دوم فاکتورگیری

بگذارید کار تنظیم شود: یک معادله درجه دوم را فاکتور کنید. برای این کار ابتدا معادله را حل می کنیم (ریشه ها را پیدا کنید). در مرحله بعد ریشه های پیدا شده را در فرمول بسط معادله درجه دوم جایگزین می کنیم که با این کار مشکل حل می شود.

مسائل معادله درجه دوم

وظیفه 1. ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید

x^2-26x+120=0.

راه حل: ضرایب را یادداشت کرده و در فرمول تفکیک جایگزین کنید

ریشه این مقدار 14 است، به راحتی می توان آن را با ماشین حساب پیدا کرد، یا با استفاده مکرر آن را به خاطر بسپارید، با این حال، برای راحتی، در پایان مقاله لیستی از مربع های اعدادی را به شما ارائه می دهم که اغلب می توان با آنها مواجه شد. چنین مشکلاتی
مقدار پیدا شده را جایگزین فرمول ریشه می کنیم

و می گیریم

وظیفه 2. معادله را حل کنید

2x 2 +x-3=0.

راه حل: یک معادله درجه دوم کامل داریم، ضرایب را بنویسیم و ممیز را پیدا کنیم.


توسط فرمول های شناخته شدهپیدا کردن ریشه های یک معادله درجه دوم

وظیفه 3. معادله را حل کنید

9x 2 -12x+4=0.

راه حل: یک معادله درجه دوم کامل داریم. تعیین ممیز

موردی داشتیم که ریشه ها بر هم منطبق هستند. با استفاده از فرمول مقادیر ریشه ها را بیابید

وظیفه 4. معادله را حل کنید

x^2+x-6=0.

راه‌حل: در مواردی که ضرایب کوچکی برای x وجود دارد، توصیه می‌شود که قضیه ویتا را اعمال کنید. با شرط آن دو معادله بدست می آوریم

از شرط دوم در می یابیم که حاصلضرب باید برابر با 6- باشد. یعنی یکی از ریشه ها منفی است. ما جفت راه حل ممکن زیر را داریم (-3;2)، (3;-2). با در نظر گرفتن شرط اول، جفت راه حل دوم را رد می کنیم.
ریشه های معادله برابر است

مسئله 5. اگر محیط مستطیل 18 سانتی متر و مساحت آن 77 سانتی متر مربع باشد طول اضلاع آن را بیابید.

حل: نصف محیط یک مستطیل برابر است با مجموع اضلاع مجاور آن. بیایید x را به عنوان ضلع بزرگتر نشان دهیم، سپس 18-x ضلع کوچکتر آن است. مساحت مستطیل برابر است با حاصل ضرب این طول ها:
x(18-x)=77;
یا
x 2 -18x+77=0.
بیایید ممیز معادله را پیدا کنیم

محاسبه ریشه های معادله

اگر x=11،که 18 = 7،عکس آن نیز صادق است (اگر x=7، 21=9 است).

مسئله 6. معادله درجه دوم را 10x 2 -11x+3=0 عامل کنید.

راه حل: بیایید ریشه های معادله را محاسبه کنیم، برای انجام این کار، تفکیک کننده را پیدا می کنیم

مقدار پیدا شده را جایگزین فرمول ریشه می کنیم و محاسبه می کنیم

ما فرمول تجزیه یک معادله درجه دوم را با ریشه اعمال می کنیم

با باز کردن پرانتزها یک هویت بدست می آوریم.

معادله درجه دوم با پارامتر

مثال 1. در چه مقادیر پارامتر آ ،آیا معادله (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 یک ریشه دارد؟

راه حل: با جایگزینی مستقیم مقدار a=3 می بینیم که هیچ راه حلی ندارد. در مرحله بعد، از این واقعیت استفاده خواهیم کرد که با یک ممیز صفر، معادله یک ریشه از تعدد 2 دارد. بیایید تفکیک کننده را بنویسیم

بیایید آن را ساده کنیم و آن را با صفر برابر کنیم

ما یک معادله درجه دوم با توجه به پارامتر a به دست آورده ایم که حل آن را می توان به راحتی با استفاده از قضیه ویتا به دست آورد. مجموع ریشه ها 7 و حاصلضرب آنها 12 است. با جستجوی ساده مشخص می کنیم که اعداد 3،4 ریشه های معادله خواهند بود. از آنجایی که ما قبلاً راه حل a=3 را در ابتدای محاسبات رد کردیم، تنها راه حل صحیح این خواهد بود - a=4.بنابراین برای a=4 معادله یک ریشه دارد.

مثال 2. در چه مقادیر پارامتر آ ،معادله a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0بیش از یک ریشه دارد؟

راه حل: ابتدا نقاط مفرد را در نظر می گیریم، آنها مقادیر a=0 و a=-3 خواهند بود. وقتی a=0، معادله به شکل 6x-9=0 ساده می شود. x=3/2 و یک ریشه وجود خواهد داشت. برای a= -3 هویت 0=0 را بدست می آوریم.
بیایید تفکیک کننده را محاسبه کنیم

و مقدار a را که در آن مثبت است بیابید

از شرط اول a>3 می گیریم. برای دوم، ما ممیز و ریشه های معادله را پیدا می کنیم


اجازه دهید فواصل زمانی که تابع مقادیر مثبت می گیرد را تعیین کنیم. با جایگزینی نقطه a=0 به دست می آید 3>0 . بنابراین، خارج از بازه (-3;1/3) تابع منفی است. نکته را فراموش نکنید a=0،که باید کنار گذاشته شود زیرا آن معادله اصلییک ریشه دارد
در نتیجه دو بازه به دست می آوریم که شرایط مسئله را برآورده می کند

کارهای مشابه زیادی در عمل وجود خواهد داشت، سعی کنید خودتان وظایف را مشخص کنید و فراموش نکنید که شرایطی را که متقابل هستند در نظر بگیرید. فرمول های حل معادلات درجه دوم را به خوبی مطالعه کنید؛ آنها اغلب در محاسبات در مسائل و علوم مختلف مورد نیاز هستند.

تمایز، مانند معادلات درجه دوم، شروع به مطالعه در یک درس جبر در کلاس هشتم می کند. شما می توانید یک معادله درجه دوم را از طریق ممیز و با استفاده از قضیه ویتا حل کنید. روش مطالعه معادلات درجه دوم، و همچنین فرمول های متمایز، مانند بسیاری از چیزها در آموزش واقعی، نسبتاً ناموفق به دانش آموزان آموزش داده می شود. بنابراین آنها عبور می کنند سال های مدرسه، آموزش در پایه های 9-11 جایگزین " آموزش عالی"و همه دوباره نگاه می کنند - "چگونه یک معادله درجه دوم را حل کنیم؟"، "چگونه ریشه های معادله را پیدا کنیم؟"، "چگونه تفکیک کننده را پیدا کنیم؟" و...

فرمول تشخیصی

ممیز D معادله درجه دوم a*x^2+bx+c=0 برابر است با D=b^2–4*a*c.
ریشه (راه حل) یک معادله درجه دوم به علامت ممیز (D) بستگی دارد:
D>0 - معادله دارای 2 ریشه واقعی متفاوت است.
D=0 - معادله 1 ریشه دارد (2 ریشه مطابق):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
فرمول محاسبه تفکیک کننده بسیار ساده است، بنابراین بسیاری از وب سایت ها یک ماشین حساب تشخیصی آنلاین ارائه می دهند. ما هنوز این نوع اسکریپت‌ها را کشف نکرده‌ایم، بنابراین اگر کسی می‌داند چگونه آن را پیاده‌سازی کند، لطفاً از طریق ایمیل برای ما بنویسد. این آدرس ایمیل در مقابل هرزنامه ها محافظت می شود. برای مشاهده آن باید جاوا اسکریپت را فعال کنید. .

فرمول کلی برای یافتن ریشه یک معادله درجه دوم:

ریشه های معادله را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم
اگر ضریب یک متغیر مجذور جفت است، توصیه می شود که نه متمایز، بلکه قسمت چهارم آن محاسبه شود.
در چنین مواردی، ریشه های معادله با استفاده از فرمول پیدا می شود

راه دوم برای یافتن ریشه قضیه ویتا است.

این قضیه نه تنها برای معادلات درجه دوم، بلکه برای چندجمله ای ها نیز فرموله شده است. شما می توانید این را در ویکی پدیا یا سایر منابع الکترونیکی بخوانید. با این حال، برای ساده کردن، اجازه دهید بخشی را که مربوط به معادلات درجه دوم بالا است، یعنی معادلات شکل (a=1) در نظر بگیریم.
ماهیت فرمول های ویتا این است که مجموع ریشه های معادله برابر با ضریب متغیر است که با علامت مخالف گرفته شده است. حاصل ضرب ریشه های معادله برابر با جمله آزاد است. قضیه ویتا را می توان در فرمول نوشت.
استخراج فرمول Vieta بسیار ساده است. بیایید معادله درجه دوم را از طریق عوامل ساده بنویسیم
همانطور که می بینید، همه چیز مبتکرانه در عین حال ساده است. زمانی که تفاوت مدول ریشه ها یا تفاوت مدول ریشه ها 1 و 2 باشد، استفاده از فرمول ویتا موثر است. به عنوان مثال، معادلات زیر، طبق قضیه ویتا، دارای ریشه هستند.




تا معادله 4، تحلیل باید به این صورت باشد. حاصل ضرب ریشه های معادله 6 است، بنابراین ریشه ها می توانند مقادیر (1، 6) و (2، 3) یا جفت هایی با علائم مخالف باشند. مجموع ریشه ها 7 است (ضریب متغیر با علامت مخالف). از اینجا نتیجه می گیریم که راه حل های معادله درجه دوم x=2 هستند. x=3.
انتخاب ریشه‌های معادله از میان مقسوم‌کننده‌های عبارت آزاد، با تنظیم علامت آنها به منظور تحقق فرمول‌های ویتا، آسان‌تر است. در ابتدا انجام این کار دشوار به نظر می رسد، اما با تمرین بر روی تعدادی از معادلات درجه دوم، این تکنیک موثرتر از محاسبه تفکیک کننده و یافتن ریشه های معادله درجه دوم به روش کلاسیک خواهد بود.
همانطور که می بینید، نظریه مکتب مطالعه تمایز و روش های یافتن راه حل معادله فاقد معنای عملی است - «چرا دانش‌آموزان به معادله درجه دوم نیاز دارند؟»، «معنای فیزیکی ممیز چیست؟»

بیایید سعی کنیم آن را بفهمیم ممیز چه چیزی را توصیف می کند؟

در درس جبر آنها توابع، طرح هایی برای مطالعه توابع و ساختن نمودار توابع را مطالعه می کنند. از بین همه توابع سهمی جایگاه مهمی را اشغال می کند که معادله آن را می توان به شکل نوشتاری
بنابراین معنای فیزیکی معادله درجه دوم، صفرهای سهمی است، یعنی نقاط تلاقی نمودار تابع با محور آبسیسا Ox.
از شما می خواهم که خواص سهمی ها را که در زیر توضیح داده شده است به خاطر بسپارید. زمان شرکت در آزمون ها، تست ها یا کنکور فرا خواهد رسید و از مطالب مرجع سپاسگزار خواهید بود. علامت متغیر مربع مربوط به بالا رفتن شاخه های سهمی در نمودار است (a>0).

یا سهمی با شاخه های پایین (الف<0) .

راس سهمی در وسط راه بین ریشه ها قرار دارد

معنای فیزیکی ممیز:

اگر ممیز بزرگتر از صفر باشد (D>0) سهمی دارای دو نقطه تقاطع با محور Ox است.
اگر ممیز صفر باشد (D=0) سهمی در راس محور x را لمس می کند.
و مورد آخر، زمانی که ممیز کمتر از صفر باشد (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

معادلات درجه دوم ناقص