تفکیک کننده با توان منفی. بیایید سعی کنیم بفهمیم که ممیز چه چیزی را توصیف می کند؟ بیایید عبارت را به عوامل سازنده آن بشکنیم

بیشتر به روشی ساده. برای این کار، z را خارج از براکت قرار دهید. شما دریافت خواهید کرد: z(аz + b) = 0. عوامل را می توان نوشت: z=0 و аz + b = 0، زیرا هر دو می توانند صفر شوند. در علامت az + b = 0، دومی را با علامت دیگری به سمت راست حرکت می دهیم. از اینجا z1 = 0 و z2 = -b/a می گیریم. اینها ریشه های اصلی هستند.

اگر وجود ندارد معادله کاملفرم az² + c = 0، اینچ در این موردبه سادگی با انتقال عبارت آزاد به پیدا می شوند سمت راستمعادلات علامت آن را نیز تغییر دهید. نتیجه az² = -с خواهد بود. بیان z² = -c/a. ریشه را بردارید و دو راه حل را بنویسید - یک جذر مثبت و یک جذر منفی.

توجه داشته باشید

اگر ضرایب کسری در معادله وجود دارد، کل معادله را در ضریب مناسب ضرب کنید تا از شر کسرها خلاص شوید.

دانش حل معادلات درجه دوم هم برای دانش‌آموزان و هم برای دانش‌آموزان ضروری است؛ گاهی اوقات این امر می‌تواند به بزرگسالان در زندگی روزمره نیز کمک کند. چندین روش راه حل خاص وجود دارد.

حل معادلات درجه دوم

معادله درجه دوم به شکل a*x^2+b*x+c=0. ضریب x متغیر مورد نظر است، a، b، c ضرایب عددی هستند. به یاد داشته باشید که علامت "+" می تواند به علامت "-" تغییر کند.

برای حل این معادله باید از قضیه ویتا استفاده کرد یا ممیز را یافت. متداول ترین روش یافتن تفکیک کننده است، زیرا برای برخی از مقادیر a, b, c نمی توان از قضیه ویتا استفاده کرد.

برای یافتن ممیز (D) باید فرمول D=b^2 - 4*a*c را بنویسید. مقدار D می تواند بزرگتر، کوچکتر یا مساوی صفر باشد. اگر D بزرگتر یا کوچکتر از صفر باشد، دو ریشه وجود خواهد داشت؛ اگر D = 0 باشد، فقط یک ریشه باقی می ماند؛ به طور دقیق تر، می توان گفت که D در این حالت دو ریشه معادل دارد. ضرایب شناخته شده a,b,c را در فرمول جایگزین کرده و مقدار را محاسبه کنید.

بعد از اینکه متمایز کننده را پیدا کردید، از فرمول ها برای پیدا کردن x استفاده کنید: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a، که در آن sqrt تابعی است که به معنای گرفتن جذر یک عدد معین است. پس از محاسبه این عبارات، دو ریشه از معادله خود را خواهید یافت که پس از آن معادله حل شده در نظر گرفته می شود.

اگر D کمتر از صفر باشد، باز هم ریشه دارد. این بخش عملا در مدرسه مطالعه نمی شود. دانشجویان دانشگاه باید توجه داشته باشند که یک عدد منفی زیر ریشه ظاهر می شود. آنها با برجسته کردن قسمت خیالی از شر آن خلاص می شوند ، یعنی -1 در زیر ریشه همیشه برابر با عنصر خیالی "i" است که در ریشه با همان عدد مثبت ضرب می شود. به عنوان مثال، اگر D=sqrt(-20) پس از تبدیل D=sqrt(20)*i را دریافت می کنیم. پس از این تبدیل، حل معادله به همان یافت ریشه ای که در بالا توضیح داده شد کاهش می یابد.

قضیه ویتا شامل انتخاب مقادیر x(1) و x(2) است. دو معادله یکسان استفاده می شود: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. و خیلی نکته مهمعلامت جلوی ضریب b است، به یاد داشته باشید که این علامت مخالف معادله است. در نگاه اول به نظر می رسد که محاسبه x(1) و x(2) بسیار ساده است، اما هنگام حل با این واقعیت مواجه می شوید که باید اعداد را انتخاب کنید.

عناصر حل معادلات درجه دوم

با توجه به قوانین ریاضی، برخی از آنها را می توان فاکتور گرفت: (a+x(1))*(b-x(2))=0، اگر توانستید این معادله درجه دوم را به روشی مشابه با استفاده از فرمول های ریاضی تبدیل کنید، با خیال راحت پاسخ را یادداشت کنید x(1) و x(2) برابر با ضرایب مجاور در پرانتز خواهند بود، اما با علامت مخالف.

همچنین معادلات درجه دوم ناقص را فراموش نکنید. ممکن است برخی از عبارت‌ها را از دست داده باشید، اگر چنین است، تمام ضرایب آن به سادگی برابر با صفر هستند. اگر جلوی x^2 یا x چیزی نباشد، ضرایب a و b برابر با 1 هستند.

معادله درجه دوم- راه حل ساده است! *از این پس "KU" نامیده می شود.دوستان، به نظر می رسد که هیچ چیز ساده تر از حل چنین معادله ای در ریاضیات وجود ندارد. اما چیزی به من گفت که خیلی ها با او مشکل دارند. تصمیم گرفتم ببینم که Yandex در هر ماه چه تعداد برداشت بر اساس تقاضا ارائه می دهد. این چیزی است که اتفاق افتاده است، نگاه کنید:

چه مفهومی داره؟ این به این معنی است که حدود 70000 نفر در ماه جستجو می کنند این اطلاعات، این تابستان چه ربطی به آن دارد و چه اتفاقی خواهد افتاد سال تحصیلی- دو برابر بیشتر درخواست وجود خواهد داشت. این تعجب آور نیست، زیرا آن دسته از پسران و دخترانی که مدت ها پیش از مدرسه فارغ التحصیل شده اند و برای آزمون یکپارچه دولتی آماده می شوند به دنبال این اطلاعات هستند و دانش آموزان مدرسه نیز در تلاش هستند تا حافظه خود را تازه کنند.

علیرغم اینکه سایت های زیادی وجود دارند که به شما می گویند چگونه این معادله را حل کنید، من تصمیم گرفتم که مطالب را نیز منتشر کنم. اولاً، من می خواهم بازدیدکنندگان بر اساس این درخواست به سایت من بیایند. ثانیاً، در مقالات دیگر، وقتی موضوع "KU" مطرح شد، لینک این مقاله را ارائه خواهم کرد. ثالثاً، من کمی بیشتر از آنچه که معمولاً در سایت های دیگر بیان می شود، در مورد راه حل او به شما خواهم گفت. بیا شروع کنیم!محتوای مقاله:

معادله درجه دوم معادله ای به شکل زیر است:

جایی که ضرایب a،بو c اعداد دلخواه با a≠0 هستند.

در دوره مدرسه، مطالب به شکل زیر ارائه می شود - معادلات به سه کلاس تقسیم می شوند:

1. دو ریشه دارند.

2. *فقط یک ریشه داشته باشید.

3. ریشه ندارند. در اینجا به ویژه شایان ذکر است که آنها ریشه واقعی ندارند

ریشه ها چگونه محاسبه می شوند؟ فقط!

تفکیک کننده را محاسبه می کنیم. در زیر این کلمه "وحشتناک" یک فرمول بسیار ساده نهفته است:

فرمول های ریشه به شرح زیر است:

*باید این فرمول ها را از روی قلب بدانید.

بلافاصله می توانید یادداشت کنید و حل کنید:

مثال:

1. اگر D > 0 باشد، معادله دو ریشه دارد.

2. اگر D = 0 باشد، معادله یک ریشه دارد.

3. اگر D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

بیایید به معادله نگاه کنیم:

توسط در این فرصت، وقتی ممیز صفر باشد، درس مدرسه می گوید نتیجه یک ریشه است، اینجا برابر با نه است. همه چیز درست است، همینطور است، اما...

این تصور تا حدودی نادرست است. در واقع دو ریشه وجود دارد. بله، بله، تعجب نکنید، شما دو ریشه مساوی دریافت می کنید، و برای اینکه از نظر ریاضی دقیق باشیم، در پاسخ باید دو ریشه بنویسید:

x 1 = 3 x 2 = 3

اما این چنین است - یک انحراف کوچک. در مدرسه می توانید آن را یادداشت کنید و بگویید که یک ریشه است.

حالا مثال بعدی:

همانطور که می دانیم، ریشه عدد منفیاستخراج نشده است، بنابراین هیچ راه حلی در این مورد وجود ندارد.

این کل فرآیند تصمیم گیری است.

تابع درجه دوم.

این نشان می دهد که راه حل از نظر هندسی چگونه به نظر می رسد. درک این امر بسیار مهم است (در آینده در یکی از مقالات راه حل نابرابری درجه دوم را با جزئیات تجزیه و تحلیل خواهیم کرد).

این تابعی از فرم است:

که در آن x و y متغیر هستند

a, b, c – اعداد داده شده با ≠ 0

نمودار سهمی است:

یعنی معلوم می شود که با حل یک معادله درجه دوم با “y” برابر با صفر، نقاط تقاطع سهمی را با محور x می یابیم. دو مورد از این نقاط می تواند وجود داشته باشد (ممیز مثبت است)، یکی (ممیز صفر است) و هیچ یک (ممیز منفی است). جزئیات در مورد تابع درجه دوم می توانید مشاهده کنیدمقاله اینا فلدمن

بیایید به مثال ها نگاه کنیم:

مثال 1: حل کنید 2 برابر 2 +8 ایکس–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

پاسخ: x 1 = 8 x 2 = -12

*می توان بلافاصله سمت چپ و راست معادله را بر 2 تقسیم کرد، یعنی آن را ساده کرد. محاسبات راحت تر خواهد بود.

مثال 2: تصميم گرفتن x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

دریافتیم که x 1 = 11 و x 2 = 11

نوشتن x=11 در جواب جایز است.

پاسخ: x = 11

مثال 3: تصميم گرفتن x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

ممیز منفی است، هیچ راه حلی در اعداد واقعی وجود ندارد.

پاسخ: راه حلی نیست

ممیز منفی است. راه حلی وجود دارد!

در اینجا در مورد حل معادله در موردی که ممیز منفی به دست می آید صحبت خواهیم کرد. آیا شما چیزی در مورد اعداد مختلط? من در اینجا به جزئیات نمی پردازم که چرا و کجا پدید آمدند و نقش و ضرورت خاص آنها در ریاضیات چیست؛ این موضوع برای یک مقاله بزرگ جداگانه است.

مفهوم عدد مختلط

کمی تئوری

عدد مختلط z عددی از فرم است

z = a + bi

جایی که a و b اعداد واقعی هستند، i به اصطلاح واحد خیالی است.

a+bi - این یک عدد واحد است، نه یک عدد.

واحد خیالی برابر است با ریشه منهای یک:

حالا معادله را در نظر بگیرید:

دو ریشه مزدوج می گیریم.

معادله درجه دوم ناقص.

بیایید موارد خاص را در نظر بگیریم، این زمانی است که ضریب "b" یا "c" برابر با صفر (یا هر دو برابر با صفر) باشد. آنها را می توان به راحتی و بدون هیچ تبعیضی حل کرد.

مورد 1. ضریب b = 0.

معادله تبدیل می شود:

بیایید تبدیل کنیم:

مثال:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

مورد 2. ضریب c = 0.

معادله تبدیل می شود:

بیایید تبدیل و فاکتورسازی کنیم:

*زمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است.

مثال:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 یا x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

مورد 3. ضرایب b = 0 و c = 0.

در اینجا واضح است که جواب معادله همیشه x = 0 خواهد بود.

خواص مفید و الگوهای ضرایب.

خواصی وجود دارد که به شما امکان می دهد معادلات را با ضرایب بزرگ حل کنید.

آایکس 2 + bx+ ج=0 برابری برقرار است

آ + ب+ c = 0،که

- اگر برای ضرایب معادله آایکس 2 + bx+ ج=0 برابری برقرار است

آ+ ج =ب, که

این ویژگی ها به حل یک نوع معادله کمک می کند.

مثال 1: 5001 ایکس 2 –4995 ایکس – 6=0

مجموع شانس ها 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0، به این معنی

مثال 2: 2501 ایکس 2 +2507 ایکس+6=0

برابری برقرار است آ+ ج =ب, به معنای

نظم ضرایب.

1. اگر در معادله ax 2 + bx + c = 0 ضریب "b" برابر با (a 2 +1) و ضریب "c" از نظر عددی برابر با ضریب "a" باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

مثال. معادله 6 x 2 + 37 x + 6 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = -6 x 2 = -1/6.

2. اگر در معادله ax 2 – bx + c = 0 ضریب “b” برابر با (a 2 +1) و ضریب “c” از نظر عددی برابر با ضریب “a” باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

مثال. معادله 15x2 –226x+15 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. اگر در معادله ax 2 + bx – c = 0 ضریب "b" برابر است با (a 2 - 1) و ضریب "c" عددی برابر با ضریب a است, سپس ریشه های آن برابر است

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

مثال. معادله 17x2 +288x – 17 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. اگر در معادله ax 2 – bx – c = 0 ضریب “b” برابر با (a 2 – 1) و ضریب c از نظر عددی برابر با ضریب “a” باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

مثال. معادله 10x2 – 99x –10 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

قضیه ویتا

قضیه ویتا به افتخار ریاضیدان معروف فرانسوی فرانسوا ویتا نامگذاری شده است. با استفاده از قضیه ویتا می توان مجموع و حاصلضرب ریشه های یک KU دلخواه را بر حسب ضرایب آن بیان کرد.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

در کل عدد 14 فقط 5 و 9 را می دهد. اینها ریشه هستند. با مهارت خاصی، با استفاده از قضیه ارائه شده، می توانید بسیاری از معادلات درجه دوم را بلافاصله به صورت شفاهی حل کنید.

علاوه بر این، قضیه ویتا. راحت است که پس از حل یک معادله درجه دوم به روش معمول (از طریق یک تفکیک کننده)، ریشه های حاصل را می توان بررسی کرد. توصیه می کنم همیشه این کار را انجام دهید.

روش حمل و نقل

با این روش، ضریب الف در عبارت آزاد ضرب می شود، گویی به آن پرتاب می شود، به همین دلیل به آن می گویند. روش "انتقال".این روش زمانی استفاده می‌شود که ریشه‌های معادله را بتوان به راحتی با استفاده از قضیه ویتا پیدا کرد و مهمتر از همه، زمانی که ممیز یک مربع دقیق باشد.

اگر آ± b+c≠ 0، سپس از تکنیک انتقال استفاده می شود، به عنوان مثال:

2ایکس 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => ایکس 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

با استفاده از قضیه ویتا در رابطه (2)، به راحتی می توان تعیین کرد که x 1 = 10 x 2 = 1

ریشه های حاصل از معادله باید بر 2 تقسیم شود (از آنجایی که این دو از x 2 "پرتاب" شده اند)، به دست می آوریم

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

منطق چیست؟ ببین چه خبره

ممیز معادلات (1) و (2) برابر است:

اگر به ریشه معادلات نگاه کنید، فقط مخرج های متفاوتی بدست می آورید و نتیجه دقیقاً به ضریب x 2 بستگی دارد:

دومی (اصلاح شده) دارای ریشه هایی است که 2 برابر بزرگتر هستند.

بنابراین، نتیجه را بر 2 تقسیم می کنیم.

*اگر این سه را دوباره بچرخانیم، حاصل را بر 3 و غیره تقسیم می کنیم.

پاسخ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

مربع ur-ie و آزمون یکپارچه ایالت.

من به طور خلاصه در مورد اهمیت آن به شما می گویم - شما باید بتوانید سریع و بدون فکر تصمیم بگیرید، باید فرمول های ریشه ها و تمایزات را از روی قلب بدانید. بسیاری از مسائل موجود در وظایف آزمون یکپارچه ایالتی به حل یک معادله درجه دوم (شامل موارد هندسی) خلاصه می شود.

چیزی که قابل توجه است!

1. شکل نوشتن یک معادله می تواند "ضمنی" باشد. به عنوان مثال، ورودی زیر ممکن است:

15+ 9x 2 - 45x = 0 یا 15x+42+9x 2 - 45x=0 یا 15 -5x+10x 2 = 0.

باید او را به او بیاوری نمای استاندارد(برای اینکه هنگام تصمیم گیری گیج نشوید).

2. به یاد داشته باشید که x یک کمیت مجهول است و می توان آن را با هر حرف دیگری نشان داد - t، q، p، h و غیره.

این موضوع ممکن است در ابتدا دشوار به نظر برسد، زیرا بسیاری از آنها چنین نیستند فرمول های ساده. نه تنها معادلات درجه دوم خود نمادهای طولانی دارند، بلکه ریشه ها نیز از طریق ممیز پیدا می شوند. در مجموع سه فرمول جدید به دست می آید. به خاطر سپردن خیلی آسان نیست. این تنها پس از حل مکرر چنین معادلاتی امکان پذیر است. سپس تمام فرمول ها توسط خودشان به خاطر سپرده می شوند.

نمای کلی یک معادله درجه دوم

در اینجا ما ضبط صریح آنها را پیشنهاد می کنیم، زمانی که بزرگترین درجه ابتدا نوشته می شود، و سپس به ترتیب نزولی. اغلب شرایطی وجود دارد که شرایط متناقض هستند. سپس بهتر است معادله را به ترتیب نزولی درجه متغیر بازنویسی کنید.

اجازه بدید ما بعضی نشانه ها را معرفی کنیم. آنها در جدول زیر ارائه شده اند.

اگر این نمادها را بپذیریم، تمام معادلات درجه دوم به نماد زیر کاهش می یابد.

علاوه بر این، ضریب a ≠ 0. اجازه دهید این فرمول شماره یک تعیین شود.

وقتی معادله ای داده می شود، مشخص نیست که پاسخ چند ریشه خواهد داشت. زیرا یکی از سه گزینه همیشه ممکن است:

• راه حل دو ریشه خواهد داشت.
• پاسخ یک عدد خواهد بود.
• معادله اصلاً ریشه نخواهد داشت.

و تا زمانی که تصمیم نهایی نشود، درک اینکه کدام گزینه در یک مورد خاص ظاهر می شود دشوار است.

انواع ضبط معادلات درجه دوم

ممکن است ورودی های مختلفی در وظایف وجود داشته باشد. همیشه شبیه نخواهند بود فرمول کلیمعادله درجه دوم. گاهی اوقات برخی از اصطلاحات را از دست می دهد. آنچه در بالا نوشته شد معادله کامل است. اگر عبارت دوم یا سوم را در آن حذف کنید، چیز دیگری دریافت می کنید. به این رکوردها معادلات درجه دوم نیز گفته می شود، فقط ناقص.

علاوه بر این، فقط اصطلاحات با ضرایب "b" و "c" می توانند ناپدید شوند. عدد "الف" در هیچ شرایطی نمی تواند برابر با صفر باشد. زیرا در این صورت فرمول می شود معادله خطی. فرمول شکل ناقص معادلات به صورت زیر خواهد بود:

بنابراین، فقط دو نوع وجود دارد؛ علاوه بر کامل، معادلات درجه دوم ناقص نیز وجود دارد. بگذارید فرمول اول شماره دو باشد و دومی - سه.

تمایز و وابستگی تعداد ریشه ها به مقدار آن

برای محاسبه ریشه های معادله باید این عدد را بدانید. همیشه می توان آن را محاسبه کرد، مهم نیست که فرمول معادله درجه دوم چیست. برای محاسبه ممیز باید از تساوی نوشته شده در زیر استفاده کنید که عدد چهار خواهد داشت.

پس از جایگزینی مقادیر ضرایب در این فرمول، می توانید اعداد را با آن بدست آورید نشانه های مختلف. اگر پاسخ مثبت است، پاسخ معادله دو است ریشه های مختلف. اگر عدد منفی باشد، هیچ ریشه ای از معادله درجه دوم وجود نخواهد داشت. اگر برابر با صفر باشد، تنها یک پاسخ وجود خواهد داشت.

چگونه یک معادله درجه دوم کامل را حل کنیم؟

در واقع بررسی این موضوع از قبل آغاز شده است. زیرا ابتدا باید یک ممیز پیدا کنید. پس از اینکه مشخص شد که معادله درجه دوم ریشه دارد و تعداد آنها مشخص شد، باید از فرمول برای متغیرها استفاده کنید. اگر دو ریشه وجود دارد، پس باید فرمول زیر را اعمال کنید.

از آنجایی که دارای علامت "±" است، دو معنی وجود خواهد داشت. عبارت زیر علامت جذر ممیز است. بنابراین، فرمول را می توان متفاوت بازنویسی کرد.

فرمول شماره پنج از همان رکورد مشخص است که اگر ممیز برابر با صفر باشد، هر دو ریشه مقادیر یکسانی خواهند داشت.

اگر حل معادلات درجه دوم هنوز کار نشده است، بهتر است قبل از اعمال فرمول های متمایز و متغیر، مقادیر همه ضرایب را یادداشت کنید. بعداً این لحظه مشکلی ایجاد نخواهد کرد. اما در همان ابتدا سردرگمی وجود دارد.

چگونه یک معادله درجه دوم ناقص را حل کنیم؟

همه چیز در اینجا بسیار ساده تر است. حتی نیازی به فرمول های اضافی نیست. و آنهایی که قبلاً برای ممیز و مجهول نوشته شده است نیازی نخواهند داشت.

ابتدا به معادله ناقص شماره دو نگاه می کنیم. در این برابری باید کمیت مجهول را از پرانتز خارج کرد و معادله خطی را حل کرد که در پرانتز باقی می ماند. پاسخ دو ریشه خواهد داشت. اولین مورد لزوماً برابر با صفر است، زیرا یک ضریب متشکل از خود متغیر وجود دارد. دومی با حل یک معادله خطی به دست می آید.

معادله ناقص شماره سه با حرکت عدد از سمت چپ تساوی به راست حل می شود. سپس باید بر ضریب مجهول تقسیم کنید. تنها چیزی که باقی می ماند این است که ریشه مربع را استخراج کنید و به یاد داشته باشید که آن را دو بار با علائم مخالف بنویسید.

در زیر چند مرحله وجود دارد که به شما کمک می‌کند یاد بگیرید چگونه انواع برابری‌هایی را که به معادلات درجه دوم تبدیل می‌شوند، حل کنید. آنها به دانش آموز کمک می کنند تا از اشتباهات ناشی از بی توجهی جلوگیری کند. این کاستی ها می تواند باعث نمرات ضعیف در هنگام مطالعه مبحث گسترده «معادلات درجه دوم (پایه هشتم)» شود. پس از آن، این اقدامات نیازی به انجام مداوم نخواهند داشت. زیرا یک مهارت پایدار ظاهر خواهد شد.

• ابتدا باید معادله را به شکل استاندارد بنویسید. یعنی ابتدا عبارت با بیشترین درجه متغیر و سپس - بدون درجه و آخرین - فقط یک عدد.

• اگر یک منفی قبل از ضریب "a" ظاهر شود، می تواند کار را برای یک مبتدی که معادلات درجه دوم را مطالعه می کند، پیچیده کند. بهتر است از شر آن خلاص شوید. برای این منظور، تمام تساوی باید در "-1" ضرب شود. این بدان معنی است که همه اصطلاحات علامت آن را به مخالف تغییر می دهند.

• توصیه می شود به همین ترتیب از شر کسری خلاص شوید. به سادگی معادله را در ضریب مناسب ضرب کنید تا مخرج ها باطل شوند.

مثال ها

حل معادلات درجه دوم زیر لازم است:

x 2 - 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

معادله اول: x 2 − 7x = 0. ناقص است، بنابراین همانطور که برای فرمول شماره دو توضیح داده شد حل می شود.

پس از بیرون آوردن آن از پرانتز، معلوم می شود: x (x - 7) = 0.

ریشه اول مقدار x 1 = 0 را می گیرد. دومی از معادله خطی پیدا می شود: x - 7 = 0. به راحتی می توان دریافت که x 2 = 7.

معادله دوم: 5x 2 + 30 = 0. باز هم ناقص. فقط همانطور که برای فرمول سوم توضیح داده شد حل می شود.

بعد از حرکت 30 به سمت راست معادله: 5x 2 = 30. اکنون باید بر 5 تقسیم کنید. معلوم می شود: x 2 = 6. پاسخ ها اعداد خواهند بود: x 1 = √6، x 2 = - √6.

معادله سوم: 15 − 2x − x 2 = 0. در اینجا و بیشتر، حل معادلات درجه دوم با بازنویسی مجدد آنها به شکل استاندارد آغاز می شود: − x 2 − 2x + 15 = 0. اکنون زمان استفاده از دومی است. مشاوره مفیدو همه چیز را در منهای یک ضرب کنید. به نظر می رسد x 2 + 2x - 15 = 0. با استفاده از فرمول چهارم، باید تمایز را محاسبه کنید: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. این یک عدد مثبت است. از آنچه در بالا گفته شد، معلوم می شود که معادله دو ریشه دارد. آنها باید با استفاده از فرمول پنجم محاسبه شوند. معلوم می شود که x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. سپس x 1 = 3، x 2 = - 5.

معادله چهارم x 2 + 8 + 3x = 0 به این تبدیل می شود: x 2 + 3x + 8 = 0. ممیز آن برابر است با این مقدار: -23. از آنجایی که این عدد منفی است، پاسخ این کار به صورت زیر خواهد بود: "ریشه ای وجود ندارد."

معادله پنجم 12x + x 2 + 36 = 0 باید به صورت زیر بازنویسی شود: x 2 + 12x + 36 = 0. پس از اعمال فرمول برای ممیز، عدد صفر به دست می آید. این بدان معنی است که یک ریشه دارد، یعنی: x = -12/ (2 * 1) = -6.

معادله ششم (x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2) نیاز به تبدیل‌هایی دارد که شامل این واقعیت است که باید عبارت‌های مشابهی را بیاورید، ابتدا پرانتزها را باز کنید. به جای اولین عبارت عبارت زیر وجود خواهد داشت: x 2 + 2x + 1. پس از برابری، این ورودی ظاهر می شود: x 2 + 3x + 2. پس از شمارش عبارت های مشابه، معادله به شکل x 2 خواهد بود. - x = 0. ناقص شده است. چیزی شبیه به این قبلاً کمی بالاتر مورد بحث قرار گرفته است. ریشه این اعداد 0 و 1 خواهد بود.

بیایید مشکل را در نظر بگیریم. قاعده مستطیل 10 سانتی متر از ارتفاع آن بزرگتر است و مساحت آن 24 سانتی متر مربع است. ارتفاع مستطیل را پیدا کنید. اجازه دهید ایکسسانتی متر ارتفاع مستطیل است، سپس قاعده آن برابر است با ( ایکس+10) سانتی متر مساحت این مستطیل می باشد ایکس(ایکس+ 10) سانتی متر مربع. با توجه به شرایط مشکل ایکس(ایکس+ 10) = 24. باز کردن پرانتزها و انتقال عدد 24 با علامت مقابل به داخل سمت چپمعادلات بدست می آوریم: ایکس² + 10 ایکس-24 = 0. هنگام حل این مسئله معادله ای به دست آمد که به آن درجه دوم می گویند.

معادله درجه دوم معادله ای از فرم است

تبر ²+ bx+c= 0

جایی که الف، ب، ج- اعداد داده شده، و آ≠ 0 و ایکس- ناشناخته.

شانس الف، ب، جمعادله درجه دوم معمولاً نامیده می شود: آ- اولین یا بالاترین ضریب، ب- ضریب دوم ج- یک عضو رایگان به عنوان مثال، در مسئله ما، ضریب پیشرو 1، ضریب دوم 10 و جمله آزاد 24- است. حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و فیزیک به حل معادلات درجه دوم خلاصه می شود.

حل معادلات درجه دوم

معادلات درجه دوم را کامل کنید. اولین قدم این است که معادله داده شده را به فرم استاندارد برسانید تبر²+ bx+ c = 0. به مسئله خود بازگردیم که در آن معادله را می توان به صورت نوشتاری کرد ایکس(ایکس+ 10) = 24 بیایید آن را به فرم استاندارد برسانیم، براکت ها را باز کنید ایکس² + 10 ایکس- 24 = 0، این معادله را با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم کلی حل می کنیم.

عبارت زیر علامت ریشه در این فرمول ممیز D = نامیده می شود ب² - 4 ac

اگر D> 0 باشد، معادله درجه دوم دارای دو ریشه متفاوت است که با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم می توان آنها را یافت.

اگر D=0 باشد، معادله درجه دوم یک ریشه دارد.

اگر D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

بیایید مقادیر را در فرمول خود جایگزین کنیم آ= 1, ب= 10, ج= -24.

D>0 دریافت می کنیم، بنابراین دو ریشه می گیریم.

بیایید مثالی را در نظر بگیریم که در آن D=0، در این شرایط باید یک ریشه وجود داشته باشد.

25ایکس² - 30 ایکس+ 9 = 0

مثالی را در نظر بگیرید که D<0, при этом условии решения не должно быть.

2ایکس² + 3 ایکس+ 4 = 0

عدد زیر علامت ریشه (ممیز) منفی است، جواب را به صورت زیر می نویسیم: معادله ریشه واقعی ندارد.

حل معادلات درجه دوم ناقص

معادله درجه دوم تبر² + bx+ ج= 0 ناقص نامیده می شود اگر حداقل یکی از ضرایب باشد بیا جبرابر با صفر معادله درجه دوم ناقص معادله ای از یکی از انواع زیر است:

تبر² = 0,

تبر² + ج= 0, ج≠ 0,

تبر² + bx= 0, ب≠ 0.

بیایید به چند مثال نگاه کنیم و معادله را حل کنیم

با تقسیم دو طرف معادله بر 5 معادله بدست می آید ایکس² = 0، پاسخ یک ریشه خواهد داشت ایکس= 0.

معادله ای از فرم را در نظر بگیرید

3ایکس² - 27 = 0

با تقسیم دو ضلع بر 3، معادله را بدست می آوریم ایکس² - 9 = 0، یا می توان آن را نوشت ایکس² = 9، پاسخ دو ریشه خواهد داشت ایکس= 3 و ایکس= -3.

معادله ای از فرم را در نظر بگیرید

2ایکس² + 7 = 0

با تقسیم دو ضلع بر 2، معادله را بدست می آوریم ایکس² = -7/2. این معادله هیچ ریشه واقعی ندارد، زیرا ایکس² ≥ 0 برای هر عدد واقعی ایکس.

معادله ای از فرم را در نظر بگیرید

3ایکس² + 5 ایکس= 0

با فاکتورگیری سمت چپ معادله، به دست می آوریم ایکس(3ایکس+ 5) = 0، پاسخ دو ریشه خواهد داشت ایکس= 0, ایکس=-5/3.

مهمترین چیز در حل معادلات درجه دوم این است که معادله درجه دوم را به یک فرم استاندارد برسانید، فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم را به خاطر بسپارید و در علائم اشتباه نشوید.

در ادامه مبحث حل معادلات، مطالب این مقاله شما را با معادلات درجه دوم آشنا می کند.

بیایید همه چیز را با جزئیات بررسی کنیم: ماهیت و نماد یک معادله درجه دوم، تعریف اصطلاحات همراه، تجزیه و تحلیل طرح برای حل معادلات ناقص و کامل، آشنایی با فرمول ریشه ها و ممیز، برقراری ارتباط بین ریشه ها و ضرایب، و البته به مثال های کاربردی راه حل تصویری خواهیم داد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

معادله درجه دوم، انواع آن

تعریف 1

معادله درجه دوممعادله ای است که به صورت نوشته می شود a x 2 + b x + c = 0، جایی که ایکس– متغیر، a، b و ج- برخی از اعداد، در حالی که آصفر نیست

اغلب، معادلات درجه دوم را معادلات درجه دوم نیز می نامند، زیرا در اصل یک معادله درجه دوم یک معادله جبری درجه دوم است.

بیایید برای توضیح تعریف داده شده مثالی بیاوریم: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7، 5 x 2 + 3، 1 x + 0، 11 = 0، و غیره. اینها معادلات درجه دوم هستند.

تعریف 2

اعداد a، b و جضرایب معادله درجه دوم هستند a x 2 + b x + c = 0، در حالی که ضریب آبه نام اول، یا ارشد، یا ضریب در x 2، b - ضریب دوم، یا ضریب در ایکس، آ جبه نام یک عضو رایگان

مثلاً در معادله درجه دوم 6 x 2 − 2 x − 11 = 0ضریب پیشرو 6 است، ضریب دوم است − 2 ، و عبارت آزاد برابر است با − 11 . به این نکته توجه کنیم که وقتی ضرایب بو/یا c منفی هستند، سپس یک فرم کوتاه از فرم استفاده می شود 6 x 2 − 2 x − 11 = 0، اما نه 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

اجازه دهید این جنبه را نیز روشن کنیم: اگر ضرایب آو/یا ببرابر 1 یا − 1 ، در این صورت ممکن است در نوشتن معادله درجه دوم که با ویژگی های نوشتن ضرایب عددی نشان داده شده توضیح داده می شود ، مشارکت صریحی نداشته باشند. مثلاً در معادله درجه دوم y 2 − y + 7 = 0ضریب پیشرو 1 و ضریب دوم است − 1 .

معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته

بر اساس مقدار ضریب اول، معادلات درجه دوم به کاهش یافته و کاهش نیافته تقسیم می شوند.

تعریف 3

معادله درجه دوم کاهش یافته استمعادله درجه دومی است که ضریب اصلی آن 1 است. برای سایر مقادیر ضریب پیشرو، معادله درجه دوم کاهش نمی یابد.

بیایید مثال هایی بزنیم: معادلات درجه دوم x 2 − 4 · x + 3 = 0، x 2 − x − 4 5 = 0 کاهش می یابند که در هر یک از آنها ضریب پیشرو 1 است.

9 x 2 − x − 2 = 0- معادله درجه دوم کاهش نیافته که ضریب اول با آن متفاوت است 1 .

هر معادله درجه دوم کاهش یافته را می توان با تقسیم هر دو طرف بر ضریب اول (تبدیل معادل) به یک معادله کاهش یافته تبدیل کرد. معادله تبدیل شده دارای همان ریشه معادل معادله تقلیل نشده خواهد بود یا اصلاً ریشه نخواهد داشت.

در نظر گرفتن یک مثال خاص به ما این امکان را می دهد که انتقال از یک معادله درجه دوم کاهش یافته به یک معادله کاهش یافته را به وضوح نشان دهیم.

مثال 1

با توجه به معادله 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . لازم است معادله اصلی را به شکل کاهش یافته تبدیل کنید.

راه حل

با توجه به نمودار بالا هر دو قسمت را تقسیم می کنیم معادله اصلیبا بالاترین ضریب 6. سپس دریافت می کنیم: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3، و این همان است که: (6 x 2): 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0و بیشتر: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.از اینجا: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . بنابراین، معادله ای معادل معادله داده شده به دست می آید.

پاسخ: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

معادلات درجه دوم کامل و ناقص

اجازه دهید به تعریف معادله درجه دوم بپردازیم. در آن مشخص کردیم که a ≠ 0. یک شرط مشابه برای معادله لازم است a x 2 + b x + c = 0دقیقا مربع بود، از زمانی که در a = 0اساساً به یک معادله خطی تبدیل می شود b x + c = 0.

در صورتی که ضرایب بو جبرابر با صفر (که هم به صورت جداگانه و هم به صورت مشترک امکان پذیر است)، معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود.

تعریف 4

معادله درجه دوم ناقص- چنین معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0،که در آن حداقل یکی از ضرایب بو ج(یا هر دو) صفر است.

معادله درجه دوم کامل- یک معادله درجه دوم که در آن تمام ضرایب عددی برابر با صفر نیستند.

بیایید بحث کنیم که چرا به انواع معادلات درجه دوم دقیقاً این نام ها داده شده است.

وقتی b = 0، معادله درجه دوم شکل می گیرد a x 2 + 0 x + c = 0، که همان است a x 2 + c = 0. در c = 0معادله درجه دوم به صورت نوشته شده است a x 2 + b x + 0 = 0، که معادل است a x 2 + b x = 0. در b = 0و c = 0معادله شکل خواهد گرفت a x 2 = 0. معادلاتی که ما به دست آوردیم با معادله درجه دوم کامل تفاوت دارند زیرا در سمت چپ آنها عبارتی با متغیر x یا عبارت آزاد یا هر دو وجود ندارد. در واقع، این واقعیت نام این نوع معادله را داده است - ناقص.

برای مثال، x 2 + 3 x + 4 = 0 و - 7 x 2 - 2 x + 1، 3 = 0 معادلات درجه دوم کامل هستند. x 2 = 0، − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0، - x 2 - 6 x = 0 - معادلات درجه دوم ناقص.

حل معادلات درجه دوم ناقص

تعریفی که در بالا داده شد، تشخیص انواع معادلات درجه دوم ناقص زیر را ممکن می سازد:

• a x 2 = 0، این معادله با ضرایب مطابقت دارد b = 0و c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 در b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 در c = 0.

اجازه دهید حل هر نوع معادله درجه دوم ناقص را به ترتیب در نظر بگیریم.

حل معادله a x 2 = 0

همانطور که در بالا ذکر شد، این معادله با ضرایب مطابقت دارد بو ج، برابر با صفر است. معادله a x 2 = 0را می توان به یک معادله معادل تبدیل کرد x 2 = 0، که با تقسیم دو طرف معادله اصلی بر عدد بدست می آوریم آ، برابر با صفر نیست. واقعیت آشکار این است که ریشه معادله x 2 = 0این صفر است زیرا 0 2 = 0 . این معادله ریشه دیگری ندارد، که می توان آن را با ویژگی های درجه توضیح داد: برای هر عدد پ،برابر با صفر نیست، نابرابری درست است p 2 > 0، که از آن نتیجه می شود که وقتی p ≠ 0برابری p 2 = 0هرگز محقق نخواهد شد.

تعریف 5

بنابراین، برای معادله درجه دوم ناقص a x 2 = 0 یک ریشه منحصر به فرد وجود دارد x = 0.

مثال 2

به عنوان مثال، اجازه دهید یک معادله درجه دوم ناقص را حل کنیم − 3 x 2 = 0. معادل معادله است x 2 = 0، تنها ریشه آن است x = 0، سپس معادله اصلی یک ریشه دارد - صفر.

به طور خلاصه راه حل به صورت زیر نوشته شده است:

− 3 x 2 = 0، x 2 = 0، x = 0.

حل معادله a x 2 + c = 0

در خط بعدی، حل معادلات درجه دوم ناقص است، که در آن b = 0، c ≠ 0، یعنی معادلات شکل a x 2 + c = 0. بیایید این معادله را با انتقال یک جمله از یک طرف معادله به سمت دیگر، تغییر علامت به سمت مقابل و تقسیم دو طرف معادله بر عددی که برابر با صفر نیست، تبدیل کنیم:

• انتقال جسمت راست که معادله را نشان می دهد a x 2 = - c;
• دو طرف معادله را بر تقسیم کنید آ، در نهایت به x = - c a می رسیم.

تبدیل های ما معادل هستند؛ بر این اساس، معادله به دست آمده نیز معادل معادله اصلی است و این واقعیت، نتیجه گیری در مورد ریشه های معادله را ممکن می کند. از آنچه ارزش ها هستند آو جمقدار عبارت - c a بستگی دارد: می تواند علامت منفی داشته باشد (مثلاً اگر a = 1و c = 2، سپس - c a = - 2 1 = - 2) یا علامت مثبت (مثلاً اگر a = - 2و c = 6، سپس - c a = - 6 - 2 = 3); صفر نیست چون c ≠ 0. اجازه دهید با جزئیات بیشتری در موقعیت هایی صحبت کنیم که - c a< 0 и - c a > 0 .

در صورتی که - ج الف< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа پبرابری p 2 = - c a نمی تواند درست باشد.

همه چیز متفاوت است وقتی - c a > 0: ریشه مربع را به خاطر بسپارید، و آشکار می شود که ریشه معادله x 2 = - c a عدد - c a خواهد بود، زیرا - c a 2 = - c a. درک اینکه عدد - - c a نیز ریشه معادله x 2 = - c a است دشوار نیست: در واقع، - - c a 2 = - c a.

معادله هیچ ریشه دیگری نخواهد داشت. ما می توانیم این را با استفاده از روش تضاد نشان دهیم. برای شروع، اجازه دهید نمادهای ریشه های موجود در بالا را به صورت تعریف کنیم x 1و - x 1. فرض کنید معادله x 2 = - c a نیز یک ریشه دارد x 2، که با ریشه متفاوت است x 1و - x 1. ما می دانیم که با جایگزینی در معادله ایکسریشه های آن، معادله را به یک برابری عددی منصفانه تبدیل می کنیم.

برای x 1و - x 1می نویسیم: x 1 2 = - c a و برای x 2- x 2 2 = - c a . بر اساس ویژگی های تساوی های عددی، یک عبارت برابری صحیح را به صورت ترم از دیگری کم می کنیم که به ما می دهد: x 1 2 − x 2 2 = 0. ما از خصوصیات عملیات با اعداد برای بازنویسی آخرین برابری به عنوان استفاده می کنیم (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. معلوم است که حاصل ضرب دو عدد صفر است اگر و فقط اگر حداقل یکی از اعداد صفر باشد. از مطالب فوق چنین بر می آید که x 1 - x 2 = 0و/یا x 1 + x 2 = 0، که همان است x 2 = x 1و/یا x 2 = - x 1. یک تناقض آشکار به وجود آمد، زیرا در ابتدا توافق شد که ریشه معادله است x 2متفاوت است x 1و - x 1. بنابراین، ما ثابت کردیم که معادله هیچ ریشه ای جز x = - c a و x = - - c a ندارد.

اجازه دهید همه استدلال های بالا را خلاصه کنیم.

تعریف 6

معادله درجه دوم ناقص a x 2 + c = 0معادل معادله x 2 = - c a است که:

• هیچ ریشه ای در - c a نخواهد داشت< 0 ;
• دارای دو ریشه x = - c a و x = - - c a برای - c a > 0 خواهد بود.

مثال هایی از حل معادلات می آوریم a x 2 + c = 0.

مثال 3

با یک معادله درجه دوم 9 x 2 + 7 = 0.باید راه حلی پیدا کرد.

راه حل

بیایید عبارت آزاد را به سمت راست معادله منتقل کنیم، سپس معادله شکل خواهد گرفت 9 x 2 = − 7.
اجازه دهید هر دو طرف معادله حاصل را بر تقسیم کنیم 9 ، به x 2 = - 7 9 می رسیم. در سمت راست عددی با علامت منفی می بینیم که به این معنی است: معادله داده شده ریشه ندارد. سپس معادله درجه دوم ناقص اصلی 9 x 2 + 7 = 0هیچ ریشه ای نخواهد داشت

پاسخ:معادله 9 x 2 + 7 = 0ریشه ندارد

مثال 4

معادله باید حل شود − x 2 + 36 = 0.

راه حل

بیایید 36 را به سمت راست حرکت دهیم: − x 2 = − 36.
بیایید هر دو قسمت را بر اساس تقسیم کنیم − 1 ، ما گرفتیم x 2 = 36. در سمت راست یک عدد مثبت وجود دارد که از آن نتیجه می گیریم x = 36 یا x = - 36 .
بیایید ریشه را استخراج کنیم و نتیجه نهایی را بنویسیم: معادله درجه دوم ناقص − x 2 + 36 = 0دو ریشه دارد x=6یا x = - 6.

پاسخ: x=6یا x = - 6.

حل معادله a x 2 +b x=0

اجازه دهید نوع سوم معادلات درجه دوم ناقص را تجزیه و تحلیل کنیم c = 0. برای یافتن راه حل برای یک معادله درجه دوم ناقص a x 2 + b x = 0، از روش فاکتورسازی استفاده خواهیم کرد. بیایید چند جمله ای را که در سمت چپ معادله قرار دارد فاکتورسازی کنیم و عامل مشترک را از پرانتز خارج کنیم. ایکس. این مرحله تبدیل معادله درجه دوم ناقص اولیه را به معادل آن ممکن می سازد x (a x + b) = 0. و این معادله نیز به نوبه خود معادل مجموعه ای از معادلات است x = 0و a x + b = 0. معادله a x + b = 0خطی و ریشه آن: x = - b a.

تعریف 7

بنابراین، معادله درجه دوم ناقص است a x 2 + b x = 0دو ریشه خواهد داشت x = 0و x = - b a.

بیایید مطالب را با یک مثال تقویت کنیم.

مثال 5

لازم است برای معادله 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 راه حلی پیدا کنید.

راه حل

ما آن را بیرون می آوریم ایکسخارج از پرانتز معادله x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 را دریافت می کنیم. این معادله معادل معادلات است x = 0و 2 3 x - 2 2 7 = 0. اکنون باید معادله خطی حاصل را حل کنید: 2 3 · x = 2 2 7، x = 2 2 7 2 3.

به طور خلاصه جواب معادله را به صورت زیر بنویسید:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 یا 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 یا x = 3 3 7

پاسخ: x = 0، x = 3 3 7.

متمایز، فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

برای یافتن جواب معادلات درجه دوم، یک فرمول ریشه وجود دارد:

تعریف 8

x = - b ± D 2 · a، که در آن D = b 2 − 4 a c- به اصطلاح متمایز کننده یک معادله درجه دوم.

نوشتن x = - b ± D 2 · a اساساً به این معنی است که x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

درک این که چگونه این فرمول مشتق شده و چگونه آن را اعمال کنیم مفید خواهد بود.

استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

اجازه دهید با کار حل یک معادله درجه دوم روبرو شویم a x 2 + b x + c = 0. اجازه دهید تعدادی تبدیل معادل را انجام دهیم:

• دو طرف معادله را بر یک عدد تقسیم کنید آ، متفاوت از صفر، معادله درجه دوم زیر را به دست می آوریم: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• بیایید برجسته کنیم مربع کاملدر سمت چپ معادله به دست آمده:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ج الف
  پس از این، معادله به شکل زیر در می آید: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• اکنون می توان دو عبارت آخر را به سمت راست منتقل کرد، علامت را به سمت مخالف تغییر داد، پس از آن به دست می آوریم: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• در نهایت، عبارت نوشته شده در سمت راست آخرین برابری را تبدیل می کنیم:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

بنابراین، به معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 می رسیم که معادل معادله اصلی است. a x 2 + b x + c = 0.

حل این گونه معادلات را در پاراگراف های قبل (حل معادلات درجه دوم ناقص) بررسی کردیم. تجربه به دست آمده این امکان را فراهم می کند تا در مورد ریشه های معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 نتیجه گیری کنیم:

• با b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• وقتی b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 معادله x + b 2 · a 2 = 0 است، سپس x + b 2 · a = 0 است.

از اینجا تنها ریشه x = - b 2 · a آشکار است.

• برای b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 موارد زیر درست خواهد بود: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 یا x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 که همان x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 یا x = - b 2 · a - b 2 - 4 است. · a · c 4 · a 2 , i.e. معادله دو ریشه دارد

می توان نتیجه گرفت که وجود یا عدم وجود ریشه های معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (و بنابراین معادله اصلی) به علامت عبارت b بستگی دارد. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 در سمت راست نوشته شده است. و علامت این عبارت با علامت صورت، (مخرج 4 a 2همیشه مثبت خواهد بود)، یعنی نشانه بیان b 2 − 4 a c. این بیان b 2 − 4 a cنام داده شده است - ممیز معادله درجه دوم و حرف D به عنوان نام آن تعریف می شود. در اینجا می توانید ماهیت ممیز را بنویسید - بر اساس ارزش و علامت آن ، آنها می توانند نتیجه بگیرند که آیا معادله درجه دوم ریشه واقعی خواهد داشت یا خیر ، و اگر چنین است ، تعداد ریشه ها چقدر است - یک یا دو.

اجازه دهید به معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 برگردیم. بیایید آن را با استفاده از نماد تفکیک بازنویسی کنیم: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

اجازه دهید نتایج خود را دوباره فرموله کنیم:

تعریف 9

• در D< 0 معادله هیچ ریشه واقعی ندارد.
• در D=0معادله یک ریشه دارد x = - b 2 · a ;
• در D > 0معادله دو ریشه دارد: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 یا x = - b 2 · a - D 4 · a 2. بر اساس خواص رادیکال ها، این ریشه ها را می توان به شکل زیر نوشت: x = - b 2 · a + D 2 · a or - b 2 · a - D 2 · a. و وقتی ماژول ها را باز می کنیم و کسرها را به یک مخرج مشترک می آوریم، به دست می آوریم: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

بنابراین، نتیجه استدلال ما استخراج فرمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم بود:

x = - b + D 2 a، x = - b - D 2 a، ممیز Dبا فرمول محاسبه می شود D = b 2 − 4 a c.

این فرمول ها تعیین هر دو ریشه واقعی را در زمانی که تفکیک کننده بزرگتر از صفر است ممکن می سازد. هنگامی که ممیز صفر است، با اعمال هر دو فرمول، ریشه یکسانی به عنوان تنها راه حل معادله درجه دوم به دست می آید. در مواردی که ممیز منفی باشد، اگر بخواهیم از فرمول ریشه معادله درجه دوم استفاده کنیم، با نیاز به استخراج مواجه خواهیم شد. ریشه دوماز یک عدد منفی، که ما را فراتر از اعداد واقعی خواهد برد. با یک ممیز منفی، معادله درجه دوم ریشه واقعی نخواهد داشت، اما یک جفت ریشه مزدوج پیچیده امکان پذیر است که با همان فرمول های ریشه ای که ما به دست آوردیم تعیین می شود.

الگوریتم حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه

حل یک معادله درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه امکان پذیر است، اما این معمولاً زمانی انجام می شود که نیاز به یافتن ریشه های پیچیده باشد.

در اکثر موارد، معمولاً به معنای جستجوی نه پیچیده، بلکه برای ریشه های واقعی یک معادله درجه دوم است. سپس بهتر است قبل از استفاده از فرمول های ریشه های یک معادله درجه دوم، ابتدا ممیز را مشخص کرده و از منفی نبودن آن اطمینان حاصل کنیم (در غیر این صورت به این نتیجه می رسیم که معادله ریشه واقعی ندارد) و سپس اقدام به محاسبه می کنیم. ارزش ریشه ها

استدلال بالا امکان فرموله کردن یک الگوریتم برای حل یک معادله درجه دوم را فراهم می کند.

تعریف 10

برای حل یک معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0، لازم:

• طبق فرمول D = b 2 − 4 a cمقدار متمایز را بیابید.
• در D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• برای D = 0، تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول x = - b 2 · a ;
• برای D > 0، دو ریشه واقعی معادله درجه دوم را با استفاده از فرمول x = - b ± D 2 · a تعیین کنید.

توجه داشته باشید که وقتی ممیز صفر است، می توانید از فرمول x = - b ± D 2 · a استفاده کنید، نتیجه مشابه فرمول x = - b 2 · a خواهد بود.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم

اجازه دهید برای مقادیر مختلف تفکیک کننده مثال هایی ارائه دهیم.

مثال 6

ما باید ریشه های معادله را پیدا کنیم x 2 + 2 x − 6 = 0.

راه حل

بیایید ضرایب عددی معادله درجه دوم را بنویسیم: a = 1، b = 2 و c = - 6. بعد طبق الگوریتم پیش می رویم، i.e. بیایید شروع به محاسبه ممیز کنیم، که ضرایب a، b را جایگزین می کنیم. و جبه فرمول تفکیک: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28.

پس D > 0 بدست می آوریم، یعنی معادله اصلی دو ریشه واقعی خواهد داشت.
برای یافتن آنها، از فرمول ریشه x = - b ± D 2 · a استفاده می کنیم و با جایگزینی مقادیر مربوطه، به دست می آوریم: x = - 2 ± 28 2 · 1. اجازه دهید عبارت حاصل را با خارج کردن عامل از علامت ریشه و سپس کاهش کسر ساده کنیم:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 یا x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 یا x = - 1 - 7

پاسخ: x = - 1 + 7، x = - 1 - 7.

مثال 7

نیاز به حل یک معادله درجه دوم − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

راه حل

بیایید تفکیک کننده را تعریف کنیم: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. با این مقدار ممیز، معادله اصلی تنها یک ریشه خواهد داشت که با فرمول x = - b 2 · a تعیین می شود.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

پاسخ: x = 3.5.

مثال 8

معادله باید حل شود 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

راه حل

ضرایب عددی این معادله عبارتند از: a = 5، b = 6 و c = 2. ما از این مقادیر برای یافتن متمایز استفاده می کنیم: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . تفکیک محاسبه شده منفی است، بنابراین معادله درجه دوم اصلی ریشه واقعی ندارد.

در موردی که وظیفه نشان دادن ریشه های پیچیده است، فرمول ریشه را اعمال می کنیم و اقداماتی را با اعداد مختلط انجام می دهیم:

x = - 6 ± - 4 2 5،

x = - 6 + 2 i 10 یا x = - 6 - 2 i 10،

x = - 3 5 + 1 5 · i یا x = - 3 5 - 1 5 · i.

پاسخ:هیچ ریشه واقعی وجود ندارد. ریشه های مختلط به شرح زیر است: - 3 5 + 1 5 · i، - 3 5 - 1 5 · i.

که در برنامه آموزشی مدرسههیچ الزام استانداردی برای جستجوی ریشه های پیچیده وجود ندارد، بنابراین، اگر در حین حل، تشخیص دهنده منفی باشد، بلافاصله پاسخ نوشته می شود که هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

فرمول ریشه برای ضرایب حتی دوم

فرمول ریشه x = - b ± D 2 · a (D = b 2 - 4 · a · c) به دست آوردن فرمول دیگری، فشرده تر را ممکن می کند، به فرد اجازه می دهد برای معادلات درجه دوم راه حل هایی با ضریب زوج برای x پیدا کند. یا با ضریب شکل 2 · n، به عنوان مثال، 2 3 یا 14 ln 5 = 2 7 ln 5). اجازه دهید نشان دهیم که چگونه این فرمول مشتق شده است.

اجازه دهید با کار پیدا کردن یک راه حل برای معادله درجه دوم a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 مواجه شویم. طبق الگوریتم پیش می رویم: متمایز D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) را تعیین می کنیم و سپس از فرمول ریشه استفاده می کنیم:

x = - 2 n ± D 2 a، x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a، x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a، x = - - n ± n 2 - a · c a .

بگذارید عبارت n 2 − a · c با D 1 نشان داده شود (گاهی اوقات با D نشان داده می شود). سپس فرمول ریشه های معادله درجه دوم در نظر گرفته شده با ضریب دوم 2 · n به شکل زیر در می آید:

x = - n ± D 1 a، که در آن D 1 = n 2 - a · c.

به راحتی می توان فهمید که D = 4 · D 1، یا D 1 = D 4. به عبارت دیگر، D 1 یک چهارم ممیز است. بدیهی است که علامت D 1 همان علامت D است ، به این معنی که علامت D 1 می تواند به عنوان نشانگر وجود یا عدم وجود ریشه های یک معادله درجه دوم نیز باشد.

تعریف 11

بنابراین، برای یافتن راه حل برای یک معادله درجه دوم با ضریب دوم 2 n، لازم است:

• D 1 = n 2 − a · c ;
• در D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• وقتی D 1 = 0، تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول x = - n a تعیین کنید.
• برای D 1 > 0، دو ریشه واقعی را با استفاده از فرمول x = - n ± D 1 a تعیین کنید.

مثال 9

حل معادله درجه دوم 5 x 2 − 6 x − 32 = 0 ضروری است.

راه حل

می توانیم ضریب دوم معادله داده شده را به صورت 2 · (- 3) نشان دهیم. سپس معادله درجه دوم داده شده را به صورت 5 x 2 + 2 (- 3) x − 32 = 0 بازنویسی می کنیم که a = 5، n = − 3 و c = − 32.

بیایید قسمت چهارم ممیز را محاسبه کنیم: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. مقدار حاصل مثبت است، به این معنی که معادله دو ریشه واقعی دارد. اجازه دهید آنها را با استفاده از فرمول ریشه مربوطه تعیین کنیم:

x = - n ± D 1 a، x = - - 3 ± 169 5، x = 3 ± 13 5،

x = 3 + 13 5 یا x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 یا x = - 2

می توان محاسبات را با استفاده از فرمول معمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم انجام داد، اما در این مورد راه حل دشوارتر خواهد بود.

پاسخ: x = 3 1 5 یا x = - 2 .

ساده سازی شکل معادلات درجه دوم

گاهی اوقات می توان شکل معادله اصلی را بهینه کرد که روند محاسبه ریشه ها را ساده می کند.

به عنوان مثال، حل معادله درجه دوم 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 به وضوح راحت‌تر از 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 است.

بیشتر اوقات، ساده سازی شکل یک معادله درجه دوم با ضرب یا تقسیم دو طرف آن در یک عدد مشخص انجام می شود. به عنوان مثال، در بالا یک نمایش ساده از معادله 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 را نشان دادیم که با تقسیم هر دو طرف بر 100 به دست می‌آید.

چنین تبدیلی زمانی امکان پذیر است که ضرایب معادله درجه دوم اعداد هم اول نباشند. سپس معمولاً هر دو طرف معادله را بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک مقادیر مطلق ضرایب آن تقسیم می کنیم.

به عنوان مثال، از معادله درجه دوم 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 استفاده می کنیم. اجازه دهید GCD مقادیر مطلق ضرایب آن را تعیین کنیم: GCD (12، 42، 48) = GCD (GCD (12، 42)، 48) = GCD (6، 48) = 6. اجازه دهید هر دو طرف معادله درجه دوم اصلی را بر 6 تقسیم کنیم و معادله درجه دوم معادل 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 را به دست آوریم.

با ضرب هر دو طرف یک معادله درجه دوم، معمولاً از شر ضرایب کسری خلاص می شوید. در این حالت آنها در کمترین مضرب مشترک مخرج ضرایب آن ضرب می کنند. به عنوان مثال، اگر هر قسمت از معادله درجه دوم 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 با LCM (6، 3، 1) = 6 ضرب شود، آنگاه به صورت بیشتر نوشته می شود. به شکل ساده x 2 + 4 x − 18 = 0.

در نهایت، یادآور می‌شویم که تقریباً همیشه با تغییر علائم هر جمله معادله، که با ضرب (یا تقسیم) هر دو طرف در - 1 به دست می‌آید، از منهای اولین ضریب معادله درجه دوم خلاص می‌شویم. به عنوان مثال، از معادله درجه دوم − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0، می توانید به نسخه ساده شده آن 2 x 2 + 3 x − 7 = 0 بروید.

رابطه بین ریشه ها و ضرایب

فرمول ریشه های معادلات درجه دوم که قبلاً برای ما شناخته شده است، x = - b ± D 2 · a، ریشه های معادله را از طریق ضرایب عددی آن بیان می کند. با تکیه بر این فرمول، ما این فرصت را داریم که وابستگی های دیگر بین ریشه ها و ضرایب را مشخص کنیم.

معروف ترین و کاربردی ترین فرمول ها قضیه Vieta است:

x 1 + x 2 = - b a و x 2 = c a.

به طور خاص، برای معادله درجه دوم داده شده، مجموع ریشه ها ضریب دوم با علامت مخالف است و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است. به عنوان مثال، با نگاه کردن به شکل معادله درجه دوم 3 x 2 − 7 x + 22 = 0، می توان بلافاصله تعیین کرد که مجموع ریشه های آن 7 3 و حاصل ضرب ریشه ها 22 3 است.

همچنین می توانید تعدادی ارتباط دیگر بین ریشه ها و ضرایب یک معادله درجه دوم پیدا کنید. به عنوان مثال، مجموع مجذورات ریشه های یک معادله درجه دوم را می توان بر حسب ضرایب بیان کرد:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید