ما اغلب عبارات "بی اثر است"، "حرکت با اینرسی"، "لحظه اینرسی" را می شنویم. در معنای مجازی، کلمه "اینرسی" را می توان به عنوان فقدان ابتکار و عمل تفسیر کرد. ما به معنای مستقیم علاقه مندیم.

اینرسی چیست

طبق تعریف اینرسیدر فیزیک، توانایی اجسام برای حفظ حالت استراحت یا حرکت در غیاب نیروهای خارجی است.

اگر همه چیز با مفهوم اینرسی در سطح شهودی روشن باشد، پس ممان اینرسی- یک سوال جداگانه موافقم، تصور اینکه در ذهن شما چیست، دشوار است. در این مقاله می آموزید که چگونه مشکلات اساسی در مورد موضوع را حل کنید "ممان اینرسی".

تعیین ممان اینرسی

از جانب دوره مدرسهمشخص است که جرم - اندازه گیری اینرسی یک جسم. اگر دو گاری با جرم های مختلف را فشار دهیم، متوقف کردن گاری سنگین تر دشوارتر می شود. یعنی هر چه جرم بیشتر باشد بیشتر است نفوذ خارجیبرای تغییر حرکت بدن ضروری است. آنچه در نظر گرفته می شود در مورد حرکت انتقالی صدق می کند، زمانی که گاری از مثال در یک خط مستقیم حرکت می کند.

بر اساس قیاس با جرم و حرکت انتقالی، ممان اینرسی معیاری از اینرسی یک جسم در حرکت چرخشیحول محور

ممان اینرسی- یک کمیت فیزیکی اسکالر، اندازه گیری اینرسی یک جسم در طول چرخش حول یک محور. با حرف مشخص شده است جی و در سیستم SI بر حسب کیلوگرم بار در متر مربع اندازه گیری می شود.

چگونه ممان اینرسی را محاسبه کنیم؟ بخور فرمول کلی، که در فیزیک برای محاسبه ممان اینرسی هر جسمی استفاده می شود. اگر جسمی با یک جرم به قطعات بی نهایت کوچک تقسیم شود dm ، آنگاه ممان اینرسی برابر با مجموع حاصلضرب این جرم های بنیادی با مجذور فاصله تا محور چرخش خواهد بود.

این فرمول کلی برای ممان اینرسی در فیزیک است. برای یک نقطه جرم مادی متر ، چرخش حول یک محور در فاصله r از او، این فرمولشکل می گیرد:

قضیه اشتاینر

ممان اینرسی به چه چیزی بستگی دارد؟ از جرم، موقعیت محور چرخش، شکل و اندازه بدن.

قضیه هویگنز-اشتاینر یک قضیه بسیار مهم است که اغلب در حل مسائل استفاده می شود.

راستی! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است

قضیه هویگنز-اشتاینر بیان می کند:

ممان اینرسی یک جسم نسبت به یک محور دلخواه برابر است با مجموع گشتاور اینرسی جسم نسبت به محوری که از مرکز جرم موازی با یک محور دلخواه عبور می کند و حاصل ضرب جرم بدن در مربع است. از فاصله بین محورها

برای کسانی که نمی‌خواهند در هنگام حل مشکلات یافتن لحظه اینرسی دائماً ادغام شوند، نقاشی را ارائه می‌دهیم که ممان‌های اینرسی برخی اجسام همگن را نشان می‌دهد که اغلب در مسائل با آن مواجه می‌شوند:

مثالی از حل مسئله برای یافتن ممان اینرسی

بیایید به دو مثال نگاه کنیم. اولین کار یافتن ممان اینرسی است. کار دوم استفاده از قضیه هویگنز-اشتاینر است.

مسئله 1. ممان اینرسی یک دیسک همگن به جرم m و شعاع R را پیدا کنید. محور چرخش از مرکز دیسک می گذرد.

راه حل:

اجازه دهید دیسک را به حلقه های بی نهایت نازک تقسیم کنیم که شعاع آنها از 0 قبل از آرو یکی از این حلقه ها را در نظر بگیرید. بگذارید شعاع آن باشد rو جرم - dm. سپس ممان اینرسی حلقه برابر است با:

جرم حلقه را می توان به صورت زیر نشان داد:

اینجا dz- ارتفاع حلقه بیایید جرم را در فرمول ممان اینرسی جایگزین کرده و ادغام کنیم:

نتیجه فرمولی برای ممان اینرسی یک دیسک یا سیلندر نازک مطلق بود.

مسئله 2. اجازه دهید دوباره یک دیسک به جرم m و شعاع R وجود داشته باشد. اکنون باید ممان اینرسی دیسک را نسبت به محوری که از وسط یکی از شعاع های آن می گذرد، پیدا کنیم.

راه حل:

ممان اینرسی دیسک نسبت به محوری که از مرکز جرم می گذرد از مسئله قبلی مشخص است. بیایید قضیه اشتاینر را اعمال کنیم و پیدا کنیم:

به هر حال، در وبلاگ ما می توانید مطالب مفید دیگری در مورد فیزیک و.

امیدواریم در مقاله چیز مفیدی برای خود بیابید. اگر در فرآیند محاسبه تانسور اینرسی مشکلاتی پیش آمد، خدمات دانشجویی را فراموش نکنید. متخصصان ما در مورد هر مشکلی مشاوره می دهند و در عرض چند دقیقه به حل مشکل کمک می کنند.

نسبت به یک محور ثابت ("محور اینرسی محوری") کمیت است ج ا, برابر با مجموعآثار توده های همه nنقاط مادی سیستم با مجذور فاصله آنها تا محور:

• m i- وزن مننقطه ام،
• r i- فاصله از مننقطه به محور.

محوری ممان اینرسیبدن ج ااندازه گیری اینرسی یک جسم در حرکت چرخشی حول محور است، همانطور که جرم یک جسم اندازه گیری اینرسی آن در حرکت انتقالی است.

اگر بدن همگن باشد، یعنی چگالی آن در همه جا یکسان است، پس

قضیه هویگنز-اشتاینر

ممان اینرسی جامدنسبت به هر محوری نه تنها به جرم، شکل و اندازه بدن، بلکه به موقعیت بدن نسبت به این محور نیز بستگی دارد. طبق قضیه اشتاینر (قضیه هویگنز-اشتاینر) ممان اینرسیبدن جینسبت به یک محور دلخواه برابر با مجموع است ممان اینرسیاین بدن Jcنسبت به محوری که از مرکز جرم بدن موازی با محور مورد نظر می گذرد و حاصلضرب جرم بدن متردر هر مربع فاصله دبین محورها:

توده کل بدن کجاست

برای مثال، ممان اینرسی یک میله نسبت به محوری که از انتهای آن می گذرد برابر است با:

گشتاورهای محوری اینرسی برخی اجسام

لحظات اینرسیاجسام همگن ساده ترین شکلنسبت به برخی از محورهای چرخش

بدن	شرح	موقعیت محور آ	ممان اینرسی ج ا
	جرم نقطه مواد متر	در فاصله rاز یک نقطه، ثابت
	استوانه یا حلقه شعاع دیواره نازک توخالی rو توده ها متر	محور سیلندر
	سیلندر جامد یا دیسک شعاع rو توده ها متر	محور سیلندر
	استوانه جرمی توخالی با دیواره ضخیم متربا شعاع بیرونی r 2و شعاع داخلی r 1	محور سیلندر
	طول سیلندر جامد ل، شعاع rو توده ها متر
	طول استوانه (حلقه) دیواره نازک توخالی ل، شعاع rو توده ها متر	محور بر استوانه عمود است و از مرکز جرم آن می گذرد
	میله با طول نازک مستقیم لو توده ها متر	محور عمود بر میله است و از مرکز جرم آن می گذرد
	میله با طول نازک مستقیم لو توده ها متر	محور عمود بر میله است و از انتهای آن می گذرد
	کره شعاع دیواره نازک rو توده ها متر	محور از مرکز کره عبور می کند
	توپ شعاع rو توده ها متر	محور از مرکز توپ عبور می کند
	مخروط شعاع rو توده ها متر	محور مخروطی
	مثلث متساوی الساقین با ارتفاع ساعت، اساس آو جرم متر	محور بر صفحه مثلث عمود است و از رأس می گذرد
	مثلث منظم با ضلع آو جرم متر	محور بر صفحه مثلث عمود است و از مرکز جرم می گذرد
	مربع با ضلع آو جرم متر	محور بر صفحه مربع عمود است و از مرکز جرم می گذرد

استخراج فرمول ها

استوانه جدار نازک (حلقه، حلقه)

استخراج فرمول

ممان اینرسی یک جسم برابر است با مجموع گشتاورهای اینرسی اجزای تشکیل دهنده آن. یک استوانه جدار نازک را به عناصر دارای جرم تقسیم کنید dmو لحظات اینرسی دی جی آی. سپس

از آنجایی که تمام عناصر یک استوانه جدار نازک در فاصله یکسانی از محور چرخش قرار دارند، فرمول (1) به شکل تبدیل می شود.

سیلندر دیواره ضخیم (حلقه، حلقه)

استخراج فرمول

بگذارید یک حلقه همگن با شعاع بیرونی وجود داشته باشد آر، شعاع داخلی آر 1، ضخیم ساعتو چگالی ρ. بیایید آن را به حلقه های نازک ضخیم بشکنیم دکتر. جرم و گشتاور اینرسی یک حلقه شعاع نازک rخواهد بود

اجازه دهید ممان اینرسی حلقه ضخیم را به عنوان یک انتگرال پیدا کنیم

از آنجایی که حجم و جرم حلقه برابر است

فرمول نهایی ممان اینرسی حلقه را بدست می آوریم

دیسک همگن (سیلندر جامد)

استخراج فرمول

در نظر گرفتن یک سیلندر (دیسک) به عنوان حلقه ای با شعاع داخلی صفر ( آر 1 = 0)، فرمول لحظه اینرسی سیلندر (دیسک) را به دست می آوریم:

مخروط جامد

استخراج فرمول

بیایید مخروط را به دیسک های نازک با ضخامت بشکنیم dh، عمود بر محور مخروط. شعاع چنین دیسکی برابر است با

جایی که آر- شعاع پایه مخروط، اچ- ارتفاع مخروط ساعت- فاصله از بالای مخروط تا دیسک. جرم و ممان اینرسی چنین دیسکی خواهد بود

یکپارچه سازی، می گیریم

توپ همگن جامد

استخراج فرمول

توپ را به دیسک های نازک با ضخامت تقسیم کنید dh، عمود بر محور چرخش. شعاع چنین دیسکی در ارتفاع قرار دارد ساعتاز مرکز کره، آن را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم

جرم و ممان اینرسی چنین دیسکی خواهد بود

ممان اینرسی کره را با ادغام پیدا می کنیم:

کره دیواره نازک

استخراج فرمول

برای بدست آوردن این، از فرمول ممان اینرسی یک توپ همگن با شعاع استفاده می کنیم آر:

اجازه دهید محاسبه کنیم که لحظه اینرسی توپ چقدر تغییر می کند اگر در چگالی ρ ثابت شعاع آن به مقدار بی نهایت کوچک افزایش یابد. دکتر.

میله نازک (محور از مرکز عبور می کند)

استخراج فرمول

میله را به قطعات کوچک تقسیم کنید دکتر. جرم و گشتاور اینرسی چنین قطعه ای برابر است

یکپارچه سازی، می گیریم

میله نازک (محور از انتهای آن عبور می کند)

استخراج فرمول

هنگامی که محور چرخش از وسط میله به انتهای آن حرکت می کند، مرکز ثقل میله نسبت به محور با فاصله حرکت می کند. ل/2. طبق قضیه اشتاینر لحظه جدیداینرسی برابر خواهد بود

گشتاورهای بی بعدی اینرسی سیارات و ماهواره های آنها

ارزش عالی برای تحقیق ساختار داخلیسیارات و ماهواره های آنها دارای گشتاورهای بی بعدی اینرسی هستند. ممان اینرسی بدون بعد جسمی با شعاع rو توده ها متربرابر است با نسبت ممان اینرسی آن نسبت به محور چرخش به ممان اینرسی یک نقطه مادی با همان جرم نسبت به یک محور ثابت چرخش واقع در فاصله r(مساوی با آقای 2). این مقدار توزیع جرم در عمق را منعکس می کند. یکی از روش‌های اندازه‌گیری آن در نزدیکی سیارات و ماهواره‌ها، تعیین تغییر داپلر سیگنال رادیویی است که توسط یک AMS که در نزدیکی یک سیاره یا ماهواره پرواز می‌کند، ارسال می‌شود. برای یک کره با دیواره نازک، گشتاور بی بعد اینرسی برابر با 2/3 (~0.67) است، برای یک توپ همگن - 0.4، و به طور کلی، هر چه کمتر، جرم بدن بیشتر در مرکز آن متمرکز شود. به عنوان مثال، ماه دارای گشتاور اینرسی بی بعدی نزدیک به 0.4 (برابر با 0.391) است، بنابراین فرض می شود که نسبتا همگن است، چگالی آن کمی با عمق تغییر می کند. گشتاور بی بعد اینرسی زمین کمتر از یک کره همگن است (برابر 0.335) که دلیلی به نفع وجود یک هسته متراکم است.

ممان اینرسی گریز از مرکز

گشتاورهای گریز از مرکز اینرسی یک جسم نسبت به محورهای یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی به شرح زیر است:

جایی که ایکس, yو z- مختصات یک عنصر بدن کوچک با حجم dV، تراکم ρ و جرم dm.

محور OX نامیده می شود محور اصلی اینرسی بدنه، اگر گشتاورهای گریز از مرکز اینرسی J xyو J xzبه طور همزمان برابر با صفر هستند. سه محور اصلی اینرسی را می توان در هر نقطه از بدنه ترسیم کرد. این محورها متقابلاً بر یکدیگر عمود هستند. لحظات اینرسی بدننسبت به سه محور اصلی اینرسی ترسیم شده در یک نقطه دلخواه Oاجسام نامیده می شوند لحظات اصلی اینرسی بدن.

محورهای اصلی اینرسی که از مرکز جرم بدن عبور می کنند نامیده می شوند محورهای اصلی اینرسی بدنه، و ممان اینرسی در مورد این محورها آن است اصلی نقاط مرکزیاینرسی. محور تقارن یک جسم همگن همیشه یکی از محورهای اصلی اینرسی مرکزی آن است.

گشتاور هندسی اینرسی

گشتاور هندسی اینرسی - مشخصه هندسی یک بخش از فرم

که در آن فاصله از محور مرکزی تا هر ناحیه ابتدایی نسبت به محور خنثی است.

ممان هندسی اینرسی به حرکت ماده مربوط نمی شود، بلکه فقط میزان صلبیت مقطع را منعکس می کند. برای محاسبه شعاع چرخش، انحراف تیر، انتخاب سطح مقطع تیرها، ستون ها و غیره استفاده می شود.

واحد اندازه گیری SI m4 است. در محاسبات ساخت و ساز، ادبیات و مجموعه های فلزی نورد، به ویژه، در سانتی متر 4 نشان داده شده است.

از آن لحظه مقاومت بخش بیان می شود:

.

گشتاورهای هندسی اینرسی برخی از اشکال
ارتفاع و عرض مستطیل:
بخش جعبه مستطیلی با ارتفاع و عرض در امتداد خطوط خارجی و، و در امتداد خطوط داخلی و به ترتیب
قطر دایره

ممان مرکزی اینرسی

ممان مرکزی اینرسی(یا ممان اینرسی نسبت به نقطه O) کمیت است

ممان مرکزی اینرسی را می توان بر حسب ممان های اینرسی محوری یا گریز از مرکز بیان کرد: .

تانسور اینرسی و بیضی اینرسی

ممان اینرسی یک جسم نسبت به یک محور دلخواه که از مرکز جرم می گذرد و دارای جهت مشخص شده توسط بردار واحد است را می توان به شکل یک فرم درجه دوم (دو خطی) نشان داد:

(1),

تانسور اینرسی کجاست ماتریس تانسور اینرسی متقارن است، دارای ابعاد است و از اجزای گشتاورهای گریز از مرکز تشکیل شده است:

,
.

با انتخاب سیستم مختصات مناسب، ماتریس تانسور اینرسی را می توان به شکل مورب کاهش داد. برای انجام این کار، باید مسئله مقدار ویژه را برای ماتریس تانسور حل کنید:
,
ماتریس انتقال متعامد به پایه ویژه تانسور اینرسی کجاست. در مبنای مناسب، محورهای مختصات در امتداد محورهای اصلی تانسور اینرسی هدایت می شوند و همچنین با نیمه محورهای اصلی بیضی تانسور اینرسی منطبق می شوند. کمیت ها ممان های اصلی اینرسی هستند. عبارت (1) در سیستم مختصات خود به شکل زیر است:

,

معادله از کجا می آید

ممان نیرو و ممان اینرسی

در دینامیک حرکت انتقالی یک نقطه مادی، علاوه بر ویژگی های سینماتیکی، مفاهیم نیرو و جرم نیز معرفی شدند. هنگام مطالعه دینامیک حرکت چرخشی، مقادیر فیزیکی معرفی می شوند - گشتاورو ممان اینرسی, معنای فیزیکیکه در زیر آشکار خواهیم کرد.

اجازه دهید جسمی تحت تأثیر نیرویی که در یک نقطه اعمال شود آ، به دور محور OO می چرخد" (شکل 5.1).

شکل 5.1 - برای نتیجه گیری مفهوم گشتاور نیرو

نیرو در صفحه ای عمود بر محور عمل می کند. عمود بر آر، از نقطه پایین افتاد در باره(خوابیده روی محور) به جهت نیرو نامیده می شود شانه قدرت. حاصل ضرب نیروی بازو، مدول را تعیین می کند لحظه نیرونسبت به نقطه در باره:

(5.1)

لحظه قدرت برداری است که توسط حاصلضرب بردار شعاع بردار نقطه اعمال نیرو و بردار نیرو تعیین می شود.:

(5.2)

واحد لحظه نیرو - نیوتن متر(ن . م). جهت بردار گشتاور نیرو را می توان با استفاده از قوانین پروانه درست.

اندازه گیری اینرسی اجسام در حین حرکت انتقالی جرم است. اینرسی اجسام در طول حرکت چرخشی نه تنها به جرم، بلکه به توزیع آن در فضا نسبت به محور چرخش نیز بستگی دارد. اندازه گیری اینرسی در حین حرکت چرخشی کمیتی نامیده می شود لحظه اینرسی بدن نسبت به محور چرخش

ممان اینرسی یک نقطه مادی نسبت به محور چرخش - حاصلضرب جرم این نقطه با مجذور فاصله از محور:

لحظه اینرسی بدن نسبت به محور چرخش - مجموع گشتاورهای اینرسی نقاط مادی تشکیل دهنده این جسم:

(5.4)

که در مورد کلی، اگر جسم جامد باشد و مجموعه ای از نقاط را با جرم های کوچک نشان دهد dm، ممان اینرسی با ادغام تعیین می شود:

, (5.5)

جایی که r- فاصله از محور چرخش تا عنصری به جرم d متر.

اگر جسم همگن و چگالی آن باشد ρ = متر/V، سپس لحظه اینرسی بدن

(5.6)

ممان اینرسی یک جسم به این بستگی دارد که به چه محوری بچرخد و جرم جسم چگونه در کل حجم توزیع شود.

ممان اینرسی اجسام دارای شکل هندسی منظم و توزیع یکنواختجرم بر حسب حجم

ممان اینرسی یک میله همگننسبت به محوری که از مرکز اینرسی و عمود بر میله عبور می کند،

ممان اینرسی یک استوانه همگننسبت به محور عمود بر قاعده آن و عبور از مرکز اینرسی،

(5.8)

لحظه اینرسی یک استوانه یا حلقه جدار نازکنسبت به محوری عمود بر صفحه قاعده آن و عبور از مرکز آن،

لحظه اینرسی توپنسبت به قطر

(5.10)

اجازه دهید گشتاور اینرسی دیسک را نسبت به محوری که از مرکز اینرسی و عمود بر صفحه چرخش عبور می کند، تعیین کنیم. بگذارید جرم دیسک باشد متر، و شعاع آن است آر.

ناحیه حلقه (شکل 5.2) محصور در بین rو برابر است با .

شکل 5.2 - برای استخراج ممان اینرسی دیسک

ناحیه دیسک با ضخامت حلقه ثابت،

از کجا یا .

سپس لحظه اینرسی دیسک،

برای وضوح، شکل 5.3 جامدات همگن را نشان می دهد اشکال مختلفو گشتاورهای اینرسی این اجسام نسبت به محوری که از مرکز جرم می گذرد نشان داده شده است.

شکل 5.3 - ممان اینرسی من C از برخی مواد جامد همگن.

قضیه اشتاینر

فرمول های فوق برای ممان اینرسی اجسام در شرایطی ارائه شده است که محور چرخش از مرکز اینرسی بگذرد. برای تعیین ممان اینرسی یک جسم نسبت به یک محور دلخواه، باید استفاده کنید قضیه اشتاینر : ممان اینرسی جسم نسبت به یک محور چرخش دلخواه برابر است با مجموع گشتاور اینرسی J 0 نسبت به محور موازی با محور داده شده و عبور از مرکز اینرسی جسم و مقدار md 2:

(5.12)

جایی که متر- جرم بدن، د- فاصله از مرکز جرم تا محور چرخش انتخاب شده. واحد گشتاور اینرسی - کیلوگرم متر مربع (کیلوگرم . m 2).

بنابراین، ممان اینرسی یک میله همگن با طول لنسبت به محوری که از انتهای آن می گذرد، طبق قضیه اشتاینر برابر است با

کاربرد. ممان اینرسی و محاسبه آن.

اجازه دهید بدنه صلب حول محور Z بچرخد (شکل 6). می توان آن را به عنوان سیستمی از نقاط مادی مختلف m i نشان داد که در طول زمان تغییر نمی کنند و هر کدام در دایره ای با شعاع حرکت می کنند. r i، در صفحه ای عمود بر محور Z قرار دارد. سرعت های زاویه ایتمام نقاط مادی یکسان است. ممان اینرسی یک جسم نسبت به محور Z مقدار زیر است:

جایی که - ممان اینرسی یک نقطه مادی منفرد نسبت به محور OZ. از تعریف بر می آید که ممان اینرسی است مقدار افزودنی، یعنی ممان اینرسی جسمی متشکل از اجزای مجزا برابر است با مجموع ممان اینرسی اجزا.

شکل 6

به طور مشخص، [ من] = kg×m 2. اهمیت مفهوم ممان اینرسی در سه فرمول بیان می شود:

; ; .

اولین مورد، تکانه زاویه ای جسمی را که حول محور ثابت Z می چرخد ​​را بیان می کند (مقایسه این فرمول با بیان حرکت یک جسم مفید است. P = mV c، جایی که V ج- سرعت مرکز جرم). فرمول دوم معادله اساسی برای دینامیک حرکت چرخشی یک جسم حول یک محور ثابت نامیده می شود، به عبارت دیگر، قانون دوم نیوتن برای حرکت چرخشی (مقایسه با قانون حرکت مرکز جرم: ). فرمول سوم انرژی جنبشی جسمی را که حول یک محور ثابت می چرخد ​​بیان می کند (مقایسه با بیان انرژی جنبشی یک ذره ). مقایسه فرمول ها به ما امکان می دهد نتیجه بگیریم که ممان اینرسی در حرکت چرخشی نقشی مشابه جرم ایفا می کند، به این معنا که هر چه گشتاور اینرسی یک جسم بیشتر باشد، شتاب زاویه ای کمتری به دست می آورد، و همه چیزهای دیگر برابر هستند. چرخاندن بدن، به بیان مجازی، دشوارتر است). در واقع، محاسبه گشتاورهای اینرسی به محاسبه انتگرال سه گانه ختم می شود و فقط برای تعداد محدودی قابل انجام است. اجسام متقارنو فقط برای محورهای تقارن. تعداد محورهایی که جسم می تواند به دور آنها بچرخد بی نهایت زیاد است. در بین تمام محورها، محوری که از نقطه قابل توجهی از بدن عبور می کند برجسته است - مرکز جرم (نقطه ای که برای توصیف حرکت آن کافی است تصور کنیم که کل جرم سیستم در مرکز جرم متمرکز شده و نیرویی برابر با مجموع همه نیروها به این نقطه وارد شود). اما محورهای بی نهایت زیادی نیز از مرکز جرم عبور می کنند. به نظر می رسد که برای هر جسم جامد با شکل دلخواه سه محور متقابل عمود وجود دارد C x، C y، C z، تماس گرفت محورهای چرخش آزاد که خاصیت قابل توجهی دارند: اگر جسمی به دور هر یک از این محورها بپیچد و به بالا پرتاب شود، در حین حرکت بعدی بدن، محور موازی با خود باقی می ماند، یعنی. سقوط نخواهد کرد. چرخش به دور هر محور دیگری این خاصیت را ندارد. مقادیر ممان اینرسی اجسام معمولی در مورد محورهای مشخص شده در زیر آورده شده است. اگر محور از مرکز جرم عبور کند، اما با محورها زوایای a، b، g بسازد C x، C y، C zبر این اساس، ممان اینرسی در مورد چنین محوری برابر است با

I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)

اجازه دهید به طور خلاصه محاسبه ممان اینرسی را برای ساده ترین اجسام در نظر بگیریم.

1.ممان اینرسی یک میله همگن نازک بلند حول محوری که از مرکز جرم میله و عمود بر آن می گذرد.

اجازه دهید تی -جرم میله، ل -طول آن

,

فهرست مطالب " با» در لحظه اینرسی مدار مجتمعبه این معنی که این لحظه اینرسی در مورد محوری است که از نقطه مرکز جرم (مرکز تقارن بدن) می گذرد. C(0,0,0).

2. ممان اینرسی یک صفحه مستطیلی نازک.

; ;

3. ممان اینرسی یک متوازی الاضلاع مستطیلی شکل.

, t (0,0,0)

4. لحظه اینرسی یک حلقه نازک.

;

, t (0,0,0)

5. لحظه اینرسی یک دیسک نازک.

به دلیل تقارن

; ;

6. ممان اینرسی یک استوانه جامد.

;

به دلیل تقارن:

7. ممان اینرسی یک کره جامد.

, t (0,0,0)

8. ممان اینرسی یک مخروط جامد.

, T (0,0,0)

جایی که آر- شعاع پایه، ساعت- ارتفاع مخروط

به یاد بیاورید که cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. در نهایت، اگر محور O از مرکز جرم عبور نکند، آنگاه می توان گشتاور اینرسی جسم را با استفاده از قضیه هویگنز اشتاینر محاسبه کرد.

I o = من s + md 2, (**)

جایی که من o- ممان اینرسی بدن نسبت به یک محور دلخواه، است- ممان اینرسی حول محوری موازی با آن که از مرکز جرم می گذرد،
متر- جرم بدن، د- فاصله بین محورها

روش محاسبه گشتاورهای اینرسی برای اجسام با شکل استاندارد نسبت به یک محور دلخواه به موارد زیر کاهش می یابد.

ممان اینرسی
  برای محاسبه ممان اینرسی، باید جسم را به طور ذهنی به عناصر به اندازه کافی کوچک تقسیم کنیم، که نقاط آن را می توان در فاصله یکسان از محور چرخش در نظر گرفت، سپس حاصل ضرب جرم هر عنصر را بر مربع پیدا کرد. فاصله آن از محور و در نهایت، مجموع تمام محصولات حاصل. بدیهی است که این کار بسیار وقت گیر است. برای شمردن
لحظه های اینرسی اجسام درست است شکل هندسیدر برخی موارد، می توانید از روش های حساب انتگرال استفاده کنید.
  ما تعیین مجموع محدود گشتاورهای اینرسی عناصر بدن را با جمع کردن تعداد بی نهایت زیادی از گشتاورهای اینرسی محاسبه شده برای عناصر بی نهایت کوچک جایگزین می کنیم:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (در Δm → 0).
  اجازه دهید گشتاور اینرسی یک دیسک همگن یا یک استوانه جامد با ارتفاع را محاسبه کنیم ساعتنسبت به محور تقارن آن

اجازه دهید دیسک را به عناصری به شکل حلقه های نازک متحدالمرکز با مراکزی روی محور تقارن آن تقسیم کنیم. حلقه های حاصل دارای قطر داخلی هستند rو خارجی r+dr، و ارتفاع ساعت. زیرا دکتر<< r ، پس می توان فرض کرد که فاصله تمام نقاط حلقه از محور برابر است r.
  برای هر حلقه جداگانه، لحظه اینرسی
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
جایی که ΣΔm- جرم کل حلقه.
حجم زنگ 2πrhdr. اگر چگالی مواد دیسک ρ ، سپس جرم حلقه
ρ2πrhdr.
لحظه اینرسی حلقه
i = 2prhr 3 dr.
  برای محاسبه ممان اینرسی کل دیسک، لازم است ممان اینرسی حلقه ها از مرکز دیسک جمع شود ( r = 0) تا لبه آن ( r = R) یعنی انتگرال را محاسبه کنید:
I = 2πrh 0 R ∫r 3 dr,
یا
I = (1/2)πρhR 4.
اما جرم دیسک m = ρπhR 2از این رو،
I = (1/2) mR 2.
  اجازه دهید (بدون محاسبه) گشتاورهای اینرسی را برای برخی از اجسام با شکل هندسی منظم، ساخته شده از مواد همگن ارائه کنیم.


 1. ممان اینرسی یک حلقه نازک نسبت به محوری که از مرکز آن عمود بر صفحه آن می گذرد (یا یک استوانه توخالی جدار نازک نسبت به محور تقارن آن):
I = mR 2.
 2. ممان اینرسی یک استوانه دیواره ضخیم نسبت به محور تقارن:
I = (1/2) متر (R 1 2 - R 2 2)
جایی که R 1- داخلی و R 2- شعاع بیرونی
 3. ممان اینرسی دیسک نسبت به محوری که با یکی از قطرهای آن منطبق است:
I = (1/4) mR 2.
 4. ممان اینرسی یک استوانه جامد نسبت به محور عمود بر ژنراتیکس و عبور از وسط آن:
I = m(R2/4 + h2/12)
جایی که آر- شعاع پایه سیلندر، ساعت- ارتفاع سیلندر.
 5. ممان اینرسی یک میله نازک نسبت به محوری که از وسط آن می گذرد:
I = (1/12) میلی لیتر 2,
جایی که ل- طول میله.
 6. ممان اینرسی یک میله نازک نسبت به محوری که از یکی از انتهای آن می گذرد:
I = (1/3) میلی لیتر 2
  7. ممان اینرسی توپ نسبت به محوری که با یکی از قطرهای آن منطبق است:
I = (2/5) mR 2.

اگر گشتاور اینرسی یک جسم در مورد محوری که از مرکز جرم آن می گذرد شناخته شود، بر اساس قضیه موسوم به هویگنز-اشتاینر، گشتاور اینرسی را در مورد هر محور دیگری موازی با اولی می توان یافت.
  لحظه اینرسی بدن مننسبت به هر محوری برابر با ممان اینرسی بدن است استنسبت به یک محور موازی با محور داده شده و عبور از مرکز جرم بدن، به اضافه جرم بدن مترضرب در مجذور فاصله لبین محورها:
I = I c + ml 2.
  به عنوان مثال، لحظه اینرسی یک توپ با شعاع را محاسبه می کنیم آرو جرم مترمعلق روی نخی به طول l نسبت به محوری که از نقطه تعلیق می گذرد در باره. جرم نخ در مقایسه با جرم توپ کوچک است. از لحظه اینرسی توپ نسبت به محوری که از مرکز جرم عبور می کند Ic = (2/5) mR 2، و فاصله
بین محورها ( l + R، سپس ممان اینرسی در مورد محور عبور از نقطه تعلیق:
I = (2/5) mR 2 + m (l + R) 2.
ابعاد ممان اینرسی:
[I] = [m] × = ML 2.