مساحت یک مثلث برابر است با مجموع مربع های پاها. راست گوشه

راه های مختلفاثبات قضیه فیثاغورث

دانش آموز نهم کلاس الف

مؤسسه آموزشی شهرداری مدرسه راهنمایی شماره 8

مشاور علمی:

معلم ریاضی،

مؤسسه آموزشی شهرداری مدرسه راهنمایی شماره 8

هنر Novorozhdestvenskaya

منطقه کراسنودار

هنر Novorozhdestvenskaya

حاشیه نویسی.

قضیه فیثاغورث به درستی مهمترین در درس هندسه در نظر گرفته می شود و سزاوار توجه دقیق است. پایه ای برای حل بسیاری از مسائل هندسی، مبنایی برای مطالعه دروس هندسه نظری و عملی در آینده است. این قضیه با انبوهی از مطالب تاریخی مرتبط با ظاهر و روش های اثبات آن احاطه شده است. مطالعه تاریخچه توسعه هندسه، عشق به این موضوع را القا می کند، باعث رشد علاقه شناختی، فرهنگ عمومی و خلاقیت می شود و همچنین مهارت های تحقیق را توسعه می دهد.

در نتیجه فعالیت جستجو، هدف کار به دست آمد که دوباره پر کردن و تعمیم دانش در مورد اثبات قضیه فیثاغورث بود. امکان یافتن و در نظر گرفتن روش های مختلف اثبات و تعمیق دانش در مورد موضوع، فراتر از صفحات کتاب درسی مدرسه وجود داشت.

مطالب جمع آوری شده بیشتر ما را متقاعد می کند که قضیه فیثاغورث یک قضیه بزرگ هندسه است و اهمیت نظری و عملی بسیار زیادی دارد.

معرفی. مرجع تاریخی 5 قسمت اصلی 8

3. نتیجه گیری 19

4. ادبیات استفاده شده 20
1. معرفی. مرجع تاریخی.

ماهیت حقیقت این است که برای ما تا ابد است،

وقتی حداقل یک بار در بینش او نور را می بینیم،

و قضیه فیثاغورث بعد از سالها

برای ما، همانطور که برای او، غیرقابل انکار، بی عیب و نقص است.

فیثاغورث برای شادی با خدایان عهد کرد:

برای دست زدن به خرد بی نهایت،

او به لطف گاوهای ابدی صد گاو را ذبح کرد.

بعد از مقتول نماز و حمد اقامه کرد.

از آن به بعد، وقتی گاو نر آن را بو می کند، فشار می آورد،

که رد دوباره مردم را به حقیقتی جدید هدایت می کند،

آنها با عصبانیت غرش می کنند، بنابراین گوش دادن فایده ای ندارد،

چنین فیثاغورثی برای همیشه وحشت را در آنها القا کرد.

گاو نر، ناتوان در برابر حقیقت جدید،

چه چیزی باقی می ماند؟ - فقط چشمان خود را ببندید، غرش می کنید، می لرزید.

معلوم نیست فیثاغورث چگونه قضیه خود را اثبات کرد. آنچه مسلم است این است که تحت تأثیر شدید علم مصر آن را کشف کرده است. یک مورد خاص از قضیه فیثاغورث - خواص مثلث با ضلع های 3، 4 و 5 - مدت ها قبل از تولد فیثاغورث برای سازندگان اهرام شناخته شده بود و خود او بیش از 20 سال نزد کاهنان مصری تحصیل کرد. افسانه ای حفظ شده است که می گوید با اثبات قضیه معروف خود، فیثاغورث یک گاو نر را برای خدایان قربانی کرد و طبق منابع دیگر حتی 100 گاو نر. با این حال، این با اطلاعات مربوط به دیدگاه های اخلاقی و مذهبی فیثاغورث در تضاد است. در منابع ادبی می توانید بخوانید که او "حتی کشتن حیوانات را نهی کرد، بسیار کمتر از آنها تغذیه کرد، زیرا حیوانات نیز مانند ما روح دارند." فیثاغورث فقط عسل، نان، سبزیجات و گاهی ماهی می خورد. در ارتباط با همه اینها، مدخل زیر را می توان محتمل تر دانست: «... و حتی وقتی متوجه شد که در مثلث قائم الزاویه هیپوتنوس مطابق با پاها است، گاو نر ساخته شده از خمیر گندم را قربانی کرد.»

محبوبیت قضیه فیثاغورث به حدی است که اثبات آن را حتی در داستان های تخیلی نیز می توان یافت، به عنوان مثال، در داستان "ارشمیدس جوان" نویسنده مشهور انگلیسی هاکسلی. همین اثبات، اما برای حالت خاص مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین، در گفتگوی افلاطون «منو» آمده است.

افسانه "خانه".

«دور، دور، جایی که حتی هواپیماها هم پرواز نمی کنند، کشور هندسه است. در این کشور غیر معمول یک شهر شگفت انگیز وجود داشت - شهر Teorem. یک روز به این شهر آمدم دخترزیبابه نام Hypotenuse. او سعی کرد یک اتاق اجاره کند، اما مهم نیست که کجا درخواست داد، او را رد کردند. سرانجام به خانه ی رکودی نزدیک شد و در زد. مردی که خود را زاویه راست می نامید در را به روی او باز کرد و او هیپوتنوس را دعوت کرد تا با او زندگی کند. هیپوتنوز در خانه ای باقی ماند که رایت آنگل و دو پسر جوانش به نام کیتس در آن زندگی می کردند. از آن زمان، زندگی در خانه زاویه راست به روشی جدید تغییر کرده است. هیپوتونوس روی پنجره گل کاشت و در باغچه جلویی گل رز قرمز کاشت. خانه به شکل مثلث قائم الزاویه درآمد. هر دو پا واقعاً Hypotenuse را دوست داشتند و از او خواستند تا برای همیشه در خانه آنها بماند. عصرها این خانواده صمیمی سر سفره خانواده دور هم جمع می شوند. گاهی اوقات Right Angle با بچه هایش مخفی کاری می کند. اغلب او باید نگاه کند، و Hypotenuse چنان ماهرانه پنهان می شود که پیدا کردن آن بسیار دشوار است. یک روز در حین بازی، Right Angle متوجه یک ویژگی جالب شد: اگر او موفق شود پاها را پیدا کند، پس پیدا کردن Hypotenuse دشوار نیست. بنابراین Right Angle از این الگو استفاده می کند، باید بگویم که بسیار موفق است. قضیه فیثاغورث بر اساس ویژگی این مثلث قائم الزاویه است.

(از کتاب A. Okunev "از شما برای درس متشکرم، بچه ها").

فرمول طنز قضیه:

اگر یک مثلث به ما داده شود

و علاوه بر این، با زاویه راست،

که مربع هیپوتانوس است

ما همیشه می توانیم به راحتی پیدا کنیم:

پاها را مربع می کنیم،

ما مجموع قدرت ها را پیدا می کنیم -

و به این روش ساده

به نتیجه خواهیم رسید.

در حین مطالعه جبر و آغاز تجزیه و تحلیل و هندسه در کلاس دهم، متقاعد شدم که علاوه بر روش اثبات قضیه فیثاغورث که در کلاس هشتم مطرح شد، روش های اثبات دیگری نیز وجود دارد. من آنها را برای بررسی شما ارائه می کنم.
2. بخش اصلی.

قضیه. در یک مثلث قائم الزاویه یک مربع وجود دارد

هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها.

1 روش.

با استفاده از ویژگی های مساحت چندضلعی ها، رابطه قابل توجهی بین هیپوتنوس و پایه های یک مثلث قائم الزاویه برقرار خواهیم کرد.

اثبات

الف، جو هیپوتانوز با(شکل 1، الف).

این را ثابت کنیم c²=a²+b².

اثبات

بیایید مثلث را به یک مربع با ضلع کامل کنیم a + bهمانطور که در شکل نشان داده شده است. 1، ب. مساحت S این مربع (a + b)² است. از سوی دیگر، این مربع از چهار مثلث قائم الزاویه مساوی تشکیل شده است که مساحت هر یک از آنها ½ است. اوه، و یک مربع با ضلع با،بنابراین S = 4 * ½ aw + c² = 2aw + c².

بدین ترتیب،

(a + b)² = 2 aw + c²,

c²=a²+b².

قضیه ثابت شده است.
2 روش.

پس از مطالعه مبحث "مثلث های مشابه" متوجه شدم که می توانید شباهت مثلث ها را در اثبات قضیه فیثاغورث اعمال کنید. یعنی، من از این جمله استفاده کردم که ساق مثلث قائم الزاویه میانگینی است که با هیپوتنوز و پاره هیپوتنوز محصور بین پا و ارتفاعی که از راس گرفته شده است، است. زاویه راست.

یک مثلث قائم الزاویه با زاویه قائم C، CD – ارتفاع را در نظر بگیرید (شکل 2). این را ثابت کنیم AC² +NE² = AB² .

اثبات

بر اساس بیانیه در مورد ساق مثلث قائم الزاویه:

AC = , SV = .

اجازه دهید مربع و برابرهای حاصل را اضافه کنیم:

AC² = AB * AD، CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB)، که در آن AD+DB=AB، سپس

AC² + CB² = AB * AB،

AC² + CB² = AB².

اثبات کامل است.
3 روش.

برای اثبات قضیه فیثاغورث، می توانید تعریف کسینوس یک زاویه تند مثلث قائم الزاویه را اعمال کنید. بیایید به شکل نگاه کنیم. 3.

اثبات:

بگذارید ABC یک مثلث قائم الزاویه با زاویه راست C باشد. اجازه دهید CD ارتفاع را از راس زاویه قائم C رسم کنیم.

با تعریف کسینوس یک زاویه:

cos A = AD/AC = AC/AB. بنابراین AB * AD = AC²

به همین ترتیب،

cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.

بنابراین AB * BD = BC².

با اضافه کردن تساوی های حاصل به صورت ترم و توجه به AD + DB = AB، به دست می آوریم:

AC² + خورشید² = AB (AD + DB) = AB²

اثبات کامل است.
4 روش.

با مطالعه مبحث "روابط بین اضلاع و زوایای مثلث قائم الزاویه"، فکر می کنم قضیه فیثاغورث را می توان به روش دیگری نیز اثبات کرد.

یک مثلث قائم الزاویه با پاها را در نظر بگیرید الف، جو هیپوتانوز با. (شکل 4).

این را ثابت کنیم c²=a²+b².

اثبات

گناه B=کیفیت بالا ; cos B= a/c , سپس، با مجذور برابری های حاصل، به دست می آوریم:

گناه² B= in²/s²؛ cos² که در= a²/c².

با جمع کردن آنها، دریافت می کنیم:

گناه² که در+cos² B= v²/s²+ a²/s²، جایی که sin² که در+cos² B=1،

1 = (v²+ a²) / س²، بنابراین،

c²= a² + b².

اثبات کامل است.

5 روش.

این اثبات بر اساس برش مربع های ساخته شده بر روی پاها (شکل 5) و قرار دادن قطعات به دست آمده بر روی مربع ساخته شده بر روی هیپوتنوس است.

6 روش.

برای اثبات در کنار آفتابما در حال ساختن هستیم BCD ABC(شکل 6). می دانیم که مساحت شکل های مشابه به عنوان مربع ابعاد خطی مشابه آنها به هم مرتبط است:

با کم کردن دومی از تساوی اول، به دست می‌آییم

c2 = a2 + b2.

اثبات کامل است.

7 روش.

داده شده(شکل 7):

ABC،= 90 درجه ، آفتاب= a، AC=b، AB = c.

ثابت كردن:c2 = a2 +b2.

اثبات

اجازه دهید پا ب آ.بیایید بخش را ادامه دهیم NEدر هر نقطه که درو یک مثلث بسازید BMDبه طوری که نقاط مو آدر یک طرف خط مستقیم دراز بکشید سی دیو علاوه بر این، BD =ب BDM= 90 درجه، DM= a، پس BMD= ABCدر دو طرف و زاویه بین آنها. نقاط A و مبا بخش ها ارتباط برقرار کنید صبح.ما داریم M.D. سی دیو A.C. سی دی،یعنی مستقیم است ACبه موازات خط M.D.زیرا M.D.< АС, سپس مستقیم سی دیو صبح.موازی نیست از این رو، AMDC-ذوزنقه مستطیلی

در مثلث قائم الزاویه ABC و BMD 1 + 2 = 90 درجه و 3 + 4 = 90 درجه، اما از = =، سپس 3 + 2 = 90 درجه. سپس AVM= 180 درجه - 90 درجه = 90 درجه. معلوم شد که ذوزنقه AMDCبه سه مثلث قائم الزاویه غیر همپوشانی تقسیم می شود، سپس با بدیهیات مساحت

(الف+ب)(الف+ب)

با تقسیم تمام عبارات نابرابری بر ، به دست می آوریم

آb + c2 + ab = (a +ب) , 2 ab+ c2 = a2+ 2aب+ b2،

c2 = a2 + b2.

اثبات کامل است.

8 روش.

این روش بر اساس هیپوتنوز و پاهای یک مثلث قائم الزاویه است ABC.او مربع های مربوطه را می سازد و ثابت می کند که مربع ساخته شده روی هیپوتنوس برابر است با مجموع مربع های ساخته شده روی پاها (شکل 8).

اثبات

1) DBC= FBA= 90 درجه؛

DBC+ ABC= FBA+ ABC،به معنای، FBC = DBA.

بدین ترتیب، FBC=ABD(در دو طرف و زاویه بین آنها).

2) , جایی که AL DE، از آنجایی که BD یک پایگاه مشترک است، DL-ارتفاع کل.

3) از آنجایی که FB یک پایه است، AB- ارتفاع کل.

4)

5) به همین ترتیب می توان ثابت کرد که

6) با اضافه کردن ترم به ترم، دریافت می کنیم:

, BC2 = AB2 + AC2 . اثبات کامل است.

9 روش.

اثبات

1) اجازه دهید ABDE- مربع (شکل 9) که ضلع آن برابر با هیپوتانوز یک مثلث قائم الزاویه است ABC= s، BC = a، AC =ب).

2) اجازه دهید DK قبل از میلاد مسیح.و DK = خورشید،از آنجایی که 1 + 2 = 90 درجه (مانند زوایای تند مثلث قائم الزاویه)، 3 + 2 = 90 درجه (مثل زاویه یک مربع)، AB= BD(اضلاع مربع).

به معنای، ABC= BDK(توسط هیپوتانوز و زاویه حاد).

3) اجازه دهید EL د.ک.، ع.م. E.L.به راحتی می توان ثابت کرد که ABC = BDK = DEL = EAM (با پاها آو ب).سپس KS= سانتی متر= M.L.= L.K.= آ -ب

4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (الف - ب)با2 = 2ab + a2 - 2ab + b2،c2 = a2 + b2.

اثبات کامل است.

10 روش.

اثبات را می توان بر روی شکلی به شوخی به نام "شلوار فیثاغورثی" انجام داد (شکل 10). ایده آن این است که مربع های ساخته شده در اضلاع را به مثلث های مساوی تبدیل کند که با هم مربع هیپوتنوس را تشکیل می دهند.

ABCهمانطور که با فلش نشان داده شده است، آن را حرکت دهید و موقعیت خود را بگیرد KDN.بقیه شکل AKDCBمساحت مساوی مربع AKDCاین متوازی الاضلاع است AKNB.

یک مدل متوازی الاضلاع ساخته شده است AKNB. متوازی الاضلاع را همانطور که در محتوای کار ترسیم شده است دوباره مرتب می کنیم. برای نشان دادن تبدیل متوازی الاضلاع به مثلث مساوی، در مقابل دانش آموزان یک مثلث را از روی مدل بریده و به سمت پایین حرکت می دهیم. بنابراین، مساحت میدان AKDCبرابر مساحت مستطیل بود. به همین ترتیب مساحت مربع را به مساحت مستطیل تبدیل می کنیم.

بیایید یک تبدیل برای مربع ساخته شده در یک طرف ایجاد کنیم آ(شکل 11، الف):

الف) مربع به متوازی الاضلاع مساوی تبدیل می شود (شکل 11.6):

ب) متوازی الاضلاع یک چهارم دور می چرخد ​​(شکل 12):

ج) متوازی الاضلاع به یک مستطیل مساوی تبدیل می شود (شکل 13): 11 روش.

اثبات:

PCL -مستقیم (شکل 14)؛

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= SVMR =CBNQ= ب 2;

AKGB= AKLO +LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

اثبات تمام شد .

12 روش.

برنج. شکل 15 اثبات اصلی دیگری از قضیه فیثاغورث را نشان می دهد.

در اینجا: مثلث ABC با زاویه قائم C; بخش خط B.F.عمود بر NEو برابر با آن، بخش بودنعمود بر ABو برابر با آن، بخش آگهیعمود بر ACو برابر آن; نکته ها F, C,Dمتعلق به همان خط چهار ضلعی ADFBو ASVEاز نظر اندازه برابر است، زیرا ABF = ECB;مثلثها ADFو ACEمساوی در اندازه؛ از هر دو چهار ضلعی مساوی، مثلث مشترک آنها را کم کنید ABC،ما گرفتیم

, c2 = a2 + b2.

اثبات کامل است.

13 روش.

مساحت یک مثلث قائم الزاویه در یک ضلع برابر است با , با یکی دیگر، ,

3. نتیجه گیری.

در نتیجه فعالیت جستجو، هدف کار به دست آمد که دوباره پر کردن و تعمیم دانش در مورد اثبات قضیه فیثاغورث بود. می‌توان راه‌های مختلفی را برای اثبات آن و تعمیق دانش در مورد موضوع، فراتر از صفحات کتاب مدرسه پیدا کرد و در نظر گرفت.

مطالبی که من جمع آوری کرده ام بیشتر متقاعدم می کند که قضیه فیثاغورث یک قضیه بزرگ هندسه است و اهمیت نظری و عملی بسیار زیادی دارد. در پایان می خواهم بگویم: دلیل محبوبیت قضیه سه گانه فیثاغورث زیبایی، سادگی و اهمیت آن است!

4. ادبیات مورد استفاده.

1. جبر سرگرم کننده. . مسکو "علم"، 1978.

2. ضمیمه آموزشی و روشی هفتگی روزنامه اول شهریور 24/1380.

3. هندسه 7-9. و غیره.

4. هندسه 7-9. و غیره.

(بر اساس پاپیروس 6619 موزه برلین). به گفته کانتور، هارپدوناپت ها یا "طناب کش ها" با استفاده از مثلث های قائم الزاویه با ضلع های 3، 4 و 5، زوایای قائمه می ساختند.

بازتولید روش ساخت آنها بسیار آسان است. یک طناب به طول 12 متر برداریم و به فاصله 3 متر از یک سر و 4 متر از سر دیگر یک نوار رنگی به آن ببندیم. زاویه مناسب بین اضلاع به طول 3 و 4 متر خواهد بود. می‌توان به هارپدوناپت‌ها اعتراض کرد که روش ساخت آنها زائد می‌شود اگر مثلاً از یک مربع چوبی استفاده کنیم که همه نجارها از آن استفاده می‌کنند. در واقع، نقشه های مصری شناخته شده است که در آنها چنین ابزاری یافت می شود، به عنوان مثال، نقاشی هایی که یک کارگاه نجاری را به تصویر می کشند.

در مورد قضیه فیثاغورث در میان بابلی ها تا حدودی بیشتر شناخته شده است. در یکی از متن ها به زمان حمورابی یعنی 2000 ق.م. ه. ، یک محاسبه تقریبی از هیپوتنوز یک مثلث قائم الزاویه داده شده است. از اینجا می توان نتیجه گرفت که در بین النهرین حداقل در مواردی قادر به انجام محاسبات با مثلث های قائم الزاویه بودند. بر اساس، از یک سو، بر اساس سطح دانش فعلی در مورد ریاضیات مصر و بابل، و از سوی دیگر، بر اساس مطالعه انتقادی منابع یونانی، Van der Waerden (ریاضیدان هلندی) به این نتیجه رسید که احتمال زیادی وجود دارد که قضیه مربع هیپوتنوس در هند در حدود قرن 18 قبل از میلاد شناخته شده بود. ه.

در حدود 400 ق.م. پیش از میلاد، طبق گفته پروکلوس، افلاطون روشی برای یافتن سه قلوهای فیثاغورثی، ترکیب جبر و هندسه ارائه کرد. حدود 300 ق.م. ه. قدیمی ترین اثبات بدیهی قضیه فیثاغورث در عناصر اقلیدس ظاهر شد.

فرمولاسیون

فرمول هندسی:

این قضیه در ابتدا به صورت زیر فرموله شد:

فرمول جبری:

یعنی نشان دادن طول هیپوتنوز مثلث با و طول پاها را با و:

هر دو صورت‌بندی قضیه معادل هستند، اما صورت‌بندی دوم ابتدایی‌تر است؛ نیازی به مفهوم مساحت ندارد. یعنی می توان گزاره دوم را بدون دانستن چیزی در مورد مساحت و تنها با اندازه گیری طول اضلاع یک مثلث قائم الزاویه تأیید کرد.

معکوس قضیه فیثاغورث:

اثبات

بر این لحظه 367 اثبات این قضیه در ادبیات علمی ثبت شده است. احتمالاً قضیه فیثاغورث تنها قضیه‌ای است که چنین تعداد شواهد قابل توجهی دارد. چنین تنوعی را فقط می توان با اهمیت اساسی قضیه برای هندسه توضیح داد.

البته از نظر مفهومی همه آنها را می توان به تعداد کمی کلاس تقسیم کرد. معروف ترین آنها: اثبات با روش مساحت، اثبات بدیهی و عجیب و غریب (به عنوان مثال، با استفاده از معادلات دیفرانسیل).

از طریق مثلث های مشابه

اثبات زیر برای فرمول جبری ساده ترین اثبات است که مستقیماً از بدیهیات ساخته شده است. به طور خاص، از مفهوم مساحت یک شکل استفاده نمی کند.

اجازه دهید ABCیک مثلث قائم الزاویه با زاویه قائم وجود دارد سی. بیایید ارتفاع را از سیو پایه آن را با نشان دهید اچ. مثلث ACHشبیه مثلث ABCدر دو گوشه به همین ترتیب، مثلث CBHمشابه ABC. با معرفی نماد

ما گرفتیم

چه چیزی معادل است

با جمع کردن آن، دریافت می کنیم

، که باید ثابت می شد

اثبات با استفاده از روش منطقه

شواهد زیر، علیرغم سادگی ظاهریشان، اصلاً چندان ساده نیستند. همه آنها از ویژگی های مساحت استفاده می کنند که اثبات آن پیچیده تر از اثبات خود قضیه فیثاغورث است.

اثبات از طریق equicomplementation

1. بیایید چهار مثلث قائم الزاویه را مطابق شکل 1 مرتب کنیم.
2. چهار گوش با اضلاع جمربع است، زیرا مجموع دو زاویه تند 90 درجه و زاویه مستقیم 180 درجه است.
3. مساحت کل شکل از یک طرف با مساحت مربع با ضلع (a + b) و از طرف دیگر با مجموع مساحت های چهار مثلث و مساحت مربع داخلی

Q.E.D.

برهان اقلیدس

ایده اثبات اقلیدس به این صورت است: بیایید سعی کنیم ثابت کنیم که نیمی از مساحت مربع ساخته شده بر روی فرضیه برابر است با مجموع نصف مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها و سپس مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها. مربع بزرگ و دو مربع کوچک با هم برابرند.

بیایید به نقاشی سمت چپ نگاه کنیم. بر روی آن مربع هایی در اضلاع یک مثلث قائم الزاویه ساختیم و یک پرتو s از راس زاویه قائم C عمود بر هیپوتانوس AB رسم کردیم، مربع ABIK را که روی هیپوتنوز ساخته شده است به دو مستطیل - BHJI و HAKJ برش دادیم. به ترتیب. معلوم می شود که مساحت این مستطیل ها دقیقاً برابر با مساحت مربع های ساخته شده روی پایه های مربوطه است.

بیایید سعی کنیم ثابت کنیم که مساحت مربع DECA برابر است با مساحت مستطیل AHJK برای این کار از یک مشاهده کمکی استفاده می کنیم: مساحت مثلثی با ارتفاع و قاعده مشابه مستطیل داده شده برابر است با نصف مساحت مستطیل داده شده. این نتیجه تعریف مساحت مثلث به عنوان نصف حاصلضرب پایه و ارتفاع است. از این مشاهدات نتیجه می شود که مساحت مثلث ACK برابر با مساحت مثلث AHK است (در شکل نشان داده نشده است) که به نوبه خود برابر با نصف مساحت مستطیل AHJK است.

اکنون ثابت کنیم که مساحت مثلث ACK نیز برابر با نصف مساحت مربع DECA است. تنها کاری که برای این کار باید انجام شود اثبات برابری مثلث های ACK و BDA است (زیرا مساحت مثلث BDA برابر با نصف مساحت مربع طبق ویژگی فوق است). این برابری آشکار است: مثلث ها در هر دو ضلع و زاویه بین آنها برابر هستند. یعنی - AB=AK، AD=AC - تساوی زوایای CAK و BAD با روش حرکت به راحتی قابل اثبات است: مثلث CAK را 90 درجه خلاف جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخانیم، سپس مشخص می‌شود که اضلاع متناظر دو مثلث در سوال منطبق خواهد شد (به دلیل این واقعیت است که زاویه در راس مربع 90 درجه است).

دلیل تساوی مساحت های مربع BCFG و مستطیل BHJI کاملاً مشابه است.

بنابراین، ما ثابت کردیم که مساحت مربع ساخته شده بر روی هیپوتنوس از مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها تشکیل شده است. ایده پشت این اثبات بیشتر توسط انیمیشن بالا نشان داده شده است.

اثبات لئوناردو داوینچی

عناصر اصلی اثبات تقارن و حرکت هستند.

بیایید نقاشی را در نظر بگیریم، همانطور که از تقارن مشاهده می شود، قطعه مربع را به دو قسمت یکسان برش می دهد (از آنجایی که مثلث ها از نظر ساختاری برابر هستند).

با استفاده از چرخش 90 درجه در خلاف جهت عقربه های ساعت حول نقطه، برابری ارقام سایه دار را مشاهده می کنیم.

اکنون مشخص است که مساحت شکلی که سایه انداخته ایم برابر است با مجموع نصف مساحت مربع های کوچک (ساخته شده روی پاها) و مساحت مثلث اصلی. از طرف دیگر، برابر است با نصف مساحت مربع بزرگ (ساخته شده بر روی هیپوتنوز) به اضافه مساحت مثلث اصلی. بنابراین، نیمی از مجموع مساحت مربع های کوچک برابر با نصف مساحت مربع بزرگ است و بنابراین مجموع مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها برابر است با مساحت مربع ساخته شده بر روی هیپوتنوئوس.

اثبات با روش بینهایت کوچک

اثبات زیر با استفاده از معادلات دیفرانسیل اغلب به ریاضیدان معروف انگلیسی هاردی نسبت داده می شود که در نیمه اول قرن بیستم زندگی می کرد.

با نگاهی به نقاشی نشان داده شده در شکل و مشاهده تغییر سمت آ، می توانیم رابطه زیر را برای افزایش بی نهایت کوچک بنویسیم باو آ(با استفاده از تشابه مثلث):

با استفاده از روش جداسازی متغیرها متوجه می شویم

بیشتر بیان کلیبرای تغییر هیپوتونوس در صورت افزایش هر دو پا

با ادغام این معادله و با استفاده از شرایط اولیه به دست می آوریم

بنابراین به پاسخ مورد نظر می رسیم

همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، وابستگی درجه دوم در فرمول نهایی به دلیل تناسب خطی بین اضلاع مثلث و افزایش ها ظاهر می شود، در حالی که مجموع با کمک های مستقل از افزایش پایه های مختلف همراه است.

اگر فرض کنیم که یکی از پاها افزایشی نداشته باشد، می توان دلیل ساده تری به دست آورد. در این موردپا). سپس برای ثابت ادغام بدست می آوریم

تغییرات و تعمیم

اشکال هندسی مشابه در سه طرف

تعمیم برای مثلث های مشابه، مساحت اشکال سبز A + B = مساحت آبی C

قضیه فیثاغورث با استفاده از مثلث های قائم الزاویه مشابه

اقلیدس در کار خود قضیه فیثاغورث را تعمیم داد آغازها، مساحت مربع های اضلاع را به مساحت اشکال هندسی مشابه گسترش می دهد:

اگر مشابه بسازید اشکال هندسی(به هندسه اقلیدسی مراجعه کنید) در اضلاع یک مثلث قائم الزاویه، سپس مجموع دو شکل کوچکتر برابر با مساحت شکل بزرگتر خواهد بود.

ایده اصلی این تعمیم این است که مساحت چنین شکل هندسی با مربع هر یک از ابعاد خطی آن و به ویژه با مربع طول هر ضلع متناسب است. بنابراین، برای ارقام مشابه با مناطق آ, بو سیساخته شده در دو طرف با طول آ, بو ج، ما داریم:

اما طبق قضیه فیثاغورث، آ 2 + ب 2 = ج 2 سپس آ + ب = سی.

برعکس، اگر بتوانیم آن را ثابت کنیم آ + ب = سیبرای سه شکل هندسی مشابه بدون استفاده از قضیه فیثاغورث، می‌توانیم خود قضیه را ثابت کنیم و در جهت مخالف حرکت کنیم. به عنوان مثال، مثلث مرکز شروع را می توان دوباره به عنوان یک مثلث استفاده کرد سیروی هیپوتانوس و دو مثلث قائم الزاویه مشابه ( آو ب) ساخته شده در دو ضلع دیگر که از تقسیم مثلث مرکزی بر ارتفاع آن تشکیل شده است. مجموع مساحت دو مثلث کوچکتر به وضوح برابر با مساحت مثلث سوم است، بنابراین آ + ب = سیو انجام برهان قبلی در به صورت برعکس، قضیه فیثاغورث a 2 + b 2 = c 2 را به دست می آوریم.

قضیه کسینوس

قضیه فیثاغورث است مورد خاصیک قضیه کلی‌تر کسینوس، که طول اضلاع را در یک مثلث دلخواه به هم مرتبط می‌کند:

جایی که θ زاویه بین اضلاع است آو ب.

اگر θ 90 درجه است پس cos θ = 0 و فرمول به قضیه فیثاغورث معمولی ساده می شود.

مثلث آزاد

به هر گوشه انتخاب شده از یک مثلث دلخواه با اضلاع الف، ب، جاجازه دهید یک مثلث متساوی الساقین را به گونه ای بنویسیم که زوایای مساوی در قاعده θ با زاویه انتخاب شده برابر باشد. فرض کنید زاویه انتخاب شده θ در مقابل ضلع تعیین شده قرار دارد ج. در نتیجه، مثلث ABD با زاویه θ را به دست آوردیم که در مقابل ضلع قرار دارد آو مهمانی ها r. مثلث دوم توسط زاویه θ که در مقابل ضلع قرار دارد تشکیل می شود بو مهمانی ها باطول س، همانطور که در تصویر نشان داده شده است. ثابت بن قره استدلال می کند که اضلاع در این سه مثلث به صورت زیر به هم مرتبط هستند:

وقتی زاویه θ به π/2 نزدیک می شود، قاعده مثلث متساوی الساقین کوچکتر می شود و دو ضلع r و s کمتر و کمتر روی یکدیگر همپوشانی دارند. وقتی θ = π/2، ADB به یک مثلث قائم الزاویه تبدیل می شود، r + س = جو قضیه فیثاغورث اولیه را بدست می آوریم.

بیایید یکی از استدلال ها را در نظر بگیریم. مثلث ABC همان زوایای مثلث ABD را دارد، اما به ترتیب معکوس. (دو مثلث دارند زاویه مشترکدر راس B، هر دو دارای یک زاویه θ و همچنین دارای یک زاویه سوم، با مجموع زوایای مثلث هستند) بر این اساس، ABC مشابه انعکاس ABD مثلث DBA است، همانطور که در شکل پایین نشان داده شده است. اجازه دهید رابطه بین اضلاع مقابل و مجاور زاویه θ را بنویسیم،

همچنین بازتابی از مثلث دیگر،

بیایید کسرها را ضرب کنیم و این دو نسبت را جمع کنیم:

Q.E.D.

تعمیم برای مثلث های دلخواه از طریق متوازی الاضلاع

تعمیم برای مثلث های دلخواه،
منطقه سبز قطعه = مساحتآبی

اثبات این پایان نامه که در شکل بالا

بیایید با استفاده از متوازی الاضلاع در سه ضلع به جای مربع، تعمیم بیشتری برای مثلث های غیر قائم الزاویه ایجاد کنیم. (مربع ها حالت خاصی هستند.) شکل بالا نشان می دهد که برای یک مثلث حاد، مساحت متوازی الاضلاع در ضلع بلند برابر است با مجموع متوازی الاضلاع در دو ضلع دیگر، مشروط بر اینکه متوازی الاضلاع در ضلع بلند باشد. ضلع مطابق شکل ساخته شده است (ابعاد نشان داده شده با فلش ها یکسان است و اضلاع متوازی الاضلاع پایینی را مشخص می کند). این جایگزینی مربع ها با متوازی الاضلاع شباهت آشکاری به قضیه اولیه فیثاغورث دارد که گمان می رود توسط پاپوس اسکندریه در سال 4 پس از میلاد فرموله شده است. ه.

شکل پایین پیشرفت اثبات را نشان می دهد. بیایید به سمت چپ مثلث نگاه کنیم. متوازی الاضلاع سبز سمت چپ مساحت مشابهی دارد سمت چپمتوازی الاضلاع آبی چون پایه یکسانی دارند بو ارتفاع ساعت. همچنین، متوازی الاضلاع سبز سمت چپ دارای مساحتی مشابه با متوازی الاضلاع سبز سمت چپ در تصویر بالا است، زیرا آنها یک پایه مشترک دارند (بالا سمت چپمثلث) و ارتفاع کل عمود بر آن ضلع مثلث. با استفاده از استدلال مشابه برای ضلع راست مثلث، ثابت خواهیم کرد که متوازی الاضلاع پایینی مساحتی برابر با دو متوازی الاضلاع سبز دارد.

اعداد مختلط

قضیه فیثاغورث برای یافتن فاصله بین دو نقطه در یک سیستم مختصات دکارتی استفاده می شود و این قضیه برای همه مختصات واقعی معتبر است: فاصله سبین دو نقطه ( الف، ب) و ( ج، د) برابر است

اگر اعداد مختلط به عنوان بردارهایی با مولفه های واقعی در نظر گرفته شوند، مشکلی در فرمول وجود ندارد ایکس + من y = (ایکس, y). . مثلا فاصله سبین 0 + 1 منو 1 + 0 منبه عنوان مدول بردار محاسبه می شود (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), یا

با این حال، برای عملیات با بردارهایی با مختصات پیچیده، لازم است برخی بهبودها در فرمول فیثاغورث انجام شود. فاصله بین نقاط با اعداد مختلط (آ, ب) و ( ج, د); آ, ب, ج، و دهمه پیچیده است، اجازه دهید با استفاده از آن فرمول بندی کنیم ارزش های مطلق. فاصله سبر اساس تفاوت برداری (آ − ج, ب − د) به شکل زیر: اجازه دهید تفاوت آ − ج = پ+i q، جایی که پ- بخش واقعی تفاوت، qقسمت خیالی است و i = √(-1). به همین ترتیب، اجازه دهید ب − د = r+i س. سپس:

عدد مزدوج مختلط برای کجاست. به عنوان مثال، فاصله بین نقاط (آ, ب) = (0, 1) و (ج, د) = (من, 0) ، بیایید تفاوت را محاسبه کنیم (آ − ج, ب − د) = (−من, 1) و در صورت عدم استفاده از مزدوجات پیچیده، نتیجه صفر خواهد بود. بنابراین، با استفاده از فرمول بهبود یافته، دریافت می کنیم

ماژول به صورت زیر تعریف شده است:

استریومتری

تعمیم قابل توجهی از قضیه فیثاغورث برای فضای سه بعدی، قضیه دی گوی است که به نام J.-P نامگذاری شده است. de Gois: اگر یک چهار وجهی زاویه قائمه داشته باشد (مثل یک مکعب)، مربع مساحت صورت مقابل زاویه راست برابر است با مجموع مربعات مساحت سه وجه دیگر. این نتیجه گیری را می توان اینگونه خلاصه کرد: n-قضیه فیثاغورث بعدی:

قضیه فیثاغورس فضای سه بعدیمورب AD را به سه ضلع متصل می کند.

تعمیم دیگر: قضیه فیثاغورث را می توان به شکل زیر در قالب سنجی اعمال کرد. همانطور که در شکل نشان داده شده است یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل را در نظر بگیرید. بیایید طول قطر BD را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کنیم:

که در آن سه ضلع یک مثلث قائم الزاویه تشکیل می دهند. ما از مورب افقی BD و لبه عمودی AB برای یافتن طول قطر AD استفاده می کنیم، برای این کار دوباره از قضیه فیثاغورث استفاده می کنیم:

یا اگر همه چیز را در یک معادله بنویسیم:

این نتیجه یک عبارت سه بعدی برای تعیین بزرگی بردار است v(مورب AD)، که بر حسب اجزای عمود بر آن بیان می شود ( vک) (سه ضلع عمود بر هم):

این معادله را می توان به عنوان تعمیم قضیه فیثاغورث برای فضای چند بعدی در نظر گرفت. با این حال، نتیجه در واقع چیزی نیست جز استفاده مکرر از قضیه فیثاغورث برای دنباله ای از مثلث های قائم الزاویه در صفحات متوالی عمود بر هم.

فضای برداری

در مورد یک سیستم متعامد از بردارها، یک تساوی وجود دارد که به آن قضیه فیثاغورث نیز می گویند:

اگر - اینها پیش بینی های بردار بر روی محورهای مختصات هستند، پس این فرمول با فاصله اقلیدسی منطبق است - و به این معنی است که طول بردار برابر با ریشه دوم مجموع مربعات اجزای آن است.

آنالوگ این برابری در مورد سیستم نامتناهی از بردارها برابری پارسوال نامیده می شود.

هندسه نااقلیدسی

قضیه فیثاغورث از بدیهیات هندسه اقلیدسی گرفته شده است و در واقع برای هندسه غیراقلیدسی به شکلی که در بالا نوشته شده معتبر نیست. (یعنی معلوم می شود که قضیه فیثاغورث نوعی معادل با فرض توازی اقلیدس است) به عبارت دیگر، در هندسه غیراقلیدسی رابطه بین اضلاع یک مثلث لزوماً به شکلی متفاوت از قضیه فیثاغورث خواهد بود. به عنوان مثال، در هندسه کروی، هر سه ضلع یک مثلث قائم الزاویه (مثلاً آ, بو ج) که اکتانت (قسمت هشتم) واحد کره را محدود می کند، دارای طول π/2 است که با قضیه فیثاغورث در تضاد است، زیرا آ 2 + ب 2 ≠ ج 2 .

اجازه دهید در اینجا دو مورد از هندسه غیر اقلیدسی را در نظر بگیریم - هندسه کروی و هذلولی. در هر دو مورد، همانطور که برای فضای اقلیدسی برای مثلث های قائم الزاویه، نتیجه که جایگزین قضیه فیثاغورث می شود، از قضیه کسینوس تبعیت می کند.

با این حال، قضیه فیثاغورث برای هندسه هذلولی و بیضوی معتبر باقی می‌ماند اگر شرط مستطیل بودن مثلث با شرطی جایگزین شود که مجموع دو زاویه مثلث باید برابر با زاویه سوم باشد. آ+ب = سی. سپس رابطه بین اضلاع به این صورت است: مجموع مساحت دایره های با قطر آو ببرابر مساحت دایره با قطر ج.

هندسه کروی

برای هر مثلث قائم الزاویه روی کره ای با شعاع آر(مثلاً اگر زاویه γ در مثلث قائم باشد) با اضلاع آ, ب, جروابط بین طرفین به این صورت خواهد بود:

این برابری را می توان به عنوان مشتق کرد یک مورد خاصقضیه کسینوس کروی که برای همه مثلث های کروی معتبر است:

جایی که cosh کسینوس هذلولی است. این فرمول یک مورد خاص از قضیه کسینوس هذلولی است که برای همه مثلث ها معتبر است:

که γ زاویه ای است که راس آن مخالف ضلع است ج.

جایی که g ijتانسور متریک نامیده می شود. ممکن است تابع موقعیت باشد. چنین فضاهای منحنی شامل هندسه ریمانی به عنوان مثال کلی. این فرمول همچنین برای فضای اقلیدسی در هنگام استفاده از مختصات منحنی مناسب است. به عنوان مثال، برای مختصات قطبی:

اثر هنری وکتور

قضیه فیثاغورث دو عبارت را برای بزرگی حاصلضرب بردار به هم متصل می کند. یک رویکرد برای تعریف یک محصول متقاطع مستلزم آن است که معادله را برآورده کند:

این فرمول از محصول نقطه استفاده می کند. سمت راستمعادله را تعیین کننده گرم می نامند آو بکه برابر با مساحت متوازی الاضلاع تشکیل شده توسط این دو بردار است. بر اساس این نیاز و همچنین شرط عمود بودن حاصلضرب بردار بر اجزای آن آو بنتیجه این است که به جز موارد بی اهمیت از فضای 0 و 1 بعدی، محصول متقاطع تنها در سه و هفت بعد تعریف می شود. ما از تعریف زاویه در استفاده می کنیم n-فضای بعدی:

این ویژگی یک محصول متقاطع مقدار آن را به صورت زیر نشان می دهد:

از طریق هویت مثلثاتی اساسی فیثاغورث، شکل دیگری از نوشتن مقدار آن را به دست می آوریم:

یک رویکرد جایگزین برای تعریف یک محصول متقاطع، استفاده از یک عبارت برای بزرگی آن است. سپس، با استدلال به ترتیب معکوس، ارتباطی با محصول اسکالر بدست می آوریم:

همچنین ببینید

یادداشت

1. موضوع تاریخ: قضیه فیثاغورث در ریاضیات بابلی
2. ( , ص 351 ) ص 351
3. (، جلد اول، ص 144)
4. بحث حقایق تاریخیداده شده در (، ص 351) ص 351
5. کورت فون فریتز (آوریل، 1945). "کشف قیاس ناپذیری توسط هیپاسوس متاپونتوم". سالنامه ریاضیات، سری دوم(سالنامه ریاضیات) 46 (2): 242–264.
6. لوئیس کارول، «داستان با گره ها»، م.، میر، 1985، ص. 7
7. آسگر آبوئهاپیزودهایی از تاریخ اولیه ریاضیات. - انجمن ریاضی آمریکا، 1997. - ص 51. - ISBN 0883856131
8. گزاره پایتونتوسط الیشا اسکات لومیس
9. اقلیدس عناصر: کتاب ششم، گزاره ششم 31: «در مثلث های قائم الزاویه، شکل ضلعی که زاویه قائمه را متمایل می کند، برابر است با شکل های مشابه و مشابه توصیف شده در اضلاع حاوی زاویه قائمه.»
10. لارنس اس. لف کار ذکر شده. - سری آموزشی بارون - ص 326. - شابک 0764128922
11. هوارد ویتلی ایوز§4.8:...تعمیم قضیه فیثاغورث // لحظات بزرگ در ریاضیات (قبل از 1650). - انجمن ریاضی آمریکا، 1983. - ص 41. - ISBN 0883853108
12. طبیت بن قره (نام کامل ثابت بن قره بن مروان الصابیع الحرانی) (901-826 پس از میلاد) پزشکی ساکن بغداد بود که مطالب زیادی در مورد عناصر اقلیدس و سایر موضوعات ریاضی نوشت.
13. آیدین ساییلی (مارس 1960). «تعمیم قضیه فیثاغورث توسط ثابت بن قره». داعش 51 (1): 35-37. DOI: 10.1086/348837.
14. جودیت دی سالی، پل سالیتمرین 2.10 (ii) // کار ذکر شده. - ص 62. - شابک 0821844032
15. برای جزئیات چنین ساخت و ساز، نگاه کنید به جورج جنینگزشکل 1.32: قضیه فیثاغورث تعمیم یافته // هندسه مدرن با کاربرد: با 150 شکل. - 3. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
16. آرلن براون، کارل ام. پیرسیمورد سی: هنجار برای دلخواه n-tuple ... // مقدمه ای بر تحلیل . - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692همچنین به صفحات 47-50 مراجعه کنید.
17. آلفرد گری، السا آبنا، سایمون سالامونهندسه دیفرانسیل مدرن منحنی ها و سطوح با Mathematica. - 3. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
18. راجندرا باتیاتحلیل ماتریسی - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
19. استیون دبلیو. هاوکینگ کار ذکر شده. - 2005. - ص 4. - ISBN 0762419229
20. اریک دبلیو. وایستاین CRC دایره المعارف مختصر ریاضیات. - دوم - 2003. - ص 2147. - ISBN 1584883472
21. الکساندر آر پروس

هنگامی که برای اولین بار شروع به یادگیری در مورد ریشه های مربع و نحوه حل معادلات غیرمنطقی (برابری های شامل یک مجهول زیر علامت ریشه) کردید، احتمالاً اولین طعم خود را از کاربردهای عملی آنها چشیدید. قابلیت استخراج ریشه دوماز اعداد نیز برای حل مسائل با استفاده از قضیه فیثاغورث ضروری است. این قضیه طول اضلاع هر مثلث قائم الزاویه را به هم مربوط می کند.

طول پایه های یک مثلث قائم الزاویه (آن دو ضلع که در زاویه قائم به هم می رسند) با حروف مشخص می شوند و طول هیپوتنوس (طولانی ترین ضلع مثلث که در مقابل زاویه قائمه قرار دارد) با علامت مشخص می شود. نامه سپس طول های مربوطه با رابطه زیر مرتبط می شوند:

این معادله به شما این امکان را می دهد که طول ضلع یک مثلث قائم الزاویه را زمانی که طول دو ضلع دیگر آن مشخص باشد، پیدا کنید. علاوه بر این، به شما امکان می دهد تعیین کنید که آیا مثلث مورد نظر یک مثلث قائم الزاویه است، مشروط بر اینکه طول هر سه ضلع از قبل مشخص باشد.

حل مسائل با استفاده از قضیه فیثاغورث

برای تجمیع مطالب، مسائل زیر را با استفاده از قضیه فیثاغورث حل خواهیم کرد.

بنابراین، با توجه به:

1. طول یکی از پاها 48، هیپوتانوس 80 است.
2. طول پا 84، هیپوتونوس 91 است.

بریم سراغ راه حل:

الف) با جایگزینی داده ها در معادله فوق نتایج زیر حاصل می شود:

48 2 + ب 2 = 80 2

2304 + ب 2 = 6400

ب 2 = 4096

ب= 64 یا ب = -64

از آنجایی که طول یک ضلع مثلث قابل بیان نیست عدد منفی، گزینه دوم به طور خودکار حذف می شود.

جواب عکس اول: ب = 64.

ب) طول ساق مثلث دوم به همین ترتیب یافت می شود:

84 2 + ب 2 = 91 2

7056 + ب 2 = 8281

ب 2 = 1225

ب= 35 یا ب = -35

مانند مورد قبلی، تصمیم منفی کنار گذاشته می شود.

جواب عکس دوم: ب = 35

به ما داده می شود:

1. طول اضلاع کوچکتر مثلث به ترتیب 45 و 55 و اضلاع بزرگتر 75 است.
2. طول اضلاع کوچکتر مثلث به ترتیب 28 و 45 و اضلاع بزرگتر 53 است.

بیایید مشکل را حل کنیم:

الف) باید بررسی کرد که آیا مجموع مربعات طول اضلاع کوتاهتر یک مثلث معین برابر است یا خیر؟

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

بنابراین، مثلث اول، مثلث قائم الزاویه نیست.

ب) همین عملیات انجام می شود:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

بنابراین، مثلث دوم، مثلث قائم الزاویه است.

ابتدا، اجازه دهید طول بزرگترین بخش تشکیل شده توسط نقاط با مختصات (-2، -3) و (5، -2) را پیدا کنیم. برای این ما استفاده می کنیم فرمول شناخته شدهبرای پیدا کردن فاصله بین نقاط در یک سیستم مختصات مستطیلی:

به طور مشابه، طول بخش محصور شده بین نقاط با مختصات (-2، -3) و (2، 1) را پیدا می کنیم:

در نهایت، طول پاره بین نقاط را با مختصات (2، 1) و (5، -2) تعیین می کنیم:

از آنجایی که برابری وجود دارد:

سپس مثلث مربوطه قائم الزاویه است.

بنابراین، می‌توانیم پاسخ مسئله را فرمول‌بندی کنیم: از آنجایی که مجموع مربع‌های اضلاع با کوتاه‌ترین طول برابر است با مربع ضلعی که طولانی‌ترین طول را دارد، نقاط رئوس یک مثلث قائم‌الزاویه هستند.

پایه (که کاملاً به صورت افقی قرار دارد)، پایه (که کاملاً به صورت عمودی قرار دارد) و کابل (به صورت مورب کشیده شده است) به ترتیب یک مثلث قائم الزاویه را تشکیل می دهند، برای یافتن طول کابل از قضیه فیثاغورث می توان استفاده کرد:

بنابراین طول کابل تقریباً 3.6 متر خواهد بود.

با توجه به: فاصله از نقطه R تا نقطه P (پایه مثلث) 24، از نقطه R تا نقطه Q (هیپوتنوز) 26 است.

بنابراین، بیایید به Vita در حل مشکل کمک کنیم. از آنجایی که اضلاع مثلث نشان داده شده در شکل قرار است یک مثلث قائم الزاویه را تشکیل دهند، می توانید از قضیه فیثاغورث برای یافتن طول ضلع سوم استفاده کنید:

بنابراین عرض حوض 10 متر است.

سرگئی والریویچ

قضیه فیثاغورس- یکی از قضایای اساسی هندسه اقلیدسی، برقراری رابطه

بین اضلاع مثلث قائم الزاویه

اعتقاد بر این است که توسط ریاضیدان یونانی فیثاغورث، که به نام او نامگذاری شده است، اثبات شده است.

فرمول هندسی قضیه فیثاغورث.

این قضیه در ابتدا به صورت زیر فرموله شد:

در مثلث قائم الزاویه، مساحت مربع ساخته شده روی هیپوتانوس برابر است با مجموع مساحت مربع ها،

ساخته شده بر روی پاها

فرمول جبری قضیه فیثاغورث.

در مثلث قائم الزاویه، مجذور طول هیپوتنوس برابر است با مجموع مجذورات طول پاها.

یعنی نشان دادن طول هیپوتنوز مثلث با ج، و طول پاها از طریق آو ب:

هر دو فرمولاسیون قضیه فیثاغورسمعادل هستند، اما فرمول دوم ابتدایی تر است، اینطور نیست

نیاز به مفهوم منطقه دارد. یعنی می توان گزاره دوم را بدون دانستن چیزی در مورد منطقه و

فقط با اندازه گیری طول اضلاع یک مثلث قائم الزاویه.

مکالمه قضیه فیثاغورث.

اگر مربع یک ضلع مثلث برابر با مجموع مربع های دو ضلع دیگر باشد،

راست گوشه.

یا به عبارت دیگر:

برای هر سه برابر اعداد مثبت آ, بو ج، به طوری که

یک مثلث قائم الزاویه با پاها وجود دارد آو بو هیپوتانوز ج.

قضیه فیثاغورث برای مثلث متساوی الساقین.

قضیه فیثاغورث برای مثلث متساوی الاضلاع.

اثبات قضیه فیثاغورث.

در حال حاضر 367 اثبات این قضیه در ادبیات علمی ثبت شده است. احتمالا قضیه

فیثاغورث تنها قضیه‌ای است که چنین تعداد شواهد قابل توجهی دارد. چنین تنوعی

تنها با اهمیت اساسی قضیه برای هندسه قابل توضیح است.

البته از نظر مفهومی همه آنها را می توان به تعداد کمی کلاس تقسیم کرد. معروف ترین آنها:

اثبات روش منطقه, بدیهیو شواهد عجیب و غریب(مثلا،

با استفاده از معادلات دیفرانسیل).

1. اثبات قضیه فیثاغورث با استفاده از مثلث های مشابه.

اثبات فرمول جبری زیر ساده ترین برهان ساخته شده است

مستقیماً از بدیهیات به طور خاص، از مفهوم مساحت یک شکل استفاده نمی کند.

اجازه دهید ABCیک مثلث قائم الزاویه با زاویه قائم وجود دارد سی. بیایید ارتفاع را از سیو نشان دهند

پایه و اساس آن از طریق اچ.

مثلث ACHشبیه مثلث AB C در دو گوشه به همین ترتیب، مثلث CBHمشابه ABC.

با معرفی نماد:

ما گرفتیم:

,

که مربوط به -

تا شده آ 2 و ب 2، دریافت می کنیم:

یا همان چیزی است که باید ثابت شود.

2. اثبات قضیه فیثاغورث با استفاده از روش مساحت.

شواهد زیر، علیرغم سادگی ظاهریشان، اصلاً چندان ساده نیستند. همه آنها

از ویژگی های مساحت استفاده کنید که اثبات آن پیچیده تر از اثبات خود قضیه فیثاغورث است.

• اثبات از طریق متمم بودن.

بیایید چهار مستطیل مساوی ترتیب دهیم

مثلث همانطور که در شکل نشان داده شده است

سمت راست

چهار گوش با اضلاع ج- مربع،

از آنجایی که مجموع دو زاویه تند 90 درجه است و

زاویه باز - 180 درجه.

مساحت کل شکل از یک طرف برابر است،

مساحت مربع با ضلع ( a+b) و از طرفی مجموع مساحت های چهار مثلث و

Q.E.D.

3. اثبات قضیه فیثاغورث با روش بینهایت کوچک.

​

با نگاهی به نقاشی نشان داده شده در شکل و

تماشای تغییر سمتآ، ما میتوانیم

رابطه زیر را برای بی نهایت بنویسید

کم اهمیت افزایش های جانبیباو آ(با استفاده از شباهت

مثلثها):

با استفاده از روش جداسازی متغیر، متوجه می شویم:

یک بیان کلی تر برای تغییر در هیپوتانوس در مورد افزایش در هر دو طرف:

با ادغام این معادله و با استفاده از شرایط اولیه به دست می آوریم:

بنابراین به پاسخ مورد نظر می رسیم:

همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، وابستگی درجه دوم در فرمول نهایی به دلیل خطی ظاهر می شود

تناسب بین اضلاع مثلث و افزایش ها، در حالی که مجموع مربوط به مستقل است

کمک از افزایش پاهای مختلف.

اگر فرض کنیم که یکی از پاها افزایشی نداشته باشد، می توان اثبات ساده تری به دست آورد

(در این مورد پا ب). سپس برای ثابت ادغام بدست می آوریم:

قضیه فیثاغورس

سرنوشت قضایا و مسائل دیگر عجیب است... چگونه می توان مثلاً چنین توجه استثنایی ریاضیدانان و دوستداران ریاضیات را به قضیه فیثاغورث توضیح داد؟ چرا بسیاری از آنها به شواهد شناخته شده قانع نشدند، اما شواهد خود را یافتند و تعداد شواهد را به چند صد در بیست و پنج قرن نسبتاً قابل پیش بینی رساندند؟
وقتی صحبت از قضیه فیثاغورث می شود، غیرعادی با نام آن شروع می شود. اعتقاد بر این است که این فیثاغورث نبود که اولین بار آن را فرموله کرد. اثبات آن را نیز مشکوک می دانند. اگر فیثاغورث یک شخص واقعی است (برخی حتی در این مورد شک دارند!) پس به احتمال زیاد در قرن های 6-5 زندگی می کرده است. قبل از میلاد مسیح ه. او خود چیزی ننوشت، خود را فیلسوف نامید، که در درک او به معنای "تلاش برای خرد" بود، و اتحادیه فیثاغورث را تأسیس کرد که اعضای آن موسیقی، ژیمناستیک، ریاضیات، فیزیک و نجوم می خواندند. ظاهراً او خطیب بسیار خوبی نیز بود، همانطور که افسانه زیر مربوط به اقامت او در شهر کروتون نشان می دهد: «اولین ظهور فیثاغورث در برابر مردم در کروتون با سخنرانی برای مردان جوان آغاز شد که در آن او چنین بود. سختگیرانه، اما در عین حال بسیار جذاب وظایف مردان جوان را ترسیم کرد و بزرگان شهر از آنها خواستند که آنها را بدون آموزش رها نکنند. ایشان در این سخنرانی دوم به قانونی بودن و پاکی اخلاق به عنوان پایه های خانواده اشاره کردند. در دو مورد بعدی به کودکان و زنان پرداخت. نتیجه آخرین سخنرانی، که در آن او به ویژه تجمل گرایی را محکوم کرد، این بود که هزاران لباس گرانبها به معبد هرا تحویل داده شد، زیرا حتی یک زن دیگر جرأت نمی کرد در آنها در خیابان ظاهر شود...» با این حال، حتی در قرن دوم میلادی یعنی بعد از 700 سال به طور کامل زندگی و کار کردند مردم واقعیدانشمندان خارق‌العاده‌ای که آشکارا تحت تأثیر اتحاد فیثاغورث بودند و به آنچه که طبق افسانه‌ها، فیثاغورث خلق کرد احترام زیادی قائل بودند.
همچنین شکی نیست که علاقه به قضیه هم به دلیل این واقعیت است که یکی از مکان‌های اصلی ریاضیات را اشغال می‌کند و هم به دلیل رضایت نویسندگان برهان‌ها که بر مشکلاتی که شاعر رومی کوئینتوس هوراس فلاکوس غلبه کرده‌اند، است. که قبل از دوران ما زندگی می کرد، به خوبی گفت: "بیان حقایق شناخته شده دشوار است."
در ابتدا، این قضیه رابطه بین مساحت مربع های ساخته شده بر روی هیپوتنوس و پاهای یک مثلث قائم الزاویه را ایجاد کرد:
.
فرمول جبری:
در مثلث قائم الزاویه، مجذور طول هیپوتنوس برابر است با مجموع مجذورات طول پاها.
یعنی طول هیپوتنوز مثلث را با c و طول پایه ها را با a و b نشان می دهیم: a 2 + b 2 = c 2. هر دو صورت‌بندی قضیه معادل هستند، اما صورت‌بندی دوم ابتدایی‌تر است؛ نیازی به مفهوم مساحت ندارد. یعنی می توان گزاره دوم را بدون دانستن چیزی در مورد مساحت و تنها با اندازه گیری طول اضلاع یک مثلث قائم الزاویه تأیید کرد.
مکالمه قضیه فیثاغورث. برای هر سه گانه از اعداد مثبت a، b و c به طوری که
a 2 + b 2 = c 2، یک مثلث قائم الزاویه با پاهای a و b و هیپوتانوس c وجود دارد.

اثبات

در حال حاضر 367 اثبات این قضیه در ادبیات علمی ثبت شده است. احتمالاً قضیه فیثاغورث تنها قضیه‌ای است که چنین تعداد شواهد قابل توجهی دارد. چنین تنوعی را فقط می توان با اهمیت اساسی قضیه برای هندسه توضیح داد.
البته از نظر مفهومی همه آنها را می توان به تعداد کمی کلاس تقسیم کرد. معروف ترین آنها: اثبات با روش مساحت، اثبات بدیهی و عجیب و غریب (به عنوان مثال، با استفاده از معادلات دیفرانسیل).

از طریق مثلث های مشابه

اثبات زیر برای فرمول جبری ساده ترین اثبات است که مستقیماً از بدیهیات ساخته شده است. به طور خاص، از مفهوم مساحت یک شکل استفاده نمی کند.
فرض کنید ABC یک مثلث قائم الزاویه با زاویه راست C باشد. ارتفاع را از C رسم کنید و قاعده آن را با H نشان دهید. مثلث ACH در دو زاویه شبیه مثلث ABC است.
به طور مشابه، مثلث CBH مشابه ABC است. با معرفی نماد

ما گرفتیم

چه چیزی معادل است

با جمع کردن آن، دریافت می کنیم

یا

اثبات با استفاده از روش منطقه

شواهد زیر، علیرغم سادگی ظاهریشان، اصلاً چندان ساده نیستند. همه آنها از ویژگی های مساحت استفاده می کنند که اثبات آن پیچیده تر از اثبات خود قضیه فیثاغورث است.

اثبات از طریق equicomplementation

1. چهار مثلث قائم الزاویه مساوی مانند شکل قرار دهید.
2. چهار ضلعی با ضلع c مربع است، زیرا مجموع دو زاویه تند 90 درجه و زاویه مستقیم 180 درجه است.
3. مساحت کل شکل از یک طرف مساحت مربع با ضلع (a + b) و از طرف دیگر با مجموع مساحت های چهار مثلث و مربع داخلی



Q.E.D.

اثبات از طریق معادل سازی

مثالی از یکی از این اثبات ها در نقاشی سمت راست نشان داده شده است، جایی که یک مربع ساخته شده بر روی هیپوتنوس به دو مربع ساخته شده روی پاها بازآرایی می شود.

برهان اقلیدس

ایده اثبات اقلیدس به این صورت است: بیایید سعی کنیم ثابت کنیم که نیمی از مساحت مربع ساخته شده بر روی فرضیه برابر است با مجموع نصف مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها و سپس مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها. مربع بزرگ و دو مربع کوچک با هم برابرند. بیایید به نقاشی سمت چپ نگاه کنیم. بر روی آن مربع هایی در اضلاع یک مثلث قائم الزاویه ساختیم و یک پرتو s از راس زاویه قائم C عمود بر هیپوتانوس AB رسم کردیم، مربع ABIK را که روی هیپوتنوز ساخته شده است به دو مستطیل - BHJI و HAKJ برش دادیم. به ترتیب. معلوم می شود که مساحت این مستطیل ها دقیقاً برابر با مساحت مربع های ساخته شده روی پایه های مربوطه است. بیایید سعی کنیم ثابت کنیم که مساحت مربع DECA برابر است با مساحت مستطیل AHJK برای این کار از یک مشاهده کمکی استفاده می کنیم: مساحت مثلثی با ارتفاع و قاعده مشابه مستطیل داده شده برابر است با نصف مساحت مستطیل داده شده. این نتیجه تعریف مساحت مثلث به عنوان نصف حاصلضرب پایه و ارتفاع است. از این مشاهدات نتیجه می شود که مساحت مثلث ACK برابر با مساحت مثلث AHK است (در شکل نشان داده نشده است) که به نوبه خود برابر با نصف مساحت مستطیل AHJK است. اکنون ثابت کنیم که مساحت مثلث ACK نیز برابر با نصف مساحت مربع DECA است. تنها کاری که برای این کار باید انجام شود اثبات برابری مثلث های ACK و BDA است (زیرا مساحت مثلث BDA برابر با نصف مساحت مربع طبق ویژگی فوق است). این تساوی آشکار است، مثلث ها در دو ضلع و زاویه بین آنها برابر هستند. یعنی - AB=AK,AD=AC - تساوی زوایای CAK و BAD با روش حرکت به راحتی قابل اثبات است: مثلث CAK را 90 درجه خلاف جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخانیم، سپس مشخص می‌شود که اضلاع متناظر دو مثلث در سوال منطبق خواهد شد (به دلیل این واقعیت است که زاویه در راس مربع 90 درجه است). دلیل تساوی مساحت های مربع BCFG و مستطیل BHJI کاملاً مشابه است. بنابراین، ما ثابت کردیم که مساحت مربع ساخته شده بر روی هیپوتنوس از مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها تشکیل شده است.

اثبات لئوناردو داوینچی

عناصر اصلی اثبات تقارن و حرکت هستند.

بیایید نقاشی را در نظر بگیریم، همانطور که از تقارن مشاهده می شود، بخش CI مربع ABHJ را به دو قسمت یکسان برش می دهد (از آنجایی که مثلث های ABC و JHI از نظر ساختاری برابر هستند). با استفاده از چرخش 90 درجه در خلاف جهت عقربه های ساعت، برابری ارقام سایه دار CAJI و GDAB را مشاهده می کنیم. اکنون مشخص است که مساحت شکلی که سایه انداخته ایم برابر است با مجموع نصف مساحت مربع های ساخته شده روی پاها و مساحت مثلث اصلی. از سوی دیگر، برابر است با نصف مساحت مربع ساخته شده بر روی هیپوتنوز، به اضافه مساحت مثلث اصلی. آخرین مرحله در اثبات به خواننده واگذار می شود.