نحوه حل صحیح معادلات خطی نکاتی که در حل معادلات خطی باید به خاطر بسپارید

در این ویدیو مجموعه کاملی از معادلات خطی را که با استفاده از همان الگوریتم حل شده اند تجزیه و تحلیل خواهیم کرد - به همین دلیل آنها را ساده ترین می نامند.

ابتدا اجازه دهید تعریف کنیم: معادله خطی چیست و کدام یک را ساده ترین می نامند؟

معادله خطی معادله ای است که در آن فقط یک متغیر و فقط تا درجه اول وجود داشته باشد.

ساده ترین معادله به معنای ساخت است:

تمام معادلات خطی دیگر با استفاده از الگوریتم به ساده ترین آنها کاهش می یابد:

1. در صورت وجود، پرانتزها را گسترش دهید.
2. عبارت‌های حاوی متغیر را به یک طرف علامت مساوی و عبارت‌های بدون متغیر را به طرف دیگر منتقل کنید.
3. برای سمت چپ و راست علامت مساوی عباراتی مشابه بنویسید.
4. معادله بدست آمده را بر ضریب متغیر $x$ تقسیم کنید.

البته این الگوریتم همیشه کمک نمی کند. واقعیت این است که گاهی اوقات پس از این همه ماشینکاری، ضریب متغیر $x$ برابر با صفر می شود. در این مورد، دو گزینه ممکن است:

1. معادله اصلاً راه حلی ندارد. برای مثال، وقتی چیزی شبیه $0\cdot x=8$ معلوم می‌شود، i.e. در سمت چپ صفر و در سمت راست عددی غیر از صفر است. در ویدیوی زیر به چندین دلیل برای امکان پذیر بودن این وضعیت نگاه خواهیم کرد.
2. راه حل همه اعداد است. تنها موردی که این امکان وجود دارد زمانی است که معادله به ساختار $0\cdot x=0$ کاهش یافته باشد. کاملاً منطقی است که مهم نیست $x$ را جایگزین کنیم، باز هم معلوم می شود که "صفر برابر با صفر است". برابری عددی صحیح

حالا بیایید ببینیم که چگونه همه اینها با استفاده از مثال های واقعی کار می کنند.

نمونه هایی از حل معادلات

امروز ما با معادلات خطی و فقط ساده ترین آنها سر و کار داریم. به طور کلی معادله خطی به معنای هر برابری است که دقیقاً یک متغیر داشته باشد و فقط به درجه اول می رود.

چنین سازه هایی تقریباً به همان روش حل می شوند:

1. اول از همه، شما باید پرانتزها را، در صورت وجود، گسترش دهید (مانند نمونه آخر ما).
2. سپس مشابه را با هم ترکیب کنید
3. در نهایت، متغیر را جدا کنید، i.e. هر چیزی که با متغیر مرتبط است - اصطلاحاتی که در آن وجود دارد - را به یک طرف منتقل کنید و هر چیزی که بدون آن باقی می ماند را به طرف دیگر منتقل کنید.

سپس، به عنوان یک قاعده، باید موارد مشابه را در هر طرف برابری حاصل ارائه دهید، و پس از آن تنها چیزی که باقی می ماند تقسیم بر ضریب "x" است و پاسخ نهایی را خواهیم گرفت.

از نظر تئوری، این کار زیبا و ساده به نظر می‌رسد، اما در عمل، حتی دانش‌آموزان با تجربه دبیرستانی نیز می‌توانند در معادلات خطی نسبتاً ساده مرتکب اشتباهات تهاجمی شوند. به طور معمول، هنگام باز کردن پرانتزها یا هنگام محاسبه "مضافات" و "منفی" خطاها رخ می دهد.

علاوه بر این، این اتفاق می افتد که یک معادله خطی اصلاً راه حلی ندارد، یا این که راه حل کل خط اعداد است، یعنی. هر عددی در درس امروز به این نکات ظریف خواهیم پرداخت. اما همانطور که قبلاً فهمیدید، ما با همین موضوع شروع خواهیم کرد کارهای ساده.

طرحی برای حل معادلات خطی ساده

ابتدا اجازه دهید یک بار دیگر کل طرح حل ساده ترین معادلات خطی را بنویسم:

1. در صورت وجود، براکت ها را باز کنید.
2. ما متغیرها را جدا می کنیم، یعنی. ما هر چیزی را که حاوی "X" است به یک سمت و هر چیزی که "X" وجود ندارد به سمت دیگر منتقل می کنیم.
3. ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم.
4. همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم می کنیم.

البته این طرح همیشه جواب نمی دهد.

حل مثال های واقعی معادلات خطی ساده

وظیفه شماره 1

در مرحله اول باید پرانتزها را باز کنیم. اما آنها در این مثال نیستند، بنابراین از این مرحله می گذریم. در مرحله دوم باید متغیرها را جدا کنیم. لطفا توجه داشته باشید: ما فقط در مورد شرایط فردی صحبت می کنیم. بیایید آن را بنویسیم:

ما اصطلاحات مشابهی را در سمت چپ و راست ارائه می کنیم، اما این قبلاً در اینجا انجام شده است. بنابراین به مرحله چهارم می رویم: تقسیم بر ضریب:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

پس جواب گرفتیم.

وظیفه شماره 2

می‌توانیم پرانتزها را در این مشکل ببینیم، بنابراین اجازه دهید آنها را گسترش دهیم:

هم در سمت چپ و هم در سمت راست تقریباً یک طرح را می بینیم، اما بیایید طبق الگوریتم عمل کنیم، i.e. جداسازی متغیرها:

در اینجا برخی از موارد مشابه آورده شده است:

این در چه ریشه ای کار می کند؟ پاسخ: برای هر. بنابراین، می توانیم بنویسیم که $x$ هر عددی است.

وظیفه شماره 3

معادله سوم خطی جالب تر است:

\[\چپ(6-x \راست)+\چپ(12+x \راست)-\چپ(3-2x \راست)=15\]

در اینجا چندین براکت وجود دارد، اما آنها در هیچ چیز ضرب نمی شوند، به سادگی با علائم مختلف قبل از آنها وجود دارد. بیایید آنها را تجزیه کنیم:

ما مرحله دوم را که قبلاً برای ما شناخته شده است انجام می دهیم:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

بیایید حساب کنیم:

ما آخرین مرحله را انجام می دهیم - همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم می کنیم:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

نکاتی که در حل معادلات خطی باید به خاطر بسپارید

اگر کارهای خیلی ساده را نادیده بگیریم، می خواهم موارد زیر را بگویم:

• همانطور که در بالا گفتم، هر معادله خطی راه حلی ندارد - گاهی اوقات به سادگی هیچ ریشه ای وجود ندارد.
• حتی اگر ریشه ها وجود داشته باشد، ممکن است در بین آنها صفر باشد - هیچ اشکالی در آن وجود ندارد.

صفر همان عدد دیگری است که نباید به هیچ وجه نسبت به آن تبعیض قائل شوید یا فرض کنید که اگر به صفر رسیدید، کار اشتباهی انجام داده اید.

ویژگی دیگر مربوط به باز شدن براکت ها است. لطفا توجه داشته باشید: هنگامی که یک "منفی" در مقابل آنها وجود دارد، آن را حذف می کنیم، اما در داخل پرانتز علامت ها را به تغییر می دهیم. مقابل. و سپس می توانیم آن را با استفاده از الگوریتم های استاندارد باز کنیم: آنچه را که در محاسبات بالا دیدیم به دست خواهیم آورد.

درک این واقعیت ساده به شما کمک می کند تا از انجام اشتباهات احمقانه و آسیب زا در دبیرستان جلوگیری کنید، در حالی که انجام چنین کارهایی بدیهی است.

حل معادلات خطی پیچیده

بیایید به معادلات پیچیده تر برویم. اکنون ساختارها پیچیده تر می شوند و هنگام انجام تبدیل های مختلف یک تابع درجه دوم ظاهر می شود. با این حال، ما نباید از این ترس داشته باشیم، زیرا اگر طبق برنامه نویسنده، یک معادله خطی را حل کنیم، در طول فرآیند تبدیل، همه یکپارچه های حاوی یک تابع درجه دوم لزوماً لغو می شوند.

مثال شماره 1

بدیهی است که اولین قدم باز کردن براکت ها است. بیایید این کار را با دقت انجام دهیم:

حالا بیایید نگاهی به حریم خصوصی بیندازیم:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

در اینجا برخی از موارد مشابه آورده شده است:

بدیهی است که این معادله هیچ راه حلی ندارد، بنابراین این را در پاسخ می نویسیم:

\[\varnothing\]

یا هیچ ریشه ای وجود ندارد.

مثال شماره 2

ما همین اقدامات را انجام می دهیم. گام اول:

بیایید همه چیز را با یک متغیر به سمت چپ و بدون آن - به راست منتقل کنیم:

در اینجا برخی از موارد مشابه آورده شده است:

بدیهی است که این معادله خطی هیچ راه حلی ندارد، بنابراین آن را به این صورت می نویسیم:

\[\varnothing\]،

یا هیچ ریشه ای وجود ندارد.

تفاوت های ظریف راه حل

هر دو معادله کاملا حل شده است. با استفاده از این دو عبارت به عنوان مثال، ما یک بار دیگر متقاعد شدیم که حتی در ساده ترین معادلات خطی، همه چیز ممکن است چندان ساده نباشد: می تواند یکی باشد، یا هیچ، یا بی نهایت ریشه. در مورد ما، ما دو معادله را در نظر گرفتیم، هر دو به سادگی ریشه ندارند.

اما توجه شما را به یک واقعیت دیگر جلب می کنم: نحوه کار با پرانتز و نحوه باز کردن آنها در صورت وجود علامت منفی در مقابل آنها. این عبارت را در نظر بگیرید:

قبل از باز کردن، باید همه چیز را در "X" ضرب کنید. لطفا توجه داشته باشید: ضرب می شود هر ترم جداگانه. در داخل دو عبارت وجود دارد - به ترتیب، دو جمله و ضرب.

و فقط پس از تکمیل این دگرگونی های به ظاهر ابتدایی، اما بسیار مهم و خطرناک، می توانید براکت را از این نظر باز کنید که بعد از آن علامت منفی وجود دارد. بله، بله: فقط اکنون، هنگامی که تبدیل ها کامل شد، به یاد می آوریم که یک علامت منفی در جلوی براکت ها وجود دارد، به این معنی که همه چیز زیر به سادگی علائم را تغییر می دهد. در عین حال ، خود براکت ها ناپدید می شوند و مهمتر از همه ، "منهای" جلو نیز ناپدید می شوند.

ما همین کار را با معادله دوم انجام می دهیم:

تصادفی نیست که به این حقایق کوچک و به ظاهر کم اهمیت توجه می کنم. از آنجا که حل معادلات همیشه دنباله ای از تبدیل های ابتدایی است، که در آن ناتوانی در انجام واضح و شایسته اقدامات ساده منجر به این واقعیت می شود که دانش آموزان دبیرستانی به سراغ من می آیند و دوباره حل چنین معادلات ساده ای را یاد می گیرند.

البته روزی فرا می رسد که این مهارت ها را تا حد خودکار ارتقا دهید. شما دیگر مجبور نخواهید بود که هر بار تغییرات زیادی انجام دهید، همه چیز را در یک خط بنویسید. اما در حالی که تازه در حال یادگیری هستید، باید هر عمل را جداگانه بنویسید.

حل معادلات خطی حتی پیچیده تر

چیزی که اکنون می خواهیم حل کنیم را به سختی می توان ساده ترین کار نامید، اما معنی همان کار باقی می ماند.

وظیفه شماره 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

بیایید تمام عناصر قسمت اول را ضرب کنیم:

بیایید حریم خصوصی را رعایت کنیم:

در اینجا برخی از موارد مشابه آورده شده است:

بیایید آخرین مرحله را کامل کنیم:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

در اینجا پاسخ نهایی ما است. و علیرغم اینکه در فرآیند حل ما ضرایبی با تابع درجه دوم داشتیم، آنها یکدیگر را خنثی کردند که باعث می شود معادله خطی باشد و درجه دوم نباشد.

وظیفه شماره 2

\[\ چپ (1-4x \راست)\ چپ (1-3x \راست)=6x\چپ (2x-1 \راست)\]

بیایید مرحله اول را با دقت انجام دهیم: هر عنصر از براکت اول را در هر عنصر از دومی ضرب کنید. در مجموع چهار عبارت جدید باید پس از تبدیل به دست آید:

حالا بیایید ضرب را در هر جمله با دقت انجام دهیم:

بیایید عبارات "X" را به سمت چپ و موارد بدون - را به راست منتقل کنیم:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:

یک بار دیگر پاسخ نهایی را دریافت کردیم.

تفاوت های ظریف راه حل

مهم ترین نکته در مورد این دو معادله این است: به محض اینکه شروع به ضرب براکت هایی می کنیم که بیش از یک جمله دارند، این کار طبق قانون زیر انجام می شود: جمله اول را از اولی می گیریم و با هر عنصر از آن ضرب می کنیم. دوم؛ سپس عنصر دوم را از اولی می گیریم و به طور مشابه در هر عنصر از عنصر دوم ضرب می کنیم. در نتیجه چهار ترم خواهیم داشت.

در مورد جمع جبری

با این مثال آخر، می خواهم به دانش آموزان یادآوری کنم که جمع جبری چیست. در ریاضیات کلاسیک، منظور ما از 1 تا 7 دلار یک ساختار ساده است: هفت را از یک کم کنید. منظور ما در جبر این است: به عدد "یک" عدد دیگری به نام "منهای هفت" اضافه می کنیم. اینگونه است که یک مجموع جبری با یک مجموع حسابی معمولی متفاوت است.

به محض انجام تمام تبدیل ها، هر جمع و ضرب، شروع به دیدن ساختارهای مشابه آنچه در بالا توضیح داده شد، در جبر هنگام کار با چند جمله ای ها و معادله ها مشکلی نخواهید داشت.

در نهایت، بیایید به چند مثال دیگر نگاه کنیم که حتی پیچیده‌تر از نمونه‌هایی هستند که اکنون به آنها نگاه کردیم، و برای حل آنها باید کمی الگوریتم استاندارد خود را گسترش دهیم.

حل معادلات با کسر

برای حل چنین کارهایی باید یک مرحله دیگر به الگوریتم خود اضافه کنیم. اما ابتدا اجازه دهید الگوریتم خود را به شما یادآوری کنم:

1. براکت ها را باز کنید.
2. متغیرها را جدا کنید
3. موارد مشابه را بیاورید.
4. تقسیم بر نسبت.

افسوس، این الگوریتم فوق العاده، با تمام اثربخشی آن، زمانی که کسری در مقابل خود داریم، کاملاً مناسب نیست. و در آنچه در زیر خواهیم دید، در هر دو معادله هم در سمت چپ و هم در سمت راست کسری داریم.

در این مورد چگونه باید کار کرد؟ بله، خیلی ساده است! برای انجام این کار، باید یک مرحله دیگر به الگوریتم اضافه کنید، که هم قبل و هم بعد از اولین اقدام، یعنی خلاص شدن از شر کسری، قابل انجام است. بنابراین الگوریتم به صورت زیر خواهد بود:

1. از شر کسری خلاص شوید.
2. براکت ها را باز کنید.
3. متغیرها را جدا کنید
4. موارد مشابه را بیاورید.
5. تقسیم بر نسبت.

"رهایی از کسری" به چه معناست؟ و چرا می توان این کار را هم بعد و هم قبل از اولین مرحله استاندارد انجام داد؟ در واقع، در مورد ما، همه کسرها در مخرج خود عددی هستند، یعنی. همه جا مخرج فقط یک عدد است. بنابراین اگر هر دو طرف معادله را در این عدد ضرب کنیم از شر کسر خلاص می شویم.

مثال شماره 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \راست))(4)=((x)^(2))-1\]

بیایید از کسرهای این معادله خلاص شویم:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \راست)\cdot 4\]

لطفا توجه داشته باشید: همه چیز یک بار در "چهار" ضرب می شود، یعنی. فقط به این دلیل که دو پرانتز دارید به این معنی نیست که باید هر یک را در "چهار" ضرب کنید. بیایید بنویسیم:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

حالا بیایید گسترش دهیم:

متغیر را جدا می کنیم:

ما کاهش عبارات مشابه را انجام می دهیم:

\[-4x=-1\ چپ| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

گرفتیم تصمیم نهایی، به معادله دوم می رویم.

مثال شماره 2

\[\frac(\left(1-x \راست)\left(1+5x \راست))(5)+((x)^(2))=1\]

در اینجا ما همه اقدامات مشابه را انجام می دهیم:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \راست)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

مشکل حل شده است.

در واقع، این تنها چیزی است که امروز می خواستم به شما بگویم.

نکات کلیدی

یافته های کلیدی عبارتند از:

• الگوریتم حل معادلات خطی را بدانید.
• قابلیت باز کردن براکت ها
• اگه دیدی نگران نباش توابع درجه دوم، به احتمال زیاد، در روند تحولات بعدی آنها کاهش خواهند یافت.
• در معادلات خطی سه نوع ریشه وجود دارد، حتی ساده ترین آنها: یک ریشه واحد، کل خط اعداد یک ریشه است و اصلاً ریشه ندارد.

امیدوارم این درس به شما در تسلط بر یک مبحث ساده اما بسیار مهم برای درک بیشتر تمامی ریاضیات کمک کند. اگر چیزی واضح نیست، به سایت بروید و مثال های ارائه شده در آنجا را حل کنید. با ما همراه باشید، چیزهای جالب دیگری در انتظار شما هستند!

معادلات خطی راه حل، مثال

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

معادلات خطی

معادلات خطی- سخت ترین موضوع در ریاضیات مدرسه نیست. اما ترفندهایی وجود دارد که می تواند حتی یک دانش آموز آموزش دیده را نیز متحیر کند. بیایید بفهمیم؟)

به طور معمول یک معادله خطی به عنوان معادله ای از شکل زیر تعریف می شود:

تبر + ب = 0 کجا الف و ب- هر عددی

2x + 7 = 0. اینجا a=2، b=7

0.1x - 2.3 = 0 در اینجا a=0.1، b=-2.3

12x + 1/2 = 0 در اینجا a=12، b=1/2

هیچ چیز پیچیده ای نیست، درست است؟ به خصوص اگر متوجه کلمات زیر نباشید: "جایی که a و b هر عددی هستند"... و اگر متوجه شدید و بی دقت به آن فکر کنید؟) بالاخره اگر a=0، b=0(هر عددی ممکن است؟)، سپس یک عبارت خنده دار دریافت می کنیم:

اما این همه ماجرا نیست! اگر بگو a=0،الف b=5،معلوم می شود که این چیزی کاملاً پوچ است:

که آزاردهنده است و اعتماد به نفس را در ریاضی تضعیف می کند، بله...) مخصوصاً در ایام امتحانات. اما از بین این عبارات عجیب باید X را نیز پیدا کنید! که اصلا وجود ندارد و در کمال تعجب، یافتن این X بسیار آسان است. ما یاد خواهیم گرفت که این کار را انجام دهیم. در این درس

چگونه یک معادله خطی را از روی ظاهر آن تشخیص دهیم؟ بستگی داره چی باشه ظاهر.) ترفند این است که نه تنها معادلات فرم معادلات خطی نامیده می شوند تبر + ب = 0 ، بلکه هر معادله ای که با تبدیل و ساده سازی به این شکل کاهش یابد. و چه کسی می داند که آیا پایین می آید یا نه؟)

یک معادله خطی در برخی موارد به وضوح قابل تشخیص است. فرض کنید، اگر معادله ای داریم که در آن فقط مجهولات درجه اول و اعداد وجود دارد. و در معادله وجود ندارد کسری تقسیم بر ناشناخته , این مهم است! و تقسیم بر شماره،یا کسری عددی - خوش آمدید! به عنوان مثال:

این یک معادله خطی است. در اینجا کسری وجود دارد، اما هیچ x در مربع، مکعب، و غیره وجود ندارد، و هیچ x در مخرج، یعنی. خیر تقسیم بر x. و این معادله است

نمی توان خطی نامید. در اینجا X ها همه در درجه اول هستند، اما وجود دارند تقسیم بر عبارت با x. پس از ساده سازی ها و تبدیل ها، می توانید یک معادله خطی، یک معادله درجه دوم یا هر چیزی که می خواهید بدست آورید.

معلوم می شود که تشخیص معادله خطی در برخی مثال های پیچیده تا زمانی که تقریباً آن را حل نکنید، غیرممکن است. این ناراحت کننده است. اما در تکالیف، به عنوان یک قاعده، آنها در مورد شکل معادله نمی پرسند، درست است؟ تکالیف معادلات را می خواهند تصمیم بگیرند.این باعث خوشحالی من می شود.)

حل معادلات خطی نمونه ها

کل حل معادلات خطی از تبدیل معادلات یکسان تشکیل شده است. به هر حال، این دگرگونی ها (دوتا از آنها!) اساس راه حل ها هستند تمام معادلات ریاضیبه عبارت دیگر راه حل هرمعادله با همین دگرگونی ها آغاز می شود. در مورد معادلات خطی، آن (حل) بر اساس این تبدیل ها است و با یک پاسخ کامل به پایان می رسد. منطقی است که پیوند را دنبال کنید، درست است؟) علاوه بر این، نمونه هایی از حل معادلات خطی نیز وجود دارد.

ابتدا به ساده ترین مثال نگاه می کنیم. بدون هیچ تله ای. فرض کنید باید این معادله را حل کنیم.

x - 3 = 2 - 4x

این یک معادله خطی است. X ها همه در توان اول هستند، هیچ تقسیم بر X وجود ندارد. اما، در واقع، برای ما مهم نیست که چه نوع معادله ای است. ما باید آن را حل کنیم. طرح در اینجا ساده است. همه چیز را با X در سمت چپ معادله، همه چیز بدون X (اعداد) در سمت راست را جمع آوری کنید.

برای انجام این کار باید انتقال دهید - 4 برابر اینچ سمت چپ، البته با تغییر علامت و - 3 - به سمت راست به هر حال، این است اولین تبدیل یکسان معادلات.متعجب؟ این بدان معنی است که شما پیوند را دنبال نکردید، اما بیهوده ...) ما دریافت می کنیم:

x + 4x = 2 + 3

در اینجا موارد مشابه وجود دارد، ما در نظر می گیریم:

برای خوشبختی کامل به چه چیزهایی نیاز داریم؟ بله، به طوری که یک X خالص در سمت چپ وجود دارد! پنج در راه است. خلاص شدن از شر این پنج با کمک دومین تبدیل یکسان معادلات.یعنی هر دو طرف معادله را بر 5 تقسیم می کنیم. جواب آماده می گیریم:

البته یک مثال ابتدایی. این برای گرم کردن است.) خیلی واضح نیست که چرا من تحولات یکسان را در اینجا به یاد آوردم؟ باشه بیایید گاو نر را از شاخ هایش بگیریم.) بیایید چیز محکم تری تصمیم بگیریم.

به عنوان مثال، این معادله است:

از کجا شروع کنیم؟ با X - به چپ، بدون X - به سمت راست؟ این امکان پذیر است. قدم های کوچک در امتداد یک جاده طولانی. یا می توانید بلافاصله، جهانی و به روشی قدرتمند. اگر، البته، تبدیل معادلات یکسانی در زرادخانه خود دارید.

من از شما یک سوال کلیدی می پرسم: چه چیزی را در این معادله بیشتر دوست ندارید؟

95 از 100 نفر پاسخ خواهند داد: کسری ! پاسخ درست است. پس بیایید از شر آنها خلاص شویم. بنابراین، بلافاصله شروع می کنیم تغییر هویت دوم. برای ضرب کسر سمت چپ به چه چیزی نیاز دارید تا مخرج کاملاً کاهش یابد؟ درست است، در 3. و در سمت راست؟ در 4. اما ریاضیات به ما اجازه می دهد که هر دو طرف را در ضرب کنیم همان تعداد. چگونه می توانیم خارج شویم؟ بیایید هر دو طرف را در 12 ضرب کنیم! آن ها به یک مخرج مشترک سپس هر دو سه و چهار کاهش می یابد. فراموش نکنید که باید هر قسمت را ضرب کنید به طور کامل. در اینجا مرحله اول به نظر می رسد:

گسترش براکت ها:

توجه کن! شمارنده (x+2)داخل پرانتز گذاشتم! این به این دلیل است که هنگام ضرب کسرها، کل صورتگر ضرب می شود! اکنون می توانید کسرها را کاهش دهید:

براکت های باقی مانده را باز کنید:

نمونه نیست، اما لذت محض!) حالا بیایید طلسم را به یاد بیاوریم کلاس های خردسال: با X - به سمت چپ، بدون X - به سمت راست!و این تبدیل را اعمال کنید:

در اینجا برخی از موارد مشابه آورده شده است:

و هر دو قسمت را بر 25 تقسیم کنید، یعنی. تغییر دوم را دوباره اعمال کنید:

همین است. پاسخ: X=0,16

لطفاً توجه داشته باشید: برای آوردن معادله گیج کننده اصلی به شکل خوب، از دو استفاده کردیم (فقط دو!) تحولات هویتی– ترجمه چپ به راست با تغییر علامت و ضرب-تقسیم یک معادله بر همان عدد. این یک روش جهانی است! با این روش کار خواهیم کرد هر معادلات! مطلقا هر کسی. به همین دلیل است که من همیشه در مورد این دگرگونی های یکسان تکرار می کنم.)

همانطور که می بینید، اصل حل معادلات خطی ساده است. معادله را می گیریم و با استفاده از تبدیل های یکسان آن را ساده می کنیم تا به جواب برسیم. مشکلات اصلی در اینجا در محاسبات است، نه در اصل راه حل.

اما... در فرآیند حل ابتدایی ترین معادلات خطی، چنین شگفتی هایی وجود دارد که می توانند شما را به گیجی شدید بکشانند...) خوشبختانه، تنها دو شگفتی از این دست وجود دارد. بیایید آنها را موارد خاص بنامیم.

موارد خاص در حل معادلات خطی.

سورپرایز اول

فرض کنید با یک معادله بسیار اساسی روبرو می شوید، چیزی شبیه به:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

کمی حوصله اش را با یک X به سمت چپ، بدون X - به سمت راست ... با تغییر علامت، همه چیز عالی است ... می گیریم:

2x-5x+3x=5-2-3

حساب می کنیم و... اوه!!! دریافت می کنیم:

این برابری فی نفسه ایرادی ندارد. صفر واقعاً صفر است. اما X گم شده است! و ما باید در پاسخ بنویسیم، x برابر چیست؟وگرنه راه حل به حساب نمیاد درسته...) بن بست؟

آرام! در چنین موارد مشکوکی، کلی ترین قوانین شما را نجات می دهد. چگونه معادلات را حل کنیم؟ حل معادله به چه معناست؟ این یعنی تمام مقادیر x را پیدا کنید که در صورت جایگزین شدن در آنها معادله اصلی، برابری واقعی را به ما خواهد داد.

اما ما برابری واقعی داریم در حال حاضرکار کرد! 0=0 چقدر دقیق تر؟! باقی مانده است که بفهمیم در چه زمانی این اتفاق می افتد. چه مقادیری از X را می توان جایگزین کرد اصلیمعادله اگر این x ها باشد آیا آنها همچنان به صفر می رسند؟بیا؟)

بله!!! X را می توان جایگزین کرد هر!کدام ها را می خواهید؟ حداقل 5، حداقل 0.05، حداقل -220. آنها همچنان کوچک خواهند شد. اگر به من اعتقاد ندارید، می توانید آن را بررسی کنید.) هر مقدار X را جایگزین کنید اصلیمعادله و محاسبه کنید. همیشه حقیقت محض را دریافت خواهید کرد: 0=0، 2=2، -7.1=-7.1 و غیره.

در اینجا پاسخ شما است: x - هر عدد.

پاسخ را می توان در نمادهای ریاضی مختلف نوشت، ماهیت تغییر نمی کند. این یک پاسخ کاملا صحیح و کامل است.

سورپرایز دوم

بیایید همان معادله خطی ابتدایی را در نظر بگیریم و فقط یک عدد را در آن تغییر دهیم. این چیزی است که ما تصمیم خواهیم گرفت:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

پس از همان دگرگونی‌های یکسان، چیز جالبی دریافت می‌کنیم:

مثل این. ما یک معادله خطی را حل کردیم و یک برابری عجیب به دست آوردیم. صحبت کردن زبان ریاضی، گرفتیم برابری کاذبو صحبت کردن به زبان ساده، این درست نیست. ریو اما با این وجود، این مزخرف دلیل بسیار خوبی برای حل صحیح معادله است.)

باز هم بر اساس فکر می کنیم قوانین کلی. هنگامی که x در معادله اصلی جایگزین شود، چه چیزی را به ما می دهد درست استبرابری؟ بله، هیچ کدام! چنین X وجود ندارد. مهم نیست که چه چیزی وارد کنید، همه چیز کاهش می یابد، فقط مزخرف باقی می ماند.)

در اینجا پاسخ شما است: هیچ راه حلی وجود ندارد

این نیز یک پاسخ کاملاً کامل است. در ریاضیات، چنین پاسخ هایی اغلب یافت می شود.

مثل این. حالا، امیدوارم ناپدید شدن X در فرآیند حل هر معادله (نه فقط خطی) شما را به هیچ وجه گیج نکند. این قبلاً یک موضوع آشناست.)

اکنون که با تمام مشکلات موجود در معادلات خطی برخورد کردیم، حل آنها منطقی است.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

در این درس به روش هایی برای حل یک سیستم معادلات خطی می پردازیم. در یک دوره ریاضیات عالی، سیستم های معادلات خطی باید هم به صورت تکالیف جداگانه حل شوند، مثلاً «حل سیستم با استفاده از فرمول های کرامر» و هم در مسیر حل مسائل دیگر. تقریباً در تمام شاخه های ریاضیات عالی باید با سیستم های معادلات خطی برخورد کرد.

اول، یک نظریه کوچک. چه چیزی در در این موردمخفف کلمه ریاضی "خطی" است؟ این بدان معناست که معادلات سیستم همهمتغیرهای گنجانده شده است در درجه اول: بدون هیچ چیز فانتزی مانند و غیره که فقط شرکت کنندگان در المپیادهای ریاضی از آن خوشحال می شوند.

در ریاضیات عالی، نه تنها حروف آشنا از دوران کودکی برای نشان دادن متغیرها استفاده می شود.
یک گزینه نسبتاً محبوب متغیرهایی با ایندکس ها هستند: .
یا حروف اولیه الفبای لاتینکوچک و بزرگ:
یافتن حروف یونانی چندان نادر نیست: - برای بسیاری به عنوان "آلفا، بتا، گاما" شناخته می شود. و همچنین مجموعه ای با شاخص ها ، مثلاً با حرف "mu":

استفاده از یک یا مجموعه دیگری از حروف بستگی به بخشی از ریاضیات عالی دارد که در آن با سیستم معادلات خطی روبرو هستیم. بنابراین، برای مثال، در سیستم های معادلات خطی که هنگام حل انتگرال با آن مواجه می شوند، معادلات دیفرانسیلاستفاده از علامت گذاری سنتی است

اما مهم نیست که متغیرها چگونه تعیین می شوند، اصول، روش ها و روش های حل یک سیستم معادلات خطی تغییر نمی کند. بنابراین، اگر با چیز ترسناکی مانند " مواجه شدید، عجله نکنید تا کتاب مشکل را با ترس ببندید، در هر صورت، می توانید به جای آن خورشید، به جای آن یک پرنده و به جای آن یک چهره (معلم) بکشید. و، هر چند خنده دار به نظر می رسد، یک سیستم معادلات خطی با این نمادها نیز قابل حل است.

من احساس می کنم که مقاله بسیار طولانی خواهد بود، بنابراین فهرست کوچکی از مطالب. بنابراین، "توضیحات" متوالی به این صورت خواهد بود:

- حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جایگزینی (" روش مدرسه») ;
– حل سیستم با جمع (تفریق) ترم به ترم معادلات سیستم;
– حل سیستم با استفاده از فرمول های کرامر;
- حل سیستم با استفاده از ماتریس معکوس;
- حل سیستم با استفاده از روش گاوسی.

همه با سیستم های معادلات خطی دروس ریاضی مدرسه آشنا هستند. در اصل، ما با تکرار شروع می کنیم.

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جایگزینی

این روشرا می توان «روش مدرسه» یا روش حذف مجهولات نیز نامید. به بیان تصویری، می توان آن را "روش گاوسی ناتمام" نیز نامید.

مثال 1

در اینجا سیستمی متشکل از دو معادله با دو مجهول به ما داده می شود. توجه داشته باشید که عبارت های آزاد (اعداد 5 و 7) در سمت چپ معادله قرار دارند. به طور کلی، فرقی نمی‌کند کجا باشند، در سمت چپ یا راست، فقط در مسائل ریاضیات بالاتر اغلب به همین شکل قرار می‌گیرند. و چنین رکوردی در صورت لزوم نباید منجر به سردرگمی شود، سیستم همیشه می تواند "مثلاً" نوشته شود: . فراموش نکنید که هنگام انتقال یک عبارت از قسمتی به قسمت دیگر، باید علامت خود را تغییر دهد.

حل یک سیستم معادلات خطی به چه معناست؟ حل یک سیستم معادلات به معنای یافتن بسیاری از جواب های آن است. راه حل یک سیستم مجموعه ای از مقادیر تمام متغیرهای موجود در آن است، که هر معادله ای از سیستم را به یک برابری واقعی تبدیل می کند. علاوه بر این، سیستم می تواند باشد غیر مشترک (راه حلی ندارم).نگران نباش همینه تعریف کلی=) ما فقط یک مقدار "x" و یک مقدار "y" خواهیم داشت که هر معادله s-we را برآورده می کند.

وجود دارد روش گرافیکیراه حل سیستم، که می تواند در کلاس پیدا شود ساده ترین مشکلات با یک خط. آنجا صحبت کردم حس هندسی سیستم های دو معادله خطی با دو مجهول. اما اکنون عصر جبر و اعداد - اعداد و اعمال - اعمال است.

بیا تصمیم بگیریم: از معادله اول بیان می کنیم:
عبارت به دست آمده را با معادله دوم جایگزین می کنیم:

براکت ها را باز می کنیم، عبارات مشابه را اضافه می کنیم و مقدار را پیدا می کنیم:

بعد، ما به یاد می آوریم که برای چه چیزی رقصیدیم:
ما از قبل ارزش را می دانیم، تنها چیزی که باقی می ماند این است که پیدا کنیم:

پاسخ دهید:

پس از اینکه هر سیستم معادلات به هر شکلی حل شد، اکیداً توصیه می کنم بررسی کنید (به صورت شفاهی، روی پیش نویس یا ماشین حساب). خوشبختانه این کار به راحتی و به سرعت انجام می شود.

1) جواب یافت شده را جایگزین معادله اول کنید:

- برابری صحیح به دست می آید.

2) جواب یافت شده را جایگزین معادله دوم کنید:

- برابری صحیح به دست می آید.

یا به بیان ساده تر، "همه چیز به هم رسید"

روش حل در نظر گرفته شده تنها روشی نیست که از معادله اول می توان بیان کرد، و نه.
شما می توانید برعکس عمل کنید - چیزی را از معادله دوم بیان کنید و آن را با معادله اول جایگزین کنید. ضمناً توجه داشته باشید که مضرترین روش از بین چهار روش بیان از معادله دوم است:

نتیجه کسری است، اما چرا؟ راه حل منطقی تری وجود دارد.

با این حال، در برخی موارد شما هنوز نمی توانید بدون کسری انجام دهید. در این رابطه توجه شما را به نحوه نوشتن عبارت جلب می کنم. نه به این صورت: و در هیچ موردی مانند این نیست: .

در صورتی که در ریاضیات عالی سر و کار دارید اعداد کسری، سپس سعی کنید تمام محاسبات را در کسرهای نامناسب معمولی انجام دهید.

دقیقا، و نه یا!

کاما را می توان فقط گاهی اوقات استفاده کرد، به ویژه اگر پاسخ نهایی به یک مشکل باشد، و نیازی به انجام اقدامات بعدی با این شماره نیست.

بسیاری از خوانندگان احتمالاً فکر می کنند "چرا این کار را می کنیم؟ توضیح مفصلدر مورد کلاس تصحیح، و بنابراین همه چیز روشن است.» هیچ چیز مثل آن، به نظر می رسد بسیار ساده است نمونه مدرسهو چند نتیجه گیری بسیار مهم! اینم یکی دیگه:

شما باید تلاش کنید تا هر کاری را به منطقی ترین روش انجام دهید. فقط به این دلیل که باعث صرفه جویی در زمان و اعصاب می شود و همچنین احتمال اشتباه را کاهش می دهد.

اگر در یک مسئله ریاضی بالاتر به سیستمی متشکل از دو معادله خطی با دو مجهول برخورد کردید، همیشه می توانید از روش جایگزینی استفاده کنید (مگر اینکه مشخص شود که سیستم باید با روش دیگری حل شود). که شما اهل مکیدن هستید و برای استفاده از "روش مدرسه" نمره خود را کاهش خواهید داد.
علاوه بر این، در برخی موارد استفاده از روش جایگزینی با تعداد متغیرهای بیشتر توصیه می شود.

مثال 2

حل یک سیستم معادلات خطی با سه مجهول

یک سیستم معادلات مشابه اغلب هنگام استفاده از روش به اصطلاح ایجاد می شود ضرایب نامشخصوقتی انتگرال یک تابع گویا کسری را پیدا کنیم. سیستم مورد نظر توسط من از آنجا گرفته شده است.

هنگام یافتن انتگرال، هدف این است سریعمقادیر ضرایب را پیدا کنید و به فرمول های کرامر متوسل نشوید. ماتریس معکوسو غیره بنابراین، در این مورد، روش جایگزینی مناسب است.

هنگامی که هر سیستم معادلات داده می شود، اول از همه مطلوب است که بفهمیم آیا می توان به نحوی آن را بلافاصله ساده کرد؟ با تجزیه و تحلیل معادلات سیستم، متوجه می شویم که معادله دوم سیستم را می توان بر 2 تقسیم کرد، کاری که ما انجام می دهیم:

مرجع:علامت ریاضی به معنای "از این نتیجه می شود" است و اغلب در حل مسئله استفاده می شود.

حال بیایید معادلات را تحلیل کنیم که باید برخی از متغیرها را بیان کنیم. کدام معادله را انتخاب کنم؟ احتمالاً قبلاً حدس زده اید که ساده ترین راه برای این منظور استفاده از اولین معادله سیستم است:

در اینجا، مهم نیست که چه متغیری را بیان کنیم، می توان به همین راحتی یا .

بعد، عبارت را جایگزین معادلات دوم و سوم سیستم می کنیم:

پرانتزها را باز می کنیم و اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم:

معادله سوم را بر 2 تقسیم کنید:

از معادله دوم بیان می کنیم و معادله سوم را جایگزین می کنیم:

تقریباً همه چیز آماده است، از معادله سوم در می یابیم:
از معادله دوم:
از معادله اول:

بررسی کنید: مقادیر یافت شده متغیرها را در سمت چپ هر معادله سیستم جایگزین کنید:

1)
2)
3)

سمت راست معادلات مربوطه به دست می آید، بنابراین راه حل به درستی پیدا می شود.

مثال 3

حل یک سیستم معادلات خطی با 4 مجهول

این یک مثال برای تصمیم مستقل(پاسخ در پایان درس).

حل سیستم با جمع (تفریق) ترم به ترم معادلات سیستم

هنگام حل سیستم های معادلات خطی، باید سعی کنید از "روش مدرسه" استفاده نکنید، بلکه از روش جمع (تفریق) ترم به ترم معادلات سیستم استفاده کنید. چرا؟ این باعث صرفه جویی در زمان می شود و محاسبات را ساده می کند، با این حال، اکنون همه چیز واضح تر خواهد شد.

مثال 4

حل یک سیستم معادلات خطی:

من همان سیستم را در مثال اول انتخاب کردم.
با تجزیه و تحلیل سیستم معادلات، متوجه می شویم که ضرایب متغیر از نظر بزرگی یکسان و در علامت (-1 و 1) مخالف هستند. در چنین شرایطی می توان معادلات را ترم به ترم اضافه کرد:

اقدامات دایره شده با رنگ قرمز به صورت ذهنی انجام می شود.
همانطور که می بینید، در نتیجه جمع ترم به ترم، متغیر را از دست دادیم. این، در واقع، همان چیزی است ماهیت روش خلاص شدن از شر یکی از متغیرها است.

معادلات خطی یک موضوع نسبتاً بی ضرر و قابل درک در ریاضیات مدرسه است. اما، به اندازه کافی عجیب، تعداد خطاهای غیرمعمول هنگام حل معادلات خطی فقط کمی کمتر از موضوعات دیگر است - معادلات درجه دوم، لگاریتم، مثلثات و دیگران. علل اکثر خطاها تبدیلات یکسان پیش پا افتاده معادلات است. اول از همه، این سردرگمی در علائم هنگام انتقال عبارت از یک قسمت معادله به قسمت دیگر، و همچنین اشتباهات هنگام کار با کسری و ضرایب کسری است. بله، بله! کسرها نیز در معادلات خطی ظاهر می شوند! دور تا دور. در زیر ما قطعاً چنین معادلات شیطانی را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.)

خوب، بیایید گربه را از دم نکشیم و شروع کنیم به کشف آن، درست است؟ سپس آن را می خوانیم و در آن عمیق می شویم.)

معادله خطی چیست؟ نمونه ها

به طور معمول معادله خطی به صورت زیر است:

تبر + ب = 0,

جایی که a و b هر عددی هستند. هر نوع: اعداد صحیح، کسری، منفی، غیر منطقی - می تواند وجود داشته باشد!

به عنوان مثال:

7x + 1 = 0 (در اینجا a = 7، b = 1)

x – 3 = 0 (در اینجا a = 1، b = -3)

x/2 - 1.1 = 0 (در اینجا a = 1/2، b = -1.1)

به طور کلی، شما می فهمید، امیدوارم.) همه چیز ساده است، مانند یک افسانه. فعلا... و اگر به نماد کلی ax+b=0 دقیق تر نگاه کنید و کمی فکر کنید؟ بالاخره a و b هستند هر عدد! و اگر مثلا a = 0 و b = 0 داشته باشیم (هر عددی را می توان گرفت!)، پس چه چیزی به دست خواهیم آورد؟

0 = 0

اما این همه سرگرمی نیست! اگر مثلا a = 0، b = -10 باشد چه؟ سپس معلوم می شود که نوعی مزخرف است:

0 = 10.

که خیلی خیلی آزاردهنده است و اعتماد به ریاضی را که با عرق و خون به دست آورده ایم را خدشه دار می کند... مخصوصاً در هنگام آزمون و امتحان. اما از بین این برابری های نامفهوم و عجیب باید X را هم پیدا کنید! که اصلا وجود ندارد! و در اینجا، حتی دانش‌آموزانی که به خوبی آماده شده‌اند، گاهی اوقات ممکن است دچار بی‌حوصلگی شوند... اما نگران نباشید! در این درس ما همچنین به تمام این شگفتی ها نگاه خواهیم کرد. و ما قطعا یک X را از چنین برابری هایی خواهیم یافت.) علاوه بر این، همین X را می توان بسیار بسیار ساده پیدا کرد. بله، بله! تعجب آور اما واقعی است.)

خوب، این قابل درک است. اما چگونه می توان از ظاهر تکلیف تشخیص داد که یک معادله خطی است و نه یک معادله دیگر؟ متأسفانه همیشه نمی توان نوع معادله را فقط از روی ظاهر تشخیص داد. نکته این است که نه تنها معادلات به شکل ax + b = 0 خطی نامیده می شوند، بلکه هر معادله دیگری را نیز می توان با تبدیل های یکسان به این شکل کاهش داد. از کجا میدونی جمع میشه یا نه؟ تا زمانی که به سختی می توانید مثال را حل کنید - تقریباً اصلاً. این ناراحت کننده است. اما برای برخی از انواع معادلات، می توانید بلافاصله با یک نگاه با قطعیت تشخیص دهید که آیا این معادلات خطی هستند یا نه.

برای انجام این کار، اجازه دهید یک بار دیگر به ساختار کلی هر معادله خطی نگاه کنیم:

تبر + ب = 0

لطفا توجه داشته باشید: در معادله خطی همیشهفقط متغیر x وجود دارد در درجه اولو چند عدد! همین! هیچ چیز بیشتر. در همان زمان، هیچ X در مربع، در مکعب، زیر ریشه، زیر لگاریتم و سایر چیزهای عجیب و غریب وجود ندارد. و (مهمتر از همه!) هیچ کسری وجود ندارد با X در مخرج!اما کسری با اعداد در مخرج یا تقسیم در هر عدد- به راحتی!

به عنوان مثال:

این یک معادله خطی است. معادله فقط شامل X تا توان اول و اعداد است. و هیچ X در قدرت های بالاتر وجود ندارد - مربع، مکعب، و غیره. بله، در اینجا کسری وجود دارد، اما در عین حال مخرج کسرها شامل فقط اعدادیعنی دو و سه. به عبارت دیگر وجود ندارد تقسیم بر x.

و این معادله است

دیگر نمی توان آن را خطی نامید، اگرچه در اینجا نیز فقط اعداد و X به توان اول وجود دارد. زیرا در میان چیزهای دیگر، کسری نیز وجود دارد با X در مخرج. و پس از ساده سازی ها و تبدیل ها، چنین معادله ای می تواند به هر چیزی تبدیل شود: خطی، درجه دوم - هر چیزی.

چگونه معادلات خطی را حل کنیم؟ نمونه ها

پس چگونه معادلات خطی را حل می کنید؟ ادامه دهید و شگفت زده شوید.) حل کل معادلات خطی فقط بر دو چیز اصلی استوار است. بیایید آنها را فهرست کنیم.

1) مجموعه ای از اعمال ابتدایی و قوانین ریاضی.

اینها استفاده از پرانتز، باز کردن پرانتز، کار با کسرها، کار با اعداد منفی، جدول ضرب و غیره هستند. این دانش و مهارت نه تنها برای حل معادلات خطی، بلکه به طور کلی برای تمام ریاضیات ضروری است. و اگر با این مشکل دارید، نمرات پایین تر را به خاطر بسپارید. وگرنه کار سختی خواهی داشت...

2)

فقط دو تا از آنها وجود دارد. بله، بله! علاوه بر این، این دگرگونی های هویتی بسیار اساسی زیربنای حل نه تنها معادلات خطی، بلکه به طور کلی هر معادله ریاضی است! در یک کلام، راه حل هر معادله دیگر - درجه دوم، لگاریتمی، مثلثاتی، غیر منطقی و غیره. - به عنوان یک قاعده، با این تحولات بسیار اساسی شروع می شود. اما حل معادلات خطی در واقع با آنها (تبدیل ها) به پایان می رسد. پاسخ آماده است.) پس تنبل نباشید و به لینک نگاهی بیندازید.) علاوه بر این، معادلات خطی نیز در آنجا به تفصیل تجزیه و تحلیل می شوند.

خوب، من فکر می کنم زمان آن رسیده که شروع به بررسی نمونه ها کنیم.

برای شروع، به عنوان یک گرم کردن، اجازه دهید به چند چیز اساسی نگاه کنیم. بدون هیچ کسری یا زنگ و سوت دیگر. برای مثال این معادله:

x – 2 = 4 – 5x

این یک معادله خطی کلاسیک است. تمام X ها حداکثر در توان اول هستند و هیچ جا تقسیم بر X وجود ندارد. طرح حل در چنین معادلاتی همیشه یکسان و به طرز وحشتناکی ساده است: تمام عبارت های دارای X باید در سمت چپ جمع آوری شوند و تمام عبارت های بدون X (یعنی اعداد) باید در سمت راست جمع آوری شوند. پس بیایید شروع به جمع آوری کنیم.

برای انجام این کار، اولین تغییر هویت را راه اندازی می کنیم. باید 5 برابر به چپ و 2- به راست حرکت کنیم. البته با تغییر علامت.) بنابراین انتقال می دهیم:

x + 5x = 4 + 2

در اینجا شما بروید. نیمی از نبرد تمام شده است: X ها در یک انبوه جمع شده اند، و اعداد نیز همینطور. اکنون موارد مشابه را در سمت چپ ارائه می دهیم و آنها را در سمت راست می شماریم. دریافت می کنیم:

6x = 6

اکنون برای خوشبختی کامل چه چیزی کم داریم؟ بله، تا X خالص در سمت چپ باقی بماند! و شش مانع می شود. چگونه از شر آن خلاص شویم؟ اکنون دومین تبدیل یکسان را اجرا می کنیم - دو طرف معادله را بر 6 تقسیم می کنیم. و - voila! پاسخ آماده است.)

x = 1

البته مثال کاملا ابتدایی است. برای دریافت ایده کلی. خوب، بیایید چیزی مهمتر تصمیم بگیریم. به عنوان مثال، اجازه دهید به این معادله نگاه کنیم:

بیایید با جزئیات به آن نگاه کنیم.) این نیز یک معادله خطی است، اگرچه به نظر می رسد که در اینجا کسری وجود دارد. اما در کسرها تقسیم بر دو و تقسیم بر سه وجود دارد، اما تقسیم بر یک عبارت با X وجود ندارد! پس بیایید تصمیم بگیریم. با استفاده از همان تحولات هویتی، بله.)

اول باید چیکار کنیم؟ با X - به چپ، بدون X - به سمت راست؟ در اصل، این امکان پذیر است. از طریق ولادی وستوک به سوچی پرواز کنید.) یا می توانید کوتاه ترین مسیر را انتخاب کنید، بلافاصله با استفاده از یک روش جهانی و قدرتمند. البته اگر تحولات هویتی را بدانید.)

ابتدا، من یک سوال کلیدی می پرسم: چه چیزی در این معادله بیشتر از همه برای شما برجسته است و چه چیزی را بیشتر دوست ندارید؟ 99 از 100 نفر خواهند گفت: کسری!و حق خواهند داشت.) پس اول از شر آنها خلاص شویم. برای خود معادله امن است.) بنابراین، بیایید بلافاصله با آن شروع کنیم تغییر هویت دوم- از ضرب. سمت چپ را در چه چیزی ضرب کنیم تا مخرج با موفقیت کاهش یابد؟ درست است، دو. الف سمت راست? برای سه! اما ... ریاضی خانم دمدمی مزاجی است. می بینید که او فقط نیاز به ضرب هر دو طرف دارد به همان تعداد!ضرب هر قسمت در عدد خودش جواب نمیده... چیکار کنیم؟ چیزی... به دنبال سازش باشید. برای ارضای خواسته هایمان (برای خلاص شدن از کسرها) و نه توهین به ریاضیات.) بیایید هر دو قسمت را در شش ضرب کنیم!) یعنی با مخرج مشترک همه کسری های موجود در معادله. سپس با یک ضربه، هر دو و سه کاهش می یابند!)

پس بیایید ضرب کنیم. تمام سمت چپ و تمام سمت راست! بنابراین از پرانتز استفاده می کنیم. این همان چیزی است که خود روش به نظر می رسد:

حالا همین براکت ها را باز می کنیم:

حالا با نمایش 6 به عنوان 1/6، بیایید شش را در هر یک از کسرهای سمت چپ و راست ضرب کنیم. این ضرب معمول کسری است، اما همینطور باشد، من آن را به طور مفصل شرح می دهم:

و اینجا - توجه! عدد (x-3) را داخل پرانتز گذاشتم! همه اینها به این دلیل است که هنگام ضرب کسرها، شمارنده به طور کامل، کاملاً ضرب می شود! و عبارت x-3 باید به عنوان یک ساختار یکپارچه کار شود. اما اگر عدد را به این صورت بنویسید:

6x - 3،

اما همه چیز درست است و باید آن را نهایی کنیم. بعد چه باید کرد؟ پرانتز را در عدد سمت چپ باز کنید؟ به هیچ وجه! من و شما هر دو طرف را در 6 ضرب کردیم تا از شر کسرها خلاص شویم و نگران باز کردن پرانتز نباشیم. در این مرحله نیاز داریم کسرهایمان را کم کنیمبا احساس رضایت عمیق، همه مخرج ها را کاهش می دهیم و معادله ای بدون کسری در یک خط کش به دست می آوریم:

3 (x-3) + 6x = 30 - 4x

و اکنون براکت های باقی مانده را می توان باز کرد:

3x – 9 + 6x = 30 – 4x

معادله هر روز بهتر و بهتر می شود! حالا بیایید دوباره اولین تبدیل یکسان را به یاد بیاوریم. با چهره ای مستقیم، طلسم کلاس های جوان را تکرار می کنیم: با X - به سمت چپ، بدون X - به سمت راست. و این تبدیل را اعمال کنید:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

ما موارد مشابه را در سمت چپ ارائه می دهیم و در سمت راست حساب می کنیم:

13x = 39

باقی مانده است که هر دو قسمت را بر 13 تقسیم کنیم. یعنی تبدیل دوم را دوباره اعمال کنید. تقسیم می کنیم و جواب می گیریم:

x = 3

کار انجام شده است. همانطور که می بینید، در این معادله باید تبدیل اول را یک بار (انتقال عبارت ها) و دومی را دو بار اعمال می کردیم: در ابتدای حل از ضرب (در 6) برای خلاص شدن از شر کسرها استفاده کردیم و در پایان برای خلاص شدن از شر ضریب مقابل X، از تقسیم (بر 13) استفاده کردیم. و راه حل هر معادله خطی (بله، هر!) از ترکیبی از همین تبدیل ها در یک دنباله یا توالی دیگر تشکیل شده است. اینکه دقیقاً از کجا شروع کنیم به معادله خاص بستگی دارد. در برخی جاها شروع با انتقال سود بیشتری دارد و در برخی دیگر (مانند این مثال) با ضرب (یا تقسیم).

ما از ساده به پیچیده کار می کنیم. بیایید اکنون ظلم آشکار را در نظر بگیریم. با یک دسته کسری و پرانتز. و من به شما خواهم گفت که چگونه خود را تحت فشار قرار ندهید.)

به عنوان مثال، این معادله است:

ما یک دقیقه به معادله نگاه می کنیم، وحشت زده می شویم، اما هنوز هم خودمان را جمع می کنیم! مشکل اصلی این است که از کجا شروع کنیم؟ می توانید کسری را در سمت راست اضافه کنید. می توانید کسرهای داخل پرانتز را کم کنید. شما می توانید هر دو قسمت را در چیزی ضرب کنید. یا تقسیم ... پس هنوز چه چیزی ممکن است؟ پاسخ: همه چیز ممکن است! ریاضیات هیچ یک از اقدامات ذکر شده را ممنوع نمی کند. و مهم نیست که چه دنباله ای از اقدامات و تحولات را انتخاب می کنید، پاسخ همیشه یکسان خواهد بود - پاسخ صحیح. مگر اینکه در مرحله ای هویت تحولات خود را زیر پا بگذارید و در نتیجه مرتکب اشتباه شوید...

و برای اینکه مرتکب اشتباه نشوید، در نمونه های پیچیده ای مانند این، همیشه بسیار مفید است که ظاهر آن را ارزیابی کنید و در ذهن خود بفهمید: در مثال چه کاری می توان انجام داد تا حداکثرآن را در یک مرحله ساده کنید؟

پس بیایید آن را بفهمیم. در سمت چپ، شش در مخرج وجود دارد. من شخصاً آنها را دوست ندارم و حذف آنها بسیار آسان است. بگذارید هر دو طرف معادله را در 6 ضرب کنم! سپس شش ها در سمت چپ با موفقیت کاهش می یابند، کسری در پرانتز هنوز به جایی نمی رسد. خوب، اشکالی ندارد. ما کمی بعد به آنها خواهیم پرداخت.) اما در سمت راست، مخرج 2 و 3 را لغو می کنیم.

پس از ضرب، کل معادله شیطانی ما به این صورت می شود:

اگر دقیقاً متوجه نشدید که چگونه این معادله به وجود آمد، پس تجزیه و تحلیل مثال قبلی را به خوبی درک نکرده اید. و اتفاقا من سعی کردم ...

بنابراین، بیایید آشکار کنیم:

اکنون منطقی ترین مرحله این است که کسرهای سمت چپ را جدا کرده و 5 برابر را به سمت راست ارسال کنید. در همان زمان، موارد مشابه را در سمت راست ارائه خواهیم کرد. دریافت می کنیم:

خیلی بهتره قبلا حالا سمت چپ خودش را برای ضرب آماده کرده است. ضلع چپ را در چه مقدار ضرب کنیم تا هم پنج و هم چهار به یکباره کم شوند؟ در 20! اما در هر دو طرف معادله معایبی نیز داریم. بنابراین، راحت‌تر است که هر دو طرف معادله را نه در 20، بلکه در -20 ضرب کنیم. سپس به یکباره هر دو منفی و کسری ناپدید می شوند.

پس ضرب می کنیم:

هر کسی که هنوز این مرحله را درک نکرده است به این معنی است که مشکل در معادلات نیست. مشکلات در اصل است! دوباره به یاد بیاوریم قانون طلاییبراکت های باز کننده:

اگر عددی در برخی از عبارت های داخل پرانتز ضرب شود، این عدد باید به ترتیب در هر جمله از این عبارت ضرب شود. علاوه بر این، اگر عدد مثبت باشد، پس از بسط، علائم عبارات حفظ می شود. اگر منفی بود، برعکس را تغییر دهید:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

معایب ما پس از ضرب هر دو طرف در 20- ناپدید شد. و اکنون براکت های دارای کسرهای سمت چپ را در کاملا ضرب می کنیم عدد مثبت 20. بنابراین وقتی این براکت ها باز می شوند، تمام علائمی که در داخل آنها بود حفظ می شود. اما پرانتزهای موجود در اعداد کسرها از کجا آمده است، قبلاً در مثال قبلی به تفصیل توضیح دادم.

اکنون می توانید کسرها را کاهش دهید:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

براکت های باقی مانده را باز کنید. باز هم به درستی فاش می کنیم. اولین براکت ها در عدد مثبت 4 ضرب می شوند و بنابراین، تمام علائم هنگام باز شدن حفظ می شوند. اما براکت های دوم ضرب می شوند منفیعدد 5- است و بنابراین، همه علائم معکوس می شوند:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

چیزهای جزئی باقی مانده است. با X در سمت چپ، بدون X در سمت راست:

-20x – 15x = 20 – 10 – 12

-35x = -2

این تقریباً تمام است. در سمت چپ به X خالص نیاز دارید، اما عدد -35 در راه است. بنابراین هر دو طرف را بر (35-) تقسیم می کنیم. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که تغییر هویت دوم به ما امکان می دهد هر دو طرف را ضرب و تقسیم کنیم هر چه باشدشماره از جمله موارد منفی.) تا زمانی که صفر نباشد! با خیال راحت تقسیم کنید و جواب بگیرید:

X = 2/35

این بار X تبدیل به کسری شد. اشکالی ندارد. چنین مثالی.)

همانطور که می بینیم، اصل حل معادلات خطی (حتی پیچیده ترین آنها) بسیار ساده است: معادله اصلی را می گیریم و با استفاده از تبدیل های یکسان، آن را به طور متوالی ساده می کنیم تا به جواب برسیم. البته با اصول اولیه! مشکلات اصلی در اینجا دقیقاً عدم رعایت اصول اولیه است (مثلاً یک منهای در جلوی براکت ها وجود دارد و آنها فراموش کرده اند که علائم را هنگام گسترش تغییر دهند) و همچنین در محاسبات پیش پا افتاده. بنابراین از اصول اولیه غافل نشوید! آنها پایه و اساس تمام ریاضیات دیگر هستند!

چند کار جالب برای حل معادلات خطی. یا مناسبت های خاص.

همه چیز خوب می شد با این حال... در میان معادلات خطی، مرواریدهای خنده‌داری نیز وجود دارد که در فرآیند حل آنها می‌توانند شما را به گیجی شدید بکشانند. حتی یک دانش آموز ممتاز.)

به عنوان مثال، در اینجا یک معادله بی ضرر است:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

با خمیازه کشیدن زیاد و کمی حوصله، تمام X ها را در سمت چپ و تمام اعداد را در سمت راست جمع می کنیم:

7x-4x-3x = 5-2-3

ما موارد مشابه را ارائه می دهیم، شمارش کرده و دریافت می کنیم:

0 = 0

همین! من یک نمونه ترفند زدم! این برابری به خودی خود ایرادی ندارد: صفر واقعاً برابر با صفر است. اما X گم شده است! بدون هیچ ردی! و ما باید در پاسخ بنویسیم، x برابر است. در غیر این صورت، تصمیم به حساب نمی آید، بله.) چه باید کرد؟

وحشت نکنید! در چنین موارد غیر استاندارد، بیشترین مفاهیم کلیو اصول ریاضیات معادله چیست؟ چگونه معادلات را حل کنیم؟ حل معادله به چه معناست؟

حل معادله یعنی پیدا کردن همهمقادیر متغیر x که در صورت جایگزین شدن به اصلیمعادله برابری (هویت) صحیح را به ما می دهد!

اما ما برابری واقعی داریم قبلا اتفاق افتاده است! 0=0، یا بهتر است بگوییم، هیچ جا!) ما فقط می توانیم حدس بزنیم که در کدام X ها این برابری را به دست می آوریم. چه نوع X را می توان جایگزین کرد اصلیمعادله اگر، پس از جایگزینی، همه آنها آیا آنها همچنان به صفر می رسند؟هنوز متوجه نشدی؟

خوب، البته! X را می توان جایگزین کرد هر!!! مطلقا هر. هر چی میخوای بفرست حداقل 1، حداقل -23، حداقل 2.7 - هر چه باشد! آنها همچنان کاهش خواهند یافت و در نتیجه حقیقت محض باقی خواهد ماند. آن را امتحان کنید، آن را جایگزین کنید و خودتان ببینید.)

در اینجا پاسخ شما است:

x - هر عدد.

در سابقه علمیاین برابری به این صورت نوشته شده است:

این ورودی به این صورت است: "X هر عدد واقعی است."

یا به شکل دیگری، در فواصل زمانی:

آن را به شکلی که دوست دارید طراحی کنید. این یک پاسخ صحیح و کاملا کامل است!

حالا من فقط یک عدد را در معادله اصلی خود تغییر می دهم. حالا بیایید این معادله را حل کنیم:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

دوباره شرایط را منتقل می کنیم، شمارش می کنیم و دریافت می کنیم:

7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2

0 = 1

و نظر شما در مورد این شوخی چیست؟ یک معادله خطی معمولی وجود داشت، اما تبدیل به یک برابری غیرقابل درک شد

0 = 1…

از نظر علمی، متوجه شدیم برابری کاذباما در زبان روسی این درست نیست. مزخرف مزخرف.) چون صفر به هیچ وجه مساوی یک نیست!

و حالا بیایید دوباره بفهمیم که چه نوع X ها، وقتی در معادله اصلی جایگزین شوند، به ما می دهند. برابری واقعی؟کدام؟ اما هیچکدام! مهم نیست چه X را جایگزین کنید، همه چیز همچنان کوتاه می شود و همه چیز مزخرف باقی می ماند.)

در اینجا پاسخ است: بدون راه حل.

در نماد ریاضیچنین پاسخی به شکل زیر است:

نوشته شده است: "X متعلق به مجموعه خالی است."

چنین پاسخ هایی در ریاضیات نیز اغلب اتفاق می افتد: اصولاً همیشه هیچ معادله ای ریشه ندارد. برخی معادلات ممکن است اصلاً ریشه نداشته باشند. اصلا

در اینجا دو شگفتی وجود دارد. امیدوارم که اکنون ناپدید شدن ناگهانی X از معادله شما را برای همیشه گیج نکند. این کاملا آشناست.)

و سپس من یک سوال منطقی می شنوم: آیا آنها در OGE یا آزمون دولتی واحد خواهند بود؟ در مورد آزمون دولتی واحد به خودی خود به عنوان یک وظیفه - نه. خیلی ساده اما در OGE یا در مشکلات کلمه - به راحتی! پس حالا بیایید آموزش ببینیم و تصمیم بگیریم:

پاسخ ها (به هم ریخته): -2; -1؛ هر عددی؛ 2 بدون راه حل؛ 7/13.

آیا همه چیز درست شد؟ عالیه شما در امتحان شانس خوبی دارید.

چیزی جمع نمی شود؟ هوم... البته غم. این بدان معنی است که هنوز در جایی شکاف وجود دارد. چه در مبانی یا در تحولات یکسان. یا فقط یک موضوع بی توجهی ساده است. دوباره درس را بخوانید. چون این موضوعی نیست که بتوان به این راحتی در ریاضیات از آن صرف نظر کرد...

موفق باشید! او قطعا به شما لبخند خواهد زد، باور کنید!)