صفحه اصلی حذف نابرابری نمایی درجه دوم است. حل نابرابری های نمایی

حذف

نابرابری نمایی درجه دوم است. حل نابرابری های نمایی

در این درس ما به انواع نامعادله های نمایی نگاه می کنیم و نحوه حل آنها را بر اساس تکنیک حل ساده ترین نابرابری های نمایی می آموزیم.

1. تعریف و ویژگی های تابع نمایی

اجازه دهید تعریف و ویژگی های اصلی تابع نمایی را به یاد بیاوریم. حل تمام معادلات و نابرابری های نمایی بر اساس این ویژگی ها است.

تابع نماییتابعی از فرم است که پایه آن درجه و در اینجا x متغیر مستقل، آرگومان است. y متغیر وابسته، تابع است.

برنج. 1. نمودار تابع نمایی

نمودار افزایش و کاهش توان را نشان می دهد که تابع نمایی را به ترتیب با پایه بزرگتر از یک و کوچکتر از یک اما بزرگتر از صفر نشان می دهد.

هر دو منحنی از نقطه (0;1) عبور می کنند

ویژگی های تابع نمایی:

دامنه: ؛

محدوده مقادیر: ;

تابع یکنواخت است، با افزایش می یابد، با کاهش می یابد.

یک تابع یکنواخت هر یک از مقادیر خود را با یک مقدار آرگومان می گیرد.

وقتی، وقتی آرگومان از منهای به مثبت بی‌نهایت افزایش می‌یابد، تابع از صفر به اضافه بی‌نهایت افزایش می‌یابد، یعنی برای مقادیر داده‌شده آرگومان، یک تابع افزایشی یکنواخت داریم (). برعکس، وقتی آرگومان از منهای به مثبت بی نهایت افزایش می یابد، تابع از بی نهایت به صفر کاهش می یابد، یعنی برای مقادیر داده شده آرگومان، یک تابع کاهشی یکنواخت داریم ().

2. ساده ترین نابرابری های نمایی، روش حل، مثال

بر اساس موارد فوق، روشی را برای حل نابرابری های نمایی ساده ارائه می کنیم:

تکنیک حل نابرابری:

پایه درجه ها را برابر کنید.

با ذخیره یا تغییر معیارها را مقایسه کنید علامت مخالفنابرابری ها

راه حل برای نابرابری های نمایی پیچیده معمولاً شامل کاهش آنها به ساده ترین نابرابری های نمایی است.

پایه درجه بزرگتر از یک است، به این معنی که علامت نابرابری حفظ می شود:

بیایید متحول شویم سمت راستبا توجه به ویژگی های مدرک:

پایه درجه کمتر از یک است، علامت نابرابری باید معکوس شود:

برای حل نابرابری درجه دوم، معادله درجه دوم مربوطه را حل می کنیم:

با استفاده از قضیه ویتا ریشه ها را پیدا می کنیم:

شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند.

بنابراین، ما یک راه حل برای نابرابری داریم:

به راحتی می توان حدس زد که سمت راست را می توان به عنوان توانی با توان صفر نشان داد:

پایه درجه بزرگتر از یک است، علامت نابرابری تغییر نمی کند، به دست می آوریم:

بیایید تکنیک حل چنین نابرابری ها را به یاد بیاوریم.

تابع کسری - گویا را در نظر بگیرید:

دامنه تعریف را پیدا می کنیم:

پیدا کردن ریشه های تابع:

تابع یک ریشه دارد،

فواصل علامت ثابت را انتخاب می کنیم و علائم تابع را در هر بازه تعیین می کنیم:

برنج. 2. فواصل پایداری علامت

به این ترتیب پاسخ را دریافت کردیم.

پاسخ:

3. حل نابرابری های نمایی استاندارد

بیایید نابرابری ها را با شاخص های یکسان، اما پایه های متفاوت در نظر بگیریم.

یکی از ویژگی های تابع نمایی این است که برای هر مقدار آرگومان مقادیر کاملاً مثبت می گیرد، به این معنی که می توان آن را به یک تابع نمایی تقسیم کرد. اجازه دهید نابرابری داده شده را به سمت راست آن تقسیم کنیم:

پایه درجه بزرگتر از یک است، علامت نابرابری حفظ می شود.

بیایید راه حل را توضیح دهیم:

شکل 6.3 نمودارهای توابع و . بدیهی است که وقتی آرگومان بزرگتر از صفر باشد، نمودار تابع بالاتر است، این تابع بزرگتر است. وقتی مقادیر آرگومان منفی است، تابع پایین تر می رود، کوچکتر می شود. وقتی آرگومان برابر است، توابع برابر هستند، که به این معنی است نقطه داده شدههمچنین راه حلی برای نابرابری داده شده است.

برنج. 3. تصویر برای مثال 4

اجازه دهید نابرابری داده شده را با توجه به ویژگی های درجه تبدیل کنیم:

در اینجا چند اصطلاح مشابه وجود دارد:

بیایید هر دو قسمت را به زیر تقسیم کنیم:

اکنون به حل مشابه به مثال 4 ادامه می دهیم، هر دو قسمت را بر دو تقسیم می کنیم:

پایه درجه بزرگتر از یک است، علامت نابرابری باقی می ماند:

4. حل گرافیکی نابرابری های نمایی

مثال 6 - نابرابری را به صورت گرافیکی حل کنید:

بیایید به توابع سمت چپ و راست نگاه کنیم و برای هر یک از آنها یک نمودار بسازیم.

تابع نمایی است و در کل دامنه تعریف خود، یعنی برای همه مقادیر واقعی آرگومان افزایش می یابد.

تابع خطی است و در کل دامنه تعریف خود کاهش می یابد، یعنی برای همه مقادیر واقعی آرگومان.

اگر این توابع با هم تلاقی داشته باشند، یعنی سیستم یک راه حل داشته باشد، چنین راه حلی منحصر به فرد است و به راحتی قابل حدس زدن است. برای انجام این کار، روی اعداد صحیح () تکرار می کنیم.

به راحتی می توان فهمید که ریشه این سیستم عبارت است از:

بنابراین، نمودارهای توابع در نقطه ای با آرگومان برابر با یک قطع می شوند.

حالا باید جواب بگیریم. معنای نابرابری داده شده این است که توان باید بزرگتر یا مساوی باشد تابع خطییعنی بالاتر یا منطبق با آن باشد. پاسخ واضح است: (شکل 6.4)

برنج. 4. تصویر برای مثال 6

بنابراین، ما به حل نابرابری های نمایی استاندارد مختلف نگاه کردیم. در ادامه به بررسی نابرابری های نمایی پیچیده تر می پردازیم.

کتابشناسی - فهرست کتب

موردکوویچ A.G. جبر و اصول تجزیه و تحلیل ریاضی. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K. Muravin O. V. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی. - م.: باستارد. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn P. et al. - م.: روشنگری.

ریاضی. md ریاضی-تکرار. com پراکنده کردن کمسو ru.

مشق شب

1. جبر و آغاز تجزیه، نمرات 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990، شماره 472، 473;

2- نابرابری را حل کنید:

3. نابرابری را حل کنید.

بیایید به نحوه حل نابرابری های نمایی شامل توان ها با پایه های مختلف نگاه کنیم. راه حل چنین نابرابری هایی مشابه راه حل های مربوطه است.

(5^((x^2) - x - 1)) - (2^((x^2) - x))\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

درجه ها را با همان پایه ها گروه بندی می کنیم. جدا کردن آنها در دو طرف نابرابری راحت تر است:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

از هر جفت توان، ضریب مشترک را از پرانتز خارج می کنیم - توان با توان کوچکتر. خارج کردن عامل مشترک از پرانتز به معنای تقسیم هر عبارت بر این عامل است. وقتی درجه ها را با پایه های یکسان تقسیم می کنیم، پایه را یکسان می گذاریم و توان ها را کم می کنیم:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

می توانید بلافاصله بر 20 تقسیم کنید (20=4∙5)، اما تمرین نشان می دهد که تقسیم در دو مرحله به شما امکان می دهد از خطاهای احتمالی جلوگیری کنید:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

از آنجایی که پایه 2/5 است<1, показательная функция

کاهش می یابد، بنابراین علامت نابرابری بین توانها به عکس تغییر می کند:

بیایید نابرابری درجه دوم را با استفاده از روش بازه حل کنیم. صفرهای تابع سمت چپ نابرابری x1=-1 است. x2=2. آنها را روی خط شماره علامت گذاری می کنیم.

برای بررسی علامت، یک صفر بگیرید: 0²-0-2=-2، در بازه ای که صفر به آن تعلق دارد، "-" را قرار دهید. علائم باقی مانده را به صورت شطرنجی مرتب می کنیم. از آنجایی که ما در حال حل نابرابری هستیم که در آن سمت چپ کمتر از صفر است، بازه را با علامت "-" انتخاب می کنیم.

پاسخ: x ∈ (-1; 2).

یک نوع نابرابری از این نوع این است که همه توان ها پایه های یکسانی دارند، اما در ضرایب x در توان ها متفاوت هستند.

در سمت چپ، درجه با کمترین نما را خارج از پرانتز قرار می دهیم

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

ما به یک نابرابری نمایی رسیدیم. از آنجایی که پایه 7> 1، تابع

افزایش می یابد، علامت نابرابری بین شاخص ها تغییر نمی کند:

برای حل این نابرابری با استفاده از روش بازه، همه عبارت ها را به سمت چپو کسرها را به کاهش دهید

حل اکثر مسائل ریاضی به یک روش یا روش دیگر شامل تبدیل عبارات عددی، جبری یا تابعی است. موارد فوق به ویژه در مورد تصمیم اعمال می شود. در نسخه های امتحان دولتی واحد در ریاضیات، این نوع مسئله به ویژه شامل وظیفه C3 است. یادگیری حل تکالیف C3 نه تنها برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی یکپارچه مهم است، بلکه به این دلیل که این مهارت هنگام مطالعه یک درس ریاضی در دبیرستان مفید خواهد بود.

هنگام تکمیل وظایف C3، باید تصمیم بگیرید انواع مختلفمعادلات و نابرابری ها از جمله آنها می توان به ماژول های منطقی، غیر منطقی، نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی، شامل ماژول ها ( ارزش های مطلق) و همچنین ترکیبی. این مقاله انواع اصلی معادلات و نابرابری های نمایی و همچنین روش های مختلفتصمیمات آنها در مورد حل انواع دیگر معادلات و نابرابری ها در بخش "" در مقالات اختصاص داده شده به روش های حل مسائل C3 از گزینه های آزمون دولتی یکپارچهریاضیات

قبل از شروع به تجزیه و تحلیل خاص معادلات و نابرابری های نماییبه عنوان یک معلم ریاضی، من به شما پیشنهاد می کنم برخی از مطالب نظری را که به آنها نیاز داریم، بررسی کنید.

تابع نمایی

تابع نمایی چیست؟

عملکرد فرم y = تبر، جایی که آ> 0 و آ≠ 1 نامیده می شود تابع نمایی.

پایه ای ویژگی های تابع نمایی y = تبر:

نمودار یک تابع نمایی

نمودار تابع نمایی است توان:

نمودارهای توابع نمایی (شارها)

حل معادلات نمایی

نشان دهندهمعادلاتی نامیده می شوند که در آنها متغیر مجهول فقط در توان های برخی توان ها یافت می شود.

برای راه حل ها معادلات نماییشما باید قضیه ساده زیر را بدانید و بتوانید از آن استفاده کنید:

قضیه 1.معادله نمایی آ f(ایکس) = آ g(ایکس) (جایی که آ > 0, آ≠ 1) معادل معادله است f(ایکس) = g(ایکس).

علاوه بر این، به خاطر سپردن فرمول ها و عملیات اصلی با درجه مفید است:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

مثال 1.معادله را حل کنید:

راه حل:ما از فرمول های بالا و جایگزینی استفاده می کنیم:

سپس معادله تبدیل می شود:

ممیز معادله درجه دوم حاصل مثبت است:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

یعنی این معادله دو ریشه دارد. ما آنها را پیدا می کنیم:

با حرکت به سمت تعویض معکوس، دریافت می کنیم:

معادله دوم ریشه ندارد، زیرا تابع نمایی در کل دامنه تعریف کاملاً مثبت است. بیایید مورد دوم را حل کنیم:

با در نظر گرفتن آنچه در قضیه 1 گفته شد، به معادله معادل می رویم: ایکس= 3. این پاسخ کار خواهد بود.

پاسخ: ایکس = 3.

مثال 2.معادله را حل کنید:

راه حل:معادله هیچ محدودیتی در محدوده مقادیر مجاز ندارد، زیرا عبارت رادیکال برای هر مقداری معنا دارد. ایکس(تابع نمایی y = 9 4 -ایکسمثبت و مساوی صفر نیست).

معادله را با حل می کنیم تبدیل های معادلبا استفاده از قواعد ضرب و تقسیم قوا:

آخرین انتقال مطابق با قضیه 1 انجام شد.

پاسخ:ایکس= 6.

مثال 3.معادله را حل کنید:

راه حل:هر دو قسمت معادله اصلیرا می توان بر 0.2 تقسیم کرد ایکس. این انتقال معادل خواهد بود، زیرا این عبارت برای هر مقداری بزرگتر از صفر است ایکس(تابع نمایی در حوزه تعریف خود کاملاً مثبت است). سپس معادله به شکل زیر در می آید:

پاسخ: ایکس = 0.

مثال 4.معادله را حل کنید:

راه حل:ما با استفاده از قوانین تقسیم و ضرب توان ها که در ابتدای مقاله آورده شده است، معادله را به یک معادله ابتدایی با استفاده از تبدیل های معادل ساده می کنیم:

تقسیم دو طرف معادله بر 4 ایکسمانند مثال قبلی، تبدیلی معادل است، زیرا این عبارت برای هیچ مقداری برابر با صفر نیست. ایکس.

پاسخ: ایکس = 0.

مثال 5.معادله را حل کنید:

راه حل:تابع y = 3ایکس، ایستاده در سمت چپ معادله، در حال افزایش است. تابع y = —ایکس 2/3- در سمت راست معادله در حال کاهش است. به این معنی که اگر نمودارهای این توابع با هم تلاقی کنند، حداکثر یک نقطه. که در در این موردحدس زدن اینکه نمودارها در نقطه تلاقی دارند دشوار نیست ایکس= -1. هیچ ریشه دیگری وجود نخواهد داشت.

پاسخ: ایکس = -1.

مثال 6.معادله را حل کنید:

راه حل:ما معادله را با استفاده از تبدیل‌های معادل ساده می‌کنیم و در همه جا در نظر داریم که تابع نمایی برای هر مقداری به شدت بزرگ‌تر از صفر است. ایکسو با استفاده از قواعد محاسبه حاصلضرب و ضریب توانها در ابتدای مقاله:

پاسخ: ایکس = 2.

حل نابرابری های نمایی

نشان دهندهنابرابری هایی نامیده می شوند که در آنها متغیر مجهول فقط در نماهای برخی از توان ها وجود دارد.

برای راه حل ها نابرابری های نماییدانستن قضیه زیر الزامی است:

قضیه 2.اگر آ> 1، سپس نابرابری آ f(ایکس) > آ g(ایکس) معادل نابرابری به همین معنی است: f(ایکس) > g(ایکس). اگر 0< آ < 1, то показательное неравенство آ f(ایکس) > آ g(ایکس) معادل نابرابری به معنای مخالف است: f(ایکس) < g(ایکس).

مثال 7.حل نابرابری:

راه حل:بیایید نابرابری اصلی را به شکل زیر ارائه کنیم:

بیایید هر دو طرف این نابرابری را بر 3 2 تقسیم کنیم ایکس، در این حالت (به دلیل مثبت بودن تابع y= 3 2ایکس) علامت نابرابری تغییر نخواهد کرد:

بیایید از جایگزین استفاده کنیم:

سپس نابرابری به شکل زیر در می آید:

بنابراین، راه حل نابرابری بازه است:

با حرکت به سمت جایگزینی معکوس، دریافت می کنیم:

با توجه به مثبت بودن تابع نمایی، نابرابری سمت چپ به طور خودکار برآورده می شود. با استفاده از خاصیت شناخته شده لگاریتم، به نابرابری معادل می رویم:

از آنجایی که پایه درجه یک عدد بزرگتر از یک است، معادل (با قضیه 2) انتقال به نابرابری زیر است:

بنابراین، ما در نهایت دریافت می کنیم پاسخ:

مثال 8.حل نابرابری:

راه حل:با استفاده از خواص ضرب و تقسیم توان ها، نابرابری را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:

بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم:

با در نظر گرفتن این جایگزینی، نابرابری به شکل زیر در می آید:

با ضرب صورت و مخرج کسر در 7، نابرابری معادل زیر را بدست می آوریم:

بنابراین، مقادیر زیر متغیر نابرابری را برآورده می کند تی:

سپس، با حرکت به سمت جایگزینی معکوس، دریافت می کنیم:

از آنجایی که پایه درجه در اینجا بزرگتر از یک است، انتقال به نابرابری معادل خواهد بود (توسط قضیه 2):

بالاخره می رسیم پاسخ:

مثال 9.حل نابرابری:

راه حل:

هر دو طرف نابرابری را با عبارت زیر تقسیم می کنیم:

همیشه بزرگتر از صفر است (به دلیل مثبت بودن تابع نمایی) بنابراین نیازی به تغییر علامت نابرابری نیست. ما گرفتیم:

t واقع در بازه:

با حرکت به سمت جایگزینی معکوس، متوجه می شویم که نابرابری اصلی به دو حالت تقسیم می شود:

نابرابری اول به دلیل مثبت بودن تابع نمایی راه حلی ندارد. بیایید مورد دوم را حل کنیم:

مثال 10.حل نابرابری:

راه حل:

شاخه های سهمی y = 2ایکس+2-ایکس 2 به سمت پایین هدایت می شوند، بنابراین از بالا با مقداری که در راس خود به آن می رسد محدود می شود:

شاخه های سهمی y = ایکس 2 -2ایکس 2+ در اندیکاتور به سمت بالا هدایت می شوند، به این معنی که از پایین با مقداری که در راس خود می رسد محدود می شود:

در همان زمان، تابع نیز از پایین محدود شده است y = 3 ایکس 2 -2ایکس+2 که در سمت راست معادله است. او به هدف خود می رسد کمترین مقداردر همان نقطه سهمی در توان، و این مقدار برابر است با 3 1 = 3. بنابراین، نابرابری اصلی تنها زمانی می تواند صادق باشد که تابع سمت چپ و تابع سمت راست مقداری برابر با 3 بگیرند. در همان نقطه (توسط تقاطع محدوده مقادیر این توابع فقط این عدد است). این شرط در یک نقطه برآورده می شود ایکس = 1.

پاسخ: ایکس= 1.

برای اینکه یاد بگیریم تصمیم بگیریم معادلات و نابرابری های نمایی،برای حل آنها باید مدام آموزش داد. چیزهای مختلف می تواند به شما در انجام این کار دشوار کمک کند. کتابچه راهنمای روش شناختی، کتاب های مسئله در ریاضیات ابتدایی، مجموعه مسائل رقابتی، کلاس های ریاضی در مدرسه و همچنین جلسات فردیبا مربی حرفه ای از صمیم قلب برای شما آرزوی موفقیت در آمادگی و نتایج عالی در آزمون دارم.

سرگئی والریویچ

P.S. مهمانان عزیز! لطفا درخواست حل معادلات خود را در نظرات ننویسید. متأسفانه من مطلقاً برای این کار وقت ندارم. چنین پیام حذف خواهد شد. لطفا مقاله را بخوانید. شاید در آن پاسخ به سؤالاتی پیدا کنید که به شما اجازه نمی دهد کار خود را به تنهایی حل کنید.

معادلات و نابرابری های نمایی آنهایی هستند که مجهول در توان آنها وجود دارد.

حل معادلات نمایی اغلب به حل معادله a x = a b می رسد، که در آن a > 0، a ≠ 1، x یک مجهول است. این معادله دارای یک ریشه واحد x = b است، زیرا قضیه زیر صادق است:

قضیه. اگر a > 0، a ≠ 1 و x 1 = a x 2، آنگاه x 1 = x 2.

اجازه دهید بیانیه در نظر گرفته شده را اثبات کنیم.

اجازه دهید فرض کنیم که برابری x 1 = x 2 برقرار نیست، یعنی. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1، سپس تابع نمایی y = a x افزایش می یابد و بنابراین نابرابری a x 1 باید برآورده شود.< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. در هر دو مورد، ما یک تناقض با شرط a x 1 = a x 2 دریافت کردیم.

بیایید چندین مشکل را در نظر بگیریم.

معادله 4 ∙ 2 x = 1 را حل کنید.

راه حل.

بیایید معادله را به شکل 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 بنویسیم که از آن x + 2 = 0 می گیریم، یعنی. x = -2.

پاسخ. x = -2.

معادله 2 را 3x ∙ 3 x = 576 حل کنید.

راه حل.

از آنجایی که 2 3x = (2 3) x = 8 x، 576 = 24 2، معادله را می توان به صورت 8 x ∙ 3 x = 24 2 یا به صورت 24 x = 24 2 نوشت.

از اینجا x = 2 می گیریم.

پاسخ. x = 2.

معادله 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 را حل کنید.

راه حل.

با برداشتن ضریب مشترک 3 x - 2 از براکت ها در سمت چپ، 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 ∙ 25 = 25 بدست می آوریم،

از آنجا 3 x - 2 = 1، یعنی. x – 2 = 0، x = 2.

پاسخ. x = 2.

معادله 3 x = 7 x را حل کنید.

راه حل.

از آنجایی که 7 x ≠ 0، معادله را می توان به صورت 3 x /7 x = 1 نوشت، از این رو (3/7) x = 1، x = 0.

پاسخ. x = 0.

معادله 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 را حل کنید.

راه حل.

با جایگزینی 3 x = a این معادله به کاهش می یابد معادله درجه دوم a 2 - 4a - 45 = 0.

با حل این معادله، ریشه های آن را می یابیم: a 1 = 9، و 2 = -5، از آنجایی 3 x = 9، 3 x = -5.

معادله 3 x = 9 ریشه 2 دارد و معادله 3 x = -5 ریشه ندارد، زیرا تابع نمایی نمی تواند مقادیر منفی بگیرد.

پاسخ. x = 2.

حل نابرابری های نمایی اغلب به حل نابرابری های a x > a b یا a x ختم می شود.< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

بیایید به برخی از مشکلات نگاه کنیم.

حل نابرابری 3 x< 81.

راه حل.

بیایید نامساوی را به شکل 3 x بنویسیم< 3 4 . Так как 3 >1، سپس تابع y = 3 x در حال افزایش است.

بنابراین، برای x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

بنابراین، در x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

پاسخ. ایکس< 4.

نابرابری 16 x +4 x – 2 > 0 را حل کنید.

راه حل.

اجازه دهید 4 x = t را نشان دهیم، سپس نابرابری درجه دوم t2 + t – 2 > 0 را به دست می آوریم.

این نابرابری برای t صادق است< -2 и при t > 1.

از آنجایی که t = 4 x، دو نابرابری 4 x دریافت می کنیم< -2, 4 х > 1.

نابرابری اول هیچ راه حلی ندارد، زیرا 4 x > 0 برای همه x € R است.

نامساوی دوم را به شکل 4 x > 4 0 می نویسیم، از آنجا x > 0.

پاسخ. x > 0.

معادله (1/3) x = x – 2/3 را به صورت گرافیکی حل کنید.

راه حل.

1) بیایید نمودارهایی از توابع y = (1/3) x و y = x – 2/3 بسازیم.

2) بر اساس شکل ما، می توان نتیجه گرفت که نمودارهای توابع در نظر گرفته شده در نقطه ای با ابسیسا x ≈ 1 قطع می شوند. بررسی ثابت می کند که

x = 1 ریشه این معادله است:

(1/3) 1 = 1/3 و 1 – 2/3 = 1/3.

به عبارت دیگر، یکی از ریشه های معادله را یافته ایم.

3) بیایید ریشه های دیگری پیدا کنیم یا ثابت کنیم که وجود ندارد. تابع (1/3) x در حال کاهش است و تابع y = x – 2/3 در حال افزایش است. بنابراین، برای x> 1، مقادیر تابع اول کمتر از 1/3، و دوم - بیش از 1/3 است. در x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 و x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

پاسخ. x = 1.

توجه داشته باشید که از حل این مسئله، به ویژه، نتیجه می شود که نابرابری (1/3) x > x – 2/3 برای x برآورده می شود.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

بسیاری از مردم فکر می کنند که نابرابری های نمایی چیزی پیچیده و غیرقابل درک است. و یادگیری حل آنها تقریباً یک هنر بزرگ است که فقط برگزیدگان قادر به درک آن هستند ...

مزخرف کامل! نابرابری های نمایی آسان هستند. و همیشه به سادگی حل می شوند. خب تقریبا همیشه :)

امروز به این موضوع در داخل و خارج نگاه خواهیم کرد. این درس برای کسانی که تازه شروع به درک این بخش از ریاضیات مدرسه کرده اند بسیار مفید خواهد بود. بیا شروع کنیم با کارهای سادهو ما به سمت مسائل پیچیده تر خواهیم رفت. امروز کار سختی وجود نخواهد داشت، اما آنچه می خواهید بخوانید برای حل اکثر نابرابری ها در انواع تست ها و تست ها کافی است. کار مستقل. و در این امتحان شما نیز.

مثل همیشه، بیایید با یک تعریف شروع کنیم. نابرابری نمایی هر نابرابری است که دارای تابع نمایی باشد. به عبارت دیگر، همیشه می توان آن را به یک نابرابری از شکل تقلیل داد

\[((a)^(x)) \gt b\]

جایی که نقش $b$ می تواند یک عدد معمولی، یا شاید چیزی سخت تر باشد. مثال ها؟ بله لطفا:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ چهار ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0،1)^(1-x)) \lt 0.01;\ چهار ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(ایکس))). \\\پایان (تراز کردن)\]

من فکر می کنم معنی واضح است: یک تابع نمایی $((a)^(x))$ وجود دارد، آن را با چیزی مقایسه می کنیم و سپس از آن خواسته می شود که $x$ را پیدا کند. به خصوص موارد بالینیبه جای متغیر $x$ می‌توانند مقداری تابع $f\left(x\right)$ قرار دهند و در نتیجه نابرابری را کمی پیچیده‌تر کنند.

البته در برخی موارد ممکن است نابرابری شدیدتر به نظر برسد. مثلا:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

یا حتی این:

به طور کلی، پیچیدگی چنین نابرابری‌هایی می‌تواند بسیار متفاوت باشد، اما در نهایت آنها همچنان به ساختار ساده $((a)^(x)) \gt b$ کاهش می‌یابند. و ما به نوعی چنین ساختاری را کشف خواهیم کرد (به ویژه در موارد بالینی، وقتی چیزی به ذهنمان نمی رسد، لگاریتم ها به ما کمک می کنند). بنابراین، اکنون به شما آموزش می دهیم که چگونه چنین ساختارهای ساده ای را حل کنید.

حل نابرابری های نمایی ساده

بیایید یک چیز بسیار ساده را در نظر بگیریم. به عنوان مثال، این:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

بدیهی است که عدد سمت راست را می توان به صورت توان دو بازنویسی کرد: $4=((2)^(2))$. بنابراین، نابرابری اصلی را می توان به شکل بسیار مناسب بازنویسی کرد:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

و اکنون دستانم برای دریافت پاسخ $x \gt 2$، می‌خارند تا این دو را در پایه‌های قدرت‌ها «قطع» کنم. اما قبل از خط زدن هر چیزی، بیایید قدرت های دو را به خاطر بسپاریم:

\[((2)^(1))=2;\چهار ((2)^(2))=4;\چهار ((2)^(3))=8;\چهار ((2)^( 4))=16;...\]

همانطور که می بینیم، از تعداد بزرگتردر توان است، عدد خروجی بزرگتر است. "ممنون، کلاه!" - یکی از دانش آموزان فریاد می زند. آیا تفاوتی دارد؟ متاسفانه این اتفاق می افتد. مثلا:

\[((\left(\frac(1)(2) \راست))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ راست))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \راست))^(3))=\frac(1)(8 )...\]

در اینجا نیز همه چیز منطقی است: هر چه درجه بیشتر باشد، عدد 0.5 در خودش ضرب می شود (یعنی تقسیم به نصف). بنابراین، دنباله حاصل از اعداد در حال کاهش است و تفاوت بین دنباله اول و دوم فقط در پایه است:

اگر پایه درجه $a \gt 1$ باشد، با افزایش توان $n$، عدد $((a)^(n))$ نیز افزایش خواهد یافت.
و بالعکس، اگر $0 \lt a \lt 1$ باشد، با افزایش توان $n$، عدد $((a)^(n))$ کاهش خواهد یافت.

با جمع بندی این حقایق، مهم ترین بیانیه ای را به دست می آوریم که حل کل نابرابری های نمایی بر اساس آن است:

اگر $a \gt 1$ باشد، آنگاه نابرابری $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ معادل نابرابری $x \gt n$ است. اگر $0 \lt a \lt 1$، آنگاه نابرابری $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ معادل نابرابری $x \lt n$ است.

به عبارت دیگر، اگر پایه بزرگتر از یک باشد، می توانید به سادگی آن را حذف کنید - علامت نابرابری تغییر نخواهد کرد. و اگر پایه کمتر از یک باشد، می توان آن را نیز حذف کرد، اما در عین حال باید علامت نابرابری را تغییر دهید.

لطفا توجه داشته باشید که ما گزینه های $a=1$ و $a\le 0$ را در نظر نگرفته ایم. زیرا در این موارد عدم قطعیت به وجود می آید. بیایید بگوییم چگونه یک نابرابری به شکل $((1)^(x)) \gt 3$ را حل کنیم؟ یک نفر به هر قدرتی دوباره یکی خواهد داد - ما هرگز سه یا بیشتر نخواهیم گرفت. آن ها هیچ راه حلی وجود ندارد

با دلایل منفی همه چیز جالب تر است. برای مثال، این نابرابری را در نظر بگیرید:

\[((\چپ(-2 \راست))^(x)) \gt 4\]

در نگاه اول همه چیز ساده است:

درست؟ اما نه! کافی است به جای $x$ چند عدد زوج و چند عدد فرد را جایگزین کنید تا مطمئن شوید که راه حل نادرست است. نگاهی بیاندازید:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\پیکان راست ((\چپ(-2 \راست))^(7))=-128 \lt 4. \\\پایان (تراز کردن)\]

همانطور که می بینید، علائم متناوب هستند. اما قدرت های کسری و مزخرفات دیگر نیز وجود دارد. برای مثال، چگونه دستور می دهید $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (منهای دو به توان هفت) محاسبه شود؟ به هیچ وجه!

بنابراین، برای قطعیت، فرض می‌کنیم که در همه نابرابری‌های نمایی (و به هر حال، معادلات) $1\ne a \gt 0$. و سپس همه چیز بسیار ساده حل می شود:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\پیکان راست \چپ[ \شروع(تراز) & x \gt n\چهارم \چپ(a \gt 1 \راست)، \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \راست). \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

به طور کلی، یک بار دیگر قانون اصلی را به خاطر بسپارید: اگر پایه در یک معادله نمایی بزرگتر از یک باشد، می توانید به سادگی آن را حذف کنید. و اگر پایه کمتر از یک باشد می توان آن را نیز حذف کرد ولی علامت نابرابری تغییر می کند.

نمونه هایی از راه حل ها

بنابراین، اجازه دهید به چند نابرابری نمایی ساده نگاه کنیم:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0،1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0،2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\پایان (تراز کردن)\]

وظیفه اصلی در همه موارد یکسان است: کاهش نابرابری ها به ساده ترین شکل $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. این دقیقاً همان کاری است که اکنون با هر نابرابری انجام خواهیم داد و در عین حال خواص درجه ها و توابع نمایی را تکرار خواهیم کرد. پس بزن بریم!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

تو اینجا چکاری میتوانی انجام دهی؟ خوب، در سمت چپ ما قبلاً یک عبارت نشانگر داریم - هیچ چیزی نیاز به تغییر ندارد. اما در سمت راست نوعی مزخرف وجود دارد: کسری و حتی یک ریشه در مخرج!

با این حال، بیایید قوانین کار با کسرها و توان ها را به خاطر بسپاریم:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\پایان (تراز کردن)\]

چه مفهومی داره؟ اول اینکه با تبدیل کسری به توان با آن می توانیم به راحتی از شر آن خلاص شویم شاخص منفی. و ثانیاً، از آنجایی که مخرج یک ریشه دارد، خوب است که آن را به توان تبدیل کنیم - این بار با توان کسری.

این اقدامات را به ترتیب در سمت راست نابرابری اعمال کنید و ببینید چه اتفاقی می افتد:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \راست))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \راست))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \راست)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

فراموش نکنید که هنگام بالا بردن درجه به توان، نماهای این درجات با هم جمع می شوند. و به طور کلی، هنگام کار با معادلات نمایی و نابرابری ها، دانستن حداقل ساده ترین قوانین برای کار با توان ها کاملاً ضروری است:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \راست))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\پایان (تراز کردن)\]

در حقیقت، آخرین قانونما فقط آن را اعمال کردیم بنابراین، نابرابری اصلی ما به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ فراک (1) (3)))\]

حالا ما از شر این دو در پایه خلاص می شویم. از 2 > 1، علامت نابرابری ثابت می ماند:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end (تراز کردن)\]

راه حل همینه! مشکل اصلی به هیچ وجه در تابع نمایی نیست، بلکه در تبدیل شایسته عبارت اصلی است: شما باید با دقت و سریع آن را به ساده ترین شکل خود برسانید.

نابرابری دوم را در نظر بگیرید:

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

نه خوب نه بد. کسرهای اعشاری در اینجا منتظر ما هستند. همانطور که بارها گفته ام، در هر عبارت با قدرت باید از شر اعشار خلاص شوید - این اغلب تنها راه برای دیدن یک راه حل سریع و ساده است. در اینجا خلاص خواهیم شد:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2))؛ \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \راست))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \راست))^(2)). \\\پایان (تراز کردن)\]

در اینجا دوباره ساده ترین نابرابری را داریم، و حتی با پایه 1/10، یعنی. کمتر از یک خوب، ما پایه ها را حذف می کنیم، همزمان علامت "کمتر" را به "بیشتر" تغییر می دهیم و دریافت می کنیم:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\پایان (تراز کردن)\]

ما پاسخ نهایی را دریافت کردیم: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. لطفاً توجه داشته باشید: پاسخ دقیقاً یک مجموعه است و در هیچ موردی ساختاری به شکل $x \lt -1$ نیست. زیرا از نظر رسمی، چنین ساختاری اصلاً یک مجموعه نیست، بلکه یک نابرابری با توجه به متغیر $x$ است. بله، خیلی ساده است، اما جواب نمی دهد!

یادداشت مهم. این نابرابری را می توان به روش دیگری حل کرد - با تقلیل هر دو طرف به توانی با پایه بزرگتر از یک. نگاهی بیاندازید:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \راست))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \راست))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

پس از چنین تبدیلی، ما دوباره یک نابرابری نمایی به دست خواهیم آورد، اما با پایه 10 > 1. این بدان معنی است که ما به سادگی می توانیم ده را خط بزنیم - علامت نابرابری تغییر نخواهد کرد. ما گرفتیم:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\پایان (تراز کردن)\]

همانطور که می بینید، پاسخ دقیقاً یکسان بود. در همان زمان، ما خود را از نیاز به تغییر علامت و به طور کلی به خاطر سپردن هر قانونی نجات دادیم.

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

با این حال، اجازه ندهید این شما را بترساند. مهم نیست که در شاخص ها چه چیزی وجود دارد، فناوری حل نابرابری خود یکسان باقی می ماند. بنابراین، اجازه دهید ابتدا توجه داشته باشیم که 16 = 2 4. بیایید با در نظر گرفتن این واقعیت، نابرابری اصلی را بازنویسی کنیم:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\پایان (تراز کردن)\]

هورا! ما به نابرابری درجه دوم معمولی رسیدیم! علامت هیچ جا تغییر نکرده است، زیرا پایه دو است - عددی بزرگتر از یک.

صفرهای یک تابع در خط اعداد

ما علائم تابع $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ را مرتب می کنیم - بدیهی است که نمودار آن یک سهمی با شاخه های بالا خواهد بود، بنابراین "به علاوه" وجود خواهد داشت. ” در طرفین. ما به منطقه ای علاقه مندیم که تابع کمتر از صفر باشد، یعنی. $x\in \left(2;5 \right)$ پاسخ مشکل اصلی است.

در نهایت یک نابرابری دیگر را در نظر بگیرید:

\[((0،2)^(1+(((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

دوباره یک تابع نمایی با کسری اعشاری در قاعده می بینیم. این کسر را به کسری معمولی تبدیل می کنیم:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=(5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0,2) )^(1+((x)^(2))))=((\چپ(((5)^(-1)) \راست))^(1+((x)^(2))) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \راست)))\پایان(تراز)\]

در این مورد، ما از تذکری که قبلا داده شد استفاده کردیم - به منظور ساده کردن راه حل بیشتر، پایه را به عدد 5 > 1 کاهش دادیم. بیایید همین کار را با سمت راست انجام دهیم:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \راست))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ راست))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

اجازه دهید نابرابری اصلی را با در نظر گرفتن هر دو تبدیل بازنویسی کنیم:

\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\arrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \راست)))\ge ((5)^(-2))\]

پایه های هر دو طرف یکسان هستند و بیشتر از یک هستند. هیچ عبارت دیگری در سمت راست و چپ وجود ندارد، بنابراین ما به سادگی پنج ها را خط می زنیم و یک عبارت بسیار ساده به دست می آوریم:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\چهار \ چپ| \cdot \left(-1 \راست) \راست. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\پایان (تراز کردن)\]

اینجاست که باید بیشتر مراقب باشید. بسیاری از دانش آموزان دوست دارند به سادگی استخراج کنند ریشه دوماز هر دو طرف نابرابری و چیزی شبیه $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ بنویسید. در هیچ موردی این کار را نکنید، زیرا ریشه یک مربع دقیق است ماژول، و در هیچ موردی متغیر اصلی:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\ چپ| x\راست|\]

با این حال، کار با ماژول ها لذت بخش ترین تجربه نیست، اینطور است؟ پس ما کار نخواهیم کرد در عوض، ما به سادگی تمام عبارت ها را به سمت چپ منتقل می کنیم و نابرابری معمول را با استفاده از روش فاصله حل می کنیم:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\پایان (تراز کردن)$

دوباره نقاط به دست آمده را روی خط اعداد علامت گذاری می کنیم و به علائم نگاه می کنیم:

لطفا توجه داشته باشید: نقاط سایه دار هستند

از آنجایی که ما در حال حل یک نابرابری غیر دقیق بودیم، تمام نقاط روی نمودار سایه دار هستند. بنابراین، پاسخ این خواهد بود: $x\in \left[ -1;1 \right]$ یک بازه نیست، بلکه یک بخش است.

به طور کلی، من می خواهم توجه داشته باشم که هیچ چیز پیچیده ای در مورد نابرابری های نمایی وجود ندارد. معنای تمام تبدیل هایی که امروز انجام دادیم به یک الگوریتم ساده خلاصه می شود:

مبنایی را پیدا کنید که همه درجات را به آن کاهش دهیم.
تبدیل ها را با دقت انجام دهید تا نابرابری به شکل $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ بدست آورید. البته، به جای متغیرهای $x$ و $n$ می‌تواند بسیار بیشتر باشد توابع پیچیده، اما معنی تغییر نخواهد کرد.
پایه درجه ها را خط بزنید. در این حالت، اگر پایه $a \lt 1$ باشد، علامت نابرابری ممکن است تغییر کند.

در واقع، این یک الگوریتم جهانی برای حل همه این نابرابری ها است. و هر چیز دیگری که در مورد این موضوع به شما می گویند فقط تکنیک ها و ترفندهای خاصی است که تحول را ساده و سرعت می بخشد. اکنون در مورد یکی از این تکنیک ها صحبت خواهیم کرد.

روش منطقی سازی

بیایید مجموعه دیگری از نابرابری ها را در نظر بگیریم:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \راست))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \راست))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \راست))^(16-x)); \\ & ((\ چپ (3-2\sqrt(2) \راست))^(3x-((x)^(2))) \lt 1. \\\پایان (تراز کردن)\]

پس چه چیز خاصی در مورد آنها وجود دارد؟ آنها سبک هستند. گرچه بس کن! آیا عدد π به مقداری توان افزایش یافته است؟ چه بیمعنی؟

چگونه عدد $2\sqrt(3)-3$ را به یک پاور افزایش دهیم؟ یا $3-2\sqrt(2)$؟ بدیهی است که نویسندگان مشکل قبل از اینکه سر کار بنشینند بیش از حد زالزالک نوشیده اند.

در واقع هیچ چیز ترسناکی در مورد این وظایف وجود ندارد. اجازه دهید یادآوری کنم: یک تابع نمایی عبارتی از شکل $((a)^(x))$ است، که در آن پایه $a$ هر عدد مثبتی به جز یک است. عدد π مثبت است - ما قبلاً این را می دانیم. اعداد $2\sqrt(3)-3$ و $3-2\sqrt(2)$ نیز مثبت هستند - به راحتی می توان آنها را با صفر مقایسه کرد.

معلوم می شود که همه این نابرابری های "ترسناک" با موارد ساده ای که در بالا مورد بحث قرار گرفت تفاوتی ندارند؟ و آیا به همین ترتیب حل می شوند؟ بله، کاملاً درست است. با این حال، با استفاده از مثال آنها، می خواهم تکنیکی را در نظر بگیرم که در زمان کار مستقل و امتحانات بسیار صرفه جویی می کند. ما در مورد روش عقلانی کردن صحبت خواهیم کرد. بنابراین، توجه:

هر نابرابری نمایی به شکل $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ معادل نابرابری $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ راست) \gt 0 $.

کل روش همینه :) فکر میکردی یه جور بازی دیگه باشه؟ هیچی مثل این! اما این واقعیت ساده که به معنای واقعی کلمه در یک خط نوشته شده است، کار ما را بسیار ساده می کند. نگاهی بیاندازید:

\[\begin(ماتریس) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2)) \\ \پایین \\ \چپ(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end (ماتریس)\]

بنابراین دیگر توابع نمایی وجود ندارد! و لازم نیست به یاد داشته باشید که آیا علامت تغییر می کند یا خیر. اما به وجود می آید مشکل جدید: با ضریب لعنتی \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] چه کنیم؟ ما نمی دانیم همه چیز در مورد چیست ارزش دقیقاعداد π. با این حال، به نظر می رسد کاپیتان به چیزهای واضح اشاره می کند:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\تقریبا 3.14... \gt 3\پیکان راست \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

به طور کلی، مقدار دقیق π واقعاً به ما مربوط نیست - فقط برای ما مهم است که بفهمیم در هر صورت $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $، t.e. این یک ثابت مثبت است و می‌توانیم هر دو طرف نابرابری را بر آن تقسیم کنیم:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \راست) \راست. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end (تراز کردن)\]

همانطور که می بینید، در یک لحظه خاص مجبور شدیم بر منفی یک تقسیم کنیم - و علامت نابرابری تغییر کرد. در پایان، من مثلث درجه دوم را با استفاده از قضیه ویتا گسترش دادم - واضح است که ریشه ها برابر با $((x)_(1))=5$ و $((x)_(2))=-1$ هستند. . سپس همه چیز تصمیم گیری می شود روش کلاسیکفواصل:

حل نابرابری با استفاده از روش فاصله

همه نقاط حذف می شوند زیرا نابرابری اصلی سخت است. ما به منطقه ای با مقادیر منفی علاقه مند هستیم، بنابراین پاسخ $x\in \left(-1;5 \right)$ است. راه حل همینه :)

بیایید به کار بعدی برویم:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \راست))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

همه چیز در اینجا به طور کلی ساده است، زیرا یک واحد در سمت راست وجود دارد. و ما به یاد داریم که یک هر عددی است که به توان صفر افزایش یافته است. حتی اگر این عدد یک عبارت غیر منطقی در پایه سمت چپ باشد:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \راست))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \راست))^(0)); \\\پایان (تراز کردن)\]

خوب، بیایید منطقی کنیم:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end (تراز کردن)\ ]

تنها چیزی که باقی می ماند این است که نشانه ها را کشف کنیم. عامل $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ دارای متغیر $x$ نیست - فقط یک ثابت است و ما باید علامت آن را پیدا کنیم. برای این کار به نکات زیر توجه کنید:

\[\begin(ماتریس) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \راست)=0 \\\پایان(ماتریس)\]

معلوم می شود که عامل دوم فقط یک ثابت نیست، بلکه یک ثابت منفی است! و هنگام تقسیم بر آن، علامت نابرابری اصلی به عکس تغییر می کند:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\ چپ (x-2 \راست) \gt 0. \\\پایان (تراز کردن)\]

اکنون همه چیز کاملاً آشکار می شود. ریشه ها سه جمله ای درجه دوم، ایستاده در سمت راست: $((x)_(1))=0$ و $((x)_(2))=2$. آنها را روی خط اعداد علامت گذاری می کنیم و به نشانه های تابع $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ نگاه می کنیم:

موردی که ما علاقه مند به فواصل جانبی هستیم

ما به فواصل مشخص شده با علامت مثبت علاقه مندیم. تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن پاسخ است:

بیایید به مثال بعدی برویم:

\[((\left(\frac(1)(3) \راست))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ راست))^(16-x))\]

خوب، همه چیز در اینجا کاملاً واضح است: پایه ها دارای قدرت هایی به همان تعداد هستند. بنابراین، من همه چیز را به طور خلاصه می نویسم:

\[\begin(ماتریس) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \پایین \\ ((\چپ(((3)^(-1)) \راست))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\چپ(((3)^(-2)) \راست))^(16-x)) \\\پایان(ماتریس)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ چپ (16-x \راست))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \راست) \راست. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end (تراز کردن)\]

همانطور که می بینید، در طول فرآیند تبدیل باید ضرب می شدیم یک عدد منفی، بنابراین علامت نابرابری تغییر کرده است. در انتها، من دوباره قضیه ویتا را برای عامل سه جمله ای درجه دوم به کار بردم. در نتیجه، پاسخ به صورت زیر خواهد بود: $x\in \left(-8;4 \right)$ - هرکسی می‌تواند این را با کشیدن یک خط عددی، علامت‌گذاری نقاط و شمارش علائم تأیید کند. در همین حال، ما به آخرین نابرابری از "مجموعه" خود خواهیم رفت:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \راست))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

همانطور که می بینید، در پایه دوباره یک عدد غیر منطقی وجود دارد و در سمت راست دوباره یک واحد وجود دارد. بنابراین، نابرابری نمایی خود را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \راست))^(3x-((x)^(2))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ راست))^(0))\]

ما منطقی سازی را اعمال می کنیم:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end (تراز کردن)\ ]

با این حال، کاملاً واضح است که $1-\sqrt(2) \lt 0$، زیرا $\sqrt(2)\حدود 1,4... \gt 1$. بنابراین، عامل دوم دوباره یک ثابت منفی است که می توان هر دو طرف نابرابری را بر اساس آن تقسیم کرد:

\[\begin(ماتریس) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \پایین \ \\پایان (ماتریس)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \راست) \راست. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\ چپ (x-3 \راست) \lt 0. \\\پایان (تراز کردن)\]

به پایگاه دیگری بروید

یک مشکل جداگانه هنگام حل نابرابری های نمایی، جستجوی مبنای "درست" است. متأسفانه، همیشه در نگاه اول در یک کار مشخص نیست که چه چیزی را به عنوان مبنا و چه کاری را با توجه به درجه این مبنا انجام دهیم.

اما نگران نباشید: هیچ فناوری جادویی یا "راز" در اینجا وجود ندارد. در ریاضیات، هر مهارتی که قابل الگوریتم سازی نباشد را می توان به راحتی با تمرین توسعه داد. اما برای این شما باید مشکلات را حل کنید سطوح مختلفمشکلات به عنوان مثال، مانند این:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \راست))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \راست))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ پایان (تراز کردن)\]

دشوار؟ ترسناک؟ راحت تر از زدن مرغ به آسفالت است! بیایید تلاش کنیم. نابرابری اول:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

خوب، فکر می کنم همه چیز اینجا روشن است:

ما نابرابری اصلی را بازنویسی می کنیم و همه چیز را به پایه دو تقلیل می دهیم:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\راست فلش \چپ(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

بله، بله، درست شنیدید: من فقط از روش منطقی سازی که در بالا توضیح داده شد استفاده کردم. اکنون باید با دقت کار کنیم: یک نابرابری کسری - عقلانی داریم (این نابرابری است که یک متغیر در مخرج دارد)، بنابراین قبل از اینکه هر چیزی را با صفر برابر کنیم، باید همه چیز را به یک مخرج مشترک برسانیم و از عامل ثابت خلاص شویم. .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\پایان(تراز)\]

حالا استفاده می کنیم روش استانداردفواصل صفرهای عددی: $x=\pm 4$. مخرج فقط زمانی به صفر می رسد که $x=0$ باشد. در مجموع سه نقطه وجود دارد که باید روی خط اعداد علامت گذاری شوند (همه نقاط به دلیل سخت بودن علامت نابرابری پین شده اند). ما گرفتیم:

بیشتر مورد دشوار: سه ریشه

همانطور که ممکن است حدس بزنید، سایه‌زنی فواصل زمانی را مشخص می‌کند که در آن عبارت سمت چپ مقادیر منفی می‌گیرد. بنابراین، پاسخ نهایی به طور همزمان شامل دو بازه زمانی خواهد بود:

انتهای فواصل در پاسخ گنجانده نشده است زیرا نابرابری اولیه سخت بود. تأیید بیشتر این پاسخ مورد نیاز نیست. از این نظر، نابرابری های نمایی بسیار ساده تر از لگاریتمی هستند: بدون ODZ، بدون محدودیت و غیره.

بیایید به کار بعدی برویم:

\[((\left(\frac(1)(3) \راست))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

در اینجا نیز هیچ مشکلی وجود ندارد، زیرا ما از قبل می دانیم که $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$، بنابراین کل نابرابری را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \راست))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end (تراز کردن)\]

لطفاً توجه داشته باشید: در خط سوم تصمیم گرفتم زمان را برای چیزهای بی اهمیت تلف نکنم و بلافاصله همه چیز را بر (-2) تقسیم کنم. مینول وارد براکت اول شد (اکنون همه جا امتیازات مثبت وجود دارد) و دو با یک عامل ثابت کاهش یافت. این دقیقاً همان کاری است که باید هنگام تهیه نمایشگرهای واقعی در مستقل و تست ها- نیازی به توصیف هر عمل و دگرگونی نیست.

در مرحله بعد، روش آشنای فواصل وارد عمل می شود. عدد صفر: اما هیچ کدام وجود ندارد. زیرا ممیز منفی خواهد بود. به نوبه خود، مخرج فقط زمانی بازنشانی می شود که $x=0$ - درست مانند دفعه قبل. خوب، واضح است که در سمت راست $x=0$، کسر مقادیر مثبت و در سمت چپ - منفی خواهد داشت. از آنجایی که ما به مقادیر منفی علاقه داریم، پاسخ نهایی این است: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \راست))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \راست))^(x))\ge 1\]

با کسرهای اعشاری در نابرابری های نمایی چه باید کرد؟ درست است: از شر آنها خلاص شوید، آنها را به موارد معمولی تبدیل کنید. در اینجا ما ترجمه خواهیم کرد:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \راست))^(1+2x)) =((\ left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \راست))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\راست))^(x)). \\\پایان (تراز کردن)\]

پس در مبانی توابع نمایی چه چیزی به دست آوردیم؟ و دو عدد معکوس به دست آوردیم:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \راست))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ راست))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \راست))^(-1)) \راست))^(x))=((\ چپ(\frac(4)(25) \راست))^(-x))\]

بنابراین، نابرابری اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \راست) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \راست))^(1+2x+\left(-x \راست)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \راست))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \راست))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \راست))^(0) ). \\\پایان (تراز کردن)\]

البته هنگام ضرب توان ها با پایه یکسان، توان آنها جمع می شود که در خط دوم این اتفاق افتاد. علاوه بر این، ما واحد را در سمت راست، همچنین به عنوان یک قدرت در پایه 4/25 نشان دادیم. تنها چیزی که باقی می ماند این است که منطقی کنیم:

\[((\left(\frac(4)(25) \راست))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \راست))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

توجه داشته باشید که $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$، یعنی. عامل دوم یک ثابت منفی است و هنگام تقسیم بر آن، علامت نابرابری تغییر می کند:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end (تراز کردن)\]

در نهایت، آخرین نابرابری از "مجموعه" فعلی:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \راست))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

در اصل، ایده راه حل در اینجا نیز واضح است: تمام توابع نمایی موجود در نابرابری باید به پایه "3" کاهش یابد. اما برای این کار باید کمی با ریشه ها و قدرت ها سر و کله بزنید:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\چهار 81=((3)^(4)). \\\پایان (تراز کردن)\]

با در نظر گرفتن این حقایق، نابرابری اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((\left((3)^(\frac(8)(3))) \راست))^(-x)) \lt ((\left((3) ^(2))\راست))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3)) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\پایان (تراز کردن)\]

به خط 2 و 3 محاسبات توجه کنید: قبل از انجام هر کاری با نامساوی حتماً آن را به شکلی که از همان ابتدای درس در مورد آن صحبت کردیم بیاورید: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. تا زمانی که چند فاکتور چپ دست، ثابت های اضافی و غیره در سمت چپ یا راست داشته باشید، هیچ منطقی سازی یا «خارج شدن» از زمینه ها را نمی توان انجام داد! به دلیل عدم درک این واقعیت ساده، کارهای بی شماری به اشتباه تکمیل شده اند. من خودم زمانی که تازه شروع به تحلیل نابرابری های نمایی و لگاریتمی می کنیم، دائماً این مشکل را با دانش آموزانم مشاهده می کنم.

اما به وظیفه خود برگردیم. بیایید سعی کنیم این بار بدون منطق انجام دهیم. به یاد داشته باشید: پایه درجه بزرگتر از یک است، بنابراین سه گانه را می توان به سادگی خط زد - علامت نابرابری تغییر نخواهد کرد. ما گرفتیم:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین. پاسخ نهایی: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

جداسازی یک عبارت پایدار و جایگزینی یک متغیر

در پایان، من حل چهار نابرابری نمایی دیگر را پیشنهاد می‌کنم که در حال حاضر برای دانش‌آموزان ناآماده بسیار دشوار است. برای کنار آمدن با آنها، باید قوانین کار با مدرک را به خاطر بسپارید. به ویژه قرار دادن عوامل مشترک خارج از پرانتز.

اما مهمترین چیز این است که یاد بگیرید بفهمید دقیقاً چه چیزی را می توان از پرانتز خارج کرد. چنین عبارتی پایدار نامیده می شود - می توان آن را با یک متغیر جدید نشان داد و بنابراین از تابع نمایی خلاص شد. بنابراین، بیایید به وظایف نگاه کنیم:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \راست))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end (تراز کردن)\]

بیایید از همان خط اول شروع کنیم. اجازه دهید این نابرابری را جداگانه بنویسیم:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

توجه داشته باشید که $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$، بنابراین سمت راست طرف را می توان بازنویسی کرد:

توجه داشته باشید که هیچ توابع نمایی دیگری به جز $((5)^(x+1))$ در نابرابری وجود ندارد. و به طور کلی، متغیر $x$ در جای دیگری ظاهر نمی شود، بنابراین بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم: $((5)^(x+1))=t$. ما ساختار زیر را دریافت می کنیم:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\پایان (تراز کردن)\]

به متغیر اصلی ($t=((5)^(x+1))$ برمی گردیم و در همان زمان به یاد داشته باشید که 1=5 0 . ما داریم:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\پایان (تراز کردن)\]

راه حل همینه! پاسخ: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. بریم سراغ نابرابری دوم:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

اینجا همه چیز یکسان است. توجه داشته باشید که $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . سپس سمت چپ را می توان بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \راست. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\ فلش راست x\in \ چپ[ 2;+\infty \راست). \\\پایان (تراز کردن)\]

تقریباً اینگونه است که باید راه حلی برای آزمایش های واقعی و کار مستقل تهیه کنید.

خوب، بیایید چیز پیچیده تری را امتحان کنیم. برای مثال، این نابرابری است:

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

مشکل اینجا چیست؟ اول از همه، مبانی توابع نمایی در سمت چپ متفاوت است: 5 و 25. اما، 25 = 5 2، بنابراین عبارت اول را می توان تبدیل کرد:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \راست))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(تراز کردن )\]

همانطور که می بینید، ابتدا همه چیز را به همان پایه آوردیم و سپس متوجه شدیم که عبارت اول را می توان به راحتی به دومی کاهش داد - فقط باید توان را گسترش دهید. اکنون می توانید با خیال راحت یک متغیر جدید معرفی کنید: $((5)^(2x+2))=t$، و کل نابرابری به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\پایان (تراز کردن)\]

و باز هم بدون مشکل! پاسخ نهایی: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. بیایید در درس امروز به سراغ نابرابری نهایی برویم:

\[((\چپ(0.5 \راست))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]

البته اولین چیزی که باید به آن توجه کنید این است که اعشاریدر پایه درجه اول لازم است از شر آن خلاص شوید و در عین حال همه توابع نمایی را به یک پایه - شماره "2" بیاورید:

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\پیکان راست ((16)^(x+1.5))=((\چپ(((2)^(4)) \راست))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\پایان (تراز کردن)\]

عالی است، ما اولین قدم را برداشتیم - همه چیز به یک پایه منتهی شده است. اکنون باید یک عبارت پایدار را انتخاب کنید. توجه داشته باشید که $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. اگر یک متغیر جدید $((2)^(4x+6))=t$ معرفی کنیم، آنگاه نابرابری اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\پایان (تراز کردن)\]

به طور طبیعی، ممکن است این سوال پیش بیاید: چگونه متوجه شدیم که 256 = 2 8؟ متأسفانه، در اینجا فقط باید قدرت های دو (و در عین حال قدرت های سه و پنج) را بدانید. خوب، یا 256 را بر 2 تقسیم کنید (می توانید تقسیم کنید، زیرا 256 یک عدد زوج است) تا به نتیجه برسیم. چیزی شبیه به این خواهد بود:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(تراز کردن )\]

همین امر در مورد سه (اعداد 9، 27، 81 و 243 درجات آن هستند) و با هفت (اعداد 49 و 343 نیز خوب است که به خاطر بسپارید) صادق است. خوب، این پنج نیز درجات "زیبا" دارد که باید بدانید:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\پایان (تراز کردن)\]

البته در صورت تمایل می توان تمامی این اعداد را به سادگی با ضرب پشت سر هم در یکدیگر در ذهن شما بازگرداند. با این حال، وقتی باید چندین نابرابری نمایی را حل کنید و هر یک از نامساوی بعدی دشوارتر از قبلی است، آخرین چیزی که می خواهید به آن فکر کنید، قدرت های برخی اعداد است. و از این نظر، این مسائل پیچیده تر از نابرابری های "کلاسیک" هستند که با روش بازه ای حل می شوند.

امیدوارم این درس به شما در تسلط بر این مبحث کمک کرده باشد. اگر چیزی نامشخص است، در نظرات بپرسید. و در درسهای بعدی میبینمت :)