از دست دادن ریشه های معادله می تواند زمانی رخ دهد که. درس «معادل معادلات بررسی ریشه ها

مبحث معادلات مثلثاتی با یک سخنرانی مدرسه شروع می شود که در قالب یک مکالمه اکتشافی ساختار یافته است. این سخنرانی در مورد مطالب نظری و نمونه هایی از حل همه مسائل معمولی مطابق با طرح بحث می کند:

• ساده ترین معادلات مثلثاتی
• روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی.
• معادلات همگن

در درس‌های بعدی، رشد مهارت‌های مستقل بر اساس اعمال اصل فعالیت مشترک بین معلم و دانش‌آموز آغاز می‌شود. اول، اهداف برای دانش آموزان تعیین می شود، به عنوان مثال. مشخص می‌شود که چه کسی نمی‌خواهد بیش از آنچه استاندارد دولتی لازم است بداند، و چه کسی آماده انجام کارهای بیشتر است.

تشخیص نهایی با در نظر گرفتن تمایز سطح ایجاد می شود، که به دانش آموزان اجازه می دهد آگاهانه حداقل دانش لازم برای دریافت نمره "3" را تعیین کنند. بر این اساس، مواد چند سطحی برای تشخیص دانش دانش آموزان انتخاب می شود. چنین کاری اجازه می دهد تا یک رویکرد فردی به دانش آموزان، از جمله همه در فعالیت های یادگیری آگاهانه، توسعه خود سازمان دهی و مهارت های خودآموزی، و تضمین گذار به تفکر فعال و مستقل.

این سمینار پس از تمرین مهارت های اولیه حل معادلات مثلثاتی برگزار می شود. چندین درس قبل از سمینار، به دانش آموزان سوالاتی داده می شود که در طول سمینار مورد بحث قرار خواهند گرفت.

این سمینار از سه بخش تشکیل شده است.

1. بخش مقدماتی تمام مطالب نظری را شامل می شود، از جمله مقدمه ای برای مسائلی که هنگام حل معادلات پیچیده به وجود می آیند.

2. بخش دوم حل معادلات شکل را مورد بحث قرار می دهد:

• و cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• معادلات قابل حل با کاهش درجه

این معادلات از جایگزینی جهانی، فرمول های کاهش درجه و روش آرگومان کمکی استفاده می کنند.

3. قسمت سوم مشکلات از دست دادن ریشه و اکتساب را مورد بحث قرار می دهد ریشه های خارجی. نحوه انتخاب ریشه ها را نشان می دهد.

دانش آموزان به صورت گروهی کار می کنند. برای حل مثال ها، از بچه های آموزش دیده دعوت می شود که می توانند مطالب را نشان دهند و توضیح دهند.

این سمینار برای یک دانش آموز آماده طراحی شده است، زیرا ... به مسائلی که تا حدودی فراتر از محدوده مطالب برنامه است، می پردازد. این شامل معادلات با فرم پیچیده تر است، و به ویژه به مشکلاتی که در حل معادلات مثلثاتی پیچیده با آن مواجه می شوند، می پردازد.

این سمینار برای دانش آموزان پایه 10 تا 11 برگزار شد. هر دانش آموز این فرصت را داشت تا دانش خود را در مورد این موضوع گسترش داده و عمیق تر کند تا سطح دانش خود را نه تنها با الزامات یک فارغ التحصیل مدرسه، بلکه با الزامات برای کسانی که وارد V.U.Z می شوند مقایسه کند.

سمینار

موضوع:"حل معادلات مثلثاتی"

اهداف:

• تعمیم دانش در حل انواع معادلات مثلثاتی.
• تمرکز بر مشکلات: از دست دادن ریشه.

ریشه های خارجی؛ انتخاب ریشه

پیشرفت درس.

I. بخش مقدماتی

• 1. روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی
• فاکتورسازی
• معرفی یک متغیر جدید

روش کارکردی – گرافیکی.

• 2. برخی از انواع معادلات مثلثاتی.

معادلاتی که با توجه به cos x = t، sin x = t به معادلات درجه دوم کاهش می یابد.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

• آنها با معرفی یک متغیر جدید حل می شوند.

معادلات همگن درجه یک و دو معادله درجه اول:

Asinx + Bcosx = 0 تقسیم بر cos x، Atg x + B = 0 را دریافت می کنیم معادله درجه دوم:

Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 تقسیم بر cos 2 x، Atg 2 x + Btgx + C = 0 را بدست می آوریم

آنها با فاکتورگیری و با معرفی یک متغیر جدید حل می شوند.

• همه روش ها اعمال می شود.

تنزل دادن:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

با روش فاکتورسازی حل شد.

• 2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C. معادله فرم:

A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

با توجه به t = sinx + cosx به مربع کاهش می یابد.

sin2x = t 2 – 1.

• 3. فرمول ها.
• x + 2n; بررسی لازم است!

درجه نزولی: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2

روش آرگومان کمکی

Acosx + Bsinx را با Csin (x +) جایگزین کنید، جایی که sin = a/C. cos=v/c;

• - آرگومان کمکی
• 4. قوانین.
• اگر مربع می بینید، درجه را پایین بیاورید.

اگر قطعه ای را دیدید، یک جمع کنید.

• اگر مقدار را دیدید، کار را انجام دهید. 5. از دست دادن ریشه، ریشه اضافی.

• ریشه های اضافی: به قدرت یکنواخت رسیده است. ضرب در g(x) (از مخرج خلاص شوید).

با این عملیات، دامنه تعریف را گسترش می دهیم.

II. نمونه هایی از معادلات مثلثاتی

1) 1. معادلات شکل Asinx + Bcosx = C

جایگزینی جهانی.O.D.Z. x – هر.

3 گناه 2x + cos 2x + 1 = 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3، x = آرکتان (–1/3) + k، k Z.معاینه:

3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1 = 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n، n e Z. ریشه معادله است.پاسخ:

2) x = آرکتان(–1/3) + k، k Z. x = /2 + n، n Z.

روش کارکردی – گرافیکی. O.D.Z. x – هر.
Sinx – cosx = 1

Sinx = cosx + 1.

x = /2 + n، n e Z. ریشه معادله است.بیایید توابع را رسم کنیم: y = sinx، y = cosx + 1.

3) x = /2 + 2 n، Z; x = + 2k، k Z.

معرفی یک آرگومان کمکی. O.D.Z.: x – هر.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1، زیرا (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1، پس چنین وجود دارد که گناه = 8/17،

x = /2 + n، n e Z. ریشه معادله است. cos = 15/17 که به معنی گناه cosx + sinx cos = 1 است. = arcsin 8/17.

x = /2 + 2n –، x = /2 + 2n – arcsin 8/17، n Z.

2. کاهش ترتیب: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z.: x – any.
1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0

x = /2 + n، n e Z. ریشه معادله است. cos10x = 0، cos3x = 0، cosx = 0.

x = /20 + n/10، n Z. x = /6 + k/3، k Z، x = /2 + m، m Z.

در k = 1 و m = 0

k = 4 و m = 1.

سریال ها هم همینطور

3. کاهش به همگنی. Asin2x + Bsin 2 x = C، Asin2x + Bcos 2 x = C.
1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – هر.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) را نمی توان بر cos 2 x تقسیم کرد، زیرا ما ریشه ها را از دست می دهیم.
cos 2 x = 0 معادله را برآورده می کند.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.

x = /2 + n، n e Z. ریشه معادله است. x = /2 + k، k Z. tgx = –1/3، x = –/6 + n، n Z.

x = /2 + k، k Z.، x = –/6 + n، n Z

4. معادله شکل: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.
1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – هر.
sinx + cosx = t، sin2x = t 2 – 1. < 2
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t |
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2، t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = گناه (x + /2)،
sinx +sin(x + /2) = 1/2،
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;

x = /2 + n، n e Z. ریشه معادله است. x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k، k Z.

x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k، k Z.

5. فاکتورسازی.
1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx)

(cosx – 2) (cosx + 2 sinx) = 0.
1) cosx = 2، بدون ریشه.
2) cosx + 2 sinx = 0

x = /2 + n، n e Z. ریشه معادله است. 2tgx + 1 = 0

III. مسائلی که هنگام حل معادلات مثلثاتی به وجود می آیند

1. از دست دادن ریشه: تقسیم بر g(x); ما از فرمول های خطرناک استفاده می کنیم.

1) خطا را پیدا کنید.

1 – cosx = sinx *sinx/2،
1 – فرمول cosx = 2sin 2 x/2.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 تقسیم بر 2 sin 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n، x = 4n، n" Z.
ریشه های از دست رفته sinx/2 = 0، x = 2k، k Z.

راه حل صحیح: 2sin 2 x/2 (1 – cosx/2) = 0.

گناه 2 x/2 = 0 x = 2k، k Z.

1 – cosx /2 = 0 x = 4p n، n Z.

2. ريشه خارج: از مخرج خلاص مي شويم; به قدرت یکنواخت برسانید.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3/2.

2сos3х sinx – сos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1) (2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3، n Z.

2). 2sinx – 1 = 0 x = (–1) k /6 + k، k Z.

I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 گناه 2/3 = 3/2 راضی نمی کند. O.D.Z. 2. n = 1 گناه 2=0 رضایت O.D.Z. 3. n = 2 گناه 2/ 3 = -3 / 2 رضایت O.D.Z.

II. x = (–1) k /6 + k، k Z 1.k = 0 گناه 2/6 = 3/2 O.D.Z را راضی نمی کند. 2. k = 1 sin 2*5/6 = –3/2 رضایت O.D.Z.

x = /2 + n، n e Z. ریشه معادله است. x = + 2k، x = 5/3 + 2k، x = 5/6 + 2k، k Z. t = 5 sin3x = 0

در درس آخر از سه مرحله برای حل معادلات استفاده کردیم.

مرحله اول فنی است. با استفاده از زنجیره ای از تبدیل ها از معادله اصلی، به یک معادله نسبتاً ساده می رسیم که آن را حل کرده و ریشه ها را پیدا می کنیم.

مرحله دوم تجزیه و تحلیل راه حل است. ما تحولاتی را که انجام دادیم تجزیه و تحلیل می کنیم و درمی یابیم که آیا آنها معادل هستند یا خیر.

مرحله سوم تأیید است. بررسی تمام ریشه های یافت شده با جایگزینی آنها در معادله اصلی هنگام انجام تبدیل هایی که می تواند منجر به یک معادله نتیجه شود الزامی است.

آیا همیشه در حل یک معادله باید سه مرحله را از هم تشخیص داد؟

البته نه. همانطور که برای مثال در حل این معادله. در زندگی روزمرهآنها معمولاً منزوی نیستند. اما همه این مراحل باید "در ذهن داشته باشند" و به شکلی انجام شوند. تجزیه و تحلیل هم ارزی تبدیل ها ضروری است. و اگر تجزیه و تحلیل نشان دهد که باید چک انجام شود، آنگاه اجباری است. در غیر این صورت نمی توان معادله را به درستی حل شده در نظر گرفت.

آیا همیشه می توان ریشه های یک معادله را فقط با جایگزینی بررسی کرد؟

اگر هنگام حل معادله از تبدیل های معادل استفاده شده باشد، تأیید لازم نیست. هنگام بررسی ریشه های یک معادله، ODZ (محدوده مقدار مجاز) اغلب استفاده می شود اگر بررسی با استفاده از ODZ دشوار است، با جایگزین کردن آن در معادله اصلی انجام می شود.

وظیفه 1

معادله را حل کنید ریشه مربعاز دو x به علاوه سه برابر است با یک به علاوه x.

راه حل

ODZ معادله توسط سیستمی از دو نابرابری تعیین می شود: دو x به علاوه سه بزرگتر یا مساوی با صفر است و یک به علاوه x بزرگتر یا مساوی صفر است. جواب x بزرگتر یا مساوی منهای یک است.

بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم، عبارت ها را از یک طرف معادله به سمت دیگر منتقل کنیم، عبارت های مشابه بیاوریم، به دست می آید معادله درجه دوممربع X برابر با دو است. ریشه های آن است

x اول، دوم برابر است به علاوه یا منهای جذر دو.

معاینه

مقدار x اول برابر است با جذر دو ریشه معادله است، زیرا در ODZ گنجانده شده است.
مقدار x ثانیه برابر است با منهای جذر دو، ریشه معادله نیست، زیرا در DZ گنجانده نشده است.
بیایید بررسی کنیم که ریشه x برابر با جذر دو است، با جایگزینی آن به برابری اصلی، دریافت می کنیم

برابری درست است، به این معنی که x برابر با جذر دو، ریشه معادله است.

جواب: جذر دو.

وظیفه 2

معادله جذر x منهای هشت برابر با پنج منهای x را حل کنید.

راه حل

ODZ یک معادله غیرمنطقی با سیستمی از دو نامعادله تعیین می شود: x منهای هشت بزرگتر یا مساوی صفر است و پنج منهای x بزرگتر یا مساوی صفر است. با حل آن متوجه می شویم که این سیستم هیچ راه حلی ندارد. ریشه معادله نمی تواند هیچ یک از مقادیر متغیر x باشد.

پاسخ: بدون ریشه.

وظیفه 3

معادله جذر x مکعب به اضافه چهار x منهای یک منهای هشت را حل کنید ریشه های مربع x به توان چهارم منهای x برابر است با جذر x مکعب منهای یک به اضافه دو جذر x.

راه حل

یافتن ODZ در این معادله بسیار دشوار است.

بیایید تبدیل را انجام دهیم: دو طرف این معادله را مربع کنید،

انتقال همه شرایط به سمت چپمعادلات و عبارت های مشابه بیاورید، دو ریشه زیر یک بنویسید، رادیکال های مشابه را بدست آورید، مشابه بیاورید، بر ضریب منهای 12 تقسیم کنید و عبارت رادیکال را فاکتور کنید، معادله ای به صورت حاصل ضرب دو عامل برابر با صفر به دست می آوریم. پس از حل آن، ریشه ها را پیدا می کنیم:

x اول برابر با یک، x دوم برابر با صفر است.

از آنجایی که هر دو طرف معادله را به توان زوج رساندیم، بررسی ریشه ها الزامی است.

معاینه

اگر x برابر با یک باشد، پس

برابری صحیح را بدست می آوریم، به این معنی که x برابر یک ریشه معادله است.

اگر x صفر باشد، جذر منهای یک تعریف نشده است.

این بدان معنی است که x برابر با صفر یک ریشه خارجی است.

جواب: یک.

وظیفه 4

معادله لگاریتم عبارت x را به‌علاوه پنج x به اضافه دو پایه دو معادل سه حل کنید.

راه حل

بیایید معادله ODZ را پیدا کنیم. برای این کار، نابرابری x را به مجذور پنج x به علاوه دو بر صفر حل می کنیم.

نابرابری را با استفاده از روش بازه حل می کنیم. برای انجام این کار، سمت چپ آن را با حل معادله درجه دوم فاکتور می کنیم و با در نظر گرفتن علامت نابرابری، ODZ را تعیین می کنیم. ODZ برابر است با اتحاد پرتوهای باز از منهای بی نهایت به منهای کسر پنج به اضافه جذر هفده تقسیم بر دو و از منهای کسر پنج منهای جذر هفده تقسیم بر دو به مثبت بی نهایت.

حالا بیایید شروع به یافتن ریشه های معادله کنیم. با توجه به اینکه سه برابر با لگاریتم هشت به پایه دو است، معادله را به صورت زیر می نویسیم: لگاریتم عبارت x مربع به اضافه پنج x به اضافه دو به پایه دو برابر است با لگاریتم هشت به پایه دو. اجازه دهید معادله را تقویت کنیم، یک معادله درجه دوم را به دست آوریم و حل کنیم.

ممیز چهل و نه است.

محاسبه ریشه ها:

x اول برابر با منهای شش است. x ثانیه برابر با یک است.

معاینه

منهای شش متعلق به ODZ است، یکی متعلق به ODZ است، که به این معنی است که هر دو عدد ریشه های معادله هستند.

پاسخ: منهای شش; یکی

در درس آخر به موضوع ظهور ریشه های خارجی پرداختیم. ما می توانیم آنها را از طریق تأیید شناسایی کنیم. آیا ممکن است هنگام حل یک معادله ریشه از بین برود و چگونه از این امر جلوگیری کنیم؟

هنگام انجام چنین اعمالی روی یک معادله، مانند اولاً، تقسیم هر دو طرف معادله بر یک عبارت ax از x (به جز مواردی که مطمئناً مشخص است که ax از x برای هر x از صفر برابر نیست. دامنه تعریف معادله)؛

ثانیاً، باریک کردن OD معادله در طول فرآیند حل می تواند منجر به از بین رفتن ریشه های معادله شود.

به خاطر بسپار!

معادله به صورت نوشته شده است

ef از x ضرب در خاکستر از x برابر است با zhe از x ضرب در خاکستر از x به این ترتیب حل می شود:

شما باید با قرار دادن عامل مشترک خارج از پرانتز فاکتورسازی کنید.

سپس هر عامل را با صفر برابر کنید و در نتیجه دو معادله بدست آورید.

ما ریشه آنها را محاسبه می کنیم.

وظیفه 1

معادله x مکعب برابر با x را حل کنید.

راه اول

دو طرف این معادله را بر x تقسیم می کنیم، x مربع برابر یک است، با داشتن ریشه x ابتدا برابر یک،

x ثانیه برابر با منهای یک است.

راه دوم

X مکعب برابر با X است. بیایید x را به سمت چپ معادله منتقل کنیم، x را از پرانتز خارج کنیم، و به دست می‌آید: x ضرب در x مجذور منهای یک برابر با صفر است.

بیایید ریشه های آن را محاسبه کنیم:

X اول برابر با صفر، x دوم برابر با یک، x سوم برابر با منهای یک است.

معادله سه ریشه دارد.

هنگام حل روش اول، یک ریشه را از دست دادیم - x برابر با صفر است.

پاسخ: منهای یک؛ صفر؛ یکی

به خاطر بسپار! کاهش هر دو طرف معادله توسط یک عامل حاوی مجهول می تواند منجر به از بین رفتن ریشه شود.

وظیفه 2

معادله را حل کنید: لگاریتم اعشاری مربع x برابر با دو است.

راه حل

راه اول

با تعریف لگاریتم، معادله درجه دوم x مربع برابر با صد است.

ریشه های آن: x اول برابر با ده است. X ثانیه برابر با منهای ده است.

راه دوم

با خاصیت لگاریتم، دو لگاریتم اعشاری x برابر دو داریم.

ریشه آن - x برابر با ده است

با روش دوم، ریشه x برابر با منهای ده از بین رفت. و دلیل آن این است که آنها فرمول اشتباه را اعمال کردند و دامنه معادله را محدود کردند. عبارت لگاریتم اعشاری x مربع برای همه x به جز x برابر با صفر تعریف می شود. عبارت لگاریتم اعشاری x برای x بزرگتر از صفر است. فرمول صحیح لگاریتم اعشاری x مربع برابر با دو است لگاریتم های اعشاریماژول x.

به خاطر بسپار! هنگام حل یک معادله، از فرمول های موجود عاقلانه استفاده کنید.

§ 1. ریشه های از دست رفته و خارج شده هنگام حل معادلات (بر اساس مثال)

ماده مرجع

1. دو قضیه در § 3 از فصل هفتم در مورد اینکه چه اقداماتی در معادلات معادل آنها را نقض نمی کند صحبت کردند.

2. حال اجازه دهید چنین عملیاتی را بر روی معادلات در نظر بگیریم که می تواند منجر به معادله جدیدی شود که با معادله اصلی نابرابر است. به جای ملاحظات کلی، فقط به بررسی نمونه های خاص اکتفا می کنیم.

3. مثال 1. با توجه به یک معادله، پرانتزهای این معادله را باز می کنیم، همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل می کنیم و معادله درجه دوم را حل می کنیم. ریشه های آن است

اگر هر دو طرف معادله را با یک عامل مشترک کاهش دهید، معادله ای به دست می آید که با معادله اصلی نابرابر است، زیرا فقط یک ریشه دارد.

بنابراین، کاهش هر دو طرف معادله توسط یک عامل حاوی مجهول ممکن است منجر به از بین رفتن ریشه های معادله شود.

4. مثال 2. با توجه به یک معادله، اجازه دهید هر دو طرف این معادله را حل کنیم، دو ریشه را به دست می آوریم.

می بینیم که معادله جدید معادل معادله اصلی نیست

5. در صورتی که این ضریب برای مقادیر واقعی x ناپدید شود، ریشه های خارجی می توانند زمانی ظاهر شوند که هر دو طرف معادله در یک عامل حاوی مجهول ضرب شوند.

مثال 3. اگر هر دو طرف معادله را در ضرب کنیم، معادله جدیدی به دست می آید که پس از انتقال عبارت از سمت راست به چپ و فاکتورگیری آن، معادله ای از هر یک به دست می آید.

ریشه معادله ای را که فقط یک ریشه دارد برآورده نمی کند

از اینجا نتیجه می گیریم: هنگام دو طرف معادله (به طور کلی به توان زوج)، و همچنین هنگام ضرب در یک عامل حاوی مجهول و ناپدید شدن در مقادیر واقعی مجهول، ریشه های خارجی ممکن است ظاهر شوند.

تمام ملاحظات بیان شده در اینجا در مورد مسئله از دست دادن و ظاهر شدن ریشه های خارجی معادله به طور یکسان در مورد هر معادله (جبری، مثلثاتی و غیره) اعمال می شود.

6. معادله ای جبری نامیده می شود که فقط عملیات جبری روی مجهول انجام شود - جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، توان و استخراج ریشه با توان طبیعی (و تعداد این عملیات محدود است).

بنابراین، برای مثال، معادلات

جبری هستند و معادلات

دندان. دندان های مهره داران از نظر ساختار و رشد کاملاً شبیه به فلس های پلاکوئیدی است که کل پوست ماهی کوسه را می پوشاند. چون همه حفره دهانو تا حدودی حفره حلق با اپیتلیوم اکتودرمی، پلاکوئید معمولی پوشیده شده است.

سل ریوی- سل ریوی. مطالب: I. آناتومی پاتولوژیک..........110 II. طبقه بندی سل ریوی .... 124 III. کلینیک ..........................128 IV. تشخيص ..........................160 V. پيش آگهي ................... .......... 190 VI. درمان… دایره المعارف بزرگ پزشکی

مسمومیت- مسمومیت مسمومیت به معنای "اختلال در عملکرد حیوانات" است. ارگانیسم، ناشی از اگزوژن یا درون زا، شیمیایی یا فیزیکی از نظر شیمیایی مواد فعالکه از نظر کیفیت، کمیت یا غلظت بیگانه هستند... ... دایره المعارف بزرگ پزشکی

باکتری ندول حبوبات- داده های دیرینه شناسی نشان می دهد که قدیمی ترین حبوباتی که دارای گره بوده اند برخی از گیاهان متعلق به گروه Eucaesalpinioideae بوده اند. U گونه های مدرنندول های گیاهی حبوبات کشف شد... دایره المعارف زیستی

لیست قسمت های انیمیشن لونتیک- این مقاله فاقد پیوند به منابع اطلاعاتی است. اطلاعات باید قابل تایید باشد، در غیر این صورت ممکن است مورد سوال و حذف قرار گیرد. شما می توانید ... ویکی پدیا

گیاه و محیط زیست- زندگی یک گیاه، مانند هر موجود زنده دیگری، مجموعه پیچیده ای از فرآیندهای مرتبط با یکدیگر است. مهمترین آنها، همانطور که شناخته شده است، متابولیسم با محیط زیست. محیط زیست منبعی است که از آن...... دایره المعارف زیستی

لیست قسمت های سریال لونتیک- مقاله اصلی: ماجراهای لونتیک و دوستانش مطالب 1 تعداد قسمت 2 لیست قسمت های انیمیشن سریال Luntik و دوستانش ... ویکی پدیا

بیماری های درختان میوه- درختان میوه، به لطف مراقبت دائمی انسان از آنها، باید به سنی بسیار بالاتر از خویشاوندان کشت نشده خود برسند، اگر نه برای تأثیرات خنثی کننده بسیاری از شرایط خود فرهنگ، یعنی خواسته های ما... ...

قطع جنگلبرداشت از جنگل یا استخراج درآمد جنگل به صورت چوب و پوست به دو صورت انجام می شود: با کندن یا کندن درختان کامل، یعنی تنه همراه با ریشه، یا به صورت جداگانه، ابتدا قطع شده یا جدا شده است. از...... فرهنگ لغت دایره المعارفیاف. بروکهاوس و I.A. افرون

گروش- (لهستانی grosz، از آلمانی Groschen، از لاتین grossus (dēnārius) "ضخیم denarius") سکه کشورها و زمان های مختلف. مطالب 1 ظاهر یک سکه ... ویکی پدیا

سکه های آمریکا- 20 دلار سنت گاودنز زیباترین و سکه گران قیمتسکه های ایالات متحده آمریکا سکه های ایالات متحده توسط ضرابخانه ایالات متحده ضرب شده است. تولید شده از سال 1792 ... ویکی پدیا

کتاب ها

• علل اصلی ریزش مو در زنان، Alexey Michman، از هر ده زن، شش زن در مقطعی از زندگی خود دچار ریزش مو می شوند. ریزش مو می تواند به دلایل مختلفی مانند وراثت، تغییرات هورمونی در ... دسته بندی:

برای حل معادلات بیشتر از تبدیل های زیر استفاده می شود:

دگرگونی های دیگر

در فهرست ارائه شده در پاراگراف قبل، ما عمداً چنین تبدیل هایی مانند بالا بردن هر دو طرف معادله به توان طبیعی یکسان، لگاریتم، تقویت هر دو طرف معادله، استخراج ریشه یک درجه از دو طرف معادله را وارد نکردیم. معادله، آزاد کردن عملکرد خارجیو دیگران واقعیت این است که این تبدیل‌ها چندان کلی نیستند: تبدیل‌های فهرست بالا برای حل معادلات همه نوع استفاده می‌شوند و تبدیل‌های ذکر شده برای حل انواع خاصی از معادلات (غیر منطقی، نمایی، لگاریتمی و غیره) استفاده می‌شوند. آنها به تفصیل در چارچوب روش های مربوطه برای حل انواع معادلات مربوطه مورد بحث قرار می گیرند. در اینجا پیوندهایی به توضیحات دقیق آنها وجود دارد:

• بالا بردن دو طرف معادله به توان طبیعی یکسان.
• گرفتن لگاریتم از دو طرف معادله.
• تقویت هر دو طرف معادله.
• استخراج ریشه یک توان از دو طرف یک معادله.
• جایگزینی عبارت مربوط به یکی از قسمت های معادله اصلی با عبارتی از قسمت دیگری از معادله اصلی.

پیوندهای ارائه شده حاوی اطلاعات جامعی در مورد تحولات فهرست شده است. بنابراین، ما دیگر در این مقاله به آنها نمی پردازیم. تمام اطلاعات بعدی در مورد تبدیل های فهرست تبدیل های اساسی اعمال می شود.

در نتیجه تبدیل معادله چه اتفاقی می افتد؟

انجام تمام تبدیل‌های فوق می‌تواند معادله‌ای به دست دهد که ریشه‌های مشابه معادله اصلی داشته باشد، یا معادله‌ای که ریشه‌های آن همه ریشه‌های معادله اصلی را در بر می‌گیرد، اما ممکن است ریشه‌های دیگری نیز داشته باشد، یا معادله‌ای که ریشه‌های آن وجود ندارد. شامل تمام ریشه های معادله تبدیل شده است. در پاراگراف های بعدی به تحلیل این خواهیم پرداخت که کدام یک از این تبدیل ها، در چه شرایطی، به کدام معادله منجر می شود. دانستن این موضوع برای حل موفقیت آمیز معادلات بسیار مهم است.

تبدیل معادلات

تبدیل معادلاتی که منجر به معادلات معادل می شود، یعنی معادلاتی که دارای مجموعه ای از ریشه ها با معادله اصلی هستند، از اهمیت ویژه ای برخوردار است. چنین تحولاتی نامیده می شود تبدیل های معادل. در کتاب های درسی مدرسه، تعریف مربوطه به صراحت بیان نشده است، اما به راحتی می توان آن را از روی متن خواند:

تعریف

تبدیل معادلاتتبدیل هایی هستند که معادلات معادل را به دست می دهند.

پس چرا تبدیل های معادل جالب هستند؟ واقعیت این است که اگر با کمک آنها بتوان از معادله در حال حل به یک معادله معادل نسبتاً ساده رسید، در این صورت حل این معادله جواب مطلوب معادله اصلی را می دهد.

از میان تبدیل های ذکر شده در پاراگراف قبل، همه همیشه معادل نیستند. برخی از تبدیل ها فقط در شرایط خاصی معادل هستند. بیایید فهرستی از عباراتی تهیه کنیم که تعیین می کند کدام تبدیل ها و تحت چه شرایطی تبدیل های معادل معادله هستند. برای انجام این کار، فهرست فوق را به عنوان مبنا در نظر می گیریم و به تبدیل هایی که همیشه معادل نیستند، شرایطی را اضافه می کنیم که به آنها هم ارزی می دهد. این لیست است:

• جایگزینی عبارتی در سمت چپ یا راست معادله با عبارتی که متغیرهای معادله را تغییر نمی‌دهد، تبدیل معادل معادله است.

اجازه دهید توضیح دهیم که چرا اینطور است. برای انجام این کار، معادله ای با یک متغیر می گیریم (استدلال مشابهی را می توان برای معادلات با چندین متغیر انجام داد) به شکل A(x)=B(x)، عبارات سمت چپ و راست آن را به صورت A( x) و B(x) به ترتیب. فرض کنید عبارت C(x) به طور یکسان با عبارت A(x) برابر باشد و ODZ متغیر x معادله C(x)=B(x) با ODZ متغیر x برای معادله اصلی منطبق باشد. اجازه دهید ثابت کنیم که تبدیل معادله A(x)=B(x) به معادله C(x)=B(x) تبدیل معادل است، یعنی ثابت خواهیم کرد که معادلات A(x)=B (x) و C(x) =B(x) معادل هستند.

برای این کار کافی است نشان دهیم که هر ریشه معادله اصلی یک ریشه معادله C(x)=B(x) است و هر ریشه معادله C(x)=B(x) یک ریشه است. از معادله اصلی

بیایید با قسمت اول شروع کنیم. فرض کنید q ریشه معادله A(x)=B(x) باشد، سپس وقتی آن را جایگزین x می کنیم، برابری عددی صحیح A(q)=B(q) را به دست خواهیم آورد. از آنجایی که عبارات A(x) و C(x) به طور یکسان برابر هستند و عبارت C(q) منطقی است (این از شرطی ناشی می شود که OD برای معادله C(x)=B(x) با OD برای منطبق است. معادله اصلی)، سپس برابری عددی A(q)=C(q) درست است. در مرحله بعد از خواص برابری های عددی استفاده می کنیم. با توجه به خاصیت تقارن، برابری A(q)=C(q) را می توان به صورت C(q)=A(q) بازنویسی کرد. سپس، به دلیل خاصیت گذر، برابری های C(q)=A(q) و A(q)=B(q) دلالت بر برابری C(q)=B(q) دارند. این ثابت می کند که q ریشه معادله C(x)=B(x) است.

بخش دوم، و همراه با آن کل گزاره به عنوان یک کل، به روشی کاملاً مشابه اثبات می شود.

ماهیت تبدیل معادل تحلیل شده به شرح زیر است: به شما امکان می دهد به طور جداگانه با عبارات سمت چپ و راست معادلات کار کنید و آنها را با عبارات یکسان در ODZ اصلی متغیرها جایگزین کنید.

بی اهمیت ترین مثال: می توانیم مجموع اعداد سمت راست معادله x=2+1 را با مقدار آن جایگزین کنیم که معادله ای معادل به شکل x=3 به دست می آید. در واقع، عبارت 2+1 را با عبارت یکسان برابر 3 جایگزین کردیم و ODZ معادله تغییر نکرد. مثال دیگر: در سمت چپ معادله 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 می توانیم و در سمت راست – که ما را به معادله معادل 3·x+ می رساند. 6=5·x+ 3. معادله حاصل در واقع معادل است، زیرا ما عبارات را با عبارات یکسان جایگزین کردیم و در همان زمان معادله ای به دست آوردیم که دارای OD است که با OD معادله اصلی منطبق است.

• اضافه کردن یک عدد به دو طرف یک معادله یا کم کردن همان عدد از دو طرف یک معادله تبدیل معادل معادله است.

اجازه دهید ثابت کنیم که با جمع کردن یک عدد c به دو طرف معادله A(x)=B(x) معادله معادل A(x)+c=B(x)+c به دست می آید و از هر دو طرف معادله کم می شود. A(x) =B(x) از همان عدد c معادله A(x)-c=B(x)-c را به دست می دهد.

فرض کنید q ریشه معادله A(x)=B(x) باشد، آنگاه برابری A(q)=B(q) صادق است. خواص تساوی های عددی به ما این امکان را می دهد که به دو طرف یک برابری عددی واقعی اضافه کنیم یا همان عدد را از اجزای آن کم کنیم. اجازه دهید این عدد را به صورت c نشان دهیم، سپس تساوی های A(q)+c=B(q)+c و A(q)-c=B(q)-c معتبر هستند. از این برابری ها به دست می آید که q ریشه معادله A(x)+c=B(x)+c و معادله A(x)-c=B(x)-c است.

حالا برگشت. فرض کنید q ریشه معادله A(x)+c=B(x)+c و معادله A(x)−c=B(x)-c باشد، سپس A(q)+c=B(q) +c و A (q)-c=B(q)-c. می دانیم که با کم کردن یک عدد از دو طرف یک برابری عددی واقعی، یک برابری عددی واقعی ایجاد می شود. همچنین می دانیم که با افزودن تساوی عددی صحیح به هر دو طرف برابری عددی صحیح به دست می آید. اجازه دهید عدد c را از دو طرف برابری عددی صحیح A(q)+c=B(q)+c کم کنیم و عدد c را به دو طرف برابری A(x)-c=B(x) اضافه کنیم. -ج. این معادلات عددی صحیح A(q)+c−c=B(q)+c−c و A(q)−c+c=B(q)+c−c را به ما می‌دهد، که از آن نتیجه می‌گیریم که A (q) =B(q) . از آخرین تساوی نتیجه می شود که q ریشه معادله A(x)=B(x) است.

این بیانیه اصلی را در کل ثابت می کند.

اجازه دهید مثالی از چنین تبدیل معادلات ارائه دهیم. معادله x−3=1 را در نظر می گیریم و با اضافه کردن عدد 3 به دو طرف آن را تبدیل می کنیم و پس از آن معادله x−3+3=1+3 را به دست می آوریم که معادل معادل اصلی است. واضح است که در معادله به دست آمده می توانید عملیاتی را با اعداد انجام دهید، همانطور که در پاراگراف قبلی لیست بحث کردیم، در نتیجه معادله x=4 را داریم. بنابراین، با انجام تبدیل های معادل، به طور تصادفی معادله x-3=1 را حل کردیم، ریشه آن عدد 4 است. تبدیل معادل در نظر گرفته شده اغلب برای خلاص شدن از شر اصطلاحات عددی یکسان واقع در آن استفاده می شود بخش های مختلفمعادلات مثلا هم در سمت چپ و هم در داخل قطعات سمت راستمعادله x 2 +1=x+1 همان عبارت 1 وجود دارد، با کم کردن عدد 1 از دو طرف معادله به شما این امکان را می دهد که به معادله معادل x 2 +1−1=x+1−1 بروید و سپس به معادله معادل x 2 =x، و بنابراین از شر این اصطلاحات یکسان خلاص شوید.

• افزودن به هر دو طرف معادله یا کم کردن از هر دو طرف معادله عبارتی که ODZ برای معادله اصلی باریکتر از ODZ نیست، تبدیلی معادل است.

بیایید این گفته را ثابت کنیم. یعنی ثابت می کنیم که معادلات A(x)=B(x) و A(x)+C(x)=B(x)+C(x) معادل هستند، مشروط بر اینکه ODZ برای عبارت C(x) ) از قبل ODZ برای معادله A(x)=B(x) نیست.

ابتدا یک نکته کمکی را ثابت می کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که در شرایط مشخص شده معادلات ODZ قبل و بعد از تبدیل یکسان هستند. در واقع، ODZ برای معادله A(x)+C(x)=B(x)+C(x) را می توان به عنوان تقاطع ODZ برای معادله A(x)=B(x) و ODZ در نظر گرفت. برای عبارت C(x). از این و از این واقعیت که ODZ برای عبارت C(x) بر اساس شرط از ODZ برای معادله A(x)=B(x) باریکتر نیست، نتیجه می شود که ODZ برای معادلات A(x)= B(x) و A (x)+C(x)=B(x)+C(x) یکسان هستند.

اکنون معادلات A(x)=B(x) و A(x)+C(x)=B(x)+C(x) را ثابت می کنیم، مشروط بر اینکه محدوده مقادیر قابل قبول برای اینها معادلات یکسان است ما برای هم ارزی معادلات A(x)=B(x) و A(x)-C(x)=B(x)-C(x) در شرایط مشخص شده دلیلی نمی دهیم، زیرا مشابه است. .

فرض کنید q ریشه معادله A(x)=B(x) باشد، آنگاه برابری عددی A(q)=B(q) صادق است. از آنجایی که ODZ معادلات A(x)=B(x) و A(x)+C(x)=B(x)+C(x) یکسان است، پس عبارت C(x) در x معنا پیدا می کند. =q، به این معنی که C(q) یک عدد است. اگر C(q) را به دو طرف برابری عددی صحیح A(q)=B(q) اضافه کنیم، نابرابری عددی صحیح A(q)+C(q)=B(q)+C(q) بدست می آید. ) ، که از آن نتیجه می شود که q ریشه معادله A(x)+C(x)=B(x)+C(x) است.

برگشت. فرض کنید q ریشه معادله A(x)+C(x)=B(x)+C(x) باشد، سپس A(q)+C(q)=B(q)+C(q) یک است برابری عددی واقعی می دانیم که با کم کردن یک عدد از دو طرف یک برابری عددی واقعی، یک برابری عددی واقعی ایجاد می شود. C(q) را از دو طرف برابری A(q)+C(q)=B(q)+C(q) کم کنید، این به دست می آید A(q)+C(q)-C(q)=B(q)+C(q)-C(q)و بیشتر A(q)=B(q) . بنابراین q ریشه معادله A(x)=B(x) است.

بنابراین، گزاره مورد بحث کاملاً ثابت می شود.

بیایید مثالی از این تغییر شکل دهیم. معادله 2 x+1=5 x+2 را در نظر می گیریم. می‌توانیم به هر دو طرف، مثلاً عبارت −x−1 را اضافه کنیم. افزودن این عبارت ODZ را تغییر نمی دهد، به این معنی که چنین تبدیلی معادل است. در نتیجه معادله معادل را بدست می آوریم 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). این معادله را می توان بیشتر تغییر داد: براکت ها را باز کنید و عبارت های مشابه را در سمت چپ و راست آن کاهش دهید (به اولین مورد در لیست مراجعه کنید). پس از انجام این اعمال معادله معادل x=4·x+1 را به دست می آوریم. تبدیل معادلات اغلب در نظر گرفته شده برای خلاص شدن از شر اصطلاحات یکسانی که به طور همزمان در سمت چپ و راست معادله هستند استفاده می شود.

• اگر یک جمله در یک معادله را از یک قسمت به قسمت دیگر منتقل کنید و علامت این عبارت را به مخالف تغییر دهید، معادله ای معادل معادله داده شده به دست خواهید آورد.

این گفته نتیجه گفته های قبلی است.

اجازه دهید نشان دهیم که چگونه این تبدیل معادل معادله انجام می شود. بیایید معادله 3·x−1=2·x+3 را در نظر بگیریم. بیایید عبارت را مثلاً 2 x از سمت راست به چپ منتقل کنیم و علامت آن را تغییر دهیم. در این مورد، معادله معادل 3·x−1−2·x=3 را به دست می‌آوریم. همچنین می توانید منهای یک را از سمت چپ معادله به سمت راست ببرید و علامت را به مثبت تغییر دهید: 3 x−2 x=3+1. در نهایت، آوردن عبارت های مشابه ما را به معادله معادل x=4 می رساند.

• ضرب یا تقسیم هر دو طرف یک معادله در یک عدد غیر صفر یک تبدیل معادل است.

بیایید یک دلیل بیاوریم.

فرض کنید A(x)=B(x) یک معادله و c عددی متفاوت از صفر باشد. اجازه دهید ثابت کنیم که ضرب یا تقسیم هر دو طرف معادله A(x)=B(x) در عدد c تبدیل معادل معادله است. برای انجام این کار، ثابت می کنیم که معادلات A(x)=B(x) و A(x) c=B(x) c و همچنین معادلات A(x)=B(x) و A(x) :c= B(x):c - معادل. این کار به این صورت انجام می شود: ثابت کنید که هر ریشه معادله A(x)=B(x) یک ریشه معادله A(x) c=B(x) c و یک ریشه معادله A(x) است. :c=B(x) :c، و سپس ثابت کنید که هر ریشه معادله A(x) c=B(x) c، مانند هر ریشه معادله A(x):c=B(x):c ، ریشه ای از معادله A(x) =B(x) است. بیایید این کار را انجام دهیم.

فرض کنید q ریشه معادله A(x)=B(x) باشد. سپس برابری عددی A(q)=B(q) صادق است. پس از مطالعه خصوصیات تساوی های عددی، متوجه شدیم که ضرب یا تقسیم هر دو طرف یک تساوی عددی واقعی در عددی مشابه غیر از صفر منجر به یک برابری عددی واقعی می شود. با ضرب دو طرف تساوی A(q)=B(q) در c، برابری عددی صحیح A(q) c=B(q) c را بدست می آوریم که از آن نتیجه می شود که q ریشه معادله A( x) c= B(x)·c. و با تقسیم دو طرف تساوی A(q)=B(q) بر c برابری عددی صحیح A(q):c=B(q):c را بدست می آوریم که از آن به دست می آید که q ریشه معادله A(x):c =B(x):c .

حالا در جهت دیگر. فرض کنید q ریشه معادله A(x) c=B(x) c باشد. سپس A(q)·c=B(q)·c یک برابری عددی واقعی است. با تقسیم هر دو قسمت آن بر یک عدد غیر صفر c، برابری عددی صحیح A(q)·c:c=B(q)·c:c و A(q)=B(q) را بدست می آوریم. بنابراین q ریشه معادله A(x)=B(x) است. اگر q ریشه معادله A(x):c=B(x):c باشد. سپس A(q):c=B(q):c یک برابری عددی واقعی است. با ضرب هر دو قسمت آن در یک عدد غیر صفر c، برابری عددی صحیح A(q):c·c=B(q):c·c و در ادامه A(q)=B(q) به دست می‌آید. بنابراین q ریشه معادله A(x)=B(x) است.

بیانیه ثابت شده است.

بیایید مثالی از این تغییر شکل دهیم. با کمک آن می توانید مثلاً از شر کسرهای معادله خلاص شوید. برای این کار می توانید هر دو طرف معادله را در 12 ضرب کنید. نتیجه یک معادله معادل فرم است ، که سپس می تواند به معادله معادل 7 x−3=10 تبدیل شود که شامل کسری در نماد آن نیست.

• ضرب یا تقسیم هر دو طرف یک معادله در یک عبارت، که OD آن از OD برای معادله اصلی باریکتر نیست و با OD برای معادله اصلی ناپدید نمی شود، تبدیلی معادل است.

بیایید این گفته را ثابت کنیم. برای انجام این کار، ثابت می کنیم که اگر ODZ برای عبارت C(x) از ODZ برای معادله A(x)=B(x) باریکتر نباشد، و C(x) روی ODZ برای معادله ناپدید نمی شود. A(x)=B(x) سپس معادلات A(x)=B(x) و A(x) C(x)=B(x) C(x)، و همچنین معادلات A(x) =B(x) و A(x):C(x)=B(x):C(x) - معادل.

فرض کنید q ریشه معادله A(x)=B(x) باشد. سپس A(q)=B(q) یک برابری عددی واقعی است. از این واقعیت که ODZ برای عبارت C(x) همان ODZ برای معادله A(x)=B(x) نیست، نتیجه می شود که عبارت C(x) زمانی معنا پیدا می کند که x=q باشد. این بدان معنی است که C(q) یک عدد است. علاوه بر این، C(q) غیر صفر است، که از شرط عدم ناپدید شدن عبارت C(x) ناشی می شود. اگر هر دو طرف تساوی A(q)=B(q) را در یک عدد غیر صفر C(q) ضرب کنیم، برابری عددی صحیح A(q)·C(q)=B(q)· بدست می آید. C(q) که از آن نتیجه می شود که q ریشه معادله A(x)·C(x)=B(x)·C(x) است. اگر هر دو طرف تساوی A(q)=B(q) را بر یک عدد غیر صفر C(q) تقسیم کنیم، برابری عددی صحیح A(q):C(q)=B(q) بدست می آید: C(q) ، که از آن نتیجه می شود که q ریشه معادله A(x):C(x)=B(x):C(x) است.

برگشت. فرض کنید q ریشه معادله A(x)·C(x)=B(x)·C(x) باشد. سپس A(q)·C(q)=B(q)·C(q) یک برابری عددی واقعی است. توجه داشته باشید که ODZ برای معادله A(x) C(x)=B(x) C(x) با ODZ برای معادله A(x)=B(x) یکسان است (ما این را در یکی از موارد توجیه کردیم. پاراگراف های قبلی لیست فعلی). از آنجایی که C(x) با شرط در ODZ برای معادله A(x)=B(x) ناپدید نمی شود، پس C(q) یک عدد غیر صفر است. با تقسیم دو طرف تساوی A(q)·C(q)=B(q)·C(q) بر یک عدد غیر صفر C(q) تساوی عددی صحیح را بدست می آوریم. A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q)و بیشتر A(q)=B(q) . بنابراین q ریشه معادله A(x)=B(x) است. اگر q ریشه معادله A(x):C(x)=B(x):C(x) باشد. سپس A(q):C(q)=B(q):C(q) یک برابری عددی واقعی است. با ضرب دو طرف تساوی A(q):C(q)=B(q):C(q) در عدد غیر صفر C(q) برابری عددی صحیح را بدست می آوریم. A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q)و بیشتر A(q)=B(q) . بنابراین q ریشه معادله A(x)=B(x) است.

بیانیه ثابت شده است.

برای وضوح، مثالی از انجام یک تبدیل جدا شده ارائه می دهیم. بیایید هر دو طرف معادله x 3 ·(x2 +1)=8·(x2 +1) را با عبارت x 2 +1 تقسیم کنیم. این تبدیل معادل است، زیرا عبارت x 2 +1 در OD برای معادله اصلی ناپدید نمی شود و OD این عبارت از OD برای معادله اصلی باریکتر نیست. در نتیجه این تبدیل، معادله معادل را بدست می آوریم x 3 · (x 2 +1): (x 2 +1)=8· (x 2 +1): (x 2 +1)، که می تواند بیشتر به معادله معادل x 3 = 8 تبدیل شود.

تبدیل هایی که منجر به معادلات نتیجه می شود

در پاراگراف قبل بررسی کردیم که کدام تبدیل ها از فهرست تبدیل های اساسی و در چه شرایطی معادل هستند. حال ببینیم کدام یک از این تبدیل ها و تحت چه شرایطی منجر به معادلات نتیجه ای می شود، یعنی به معادلاتی که تمام ریشه های معادله تبدیل شده را شامل می شود، اما علاوه بر آنها ممکن است ریشه های دیگری نیز داشته باشد - ریشه های اضافی برای معادله اصلی.

تبدیل‌هایی که منجر به معادلات نتیجه‌ای می‌شوند کمتر از تبدیل‌های معادل هستند. اگر با کمک آنها بتوان معادله ای را به دست آورد که از نظر حل کاملاً ساده است ، حل آن و حذف ریشه های اضافی بعدی به معادله اصلی راه حل می دهد.

توجه داشته باشید که تمام تبدیل های معادل را می توان موارد خاصی از تبدیل ها در نظر گرفت که منجر به معادلات نتیجه ای می شود. این قابل درک است، زیرا یک معادله معادل وجود دارد مورد خاصمعادلات پیامد اما از نقطه نظر عملی، بهتر است بدانیم که تبدیل مورد نظر دقیقاً معادل است و منجر به یک معادله نتیجه نمی شود. اجازه دهید توضیح دهیم که چرا اینطور است. اگر بدانیم که تبدیل معادل است، در این صورت معادله حاصله قطعاً ریشه‌های خارج از معادله اصلی نخواهد داشت. و تبدیل منجر به معادله نتیجه ممکن است علت ظهور ریشه های خارجی باشد که ما را در آینده مجبور می کند یک اقدام اضافی را انجام دهیم - الک کردن ریشه های خارجی. بنابراین، در این بخش از مقاله، ما بر روی تبدیل ها تمرکز خواهیم کرد، که در نتیجه ممکن است ریشه های خارجی برای معادله اصلی ظاهر شوند. و واقعاً مهم است که بتوانیم چنین تبدیل‌هایی را از تبدیل‌های معادل متمایز کنیم تا به وضوح درک کنیم که چه زمانی لازم است ریشه‌های اضافی را فیلتر کنیم و چه زمانی این کار ضروری نیست.

بیایید کل لیست تبدیل های اساسی معادلات ارائه شده در پاراگراف دوم این مقاله را به منظور جستجوی تبدیل ها تجزیه و تحلیل کنیم که در نتیجه ممکن است ریشه های خارجی ظاهر شوند.

• جایگزینی عبارات سمت چپ و راست معادله با عبارات یکسان.

ما ثابت کرده‌ایم که اگر اجرای آن OD را تغییر ندهد، این تبدیل معادل است. و اگر DL تغییر کند چه اتفاقی می افتد؟ باریک شدن ODZ می تواند منجر به از دست دادن ریشه شود، بیشتر در این مورد ما صحبت خواهیم کرددر پاراگراف بعدی و با گسترش ODZ، ریشه های خارجی ممکن است ظاهر شوند. توجیه این موضوع کار سختی نیست. اجازه دهید استدلال مربوطه را ارائه دهیم.

بگذارید عبارت C(x) به گونه ای باشد که به طور یکسان با عبارت A(x) برابر باشد و OD برای معادله C(x)=B(x) گسترده تر از OD برای معادله A(x)=B باشد. (x). اجازه دهید ثابت کنیم که معادله C(x)=B(x) نتیجه معادله A(x)=B(x) است و در بین ریشه های معادله C(x)=B(x) ممکن است ریشه هایی باشند که با معادله A(x)=B(x) بیگانه هستند.

فرض کنید q ریشه معادله A(x)=B(x) باشد. سپس A(q)=B(q) یک برابری عددی واقعی است. از آنجایی که ODZ برای معادله C(x)=B(x) گسترده تر از ODZ برای معادله A(x)=B(x) است، پس عبارت C(x) در x=q تعریف می شود. سپس با در نظر گرفتن برابری یکسان عبارات C(x) و A(x) نتیجه می گیریم که C(q)=A(q) . از برابری های C(q)=A(q) و A(q)=B(q)، به دلیل خاصیت گذرا، برابری C(q)=B(q) به دست می آید. از این برابری به دست می آید که q ریشه معادله C(x)=B(x) است. این ثابت می کند که در شرایط مشخص شده معادله C(x)=B(x) نتیجه معادله A(x)=B(x) است.

باید ثابت کنیم که معادله C(x)=B(x) می تواند ریشه های متفاوتی با ریشه های معادله A(x)=B(x) داشته باشد. اجازه دهید ثابت کنیم که هر ریشه معادله C(x)=B(x) از ODZ برای معادله A(x)=B(x) ریشه معادله A(x)=B(x) است. مسیر p ریشه معادله C(x)=B(x) است که به ODZ برای معادله A(x)=B(x) تعلق دارد. سپس C(p)=B(p) یک برابری عددی واقعی است. از آنجایی که p به ODZ برای معادله A(x)=B(x) تعلق دارد، پس عبارت A(x) برای x=p تعریف می شود. از این و از برابری یکسان عبارات A(x) و C(x) نتیجه می شود که A(p)=C(p) . از برابری های A(p)=C(p) و C(p)=B(p)، به دلیل خاصیت گذرا، نتیجه می شود که A(p)=B(p) یعنی p ریشه معادله A(x)= B(x) . این ثابت می کند که هر ریشه معادله C(x)=B(x) از ODZ برای معادله A(x)=B(x) ریشه معادله A(x)=B(x) است. به عبارت دیگر، در ODZ برای معادله A(x)=B(x) نمی توان ریشه های معادله C(x)=B(x) وجود داشته باشد، که ریشه های خارجی معادله A(x)=B( x). اما طبق شرط، ODZ برای معادله C(x)=B(x) گسترده تر از ODZ برای معادله A(x)=B(x) است. و این امکان وجود یک عدد r را می دهد که به ODZ برای معادله C(x)=B(x) تعلق دارد و برای معادله A(x)=B(x) که ریشه است به ODZ تعلق ندارد. از معادله C(x)=B(x). یعنی معادله C(x)=B(x) ممکن است ریشه هایی داشته باشد که با معادله A(x)=B(x) بیگانه هستند و همه آنها به مجموعه ای تعلق دارند که ODZ برای معادله A به آن مربوط می شود. (x)=B زمانی که عبارت A(x) در آن با عبارت برابر C(x) جایگزین می شود (x) بسط می یابد.

بنابراین، جایگزین کردن عبارات سمت چپ و راست معادله با عبارات یکسان، که در نتیجه ODZ گسترش می یابد، به مورد کلیمنجر به یک معادله نتیجه می شود (یعنی می تواند منجر به پیدایش ریشه های خارجی شود) و فقط در یک مورد خاص منجر به معادله معادل می شود (اگر معادله حاصل ریشه های خارج از معادله اصلی نداشته باشد).

اجازه دهید مثالی از انجام یک تبدیل تجزیه شده ارائه دهیم. به جای عبارت سمت چپ معادله به طور یکسان با آن برابر با عبارت x·(x-1) منجر به معادله x·(x-1) = 0 می شود، در این مورد گسترش ODZ رخ می دهد - عدد 0 به آن اضافه می شود. معادله به دست آمده دارای دو ریشه 0 و 1 است و جایگزینی این ریشه ها به معادله اصلی نشان می دهد که 0 یک ریشه خارجی برای معادله اصلی است و 1 ریشه معادله اصلی است. در واقع، جایگزینی صفر در معادله اصلی، عبارت بی معنی را به دست می دهد ، از آنجایی که شامل تقسیم بر صفر است و جایگزینی یک برابری عددی صحیح را به دست می دهد که همان 0=0 است.

توجه داشته باشید که تبدیل مشابه یک معادله مشابه در معادله (x-1)·(x-2) = 0، در نتیجه ODZ نیز گسترش می یابد، منجر به ظهور ریشه های خارجی نمی شود. در واقع، هر دو ریشه معادله حاصل (x−1)·(x−2)=0 - اعداد 1 و 2، ریشه‌های معادله اصلی هستند که با بررسی با جایگزینی آسان است. با این مثال‌ها، یک بار دیگر می‌خواهیم تأکید کنیم که جایگزین کردن یک عبارت در سمت چپ یا راست یک معادله با یک عبارت یکسان که ODZ را گسترش می‌دهد، لزوماً منجر به ظهور ریشه‌های خارجی نمی‌شود. اما می تواند به ظاهر آنها نیز منجر شود. بنابراین، اگر چنین تبدیلی در فرآیند حل معادله رخ داده است، لازم است برای شناسایی و فیلتر کردن ریشه های خارجی، بررسی شود.

بیشتر اوقات، معادله ODZ ممکن است گسترش یابد و ریشه های خارجی به دلیل جایگزینی با صفر تفاوت عبارات یکسان یا مجموع عبارات با نشانه های مخالفبه دلیل جایگزینی صفر فرآورده ها با یک یا چند عامل صفر، به دلیل کاهش کسرها و به دلیل استفاده از خواص ریشه، توان، لگاریتم و غیره.

• اضافه کردن یک عدد به دو طرف یک معادله یا کم کردن یک عدد از دو طرف یک معادله.

ما در بالا نشان دادیم که این تبدیل همیشه معادل است، یعنی منجر به معادله معادل می شود. بیایید ادامه دهیم.

• اضافه کردن یک عبارت به دو طرف یک معادله یا کم کردن همان عبارت از دو طرف یک معادله.

در پاراگراف قبل، شرطی را اضافه کردیم که ODZ برای عبارتی که اضافه یا کم می‌شود نباید از ODZ برای معادله در حال تبدیل باریک‌تر باشد. این شرط تبدیل مورد نظر را معادل کرد. در اینجا استدلال هایی مشابه آنچه در ابتدای این پاراگراف مقاله ارائه شده است در مورد این واقعیت وجود دارد که معادله معادل یک مورد خاص از یک معادله نتیجه است و دانش در مورد معادل بودن یک تبدیل عملاً مفیدتر از دانش در مورد همان است. تبدیل، اما از نقطه نظر این واقعیت که منجر به معادله نتیجه می شود.

آیا در نتیجه جمع کردن یک عبارت یا کم کردن یک عبارت از دو طرف یک معادله، می توان معادله ای به دست آورد که علاوه بر تمام ریشه های معادله اصلی، ریشه های دیگری نیز داشته باشد؟ نه، نمی تواند. اگر ODZ برای عبارتی که اضافه یا تفریق می‌شود از ODZ معادله اصلی باریک‌تر نباشد، در نتیجه جمع یا تفریق یک معادله معادل به دست می‌آید. اگر ODZ برای عبارتی که اضافه یا کم می‌شود از ODZ برای معادله اصلی باریک‌تر باشد، این امر می‌تواند منجر به از دست دادن ریشه‌ها شود و نه به ظاهر ریشه‌های خارجی. در پاراگراف بعدی بیشتر در این مورد صحبت خواهیم کرد.

• انتقال یک عبارت از یک قسمت معادله به قسمت دیگر با علامت تغییر به مخالف.

این تبدیل معادله همیشه معادل است. بنابراین، به دلایلی که در بالا ذکر شد، منطقی نیست که آن را به عنوان یک تبدیل منجر به یک معادله-نتیجه در نظر بگیریم.

• ضرب یا تقسیم هر دو طرف یک معادله در یک عدد.

در پاراگراف قبل ثابت کردیم که اگر ضرب یا تقسیم هر دو طرف معادله با عددی غیر صفر انجام شود، این تبدیل معادل معادله است. بنابراین، باز هم هیچ فایده ای ندارد که در مورد آن به عنوان تبدیلی که منجر به یک معادله نتیجه می شود صحبت کنیم.

اما در اینجا شایان ذکر است که در مورد تفاوت از صفر عددی که هر دو طرف معادله در آن ضرب یا تقسیم می شوند، توجه شود. برای تقسیم این بند روشن است - با کلاس های ابتداییما متوجه شدیم که شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید. چرا این بند برای ضرب؟ بیایید به این فکر کنیم که ضرب دو طرف معادله در صفر چه نتیجه ای دارد. برای وضوح، یک معادله خاص را در نظر می گیریم، برای مثال 2 x+1=x+5. این یک معادله خطی است که یک ریشه دارد که عدد 4 است. بیایید معادله ای را که با ضرب دو طرف این معادله در صفر به دست می آید، بنویسیم: (2 x+1) 0=(x+5) 0. بدیهی است که ریشه این معادله هر عددی است، زیرا وقتی هر عددی را به جای متغیر x در این معادله جایگزین کنید، برابری عددی صحیح 0=0 به دست می آید. یعنی در مثال ما، ضرب دو طرف معادله در صفر منجر به یک معادله نتیجه شد که باعث پیدایش تعداد نامتناهی ریشه خارجی برای معادله اصلی شد. علاوه بر این، شایان ذکر است که در این مورد روش های معمول غربالگری ریشه های خارجی با وظیفه خود مقابله نمی کنند. این بدان معنی است که تبدیل انجام شده برای حل معادله اصلی بی فایده است. و این یک وضعیت معمولی برای تحول مورد بررسی است. به همین دلیل است که تبدیلی مانند ضرب دو طرف یک معادله در صفر برای حل معادلات استفاده نمی شود. ما هنوز باید به این تبدیل و سایر تبدیل هایی که نباید برای حل معادلات در پاراگراف آخر استفاده شوند، نگاه کنیم.

• ضرب یا تقسیم هر دو طرف یک معادله در یک عبارت.

در پاراگراف قبل ثابت کردیم که این تبدیل در صورت وجود دو شرط معادل است. به آنها یادآوری کنیم. شرط اول: OD برای این عبارت نباید از OD معادله اصلی باریکتر باشد. شرط دوم: عبارتی که توسط آن ضرب یا تقسیم انجام می شود نباید در ODZ معادله اصلی ناپدید شود.

بیایید شرط اول را تغییر دهیم، یعنی فرض می کنیم که OD برای عبارتی که قصد داریم دو طرف معادله را ضرب یا تقسیم کنیم، از OD برای معادله اصلی باریکتر است. در نتیجه چنین تبدیلی، معادله ای به دست می آید که ODZ برای معادله اصلی باریکتر از ODZ خواهد بود. چنین تحولاتی می تواند منجر به از بین رفتن ریشه ها شود.

اگر شرط دوم را در مورد مقادیر غیر صفر عبارتی که هر دو طرف معادله بر ODZ برای معادله اصلی ضرب یا تقسیم می شوند حذف کنیم، چه اتفاقی می افتد؟

تقسیم هر دو طرف معادله بر یک عبارت، که با OD برای معادله اصلی ناپدید می شود، معادله ای به دست می آید که OD آن باریکتر از OD برای معادله اصلی است. در واقع، اعداد از آن خارج خواهند شد، و عبارتی که توسط آن تقسیم انجام شد را به صفر تبدیل می‌کنند. این می تواند منجر به از دست دادن ریشه شود.

در مورد ضرب هر دو طرف معادله در یک عبارت، که در ODZ برای معادله اصلی ناپدید می شود، چطور؟ می‌توان نشان داد که وقتی هر دو طرف معادله A(x)=B(x) در عبارت C(x) ضرب می‌شوند، ODZ برای معادله اولیه باریک‌تر از ODZ نیست و با عبارت ناپدید می‌شود. ODZ برای معادله اصلی، معادله به دست آمده نتیجه ای است که علاوه بر تمام ریشه های معادله A(x)=B(x)، می تواند ریشه های دیگری نیز داشته باشد. بیایید این کار را انجام دهیم، به خصوص که این پاراگراف مقاله دقیقاً به تبدیل هایی که منجر به معادلات نتیجه می شود اختصاص دارد.

اجازه دهید عبارت C(x) به گونه ای باشد که ODZ برای آن از ODZ برای معادله A(x)=B(x) باریکتر نباشد و در ODZ برای معادله A(x)=B(x) محو شود. ) . اجازه دهید ثابت کنیم که در این مورد معادله A(x)·C(x)=B(x)·C(x) نتیجه معادله A(x)=B(x) است.

فرض کنید q ریشه معادله A(x)=B(x) باشد. سپس A(q)=B(q) یک برابری عددی واقعی است. از آنجایی که ODZ برای عبارت C(x) از ODZ برای معادله A(x)=B(x) باریکتر نیست، عبارت C(x) در x=q تعریف می شود، به این معنی که C(q) عدد مشخصی است ضرب دو طرف یک تساوی عددی واقعی در هر عددی یک برابری عددی واقعی به دست می دهد، بنابراین، A(q)·C(q)=B(q)·C(q) یک برابری عددی واقعی است. یعنی q ریشه معادله A(x)·C(x)=B(x)·C(x) است. این ثابت می کند که هر ریشه معادله A(x)=B(x) ریشه معادله A(x) C(x)=B(x) C(x) است، به این معنی که معادله A(x) C (x)=B(x)·C(x) نتیجه معادله A(x)=B(x) است.

توجه داشته باشید که در شرایط مشخص شده، معادله A(x)·C(x)=B(x)·C(x) ممکن است ریشه هایی داشته باشد که با معادله اصلی A(x)=B(x) بیگانه باشند. همه آنها اعدادی از ODZ برای معادله اصلی هستند که عبارت C(x) را به صفر تبدیل می کنند (همه اعدادی که عبارت C(x) را به صفر تبدیل می کنند، ریشه های معادله A(x) C(x)=B هستند. (x) C(x) ، زیرا جایگزینی آنها در معادله نشان داده شده برابری عددی صحیح 0=0 را به دست می دهد، اما اینها ریشه های معادله A(x)=B(x) نیستند. معادلات A(x)=B(x) و A(x)·C(x)=B(x)·C(x) تحت شرایط مشخص شده زمانی معادل خواهند بود که تمام اعداد از ODZ برای معادله A(x) )=B (x) که باعث ناپدید شدن عبارت C(x) می شود، ریشه های معادله A(x)=B(x) هستند.

بنابراین، ضرب هر دو طرف معادله در یک عبارت، که ODZ برای معادله اصلی باریکتر از ODZ نیست و برای معادله اصلی با ODZ محو می شود، در حالت کلی منجر به یک معادله نتیجه می شود، که است، می تواند منجر به ظهور ریشه های خارجی شود.

برای روشن شدن مطلب مثالی می زنیم. معادله x+3=4 را در نظر می گیریم. تنها ریشه آن عدد 1 است. بیایید هر دو طرف این معادله را در یک عبارت ضرب کنیم، که توسط ODZ برای معادله اصلی ناپدید می شود، برای مثال، در x·(x-1) . این عبارت در x=0 و x=1 ناپدید می شود. ضرب دو طرف معادله در این عبارت معادله را به ما می دهد (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). معادله حاصل دو ریشه دارد: 1 و 0. عدد 0 یک ریشه خارجی برای معادله اصلی است که در نتیجه تبدیل ظاهر شد.

دگرگونی هایی که ممکن است منجر به از دست دادن ریشه شود

برخی از تبدیل ها در شرایط خاص می تواند منجر به از دست دادن ریشه ها شود. به عنوان مثال، هنگام تقسیم دو طرف معادله x·(x-2)=x-2 بر یک عبارت x-2، ریشه از بین می رود. در واقع در نتیجه چنین تبدیلی معادله x=1 با یک ریشه به دست می آید که عدد 1 است و معادله اصلی دارای دو ریشه 1 و 2 است.

لازم است به وضوح درک کنیم که چه زمانی ریشه ها در نتیجه تبدیل ها از بین می روند تا هنگام حل معادلات ریشه ها را از دست ندهیم. بیایید این را بفهمیم.

در نتیجه این تبدیل‌ها، از دست دادن ریشه‌ها می‌تواند رخ دهد اگر و تنها در صورتی که ODZ برای معادله تبدیل‌شده باریک‌تر از ODZ برای معادله اصلی باشد.

برای اثبات این گفته باید دو نکته را اثبات کرد. ابتدا، لازم است ثابت شود که اگر در نتیجه تبدیل های نشان داده شده معادله، ODZ باریک شود، ممکن است از دست دادن ریشه ها رخ دهد. و ثانیاً، لازم است توجیه شود که اگر در نتیجه این تبدیل ها، از دست دادن ریشه ها رخ دهد، ODZ برای معادله حاصل از ODZ برای معادله اصلی باریک تر است.

اگر ODZ معادله به دست آمده در نتیجه تبدیل باریکتر از ODZ برای معادله اصلی باشد، طبیعتاً هیچ ریشه ای از معادله اصلی که خارج از ODZ برای معادله حاصل قرار دارد، نمی تواند ریشه معادله باشد. در نتیجه تبدیل به دست آمده است. این بدان معنی است که همه این ریشه ها هنگام حرکت از معادله اصلی به معادله ای که ODZ برای معادله اصلی باریکتر از ODZ است، از بین می رود.

حالا برگشت. اجازه دهید ثابت کنیم که اگر در نتیجه این تبدیل ها، ریشه ها از بین بروند، ODZ برای معادله حاصل از ODZ برای معادله اصلی باریک تر است. این را می توان با روش مخالف انجام داد. این فرض که در نتیجه این دگرگونی ها، ریشه ها از بین می روند، اما ODZ محدود نمی شود، با عبارات اثبات شده در پاراگراف های قبلی در تضاد است. در واقع، از این عبارات نتیجه می شود که اگر هنگام انجام تبدیل های نشان داده شده، ODZ باریک نشود، معادلات معادل یا معادلات نتیجه به دست می آید، به این معنی که از دست دادن ریشه ها نمی تواند رخ دهد.

بنابراین، دلیل از دست دادن احتمالی ریشه ها هنگام انجام تبدیل های اساسی معادلات، باریک شدن ODZ است. واضح است که هنگام حل معادلات نباید ریشه ها را از دست دهیم. در اینجا، طبیعتاً این سؤال مطرح می شود: "برای جلوگیری از از دست دادن ریشه در هنگام تبدیل معادلات چه باید بکنیم؟" در پاراگراف بعدی به آن پاسخ خواهیم داد. حال بیایید فهرست تبدیل های اساسی معادلات را مرور کنیم تا با جزئیات بیشتر ببینیم کدام تبدیل می تواند منجر به از دست دادن ریشه ها شود.

• جایگزینی عبارات سمت چپ و راست معادله با عبارات یکسان.

اگر عبارت سمت چپ یا راست معادله را با یک عبارت یکسان جایگزین کنید، که OD آن باریکتر از OD معادله اصلی است، این منجر به باریک شدن OD و به همین دلیل، ریشه ها می شود. ممکن است گم شود اغلب، جایگزینی عبارات سمت چپ یا راست معادلات با عبارات یکسان، بر اساس برخی از ویژگی های ریشه، توان، لگاریتم و برخی از آنها انجام می شود. فرمول های مثلثاتی. به عنوان مثال، جایگزین کردن عبارت سمت چپ معادله با یک عبارت یکسان، ODZ را باریک می کند و منجر به از دست دادن ریشه -16 می شود. به طور مشابه، جایگزینی عبارت در سمت چپ معادله با یک عبارت یکسان به معادله منجر می‌شود، ODZ برای آن باریک‌تر از ODZ برای معادله اصلی است، که مستلزم از دست دادن ریشه -3 است.

• اضافه کردن یک عدد به دو طرف یک معادله یا کم کردن یک عدد از دو طرف یک معادله.

این تبدیل معادل است، بنابراین، در طول اجرای آن نمی توان ریشه ها را از دست داد.

• اضافه کردن یک عبارت به دو طرف یک معادله یا کم کردن همان عبارت از دو طرف یک معادله.

اگر عبارتی را که ODZ آن باریکتر از ODZ است را برای معادله اصلی اضافه یا کم کنید، این منجر به باریک شدن ODZ و در نتیجه، از دست دادن احتمالی ریشه ها می شود. ارزش این را دارد که این را در نظر داشته باشید. اما در اینجا شایان ذکر است که در عمل معمولاً باید به جمع یا تفریق عباراتی که در ضبط معادله اصلی وجود دارد متوسل شد که منجر به تغییر در ODZ نمی شود و منجر به از دست دادن ریشه ها نمی شود.

• انتقال یک عبارت از یک قسمت معادله به قسمت دیگر با علامت تغییر به مخالف.

این تبدیل معادله معادل است، بنابراین در نتیجه اجرای آن، ریشه ها از بین نمی روند.

• ضرب یا تقسیم هر دو طرف یک معادله در عددی مشابه غیر از صفر.

این دگرگونی نیز معادل است و به دلیل آن از بین رفتن ریشه ها رخ نمی دهد.

• ضرب یا تقسیم هر دو طرف یک معادله در یک عبارت.

این تبدیل می تواند منجر به باریک شدن OD در دو حالت شود: زمانی که OD برای عبارتی که توسط آن ضرب یا تقسیم انجام می شود باریکتر از OD برای معادله اصلی باشد و زمانی که تقسیم با عبارتی انجام می شود که تبدیل می شود. صفر در OD برای معادله اصلی. توجه داشته باشید که در عمل معمولاً نیازی به ضرب و تقسیم هر دو طرف معادله با عبارتی با VA باریکتر نیست. اما باید با تقسیم با عبارتی که برای معادله اصلی به صفر تبدیل می شود، مقابله کنید. روشی وجود دارد که به شما امکان می دهد با از دست دادن ریشه ها در طول چنین تقسیم بندی کنار بیایید، در پاراگراف بعدی این مقاله در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

چگونه از ریزش ریشه جلوگیری کنیم؟

اگر فقط از تبدیل معادلات تبدیل به تبدیل استفاده کنید و در عین حال اجازه باریک شدن ODZ را ندهید، از بین رفتن ریشه ها رخ نخواهد داد.

آیا این بدان معناست که هیچ تبدیل دیگری از معادلات نمی توان انجام داد؟ نه، به این معنی نیست. اگر تغییر دیگری از معادله به دست آورید و آن را به طور کامل توصیف کنید، یعنی مشخص کنید که چه زمانی به معادلات معادل می‌رسد، چه زمانی به معادلات نتیجه‌ای می‌رسد، و چه زمانی می‌تواند منجر به از دست دادن ریشه‌ها شود، آنگاه می‌توان آن را اتخاذ کرد.

آیا باید اصلاحاتی را که DPD را محدود می کند کاملاً کنار بگذاریم؟ شما نباید این کار را انجام دهید. اگر در زرادخانه خود تغییراتی را حفظ کنید که در آن تعداد محدودی از اعداد از ODZ برای معادله اصلی خارج می شوند. چرا نباید چنین تحولاتی را کنار گذاشت؟ زیرا روشی برای جلوگیری از ریزش ریشه در چنین مواقعی وجود دارد. این شامل بررسی جداگانه اعدادی است که از ODZ خارج می شوند تا ببینیم آیا ریشه های معادله اصلی در بین آنها وجود دارد یا خیر. می توانید با جایگزین کردن این اعداد در معادله اصلی این موضوع را بررسی کنید. آنهایی از آنها که با جایگزینی برابری عددی صحیح را به دست می‌دهند، ریشه‌های معادله اصلی هستند. آنها باید در پاسخ گنجانده شوند. پس از چنین بررسی، می توانید بدون ترس از دست دادن ریشه های خود، تحول برنامه ریزی شده را با خیال راحت انجام دهید.

یک تبدیل معمولی که در آن ODZ برای یک معادله به چندین عدد کاهش می یابد، تقسیم هر دو طرف معادله بر یک عبارت است که در چندین نقطه از ODZ برای معادله اصلی صفر می شود. این تبدیل اساس روش حل است معادلات متقابل. اما برای حل انواع دیگر معادلات نیز استفاده می شود. بیایید یک مثال بزنیم.

معادله را می توان با معرفی یک متغیر جدید حل کرد. برای معرفی یک متغیر جدید، باید دو طرف معادله را بر 1+x تقسیم کنید. اما با چنین تقسیمی، ممکن است از دست دادن ریشه رخ دهد، زیرا اگرچه ODZ برای عبارت 1+x از ODZ برای معادله اصلی باریکتر نیست، عبارت 1+x در x=-1 صفر می شود و این عدد متعلق به ODZ برای معادله اصلی است. این بدان معنی است که ریشه -1 ممکن است از بین برود. برای حذف از دست دادن یک ریشه، باید به طور جداگانه بررسی کنید که آیا -1 ریشه معادله اصلی است یا خیر. برای انجام این کار، می توانید −1 را جایگزین معادله اصلی کنید و ببینید چه تساوی به دست می آورید. در مورد ما، جایگزینی برابری می دهد که همان 4=0 است. این برابری نادرست است، به این معنی که -1 ریشه معادله اصلی نیست. پس از چنین بررسی، می توانید بدون ترس از از دست دادن ریشه ها، تقسیم مورد نظر هر دو طرف معادله را با 1 + x انجام دهید.

برای نتیجه گیری این پاراگراف، اجازه دهید یک بار دیگر به معادلات پاراگراف قبلی و. تبدیل این معادلات بر اساس هویت و منجر به باریک شدن ODZ می شود و این مستلزم از بین رفتن ریشه ها است. در این مرحله، ما گفتیم که برای اینکه ریشه های خود را از دست ندهیم، باید اصلاحاتی را که DZ را محدود می کند، کنار بگذاریم. این بدان معناست که این تحولات باید کنار گذاشته شود. اما چه باید بکنیم؟ می توان دگرگونی هایی انجام داد که بر اساس هویت و ، که به دلیل آن ODZ باریک می شود و بر اساس هویت و . در نتیجه گذار از معادلات اصلیو به معادلات و هیچ باریک شدن ODZ وجود ندارد، به این معنی که ریشه ها از بین نخواهند رفت.

در اینجا به ویژه توجه می کنیم که هنگام جایگزینی عبارات با عبارات یکسان، باید به دقت اطمینان حاصل کنید که عبارات دقیقاً یکسان هستند. به عنوان مثال، در معادله جایگزین کردن عبارت x+3 با یک عبارت برای ساده کردن ظاهر سمت چپ غیرممکن است ، زیرا عبارات x+3 و به طور یکسان برابر نیستند، زیرا مقادیر آنها در x+3 منطبق نیست.<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

تبدیل معادلاتی که نباید استفاده شوند

دگرگونی های ذکر شده در این مقاله معمولاً برای نیازهای عملی کافی است. به این معنا که شما نباید در مورد ایجاد تغییرات دیگر نگران باشید.

ادبیات

1. موردکوویچ A.G.جبر و آغاز تحلیل ریاضی. کلاس یازدهم. در 2 ساعت، بخش 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی (سطح مشخصات) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - چاپ دوم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. شابک 978-5-346-01027-2.
2. جبرو شروع تحلیل ریاضی. پایه دهم: کتاب درسی. برای آموزش عمومی موسسات: پایه و مشخصات. سطوح / [یو. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M. I. Shabunin]؛ ویرایش شده توسط A. B. Zhizhchenko. - ویرایش سوم - م.: آموزش و پرورش، 1389.- 368 ص: ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.