با سمت راست مخصوص انجام دهید. معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت

در این سخنرانی، LNDE ها مورد مطالعه قرار می گیرند - ناهمگن خطی معادلات دیفرانسیل. ساختار راه حل کلی در نظر گرفته شده است، حل LPDE با استفاده از روش تغییر ثابت های دلخواه، حل LPDE با ضرایب ثابتو سمت راست از نوع خاص. موضوعات مورد بررسی در مطالعه نوسانات اجباری در فیزیک، مهندسی برق و الکترونیک و تئوری کنترل خودکار استفاده می شود.

1. ساختار حل کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه 2.

اجازه دهید ابتدا یک معادله ناهمگن خطی با نظم دلخواه را در نظر بگیریم:

با در نظر گرفتن نماد، می توانیم بنویسیم:

در این صورت فرض می کنیم که ضرایب و سمت راست این معادله در یک بازه مشخص پیوسته هستند.

قضیه. جواب کلی یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی در یک حوزه معین، مجموع هر یک از جواب های آن و حل کلی معادله دیفرانسیل همگن خطی مربوطه است.

اثباتفرض کنید Y حل معادله ناهمگن باشد.

سپس، هنگام جایگزینی این راه حل به معادله اصلی، هویت را به دست می آوریم:

اجازه دهید
- سیستم بنیادیراه حل های معادله همگن خطی
. سپس تصمیم مشترکمعادله همگن را می توان به صورت زیر نوشت:

به طور خاص، برای یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه 2، ساختار جواب کلی به شکل زیر است:

جایی که
سیستم اساسی حل معادله همگن مربوطه است و
- هر راه حل خاصی از یک معادله ناهمگن.

بنابراین، برای حل یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی، باید یک راه حل کلی برای معادله همگن مربوطه پیدا کرد و به نحوی یک راه حل خاص پیدا کرد. معادله ناهمگن. معمولاً با انتخاب پیدا می شود. در سوالات زیر روش هایی را برای انتخاب راه حل خصوصی در نظر خواهیم گرفت.

2. روش تنوع

در عمل، استفاده از روش تغییر ثابت های دلخواه راحت است.

برای انجام این کار، ابتدا یک جواب کلی برای معادله همگن مربوطه به شکل زیر پیدا کنید:

سپس، قرار دادن ضرایب سی منتوابع از ایکس، یک راه حل برای معادله ناهمگن جستجو می شود:

می توان ثابت کرد که برای یافتن توابع سی من (ایکس) ما باید سیستم معادلات را حل کنیم:

مثال.معادله را حل کنید

حل معادله همگن خطی

جواب معادله ناهمگن به شکل زیر خواهد بود:

بیایید یک سیستم معادلات ایجاد کنیم:

بیایید این سیستم را حل کنیم:

از رابطه تابع را پیدا می کنیم اوه).

حالا پیدا می کنیم B(x).

مقادیر به دست آمده را با فرمول حل کلی معادله ناهمگن جایگزین می کنیم:

جواب نهایی:

به طور کلی، روش تغییر ثابت های دلخواه برای یافتن راه حل برای هر معادله ناهمگن خطی مناسب است. اما چون یافتن سیستم اساسی از راه حل های معادله همگن مربوطه می تواند کار بسیار دشواری باشد. این روش عمدتاً برای معادلات ناهمگن با ضرایب ثابت استفاده می شود.

3. معادلات با سمت راست یک فرم خاص

به نظر می رسد می توان نوع یک راه حل خاص را بسته به نوع سمت راست معادله ناهمگن تصور کرد.

موارد زیر متمایز می شوند:

I. سمت راست معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی به شکل زیر است:

که در آن چند جمله ای درجه است متر.

سپس یک راه حل خاص به شکل زیر جستجو می شود:

اینجا س(ایکس) - چند جمله ای با همان درجه پ(ایکس) ، بینی ضرایب نامشخص، آ r- عددی که نشان می دهد چند برابر عدد  ریشه معادله مشخصه معادله دیفرانسیل همگن خطی مربوطه است.

مثال.معادله را حل کنید
.

اجازه دهید معادله همگن مربوطه را حل کنیم:

حال بیایید یک راه حل خاص برای معادله ناهمگن اصلی پیدا کنیم.

بیایید سمت راست معادله را با شکل سمت راست مورد بحث در بالا مقایسه کنیم.

ما به دنبال یک راه حل خاص در این شکل هستیم:
، جایی که

آن ها

حالا بیایید ضرایب مجهول را تعیین کنیم آو که در.

اجازه دهید راه حل خاص را به شکل کلی با معادله دیفرانسیل ناهمگن اصلی جایگزین کنیم.

راه حل کل، خصوصی:

سپس جواب کلی یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی به صورت زیر است:

II. سمت راست معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی به شکل زیر است:

اینجا آر 1 (ایکس)و آر 2 (ایکس)- چند جمله ای های درجه متر 1 و متر 2 به ترتیب.

سپس یک راه حل خاص برای معادله ناهمگن به شکل زیر خواهد بود:

شماره کجاست rچند برابر یک عدد را نشان می دهد
ریشه معادله مشخصه معادله همگن مربوطه است و س 1 (ایکس) و س 2 (ایکس) - چند جمله‌ای درجه‌ای که بیشتر از آن نباشد متر، جایی که متر- بزرگترین درجه متر 1 و متر 2 .

جدول خلاصه انواع راه حل های خصوصی

برای انواع مختلف سمت راست

	سمت راست معادله دیفرانسیل	معادله مشخصه	انواع خصوصی
		1. عدد ریشه معادله مشخصه نیست
		2. عدد ریشه معادله مشخصه کثرت است
		1. شماره ریشه معادله مشخصه نیست
		2. شماره ریشه معادله مشخصه کثرت است
		1. اعداد
		2. اعداد ریشه های معادله مشخصه کثرت هستند
		1. اعداد ریشه های معادله تعدد مشخصه نیستند
		2. اعداد ریشه های معادله مشخصه کثرت هستند

توجه داشته باشید که اگر سمت راست معادله ترکیبی از عباراتی از نوع در نظر گرفته شده در بالا باشد، آنگاه راه حل به صورت ترکیبی از جواب های معادلات کمکی است که هر کدام سمت راستی مطابق با عبارت موجود دارند. در ترکیب

آن ها اگر معادله باشد:
، سپس یک راه حل خاص برای این معادله خواهد بود
جایی که در 1 و در 2 - راه حل های خاص معادلات کمکی

و

برای توضیح، بیایید مثال بالا را به روش دیگری حل کنیم.

مثال.معادله را حل کنید

اجازه دهید سمت راست معادله دیفرانسیل را به صورت مجموع دو تابع نشان دهیم f 1 (ایکس) + f 2 (ایکس) = ایکس + (- گناه ایکس).

بیایید معادله مشخصه را بسازیم و حل کنیم:

می گیریم: یعنی.

جمع:

آن ها راه حل خاص مورد نیاز به شکل زیر است:

حل کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن:

بیایید به نمونه هایی از کاربرد روش های توصیف شده نگاه کنیم.

مثال 1..معادله را حل کنید

اجازه دهید یک معادله مشخصه برای معادله دیفرانسیل همگن خطی مربوطه بسازیم:

اکنون یک راه حل خاص برای معادله ناهمگن به شکل زیر پیدا می کنیم:

از روش ضرایب نامشخص استفاده می کنیم.

با جایگزینی معادله اصلی، دریافت می کنیم:

یک راه حل خاص به شکل زیر است:

حل کلی معادله ناهمگن خطی:

مثال.معادله را حل کنید

معادله مشخصه:

حل کلی معادله همگن:

حل خاص معادله ناهمگن:
.

مشتقات را پیدا کرده و آنها را در معادله ناهمگن اصلی جایگزین می کنیم:

ما یک راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل ناهمگن به دست می آوریم:

مبانی حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن خطی (LNDE-2) با ضرایب ثابت (PC)

یک LDDE مرتبه دوم با ضرایب ثابت $p$ و $q$ به شکل $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$، جایی که $f\left(x است. \right)$ یک تابع پیوسته است.

در مورد LNDU 2 با PC، دو عبارت زیر درست است.

فرض کنید برخی از تابع $U$ یک راه حل جزئی دلخواه یک معادله دیفرانسیل ناهمگن است. اجازه دهید همچنین فرض کنیم که برخی از تابع $Y$ جواب کلی (GS) معادله دیفرانسیل همگن خطی مربوطه (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ است. سپس GR از LHDE-2 برابر است با مجموع راه حل های خصوصی و عمومی نشان داده شده، یعنی $y=U+Y$.

اگر سمت راست یک LMDE مرتبه دوم مجموع توابع باشد، یعنی $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$، سپس ابتدا می توانیم PD های $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ را پیدا کنیم. به هر یک از توابع $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ و بعد از آن CR LNDU-2 را به شکل $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ بنویسید.

راه حل LPDE مرتبه دوم با کامپیوتر

واضح است که نوع PD $U$ یک LNDU-2 معین به شکل خاص سمت راست آن $f\left(x\right)$ بستگی دارد. ساده ترین موارد جستجوی PD LNDU-2 در قالب چهار قانون زیر فرموله شده است.

قانون شماره 1.

سمت راست LNDU-2 به شکل $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ است که $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $، یعنی a نامیده می شود چند جمله ای درجه $n$. سپس PD $U$ آن به شکل $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ جستجو می شود که $Q_(n) \left(x\right)$ دیگری است. چند جمله ای به همان درجه $P_(n) \left(x\right)$ و $r$ تعداد ریشه ها است معادله مشخصهمربوط به LOD-2، برابر با صفر است. ضرایب چند جمله ای $Q_(n) \left(x\right)$ با روش ضرایب نامعین (UK) پیدا می شود.

قانون شماره 2.

سمت راست LNDU-2 به شکل $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ است که در آن $P_(n) \left(x\right)$ یک چند جمله ای درجه $n$ است. سپس PD $U$ آن به شکل $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ جستجو می‌شود، جایی که $Q_(n ) \ left(x\right)$ چند جمله‌ای دیگر با همان درجه $P_(n) \left(x\right)$ است و $r$ تعداد ریشه‌های معادله مشخصه LODE-2 مربوطه است. برابر با $\alpha $. ضرایب چند جمله ای $Q_(n) \left(x\right)$ با روش NC پیدا می شود.

قانون شماره 3.

سمت راست LNDU-2 به شکل $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x است. \right) $، که در آن $a$، $b$ و $\beta$ هستند اعداد شناخته شده. سپس PD $U$ آن به شکل $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) جستجو می‌شود. \right )\cdot x^(r) $، که در آن $A$ و $B$ ضرایب مجهول هستند، و $r$ تعداد ریشه های معادله مشخصه LODE-2 مربوطه، برابر با $i\cdot است. \بتا $. ضرایب $A$ و $B$ با استفاده از روش غیر مخرب یافت می شوند.

قانون شماره 4.

سمت راست LNDU-2 به شکل $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ است که $P_(n) \left(x\right)$ است. یک چند جمله ای درجه $ n$، و $P_(m) \left(x\right)$ یک چند جمله ای درجه $m$ است. سپس PD $U$ آن به شکل $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $، جایی که $Q_(s) \left(x\right)$ جستجو می‌شود. و $ R_(s) \left(x\right)$ چند جمله ای درجه $s$ هستند، عدد $s$ حداکثر دو عدد $n$ و $m$ است و $r$ تعداد ریشه ها است. معادله مشخصه LODE-2 مربوطه، برابر با $\alpha +i\cdot \beta $. ضرایب چند جمله‌ای $Q_(s) \left(x\right)$ و $R_(s) \left(x\right)$ با روش NC پیدا می‌شوند.

روش NK شامل اعمال قانون زیر است. برای یافتن ضرایب مجهول چند جمله ای که بخشی از حل جزئی معادله دیفرانسیل ناهمگن LNDU-2 هستند، لازم است:

• PD $U$ را که به شکل کلی نوشته شده است را جایگزین کنید سمت چپ LNDU-2;
• در سمت چپ LNDU-2، ساده‌سازی‌ها را انجام دهید و اصطلاحات را با همان قدرت‌های $x$ گروه‌بندی کنید.
• در هویت به دست آمده، ضرایب عبارت ها را با قدرت های یکسان $x$ سمت چپ و راست برابر کنید.
• سیستم حاصل را حل کنید معادلات خطینسبت به ضرایب نامعلوم

مثال 1

وظیفه: پیدا کردن OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. همچنین PD را پیدا کنید با شرایط اولیه $y=6$ برای $x=0$ و $y"=1$ برای $x=0$.

LOD-2 مربوطه را یادداشت می کنیم: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

معادله مشخصه: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. ریشه های معادله مشخصه: $k_(1) =-3$، $k_(2) =6$. این ریشه ها معتبر و متمایز هستند. بنابراین، OR مربوط به LODE-2 شکل دارد: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

سمت راست این LNDU-2 به شکل $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ است. در نظر گرفتن ضریب توان $\alpha =3$ ضروری است. این ضریب با هیچ یک از ریشه های معادله مشخصه منطبق نیست. بنابراین، PD این LNDU-2 به شکل $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ است.

ضرایب $A$, $B$ را با استفاده از روش NC جستجو می کنیم.

اولین مشتق جمهوری چک را پیدا می کنیم:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \راست)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

مشتق دوم جمهوری چک را پیدا می کنیم:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ما توابع $U""$، $U"$ و $U$ را به جای $y""$، $y"$ و $y$ در NLDE-2 $y""-3\cdot y" جایگزین می کنیم. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $). در تمام مولفه ها، می توان آن را حذف کرد:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

اعمال را در سمت چپ برابری حاصل انجام می دهیم:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

ما از روش NDT استفاده می کنیم. ما یک سیستم معادلات خطی با دو مجهول به دست می آوریم:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

راه حل این سیستم این است: $A=-2$، $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ برای مشکل ما به این شکل است: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ برای مشکل ما به این صورت است: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

برای پیدا کردن یک PD که شرایط اولیه داده شده را برآورده می کند، مشتق $y"$ OP را پیدا می کنیم:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

شرایط اولیه $y=6$ را برای $x=0$ و $y"=1$ را برای $x=0$ با $y$ و $y"$ جایگزین می کنیم:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

ما یک سیستم معادلات دریافت کردیم:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

حلش کنیم ما $C_(1) $ را با استفاده از فرمول Cramer پیدا می کنیم و $C_(2) $ را از معادله اول تعیین می کنیم:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

بنابراین، PD این معادله دیفرانسیل شکل دارد: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن با ضرایب ثابت

ساختار راه حل کلی یک معادله ناهمگن خطی از این نوع به شکل زیر است: جایی که پ, q- اعداد ثابت (که می توانند واقعی یا مختلط باشند). برای هر یک از این معادله ها می توانیم معادله مربوطه را بنویسیم معادله همگن: قضیه: جواب کلی یک معادله ناهمگن حاصل جمع جواب کلی است y 0 (ایکس) معادله همگن مربوطه و راه حل خاص y 1 (ایکسمعادله ناهمگن: در زیر دو روش برای حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن را در نظر خواهیم گرفت. روش تغییر ثابت ها اگر راه حل کلی y 0 معادله همگن مرتبط شناخته شده است، سپس جواب کلی معادله ناهمگن را می توان با استفاده از روش تغییرات ثابت. حل کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن به شکل زیر باشد: به جای دائمی سی 1 و سی 2 ما توابع کمکی را در نظر خواهیم گرفت سی 1 (ایکس) و سی 2 (ایکس). ما به دنبال این توابع خواهیم بود تا راه حل معادله ناهمگن را با سمت راست ارضا کرد f(ایکس). توابع ناشناخته سی 1 (ایکس) و سی 2 (ایکس) از یک سیستم دو معادله تعیین می شود: روش ضریب نامشخص قسمت سمت راست f(ایکس) یک معادله دیفرانسیل ناهمگن اغلب یک تابع چند جمله ای، نمایی یا مثلثاتی یا ترکیبی از این توابع است. در این مورد، جستجوی راه حل با استفاده از آن راحت تر است روش ضرایب نامشخص. بیایید تاکید کنیم این روشفقط برای یک کلاس محدود از توابع در سمت راست کار می کند، مانند در هر دو مورد، انتخاب یک راه حل خاص باید با ساختار سمت راست معادله دیفرانسیل ناهمگن مطابقت داشته باشد. در مورد 1، اگر شماره α V تابع نماییبا ریشه معادله مشخصه منطبق است، سپس راه حل خاص حاوی یک عامل اضافی خواهد بود ایکس س، جایی که س- تعدد ریشه α در معادله مشخصه در مورد 2 اگر شماره α + βiبا ریشه معادله مشخصه منطبق است، سپس عبارت برای راه حل خاص حاوی یک عامل اضافی خواهد بود ایکس. ضرایب ناشناخته را می توان با جایگزین کردن عبارت یافت شده برای یک راه حل خاص در معادله دیفرانسیل ناهمگن اصلی تعیین کرد. اصل برهم نهی اگر سمت راست معادله ناهمگن باشد میزانچندین عملکرد فرم سپس یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل نیز مجموع جواب های جزئی خواهد بود که به طور جداگانه برای هر جمله در سمت راست ساخته شده است.

مثال 1

حل معادله دیفرانسیل y"" + y= گناه (2 ایکس). راه حل. ابتدا معادله همگن مربوطه را حل می کنیم y"" + y= 0.V در این موردریشه های معادله مشخصه کاملاً تخیلی هستند: در نتیجه، حل کلی معادله همگن با بیان داده می شود بیایید دوباره به معادله ناهمگن برگردیم. راه حل آن را در فرم جستجو خواهیم کرد با استفاده از روش تغییرات ثابت کارکرد سی 1 (ایکس) و سی 2 (ایکس) را می توان از سیستم بعدیمعادلات: بیایید مشتق را بیان کنیم سی 1 " (ایکس) از معادله اول: با جایگزینی معادله دوم، مشتق را پیدا می کنیم سی 2 " (ایکس): نتیجه می شود که ادغام عبارات برای مشتقات سی 1 " (ایکس) و سی 2 " (ایکس)، ما گرفتیم: جایی که آ 1 , آ 2 - ثابت های ادغام حالا بیایید توابع یافت شده را جایگزین کنیم سی 1 (ایکس) و سی 2 (ایکس) در فرمول برای y 1 (ایکس) و جواب کلی معادله ناهمگن را بنویسید:

مثال 2

جواب کلی معادله را پیدا کنید y"" + y" −6y = 36ایکس. راه حل. از روش ضرایب نامشخص استفاده می کنیم. سمت راست معادله داده شده است تابع خطی f(ایکس)= تبر + ب. بنابراین، ما به دنبال یک راه حل خاص در فرم خواهیم بود مشتقات برابر هستند: با جایگزینی این معادله به معادله دیفرانسیل، دریافت می کنیم: آخرین معادله یک هویت است، یعنی برای همه معتبر است ایکس، بنابراین ضرایب ترم ها را با درجات یکسان برابر می کنیم ایکسدر سمت چپ و راست: از سیستم به دست آمده در می یابیم: آ = −6, ب= -1. در نتیجه، راه حل خاص در فرم نوشته می شود حال بیایید جواب کلی معادله دیفرانسیل همگن را پیدا کنیم. اجازه دهید ریشه های معادله مشخصه کمکی را محاسبه کنیم: بنابراین، جواب کلی معادله همگن مربوطه به شکل زیر است: بنابراین، جواب کلی معادله ناهمگن اصلی با فرمول بیان می شود

انتگرال عمومی DE.

حل معادله دیفرانسیل

اما جالب‌ترین چیز این است که پاسخ از قبل مشخص شده است: به عبارت دقیق‌تر، باید یک ثابت نیز اضافه کنیم: انتگرال کلی یک راه حل برای معادله دیفرانسیل است.

روش تغییر ثابت های دلخواه نمونه هایی از راه حل ها

برای حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن از روش تغییر ثابت های دلخواه استفاده می شود. این درس برای آن دسته از دانش آموزانی در نظر گرفته شده است که در حال حاضر کم و بیش به این موضوع مسلط هستند. اگر تازه شروع به آشنایی با کنترل از راه دور کرده اید، یعنی. اگر اهل قوری هستید، توصیه می کنم از درس اول شروع کنید: معادلات دیفرانسیل مرتبه اول نمونه هایی از راه حل ها. و اگر در حال اتمام هستید، لطفاً این پیش فرض احتمالی را که روش دشوار است، کنار بگذارید. چون ساده است.

در چه مواردی از روش تغییرات ثابت دلخواه استفاده می شود؟

1) برای حل می توان از روش تغییر یک ثابت دلخواه استفاده کرد خطی ناهمگن DE از مرتبه 1. از آنجایی که معادله مرتبه اول است، پس ثابت نیز یک است.

2) از روش تغییر ثابت های دلخواه برای حل برخی استفاده می شود معادلات مرتبه دوم ناهمگن خطی. در اینجا دو ثابت متفاوت است.

منطقی است که فرض کنیم درس شامل دو پاراگراف باشد... بنابراین من این جمله را نوشتم و حدود 10 دقیقه به طرز دردناکی به این فکر می کردم که چه مزخرفات هوشمندانه دیگری را می توانم برای انتقال آرام به مثال های عملی اضافه کنم. اما به دلایلی بعد از تعطیلات هیچ فکری نمی کنم، اگرچه به نظر نمی رسد از چیزی سوء استفاده کرده باشم. بنابراین، بیایید مستقیماً به پاراگراف اول برویم.

روش تغییر یک ثابت دلخواه برای یک معادله ناهمگن خطی مرتبه اول

قبل از در نظر گرفتن روش تغییر یک ثابت دلخواه، توصیه می شود با مقاله آشنا شوید معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول. در آن درس تمرین کردیم راه حل اولناهمگن درجه 1 DE. این اولین راه حل، یادآوری می کنم، نام دارد روش جایگزینییا روش برنولی(با آن اشتباه نشود معادله برنولی!!!)

اکنون نگاه خواهیم کرد راه حل دوم- روش تغییر یک ثابت دلخواه. من فقط سه مثال می زنم و آنها را از درس فوق می گیرم. چرا اینقدر کم؟ زیرا در واقع راه حل در راه دوم بسیار شبیه به راه حل در راه اول خواهد بود. علاوه بر این، با توجه به مشاهدات من، روش تغییر ثابت های دلخواه کمتر از روش جایگزینی استفاده می شود.

مثال 1

جواب کلی معادله دیفرانسیل را بیابید (از مثال شماره 2 درس معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه 1)

راه حل:این معادله خطی ناهمگن است و شکلی آشنا دارد:

در مرحله اول، حل یک معادله ساده تر ضروری است: یعنی ما احمقانه سمت راست را صفر می کنیم - به جای آن صفر بنویسیم. من معادله را صدا می زنم معادله کمکی.

در این مثال باید معادله کمکی زیر را حل کنید:

قبل از ما معادله قابل تفکیک، که راه حل آن (امیدوارم) دیگر برای شما سخت نباشد:

بنابراین: – حل کلی معادله کمکی.

در پله دوم جایگزین خواهیم کردمقداری ثابت در حال حاضرتابع ناشناخته که به "x" بستگی دارد:

از این رو نام روش - ما ثابت را تغییر می دهیم. از طرف دیگر، ثابت می تواند تابعی باشد که اکنون باید آن را پیدا کنیم.

که در اصلیدر معادله ناهمگن جایگزین می کنیم:

بیایید معادله را جایگزین کنیم:

نقطه کنترل - دو عبارت سمت چپ لغو می شود. اگر این اتفاق نیفتاد، باید به دنبال خطای بالا بگردید.

در نتیجه جایگزینی، معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک به دست آمد. متغیرها را جدا کرده و ادغام می کنیم.

چه برکتی است که شارحان نیز لغو می کنند:

یک ثابت "عادی" را به تابع یافت شده اضافه می کنیم:

در مرحله نهایی، ما در مورد جایگزین خود به یاد می آوریم:

تابع به تازگی پیدا شده است!

بنابراین راه حل کلی این است:

پاسخ:تصمیم مشترک:

اگر دو راه حل را چاپ کنید، به راحتی متوجه خواهید شد که در هر دو مورد ما انتگرال های یکسانی پیدا کردیم. تنها تفاوت در الگوریتم حل است.

حالا برای چیز پیچیده تر، در مورد مثال دوم نیز نظر خواهم داد:

مثال 2

جواب کلی معادله دیفرانسیل را بیابید (تفاوت از مثال شماره 8 درس معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه 1)

راه حل:بیایید معادله را به شکل زیر در بیاوریم:

بیایید سمت راست را تنظیم مجدد کنیم و معادله کمکی را حل کنیم:

متغیرها را جدا می کنیم و ادغام می کنیم: جواب کلی معادله کمکی:

در معادله ناهمگن جایگزین می کنیم:

طبق قانون تمایز محصول:

اجازه دهید معادله ناهمگن اصلی را جایگزین کنیم:

دو عبارت در سمت چپ لغو می شوند، به این معنی که ما در مسیر درست هستیم:

بیایید با قطعات ادغام کنیم. حرف خوشمزه حاصل از ادغام با فرمول قطعات قبلاً در راه حل دخیل است ، بنابراین برای مثال از حروف "a" و "be" استفاده می کنیم:

در نهایت:

حالا بیایید جایگزین را به یاد بیاوریم:

پاسخ:تصمیم مشترک:

روش تغییر ثابت های دلخواه برای یک معادله خطی ناهمگن مرتبه دوم با ضرایب ثابت

من اغلب این عقیده را شنیده ام که روش تغییر دادن ثابت های دلخواه برای یک معادله مرتبه دوم کار آسانی نیست. اما من موارد زیر را فرض می کنم: به احتمال زیاد، این روش برای بسیاری دشوار به نظر می رسد زیرا اغلب اتفاق نمی افتد. اما در واقعیت هیچ مشکل خاصی وجود ندارد - مسیر تصمیم روشن، شفاف و قابل درک است. و زیبا.

برای تسلط بر روش، مطلوب است که بتوان با انتخاب یک راه حل خاص بر اساس فرم سمت راست، معادلات مرتبه دوم ناهمگن را حل کرد. این روشبه طور مفصل در مقاله مورد بحث قرار گرفته است DEهای مرتبه دوم ناهمگن. به یاد می آوریم که یک معادله ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت به شکل زیر است:

روش انتخاب، که در درس بالا مورد بحث قرار گرفت، تنها در موارد محدودی کار می کند که سمت راست شامل چند جمله ای، نمایی، سینوس و کسینوس باشد. اما وقتی در سمت راست، مثلاً کسری، لگاریتم، مماس است، چه باید کرد؟ در چنین شرایطی، روش تغییر ثابت ها به کمک می آید.

مثال 4

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را پیدا کنید

راه حل:کسری در سمت راست این معادله وجود دارد، بنابراین می توان بلافاصله گفت که روش انتخاب یک راه حل خاص کار نمی کند. ما از روش تغییر ثابت های دلخواه استفاده می کنیم.

هیچ نشانه ای از رعد و برق وجود ندارد، شروع راه حل کاملاً معمولی است:

پیدا خواهیم کرد تصمیم مشترکمناسب همگنمعادلات:

بیایید معادله مشخصه را بسازیم و حل کنیم: - ریشه های پیچیده مزدوج به دست می آید، بنابراین راه حل کلی این است:

به رکورد راه حل کلی توجه کنید - اگر پرانتز وجود دارد، آنها را باز کنید.

اکنون تقریباً همان ترفند معادله مرتبه اول را انجام می دهیم: ثابت ها را تغییر می دهیم و آنها را با توابع ناشناخته جایگزین می کنیم. به این معنا که، راه حل کلی ناهمگنما به دنبال معادلات به شکل زیر خواهیم بود:

جایی که - در حال حاضرتوابع ناشناخته

شبیه محل دفن زباله است زباله خانگی، اما اکنون همه چیز را مرتب خواهیم کرد.

مجهولات مشتقات توابع هستند. هدف ما یافتن مشتقات است و مشتقات یافت شده باید هر دو معادله اول و دوم سیستم را برآورده کنند.

"یونانی ها" از کجا می آیند؟ لک لک آنها را می آورد. ما به راه حل کلی که قبلاً به دست آمده نگاه می کنیم و می نویسیم:

بیایید مشتقات را پیدا کنیم:

قسمت های سمت چپ پرداخته شده است. سمت راست چیه؟

- این سمت راست است معادله اصلی، در این مورد:

این مقاله به حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن خطی با ضرایب ثابت می پردازد. این نظریه همراه با مثال هایی از مسائل داده شده مورد بحث قرار خواهد گرفت. برای رمزگشایی اصطلاحات نامشخص، باید به مبحثی در مورد تعاریف و مفاهیم اساسی نظریه معادلات دیفرانسیل اشاره کرد.

بیایید یک معادله دیفرانسیل خطی (LDE) مرتبه دوم با ضرایب ثابت به شکل y "" + p · y " + q · y = f (x) در نظر بگیریم، که در آن p و q اعداد دلخواه هستند، و تابع موجود f (x) در بازه ادغام x پیوسته است.

اجازه دهید به فرمول‌بندی قضیه برای حل کلی LNDE برویم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

قضیه حل کلی برای LDNU

قضیه 1

یک راه حل کلی، واقع در بازه x، از یک معادله دیفرانسیل ناهمگن به شکل y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) با ضرایب ادغام پیوسته در بازه x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . ، f n - 1 (x) و عملکرد پیوسته f (x) برابر است با مجموع جواب کلی y 0، که مربوط به LOD و برخی از راه حل های خاص y ~ است، که در آن معادله ناهمگن اصلی y = y 0 + y ~ است.

این نشان می دهد که راه حل چنین معادله مرتبه دوم به شکل y = y 0 + y ~ است. الگوریتم برای یافتن y 0 در مقاله معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم همگن خطی با ضرایب ثابت مورد بحث قرار گرفته است. پس از آن باید به تعریف y ~ برویم.

انتخاب یک راه حل خاص برای LMDE به نوع تابع موجود f (x) که در سمت راست معادله قرار دارد بستگی دارد. برای این کار لازم است حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن خطی با ضرایب ثابت را جداگانه در نظر گرفت.

هنگامی که f (x) چند جمله ای از درجه n در نظر گرفته می شود f (x) = P n (x)، نتیجه می شود که یک راه حل خاص از LPDE با استفاده از فرمولی به شکل y ~ = Q n (x) پیدا می شود. ) x γ، که در آن Q n (x) چند جمله ای درجه n است، r تعداد ریشه های صفر معادله مشخصه است. مقدار y ~ یک راه حل خاص است y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) ، سپس ضرایب موجود که توسط چند جمله ای تعریف می شوند
Q n (x)، با استفاده از روش ضرایب نامشخص از برابری y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) در می یابیم.

مثال 1

با استفاده از قضیه کوشی y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 محاسبه کنید.

راه حل

به عبارت دیگر، لازم است به یک راه حل خاص از یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت y "" - 2 y" = x 2 + 1 برویم، که شرایط داده شده y (0) را برآورده می کند. = 2، y " (0) = 1 4.

جواب کلی یک معادله ناهمگن خطی مجموع جواب کلی است که مربوط به معادله y 0 یا یک راه حل خاص معادله ناهمگن y ~ است، یعنی y = y 0 + y ~.

ابتدا بیایید یک راه حل کلی برای LNDU و سپس یک راه حل خاص پیدا کنیم.

بیایید به سراغ یافتن y 0 برویم. نوشتن معادله مشخصه به شما کمک می کند تا ریشه ها را پیدا کنید. ما آن را دریافت می کنیم

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 ، k 2 = 2

ما متوجه شدیم که ریشه ها متفاوت و واقعی هستند. بنابراین، بیایید یادداشت کنیم

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

بیایید y را پیدا کنیم. می توان دید که سمت راست معادله داده شده چند جمله ای درجه دوم است، سپس یکی از ریشه ها برابر با صفر است. از این نتیجه می‌گیریم که یک راه‌حل خاص برای y ~ خواهد بود

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x، که در آن مقادیر A، B، C ضرایب نامشخصی می گیرند.

بیایید آنها را از یک برابری به شکل y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 پیدا کنیم.

سپس دریافت می کنیم که:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

با معادل سازی ضرایب با نماهای یکسان x، سیستمی از عبارات خطی به دست می آوریم - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. هنگام حل با هر یک از روش ها، ضرایب را پیدا کرده و می نویسیم: A = - 1 6، B = - 1 4، C = - 3 4 و y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

این ورودی حل کلی معادله دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن خطی اصلی با ضرایب ثابت نامیده می شود.

برای یافتن یک راه حل خاص که شرایط y (0) = 2، y "(0) = 1 4 را برآورده کند، لازم است مقادیر را تعیین کنیم. ج 1و ج 2، بر اساس یک برابری از شکل y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

دریافتیم که:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

ما با سیستم معادلات حاصل به شکل C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 کار می کنیم که در آن C 1 = 3 2، C 2 = 1 2.

با استفاده از قضیه کوشی، این را داریم

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

پاسخ: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

وقتی تابع f (x) به عنوان حاصل ضرب یک چند جمله ای با درجه n و توان f (x) = P n (x) · e a x نمایش داده می شود، آنگاه به دست می آوریم که یک راه حل خاص برای LPDE مرتبه دوم یک عدد خواهد بود. معادله شکل y ~ = e a x · Q n (x) x γ، که در آن Q n (x) چند جمله ای درجه n است و r تعداد ریشه های معادله مشخصه برابر با α است.

ضرایب متعلق به Q n (x) با برابری y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) یافت می شود.

مثال 2

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل به شکل y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x را پیدا کنید.

راه حل

معادله نمای کلی y = y 0 + y ~ . معادله نشان داده شده مطابق با LOD y "" - 2 y " = 0 است. از مثال قبلی می توان دریافت که ریشه های آن برابر است. k 1 = 0و k 2 = 2 و y 0 = C 1 + C 2 e 2 x توسط معادله مشخصه.

می توان دید که سمت راست معادله x 2 + 1 · e x است. از اینجا LPDE از طریق y ~ = e a x · Q n (x) · x γ پیدا می شود، که در آن Q n (x) چند جمله ای درجه دوم است، که α = 1 و r = 0 است، زیرا معادله مشخصه اینطور نیست ریشه ای برابر با 1 داشته باشد. از اینجا به آن می رسیم

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A، B، C ضرایب ناشناخته ای هستند که می توان آنها را با برابری y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x یافت.

گرفتش

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

شاخص ها را با همان ضرایب برابر می کنیم و یک سیستم معادلات خطی به دست می آوریم. از اینجا ما A، B، C را پیدا می کنیم:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

پاسخ:واضح است که y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 راه حل خاصی از LNDDE است و y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - یک راه حل کلی برای یک معادله dif ناهمگن مرتبه دوم.

وقتی تابع به صورت f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x نوشته شود، و الف 1و در 1اعداد هستند، سپس یک جواب جزئی از LPDE معادله ای به شکل y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ در نظر گرفته می شود، که در آن A و B ضرایب نامشخص در نظر گرفته می شوند و r تعداد ریشه های مزدوج پیچیده مربوط به معادله مشخصه، برابر ± i β است. در این مورد، جستجوی ضرایب با استفاده از برابری y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) انجام می شود.

مثال 3

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل به شکل y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) را پیدا کنید.

راه حل

قبل از نوشتن معادله مشخصه، y 0 را پیدا می کنیم. سپس

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i ، k 2 = - 2 i

ما یک جفت ریشه مزدوج پیچیده داریم. بیایید تبدیل کنیم و دریافت کنیم:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

ریشه های معادله مشخصه جفت مزدوج ± 2 i، سپس f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) در نظر گرفته می شود. این نشان می دهد که جستجوی y ~ از y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. ناشناخته ها انجام می شود. ما به دنبال ضرایب A و B از یک برابری به شکل y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) خواهیم بود.

تبدیل کنیم:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

بعد معلوم می شود که

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

لازم است ضرایب سینوس ها و کسینوس ها را برابر کنیم. ما یک سیستم از فرم را دریافت می کنیم:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

نتیجه می شود که y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

پاسخ:راه حل کلی LDDE مرتبه دوم اصلی با ضرایب ثابت در نظر گرفته شده است

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

وقتی f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x)، آنگاه y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ داریم که r تعداد جفت‌های مزدوج پیچیده مربوط به معادله مشخصه است، برابر α ± i β، که در آن P n (x)، Q k (x) است. L m (x) و Nm(x)چند جمله ای درجه n، k، m، m هستند که در آن m = m a x (n، k). یافتن ضرایب Lm(x)و Nm(x)بر اساس برابری y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ساخته شده است.

مثال 4

جواب کلی y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) را بیابید.

راه حل

با توجه به شرط مشخص است که

α = 3، β = 5، P n (x) = - 38 x - 45، Q k (x) = - 8 x + 5، n = 1، k = 1

سپس m = m a x (n، k) = 1. y 0 را با نوشتن یک معادله مشخصه از شکل:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 ، k 2 = 3 + 1 2 = 2

ما دریافتیم که ریشه ها واقعی و متمایز هستند. از این رو y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. در مرحله بعد، باید به دنبال یک راه حل کلی بر اساس معادله ناهمگن y ~ شکل بود.

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

مشخص است که A، B، C ضرایب، r = 0 هستند، زیرا هیچ جفت ریشه مزدوج مربوط به معادله مشخصه با α ± i β = 3 ± 5 · i وجود ندارد. این ضرایب را از برابری حاصل می‌یابیم:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

پیدا کردن مشتق و اصطلاحات مشابه را می دهد

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · گناه (5 x) + 45 · گناه (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

پس از معادل سازی ضرایب، سیستمی از فرم را به دست می آوریم

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

از همه چیز بر می آید که

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) گناه (5 x))

پاسخ:اکنون یک جواب کلی برای معادله خطی داده شده به دست آورده ایم:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

الگوریتم برای حل LDNU

تعریف 1

هر نوع دیگری از تابع f (x) برای حل نیاز به انطباق با الگوریتم حل دارد:

• یافتن یک راه حل کلی برای معادله همگن خطی مربوطه، که در آن y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 y 1و y 2راه حل های جزئی مستقل خطی LODE هستند، ج 1و ج 2ثابت دلخواه در نظر گرفته می شوند.
• پذیرش به عنوان یک راه حل کلی از LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 .
• تعیین مشتقات یک تابع از طریق سیستمی به شکل C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2" (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1" (x) ) + C 2 " (x) · y 2" (x) = f (x) و یافتن توابع C 1 (x)و C 2 (x) از طریق ادغام.

مثال 5

جواب کلی را برای y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x پیدا کنید.

راه حل

ما به نوشتن معادله مشخصه ادامه می دهیم، که قبلاً y 0، y "" + 36 y = 0 نوشته بودیم. بیایید بنویسیم و حل کنیم:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = گناه (6 x)

داریم که جواب کلی معادله داده شده به صورت y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) نوشته می شود. لازم است به سراغ تعریف توابع مشتق برویم C 1 (x)و C2 (x)بر اساس یک سیستم با معادلات:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2" (x) · sin (6 x) = 0 C 1" (x) · (cos (6 x)) " + C 2" (x) · (سین (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 اینچ (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

باید در مورد آن تصمیم گیری شود C 1" (x)و C 2" (x)با استفاده از هر روشی سپس می نویسیم:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2" (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

هر یک از معادلات باید یکپارچه شوند. سپس معادلات حاصل را می نویسیم:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

نتیجه این است که راه حل کلی به شکل زیر خواهد بود:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

پاسخ: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید