صفحه اصلی حفره دهان جواب کلی را پیدا کرده و بر حسب fsr بنویسید. راه حل کلی سیستم و fsr را پیدا کنید

حفره دهان

جواب کلی را پیدا کرده و بر حسب fsr بنویسید. راه حل کلی سیستم و fsr را پیدا کنید

سیستم همگن معادلات خطیبر فراز میدان

تعریف. یک سیستم اساسی از راه حل های یک سیستم معادلات (1) یک سیستم مستقل خطی غیر خالی از جواب های آن است که گستره خطی آن با مجموعه همه راه حل های سیستم (1) منطبق است.

توجه داشته باشید که یک سیستم همگن از معادلات خطی که فقط یک جواب صفر دارد، سیستم اساسی از راه حل ها ندارد.

پیشنهاد 3.11. هر دو سیستم اساسی از راه حل های یک سیستم همگن معادلات خطی از همان تعداد جواب تشکیل شده است.

اثبات در واقع، هر دو سیستم اساسی از راه حل های سیستم همگن معادلات (1) معادل و مستقل هستند. بنابراین، با گزاره 1.12، رتبه های آنها برابر است. بنابراین، تعداد راه حل های موجود در یک سیستم بنیادی، برابر است با تعداد راه حل های موجود در هر سیستم اساسی دیگر از راه حل ها.

اگر ماتریس اصلی A سیستم همگن معادلات (1) صفر باشد، هر بردار از یک راه حل برای سیستم (1) است. در این حالت، هر مجموعه ای خطی است بردارهای مستقلاز یک سیستم اساسی از راه حل است. اگر رتبه ستون ماتریس A برابر باشد، سیستم (1) تنها یک راه حل دارد - صفر. بنابراین، در این حالت، سیستم معادلات (1) دارای یک سیستم اساسی از راه حل ها نیست.

قضیه 3.12. اگر رتبه ماتریس اصلی یک سیستم همگن معادلات خطی (1) کمتر از تعداد متغیرها باشد، سیستم (1) دارای یک سیستم راه حل اساسی متشکل از راه حل ها است.

اثبات اگر رتبه ماتریس اصلی A سیستم همگن (1) برابر با صفر یا برابر باشد، در بالا نشان داده شد که قضیه صادق است. بنابراین، در زیر فرض می‌کنیم که با فرض، ستون‌های اول ماتریس A به صورت خطی مستقل هستند. در این حالت، ماتریس A به صورت ردیفی معادل ماتریس گام به گام کاهش یافته است و سیستم (1) معادل سیستم معادلات گام به گام کاهش یافته زیر است:

بررسی اینکه هر سیستمی دارای مقادیر آزاد است آسان است متغیرهای سیستم(2) مربوط به یک و تنها یک راه حل برای سیستم (2) و بنابراین به سیستم (1) است. به طور خاص، تنها راه حل صفر سیستم (2) و سیستم (1) مربوط به سیستمی با مقادیر صفر است.

در سیستم (2) یکی از رایگان ها را اختصاص می دهیم مقدار متغیرها، برابر با 1 است و متغیرهای باقیمانده دارای مقادیر صفر هستند. در نتیجه راه حل هایی برای سیستم معادلات (2) به دست می آوریم که آنها را به صورت ردیف هایی از ماتریس C زیر می نویسیم:

سیستم ردیف این ماتریس به صورت خطی مستقل است. در واقع، برای هر مقیاس از برابری

برابری به دنبال دارد

و در نتیجه برابری

اجازه دهید ثابت کنیم که دهانه خطی سیستم ردیف های ماتریس C با مجموعه همه راه حل های سیستم (1) منطبق است.

راه حل خودسرانه سیستم (1). سپس بردار

همچنین راه حلی برای سیستم (1) و

شما می توانید یک راه حل دقیق برای مشکل خود سفارش دهید!!!

تا بفهمی چیه سیستم تصمیم گیری اساسیبا کلیک کردن بر روی آن می توانید یک فیلم آموزشی برای همان مثال مشاهده کنید. حال به توضیح کل می پردازیم کار لازم. این به شما کمک می کند تا ماهیت این موضوع را با جزئیات بیشتری درک کنید.

چگونه می توان سیستم اساسی راه حل های یک معادله خطی را پیدا کرد؟

بیایید به عنوان مثال سیستم معادلات خطی زیر را در نظر بگیریم:

بیایید راه حل این سیستم خطی معادلات را پیدا کنیم. برای شروع، ما شما باید ماتریس ضرایب سیستم را بنویسید.

بیایید این ماتریس را به یک ماتریس مثلثی تبدیل کنیم.سطر اول را بدون تغییر بازنویسی می کنیم. و تمام عناصری که زیر $a_(11)$ هستند باید صفر شوند. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(21)$، باید اولی را از خط دوم کم کنید و تفاوت را در خط دوم بنویسید. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(31)$، باید اولی را از خط سوم کم کنید و تفاوت را در خط سوم بنویسید. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(41)$، باید اولین ضرب در 2 را از خط چهارم کم کنید و تفاوت را در خط چهارم بنویسید. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(31)$، باید اولین ضرب در 2 را از خط پنجم کم کنید و تفاوت را در خط پنجم بنویسید.

سطر اول و دوم را بدون تغییر بازنویسی می کنیم. و تمام عناصری که زیر $a_(22)$ هستند باید صفر شوند. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(32)$، باید عدد دوم ضرب در 2 را از خط سوم کم کنید و تفاوت را در خط سوم بنویسید. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(42)$، باید عدد دوم ضرب در 2 را از خط چهارم کم کنید و تفاوت را در خط چهارم بنویسید. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(52)$، باید عدد دوم ضرب در 3 را از خط پنجم کم کنید و تفاوت را در خط پنجم بنویسید.

ما آن را می بینیم سه خط آخر یکسان است، پس اگر سومی را از چهارم و پنجم کم کنید، صفر می شوند.

با توجه به این ماتریس بنویس سیستم جدیدمعادلات.

می بینیم که ما فقط سه معادله خطی مستقل و پنج مجهول داریم، بنابراین سیستم اساسی راه حل ها از دو بردار تشکیل می شود. پس ما ما باید دو مجهول آخر را به سمت راست منتقل کنیم.

اکنون، شروع به بیان مجهولاتی می کنیم که در سمت چپ هستند از طریق مجهولاتی که در سمت راست هستند. با آخرین معادله شروع می کنیم، ابتدا $x_3$ را بیان می کنیم، سپس نتیجه حاصل را جایگزین معادله دوم می کنیم و $x_2$ را بیان می کنیم و سپس در معادله اول و در اینجا $x_1$ را بیان می کنیم. بنابراین، ما تمام مجهولاتی را که در سمت چپ قرار دارند از طریق مجهولاتی که در سمت راست هستند بیان کردیم.

سپس، به جای $x_4$ و $x_5$، می‌توانیم هر عددی را جایگزین کنیم و $x_1$، $x_2$ و $x_3$ را پیدا کنیم. هر پنج عدد از این اعداد ریشه های سیستم اصلی معادلات ما خواهند بود. برای پیدا کردن بردارهایی که در FSRباید 1 را به جای $x_4$، و 0 را به جای $x_5$ جایگزین کنیم، $x_1$، $x_2$ و $x_3$ را پیدا کنیم، و سپس برعکس $x_4=0$ و $x_5=1$.

ما به صیقل دادن فناوری خود ادامه خواهیم داد دگرگونی های ابتداییبر سیستم همگن معادلات خطی.
بر اساس پاراگراف های اول، مطالب ممکن است خسته کننده و متوسط به نظر برسد، اما این تصور فریبنده است. علاوه بر توسعه بیشتر تکنیک های فنی، بسیاری نیز وجود خواهد داشت اطلاعات جدید، پس لطفا سعی کنید از مثال های این مقاله غافل نشوید.

سیستم همگن معادلات خطی چیست؟

پاسخ خود را نشان می دهد. سیستم معادلات خطی اگر جمله آزاد باشد همگن است هر کسمعادله سیستم صفر است مثلا:

کاملاً واضح است که یک سیستم همگن همیشه سازگار استیعنی همیشه راه حل دارد. و اول از همه، چیزی که نظر شما را جلب می کند به اصطلاح است ناچیزراه حل . بی اهمیت برای کسانی که اصلا معنی صفت را نمی فهمند یعنی بدون خودنمایی. البته نه آکادمیک ولی قابل فهم =) ...چرا دور بوش بزنیم ببینیم این سیستم راه حل دیگه ای داره یا نه:

مثال 1

راه حل: برای حل یک سیستم همگن باید بنویسید ماتریس سیستمو با کمک دگرگونی های ابتدایی آن را به شکل گام به گام درآورد. لطفاً توجه داشته باشید که در اینجا نیازی به نوشتن نوار عمودی و ستون صفر عبارت‌های آزاد نیست - هرچه باشد، مهم نیست که با صفرها چه می‌کنید، آنها صفر خواهند ماند:

(1) خط اول به خط دوم اضافه شد، ضرب در 2-. خط اول به خط سوم اضافه شد، ضرب در -3 شد.

(2) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1.

تقسیم خط سوم بر 3 چندان منطقی نیست.

در نتیجه تبدیل های اولیه، یک سیستم همگن معادل به دست می آید ، و، درخواست سکته مغزی معکوسبا روش گاوس، به راحتی می توان تأیید کرد که راه حل منحصر به فرد است.

پاسخ:

اجازه دهید یک معیار واضح را تدوین کنیم: یک سیستم همگن معادلات خطی دارد فقط یک راه حل بی اهمیت، اگر رتبه ماتریس سیستم(V در این مورد 3) برابر تعداد متغیرها (در این مورد - 3 قطعه).

بیایید رادیو خود را گرم کنیم و با موج دگرگونی های ابتدایی هماهنگ کنیم:

مثال 2

حل یک سیستم همگن از معادلات خطی

برای ادغام نهایی الگوریتم، اجازه دهید کار نهایی را تجزیه و تحلیل کنیم:

مثال 7

یک سیستم همگن را حل کنید، پاسخ را به صورت برداری بنویسید.

راه حل: بیایید ماتریس سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به شکل گام به گام در آوریم:

(1) علامت سطر اول تغییر کرده است. یک بار دیگر توجه را به تکنیکی جلب می کنم که بارها با آن مواجه شده است، که به شما امکان می دهد عمل بعدی را به طور قابل توجهی ساده کنید.

(1) خط اول به خطوط 2 و 3 اضافه شد. خط اول ضرب در 2 به خط 4 اضافه شد.

(3) سه خط آخر متناسب هستند، دو تا از آنها حذف شده است.

در نتیجه، یک ماتریس گام استاندارد به دست می آید و راه حل در امتداد مسیر خنثی شده ادامه می یابد:

- متغیرهای اساسی؛
– متغیرهای رایگان

اجازه دهید متغیرهای اساسی را بر حسب متغیرهای آزاد بیان کنیم. از معادله 2:

- جایگزینی در معادله 1:

بدین ترتیب، تصمیم مشترک:

از آنجایی که در مثال مورد بررسی سه متغیر آزاد وجود دارد، سیستم بنیادی شامل سه بردار است.

بیایید یک مقدار سه گانه را جایگزین کنیم حل کلی را وارد کنید و برداری را بدست آورید که مختصات آن هر معادله سیستم همگن را برآورده کند. و دوباره تکرار می کنم که بسیار توصیه می شود هر بردار دریافتی را بررسی کنید - زمان زیادی نمی برد، اما کاملاً از شما در برابر خطاها محافظت می کند.

برای ارزش های سه گانه بردار را پیدا کنید

و در نهایت برای این سه بردار سوم را دریافت می کنیم:

پاسخ: ، جایی که

کسانی که مایل به اجتناب از مقادیر کسری هستند می توانند سه قلوها را در نظر بگیرند و پاسخ را به شکل معادل دریافت کنند:

صحبت از کسری. بیایید به ماتریس به دست آمده در مسئله نگاه کنیم و اجازه دهید از خود بپرسیم: آیا می توان راه حل بیشتر را ساده کرد؟ به هر حال، در اینجا ابتدا متغیر پایه را از طریق کسری بیان کردیم، سپس از طریق کسری، متغیر پایه را بیان کردیم، و باید بگویم که این فرآیند ساده ترین و خوشایندترین نبود.

راه حل دوم:

ایده این است که تلاش کنید سایر متغیرهای پایه را انتخاب کنید. بیایید به ماتریس نگاه کنیم و به دو مورد در ستون سوم توجه کنیم. پس چرا یک صفر در بالا نداشته باشیم؟ بیایید یک تغییر اساسی دیگر را انجام دهیم:

سیستمی از معادلات خطی که در آن تمام عبارات آزاد برابر با صفر هستند نامیده می شود همگن :

هر سیستم همگن همیشه سازگار است، زیرا همیشه ثابت است صفر (ناچیز ) راه حل. این سوال مطرح می شود که تحت چه شرایطی یک سیستم همگن راه حل غیرمعمولی خواهد داشت.

قضیه 5.2.یک سیستم همگن یک راه حل غیر ضروری دارد اگر و فقط اگر رتبه ماتریس زیربنایی کمتر از تعداد مجهولات آن باشد.

نتیجه. یک سیستم همگن مربعی یک راه حل غیر بدیهی دارد اگر و فقط اگر تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم برابر با صفر نباشد.

مثال 5.6.مقادیر پارامتر l را که در آن سیستم دارای راه حل های بی اهمیت است، تعیین کنید و این راه حل ها را پیدا کنید:

راه حل. این سیستم زمانی که تعیین کننده ماتریس اصلی برابر با صفر باشد یک راه حل غیر ضروری خواهد داشت:

بنابراین، زمانی که l=3 یا l=2 باشد، سیستم بی اهمیت است. برای l=3، رتبه ماتریس اصلی سیستم 1 است. سپس تنها یک معادله باقی می‌گذاریم و با فرض اینکه y=آو z=ب، ما گرفتیم x=b-a، یعنی

برای l=2، رتبه ماتریس اصلی سیستم 2 است. سپس، مینور را به عنوان مبنای انتخاب کنید:

ما یک سیستم ساده شده دریافت می کنیم

از اینجا متوجه می شویم که x=z/4، y=z/2. باور کردن z=4آ، ما گرفتیم

مجموعه تمام راه حل های یک سیستم همگن دارای اهمیت بسیار زیادی است ویژگی خطی : اگر ستون X 1 و X 2 - محلول های یک سیستم همگن AX = 0, سپس هر ترکیب خطی از آنهاآ ایکس 1 + ب ایکس 2 همچنین راه حلی برای این سیستم خواهد بود. در واقع، از آن زمان تبر 1 = 0 و تبر 2 = 0 ، آن آ(آ ایکس 1 + ب ایکس 2) = الف تبر 1 + ب تبر 2 = a · 0 + b · 0 = 0. به دلیل این خاصیت است که اگر یک سیستم خطی بیش از یک جواب داشته باشد، تعداد بی نهایت از این جواب ها وجود خواهد داشت.

ستون های مستقل خطی E 1 , E 2 , اککه محلول های یک سیستم همگن هستند نامیده می شوند سیستم اساسی راه حل ها سیستم همگن معادلات خطی اگر بتوان جواب کلی این سیستم را به صورت ترکیب خطی از این ستون ها نوشت:

اگر یک سیستم همگن داشته باشد nمتغیرها، و رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر است با r، آن ک = n-r.

مثال 5.7.سیستم اساسی راه حل ها را پیدا کنید سیستم بعدیمعادلات خطی:

راه حل. بیایید رتبه ماتریس اصلی سیستم را پیدا کنیم:

بنابراین، مجموعه راه حل های این سیستم معادلات، یک زیرفضای خطی از ابعاد را تشکیل می دهد n-r= 5 - 2 = 3. بیایید مینور را به عنوان پایه انتخاب کنیم

سپس با رها کردن تنها معادلات اصلی (بقیه ترکیبی خطی از این معادلات) و متغیرهای اصلی (بقیه، به اصطلاح متغیرهای آزاد را به سمت راست حرکت می دهیم)، یک سیستم ساده شده از معادلات را به دست می آوریم:

باور کردن ایکس 3 = آ, ایکس 4 = ب, ایکس 5 = ج، ما پیدا می کنیم

, .

باور کردن آ= 1, b = c= 0، ما اولین راه حل اساسی را به دست می آوریم. باور کردن ب= 1, a = c= 0، راه حل اصلی دوم را به دست می آوریم. باور کردن ج= 1, a = b= 0، سومین راه حل اساسی را به دست می آوریم. در نتیجه، سیستم بنیادی معمولی راه حل ها شکل خواهد گرفت

با استفاده از سیستم بنیادی، جواب کلی یک سیستم همگن را می توان به صورت زیر نوشت

ایکس = aE 1 + بودن 2 + cE 3. آ

اجازه دهید به برخی از خواص راه حل های یک سیستم ناهمگن معادلات خطی توجه کنیم AX=Bو رابطه آنها با سیستم معادلات همگن مربوطه AX = 0.

حل کلی یک سیستم ناهمگنبرابر است با مجموع جواب کلی سیستم همگن مربوطه AX = 0 و یک راه حل خاص دلخواه سیستم ناهمگن. در واقع، اجازه دهید Y 0 یک راه حل خاص دلخواه از یک سیستم ناهمگن است، به عنوان مثال. AY 0 = ب، و Y- راه حل کلی یک سیستم ناهمگن، به عنوان مثال. AY=B. با کم کردن یک برابری از برابری دیگر، به دست می آوریم
آ(Y-Y 0) = 0، یعنی. Y-Y 0 جواب کلی سیستم همگن مربوطه است تبر=0. از این رو، Y-Y 0 = ایکس، یا Y = Y 0 + ایکس. Q.E.D.

اجازه دهید سیستم ناهمگن به شکل AX = B باشد 1 + ب 2 . سپس جواب کلی چنین سیستمی را می توان به صورت X = X نوشت 1 + ایکس 2 , جایی که AX 1 = ب 1 و AX 2 = ب 2. این ویژگی بیانگر خاصیت جهانی هر کدام است سیستم های خطی(جبری، دیفرانسیل، عملکردی و غیره). در فیزیک به این خاصیت می گویند اصل برهم نهی، در مهندسی برق و رادیو - اصل برهم نهی. به عنوان مثال، در نظریه مدارهای الکتریکی خطی، جریان در هر مدار را می توان به صورت مجموع جبری جریان های ناشی از هر منبع انرژی به طور جداگانه به دست آورد.

یک سیستم همگن همیشه سازگار است و یک راه حل بی اهمیت دارد
. برای اینکه یک راه حل غیر ضروری وجود داشته باشد، لازم است که رتبه ماتریس کمتر از تعداد مجهولات بود:

سیستم بنیادی راه حل ها سیستم همگن
سیستمی از راه حل ها را به شکل بردارهای ستونی می نامید
، که با مبنای شرعی مطابقت دارند، یعنی. مبنایی که در آن ثابت های دلخواه
به طور متناوب برابر با یک، در حالی که بقیه برابر با صفر قرار می گیرند.

سپس راه حل کلی سیستم همگن به شکل زیر است:

جایی که
- ثابت های دلخواه به عبارت دیگر، راه حل کلی ترکیبی خطی از سیستم اساسی راه حل ها است.

بنابراین، در صورتی که مجهولات آزاد به نوبه خود مقدار یک داده شوند و بقیه مجهولات برابر با صفر قرار گیرند، می توان راه حل های اساسی را از راه حل کلی به دست آورد.

مثال. بیایید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم

بیایید قبول کنیم، سپس یک راه حل به شکل زیر دریافت می کنیم:

بیایید اکنون یک سیستم اساسی از راه حل ها بسازیم:

راه حل کلی به صورت زیر نوشته می شود:

راه حل های یک سیستم معادلات خطی همگن دارای ویژگی های زیر هستند:

به عبارت دیگر، هر ترکیب خطی از راه حل ها برای یک سیستم همگن دوباره یک راه حل است.

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

حل سیستم معادلات خطی ریاضیدانان را برای چندین قرن علاقه مند کرده است. اولین نتایج در قرن 18 به دست آمد. در سال 1750، G. Kramer (1704-1752) آثار خود را در مورد عوامل تعیین کننده ماتریس های مربع منتشر کرد و الگوریتمی برای یافتن ماتریس معکوس پیشنهاد کرد. در سال 1809، گاوس روش حل جدیدی را به نام روش حذف معرفی کرد.

روش گاوسی، یا روش حذف متوالی مجهولات، شامل این واقعیت است که با کمک تبدیل های ابتدایی، یک سیستم معادلات به یک سیستم معادل یک شکل پله ای (یا مثلثی) کاهش می یابد. چنین سیستم هایی امکان یافتن متوالی همه مجهولات را در یک نظم خاص فراهم می کنند.

فرض کنید در سیستم (1)
(که همیشه امکان پذیر است).

(1)

ضرب معادله اول یک به یک به اصطلاح اعداد مناسب

و با جمع کردن حاصل ضرب با معادلات متناظر سیستم، سیستم معادلی بدست می آوریم که در تمام معادلات به جز معادلات اول مجهولی وجود نخواهد داشت. ایکس 1

(2)

اجازه دهید معادله دوم سیستم (2) را با این فرض در اعداد مناسب ضرب کنیم

و با اضافه کردن آن با موارد پایین، متغیر را حذف می کنیم از تمام معادلات، با شروع از سوم.

ادامه این روند، پس از
مرحله ای که می گیریم:

(3)

اگر حداقل یکی از اعداد
برابر با صفر نیست، پس برابری متناقض است و سیستم (1) ناسازگار است. برعکس، برای هر سیستم شماره مشترک
برابر با صفر هستند. عدد چیزی بیش از رتبه ماتریس سیستم (1) نیست.