هدف از خدمات. ماشین حساب آنلاین برای یافتن یک راه حل غیر ضروری و اساسی برای SLAE طراحی شده است. راه حل به دست آمده در یک فایل Word ذخیره می شود (به مثال راه حل مراجعه کنید).
دستورالعمل ها. بعد ماتریس را انتخاب کنید:
خواص سیستم های معادلات همگن خطی
برای اینکه سیستم داشته باشد راه حل های غیر پیش پا افتاده، لازم و کافی است که رتبه ماتریس آن کمتر از تعداد مجهولات باشد.قضیه. یک سیستم در حالت m=n یک راه حل غیر اساسی دارد اگر و فقط اگر تعیین کننده این سیستم برابر با صفر باشد.
قضیه. هر ترکیب خطی از راه حل های یک سیستم نیز راه حلی برای آن سیستم است.
تعریف. مجموعه راه حل های یک سیستم معادلات همگن خطی نامیده می شود سیستم اساسی راه حل ها، اگر این مجموعه از راه حل های مستقل خطی تشکیل شده باشد و هر راه حلی برای سیستم ترکیبی خطی از این راه حل ها باشد.
قضیه. اگر رتبه r ماتریس سیستم کمتر از تعداد n مجهولات باشد، یک سیستم اساسی از راه حل ها متشکل از راه حل های (n-r) وجود دارد.
الگوریتم حل سیستم معادلات همگن خطی
- پیدا کردن رتبه ماتریس.
- ما مینور اصلی را انتخاب می کنیم. مجهولات وابسته (اساسی) و مجهول آزاد را تشخیص می دهیم.
- ما آن معادلات سیستم را خط می زنیم که ضرایب آنها در ضرایب پایه جزئی قرار نمی گیرند، زیرا آنها پیامدهای دیگر هستند (طبق قضیه بر اساس جزئی).
- ما شرایط معادلات حاوی مجهولات آزاد را به سمت راست. در نتیجه، سیستمی از معادلات r با مجهولات r، معادل معادله داده شده، به دست می آوریم که تعیین کننده آن غیر صفر است.
- سیستم حاصل را با حذف مجهولات حل می کنیم. ما روابطی را پیدا می کنیم که متغیرهای وابسته را از طریق متغیرهای آزاد بیان می کند.
- اگر رتبه ماتریس با تعداد متغیرها برابر نباشد، راه حل اساسی سیستم را پیدا می کنیم.
- در مورد rang = n یک راه حل ساده داریم.
مثال. اساس سیستم بردارها (a 1, a 2,...,a m) را بیابید و بردارها را بر اساس پایه رتبه بندی و بیان کنید. اگر 1 =(0,0,1,-1) و 2 =(1,1,2,0) و 3 =(1,1,1,1) و 4 =(3,2,1 ,4) و 5 =(2,1,0,3).
بیایید ماتریس اصلی سیستم را بنویسیم:
خط سوم را در (3-) ضرب کنید. بیایید خط 4 را به 3 اضافه کنیم:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
خط چهارم را در (2-) ضرب کنید. بیایید خط 5 را در (3) ضرب کنیم. بیایید خط 5 را به خط 4 اضافه کنیم:
بیایید خط 2 را به خط 1 اضافه کنیم:
بیایید رتبه ماتریس را پیدا کنیم.
سیستم با ضرایب این ماتریس معادل سیستم اصلی است و به شکل زیر است:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
با استفاده از روش حذف مجهولات، یک راه حل غیر ضروری پیدا می کنیم:
ما روابطی را به دست آوردیم که متغیرهای وابسته x 1 , x 2 , x 3 را از طریق متغیرهای آزاد x 4 بیان می کند، یعنی یافتیم تصمیم مشترک:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
روش گاوسی دارای تعدادی معایب است: تا زمانی که تمام تغییرات لازم در روش گاوسی انجام نشده باشد، نمی توان فهمید که آیا سیستم سازگار است یا خیر. روش گاوس برای سیستم هایی با ضرایب حرف مناسب نیست.
بیایید روش های دیگری را برای حل سیستم های معادلات خطی در نظر بگیریم. این روش ها از مفهوم رتبه ماتریسی استفاده می کنند و حل هر سیستم سازگار را به حل سیستمی که قانون کرامر در مورد آن اعمال می شود کاهش می دهد.
مثال 1.یک راه حل کلی پیدا کنید سیستم بعدیمعادلات خطی با استفاده از یک سیستم اساسی از راه حل های سیستم همگن کاهش یافته و یک راه حل خاص برای سیستم ناهمگن.
1. ساخت ماتریس آو ماتریس سیستم توسعه یافته (1)
2. سیستم را کاوش کنید (1) برای با هم بودن برای این کار، رتبه های ماتریس ها را پیدا می کنیم آو https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">. اگر معلوم شد که سیستم (1) ناسازگار اگر ما آن را دریافت کنیم ، سپس این سیستم سازگار است و ما آن را حل خواهیم کرد. (مطالعه سازگاری بر اساس قضیه کرونکر-کاپلی است).
آ. ما پیدا می کنیم rA.
برای پیدا کردن rA، ما به ترتیب مینورهای غیر صفر ترتیبات اول، دوم و غیره ماتریس را در نظر خواهیم گرفت. آو خردسالان اطراف آنها
M1=1≠0 (از گوشه سمت چپ بالای ماتریس 1 می گیریم آ).
ما مرز داریم M1سطر دوم و ستون دوم این ماتریس. 
. به مرز ادامه می دهیم M1خط دوم و ستون سوم..gif" width="37" height="20 src=">. حالا مینور غیر صفر را حاشیه می کنیم. M2′مرتبه دوم.
ما داریم: 
(چون دو ستون اول یکسان هستند)
(چون خط دوم و سوم متناسب هستند).
ما آن را می بینیم rA=2، a مینور پایه ماتریس است آ.
ب ما پیدا می کنیم.
جزئی نسبتا ابتدایی M2′ماتریس ها آبا ستونی از عبارت‌های آزاد و همه ردیف‌ها مرز (فقط آخرین ردیف را داریم).
. نتیجه می شود که M3′′مینور اصلی ماتریس باقی می ماند https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
زیرا M2′- مینور پایه ماتریس آسیستم های (2) ، پس این سیستم معادل سیستم است (3) ، از دو معادله اول سیستم تشکیل شده است (2) (برای M2′در دو ردیف اول ماتریس A قرار دارد).
(3)
از ابتدایی ترین مرحله https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
در این سیستم دو مجهول رایگان وجود دارد ( x2 و x4 ). از همین رو FSR سیستم های (4) از دو راه حل تشکیل شده است برای پیدا کردن آنها، مجهولات رایگان را در آن اختصاص می دهیم (4) اول ارزش ها x2=1 , x4=0 ، و سپس - x2=0 , x4=1 .
در x2=1 , x4=0 ما گرفتیم:
.
این سیستم قبلاً دارد تنها چیزی راه حل (می توان آن را با استفاده از قانون کرامر یا هر روش دیگری پیدا کرد). با کم کردن معادله اول از معادله دوم به دست می آید:
راه حل او خواهد بود x1= -1 , x3=0 . با توجه به مقادیر x2 و x4 ، که اضافه کردیم، اولین راه حل اساسی سیستم را بدست می آوریم (2) : .
حالا ما ایمان داریم (4) x2=0 , x4=1 . ما گرفتیم:
.
ما این سیستم را با استفاده از قضیه کرامر حل می کنیم:
.
ما دومین راه حل اساسی سیستم را به دست می آوریم (2) : .
راه حل ها β1 , β2 و آرایش کنید FSR سیستم های (2) . سپس راه حل کلی آن خواهد بود
γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1، 1، 0، 0)+С2(5، 0، 4، 1)=(‑С1+5С2، С1، 4С2، С2)
اینجا C1 , C2 - ثابت های دلخواه
4. بیایید یکی را پیدا کنیم خصوصی راه حل سیستم ناهمگن(1) . همانطور که در پاراگراف است 3 ، به جای سیستم (1) بیایید یک سیستم معادل را در نظر بگیریم (5) ، که از دو معادله اول سیستم تشکیل شده است (1) .
(5)
اجازه دهید مجهولات رایگان را به سمت راست منتقل کنیم x2و x4.
(6)
مجهولات مجانی بدهیم x2 و x4 مقادیر دلخواه، برای مثال، x2=2 , x4=1 و آنها را در آن قرار دهید (6) . بیایید سیستم را دریافت کنیم
این سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد (از آنجایی که تعیین کننده است M2′0). با حل آن (با استفاده از قضیه کرامر یا روش گاوس)، به دست می آوریم x1=3 , x3=3 . با توجه به مقادیر مجهولات رایگان x2 و x4 ، ما گرفتیم راه حل خاص یک سیستم ناهمگن(1)α1=(3،2،3،1).
5. اکنون فقط نوشتن آن باقی مانده است راه حل کلی α یک سیستم ناهمگن(1) : برابر با جمع است راه حل خصوصیاین سیستم و راه حل کلی سیستم همگن کاهش یافته آن (2) :
α=α1+γ=(3، 2، 3، 1)+(‑С1+5С2، С1، 4С2، С2).
این یعنی: 
(7)
6. معاینه.برای بررسی اینکه آیا سیستم را به درستی حل کرده اید یا خیر (1) ، ما به یک راه حل کلی نیاز داریم (7) جایگزین در (1) . اگر هر معادله به هویت تبدیل شود ( C1 و C2 باید نابود شود)، سپس راه حل به درستی پیدا می شود.
جایگزین می کنیم (7) به عنوان مثال، تنها آخرین معادله سیستم (1) (ایکس1 + ایکس2 + ایکس3 ‑9 ایکس4 =‑1) .
دریافت می کنیم: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
جایی که –1=–1. ما هویت گرفتیم ما این کار را با تمام معادلات دیگر سیستم انجام می دهیم (1) .
اظهار نظر.چک معمولاً بسیار سنگین است. "بررسی جزئی" زیر را می توان توصیه کرد: در راه حل کلی سیستم (1) مقادیری را به ثابت های دلخواه اختصاص دهید و جواب جزئی حاصل را فقط در معادلات حذف شده جایگزین کنید (یعنی در آن معادلات از (1) ، که در آن گنجانده نشدند (5) ). اگر هویت پیدا کردید، پس احتمال بیشتری دارد، راه حل سیستم (1) به درستی یافت شده است (اما چنین چکی تضمین کاملی برای صحت ندارد!). به عنوان مثال، اگر در (7) قرار دادن C2=- 1 , C1=1، سپس دریافت می کنیم: x1=-3، x2=3، x3=-1، x4=0. با جایگزینی به آخرین معادله سیستم (1)، داریم: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 ، یعنی –1=–1. ما هویت گرفتیم
مثال 2.یک راه حل کلی برای یک سیستم معادلات خطی پیدا کنید (1) ، مجهولات اساسی را بر حسب مجهولات آزاد بیان می کند.
راه حل.همانطور که در مثال 1، ماتریس ها را بنویسید آو https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> از این ماتریس ها حالا فقط آن معادلات سیستم را باقی می گذاریم. (1) ، که ضرایب آن در این مینور اصلی قرار می گیرد (یعنی دو معادله اول را داریم) و سیستمی متشکل از آنها را معادل سیستم (1) در نظر می گیریم.
اجازه دهید مجهولات آزاد را به سمت راست این معادلات منتقل کنیم.
سیستم (9) ما با روش گاوسی حل می کنیم و سمت راست را به عنوان عبارت آزاد در نظر می گیریم.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
گزینه 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
گزینه 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
گزینه 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
گزینه 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
سیستم همگن معادلات خطی در یک میدان
تعریف. یک سیستم اساسی از راه حل های یک سیستم معادلات (1) یک سیستم مستقل خطی غیر خالی از جواب های آن است که گستره خطی آن با مجموعه همه راه حل های سیستم (1) منطبق است.
توجه داشته باشید که یک سیستم همگن از معادلات خطی که فقط یک جواب صفر دارد، سیستم اساسی از راه حل ها ندارد.
پیشنهاد 3.11. هر دو سیستم اساسی از راه حل های یک سیستم همگن معادلات خطی از همان تعداد جواب تشکیل شده است.
اثبات در واقع، هر دو سیستم اساسی از راه حل های سیستم همگن معادلات (1) معادل و مستقل هستند. بنابراین، با گزاره 1.12، رتبه های آنها برابر است. در نتیجه، تعداد راه حل های موجود در یک سیستم بنیادی برابر است با تعداد راه حل های موجود در هر سیستم اساسی دیگر.
اگر ماتریس اصلی A سیستم همگن معادلات (1) صفر باشد، هر بردار از یک راه حل برای سیستم (1) است. در این حالت، هر مجموعه ای خطی است بردارهای مستقلاز یک سیستم اساسی از راه حل است. اگر رتبه ستون ماتریس A برابر باشد، سیستم (1) تنها یک راه حل دارد - صفر. بنابراین، در این حالت، سیستم معادلات (1) دارای یک سیستم اساسی از راه حل ها نیست.
قضیه 3.12. اگر رتبه ماتریس اصلی یک سیستم همگن معادلات خطی (1) کمتر از تعداد متغیرها باشد، سیستم (1) دارای یک سیستم راه حل اساسی متشکل از راه حل ها است.
اثبات اگر رتبه ماتریس اصلی A سیستم همگن (1) برابر با صفر یا برابر باشد، در بالا نشان داده شد که قضیه صادق است. بنابراین، در زیر فرض می‌کنیم که با فرض، ستون‌های اول ماتریس A به صورت خطی مستقل هستند. در این حالت، ماتریس A به صورت ردیفی معادل ماتریس گام به گام کاهش یافته است و سیستم (1) معادل سیستم معادلات گام به گام کاهش یافته زیر است:
بررسی اینکه هر سیستمی دارای مقادیر آزاد است آسان است متغیرهای سیستم(2) مربوط به یک و تنها یک راه حل برای سیستم (2) و بنابراین به سیستم (1) است. به طور خاص، تنها راه حل صفر سیستم (2) و سیستم (1) مربوط به سیستمی با مقادیر صفر است.
در سیستم (2) یکی از رایگان ها را اختصاص می دهیم مقدار متغیرها، برابر با 1 است و متغیرهای باقیمانده دارای مقادیر صفر هستند. در نتیجه راه حل هایی برای سیستم معادلات (2) به دست می آوریم که آنها را به صورت ردیف هایی از ماتریس C زیر می نویسیم:
سیستم ردیف این ماتریس به صورت خطی مستقل است. در واقع، برای هر مقیاس از برابری
برابری به دنبال دارد
و در نتیجه برابری
اجازه دهید ثابت کنیم که دهانه خطی سیستم ردیف های ماتریس C با مجموعه همه راه حل های سیستم (1) منطبق است.
راه حل خودسرانه سیستم (1). سپس بردار
همچنین راه حلی برای سیستم (1) و
اجازه دهید م 0 – مجموعه ای از راه حل های یک سیستم همگن (4) از معادلات خطی.
تعریف 6.12.بردارها با 1 ,با 2 , …, با ص، که راه حل های یک سیستم همگن معادلات خطی نامیده می شوند مجموعه ای اساسی از راه حل ها(به اختصار FNR)، اگر
1) بردارها با 1 ,با 2 , …, با صمستقل خطی (یعنی هیچ یک از آنها را نمی توان بر حسب دیگران بیان کرد).
2) هر راه حل دیگری برای یک سیستم همگن معادلات خطی را می توان بر حسب راه حل بیان کرد با 1 ,با 2 , …, با ص.
توجه داشته باشید که اگر با 1 ,با 2 , …, با ص– هر f.n.r.، سپس عبارت ک 1× با 1 + ک 2× با 2 + … + k p× با صمی توانید کل مجموعه را توصیف کنید م 0 راه حل برای سیستم (4)، بنابراین نامیده می شود نمای کلی راه حل سیستم (4).
قضیه 6.6.هر سیستم همگن نامعین معادلات خطی دارای مجموعه ای اساسی از راه حل ها است.
راه یافتن مجموعه اساسی راه حل ها به شرح زیر است:
یک راه حل کلی برای یک سیستم همگن معادلات خطی پیدا کنید.
ساختن ( n – r) راه حل های جزئی این سیستم، در حالی که مقادیر مجهولات آزاد باید یک ماتریس هویت تشکیل دهند.
بنویس فرم کلیراه حل های موجود در م 0 .
مثال 6.5.مجموعه ای اساسی از راه حل ها را برای سیستم زیر بیابید:
راه حل. بیایید یک راه حل کلی برای این سیستم پیدا کنیم.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
پنج مجهول در این سیستم وجود دارد ( n= 5)، که دو مجهول اصلی وجود دارد ( r= 2)، سه مجهول رایگان وجود دارد ( n – r) یعنی مجموعه راه حل اساسی شامل سه بردار راه حل است. بیایید آنها را بسازیم. ما داریم ایکس 1 و ایکس 3- مجهولات اصلی ایکس 2 , ایکس 4 , ایکس 5- مجهولات رایگان
ارزش مجهولات رایگان ایکس 2 , ایکس 4 , ایکس 5 ماتریس هویت را تشکیل دهید Eمرتبه سوم آن بردارها را دریافت کردم با 1 ,با 2 , با 3 فرم f.n.r. از این سیستم سپس مجموعه راه حل های این سیستم همگن خواهد بود م 0 = {ک 1× با 1 + ک 2× با 2 + ک 3× با 3 , ک 1 , ک 2 , ک 3 О R).
حال بیایید شرایط وجود راه حل های غیر صفر یک سیستم همگن معادلات خطی، به عبارت دیگر، شرایط وجود یک مجموعه اساسی از راه حل ها را دریابیم.
یک سیستم همگن از معادلات خطی راه حل های غیر صفر دارد، یعنی نامشخص است که آیا
1) رتبه ماتریس اصلی سیستم کمتر از تعداد مجهولات است.
2) در یک سیستم همگن معادلات خطی، تعداد معادلات کمتر از تعداد مجهولات است.
3) اگر در یک سیستم همگن معادلات خطی تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات و تعیین کننده ماتریس اصلی برابر با صفر باشد (یعنی | آ| = 0).
مثال 6.6. با چه مقدار پارامتر آسیستم همگن معادلات خطی 
راه حل های غیر صفر دارد؟
راه حل. بیایید ماتریس اصلی این سیستم را بسازیم و تعیین کننده آن را پیدا کنیم: = = 1×(–1) 1+1 × = – آ– 4. تعیین کننده این ماتریس برابر با صفر در است آ = –4.
پاسخ: –4.
7. حساب nفضای برداری بعدی
مفاهیم اساسی
در بخش‌های قبلی با مفهوم مجموعه‌ای از اعداد حقیقی که به ترتیب خاصی چیده شده‌اند مواجه شده‌ایم. این یک ماتریس ردیف (یا ماتریس ستونی) و راه حلی برای یک سیستم معادلات خطی با nناشناخته. این اطلاعات را می توان خلاصه کرد.
تعریف 7.1. n-بردار حسابی بعدییک مجموعه سفارشی نامیده می شود nاعداد واقعی.
به معنای آ= (a 1 , a 2 , …, a n) جایی که الف منО R, من = 1, 2, …, n- نمای کلی بردار عدد nتماس گرفت بعد، ابعاد، اندازهبردارها و اعداد a مناو نامیده می شوند مختصات.
مثلا: آ= (1, –8, 7, 4, ) – بردار پنج بعدی.
همه چیز آماده است n-بردارهای بعدی معمولاً به صورت نشان داده می شوند Rn.
تعریف 7.2.دو بردار آ= (a 1 , a 2 , …, a n) و ب= (b 1 , b 2 , …, b n) از همین بعد برابراگر و فقط اگر مختصات متناظر آنها برابر باشد، یعنی a 1 = b 1، a 2 = b 2، ...، a n= ب n.
تعریف 7.3.میزاندو n-بردارهای بعدی آ= (a 1 , a 2 , …, a n) و ب= (b 1 , b 2 , …, b n) بردار نامیده می شود آ + ب= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).
تعریف 7.4. کارعدد واقعی کبه بردار آ= (a 1 , a 2 , …, a n) بردار نامیده می شود ک× آ = (ک× a 1، ک× a 2، …، ک×a n)
تعریف 7.5.بردار O= (0، 0، …، 0) فراخوانی می شود صفر(یا بردار تهی).
به راحتی می توان تأیید کرد که اقدامات (عملیات) جمع بردارها و ضرب آنها در یک عدد واقعی دارای ویژگی های زیر هستند: آ, ب, ج Î Rn, " ک, لО R:
1) آ + ب = ب + آ;
2) آ + (ب+ ج) = (آ + ب) + ج;
3) آ + O = آ;
4) آ+ (–آ) = O;
5) 1× آ = آ, 1 О R;
6) ک×( ل× آ) = ل×( ک× آ) = (ل× ک)× آ;
7) (ک + ل)× آ = ک× آ + ل× آ;
8) ک×( آ + ب) = ک× آ + ک× ب.
تعریف 7.6.یک دسته از Rnبا عملیات جمع بردارها و ضرب آنها در عدد واقعی داده شده روی آن فراخوانی می شود فضای برداری n بعدی حسابی.
