سیستم معادلات خطی را با ماتریس حل کنید. چگونه یک سیستم معادلات را با استفاده از روش ماتریسی حل کنیم

در نظر بگیریم سیستم معادلات جبری خطی(SLAU) نسبتاً nناشناخته ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n :

این سیستم به شکل "فرسوده" را می توان به صورت زیر نوشت:

اس n i=1 آ ij ایکس j = ب من , i=1,2, ..., n.

مطابق با قانون ضرب ماتریس، سیستم در نظر گرفته شده است معادلات خطیرا می توان در نوشت فرم ماتریسی تبر = ب، جایی که

, ,.

ماتریس آکه ستون های آن ضرایب مجهولات مربوطه و سطرها ضرایب مجهولات در معادله مربوطه نامیده می شود. ماتریس سیستم. ماتریس ستونی بکه عناصر آن سمت راست معادلات سیستم است، ماتریس سمت راست یا به سادگی نامیده می شود. سمت راست سیستم. ماتریس ستونی ایکس ، که عناصر آن مجهولات مجهول هستند، نامیده می شود راه حل سیستم.

سیستمی از معادلات جبری خطی که به شکل نوشته شده است تبر = ب، است معادله ماتریسی.

اگر ماتریس سیستم غیر منحط، سپس او دارد ماتریس معکوسو سپس راه حل برای سیستم تبر = ببا فرمول داده می شود:

x=A -1 ب.

مثالسیستم را حل کنید روش ماتریسی

راه حلبیایید ماتریس معکوس را برای ماتریس ضرایب سیستم پیدا کنیم

بیایید با بسط دادن در امتداد خط اول، تعیین کننده را محاسبه کنیم:

زیرا Δ ≠ 0 ، آن آ -1 وجود دارد.

ماتریس معکوس به درستی پیدا شد.

بیایید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم

از این رو، ایکس 1 = 1، x 2 = 2، x 3 = 3 .

معاینه:

7. قضیه کرونکر-کاپلی در مورد سازگاری یک سیستم معادلات جبری خطی.

سیستم معادلات خطیدارای فرم:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2، (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

در اینجا a i j و b i (i = ; j = ) داده می شود و x j اعداد حقیقی مجهول هستند. با استفاده از مفهوم حاصلضرب ماتریس ها می توان سیستم (5.1) را به شکل زیر بازنویسی کرد:

که در آن A = (a i j) ماتریسی متشکل از ضرایب مجهولات سیستم (5.1) است که نامیده می شود. ماتریس سیستم, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T بردارهای ستونی هستند که به ترتیب از مجهولات x j و عبارات آزاد b i تشکیل شده اند.

مجموعه سفارش داده شده nاعداد حقیقی (c 1, c 2,..., c n) نامیده می شود راه حل سیستم(5.1)، اگر در نتیجه جایگزینی این اعداد به جای متغیرهای متناظر x 1، x 2،...، x n، هر معادله سیستم به یک هویت حسابی تبدیل شود. به عبارت دیگر، اگر بردار C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T وجود داشته باشد به طوری که AC  B.

سیستم (5.1) نامیده می شود مفصل،یا قابل حل،اگر حداقل یک راه حل داشته باشد. سیستم نامیده می شود ناسازگار،یا غیر قابل حل، اگر راه حلی نداشته باشد.

,

تشکیل شده با اختصاص ستونی از عبارت های آزاد به ماتریس A در سمت راست نامیده می شود ماتریس توسعه یافته سیستم

مسئله سازگاری سیستم (5.1) با قضیه زیر حل می شود.

قضیه کرونکر-کاپلی . سیستم معادلات خطی اگر و فقط در صورتی سازگار است که رتبه‌های ماتریس‌های A و A با هم منطبق باشند، یعنی. r(A) = r(A) = r.

برای مجموعه M از راه حل های سیستم (5.1) سه احتمال وجود دارد:

1) M =  (در این مورد سیستم ناسازگار است).

2) M از یک عنصر تشکیل شده است، یعنی. سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد (در این مورد سیستم نامیده می شود مسلم - قطعی);

3) M از بیش از یک عنصر تشکیل شده است (سپس سیستم فراخوانی می شود نا معلوم). در حالت سوم، سیستم (5.1) دارای بی نهایت جواب است.

سیستم تنها در صورتی که r(A) = n راه حل منحصر به فردی دارد. در این حالت، تعداد معادلات کمتر از تعداد مجهولات (mn) نیست. اگر m>n، پس معادلات m-nپیامدهای دیگران هستند اگر 0

برای حل یک سیستم دلخواه از معادلات خطی، باید بتوانید سیستم هایی را حل کنید که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات است - به اصطلاح سیستم های نوع کرامر:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2، (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

سیستم های (5.3) به یکی از روش های زیر حل می شوند: 1) روش گاوس، یا روش حذف مجهولات. 2) طبق فرمول های کرامر؛ 3) روش ماتریسی.

مثال 2.12. سیستم معادلات را کاوش کنید و در صورت سازگاری آن را حل کنید:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7،

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

راه حل.ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم:

 .

بیایید رتبه ماتریس اصلی سیستم را محاسبه کنیم. واضح است که مثلاً مینور مرتبه دوم در گوشه سمت چپ بالا = 7  0; مینورهای مرتبه سوم حاوی آن برابر با صفر هستند:

در نتیجه، رتبه ماتریس اصلی سیستم 2 است، یعنی. r(A) = 2. برای محاسبه رتبه ماتریس توسعه یافته A، مینور مرزی را در نظر بگیرید.

این بدان معنی است که رتبه ماتریس توسعه یافته r(A) = 3. از آنجایی که r(A)  r(A)، سیستم ناسازگار است.

در بخش اول، به برخی مطالب نظری، روش جایگزینی و همچنین روش جمع ترم به ترم معادلات سیستم پرداختیم. به همه کسانی که از طریق این صفحه وارد سایت شده اند توصیه می کنم قسمت اول را مطالعه کنند. شاید برخی از بازدیدکنندگان مطالب را خیلی ساده بیابند، اما در فرآیند حل سیستم های معادلات خطی، من تعدادی از نظرات و نتیجه گیری های بسیار مهم را در مورد حل مسائل ریاضی به طور کلی انجام دادم.

اکنون قاعده کرامر و همچنین حل یک سیستم معادلات خطی را با استفاده از ماتریس معکوس (روش ماتریس) تحلیل خواهیم کرد. همه مطالب به سادگی، با جزئیات و به وضوح ارائه شده است.

ابتدا نگاهی دقیق تر به قانون کرامر برای سیستمی متشکل از دو معادله خطی در دو مجهول خواهیم داشت. برای چی؟ – بالاخره ساده ترین سیستم را می توان با روش مدرسه، روش جمع ترم به ترم حل کرد!

واقعیت این است که گاهی اوقات، اما گاهی اوقات چنین وظیفه ای وجود دارد - حل یک سیستم از دو معادله خطی با دو مجهول با استفاده از فرمول های کرامر. ثانیاً، یک مثال ساده تر به شما کمک می کند تا نحوه استفاده از قانون کرامر را برای یک مورد پیچیده تر - سیستمی از سه معادله با سه مجهول - درک کنید.

علاوه بر این، سیستم های معادلات خطی با دو متغیر وجود دارد که حل آنها با استفاده از قانون کرامر توصیه می شود!

سیستم معادلات را در نظر بگیرید

در مرحله اول، دترمینان را محاسبه می کنیم، نامیده می شود تعیین کننده اصلی سیستم.

روش گاوس

اگر، پس سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد و برای یافتن ریشه ها باید دو عامل دیگر را محاسبه کنیم:
و

در عمل، معیارهای فوق را می توان با یک حرف لاتین نیز نشان داد.

ریشه های معادله را با استفاده از فرمول های زیر می یابیم:
,

مثال 7

حل یک سیستم معادلات خطی

راه حل: می بینیم که ضرایب معادله کاملاً بزرگ است در سمت راست کسری اعشاری با کاما وجود دارد. کاما یک مهمان نسبتاً نادر در کارهای عملی در ریاضیات است.

چگونه چنین سیستمی را حل کنیم؟ می توانید سعی کنید یک متغیر را بر حسب متغیر دیگر بیان کنید، اما در این مورد احتمالاً با کسرهای فانتزی وحشتناکی روبرو خواهید شد که کار با آنها بسیار ناخوشایند است و طراحی راه حل به سادگی وحشتناک به نظر می رسد. شما می توانید معادله دوم را در 6 ضرب کنید و جمله به جمله را کم کنید، اما کسرهای مشابه در اینجا نیز به وجود می آیند.

چه باید کرد؟ در چنین مواردی، فرمول های کرامر به کمک می آیند.

;

;

پاسخ: ,

هر دو ریشه دارای دم بی نهایت هستند و تقریباً یافت می شوند که برای مسائل اقتصاد سنجی کاملاً قابل قبول (و حتی عادی) است.

در اینجا به نظرات نیازی نیست، زیرا کار با استفاده از فرمول های آماده حل می شود، با این حال، یک اخطار وجود دارد. هنگام استفاده از این روش، اجباریبخشی از طراحی کار قطعه زیر است: "این بدان معنی است که سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد". در غیر این صورت، داور ممکن است شما را به دلیل بی احترامی به قضیه کرامر مجازات کند.

بررسی اضافی نیست، که می تواند به راحتی در یک ماشین حساب انجام شود: ما مقادیر تقریبی را در سمت چپ هر معادله سیستم جایگزین می کنیم. در نتیجه با یک خطای کوچک باید اعدادی را دریافت کنید که در سمت راست قرار دارند.

مثال 8

پاسخ را در کسرهای نامناسب معمولی ارائه دهید. چک کنید

این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید (نمونه ای از طرح نهایی و پاسخ آخر درس).

بیایید در ادامه قانون کرامر را برای یک سیستم سه معادله با سه مجهول در نظر بگیریم:

ما تعیین کننده اصلی سیستم را پیدا می کنیم:

اگر، پس سیستم بی نهایت راه حل دارد یا ناسازگار است (راه حلی ندارد). در این مورد، قانون کرامر به شما کمک نمی کند که از روش گاوس استفاده کنید.

اگر سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد و برای یافتن ریشه ها باید سه عامل دیگر را محاسبه کنیم:
, ,

و در نهایت، پاسخ با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

همانطور که می بینید، حالت "سه در سه" اساساً با حالت "دو در دو" تفاوتی ندارد.

مثال 9

سیستم را با استفاده از فرمول های کرامر حل کنید.

راه حل: بیایید سیستم را با استفاده از فرمول های کرامر حل کنیم.

، به این معنی که سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

پاسخ: .

در واقع، در اینجا دوباره چیز خاصی برای اظهار نظر وجود ندارد، زیرا راه حل از فرمول های آماده پیروی می کند. اما چند تا نظر وجود دارد.

این اتفاق می افتد که در نتیجه محاسبات، کسرهای تقلیل ناپذیر "بد" به دست می آیند، به عنوان مثال: .
من الگوریتم "درمان" زیر را توصیه می کنم. اگر کامپیوتر در دست ندارید، این کار را انجام دهید:

1) ممکن است در محاسبات اشتباهی وجود داشته باشد. به محض اینکه با کسری "بد" روبرو شدید، بلافاصله باید بررسی کنید آیا شرط به درستی بازنویسی شده است؟. اگر شرط بدون خطا بازنویسی شود، باید با استفاده از بسط در یک سطر دیگر (ستون) عوامل تعیین کننده را دوباره محاسبه کنید.

2) اگر در نتیجه بررسی هیچ خطایی شناسایی نشد، به احتمال زیاد در شرایط کار اشتباه تایپی وجود داشته است. در این مورد، با آرامش و با احتیاط کار را تا انتها انجام دهید و سپس حتما بررسی کنیدو پس از تصمیم گیری آن را در کلین شیت ترسیم می کنیم. البته، بررسی یک پاسخ کسری یک کار ناخوشایند است، اما برای معلم، که واقعا دوست دارد برای هر مزخرفی مانند یک منهای منفی بدهد، یک استدلال خلع سلاح خواهد شد. نحوه رسیدگی به کسرها در پاسخ مثال 8 به تفصیل توضیح داده شده است.

اگر رایانه ای در دست دارید، از یک برنامه خودکار برای بررسی استفاده کنید که در همان ابتدای درس به صورت رایگان قابل دانلود است. به هر حال، استفاده از برنامه فوراً سودآور است (حتی قبل از شروع راه حل، بلافاصله مرحله میانی را که در آن اشتباه کرده اید) خواهید دید! همین ماشین حساب به طور خودکار جواب سیستم را با استفاده از روش ماتریسی محاسبه می کند.

تذکر دوم. هر از چند گاهی سیستم هایی وجود دارد که در معادلات آنها برخی از متغیرها وجود ندارد، به عنوان مثال:

اینجا در معادله اول هیچ متغیری وجود ندارد، در معادله دوم هیچ متغیری وجود ندارد. در چنین مواردی، نوشتن صحیح و با دقت عامل اصلی بسیار مهم است:
- صفرها به جای متغیرهای گم شده قرار می گیرند.
به هر حال، منطقی است که تعیین کننده ها را با صفر با توجه به ردیف (ستونی) که در آن صفر قرار دارد، باز کنید، زیرا محاسبات به میزان قابل توجهی کمتر است.

مثال 10

سیستم را با استفاده از فرمول های کرامر حل کنید.

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است (نمونه ای از طرح نهایی و پاسخ در پایان درس).

برای سیستمی متشکل از 4 معادله با 4 مجهول، فرمول های کرامر بر اساس اصول مشابه نوشته می شوند. می توانید یک مثال زنده را در درس Properties of Determinants مشاهده کنید. کاهش ترتیب تعیین کننده - پنج تعیین کننده مرتبه 4 کاملاً قابل حل هستند. اگرچه این کار قبلاً بسیار یادآور کفش یک استاد روی سینه یک دانش آموز خوش شانس است.

حل سیستم با استفاده از ماتریس معکوس

روش ماتریس معکوس اساسا یک مورد خاص است معادله ماتریسی(به مثال شماره 3 درس مشخص شده مراجعه کنید).

برای مطالعه این بخش، باید بتوانید دترمینان ها را گسترش دهید، معکوس یک ماتریس را پیدا کنید و ضرب ماتریس را انجام دهید. با پیشرفت توضیحات لینک های مربوطه ارائه خواهد شد.

مثال 11

سیستم را با استفاده از روش ماتریس حل کنید

راه حل: بیایید سیستم را به صورت ماتریسی بنویسیم:
، جایی که

لطفا به سیستم معادلات و ماتریس ها نگاه کنید. من فکر می‌کنم همه این اصل را می‌فهمند که براساس آن عناصر را در ماتریس می‌نویسیم. تنها نظر: اگر برخی از متغیرها در معادلات گم شده بودند، باید صفرها در مکان های مربوطه در ماتریس قرار گیرند.

ماتریس معکوس را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم:
، ماتریس جابجایی متمم های جبری عناصر متناظر ماتریس کجاست.

ابتدا به عامل تعیین کننده نگاه می کنیم:

در اینجا تعیین کننده در خط اول بسط می یابد.

توجه! اگر، پس ماتریس معکوس وجود ندارد و حل سیستم با استفاده از روش ماتریس غیرممکن است. در این حالت سیستم با روش حذف مجهولات (روش گاوس) حل می شود.

اکنون باید 9 مینور را محاسبه کرده و در ماتریس مینورها بنویسیم

ارجاع:دانستن معنی دو زیرنویس در جبر خطی مفید است. رقم اول شماره خطی است که عنصر در آن قرار دارد. رقم دوم تعداد ستونی است که عنصر در آن قرار دارد:

یعنی یک زیرنویس دوتایی نشان می‌دهد که عنصر در ردیف اول، ستون سوم و به عنوان مثال، عنصر در 3 ردیف، 2 ستون است.

بگذارید یک ماتریس مربع از مرتبه n وجود داشته باشد

ماتریس A -1 نامیده می شود ماتریس معکوسدر رابطه با ماتریس A، اگر A*A -1 = E، که در آن E ماتریس هویت مرتبه n است.

ماتریس هویت- چنین ماتریس مربعی که در آن تمام عناصر در امتداد مورب اصلی که از گوشه سمت چپ بالا به گوشه سمت راست پایین عبور می کنند یک هستند و بقیه صفر هستند، به عنوان مثال:

ماتریس معکوسممکن است وجود داشته باشد فقط برای ماتریس های مربعآن ها برای آن دسته از ماتریس هایی که در آنها تعداد سطرها و ستون ها مطابقت دارند.

قضیه شرط وجود ماتریس معکوس

برای اینکه یک ماتریس دارای ماتریس معکوس باشد، لازم و کافی است که غیر مفرد باشد.

ماتریس A = (A1, A2,...A n) نامیده می شود غیر منحط، اگر بردارهای ستون به صورت خطی مستقل باشند. تعداد بردارهای ستون مستقل خطی یک ماتریس را رتبه ماتریس می گویند. بنابراین می توان گفت برای اینکه یک ماتریس معکوس وجود داشته باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریس برابر با بعد آن باشد، یعنی. r = n

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس

1. ماتریس A را در جدول حل سیستم معادلات با استفاده از روش گاوسی بنویسید و ماتریس E را در سمت راست (به جای سمت راست معادلات) به آن اختصاص دهید.
2. با استفاده از تبدیل های جردن، ماتریس A را به ماتریسی متشکل از ستون های واحد کاهش دهید. در این حالت لازم است همزمان ماتریس E را تبدیل کنیم.
3. در صورت لزوم، ردیف ها (معادلات) آخرین جدول را به گونه ای تنظیم کنید که در زیر ماتریس A جدول اصلی، ماتریس هویت E را به دست آورید.
4. ماتریس معکوس A -1 را که در آخرین جدول زیر ماتریس E جدول اصلی قرار دارد، بنویسید.

مثال 1

برای ماتریس A، ماتریس معکوس A -1 را پیدا کنید

راه حل: ماتریس A را می نویسیم و ماتریس هویت E را به سمت راست اختصاص می دهیم، ماتریس A را به ماتریس هویت E کاهش می دهیم.

بیایید صحت محاسبات را با ضرب ماتریس اصلی A و ماتریس معکوس A -1 بررسی کنیم.

در نتیجه ضرب ماتریس، ماتریس هویت به دست آمد. بنابراین محاسبات به درستی انجام شد.

پاسخ:

حل معادلات ماتریسی

معادلات ماتریسی می تواند به صورت زیر باشد:

AX = B، HA = B، AXB = C،

در جایی که A، B، C ماتریس های مشخص شده هستند، X ماتریس مورد نظر است.

معادلات ماتریسی با ضرب معادله در ماتریس های معکوس حل می شوند.

به عنوان مثال، برای پیدا کردن ماتریس از معادله، باید این معادله را در سمت چپ ضرب کنید.

بنابراین، برای یافتن راه حل معادله، باید ماتریس معکوس را پیدا کنید و آن را در ماتریس سمت راست معادله ضرب کنید.

سایر معادلات نیز به همین ترتیب حل می شوند.

مثال 2

اگر معادله AX = B را حل کنید

راه حل: از آنجایی که ماتریس معکوس برابر است با (به مثال 1 مراجعه کنید)

روش ماتریسی در تحلیل اقتصادی

در کنار دیگران از آنها نیز استفاده می شود روش های ماتریسی. این روش ها بر اساس جبر خطی و ماتریس برداری هستند. از این روش ها برای تحلیل پدیده های پیچیده و چند بعدی اقتصادی استفاده می شود. بیشتر اوقات، این روش ها زمانی مورد استفاده قرار می گیرند که ارزیابی مقایسه ای از عملکرد سازمان ها و تقسیمات ساختاری آنها ضروری باشد.

در فرآیند به کارگیری روش های تحلیل ماتریسی می توان چندین مرحله را متمایز کرد.

در مرحله اولسیستمی از شاخص های اقتصادی در حال شکل گیری است و بر اساس آن ماتریسی از داده های اولیه تهیه می شود که جدولی است که در آن اعداد سیستم در ردیف های جداگانه نشان داده شده است. (i = 1،2، ....، n)، و در ستون های عمودی - تعداد نشانگرها (j = 1،2، ....، متر).

در مرحله دومبرای هر ستون عمودی، بزرگترین مقادیر شاخص موجود شناسایی می شود که به عنوان یک در نظر گرفته می شود.

پس از این، تمام مقادیر منعکس شده در این ستون بر بزرگترین مقدار تقسیم شده و ماتریسی از ضرایب استاندارد تشکیل می شود.

در مرحله سومتمام اجزای ماتریس مربع هستند. اگر اهمیت متفاوتی داشته باشند، به هر شاخص ماتریس ضریب وزنی خاصی اختصاص داده می شود ک. ارزش دومی با نظر کارشناسی تعیین می شود.

در مورد آخر، مرحله چهارممقادیر رتبه بندی را پیدا کرد R jبه ترتیب افزایش یا کاهش آنها گروه بندی می شوند.

روش‌های ماتریسی مشخص شده باید به‌عنوان مثال در تحلیل مقایسه‌ای پروژه‌های سرمایه‌گذاری مختلف و همچنین در ارزیابی سایر شاخص‌های اقتصادی فعالیت‌های سازمان‌ها مورد استفاده قرار گیرند.

(گاهی اوقات به این روش روش ماتریسی یا روش ماتریس معکوس نیز گفته می شود) نیاز به آشنایی اولیه با مفهومی مانند شکل ماتریسی علامت گذاری SLAE دارد. روش ماتریس معکوس برای حل آن دسته از سیستم های معادلات جبری خطی در نظر گرفته شده است که در آنها تعیین کننده ماتریس سیستم با صفر متفاوت است. طبیعتاً فرض بر این است که ماتریس سیستم مربع است (مفهوم تعیین کننده فقط برای ماتریس های مربع وجود دارد). ماهیت روش ماتریس معکوس را می توان در سه نکته بیان کرد:

1. سه ماتریس را بنویسید: ماتریس سیستم $A$، ماتریس مجهولات $X$، ماتریس عبارات آزاد $B$.
2. ماتریس معکوس $A^(-1)$ را پیدا کنید.
3. با استفاده از برابری $X=A^(-1)\cdot B$، یک راه حل برای SLAE داده شده به دست آورید.

هر SLAE را می توان به صورت ماتریسی به صورت $A\cdot X=B$ نوشت که $A$ ماتریس سیستم است، $B$ ماتریس عبارت های آزاد، $X$ ماتریس مجهولات است. اجازه دهید ماتریس $A^(-1)$ وجود داشته باشد. بیایید هر دو طرف برابری $A\cdot X=B$ را در ماتریس $A^(-1)$ در سمت چپ ضرب کنیم:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

از آنجایی که $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ ماتریس هویت است)، برابری نوشته شده در بالا تبدیل می شود:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

از آنجایی که $E\cdot X=X$، پس:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

مثال شماره 1

SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ را با استفاده از ماتریس معکوس حل کنید.

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$

بیایید ماتریس معکوس به ماتریس سیستم را پیدا کنیم، i.e. بیایید $A^(-1)$ را محاسبه کنیم. در مثال شماره 2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

حالا بیایید هر سه ماتریس ($X$, $A^(-1)$, $B$) را در برابری $X=A^(-1)\cdot B$ جایگزین کنیم. سپس ضرب ماتریس را انجام می دهیم

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(آرایه)\راست)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$

بنابراین، برابری $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( آرایه )\راست)$. از این برابری داریم: $x_1=-3$، $x_2=2$.

پاسخ: $x_1=-3$، $x_2=2$.

مثال شماره 2

SLAE $ \left\(\begin(تراز شده) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end (تراز شده)\راست $. با استفاده از روش ماتریس معکوس.

اجازه دهید ماتریس سیستم $A$، ماتریس عبارات آزاد $B$ و ماتریس مجهولات $X$ را بنویسیم.

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$

اکنون نوبت یافتن ماتریس معکوس به ماتریس سیستم است، یعنی. $A^(-1)$ را پیدا کنید. در مثال شماره 3 در صفحه اختصاص داده شده به یافتن ماتریس های معکوس، ماتریس معکوس قبلاً پیدا شده است. بیایید از نتیجه نهایی استفاده کنیم و $A^(-1)$ را بنویسیم:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 و 37\end(آرایه)\راست). $$

حالا بیایید هر سه ماتریس ($X$, $A^(-1)$, $B$) را با برابری $X=A^(-1)\cdot B$ جایگزین کنیم و سپس ضرب ماتریس را در سمت راست انجام دهیم. از این برابری

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$

بنابراین، برابری $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 را بدست آوردیم \ \9\پایان(آرایه)\راست)$. از این برابری داریم: $x_1=0$، $x_2=-4$، $x_3=9$.

این مفهومی است که تمام عملیات ممکن انجام شده با ماتریس ها را تعمیم می دهد. ماتریس ریاضی - جدول عناصر. درباره جدولی که در آن مترخطوط و nگفته می شود که این ماتریس دارای ابعاد است متربر n.

نمای کلی ماتریس:

برای راه حل های ماتریسیلازم است بدانیم ماتریس چیست و پارامترهای اصلی آن را بدانیم. عناصر اصلی ماتریس:

• مورب اصلی، متشکل از عناصر یک 11، یک 22 .... یک دقیقه.
• مورب جانبی متشکل از عناصر a 1n , a 2n-1 .....a m1.

انواع اصلی ماتریس:

• مربع ماتریسی است که در آن تعداد سطرها = تعداد ستون ها ( m=n).
• صفر - که در آن همه عناصر ماتریس = 0.
• ماتریس جابجا شده - ماتریس که در، که از ماتریس اصلی به دست آمده است آبا جایگزینی سطرها با ستون.
• وحدت - همه عناصر مورب اصلی = 1، بقیه = 0.
• ماتریس معکوس، ماتریسی است که وقتی در ماتریس اصلی ضرب شود، یک ماتریس هویت به دست می‌آید.

ماتریس می تواند با توجه به قطرهای اصلی و فرعی متقارن باشد. یعنی اگر a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. m-1n = mn-1، سپس ماتریس نسبت به قطر اصلی متقارن است. فقط ماتریس های مربعی می توانند متقارن باشند.

روش های حل ماتریس ها

تقریبا همه روش های حل ماتریسیشامل یافتن تعیین کننده آن است nمرتبه -ام و اکثر آنها کاملاً دست و پا گیر هستند. برای یافتن تعیین کننده مرتبه 2 و 3 روش های منطقی تری وجود دارد.

پیدا کردن عوامل درجه دوم

برای محاسبه دترمینان یک ماتریس آمرتبه دوم، لازم است حاصل ضرب عناصر قطر ثانویه را از حاصل ضرب عناصر قطر اصلی کم کنید:

روش‌های یافتن تعیین‌کننده‌های مرتبه سوم.

در زیر قوانینی برای یافتن تعیین کننده مرتبه سوم آمده است.

قانون مثلث ساده شده به عنوان یکی از روش های حل ماتریسیرا می توان به این صورت نشان داد:

به عبارت دیگر، حاصل ضرب عناصر در تعیین کننده اول که با خطوط مستقیم به هم متصل شده اند، با علامت «+» گرفته می شود. همچنین، برای تعیین کننده 2، محصولات مربوطه با علامت "-" گرفته می شود، یعنی طبق طرح زیر:

در حل ماتریس ها با استفاده از قانون ساروس، در سمت راست تعیین کننده، 2 ستون اول را اضافه کنید و حاصل ضرب عناصر مربوطه در مورب اصلی و در مورب های موازی با آن با علامت "+" گرفته می شود. و حاصل ضرب عناصر متناظر مورب ثانویه و مورب های موازی با آن با علامت «-»:

تجزیه دترمینان در یک ردیف یا ستون هنگام حل ماتریس ها.

تعیین کننده برابر است با مجموع حاصل ضرب عناصر ردیف تعیین کننده و متمم های جبری آنها. به طور معمول، سطر/ستونی که حاوی صفر است انتخاب می شود. سطر یا ستونی که در امتداد آن تجزیه انجام می شود با یک فلش نشان داده می شود.

کاهش دترمینان به شکل مثلثی هنگام حل ماتریس.

در حل ماتریس هاروش تقلیل دترمینان به شکل مثلثی به این صورت است: با استفاده از ساده‌ترین تبدیل‌ها روی سطرها یا ستون‌ها، دترمینان به شکل مثلثی در می‌آید و سپس مقدار آن مطابق با ویژگی‌های دترمینان برابر با حاصلضرب می‌شود. از عناصری که روی مورب اصلی قرار دارند.

قضیه لاپلاس برای حل ماتریس.

هنگام حل ماتریس ها با استفاده از قضیه لاپلاس، باید خود قضیه را بدانید. قضیه لاپلاس: اجازه دهید Δ - این یک عامل تعیین کننده است n- مرتبه ما هر کدام را انتخاب می کنیم کردیف (یا ستون)، ارائه شده است ک≤ n - 1. در این صورت، مجموع محصولات همه خردسالان ک-ام سفارش موجود در انتخاب شده است کسطرها (ستون ها) با متمم های جبری خود برابر با تعیین کننده خواهند بود.

حل ماتریس معکوس

توالی اقدامات برای راه حل های ماتریس معکوس:

1. مربع بودن یک ماتریس داده شده را تعیین کنید. اگر پاسخ منفی باشد، مشخص می شود که ماتریس معکوس برای آن وجود ندارد.
2. متمم های جبری را محاسبه می کنیم.
3. ما یک ماتریس اتحاد (متقابل، الحاقی) می سازیم سی.
4. ماتریس معکوس را از اضافات جبری می سازیم: همه عناصر ماتریس الحاقی سیتقسیم بر تعیین کننده ماتریس اولیه. ماتریس نهایی ماتریس معکوس مورد نیاز نسبت به ماتریس داده شده خواهد بود.
5. ما کار انجام شده را بررسی می کنیم: ماتریس اولیه و ماتریس حاصل را ضرب می کنیم، نتیجه باید یک ماتریس هویت باشد.

حل سیستم های ماتریسی

برای راه حل های سیستم های ماتریسیروش گاوسی بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد.

روش گاوس یک روش استاندارد برای حل سیستم معادلات جبری خطی (SLAE) است و شامل این واقعیت است که متغیرها به طور متوالی حذف می شوند، یعنی با کمک تغییرات اولیه، سیستم معادلات به یک سیستم معادل مثلثی تبدیل می شود. فرم و از آن، به ترتیب، با شروع از دومی (با تعداد)، هر عنصر سیستم را پیدا کنید.

روش گاوسهمه کاره ترین و بهترین ابزار برای یافتن راه حل های ماتریسی است. اگر سیستمی بی نهایت جواب داشته باشد یا سیستم ناسازگار باشد، با استفاده از قانون کرامر و روش ماتریس نمی توان آن را حل کرد.

روش گاوس همچنین متضمن حرکات مستقیم (کاهش ماتریس توسعه یافته به شکل گام به گام، یعنی به دست آوردن صفر در زیر قطر اصلی) و معکوس (به دست آوردن صفرهای بالای مورب اصلی ماتریس توسعه یافته) است. حرکت رو به جلو روش گاوس و حرکت معکوس روش گاوس-جردن است. روش گاوس-جردن تنها در ترتیب حذف متغیرها با روش گاوس متفاوت است.