عددی که به صورت اعشاری است. نماد اعشاری یک عدد کسری

در این آموزش هر یک از این عملیات را به طور جداگانه بررسی خواهیم کرد.

محتوای درس

افزودن اعشار

همانطور که می دانیم کسر اعشاری دارای یک عدد صحیح و یک جزء کسری است. هنگام جمع اعشار، اجزای کل و کسری به طور جداگانه اضافه می شوند.

به عنوان مثال، اجازه دهید کسرهای اعشاری 3.2 و 5.3 را اضافه کنیم. اضافه کردن کسری اعشاری در یک ستون راحت تر است.

بیایید ابتدا این دو کسر را در یک ستون بنویسیم که اجزای صحیح لزوماً زیر اعداد صحیح و کسرهای زیر کسرها قرار گیرند. در مدرسه به این شرط گفته می شود "کاما زیر کاما".

بیایید کسرها را در یک ستون بنویسیم تا کاما زیر کاما باشد:

ما شروع به جمع کردن اجزای کسری می کنیم: 2 + 3 = 5. پنج را در قسمت کسری پاسخ خود می نویسیم:

اکنون کل قسمت ها را جمع می کنیم: 3 + 5 = 8. در کل قسمت پاسخ خود یک هشت می نویسیم:

حالا با کاما کل قسمت را از قسمت کسری جدا می کنیم. برای انجام این کار، ما دوباره از قانون پیروی می کنیم "کاما زیر کاما":

ما جواب 8.5 دریافت کردیم. بنابراین عبارت 3.2 + 5.3 برابر با 8.5 است

در واقع، همه چیز به آن سادگی که در نگاه اول به نظر می رسد نیست. در اینجا دام هایی نیز وجود دارد که اکنون در مورد آنها صحبت خواهیم کرد.

مکان ها در اعشار

کسرهای اعشاری مانند اعداد معمولی ارقام خاص خود را دارند. این ها مکان های دهم، مکان های صدم، مکان های هزارم هستند. در این حالت ارقام بعد از نقطه اعشار شروع می شوند.

اولین رقم بعد از اعشار برای مکان دهم، رقم دوم بعد از نقطه اعشار برای مکان صدم و رقم سوم بعد از نقطه اعشار برای مکان هزارم است.

مکان در کسرهای اعشاری حاوی مقداری است اطلاعات مفید. به طور خاص، آنها به شما می گویند که در یک اعشار چند دهم، صدم و هزارم وجود دارد.

برای مثال، کسر اعشاری را 0.345 در نظر بگیرید

موقعیتی که سه در آن قرار دارد نامیده می شود مقام دهم

موقعیتی که چهار در آن قرار دارد نامیده می شود مکان صدم

موقعیتی که پنج در آن قرار دارد نامیده می شود مکان هزارم

بیایید به این نقاشی نگاه کنیم. می بینیم که یک سه در جایگاه دهم وجود دارد. این به ما می گوید که در کسر اعشاری 0.345 سه دهم وجود دارد.

اگر کسرها را جمع کنیم، کسر اعشاری اصلی 0.345 به دست می آید

مشاهده می شود که ابتدا پاسخ را دریافت کردیم اما آن را به کسری اعشاری تبدیل کردیم و 0.345 گرفتیم.

هنگام جمع کردن کسرهای اعشاری، از همان اصول و قوانینی که هنگام جمع اعداد معمولی استفاده می شود، پیروی می شود. جمع کسرهای اعشاری به صورت رقمی اتفاق می افتد: دهم به دهم، صدم به صدم، هزارم به هزارم اضافه می شود.

بنابراین، هنگام جمع کردن کسرهای اعشاری، باید از قانون پیروی کنید "کاما زیر کاما". کاما زیر کاما همان ترتیبی را ارائه می دهد که در آن دهم ها به دهم، صدم به صدم، هزارم به هزارم اضافه می شوند.

مثال 1.مقدار عبارت 1.5 + 3.4 را پیدا کنید

اول از همه قسمت های کسری 5 + 4 = 9 را جمع می کنیم. در قسمت کسری پاسخ خود 9 می نویسیم:

حالا اعداد صحیح 1 + 3 = 4 را اضافه می کنیم. چهار عدد را در قسمت صحیح پاسخ خود می نویسیم:

حالا با کاما کل قسمت را از قسمت کسری جدا می کنیم. برای انجام این کار، دوباره از قانون "کاما زیر کاما" پیروی می کنیم:

ما پاسخ 4.9 را دریافت کردیم. یعنی مقدار عبارت 1.5 + 3.4 برابر 4.9 است

مثال 2.مقدار عبارت را پیدا کنید: 3.51 + 1.22

این عبارت را در یک ستون با رعایت قانون "کاما زیر کاما" می نویسیم.

اول از همه قسمت کسری یعنی صدم های 1+2=3 را جمع می کنیم. در قسمت صدم پاسخمان یک سه گانه می نویسیم:

حالا دهم های 5+2=7 را اضافه کنید. در قسمت دهم پاسخمان یک هفت می نویسیم:

حالا کل قسمت های 3+1=4 را اضافه می کنیم. ما چهار را در کل قسمت پاسخ خود می نویسیم:

با رعایت قانون "کاما زیر کاما" کل قسمت را از قسمت کسری جدا می کنیم:

پاسخی که دریافت کردیم 4.73 بود. یعنی مقدار عبارت 3.51 + 1.22 برابر با 4.73 است

3,51 + 1,22 = 4,73

مانند اعداد معمولی، هنگام جمع اعشار، . در این صورت یک رقم در پاسخ نوشته می شود و بقیه به رقم بعدی منتقل می شود.

مثال 3.مقدار عبارت 2.65 + 3.27 را بیابید

این عبارت را در ستون می نویسیم:

صدم ها را اضافه کنید 5+7=12. عدد 12 در قسمت صدم پاسخ ما نمی گنجد. بنابراین در قسمت صدم عدد 2 را می نویسیم و واحد را به رقم بعدی منتقل می کنیم:

حالا دهم های 6+2=8 را به اضافه واحدی که از عملیات قبلی به دست آوردیم با هم جمع می کنیم، عدد 9 به دست می آید. عدد 9 را در دهم پاسخ خود می نویسیم:

حالا کل قسمت ها 2+3=5 را اضافه می کنیم. عدد 5 را در قسمت صحیح پاسخ خود می نویسیم:

پاسخی که دریافت کردیم 5.92 بود. یعنی مقدار عبارت 2.65 + 3.27 برابر با 5.92 است

2,65 + 3,27 = 5,92

مثال 4.مقدار عبارت 9.5 + 2.8 را پیدا کنید

این عبارت را در ستون می نویسیم

قسمت های کسری 5 + 8 = 13 را جمع می کنیم. عدد 13 در قسمت کسری پاسخ ما نمی گنجد، بنابراین ابتدا عدد 3 را یادداشت می کنیم و واحد را به رقم بعدی منتقل می کنیم یا بهتر است بگوییم آن را به عدد منتقل می کنیم. قسمت عدد صحیح:

حالا اجزای صحیح 9+2=11 را به اضافه واحدی که از عملیات قبلی به دست آوردیم اضافه می کنیم، عدد 12 به دست می آید. عدد 12 را در قسمت صحیح پاسخ خود می نویسیم:

کل قسمت را با کاما از قسمت کسری جدا کنید:

پاسخ 12.3 را دریافت کردیم. یعنی مقدار عبارت 9.5 + 2.8 برابر با 12.3 است

9,5 + 2,8 = 12,3

هنگام جمع اعشار، تعداد ارقام بعد از اعشار در هر دو کسر باید یکسان باشد. اگر اعداد کافی وجود نداشته باشد، این مکان ها در قسمت کسری با صفر پر می شوند.

مثال 5. مقدار عبارت را پیدا کنید: 12.725 + 1.7

قبل از نوشتن این عبارت در یک ستون، بیایید تعداد ارقام بعد از اعشار در هر دو کسر را یکسان کنیم. کسر اعشاری 12.725 دارای سه رقم بعد از نقطه اعشار است، اما کسری 1.7 تنها یک رقم دارد. این به این معنی است که در کسر 1.7 باید دو صفر در پایان اضافه کنید. سپس کسری 1.700 را بدست می آوریم. حالا می توانید این عبارت را در یک ستون بنویسید و شروع به محاسبه کنید:

قسمت های هزارم 5+0=5 را اضافه کنید. عدد 5 را در قسمت هزارم پاسخ خود می نویسیم:

صدم ها را اضافه کنید 2+0=2. عدد 2 را در قسمت صدم پاسخ خود می نویسیم:

دهمین 7+7=14 را جمع کنید. عدد 14 در یک دهم پاسخ ما قرار نمی گیرد. بنابراین، ابتدا عدد 4 را یادداشت می کنیم و واحد را به رقم بعدی منتقل می کنیم:

حالا قسمت های صحیح 12+1=13 را به اضافه واحدی که از عملیات قبلی گرفتیم جمع می کنیم، 14 می گیریم. عدد 14 را در قسمت صحیح پاسخ خود می نویسیم:

کل قسمت را با کاما از قسمت کسری جدا کنید:

ما 14425 پاسخ دریافت کردیم. یعنی مقدار عبارت 12.725+1.700 برابر با 14.425 است.

12,725+ 1,700 = 14,425

تفریق اعشار

هنگام تفریق کسرهای اعشاری، باید از همان قوانینی پیروی کنید که هنگام اضافه کردن: "کاما زیر نقطه اعشار" و "تعداد ارقام مساوی بعد از نقطه اعشار".

مثال 1.مقدار عبارت 2.5 − 2.2 را بیابید

ما این عبارت را در یک ستون با رعایت قانون "کاما زیر کاما" می نویسیم:

قسمت کسری 5-2=3 را محاسبه می کنیم. عدد 3 را در قسمت دهم پاسخ خود می نویسیم:

قسمت عدد صحیح 2-2=0 را محاسبه می کنیم. در قسمت صحیح پاسخ خود صفر می نویسیم:

کل قسمت را با کاما از قسمت کسری جدا کنید:

ما پاسخ 0.3 را دریافت کردیم. این بدان معنی است که مقدار عبارت 2.5 - 2.2 برابر با 0.3 است

2,5 − 2,2 = 0,3

مثال 2.مقدار عبارت 7.353 - 3.1 را بیابید

این عبارت دارای تعداد اعشار متفاوت است. کسر 7.353 دارای سه رقم بعد از نقطه اعشار است، اما کسری 3.1 تنها یک رقم دارد. این بدان معناست که در کسر 3.1 باید دو صفر در انتها اضافه کنید تا تعداد ارقام هر دو کسر یکسان شود. سپس 3100 می گیریم.

حالا می توانید این عبارت را در یک ستون بنویسید و آن را محاسبه کنید:

ما 4253 پاسخ دریافت کردیم. یعنی مقدار عبارت 7.353 − 3.1 برابر با 4.253 است.

7,353 — 3,1 = 4,253

مانند اعداد معمولی، گاهی اوقات اگر تفریق غیرممکن شود، مجبور خواهید بود از یک رقم مجاور یک عدد قرض بگیرید.

مثال 3.مقدار عبارت 3.46 - 2.39 را بیابید

صدم های 6-9 را تفریق کنید. شما نمی توانید عدد 9 را از عدد 6 کم کنید. بنابراین، باید یک عدد از رقم مجاور قرض بگیرید. با قرض گرفتن یک از رقم مجاور، عدد 6 به عدد 16 تبدیل می شود. اکنون می توانید صدم های 16−9=7 را محاسبه کنید. در قسمت صدم پاسخمان یک عدد هفت می نویسیم:

حالا یک دهم را کم می کنیم. از آنجایی که یک واحد را در جایگاه دهم گرفتیم، رقمی که در آنجا قرار داشت یک واحد کاهش یافت. به عبارت دیگر، در مکان دهم اکنون نه عدد 4، بلکه عدد 3 وجود دارد. بیایید دهمهای 3-3=0 را محاسبه کنیم. در قسمت دهم پاسخ خود صفر می نویسیم:

حالا کل قسمت ها را کم می کنیم 3−2=1. در قسمت صحیح پاسخمان یک می نویسیم:

کل قسمت را با کاما از قسمت کسری جدا کنید:

ما پاسخ 1.07 را دریافت کردیم. این به این معنی است که مقدار عبارت 3.46-2.39 برابر با 1.07 است

3,46−2,39=1,07

مثال 4. مقدار عبارت 3-1.2 را بیابید

این مثال یک عدد اعشاری را از یک عدد کامل کم می کند. اجازه دهید این عبارت را در یک ستون بنویسیم تا کل بخشکسر اعشاری 1.23 عدد 3 بود

حالا بیایید تعداد ارقام بعد از اعشار را یکسان کنیم. برای این کار بعد از عدد 3 یک کاما می گذاریم و یک صفر اضافه می کنیم:

حالا یک دهم را کم می کنیم: 0-2. شما نمی توانید عدد 2 را از صفر کم کنید، بنابراین، باید یک را از رقم مجاور قرض بگیرید. با قرض گرفتن یکی از رقم همسایه، 0 به عدد 10 تبدیل می شود. اکنون می توانید دهم های 10−2=8 را محاسبه کنید. در قسمت دهم پاسخمان هشت می نویسیم:

حالا کل قطعات را کم می کنیم. قبلا عدد 3 در کل قرار داشت اما یک واحد از آن برداشتیم. در نتیجه به عدد 2 تبدیل شد. بنابراین از 2 عدد 1 را کم می کنیم. 2-1=1. در قسمت صحیح پاسخمان یک می نویسیم:

کل قسمت را با کاما از قسمت کسری جدا کنید:

پاسخی که دریافت کردیم 1.8 بود. این به این معنی است که مقدار عبارت 3-1.2 1.8 است

ضرب اعشار

ضرب اعشار ساده و حتی سرگرم کننده است. برای ضرب اعشار، آنها را مانند اعداد معمولی ضرب می کنید، بدون توجه به کاما.

پس از دریافت پاسخ، باید کل قسمت را با کاما از قسمت کسری جدا کنید. برای این کار باید تعداد ارقام بعد از نقطه اعشار را در هر دو کسر بشمارید، سپس همان تعداد ارقام را از سمت راست در پاسخ بشمارید و کاما بگذارید.

مثال 1.مقدار عبارت 2.5 × 1.5 را بیابید

بیایید این کسرهای اعشاری را مانند اعداد معمولی ضرب کنیم، بدون توجه به کاما. برای نادیده گرفتن کاما، می توانید به طور موقت تصور کنید که آنها به طور کلی وجود ندارند:

375 گرفتیم. در این عدد باید با کاما قسمت صحیح را از قسمت کسری جدا کنید. برای این کار باید تعداد ارقام بعد از اعشار در کسرهای 2.5 و 1.5 را بشمارید. کسر اول یک رقم بعد از اعشار دارد و کسر دوم نیز یک رقم دارد. مجموعا دو عدد

به عدد 375 برمی گردیم و شروع به حرکت از راست به چپ می کنیم. باید دو رقم را در سمت راست بشماریم و کاما بگذاریم:

ما پاسخ 3.75 را دریافت کردیم. بنابراین مقدار عبارت 2.5 × 1.5 برابر با 3.75 است

2.5 × 1.5 = 3.75

مثال 2.مقدار عبارت 12.85 × 2.7 را بیابید

بیایید این کسرهای اعشاری را با نادیده گرفتن کاما ضرب کنیم:

ما 34695 گرفتیم. در این عدد باید قسمت عدد صحیح را با کاما از قسمت کسری جدا کنید. برای این کار باید تعداد ارقام بعد از اعشار در کسرهای 12.85 و 2.7 را بشمارید. کسر 12.85 دارای دو رقم بعد از نقطه اعشار است و کسری 2.7 دارای یک رقم - در مجموع سه رقم است.

به شماره 34695 برمی گردیم و از راست به چپ حرکت می کنیم. باید سه رقم را در سمت راست بشماریم و یک کاما بگذاریم:

ما 34695 پاسخ دریافت کردیم. بنابراین مقدار عبارت 12.85 × 2.7 برابر با 34.695 است

12.85 × 2.7 = 34.695

ضرب اعشار در یک عدد منظم

گاهی اوقات موقعیت‌هایی پیش می‌آید که باید یک کسر اعشاری را در یک عدد منظم ضرب کنید.

برای ضرب یک اعشار و یک عدد، آنها را بدون توجه به کاما در اعشار ضرب می کنید. پس از دریافت پاسخ، باید کل قسمت را با کاما از قسمت کسری جدا کنید. برای این کار باید تعداد ارقام بعد از اعشار را در کسر اعشاری بشمارید، سپس همان تعداد ارقام را از سمت راست در پاسخ بشمارید و کاما بگذارید.

برای مثال 2.54 را در 2 ضرب کنید

کسری اعشاری 2.54 را در عدد معمولی 2 ضرب کنید، بدون توجه به کاما:

ما عدد 508 را گرفتیم. در این عدد باید با کاما قسمت صحیح را از قسمت کسری جدا کنید. برای این کار باید تعداد ارقام بعد از نقطه اعشار در کسر 2.54 را بشمارید. کسر 2.54 دارای دو رقم بعد از نقطه اعشار است.

به شماره 508 برمی گردیم و شروع به حرکت از راست به چپ می کنیم. باید دو رقم را در سمت راست بشماریم و کاما بگذاریم:

ما پاسخ 5.08 دریافت کردیم. بنابراین مقدار عبارت 2.54 × 2 5.08 است

2.54 × 2 = 5.08

ضرب اعشار در 10، 100، 1000

ضرب اعشار در 10، 100 یا 1000 مانند ضرب اعشار در اعداد منظم انجام می شود. باید ضرب را انجام دهید، بدون توجه به کاما در کسری اعشاری، سپس در پاسخ، کل قسمت را از قسمت کسری جدا کنید، از سمت راست همان تعداد ارقامی را بشمارید که ارقام بعد از نقطه اعشار وجود دارد.

برای مثال 2.88 را در 10 ضرب کنید

کسر اعشاری 2.88 را در 10 ضرب کنید، بدون توجه به کاما در کسری اعشاری:

ما 2880 گرفتیم. در این عدد باید قسمت عدد صحیح را با کاما از قسمت کسری جدا کنید. برای این کار باید تعداد ارقام بعد از اعشار در کسر 2.88 را بشمارید. می بینیم که کسر 2.88 دارای دو رقم بعد از نقطه اعشار است.

به عدد 2880 برمی گردیم و شروع به حرکت از راست به چپ می کنیم. باید دو رقم را در سمت راست بشماریم و کاما بگذاریم:

ما پاسخ 28.80 را دریافت کردیم. صفر آخر را رها می کنیم و 28.8 می گیریم. یعنی مقدار عبارت 2.88×10 برابر با 28.8 است

2.88 × 10 = 28.8

راه دومی برای ضرب کسرهای اعشاری در 10، 100، 1000 وجود دارد. این روش بسیار ساده تر و راحت تر است. این عبارت است از انتقال نقطه اعشار به سمت راست با تعداد صفرهایی که در ضریب وجود دارد.

برای مثال مثال قبلی 2.88×10 را به این صورت حل می کنیم. بدون اینکه محاسباتی انجام دهیم، بلافاصله به فاکتور 10 نگاه می کنیم. ما علاقه مندیم که چند عدد صفر در آن وجود داشته باشد. می بینیم که یک صفر در آن وجود دارد. حالا در کسر 2.88 نقطه اعشار را به یک رقم سمت راست می بریم، 28.8 به دست می آید.

2.88 × 10 = 28.8

بیایید سعی کنیم 2.88 را در 100 ضرب کنیم. بلافاصله به ضریب 100 نگاه می کنیم. ما علاقه مندیم که چند صفر در آن وجود داشته باشد. می بینیم که دو صفر در آن وجود دارد. اکنون در کسر 2.88 نقطه اعشار را به دو رقم سمت راست منتقل می کنیم، 288 به دست می آید.

2.88 × 100 = 288

بیایید سعی کنیم 2.88 را در 1000 ضرب کنیم. بلافاصله به ضریب 1000 نگاه می کنیم. ما علاقه مندیم که چند صفر در آن وجود دارد. می بینیم که سه صفر در آن وجود دارد. اکنون در کسر 2.88 نقطه اعشار را سه رقم به سمت راست می بریم. هیچ رقم سومی وجود ندارد، بنابراین یک صفر دیگر اضافه می کنیم. در نتیجه 2880 بدست می آید.

2.88 × 1000 = 2880

ضرب اعشار در 0.1 0.01 و 0.001

ضرب اعشار در 0.1، 0.01 و 0.001 مانند ضرب اعشار در اعشار عمل می کند. باید کسرها را مانند اعداد معمولی ضرب کرد و در جواب یک کاما گذاشت و به تعداد ارقام بعد از اعشار هر دو کسر در سمت راست شمارش کرد.

برای مثال 3.25 را در 0.1 ضرب کنید

ما این کسرها را مانند اعداد معمولی ضرب می کنیم و کاما را نادیده می گیریم:

ما 325 گرفتیم. در این عدد باید قسمت عدد صحیح را با کاما از قسمت کسری جدا کنید. برای این کار باید تعداد ارقام بعد از اعشار در کسرهای 3.25 و 0.1 را بشمارید. کسر 3.25 دارای دو رقم بعد از نقطه اعشار است و کسری 0.1 دارای یک رقم است. مجموعا سه عدد

به عدد 325 برمی گردیم و شروع به حرکت از راست به چپ می کنیم. باید سه رقم از سمت راست بشماریم و کاما بگذاریم. پس از شمارش معکوس سه رقمی، متوجه می شویم که اعداد تمام شده اند. در این حالت باید یک صفر اضافه کنید و یک کاما اضافه کنید:

ما پاسخ 0.325 را دریافت کردیم. این بدان معناست که مقدار عبارت 3.25 × 0.1 برابر 0.325 است

3.25 × 0.1 = 0.325

راه دومی برای ضرب اعشار در 0.1، 0.01 و 0.001 وجود دارد. این روش بسیار ساده تر و راحت تر است. این شامل حرکت دادن نقطه اعشار به سمت چپ با تعداد صفرهایی است که در ضریب وجود دارد.

برای مثال مثال قبلی را به این صورت 3.25×0.1 حل می کنیم. بدون انجام هیچ گونه محاسباتی، بلافاصله به ضریب 0.1 نگاه می کنیم. ما علاقه مندیم که چند عدد صفر در آن وجود داشته باشد. می بینیم که یک صفر در آن وجود دارد. اکنون در کسر 3.25 نقطه اعشار را یک رقم به سمت چپ منتقل می کنیم. با حرکت دادن کاما یک رقمی به سمت چپ، می بینیم که دیگر رقمی قبل از سه وجود ندارد. در این حالت یک صفر اضافه کنید و یک کاما بگذارید. نتیجه 0.325 است

3.25 × 0.1 = 0.325

بیایید سعی کنیم 3.25 را در 0.01 ضرب کنیم. ما بلافاصله به ضریب 0.01 نگاه می کنیم. ما علاقه مندیم که چند عدد صفر در آن وجود داشته باشد. می بینیم که دو صفر در آن وجود دارد. اکنون در کسر 3.25 نقطه اعشار را به دو رقم سمت چپ منتقل می کنیم، 0.0325 به دست می آید.

3.25 × 0.01 = 0.0325

بیایید سعی کنیم 3.25 را در 0.001 ضرب کنیم. ما بلافاصله به ضریب 0.001 نگاه می کنیم. ما علاقه مندیم که چند عدد صفر در آن وجود داشته باشد. می بینیم که سه صفر در آن وجود دارد. حالا در کسر 3.25 اعشار را سه رقمی به چپ می بریم، 0.00325 به دست می آید.

3.25 × 0.001 = 0.00325

ضرب کسرهای اعشاری در 0.1، 0.001 و 0.001 را با ضرب در 10، 100، 1000 اشتباه نگیرید. اشتباه رایجاکثر مردم

هنگام ضرب در 10، 100، 1000، نقطه اعشار با همان تعداد ارقامی که در ضریب صفر وجود دارد به سمت راست منتقل می شود.

و هنگام ضرب در 0.1، 0.01 و 0.001، نقطه اعشار با همان تعداد ارقامی که صفر در ضریب وجود دارد به سمت چپ منتقل می شود.

اگر در ابتدا به خاطر سپردن سخت است، می توانید از روش اول استفاده کنید، که در آن ضرب مانند اعداد معمولی انجام می شود. در پاسخ، باید کل قسمت را از قسمت کسری با شمارش همان تعداد ارقام سمت راست به اندازه ارقام بعد از نقطه اعشار در هر دو کسر جدا کنید.

تقسیم عدد کوچکتر بر عدد بزرگتر. سطح پیشرفته.

در یکی از درس های قبل گفتیم که هنگام تقسیم عدد کوچکتر بر عدد بزرگتر کسری به دست می آید که صورت آن تقسیم کننده و مخرج آن مقسوم علیه است.

به عنوان مثال، برای تقسیم یک سیب بین دو نفر، باید 1 (یک سیب) را در صورت و 2 (دو دوست) را در مخرج بنویسید. در نتیجه کسر را بدست می آوریم. این بدان معنی است که هر دوست یک سیب دریافت می کند. به عبارتی نصف سیب. کسری پاسخ مسئله است چگونه یک سیب را به دو تقسیم کنیم

معلوم می شود که اگر 1 را بر 2 تقسیم کنید می توانید این مشکل را بیشتر حل کنید. بالاخره خط کسری در هر کسری به معنای تقسیم است و بنابراین این تقسیم در کسر مجاز است. اما چگونه؟ ما به این واقعیت عادت کرده ایم که سود سهام همیشه از تقسیم کننده بیشتر است. اما در اینجا، برعکس، سود سهام کمتر از تقسیم کننده است.

همه چیز روشن می شود اگر به یاد داشته باشیم که کسری به معنای خرد کردن، تقسیم کردن، تقسیم است. این بدان معناست که واحد را می توان به تعداد دلخواه و نه فقط به دو قسمت تقسیم کرد.

وقتی یک عدد کوچکتر را بر یک عدد بزرگتر تقسیم می کنید، یک کسری اعشاری به دست می آید که در آن قسمت صحیح 0 (صفر) است. قسمت کسری می تواند هر چیزی باشد.

بنابراین، بیایید 1 را بر 2 تقسیم کنیم. بیایید این مثال را با یک گوشه حل کنیم:

نمی توان یک نفر را به طور کامل به دو قسمت تقسیم کرد. اگر سوالی بپرسید "چند دو در یک وجود دارد" پس جواب 0 می شود. بنابراین در ضریب 0 می نویسیم و کاما می گذاریم:

حالا طبق معمول ضریب را در مقسوم علیه ضرب می کنیم تا باقیمانده را بدست آوریم:

لحظه ای فرا رسیده است که واحد را می توان به دو قسمت تقسیم کرد. برای انجام این کار، یک صفر دیگر در سمت راست یک حاصل اضافه کنید:

عدد 10 را به دست می آوریم. 10 را بر 2 تقسیم می کنیم، عدد 5 را بدست می آوریم. پنج را در قسمت کسری پاسخ خود می نویسیم:

اکنون آخرین باقیمانده را برای تکمیل محاسبه خارج می کنیم. 5 را در 2 ضرب کنید تا به 10 برسید

ما پاسخ 0.5 دریافت کردیم. بنابراین کسر 0.5 است

نصف سیب را می توان با استفاده از کسر اعشاری 0.5 نیز نوشت. اگر این دو نیمه (0.5 و 0.5) را اضافه کنیم، دوباره یک سیب کامل اصلی را بدست می آوریم:

این نکته را نیز می توان فهمید اگر تصور کنید 1 سانتی متر چگونه به دو قسمت تقسیم می شود. اگر 1 سانتی متر را به 2 قسمت تقسیم کنید 0.5 سانتی متر به دست می آید

مثال 2.مقدار عبارت 4:5 را پیدا کنید

در یک چهار عدد پنج عدد وجود دارد؟ اصلا. در ضریب 0 می نویسیم و کاما می گذاریم:

0 را در 5 ضرب می کنیم، 0 می گیریم. زیر چهار عدد صفر می نویسیم. بلافاصله این صفر را از سود سهام کم کنید:

حالا بیایید شروع به تقسیم (تقسیم) چهار به 5 قسمت کنیم. برای این کار، یک صفر به سمت راست 4 اضافه کنید و 40 را بر 5 تقسیم کنید، 8 به دست می آید. در ضریب هشت می نویسیم.

مثال را با ضرب 8 در 5 کامل می کنیم تا عدد 40 بدست آید:

ما پاسخ 0.8 را دریافت کردیم. یعنی مقدار عبارت 4:5 0.8 است

مثال 3.مقدار عبارت 5: 125 را بیابید

125 در پنج چند عدد است؟ اصلا. در ضریب 0 می نویسیم و کاما می گذاریم:

0 را در 5 ضرب می کنیم 0 می گیریم زیر پنج عدد 0 می نویسیم. بلافاصله 0 را از پنج کم کنید

حالا بیایید شروع به تقسیم (تقسیم) پنج به 125 قسمت کنیم. برای این کار در سمت راست این پنج عدد صفر می نویسیم:

50 را بر 125 تقسیم کنید 125 در عدد 50 چند عدد است؟ اصلا. بنابراین در ضریب ما دوباره 0 می نویسیم

0 را در 125 ضرب می کنیم، 0 می گیریم. این صفر را زیر 50 بنویسید. بلافاصله 0 را از 50 کم کنید.

حالا عدد 50 را به 125 قسمت تقسیم کنید. برای این کار، یک صفر دیگر در سمت راست 50 می نویسیم:

500 را بر 125 تقسیم کنید. در عدد 500 125 چند عدد است. در عدد 500 چهار عدد را بنویسید؟

مثال را با ضرب 4 در 125 تکمیل می کنیم تا عدد 500 بدست آید

ما پاسخ 0.04 را دریافت کردیم. این به این معنی است که مقدار عبارت 5: 125 0.04 است

تقسیم اعداد بدون باقی مانده

بنابراین، بیایید یک کاما بعد از واحد در ضریب قرار دهیم، به این ترتیب نشان می دهد که تقسیم اجزای صحیح به پایان رسیده است و ما به قسمت کسری می رویم:

به 4 باقی مانده صفر اضافه می کنیم

حالا 40 را بر 5 تقسیم می کنیم، 8 به دست می آید. در ضریب هشت می نویسیم:

40-40=0. ما 0 مانده است. این به این معنی است که تقسیم به طور کامل تکمیل شده است. با تقسیم 9 بر 5 کسر اعشاری 1.8 بدست می آید:

9: 5 = 1,8

مثال 2. 84 را بدون باقیمانده بر 5 تقسیم کنید

ابتدا 84 را بر 5 با باقی مانده تقسیم کنید:

16 تا در خصوصی گرفتیم و 4 تا مونده. حالا بیایید این باقیمانده را بر 5 تقسیم کنیم. یک کاما در ضریب قرار دهید و 0 را به باقی مانده 4 اضافه کنید.

حالا 40 را بر 5 تقسیم می کنیم 8 می گیریم. هشت را در ضریب بعد از اعشار می نویسیم:

و مثال را با بررسی اینکه آیا هنوز باقی مانده است کامل کنید:

تقسیم اعشار بر یک عدد منظم

همانطور که می دانیم کسر اعشاری از یک عدد صحیح و یک جزء کسری تشکیل شده است. هنگام تقسیم کسری اعشاری بر یک عدد منظم، ابتدا باید:

• کل کسری اعشاری را بر این عدد تقسیم کنید.
• پس از تقسیم کل قسمت، باید بلافاصله یک کاما را در ضریب قرار دهید و محاسبه را مانند تقسیم عادی ادامه دهید.

برای مثال 4.8 را بر 2 تقسیم کنید

بیایید این مثال را در گوشه ای بنویسیم:

حالا بیایید کل قسمت را بر 2 تقسیم کنیم. چهار تقسیم بر دو برابر است با دو. ما دو را در ضریب می نویسیم و بلافاصله کاما می گذاریم:

حالا ضریب را در مقسوم علیه ضرب می کنیم و می بینیم که آیا از تقسیم باقی مانده است یا خیر:

4-4=0. باقی مانده صفر است. ما هنوز صفر را یادداشت نمی کنیم، زیرا راه حل کامل نشده است. در مرحله بعد، ما به محاسبه مانند تقسیم معمولی ادامه می دهیم. 8 را پایین بیاورید و بر 2 تقسیم کنید

8: 2 = 4. چهار را در ضریب می نویسیم و بلافاصله آن را در مقسوم علیه ضرب می کنیم:

ما پاسخ 2.4 را دریافت کردیم. مقدار عبارت 4.8:2 2.4 است

مثال 2.مقدار عبارت 8.43: 3 را بیابید

8 را بر 3 تقسیم می کنیم، 2 می گیریم. بلافاصله بعد از 2 یک کاما قرار دهید:

حالا ضریب را در مقسوم علیه 2 × 3 = 6 ضرب می کنیم. شش را زیر هشت می نویسیم و باقیمانده را پیدا می کنیم:

24 را بر 3 تقسیم می کنیم 8 بدست می آوریم در ضریب هشت می نویسیم. بلافاصله آن را در مقسوم علیه ضرب کنید تا باقیمانده تقسیم را بیابید:

24-24=0. باقی مانده صفر است. ما هنوز صفر را یادداشت نکرده ایم. سه مورد آخر را از سود سهام حذف می کنیم و بر 3 تقسیم می کنیم، 1 می گیریم. بلافاصله 1 را در 3 ضرب کنید تا این مثال کامل شود:

پاسخی که دریافت کردیم 2.81 بود. یعنی مقدار عبارت 8.43: 3 برابر با 2.81 است

تقسیم اعشار بر اعشار

برای تقسیم کسر اعشاری بر کسری اعشاری، باید نقطه اعشار در تقسیم‌کننده و مقسوم‌کننده را به همان تعداد رقمی که بعد از نقطه اعشار در مقسوم‌گیرنده وجود دارد، به سمت راست ببرید و سپس بر عدد معمولی تقسیم کنید.

برای مثال 5.95 را بر 1.7 تقسیم کنید

بیایید این عبارت را با یک گوشه بنویسیم

حالا در تقسیم‌کننده و در مقسوم‌کننده، نقطه اعشار را به همان تعداد رقمی که بعد از اعشار در مقسوم‌گیرنده وجود دارد، به سمت راست می‌بریم. مقسوم علیه یک رقم بعد از اعشار دارد. یعنی در تقسیم‌کننده و مقسوم‌کننده باید نقطه اعشار را یک رقم به سمت راست ببریم. انتقال می دهیم:

پس از انتقال نقطه اعشار به یک رقم راست، کسر اعشاری 5.95 به کسری 59.5 تبدیل شد. و کسر اعشاری 1.7، پس از انتقال نقطه اعشار به سمت راست توسط یک رقم، به عدد معمولی 17 تبدیل شد. و ما از قبل می دانیم که چگونه یک کسری اعشاری را بر یک عدد منظم تقسیم کنیم. محاسبه بیشتر دشوار نیست:

کاما به سمت راست منتقل می شود تا تقسیم بندی آسان تر شود. این مجاز است زیرا هنگام ضرب یا تقسیم سود و مقسوم بر یک عدد، ضریب تغییر نمی کند. چه مفهومی داره؟

این یکی از ویژگی های جالبتقسیم. به آن خاصیت ضریب می گویند. عبارت 9 را در نظر بگیرید: 3 = 3. اگر در این عبارت سود تقسیمی و مقسوم علیه در یک عدد ضرب یا تقسیم شوند، آنگاه ضریب 3 تغییر نمی کند.

بیایید تقسیم و مقسوم علیه را در 2 ضرب کنیم و ببینیم چه چیزی از آن حاصل می شود:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

همانطور که از مثال مشخص است، ضریب تغییر نکرده است.

وقتی کاما را در تقسیم کننده و در تقسیم کننده جابه جا می کنیم همین اتفاق می افتد. در مثال قبل، جایی که 5.91 را بر 1.7 تقسیم کردیم، کاما در تقسیم و مقسوم علیه را یک رقم به سمت راست منتقل کردیم. پس از جابجایی نقطه اعشار، کسری 5.91 به کسری 59.1 و کسری 1.7 به عدد معمولی 17 تبدیل شد.

در واقع، در داخل این فرآیند یک ضرب در 10 وجود دارد. این چیزی است که به نظر می رسد:

5.91 × 10 = 59.1

بنابراین، تعداد ارقام بعد از نقطه اعشار در مقسوم علیه تعیین می کند که سود و مقسوم علیه در چه چیزی ضرب شود. به عبارت دیگر، تعداد ارقام بعد از اعشار در مقسوم علیه تعیین می کند که چند رقم در تقسیم و در مقسوم علیه، نقطه اعشار به سمت راست منتقل می شود.

تقسیم اعشار بر 10، 100، 1000

تقسیم اعشار بر 10، 100 یا 1000 به همان روش انجام می شود. به عنوان مثال، 2.1 را بر 10 تقسیم کنید. این مثال را با استفاده از یک گوشه حل کنید:

اما راه دومی هم وجود دارد. سبک تر است. ماهیت این روش این است که کاما در تقسیم‌کننده با تعداد صفرهایی که در مقسوم‌گیرنده وجود دارد به سمت چپ منتقل می‌شود.

مثال قبلی را به این صورت حل می کنیم. 2.1: 10. ما به مقسوم علیه نگاه می کنیم. ما علاقه مندیم که چند عدد صفر در آن وجود داشته باشد. می بینیم که یک صفر وجود دارد. این بدان معنی است که در تقسیم 2.1 باید نقطه اعشار را یک رقم به سمت چپ منتقل کنید. کاما را به یک رقم سمت چپ منتقل می کنیم و می بینیم که دیگر رقمی باقی نمانده است. در این صورت یک صفر دیگر قبل از عدد اضافه کنید. در نتیجه ما 0.21 دریافت می کنیم

بیایید سعی کنیم 2.1 را بر 100 تقسیم کنیم در 100 دو صفر وجود دارد. این بدان معنی است که در تقسیم سود 2.1 باید کاما را با دو رقم به سمت چپ منتقل کنیم:

2,1: 100 = 0,021

بیایید سعی کنیم 2.1 را بر 1000 تقسیم کنیم. در 1000 سه صفر وجود دارد. این بدان معنی است که در تقسیم سود 2.1 باید کاما را با سه رقم به سمت چپ منتقل کنید:

2,1: 1000 = 0,0021

تقسیم اعشار بر 0.1، 0.01 و 0.001

تقسیم کسر اعشاری بر 0.1، 0.01 و 0.001 به همان روش انجام می شود. در تقسیم‌کننده و در مقسوم‌کننده، باید نقطه اعشار را به همان تعداد رقمی که بعد از نقطه اعشار در مقسوم‌گیرنده وجود دارد، به سمت راست ببرید.

به عنوان مثال، 6.3 را بر 0.1 تقسیم می کنیم. اول از همه، بیایید کاماهای تقسیم کننده و مقسوم علیه را با همان تعداد رقمی که بعد از نقطه اعشار در مقسوم علیه وجود دارد به سمت راست منتقل کنیم. مقسوم علیه یک رقم بعد از اعشار دارد. این بدان معناست که کاماهای تقسیم کننده و مقسوم علیه را با یک رقم به سمت راست حرکت می دهیم.

پس از انتقال نقطه اعشار به یک رقم راست، کسر اعشاری 6.3 به عدد معمولی 63 تبدیل می شود و کسری اعشاری 0.1 پس از انتقال نقطه اعشاری به سمت راست یک رقم به یک تبدیل می شود. و تقسیم 63 بر 1 بسیار ساده است:

یعنی مقدار عبارت 6.3: 0.1 برابر با 63 است

اما راه دومی هم وجود دارد. سبک تر است. ماهیت این روش این است که کاما در تقسیم‌کننده با تعداد صفرهایی که در مقسوم‌گیرنده وجود دارد به سمت راست منتقل می‌شود.

مثال قبلی را به این صورت حل می کنیم. 6.3: 0.1. بیایید به تقسیم کننده نگاه کنیم. ما علاقه مندیم که چند عدد صفر در آن وجود داشته باشد. می بینیم که یک صفر است. این بدان معناست که در تقسیم سود 6.3 باید نقطه اعشار را یک رقم به سمت راست منتقل کنید. کاما را به یک رقم سمت راست ببرید و 63 بگیرید

بیایید سعی کنیم 6.3 را بر 0.01 تقسیم کنیم. مقسوم علیه 0.01 دو صفر دارد. این بدان معناست که در تقسیم سود 6.3 باید نقطه اعشار را دو رقمی به سمت راست منتقل کنیم. اما در سود سهام فقط یک رقم بعد از نقطه اعشار وجود دارد. در این صورت باید یک صفر دیگر در پایان اضافه کنید. در نتیجه 630 می گیریم

بیایید سعی کنیم 6.3 را بر 0.001 تقسیم کنیم. مقسوم علیه 0.001 دارای سه صفر است. این بدان معنی است که در تقسیم سود 6.3 باید نقطه اعشار را سه رقم به سمت راست منتقل کنیم:

6,3: 0,001 = 6300

وظایف برای راه حل مستقل

آیا درس را دوست داشتید؟
به ما بپیوندید گروه جدید VKontakte و شروع به دریافت اعلان در مورد دروس جدید کنید

ما این مطالب را به موضوع مهمی مانند کسرهای اعشاری اختصاص خواهیم داد. ابتدا، بیایید تعاریف اساسی را تعریف کنیم، مثال هایی ارائه دهیم و در مورد قوانین نمادگذاری اعشاری و همچنین اینکه ارقام کسری اعشاری هستند صحبت کنیم. در مرحله بعد، انواع اصلی را برجسته می کنیم: کسرهای متناهی و نامتناهی، تناوبی و غیر تناوبی. در قسمت پایانی نشان خواهیم داد که چگونه نقاط مربوط به اعداد کسری در محور مختصات قرار دارند.

Yandex.RTB R-A-339285-1

نماد دهی اعداد کسری چیست؟

به اصطلاح نماد دهی اعداد کسری را می توان هم برای اعداد طبیعی و هم برای اعداد کسری استفاده کرد. به نظر می رسد مجموعه ای از دو یا چند عدد با یک کاما بین آنها باشد.

نقطه اعشار برای جدا کردن کل قسمت از قسمت کسری مورد نیاز است. به عنوان یک قاعده، آخرین رقم یک کسر اعشاری صفر نیست، مگر اینکه نقطه اعشار بلافاصله بعد از اولین صفر ظاهر شود.

چند نمونه از اعداد کسری در نماد اعشاری چیست؟ این می تواند 34، 21، 0، 35035044، 0، 0001، 11،231،552، 9، و غیره باشد.

در برخی از کتاب های درسی می توانید استفاده از نقطه را به جای کاما بیابید (5. 67. 6789. 1011، و غیره این گزینه معادل در نظر گرفته می شود، اما بیشتر برای منابع انگلیسی زبان است).

تعریف اعشار

بر اساس مفهوم فوق از نماد اعشاری، می توانیم تعریف زیر را از کسرهای اعشاری فرموله کنیم:

تعریف 1

اعشار نشان دهنده اعداد کسری در نماد اعشاری است.

چرا باید کسرها را به این شکل بنویسیم؟ به ما مزایایی نسبت به معمولی ها می دهد، به عنوان مثال، نماد فشرده تر، به خصوص در مواردی که مخرج شامل 1000، 100، 10، و غیره یا یک عدد مختلط است. به عنوان مثال، به جای 6 10 می توانیم 0.6، به جای 25 10000 - 0.0023، به جای 512 3 100 - 512.03 مشخص کنیم.

نحوه نمایش صحیح کسرهای معمولی با ده ها، صدها و هزاران در مخرج به صورت اعشاری در مطالب جداگانه ای مورد بحث قرار خواهد گرفت.

نحوه صحیح خواندن اعداد اعشاری

قوانینی برای خواندن نمادهای اعشاری وجود دارد. بنابراین، آن کسرهای اعشاری که معادل های معمولی منظم آنها مطابقت دارد، تقریباً یکسان خوانده می شوند، اما با افزودن کلمات "صفر دهم" در ابتدا. بنابراین، ورودی 0، 14، که مربوط به 14100 است، به عنوان "نقطه صفر چهاردهم" خوانده می شود.

اگر یک کسر اعشاری را بتوان با یک عدد مختلط مرتبط کرد، آنگاه به همان روش این عدد خوانده می شود. بنابراین، اگر کسری 002 56 را داشته باشیم که مربوط به 56 2 1000 است، این ورودی را به عنوان "پنجاه و شش نقطه دو هزارم" می خوانیم.

معنای یک رقم در کسر اعشاری بستگی به محل قرارگیری آن دارد (همانطور که در مورد اعداد طبیعی). بنابراین، در کسر اعشاری 0.7، هفت دهم، در 0.0007 ده هزارم و در کسری 70000.345 به معنای هفت ده هزار واحد کامل است. بنابراین، در کسرهای اعشاری نیز مفهوم ارزش مکانی وجود دارد.

نام ارقامی که قبل از نقطه اعشار قرار گرفته اند شبیه به ارقامی است که در اعداد طبیعی وجود دارد. اسامی افرادی که بعد از آن قرار دارند به وضوح در جدول ارائه شده است:

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 1

کسر اعشاری 43098 داریم. او چهار در مکان ده ها، سه در مکان یک ها، صفر در مکان دهم، 9 در مکان صدم و 8 در مکان هزارم دارد.

مرسوم است که رتبه های کسری اعشاری را بر اساس اولویت تشخیص دهیم. اگر در میان اعداد از چپ به راست حرکت کنیم، از مهم‌ترین به کم‌اهمیت‌ترین می‌رویم. معلوم می شود که صدها بزرگتر از ده ها هستند و قطعات در میلیون کوچکتر از صدم هستند. اگر آن کسر اعشاری نهایی را که در بالا به عنوان مثال ذکر کردیم، در نظر بگیریم، بالاترین یا بالاترین مکان در آن مکان صدها و پایین‌ترین یا پایین‌ترین مکان، مکان 10 هزارم خواهد بود.

هر کسر اعشاری را می توان به ارقام جداگانه گسترش داد، یعنی به صورت مجموع ارائه شود. این عمل به همان روش برای انجام می شود اعداد طبیعی.

مثال 2

بیایید سعی کنیم کسر 56، 0455 را به ارقام بسط دهیم.

دریافت خواهیم کرد:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

اگر ویژگی های جمع را به خاطر بسپاریم، می توانیم این کسر را به شکل های دیگر، به عنوان مثال، به صورت مجموع 56 + 0، 0455، یا 56، 0055 + 0، 4 و غیره نشان دهیم.

اعشار انتهایی چیست؟

تمام کسری که در بالا در مورد آنها صحبت کردیم متناهی هستند اعداد اعشاری. این بدان معنی است که تعداد ارقام بعد از نقطه اعشار محدود است. بیایید تعریف را استخراج کنیم:

تعریف 1

اعشار دنباله دار نوعی کسر اعشاری است که بعد از علامت اعشار دارای تعداد محدودی اعشار است.

نمونه هایی از این کسرها می توانند 0، 367، 3، 7، 55، 102567958، 231 032، 49 و غیره باشند.

هر یک از این کسرها را می توان به یک عدد مختلط تبدیل کرد (اگر مقدار جزء کسری آنها با صفر متفاوت باشد) یا به کسر مشترک(با قسمت عدد صحیح صفر). ما مقاله جداگانه ای را به نحوه انجام این کار اختصاص داده ایم. در اینجا ما فقط به چند مثال اشاره می کنیم: به عنوان مثال، می توانیم کسر اعشاری نهایی 5، 63 را به شکل 5 63 100 کاهش دهیم، و 0، 2 مربوط به 2 10 (یا هر کسری دیگر برابر با آن است، برای به عنوان مثال، 4 20 یا 1 5.)

اما روند معکوس، یعنی. نوشتن کسری مشترک به شکل اعشاری ممکن است همیشه امکان پذیر نباشد. بنابراین، 5 13 را نمی توان با کسری مساوی با مخرج 100، 10 و غیره جایگزین کرد، یعنی نمی توان از آن کسر اعشاری نهایی به دست آورد.

انواع اصلی کسرهای اعشاری نامتناهی: کسرهای تناوبی و غیر تناوبی

در بالا نشان دادیم که کسرهای محدود به این دلیل نامیده می شوند که تعداد ارقام محدودی بعد از نقطه اعشار دارند. با این حال، ممکن است نامتناهی باشد، در این صورت خود کسرها نیز نامتناهی نامیده می شوند.

تعریف 2

کسرهای اعشاری نامتناهی آنهایی هستند که بعد از نقطه اعشار تعداد بی نهایت رقم دارند.

بدیهی است که چنین اعدادی را نمی توان به طور کامل نوشت، بنابراین ما فقط بخشی از آنها را نشان می دهیم و سپس یک بیضی اضافه می کنیم. این علامت ادامه بی نهایت دنباله اعشار را نشان می دهد. نمونه هایی از کسرهای اعشاری نامتناهی عبارتند از 0, 143346732…, ​​3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152…. و غیره.

"دم" چنین کسری نه تنها می تواند شامل دنباله های به ظاهر تصادفی از اعداد باشد، بلکه تکرار مداومهمان علامت یا گروهی از نشانه ها. کسری با اعداد متناوب بعد از اعشار تناوبی نامیده می شود.

تعریف 3

کسرهای اعشاری تناوبی آن دسته از کسرهای اعشاری نامتناهی هستند که در آنها یک رقم یا گروهی متشکل از چندین رقم بعد از نقطه اعشار تکرار می شود. قسمت تکرار شونده دوره کسر نامیده می شود.

به عنوان مثال، برای کسر 3، 444444 …. دوره عدد 4 خواهد بود و برای 76، 134134134134 ... - گروه 134.

حداقل تعداد کاراکترهایی که می توان در نماد کسری تناوبی باقی گذاشت چقدر است؟ برای کسرهای تناوبی، نوشتن کل دوره یک بار در پرانتز کافی است. بنابراین، کسر 3، 444444…. درست است که آن را به صورت 3، (4) و 76، 134134134134... - به صورت 76، (134) بنویسیم.

به طور کلی، ورودی های با چند نقطه در پرانتز دقیقاً معنای مشابهی خواهند داشت: به عنوان مثال، کسر تناوبی 0.677777 همان 0.6 (7) و 0.6 (77) و غیره است. سوابق فرم های 0، 67777 (7)، 0، 67 (7777) و ... نیز قابل قبول است.

برای جلوگیری از اشتباه، یکنواختی علامت گذاری را معرفی می کنیم. بیایید توافق کنیم که فقط یک نقطه (کوتاه ترین دنباله اعداد ممکن) را که نزدیک ترین نقطه به نقطه اعشار است، بنویسیم و آن را در پرانتز قرار دهیم.

یعنی برای کسر فوق، ورودی اصلی را 0، 6 (7) در نظر می گیریم و مثلاً در مورد کسر 8، 9134343434، 8، 91 (34) را می نویسیم.

اگر مخرج یک کسر معمولی شامل ضرایب اول باشد که برابر با 5 و 2 نیست، پس از تبدیل آنها به نماد اعشاری، کسرهای نامتناهی ایجاد می شود.

در اصل، ما می توانیم هر کسر متناهی را به صورت تناوبی بنویسیم. برای این کار فقط باید تعداد بی نهایت صفر را به سمت راست اضافه کنیم. در ضبط به چه صورت است؟ فرض کنید کسر نهایی 45، 32 را داریم. در فرم تناوبی مانند 45، 32 (0) به نظر می رسد. این عمل امکان پذیر است زیرا با افزودن صفر به سمت راست هر کسر اعشاری، کسری برابر با آن حاصل می شود.

باید به کسرهای تناوبی با دوره 9 توجه ویژه ای شود، به عنوان مثال، 4، 89 (9)، 31، 6 (9). آنها نماد جایگزین برای کسرهای مشابه با نقطه 0 هستند، بنابراین اغلب هنگام نوشتن با کسری با نقطه صفر جایگزین می شوند. در این حالت یک به مقدار رقم بعدی اضافه می شود و (0) در پرانتز نشان داده می شود. تساوی اعداد حاصل را می توان به راحتی با نشان دادن آنها به عنوان کسرهای معمولی تأیید کرد.

به عنوان مثال، کسر 8، 31 (9) را می توان با کسر مربوطه 8، 32 (0) جایگزین کرد. یا 4، (9) = 5، (0) = 5.

به کسرهای تناوبی اعشاری نامتناهی اشاره می شود اعداد گویا. به عبارت دیگر، هر کسر تناوبی را می توان به عنوان یک کسر معمولی نشان داد و بالعکس.

همچنین کسری وجود دارد که دنباله ای بی نهایت تکرار شونده بعد از نقطه اعشار ندارند. در این حالت به آنها کسرهای غیر تناوبی می گویند.

تعریف 4

کسرهای اعشاری غیر تناوبی شامل آن دسته از کسرهای اعشاری نامتناهی است که دارای نقطه پس از نقطه اعشار نیستند، یعنی. تکرار گروه اعداد

گاهی اوقات کسرهای غیر تناوبی بسیار شبیه کسرهای تناوبی هستند. مثلاً 9, 03003000300003 ... در نگاه اول به نظر می رسد که دوره دارد. تجزیه و تحلیل دقیقاعداد اعشار تأیید می کند که این هنوز یک کسر غیر تناوبی است. شما باید خیلی مراقب چنین اعدادی باشید.

کسرهای غیر تناوبی به عنوان اعداد غیر منطقی طبقه بندی می شوند. آنها به کسری معمولی تبدیل نمی شوند.

عملیات پایه با اعشار

عملیات زیر را می توان با کسرهای اعشاری انجام داد: مقایسه، تفریق، جمع، تقسیم و ضرب. بیایید به هر یک از آنها به طور جداگانه نگاه کنیم.

مقایسه اعشار را می توان به مقایسه کسری که با اعشار اصلی مطابقت دارند کاهش داد. اما کسرهای نامتناهی غیر تناوبی را نمی توان به این شکل تقلیل داد، و تبدیل کسرهای اعشاری به کسرهای معمولی اغلب کار سختی است. در صورت نیاز به انجام این کار در حین حل یک مشکل، چگونه می توانیم به سرعت یک عمل مقایسه انجام دهیم؟ مقایسه کسرهای اعشاری با رقم به همان روشی که اعداد طبیعی را مقایسه می کنیم راحت است. ما مقاله جداگانه ای را به این روش اختصاص خواهیم داد.

برای اضافه کردن کسرهای اعشاری با دیگران، استفاده از روش جمع ستون، مانند اعداد طبیعی، راحت است. برای اضافه کردن کسرهای اعشاری تناوبی، ابتدا باید آنها را با کسرهای معمولی جایگزین کنید و طبق طرح استاندارد بشمارید. اگر با توجه به شرایط مسئله، باید کسرهای غیر تناوبی نامتناهی را جمع کنیم، ابتدا باید آنها را به یک رقم مشخص گرد کنیم و سپس آنها را جمع کنیم. هرچه رقمی که به آن گرد می کنیم کوچکتر باشد، دقت محاسبه بالاتر خواهد بود. برای تفریق، ضرب و تقسیم کسرهای نامتناهی نیز پیش گرد کردن لازم است.

پیدا کردن تفاوت بین کسرهای اعشاری معکوس جمع است. اساساً با استفاده از تفریق می‌توانیم عددی را پیدا کنیم که مجموع آن با کسری که کم می‌کنیم، کسری را به ما بدهد. در مقاله ای جداگانه در مورد این موضوع با جزئیات بیشتر صحبت خواهیم کرد.

ضرب کسرهای اعشاری مانند اعداد طبیعی انجام می شود. روش محاسبه ستونی نیز برای این کار مناسب است. ما دوباره این عمل را با کسرهای تناوبی به ضرب کسرهای معمولی طبق قوانین قبلاً مطالعه شده کاهش می دهیم. همانطور که به یاد داریم کسرهای نامتناهی باید قبل از محاسبات گرد شوند.

فرآیند تقسیم اعشار برعکس ضرب است. هنگام حل مسائل، از محاسبات ستونی نیز استفاده می کنیم.

شما می توانید مطابقت دقیقی بین کسر اعشاری نهایی و یک نقطه در محور مختصات ایجاد کنید. بیایید بفهمیم که چگونه نقطه ای را در محور مشخص کنیم که دقیقاً با کسر اعشاری مورد نیاز مطابقت دارد.

ما قبلاً نحوه ساختن نقاط مربوط به کسرهای معمولی را مطالعه کرده ایم، اما کسرهای اعشاری را می توان به این شکل کاهش داد. به عنوان مثال، کسر مشترک 14 10 همان 1، 4 است، بنابراین نقطه مربوطه در جهت مثبت دقیقاً با همان فاصله از مبدا حذف می شود:

شما می توانید بدون جایگزین کردن کسر اعشاری با یک کسر معمولی انجام دهید، اما از روش بسط با ارقام به عنوان پایه استفاده کنید. بنابراین، اگر لازم باشد نقطه ای را علامت گذاری کنیم که مختصات آن برابر با 15، 4008 باشد، ابتدا این عدد را به صورت مجموع 15 + 0، 4 +، 0008 ارائه می کنیم. برای شروع، اجازه دهید از ابتدای شمارش معکوس، 15 قطعه واحد کامل را در جهت مثبت، سپس 4 دهم یک بخش و سپس 8 ده هزارم یک بخش را کنار بگذارید. در نتیجه، یک نقطه مختصات به دست می‌آوریم که مربوط به کسر 15، 4008 است.

برای کسر اعشاری نامتناهی، بهتر است از این روش استفاده کنید، زیرا به شما امکان می دهد تا هر اندازه که دوست دارید به نقطه مورد نظر نزدیک شوید. در برخی موارد، می توان مطابقت دقیقی با کسری نامتناهی در محور مختصات ایجاد کرد: به عنوان مثال، 2 = 1، 41421. . . ، و این کسر را می توان با نقطه ای در پرتو مختصات، با طول قطر مربع از 0 فاصله داشت که ضلع آن برابر با یک قطعه واحد خواهد بود.

اگر نه یک نقطه در محور، بلکه یک کسری اعشاری مربوط به آن را پیدا کنیم، این عمل را اندازه گیری اعشاری یک قطعه می نامند. بیایید ببینیم چگونه این کار را به درستی انجام دهیم.

فرض کنید باید از صفر به بالاتر برسیم این نقطهدر محور مختصات (یا در مورد کسر نامتناهی تا حد امکان نزدیک شوید). برای این کار به تدریج قطعات واحد را از مبدا به تعویق می اندازیم تا به نقطه دلخواه برسیم. بعد از قطعات کامل، در صورت لزوم، دهم، صدم و کسرهای کوچکتر را اندازه می گیریم تا تطابق تا حد امکان دقیق باشد. در نتیجه، ما یک کسری اعشاری دریافت کردیم که مربوط به آن است نقطه داده شدهروی محور مختصات

در بالا یک نقاشی با نقطه M نشان دادیم. دوباره به آن نگاه کنید: برای رسیدن به این نقطه، باید از صفر یک قطعه و چهار دهم آن را اندازه گیری کنید، زیرا این نقطه با کسر اعشاری 1، 4 مطابقت دارد.

اگر نتوانیم در فرآیند اندازه گیری اعشاری به نقطه ای برسیم، به این معنی است که با کسر اعشاری بی نهایت مطابقت دارد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

این اتفاق می افتد که برای راحتی محاسبات باید یک کسری معمولی را به اعشار تبدیل کنید و بالعکس. در این مقاله در مورد نحوه انجام این کار صحبت خواهیم کرد. بیایید به قوانین تبدیل کسرهای معمولی به اعشار و بالعکس نگاهی بیندازیم و مثال هایی را نیز بیان کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ما تبدیل کسرهای معمولی به اعشار را با دنبال کردن یک دنباله مشخص در نظر خواهیم گرفت. ابتدا، بیایید ببینیم که چگونه کسرهای معمولی با مخرج مضرب 10 به اعشار تبدیل می‌شوند: 10، 100، 1000، و غیره.

در ادامه به نحوه تبدیل کسرهای معمولی با هر مخرج، نه فقط مضرب 10، به کسری اعشاری خواهیم پرداخت. توجه داشته باشید که هنگام تبدیل کسرهای معمولی به اعشاری، نه تنها اعشار متناهی، بلکه کسرهای اعشاری متناوب نامتناهی به دست می آیند.

بیا شروع کنیم!

ترجمه کسرهای معمولی با مخرج 10، 100، 1000 و غیره. به اعشار

اول از همه، اجازه دهید بگوییم که برخی از کسرها قبل از تبدیل به فرم اعشاری نیاز به آماده سازی دارند. چیست؟ قبل از عدد موجود در صورت، باید آنقدر صفر اضافه کنید تا تعداد ارقام در صورت مساوی با تعداد صفرهای مخرج شود. به عنوان مثال، برای کسر 3100، عدد 0 باید یک بار به سمت چپ 3 در صورت جمع شود. کسری 610 طبق قانون ذکر شده در بالا نیازی به اصلاح ندارد.

بیایید به یک مثال دیگر نگاه کنیم، پس از آن قاعده ای را فرموله می کنیم که در ابتدا استفاده از آن به خصوص راحت است، در حالی که تجربه زیادی در تبدیل کسر وجود ندارد. بنابراین، کسری 1610000 پس از جمع کردن صفرها در صورت، شبیه 001510000 خواهد شد.

نحوه تبدیل کسر مشترک با مخرج 10، 100، 1000 و غیره به اعشار؟

قانون تبدیل کسرهای معمولی مناسب به اعشار

1. 0 را بنویسید و بعد از آن کاما بگذارید.
2. عددی را که پس از جمع صفرها به دست آمده را از روی عددی یادداشت می کنیم.

حال به سراغ مثال‌ها می‌رویم.

مثال 1: تبدیل کسرها به اعشار

بیایید کسر 39100 را به اعشار تبدیل کنیم.

ابتدا به کسری نگاه می کنیم و می بینیم که نیازی به انجام اقدامات مقدماتی نیست - تعداد ارقام در صورت شمار با تعداد صفرهای مخرج منطبق است.

طبق قاعده 0 می نویسیم و بعد از آن یک اعشار می گذاریم و عدد را از صورت شمار می نویسیم. کسر اعشاری 0.39 را می گیریم.

بیایید به راه حل مثال دیگری در این موضوع نگاه کنیم.

مثال 2: تبدیل کسرها به اعشار

بیایید کسر 105 10000000 را به صورت اعشاری بنویسیم.

تعداد صفرهای مخرج 7 است و صورتگر فقط سه رقم دارد. بیایید 4 صفر دیگر را قبل از عدد موجود در صورتگر اضافه کنیم:

0000105 10000000

حالا 0 را یادداشت می کنیم و بعد از آن یک نقطه اعشار می گذاریم و عدد را از صورت حساب می نویسیم. کسر اعشاری 0.0000105 را می گیریم.

کسرهای در نظر گرفته شده در همه مثالها کسرهای معمولی هستند. اما چگونه می توان یک کسر نامناسب را به اعشار تبدیل کرد؟ بیایید بلافاصله بگوییم که نیازی به آماده سازی با افزودن صفر برای چنین کسری نیست. بیایید یک قانون تدوین کنیم.

قانون تبدیل کسرهای نامناسب معمولی به اعشار

1. عددی را که در صورتگر است بنویسید.
2. ما از یک نقطه اعشار برای جدا کردن رقم های سمت راست به تعداد صفر در مخرج کسر اصلی استفاده می کنیم.

در زیر مثالی از نحوه استفاده از این قانون آورده شده است.

مثال 3. تبدیل کسرها به اعشار

بیایید کسر 56888038009 100000 را از یک کسر نامنظم معمولی به اعشار تبدیل کنیم.

ابتدا عدد را از روی عدد می نویسیم:

حالا در سمت راست پنج رقم را با یک اعشار از هم جدا می کنیم (تعداد صفرهای مخرج پنج است). ما گرفتیم:

سوال بعدی که به طور طبیعی مطرح می شود این است: چگونه یک عدد مختلط را به کسر اعشاری تبدیل کنیم اگر مخرج جزء کسری آن عدد 10، 100، 1000 و غیره باشد؟ برای تبدیل چنین عددی به کسری اعشاری می توانید از قانون زیر استفاده کنید.

قانون تبدیل اعداد مختلط به اعشاری

1. در صورت لزوم قسمت کسری عدد را آماده می کنیم.
2. کل قسمت شماره اصلی را یادداشت می کنیم و بعد از آن کاما می گذاریم.
3. عدد را به همراه صفرهای اضافه شده از روی صورت بخش کسری یادداشت می کنیم.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 4: تبدیل اعداد مختلط به اعشاری

بیایید عدد مختلط 23 17 10000 را به کسری اعشاری تبدیل کنیم.

در قسمت کسری عبارت 17 10000 را داریم. بیایید آن را آماده کنیم و دو صفر دیگر به سمت چپ صورتگر اضافه کنیم. ما دریافت می کنیم: 0017 10000.

حالا کل عدد را یادداشت می کنیم و بعد از آن کاما می گذاریم: 23, . .

بعد از نقطه اعشار، عدد را به همراه صفرها از روی عدد یادداشت کنید. نتیجه را می گیریم:

23 17 10000 = 23 , 0017

تبدیل کسرهای معمولی به کسرهای متناهی و نامتناهی

البته می توانید به اعشار و کسرهای معمولی با مخرجی که مساوی 10، 100، 1000 و ... نباشد، تبدیل کنید.

اغلب یک کسر را می توان به راحتی به مخرج جدید تقلیل داد و سپس از قاعده مندرج در پاراگراف اول این مقاله استفاده کرد. برای مثال کافی است که صورت و مخرج کسر 25 را در 2 ضرب کنیم و به کسری 410 می رسیم که به راحتی به صورت اعشاری 0.4 تبدیل می شود.

با این حال، این روش برای تبدیل کسر به اعشار همیشه قابل استفاده نیست. در زیر در نظر خواهیم گرفت که در صورت غیرممکن بودن استفاده از روش در نظر گرفته شده چه باید کرد.

یک روش اساساً جدید برای تبدیل یک کسر به اعشار، تقسیم صورت بر مخرج با یک ستون است. این عمل بسیار شبیه به تقسیم اعداد طبیعی با ستون است، اما ویژگی های خاص خود را دارد.

عدد هنگام تقسیم به صورت کسری اعشاری نشان داده می شود - در سمت راست آخرین رقمقبل از عدد کاما قرار می گیرد و صفر اضافه می شود. در ضریب حاصل، یک نقطه اعشار زمانی قرار می گیرد که تقسیم قسمت صحیح صورتگر به پایان می رسد. نحوه عملکرد دقیق این روش پس از مشاهده مثال ها مشخص خواهد شد.

مثال 5. تبدیل کسرها به اعشار

بیایید کسر مشترک 621 4 را به شکل اعشاری تبدیل کنیم.

بیایید عدد 621 را از صورت‌حساب به صورت کسری اعشاری نشان دهیم و چند صفر بعد از نقطه اعشار اضافه کنیم. 621 = 621.00

حالا بیایید 621.00 را با استفاده از یک ستون بر 4 تقسیم کنیم. سه مرحله اول تقسیم مانند تقسیم اعداد طبیعی خواهد بود و به دست خواهیم آورد.

وقتی به نقطه اعشار در تقسیم رسیدیم و باقیمانده با صفر تفاوت داشت، یک نقطه اعشار در ضریب قرار می دهیم و به تقسیم ادامه می دهیم، دیگر به کاما در تقسیم توجه نمی کنیم.

در نتیجه، کسر اعشاری 155، 25 را به دست می آوریم که نتیجه معکوس کردن کسری مشترک 621 4 است.

621 4 = 155 , 25

بیایید به مثال دیگری برای تقویت مطالب نگاه کنیم.

مثال 6. تبدیل کسرها به اعشار

بیایید کسر مشترک 21 800 را برعکس کنیم.

برای این کار، کسر 21000 را به یک ستون بر 800 تقسیم کنید. تقسیم کل قسمت در مرحله اول به پایان می رسد، بنابراین بلافاصله بعد از آن یک نقطه اعشار را در ضریب قرار می دهیم و تقسیم را ادامه می دهیم، بدون توجه به کاما در تقسیم تا زمانی که باقی مانده ای برابر با صفر بدست آوریم.

در نتیجه به دست آوردیم: 21800 = 0.02625.

اما اگر در هنگام تقسیم باز هم باقیمانده 0 بدست نیامد چه می شود. در چنین مواردی، تقسیم را می توان به طور نامحدود ادامه داد. با این حال، با شروع از یک مرحله خاص، باقی مانده ها به صورت دوره ای تکرار می شوند. بر این اساس، اعداد در ضریب تکرار خواهند شد. این به این معنی است که یک کسر معمولی به یک کسر تناوبی نامتناهی اعشاری تبدیل می شود. اجازه دهید این موضوع را با یک مثال توضیح دهیم.

مثال 7. تبدیل کسرها به اعشار

بیایید کسر مشترک 19 44 را به اعشار تبدیل کنیم. برای این کار تقسیم بر ستون را انجام می دهیم.

می بینیم که در حین تقسیم، باقی مانده های 8 و 36 تکرار می شوند. در این حالت اعداد 1 و 8 در ضریب تکرار می شوند. این دوره در کسر اعشاری است. هنگام ضبط، این اعداد در داخل پرانتز قرار می گیرند.

بنابراین، کسر معمولی اصلی به یک کسر اعشاری متناوب نامتناهی تبدیل می‌شود.

19 44 = 0 , 43 (18) .

یک کسر معمولی تقلیل ناپذیر داشته باشیم. چه شکلی خواهد داشت؟ کدام کسرهای معمولی به اعشار متناهی و کدام کسری به تناوبی نامتناهی تبدیل می شوند؟

ابتدا فرض کنید که اگر کسری را بتوان به یکی از مخرج های 10، 100، 1000... تقلیل داد، آنگاه به شکل کسر اعشاری نهایی خواهد بود. برای اینکه کسری به یکی از این مخرج ها تقلیل یابد، مخرج آن باید حداقل یکی از اعداد 10، 100، 1000 و غیره باشد. از قوانین فاکتورگیری اعداد به ضرایب اول به دست می آید که مقسوم علیه اعداد 10، 100، 1000 و غیره است. هنگامی که در فاکتورهای اول فاکتور می شود، باید فقط اعداد 2 و 5 را شامل شود.

بیایید آنچه گفته شد را خلاصه کنیم:

1. کسری مشترک را می توان به اعشار نهایی تقلیل داد اگر مخرج آن را بتوان در ضرایب اول 2 و 5 در نظر گرفت.
2. اگر علاوه بر اعداد 2 و 5، اعداد اول دیگری نیز در بسط مخرج وجود داشته باشند، کسر به صورت یک کسر اعشاری متناوب بی نهایت کاهش می یابد.

بیایید یک مثال بزنیم.

مثال 8. تبدیل کسرها به اعشار

کدام یک از این کسرها 47 20، 7 12، 21 56، 31 17 به کسر اعشاری نهایی تبدیل می شود و کدام یک - فقط به یک تناوبی. بیایید به این سوال بدون تبدیل مستقیم کسری به اعشار پاسخ دهیم.

کسر 47 20، همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، با ضرب صورت و مخرج در 5 به مخرج جدید 100 کاهش می یابد.

47 20 = 235 100. از این نتیجه می گیریم که این کسر به کسری اعشاری نهایی تبدیل می شود.

با فاکتور گیری مخرج کسر 7 12 12 = 2 · 2 · 3 به دست می آید. از آنجایی که عامل اول 3 با 2 و 5 متفاوت است، این کسری را نمی توان به صورت یک کسر اعشاری متناهی نشان داد، بلکه شکل یک کسر تناوبی نامتناهی خواهد داشت.

کسری 21 56 اولاً باید کاهش یابد. پس از کاهش 7، کسر تقلیل ناپذیر 3 8 را به دست می آوریم که مخرج آن فاکتور می شود و 8 = 2 · 2 · 2 می شود. بنابراین، کسر اعشاری نهایی است.

در مورد کسر 31 17، فاکتور گرفتن مخرج خود عدد اول 17 است. بر این اساس، این کسر را می توان به یک کسر اعشاری متناوب نامتناهی تبدیل کرد.

کسر معمولی را نمی توان به کسری اعشاری نامتناهی و غیر تناوبی تبدیل کرد

در بالا فقط در مورد کسرهای متناهی متناهی و نامتناهی صحبت کردیم. اما آیا هر کسر معمولی را می توان به کسر نامتناهی غیر تناوبی تبدیل کرد؟

پاسخ می دهیم: نه!

مهم!

هنگام تبدیل کسر نامتناهی به اعشار، نتیجه یا یک اعشار محدود یا یک اعشار متناوب نامتناهی است.

باقیمانده یک تقسیم همیشه کمتر از مقسوم علیه است. به عبارت دیگر، طبق قضیه تقسیم پذیری، اگر مقداری از عدد طبیعی را بر عدد q تقسیم کنیم، باقیمانده تقسیم در هر صورت نمی تواند بزرگتر از q-1 باشد. پس از تکمیل تقسیم، یکی از شرایط زیر امکان پذیر است:

1. ما باقیمانده 0 را بدست می آوریم و اینجا جایی است که تقسیم به پایان می رسد.
2. باقیمانده ای بدست می آوریم که با تقسیم بعدی تکرار می شود و در نتیجه یک کسر تناوبی نامتناهی حاصل می شود.

هنگام تبدیل کسری به اعشار، هیچ گزینه دیگری وجود ندارد. همچنین فرض کنید که طول دوره (تعداد ارقام) در کسر تناوبی نامتناهی همیشه کمتر از تعداد ارقام در مخرج کسر معمولی مربوطه است.

تبدیل اعشار به کسری

اکنون زمان آن رسیده است که به روند معکوس تبدیل یک کسر اعشاری به یک کسر معمولی نگاه کنیم. اجازه دهید یک قانون ترجمه را تدوین کنیم که شامل سه مرحله است. چگونه کسر اعشاری را به کسری معمولی تبدیل کنیم؟

قانون تبدیل کسرهای اعشاری به کسرهای معمولی

1. در شماره‌گذار عدد را از کسر اعشاری اصلی می‌نویسیم، کاما و تمام صفرهای سمت چپ را در صورت وجود حذف می‌کنیم.
2. در مخرج یک می نویسیم و به دنبال آن تعداد صفرهایی که بعد از اعشار در کسر اعشاری اصلی وجود دارد، می نویسیم.
3. در صورت لزوم، کسر معمولی حاصل را کاهش دهید.

بیایید برنامه را در نظر بگیریم از این قاعدهبا مثال

مثال 8. تبدیل کسرهای اعشاری به کسرهای معمولی

بیایید عدد 3.025 را به عنوان یک کسر معمولی تصور کنیم.

1. ما خود کسر اعشاری را در صورتگر می نویسیم و کاما: 3025 را کنار می گذاریم.
2. در مخرج ما یک و بعد از آن سه صفر می نویسیم - این دقیقاً چند رقم در کسر اصلی بعد از نقطه اعشار است: 3025 1000.
3. کسر حاصل از 3025 1000 را می توان با 25 کاهش داد و به این نتیجه رسید: 3025 1000 = 121 40.

مثال 9. تبدیل کسرهای اعشاری به کسرهای معمولی

کسری 0.0017 را از اعشار به معمولی تبدیل می کنیم.

1. در شماره‌گذار کسر 0، 0017 را می‌نویسیم و کاما و صفرهای سمت چپ را کنار می‌گذاریم. معلوم می شود 17 است.
2. یک را در مخرج می نویسیم و بعد از آن چهار صفر می نویسیم: 17 10000. این کسر غیر قابل کاهش است.

اگر یک کسر اعشاری دارای یک جزء صحیح باشد، آنگاه چنین کسری را می توان بلافاصله به یک عدد مختلط تبدیل کرد. چگونه انجامش بدهیم؟

بیایید یک قانون دیگر را تدوین کنیم.

قانون تبدیل اعشار به اعداد مختلط.

1. عدد قبل از نقطه اعشار در کسر به عنوان قسمت صحیح عدد مختلط نوشته می شود.
2. در صورت حساب عدد را بعد از نقطه اعشار در کسر می نویسیم و در صورت وجود صفرهای سمت چپ را کنار می گذاریم.
3. در مخرج قسمت کسری یک و به تعداد عدد صفر که بعد از نقطه اعشار در قسمت کسری وجود دارد جمع می کنیم.

بیایید یک مثال بزنیم

مثال 10: تبدیل عدد اعشاری به عدد مختلط

بیایید کسر 155، 06005 را به عنوان یک عدد مختلط تصور کنیم.

1. عدد 155 را به صورت یک عدد صحیح می نویسیم.
2. در صورت حساب اعداد را بعد از اعشار می نویسیم و صفر را کنار می گذاریم.
3. یک و پنج صفر را در مخرج می نویسیم

بیایید یک عدد مختلط را یاد بگیریم: 155 6005 100000

قسمت کسری را می توان 5 کاهش داد. ما آن را کوتاه می کنیم و نتیجه نهایی را می گیریم:

155 , 06005 = 155 1201 20000

تبدیل بی نهایت اعشار تناوبی به کسری

بیایید به نمونه هایی از نحوه تبدیل کسرهای اعشاری تناوبی به کسرهای معمولی نگاه کنیم. قبل از شروع، اجازه دهید توضیح دهیم: هر کسر اعشاری تناوبی را می توان به کسری معمولی تبدیل کرد.

ساده ترین حالت زمانی است که دوره کسری صفر باشد. کسر تناوبی با دوره صفر با کسر اعشاری نهایی جایگزین می شود و روند معکوس کردن چنین کسری به معکوس کردن کسر اعشاری نهایی کاهش می یابد.

مثال 11. تبدیل کسر اعشاری تناوبی به کسری مشترک

اجازه دهید کسر تناوبی 3، 75 (0) را معکوس کنیم.

با حذف صفرهای سمت راست، کسر اعشاری نهایی 3.75 را دریافت می کنیم.

با تبدیل این کسر به یک کسر معمولی با استفاده از الگوریتم مورد بحث در پاراگراف های قبل، به دست می آوریم:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

اگر دوره کسری با صفر متفاوت باشد چه؟ قسمت تناوبی را باید به عنوان مجموع عبارات یک تصاعد هندسی در نظر گرفت که کاهش می یابد. بیایید این را با یک مثال توضیح دهیم:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

یک فرمول برای مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش وجود دارد. اگر جمله اول پیشرفت b باشد و مخرج q به گونه ای باشد که 0 باشد< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

بیایید به چند مثال با استفاده از این فرمول نگاه کنیم.

مثال 12. تبدیل کسر اعشاری تناوبی به کسری مشترک

اجازه دهید یک کسر تناوبی 0، (8) داشته باشیم و باید آن را به کسری معمولی تبدیل کنیم.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

در اینجا ما یک کاهش بی نهایت داریم پیشرفت هندسیبا جمله اول 0، 8 و مخرج 0، 1.

بیایید فرمول را اعمال کنیم:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

این کسر معمولی مورد نیاز است.

برای تجمیع مطالب، مثال دیگری را در نظر بگیرید.

مثال 13. تبدیل کسر اعشاری تناوبی به کسری مشترک

بیایید کسر 0، 43 (18) را معکوس کنیم.

ابتدا کسر را به صورت مجموع نامتناهی می نویسیم:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

بیایید به اصطلاحات داخل پرانتز نگاه کنیم. این پیشرفت هندسی را می توان به صورت زیر نشان داد:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

نتیجه را به کسر نهایی 0، 43 = 43 100 اضافه می کنیم و نتیجه را می گیریم:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

پس از جمع کردن این کسرها و کاهش، به جواب نهایی می رسیم:

0 , 43 (18) = 19 44

برای نتیجه گیری این مقاله خواهیم گفت که کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی را نمی توان به کسرهای معمولی تبدیل کرد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

این مقاله در مورد اعداد اعشاری. در اینجا نماد اعشاری اعداد کسری را درک می کنیم، مفهوم کسر اعشاری را معرفی می کنیم و نمونه هایی از کسرهای اعشاری را ارائه می دهیم. در ادامه در مورد ارقام کسرهای اعشاری صحبت می کنیم و نام ارقام را می گوییم. پس از این، ما بر روی کسرهای اعشاری بی نهایت تمرکز خواهیم کرد، اجازه دهید در مورد کسرهای تناوبی و غیر تناوبی صحبت کنیم. در مرحله بعد عملیات اصلی را با کسرهای اعشاری فهرست می کنیم. در پایان، اجازه دهید موقعیت کسرهای اعشاری را روی پرتو مختصات تعیین کنیم.

پیمایش صفحه.

نماد اعشاری یک عدد کسری

خواندن اعشار

بیایید چند کلمه در مورد قوانین خواندن کسرهای اعشاری بگوییم.

کسرهای اعشاری، که مربوط به کسرهای معمولی مناسب هستند، به همان روشی خوانده می شوند که این کسرهای معمولی، ابتدا فقط «عدد صحیح صفر» اضافه می شود. به عنوان مثال، کسر اعشاری 0.12 مربوط به کسری مشترک 12/100 است (بخوانید "دوازده صدم")، بنابراین، 0.12 به عنوان "نقطه صفر دوازدهم" خوانده می شود.

کسرهای اعشاری که با اعداد مختلط مطابقت دارند دقیقاً مشابه این اعداد مختلط خوانده می شوند. به عنوان مثال، کسر اعشاری 56.002 مربوط به یک عدد مختلط است، بنابراین کسر اعشاری 56.002 به عنوان "پنجاه و شش نقطه دو هزارم" خوانده می شود.

مکان ها در اعشار

در نوشتن کسرهای اعشاری و همچنین در نوشتن اعداد طبیعی، معنای هر رقم به موقعیت آن بستگی دارد. در واقع، عدد 3 در کسر اعشاری 0.3 به معنای سه دهم، در کسری اعشاری 0.0003 - سه ده هزارم و در کسری اعشاری 30000.152 - سه ده هزارم است. بنابراین می توانیم در مورد آن صحبت کنیم ارقام اعشاریو همچنین در مورد ارقام در اعداد طبیعی.

نام ارقام در کسر اعشاری تا اعشار کاملاً با نام ارقام در اعداد طبیعی منطبق است. و نام اعشار بعد از اعشار از جدول زیر قابل مشاهده است.

به عنوان مثال، در کسر اعشاری 37.051، رقم 3 در محل ده ها، 7 در مکان یک ها، 0 در مکان دهم، 5 در مکان صدم و 1 در مکان هزارم قرار دارد.

مکان ها در کسرهای اعشاری نیز از نظر تقدم متفاوت هستند. اگر در نوشتن کسر اعشاری از رقمی به رقمی دیگر از چپ به راست حرکت کنیم، از حرکت خواهیم کرد سالمندانبه رتبه های پایین تر. به عنوان مثال، مکان صدها از مکان دهم قدیمی تر است و مکان میلیون ها از مکان صدم پایین تر است. در یک کسر اعشاری نهایی می توانیم در مورد ارقام اصلی و کوچک صحبت کنیم. به عنوان مثال، در کسر اعشاری 604.9387 ارشد (بالاترین)مکان صدها مکان است و جوان (پایین ترین)- رقم ده هزارم.

برای کسرهای اعشاری، بسط به ارقام صورت می گیرد. شبیه بسط دادن به ارقام اعداد طبیعی است. برای مثال، بسط به ارقام اعشاری 45.6072 به صورت زیر است: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. و ویژگی های جمع از تجزیه یک کسر اعشاری به ارقام به شما امکان می دهد تا به سایر نمایش های این کسر اعشاری بروید، برای مثال 45.6072=45+0.6072، یا 45.6072=40.6+5.007+0.0002، یا 45.6072+0.0002، یا 45.6072+. 0.6.

اعداد پایانی

تا اینجا ما فقط در مورد کسرهای اعشاری صحبت کرده ایم که در نمادگذاری آنها تعداد محدودی از ارقام بعد از نقطه اعشار وجود دارد. چنین کسری را اعشار محدود می نامند.

تعریف.

اعداد پایانی- اینها کسرهای اعشاری هستند که رکوردهای آنها شامل تعداد محدودی کاراکتر (رقم) است.

در اینجا چند نمونه از کسرهای اعشاری نهایی آورده شده است: 0.317، 3.5، 51.1020304958، 230،032.45.

با این حال، هر کسری را نمی توان به عنوان اعشار نهایی نشان داد. به عنوان مثال، کسر 5/13 را نمی توان با کسری مساوی با یکی از مخرج های 10، 100، ... جایگزین کرد، بنابراین نمی توان آن را به کسر اعشاری نهایی تبدیل کرد. در بخش تئوری، تبدیل کسرهای معمولی به اعشار بیشتر در این مورد صحبت خواهیم کرد.

اعشار نامتناهی: کسرهای تناوبی و کسرهای غیر تناوبی

در نوشتن کسر اعشاری بعد از نقطه اعشار، می توانید احتمال بی نهایت رقم را فرض کنید. در این صورت، به اصطلاح کسرهای اعشاری نامتناهی را در نظر خواهیم گرفت.

تعریف.

اعشار بی نهایت- این کسرهای اعشاری هستند که شامل تعداد نامتناهی رقم هستند.

واضح است که ما نمی‌توانیم کسرهای اعشاری نامتناهی را به صورت کامل بنویسیم، بنابراین در ضبط آنها فقط به تعداد محدود معینی از ارقام بعد از نقطه اعشار محدود می‌شویم و بیضی می‌گذاریم که نشان‌دهنده دنباله‌ای بی‌پایان از ارقام است. در اینجا چند نمونه از کسرهای اعشاری نامتناهی آورده شده است: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

اگر به دو کسر اعشاری نامتناهی آخر دقت کنید، در کسری 2.111111111... عدد 1 که بی انتها تکرار می شود به وضوح قابل مشاهده است و در کسری 69.74152152152...، با شروع از رقم سوم اعشار، یک گروه تکرار شونده از اعداد. 1، 5 و 2 به وضوح قابل مشاهده است. چنین کسرهای اعشاری نامتناهی دوره ای نامیده می شوند.

تعریف.

اعشار دوره ای(یا به سادگی کسرهای تناوبی) کسرهای اعشاری بی پایانی هستند که در ثبت آنها با شروع از یک رقم اعشار معین، تعداد یا گروهی از اعداد بی پایان تکرار می شود که به آن می گویند. دوره کسری.

برای مثال دوره کسر تناوبی 2.111111111... رقم 1 است و دوره کسری 69.74152152152... گروهی از ارقام به شکل 152 است.

برای کسرهای اعشاری متناوب نامتناهی پذیرفته می شود شکل خاصسوابق. برای اختصار، توافق کردیم که دوره را یک بار بنویسیم و آن را داخل پرانتز قرار دهیم. برای مثال، کسر تناوبی 2.111111111... به صورت 2،(1) و کسر تناوبی 69.74152152152... به صورت 69.74(152) نوشته می شود.

شایان ذکر است که برای همان کسر اعشاری تناوبی می توانید مشخص کنید دوره های مختلف. به عنوان مثال، کسر اعشاری تناوبی 0.73333... را می توان به عنوان کسری 0.7(3) با دوره 3 و همچنین کسری 0.7(33) با دوره 33 و به همین ترتیب 0.7(333) در نظر گرفت. 0.7 (3333)، ... همچنین می توانید به کسر تناوبی 0.73333 ... مانند این نگاه کنید: 0.733(3) یا مانند این 0.73(333) و غیره. در اینجا، برای جلوگیری از ابهام و مغایرت، ما موافقت می‌کنیم که کوتاه‌ترین توالی ممکن برای اعداد تکرار شونده را به عنوان دوره کسری اعشاری در نظر بگیریم و از نزدیک‌ترین موقعیت به نقطه اعشار شروع کنیم. یعنی دوره کسر اعشاری 0.73333... دنباله ای یک رقمی 3 در نظر گرفته خواهد شد و تناوب از موقعیت دوم بعد از نقطه اعشار شروع می شود، یعنی 0.73333...=0.7(3). مثال دیگر: کسر تناوبی 4.7412121212... دارای دوره 12 است، تناوب از رقم سوم بعد از نقطه اعشار شروع می شود، یعنی 4.7412121212...=4.74(12).

کسرهای تناوبی اعشاری نامتناهی با تبدیل کسرهای اعشاری به کسرهای اعشاری به دست می آیند که مخرج آنها شامل ضرایب اول غیر از 2 و 5 است.

در اینجا قابل ذکر است کسرهای تناوبی با دوره 9. بیایید نمونه هایی از این کسرها را مثال بزنیم: 6.43(9) , 27,(9). این کسرها نماد دیگری برای کسرهای تناوبی با دوره 0 هستند و معمولاً با کسرهای تناوبی با دوره 0 جایگزین می شوند. برای انجام این کار، دوره 9 با دوره 0 جایگزین می شود و مقدار بالاترین رقم بعدی یک افزایش می یابد. به عنوان مثال، کسری با نقطه 9 از شکل 7.24(9) با کسری تناوبی با دوره 0 از شکل 7.25(0) یا کسری اعشاری نهایی برابر با 7.25 جایگزین می شود. مثال دیگر: 4,(9)=5,(0)=5. تساوی کسری با دوره 9 و کسر متناظر آن با دوره 0 به راحتی پس از جایگزینی این کسرهای اعشاری با کسرهای معمولی مساوی ایجاد می شود.

در نهایت، بیایید نگاهی دقیق‌تر به کسرهای اعشاری بینهایت بیندازیم، که شامل یک دنباله اعداد بی‌پایان تکرار شونده نیستند. به آنها غیر دوره ای می گویند.

تعریف.

اعشار غیر تکراری(یا به سادگی کسرهای غیر تناوبی) کسرهای اعشاری نامتناهی هستند که نقطه ندارند.

گاهی اوقات کسرهای غیر تناوبی شکلی شبیه کسرهای تناوبی دارند، مثلاً 8.02002000200002... یک کسر غیر تناوبی است. در این موارد، باید به ویژه مراقب باشید که تفاوت را متوجه شوید.

توجه داشته باشید که کسرهای غیر تناوبی به کسرهای معمولی تبدیل نمی شوند.

عملیات با اعشار

یکی از عملیات با کسرهای اعشاری مقایسه است و چهار تابع اصلی حسابی نیز تعریف شده است. عملیات با اعشار: جمع، تفریق، ضرب و تقسیم. بیایید هر یک از اعمال با کسرهای اعشاری را جداگانه در نظر بگیریم.

مقایسه اعداد اعشاریاساساً بر اساس مقایسه کسرهای معمولی مربوط به کسرهای اعشاری مورد مقایسه است. با این حال، تبدیل کسرهای اعشاری به کسرهای معمولی یک فرآیند نسبتاً کار فشرده است، و کسرهای نامتناهی غیر تناوبی را نمی توان به عنوان یک کسر معمولی نشان داد، بنابراین استفاده از مقایسه مکانی کسری اعشاری راحت است. مقایسه کسری اعشاری از نظر مکان مشابه مقایسه اعداد طبیعی است. برای اطلاعات دقیق تر، مطالعه مقاله را توصیه می کنیم: مقایسه کسری اعشاری، قوانین، مثال ها، راه حل ها.

بیایید به ادامه مطلب برویم اقدام بعدی - ضرب اعشار. ضرب کسرهای اعشاری محدود به طور مشابه با تفریق کسرهای اعشاری، قوانین، مثال ها، راه حل های ضرب در ستونی از اعداد طبیعی انجام می شود. در مورد کسرهای تناوبی، ضرب را می توان به ضرب کسرهای معمولی تقلیل داد. به نوبه خود، ضرب کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی پس از گرد کردن آنها به ضرب کسرهای اعشاری محدود کاهش می یابد. ما برای مطالعه بیشتر مطالب در مقاله توصیه می کنیم: ضرب کسرهای اعشاری، قوانین، مثال ها، راه حل ها.

اعداد بر روی یک پرتو مختصات

بین نقاط و اعشار مطابقت یک به یک وجود دارد.

بیایید بفهمیم که چگونه نقاطی در پرتو مختصات ساخته می شوند که با کسر اعشاری داده شده مطابقت دارند.

می‌توانیم کسرهای اعشاری متناهی و کسرهای اعشاری متناوب نامتناهی را با کسرهای معمولی مساوی جایگزین کنیم و سپس کسرهای معمولی مربوطه را روی پرتو مختصات بسازیم. به عنوان مثال، کسر اعشاری 1.4 مطابق با کسری مشترک 14/10 است، بنابراین نقطه با مختصات 1.4 از مبدأ در جهت مثبت توسط 14 بخش برابر با یک دهم قطعه واحد حذف می شود.

کسرهای اعشاری را می توان بر روی یک پرتو مختصات علامت گذاری کرد که از تجزیه یک کسر اعشاری معین به ارقام شروع می شود. به عنوان مثال، اجازه دهید یک نقطه با مختصات 16.3007 بسازیم، زیرا 16.3007=16+0.3+0.0007، سپس با گذاشتن متوالی 16 قطعه واحد از مبدا مختصات، 3 قطعه که طول آنها برابر با یک دهم است، می توانیم به این نقطه برسیم. از یک واحد و 7 قطعه که طول آنها برابر با ده هزارم یک قطعه واحد است.

این روش ساخت اعداد اعشاری بر روی یک پرتو مختصات به شما این امکان را می دهد که هر چقدر که دوست دارید به نقطه مربوط به کسر اعشاری بی نهایت نزدیک شوید.

گاهی اوقات می توان نقطه مربوط به کسر اعشاری نامتناهی را به دقت رسم کرد. مثلا، ، سپس این کسر اعشاری نامتناهی 1.41421... مربوط به نقطه ای در پرتو مختصات است که از مبدأ مختصات به اندازه طول قطر مربع با ضلع 1 واحد پاره فاصله دارد.

فرآیند معکوس بدست آوردن کسر اعشاری مربوط به یک نقطه معین در یک پرتو مختصات به اصطلاح اندازه گیری اعشاری یک قطعه. بیایید بفهمیم که چگونه انجام می شود.

بگذارید وظیفه ما این باشد که از مبدأ به نقطه معینی در خط مختصات برسیم (یا اگر نتوانیم به آن برسیم، بی نهایت به آن نزدیک شویم). با اندازه‌گیری اعشاری یک پاره، می‌توانیم هر تعداد قطعه واحد را به ترتیب از مبدأ حذف کنیم، سپس بخش‌هایی که طول آن‌ها برابر با یک دهم واحد است، سپس قطعاتی که طول آن‌ها برابر با یک صدم واحد است و غیره. با ثبت تعداد پاره های هر طول کنار گذاشته شده، کسر اعشاری مربوط به یک نقطه داده شده در پرتو مختصات را به دست می آوریم.

برای مثال برای رسیدن به نقطه M در شکل بالا باید 1 واحد و 4 پاره را کنار بگذارید که طول آنها برابر با یک دهم واحد است. بنابراین، نقطه M با کسر اعشاری 1.4 مطابقت دارد.

واضح است که نقاط پرتو مختصاتی که در فرآیند اندازه گیری اعشاری نمی توان به آنها رسید با کسرهای اعشاری بی نهایت مطابقت دارد.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• ریاضیات: کتاب درسی برای کلاس پنجم آموزش عمومی موسسات / N. Ya. Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - چاپ بیست و یکم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: ill. شابک 5-346-00699-0.
• ریاضیات.پایه ششم: آموزشی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [ن. ویلنکین و دیگران]. - چاپ بیست و دوم، برگردان - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. شابک 978-5-346-00897-2.
• جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019243-9.
• گوسف وی. ا.، موردکوویچ آ. جی.ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد مدارس فنی می شوند): Proc. کمک هزینه.- م. بالاتر مدرسه، 1984.-351 p., ill.

قبلاً گفتیم که کسری وجود دارد معمولیو اعشاری. بر این لحظهما کسرها را کمی مطالعه کرده ایم. فهمیدیم که کسرهای منظم و نامناسب وجود دارد. همچنین آموختیم که کسرهای رایج را می توان کاهش، جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کرد. و همچنین فهمیدیم که اعداد به اصطلاح مختلط هستند که از یک عدد صحیح و یک جزء کسری تشکیل شده اند.

ما هنوز کسرهای رایج را به طور کامل بررسی نکرده ایم. ظرافت ها و جزئیات زیادی وجود دارد که باید در مورد آنها صحبت کرد، اما امروز ما شروع به مطالعه خواهیم کرد اعشاریکسرها، زیرا کسرهای معمولی و اعشاری اغلب باید با هم ترکیب شوند. یعنی هنگام حل مسائل باید از هر دو نوع کسر استفاده کرد.

این درس ممکن است پیچیده و گیج کننده به نظر برسد. این کاملا طبیعی است. این نوع دروس مستلزم مطالعه آن ها هستند، نه اینکه به صورت سطحی از آنها استفاده شود.

محتوای درس

بیان مقادیر به صورت کسری

گاهی اوقات نشان دادن چیزی به صورت کسری راحت است. برای مثال یک دهم دسی متر به این صورت نوشته می شود:

این عبارت به این معناست که یک دسی متر به ده قسمت تقسیم شده و از این ده قسمت یک قسمت گرفته شده است:

همانطور که در شکل می بینید یک دهم دسی متر یک سانتی متر است.

مثال زیر را در نظر بگیرید. 6 سانتی متر و 3 میلی متر دیگر را در سانتی متر به صورت کسری نشان دهید.

بنابراین، شما باید 6 سانتی متر و 3 میلی متر را در سانتی متر بیان کنید، اما به صورت کسری. ما قبلاً 6 سانتی متر کامل داریم:

اما هنوز 3 میلی متر باقی مانده است. چگونه می توان این 3 میلی متر و در سانتی متر را نشان داد؟ فراکسیون ها به کمک می آیند. 3 میلی متر قسمت سوم یک سانتی متر است. و قسمت سوم یک سانتی متر را سانتی متر می نویسند

کسر یعنی یک سانتی متر را به ده قسمت مساوی تقسیم کردند و از این ده قسمت سه قسمت (سه از ده) گرفته شد.

در نتیجه شش سانتی متر کامل و سه دهم سانتی متر داریم:

در این حالت عدد 6 تعداد سانتیمترهای کامل و کسری تعداد سانتیمترهای کسری را نشان می دهد. این کسر به صورت خوانده می شود "شش نقطه سه سانتی متر".

کسری که مخرج آنها شامل اعداد 10، 100، 1000 باشد را می توان بدون مخرج نوشت. ابتدا تمام قسمت را بنویسید و سپس صورت بخش کسری را بنویسید. قسمت صحیح با کاما از صورت بخش کسری جدا می شود.

مثلاً بدون مخرج بنویسیم. برای این کار ابتدا کل قسمت را یادداشت می کنیم. قسمت صحیح عدد 6 است. ابتدا این عدد را یادداشت می کنیم:

کل قسمت ضبط می شود. بلافاصله پس از نوشتن کل قسمت، کاما می گذاریم:

و حالا صورت بخش کسری را یادداشت می کنیم. در یک عدد مختلط، عدد کسری عدد 3 است. بعد از اعشار یک سه می نویسیم:

هر عددی که به این شکل نمایش داده شود نامیده می شود اعشاری.

بنابراین، می توانید 6 سانتی متر و 3 میلی متر دیگر را با استفاده از کسر اعشاری نشان دهید:

6.3 سانتی متر

شبیه این خواهد شد:

در واقع اعشار همان کسرهای معمولی و اعداد مختلط هستند. ویژگی چنین کسرهایی این است که مخرج قسمت کسری آنها شامل اعداد 10، 100، 1000 یا 10000 است.

کسر اعشاری مانند یک عدد مختلط دارای یک قسمت صحیح و یک جزء کسری است. به عنوان مثال، در یک عدد مختلط، قسمت صحیح 6 و جزء کسری است.

در کسر اعشاری 6.3 قسمت صحیح عدد 6 و جزء کسری عدد کسری یعنی عدد 3 است.

همچنین اتفاق می افتد که کسرهای معمولی در مخرج آنها اعداد 10، 100، 1000 بدون جزء صحیح آورده شده است. مثلاً کسری بدون جزء کامل داده می شود. برای نوشتن کسری به صورت اعشاری ابتدا عدد 0 را بنویسید و سپس کاما بگذارید و عدد کسر را بنویسید. کسری بدون مخرج به صورت زیر نوشته می شود:

مانند می خواند "نقطه صفر پنج".

تبدیل اعداد مختلط به اعشاری

وقتی اعداد مختلط را بدون مخرج می نویسیم، آنها را به کسری اعشاری تبدیل می کنیم. هنگام تبدیل کسرها به اعشار، چند نکته وجود دارد که باید بدانید که اکنون در مورد آنها صحبت خواهیم کرد.

پس از نوشتن کل قسمت، باید تعداد صفرها را در مخرج جزء کسری بشمارید، زیرا تعداد صفرهای جزء کسری و تعداد ارقام بعد از اعشار در کسر اعشاری باید برابر باشد. یکسان. چه مفهومی داره؟ به مثال زیر توجه کنید:

در ابتدا

و می توانید بلافاصله صورت بخش کسری را یادداشت کنید و کسر اعشاری آماده است، اما قطعاً باید تعداد صفرها را در مخرج قسمت کسری بشمارید.

بنابراین، ما تعداد صفرها را در قسمت کسری یک عدد مختلط می شماریم. مخرج جزء کسری یک صفر دارد. به این معنی که در کسر اعشاری یک رقم بعد از نقطه اعشار وجود خواهد داشت و این رقم، عدد کسری عدد مختلط، یعنی عدد 2 خواهد بود.

بنابراین، هنگامی که به کسری اعشاری تبدیل می شود، یک عدد مختلط به 3.2 تبدیل می شود.

این کسر اعشاری به این صورت است:

"سه نقطه دو"

"دهم" زیرا عدد 10 در قسمت کسری یک عدد مختلط است.

مثال 2.یک عدد مختلط را به اعشار تبدیل کنید.

کل قسمت را بنویسید و کاما بگذارید:

و شما می توانید بلافاصله صورت بخش کسری را بنویسید و کسری اعشاری 5.3 را بدست آورید، اما قانون می گوید که بعد از نقطه اعشار باید به تعداد صفرها در مخرج قسمت کسری عدد مخلوط وجود داشته باشد. و می بینیم که مخرج جزء کسری دو صفر دارد. این بدان معنی است که کسر اعشاری ما باید دو رقم بعد از نقطه اعشار داشته باشد نه یک.

در چنین مواردی، شمارنده قسمت کسری باید کمی تغییر یابد: قبل از عدد صفر، یعنی قبل از عدد 3، یک صفر اضافه کنید.

حالا می توانید این عدد مختلط را به کسر اعشاری تبدیل کنید. کل قسمت را بنویسید و کاما بگذارید:

و صورت بخش کسری را بنویسید:

کسر اعشاری 5.03 به صورت زیر خوانده می شود:

"پنج نقطه سه"

"صدها" زیرا مخرج جزء کسری یک عدد مختلط شامل عدد 100 است.

مثال 3.یک عدد مختلط را به اعشار تبدیل کنید.

از مثال های قبلی متوجه شدیم که برای تبدیل موفقیت آمیز یک عدد مختلط به اعشار، تعداد ارقام در صورت کسر و تعداد صفرها در مخرج کسر باید یکسان باشد.

قبل از تبدیل یک عدد مختلط به کسر اعشاری، قسمت کسری آن باید اندکی اصلاح شود، یعنی مطمئن شوید که تعداد ارقام در صورت‌دهنده جزء کسری و تعداد صفرها در مخرج جزء کسری هستند. یکسان.

ابتدا به تعداد صفرهای مخرج جزء کسری نگاه می کنیم. می بینیم که سه صفر وجود دارد:

وظیفه ما این است که سه رقم را در صورتگر قسمت کسری سازماندهی کنیم. ما قبلاً یک رقم داریم - این عدد 2 است. باقی مانده است که دو رقم دیگر اضافه کنیم. آنها دو صفر خواهند بود. آنها را قبل از عدد 2 جمع کنید. در نتیجه، تعداد صفرهای مخرج و تعداد ارقام در صورت یکسان خواهد بود:

حالا می توانید این عدد مختلط را به کسری اعشاری تبدیل کنید. ابتدا کل قسمت را یادداشت می کنیم و کاما می گذاریم:

و بلافاصله صورت بخش کسری را یادداشت کنید

3,002

می بینیم که تعداد ارقام بعد از اعشار و تعداد صفرهای مخرج قسمت کسری عدد مختلط یکسان است.

کسر اعشاری 3.002 به صورت زیر خوانده می شود:

"سه نقطه دو هزارم"

"هزارم" زیرا مخرج جزء کسری عدد مختلط شامل عدد 1000 است.

تبدیل کسرها به اعشار

کسرهای معمولی با مخرج 10، 100، 1000 یا 10000 نیز می توانند به اعشار تبدیل شوند. از آنجایی که یک کسر معمولی دارای یک عدد صحیح نیست، ابتدا 0 را بنویسید، سپس یک کاما قرار دهید و صورت بخش کسری را بنویسید.

در اینجا نیز تعداد صفرهای مخرج و تعداد ارقام در صورت باید یکسان باشد. بنابراین، شما باید مراقب باشید.

مثال 1.

کل قسمت وجود ندارد، بنابراین ابتدا 0 می نویسیم و کاما می گذاریم:

اکنون به تعداد صفرهای مخرج نگاه می کنیم. می بینیم که یک صفر است. و عدد یک رقمی است. این بدان معناست که با نوشتن عدد 5 بعد از نقطه اعشار می توانید با خیال راحت کسر اعشاری را ادامه دهید

در کسر اعشاری حاصل 0.5، تعداد ارقام بعد از اعشار و تعداد صفرهای مخرج کسر یکسان است. یعنی کسر به درستی ترجمه شده است.

کسر اعشاری 0.5 به صورت زیر خوانده می شود:

"نقطه صفر پنج"

مثال 2.کسری را به اعشار تبدیل کنید.

یک قسمت کامل گم شده است. ابتدا 0 می نویسیم و کاما می گذاریم:

اکنون به تعداد صفرهای مخرج نگاه می کنیم. می بینیم که دو صفر وجود دارد. و شمارنده فقط یک رقم دارد. برای اینکه تعداد ارقام و تعداد صفرها یکسان باشد قبل از عدد 2 یک صفر در عدد اضافه کنید. سپس کسر شکل خواهد گرفت. حالا تعداد صفرهای مخرج و تعداد ارقام در صورت یکسان است. بنابراین می توانید کسر اعشاری را ادامه دهید:

در کسر اعشاری حاصل 0.02، تعداد ارقام بعد از اعشار و تعداد صفرهای مخرج کسر یکسان است. یعنی کسر به درستی ترجمه شده است.

کسر اعشاری 0.02 به صورت زیر خوانده می شود:

"نقطه صفر دو."

مثال 3.کسری را به اعشار تبدیل کنید.

0 را بنویسید و کاما بگذارید:

اکنون تعداد صفرهای مخرج کسر را می شماریم. می بینیم که پنج صفر وجود دارد و فقط یک رقم در عدد وجود دارد. برای اینکه تعداد صفرها در مخرج و تعداد ارقام در صورت یکسان باشد، باید قبل از عدد 5، چهار صفر در صورت‌گر اضافه کنید:

حالا تعداد صفرهای مخرج و تعداد ارقام در صورت یکسان است. بنابراین می توانیم با کسر اعشاری ادامه دهیم. صورت کسری را بعد از اعشار بنویسید

در کسر اعشاری حاصل 0.00005، تعداد ارقام بعد از اعشار و تعداد صفرهای مخرج کسر یکسان است. یعنی کسر به درستی ترجمه شده است.

کسر اعشاری 0.00005 به صورت زیر خوانده می شود:

"نقطه صفر پانصد هزارم."

تبدیل کسرهای نامناسب به اعشاری

کسری نامناسب کسری است که صورت آن بزرگتر از مخرج باشد. کسرهای نامناسبی وجود دارد که مخرج آن شامل اعداد 10، 100، 1000 یا 10000 است. چنین کسرهایی را می توان به اعشار تبدیل کرد. اما قبل از تبدیل به کسر اعشاری، چنین کسرهایی باید به کل قسمت جدا شوند.

مثال 1.

کسر کسر نامناسبی است. برای تبدیل چنین کسری به کسر اعشاری، ابتدا باید کل قسمت آن را انتخاب کنید. بیایید به یاد بیاوریم که چگونه کل بخش کسرهای نامناسب را جدا کنیم. اگر فراموش کرده اید، به شما توصیه می کنیم که به آن بازگردید و مطالعه کنید.

بنابراین، بیایید کل قسمت را در کسر نامناسب برجسته کنیم. به یاد بیاورید که کسری به معنای تقسیم - در است در این موردتقسیم عدد 112 بر عدد 10

بیایید به این تصویر نگاه کنیم و یک عدد ترکیبی جدید مانند یک مجموعه ساخت و ساز کودکان جمع آوری کنیم. عدد 11 عدد صحیح، عدد 2 عدد جزء کسری و عدد 10 مخرج جزء کسری خواهد بود.

ما یک عدد مختلط گرفتیم. بیایید آن را به کسر اعشاری تبدیل کنیم. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین اعدادی را به کسرهای اعشاری تبدیل کنیم. ابتدا کل قسمت را یادداشت کنید و کاما بگذارید:

حال تعداد صفرها را در مخرج جزء کسری می شماریم. می بینیم که یک صفر است. و صورت بخش کسری یک رقمی است. این بدان معناست که تعداد صفرهای مخرج جزء کسری و تعداد ارقام در صورتگر جزء کسری یکسان است. این به ما این فرصت را می دهد که بلافاصله پس از نقطه اعشار، صورت بخش کسری را بنویسیم:

در کسر اعشاری حاصل 11.2، تعداد ارقام بعد از اعشار و تعداد صفرهای مخرج کسر یکسان است. یعنی کسر به درستی ترجمه شده است.

این بدان معنی است که یک کسر نامناسب با تبدیل به اعشار به 11.2 تبدیل می شود.

کسر اعشاری 11.2 به صورت زیر خوانده می شود:

"یازده نقطه دو."

مثال 2.کسر نامناسب را به اعشار تبدیل کنید.

کسری نامناسب است زیرا صورت از مخرج بزرگتر است. اما می توان آن را به کسری اعشاری تبدیل کرد، زیرا مخرج شامل عدد 100 است.

اول از همه، بیایید کل قسمت این کسر را انتخاب کنیم. برای این کار با یک گوشه عدد 450 را بر 100 تقسیم کنید:

بیایید یک عدد ترکیبی جدید جمع آوری کنیم - دریافت می کنیم. و ما قبلاً می دانیم که چگونه اعداد مختلط را به کسرهای اعشاری تبدیل کنیم.

کل قسمت را بنویسید و کاما بگذارید:

حال تعداد صفرها را در مخرج جزء کسری و تعداد ارقام را در صورتگر جزء کسری می شماریم. می بینیم که تعداد صفرهای مخرج و تعداد ارقام در صورت یکسان است. این به ما این فرصت را می دهد که بلافاصله بعد از نقطه اعشار، صورت بخش کسری را بنویسیم:

در کسر اعشاری حاصل 4.50 تعداد ارقام بعد از اعشار و تعداد صفرهای مخرج کسر یکسان است. یعنی کسر به درستی ترجمه شده است.

این بدان معنی است که کسر نامناسب با تبدیل به اعشار به 4.50 تبدیل می شود.

هنگام حل مسائل، اگر در انتهای کسر اعشاری صفر وجود داشته باشد، می توان آنها را کنار گذاشت. بیایید در پاسخ خود نیز صفر را رها کنیم. سپس 4.5 می گیریم

این یکی از چیزهای جالب در مورد اعشار است. این در این واقعیت نهفته است که صفرهایی که در انتهای یک کسر ظاهر می شوند، وزنی به این کسری نمی دهند. به عبارت دیگر، اعشار 4.50 و 4.5 برابر هستند. بیایید یک علامت مساوی بین آنها قرار دهیم:

4,50 = 4,5

این سوال پیش می آید: چرا این اتفاق می افتد؟ به هر حال، 4.50 و 4.5 شبیه کسرهای مختلف هستند. کل راز در ویژگی اصلی کسرها نهفته است که قبلاً آن را مطالعه کردیم. ما سعی خواهیم کرد ثابت کنیم که چرا کسرهای اعشاری 4.50 و 4.5 برابر هستند، اما پس از مطالعه مبحث بعدی که "تبدیل کسر اعشاری به عدد مختلط" نام دارد.

تبدیل عدد اعشاری به عدد مختلط

هر کسر اعشاری را می توان به یک عدد مختلط تبدیل کرد. برای این کار کافی است بتوانید کسرهای اعشاری را بخوانید. به عنوان مثال، بیایید 6.3 را به یک عدد مختلط تبدیل کنیم. 6.3 شش امتیاز سه است. ابتدا شش عدد صحیح را یادداشت می کنیم:

و در کنار سه دهم:

مثال 2.اعشاری 3.002 را به عدد مختلط تبدیل کنید

3.002 سه کامل و دو هزارم است. ابتدا سه عدد صحیح را یادداشت می کنیم

و در کنار آن دو هزارم می نویسیم:

مثال 3.اعشار 4.50 را به عدد مختلط تبدیل کنید

4.50 چهار امتیاز پنجاه است. چهار عدد صحیح بنویسید

و پنجاه صدم بعدی:

ضمناً مثال آخر را از مبحث قبل به یاد بیاوریم. گفتیم که اعشار 4.50 و 4.5 برابر هستند. ما هم گفتیم که صفر را می توان دور انداخت. بیایید سعی کنیم ثابت کنیم که اعشار 4.50 و 4.5 برابر هستند. برای این کار هر دو کسر اعشاری را به اعداد مختلط تبدیل می کنیم.

وقتی به یک عدد مختلط تبدیل می شود، اعشار 4.50 می شود و اعشار 4.5 تبدیل می شود.

ما دو عدد مختلط و . بیایید این اعداد مختلط را به کسرهای نامناسب تبدیل کنیم:

حالا دو کسر و . وقت آن است که ویژگی اصلی یک کسر را به خاطر بسپاریم که می گوید وقتی صورت و مخرج کسری را در همان عدد ضرب (یا تقسیم) می کنیم، مقدار کسری تغییر نمی کند.

بیایید کسر اول را بر 10 تقسیم کنیم

گرفتیم و این کسر دوم است. این بدان معنی است که هر دو برابر یکدیگر و برابر با یک مقدار هستند:

سعی کنید با استفاده از ماشین حساب ابتدا 450 را بر 100 تقسیم کنید و سپس 45 را بر 10 تقسیم کنید. این یک چیز خنده دار خواهد بود.

تبدیل کسر اعشاری به کسری

هر کسری اعشاری را می توان دوباره به کسری تبدیل کرد. برای انجام این کار، دوباره، کافی است بتوانید کسرهای اعشاری را بخوانید. برای مثال، بیایید 0.3 را به یک کسر مشترک تبدیل کنیم. 0.3 صفر نقطه سه است. ابتدا اعداد صحیح صفر را می نویسیم:

و در کنار سه دهم 0. صفر به طور سنتی یادداشت نمی شود، بنابراین پاسخ نهایی 0 نخواهد بود، بلکه به سادگی خواهد بود.

مثال 2.کسر اعشاری 0.02 را به کسری تبدیل کنید.

0.02 نقطه صفر است. ما صفر را نمی نویسیم، بنابراین بلافاصله دو صدم را یادداشت می کنیم

مثال 3. 0.00005 را به کسر تبدیل کنید

0.00005 صفر نقطه پنج است. ما صفر را نمی نویسیم، بنابراین بلافاصله پانصد هزارم را می نویسیم

آیا درس را دوست داشتید؟
به گروه جدید VKontakte ما بپیوندید و شروع به دریافت اعلان در مورد دروس جدید کنید