صفحه اصلی حفره دهان اعداد طبیعی بخش پذیری اعداد طبیعی

حفره دهان

اعداد طبیعی بخش پذیری اعداد طبیعی

این مقاله با مطالب آغاز می شود نظریه تقسیم پذیری اعداد صحیح. در اینجا مفهوم تقسیم پذیری را معرفی می کنیم و اصطلاحات و نمادهای پذیرفته شده را نشان می دهیم. این به ما امکان می دهد تا ویژگی های اصلی تقسیم پذیری را فهرست کرده و توجیه کنیم.

پیمایش صفحه.

مفهوم تقسیم پذیری

مفهوم تقسیم پذیرییکی از مفاهیم اساسی حساب و نظریه اعداد است. ما در مورد بخش پذیری و در موارد خاص - در مورد بخش پذیری صحبت خواهیم کرد. بنابراین، بیایید یک ایده از تقسیم پذیری در مجموعه اعداد صحیح ارائه دهیم.

عدد صحیح a سهامبا یک عدد صحیح b که با صفر متفاوت است، اگر یک عدد صحیح وجود داشته باشد (آن را با q نشان دهید) به طوری که برابری a=b·q درست باشد. در این مورد نیز می گوییم که ب تقسیم می کندالف در این حالت عدد صحیح b فراخوانی می شود تقسیم کنندهاعداد a، عدد صحیح a فراخوانی می شود چندگانهعدد b (برای اطلاعات بیشتر در مورد مقسوم علیه ها و مضرب ها به مقاله مقسوم علیه ها و مضرب ها مراجعه کنید) و عدد صحیح q نامیده می شود. خصوصی.

اگر یک عدد صحیح a بر یک عدد صحیح ب به معنای بالا بخش پذیر باشد، می توان گفت a بر b بخش پذیر است. به طور کامل. کلمه "کاملا" در این مورد بیشتر تأکید می کند که ضریب تقسیم عدد صحیح a بر عدد صحیح b یک عدد صحیح است.

در برخی موارد، برای اعداد صحیح a و b، هیچ عدد صحیح q وجود ندارد که برابری a=b·q برای آن صادق باشد. در چنین مواردی می گوییم عدد صحیح a بر عدد صحیح b بخش پذیر نیست (یعنی a بر b قابل بخش نیست). با این حال، در این موارد آنها متوسل می شوند.

بیایید با استفاده از مثال مفهوم تقسیم پذیری را درک کنیم.

هر عدد صحیح a بر عدد a، بر عدد -a، a، بر یک و بر عدد -1 بخش پذیر است.

اجازه دهید این خاصیت تقسیم پذیری را اثبات کنیم.

برای هر عدد صحیح a، تساوی a=a·1 و a=1·a معتبر است که از آن نتیجه می شود که a بر a بخش پذیر است و ضریب آن برابر با یک است و a بر 1 بخش پذیر است و ضریب برابر با a است. برای هر عدد صحیح a برابری های a=(-a)·(-1) و a=(-1)·(-a) نیز معتبر هستند، که از آن نتیجه می شود که a بر عدد مقابل a نیز بخش پذیر است. به عنوان a بر منهای واحد بخش پذیر است.

توجه داشته باشید که خاصیت بخش پذیری یک عدد صحیح a به خودی خود خاصیت بازتاب نامیده می شود.

خاصیت بعدی بخش پذیری بیان می کند که صفر بر هر عدد صحیح b بخش پذیر است.

در واقع، از آنجایی که 0=b·0 برای هر عدد صحیح b، پس صفر بر هر عدد صحیح بخش پذیر است.

به طور خاص، صفر بر صفر نیز بخش پذیر است. این تساوی 0=0·q را تأیید می کند، جایی که q هر عدد صحیحی است. از این تساوی نتیجه می شود که ضریب صفر تقسیم بر صفر هر عدد صحیحی است.

همچنین باید توجه داشت که هیچ عدد صحیح دیگری غیر از صفر بر 0 بخش پذیر نیست. بیایید این را توضیح دهیم. اگر صفر یک عدد صحیح متفاوت از صفر را تقسیم کرد، تساوی a=0·q باید درست باشد، جایی که q مقداری صحیح است، و آخرین تساوی تنها در صورتی امکان پذیر است که a=0 باشد.

اگر یک عدد صحیح a بر یک عدد صحیح b بخش پذیر باشد و a کمتر از مدول b باشد، a برابر با صفر است. این خاصیت تقسیم پذیری به صورت لغوی به صورت زیر نوشته می شود: اگر ab و 0 باشد، a=0.

اثبات

از آنجایی که a بر b بخش پذیر است، یک عدد صحیح q وجود دارد که برابری a=b·q برای آن صادق است. پس برابری نیز باید صادق باشد، و به حکمت برابری شکل نیز باید صادق باشد. اگر q برابر با صفر نباشد، نتیجه می شود که . با در نظر گرفتن نابرابری به دست آمده، از برابری به دست می آید که . اما این با شرط منافات دارد. بنابراین، q فقط می تواند برابر با صفر باشد، و ما a=b·q=b·0=0 را به دست می آوریم، که برای اثبات آن نیاز داشتیم.

اگر یک عدد صحیح a غیر صفر باشد و بر یک عدد صحیح b بخش پذیر باشد، مدول a کمتر از مدول b نیست. یعنی اگر a≠0 و ab، آنگاه . این خاصیت تقسیم پذیری مستقیماً از ویژگی قبلی پیروی می کند.

تنها مقسوم‌کننده‌های وحدت اعداد صحیح 1 و −1 هستند.

ابتدا، اجازه دهید نشان دهیم که 1 بر 1 و -1 بخش پذیر است. این از برابری های 1=1·1 و 1=(-1)·(-1) به دست می آید.

باید ثابت کنیم که هیچ عدد صحیح دیگری مقسوم کننده وحدت نیست.

فرض کنید یک عدد صحیح b، متفاوت از 1 و −1، مقسوم علیه وحدت باشد. از آنجایی که وحدت بر b بخش پذیر است، پس به دلیل خاصیت تقسیم پذیری قبلی، نابرابری باید برآورده شود که معادل نامساوی است. این نابرابری تنها با سه عدد صحیح برآورده می شود: 1، 0، و -1. از آنجایی که فرض کردیم b با 1 و −1 متفاوت است، پس فقط b=0 باقی می ماند. اما b=0 نمی‌تواند مقسوم‌کننده وحدت باشد (همانطور که در هنگام توصیف خاصیت دوم تقسیم‌پذیری نشان دادیم). این ثابت می کند که هیچ عددی به جز 1 و 1 مقسوم علیه وحدت نیستند.

برای اینکه یک عدد صحیح a بر عدد صحیح ب بخش پذیر باشد لازم و کافی است که مدول عدد a بر مدول عدد b بخش پذیر باشد.

اجازه دهید ابتدا ضرورت را اثبات کنیم.

بگذارید a بر b تقسیم شود، سپس یک عدد صحیح q وجود دارد که a=b·q. سپس . از آنجایی که یک عدد صحیح است، تساوی نشان می دهد که مدول عدد a بر مدول عدد b بخش پذیر است.

حالا کفایت.

بگذارید مدول عدد a بر مدول عدد b تقسیم شود، آنگاه یک عدد صحیح q وجود دارد که . اگر اعداد a و b مثبت باشند، برابری a=b·q درست است که بخش پذیری a بر b را ثابت می کند. اگر a و b منفی باشند، برابری −a=(−b)·q درست است که می توان آن را به صورت a=b·q بازنویسی کرد. اگر یک - عدد منفیو b مثبت است، سپس −a=b·q داریم، این برابری معادل برابری a=b·(−q) است. اگر a مثبت و b منفی باشد، a=(−b)·q و a=b·(−q) داریم. از آنجایی که q و −q هر دو اعداد صحیح هستند، تساوی های حاصل ثابت می کنند که a بر b بخش پذیر است.

نتیجه 1.

اگر یک عدد صحیح a بر عدد صحیح b بخش پذیر باشد، a نیز بر عدد مقابل −b بخش پذیر است.

نتیجه 2.

اگر یک عدد صحیح a بر عدد صحیح b بخش پذیر باشد، −a نیز بر b قابل بخش است.

اهمیت خاصیت بخش پذیری که به تازگی مورد بحث قرار گرفت، به سختی قابل برآورد است - نظریه تقسیم پذیری را می توان بر روی مجموعه اعداد صحیح مثبت توصیف کرد، و این خاصیت تقسیم پذیری آن را به اعداد صحیح منفی گسترش می دهد.

بخش پذیری دارای خاصیت گذر است: اگر یک عدد صحیح a بر مقداری صحیح m بخش پذیر باشد و عدد m نیز به نوبه خود بر عدد صحیح b تقسیم شود، آنگاه a بر b بخش پذیر است. یعنی اگر am و mb پس ab.

اجازه دهید برای این خاصیت تقسیم پذیری اثبات کنیم.

از آنجایی که a بر m بخش پذیر است، یک عدد صحیح a 1 وجود دارد به طوری که a=m·a 1. به همین ترتیب، از آنجایی که m بر b بخش پذیر است، مقداری عدد صحیح m 1 وجود دارد که m=b·m 1 است. سپس a=m a 1 =(b m 1) a 1 =b (m 1 a 1). از آنجایی که حاصل ضرب دو عدد صحیح یک عدد صحیح است، پس m 1 ·a 1 مقداری صحیح است. با نشان دادن آن به q به تساوی a=b·q می رسیم که خاصیت تقسیم پذیری مورد بررسی را ثابت می کند.

بخش پذیری خاصیت ضد تقارن دارد، یعنی اگر a بر b تقسیم شود و در همان زمان b بر a تقسیم شود، یا اعداد صحیح a و b یا اعداد a و −b برابر هستند.

از بخش پذیری a بر b و b بر a می توان در مورد وجود اعداد صحیح q 1 و q 2 صحبت کرد به طوری که a=b·q 1 و b=a·q 2. با جایگزینی b·q 1 به جای a به تساوی دوم، یا جایگزینی a·q 2 به جای b به تساوی اول، به دست می آوریم که q 1 ·q 2 = 1، و با توجه به اینکه q 1 و q 2 اعداد صحیح هستند، این فقط در صورتی امکان پذیر است که q 1 =q 2 = 1 یا زمانی که q 1 =q 2 =−1 باشد. نتیجه این است که a=b یا a=−b (یا همان چیزی که b=a یا b=−a است).

برای هر عدد صحیح و غیرصفر b یک عدد صحیح a وجود دارد که برابر b نیست که بر b بخش پذیر است.

این عدد هر یک از اعداد a=b·q خواهد بود که q هر عدد صحیحی است که با یک برابر نیست. می توانیم به ویژگی بعدی تقسیم پذیری برویم.

اگر هر یک از دو جمله a و b بر یک عدد صحیح c بخش پذیر باشد، مجموع a+b نیز بر c قابل بخش است.

از آنجایی که a و b بر c بخش پذیر هستند، می توانیم a=c·q 1 و b=c·q 2 بنویسیم. سپس a+b=c q 1 + c q 2 = c (q 1 + q 2)(آخرین انتقال به دلیل امکان پذیر است). از آنجایی که مجموع دو عدد صحیح یک عدد صحیح است، تساوی a+b=c·(q 1 +q 2) بخش پذیری مجموع a+b بر c را ثابت می کند.

این ویژگی را می توان تا مجموع سه، چهار یا چند ترم افزایش داد.

اگر همچنین به یاد داشته باشیم که تفریق یک عدد صحیح b از یک عدد صحیح a جمع عدد a با عدد -b است (نگاه کنید به)، پس این خاصیت بخش پذیری برای تفاوت اعداد نیز صادق است. به عنوان مثال، اگر اعداد صحیح a و b بر c بخش پذیر باشند، تفاوت a-b نیز بر c قابل بخش است.

اگر معلوم شود که در تساوی به شکل k+l+…+n=p+q+…+s همه عبارت‌ها به جز یکی بر مقداری صحیح b بخش‌پذیر هستند، این یک جمله بر b نیز قابل بخش است.

فرض کنید این عبارت p است (می‌توانیم هر یک از شرایط برابری را بگیریم که بر استدلال تأثیری نخواهد داشت). سپس p=k+l+…+n−q−…−s . عبارت به دست آمده در سمت راست برابری به دلیل خاصیت قبلی بر b تقسیم می شود. بنابراین عدد p بر b نیز بخش پذیر است.

اگر یک عدد صحیح a بر یک عدد صحیح b بخش پذیر باشد، حاصل ضرب a·k که k یک عدد صحیح دلخواه است، بر b تقسیم می شود.

از آنجایی که a بر b بخش پذیر است، برابری a=b·q درست است، جایی که q مقداری صحیح است. سپس a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (آخرین انتقال به دلیل انجام شد). از آنجایی که حاصل ضرب دو عدد صحیح یک عدد صحیح است، برابری a·k=b·(q·k) تقسیم پذیری حاصلضرب a·k بر b را ثابت می کند.

نتیجه: اگر یک عدد صحیح a بر یک عدد صحیح b بخش پذیر باشد، حاصل ضرب a·k 1 ·k 2 ·…·k n که k 1، k 2، ...، k n برخی از اعداد صحیح هستند، بر b قابل بخش است.

اگر اعداد صحیح a و b بر c بخش پذیر باشند، مجموع حاصل از a·u و b·v شکل a·u+b·v که u و v اعداد صحیح دلخواه هستند بر c تقسیم می شود.

اثبات این خاصیت تقسیم پذیری مشابه دو مورد قبلی است. از شرط a=c·q 1 و b=c·q 2 داریم. سپس a u+b v=(c q 1) u+ (c q 2) v=c (q 1 u+q 2 v). از آنجایی که مجموع q 1 ·u+q 2 ·v یک عدد صحیح است، پس تساوی شکل a u+b v=c (q 1 u+q 2 v)ثابت می کند که a·u+b·v بر c بخش پذیر است.

این بررسی ما را در مورد ویژگی های اساسی تقسیم پذیری به پایان می رساند.

مراجع

ویلنکین N.Ya. و سایرین. پایه ششم: کتاب درسی موسسات آموزش عمومی.
وینوگرادوف I.M. مبانی نظریه اعداد.
میخلوویچ ش.ح. نظریه اعداد
کولیکوف ال.یا. و دیگر مجموعه ای از مسائل در جبر و نظریه اعداد: آموزشبرای دانشجویان فیزیک و ریاضی تخصص های موسسات آموزشی.

اعداد مورد استفاده برای شمارش را نام ببرید. هر تعداد اقلام قابل شمارش با یک عدد طبیعی خاص مطابقت دارد. اگر اشیایی برای شمارش وجود نداشته باشد، از عدد 0 استفاده می شود، اما هنگام شمارش اشیا هرگز از 0 شروع نمی کنیم و بر این اساس عدد 0 را نمی توان به عنوان طبیعی طبقه بندی کرد. واضح است که کوچکترین عدد طبیعی یک است. بزرگترین عدد طبیعی وجود ندارد، زیرا مهم نیست که یک عدد چقدر بزرگ باشد، همیشه می توانید 1 را به آن اضافه کنید و عدد طبیعی بعدی را بنویسید.

بیایید آن را مرتب کنیم ساده ترین مثالتقسیم: عدد 30 را بر عدد 5 تقسیم کنید (باقیمانده هنگام تقسیم عدد 30 بر عدد 5 0 است)، زیرا 30 = 5 است. 6. پس عدد 30 بر عدد 5 بخش پذیر است. عدد 5 است تقسیم کنندهعدد 30 و عدد 30 است چندگانهشماره 5.

عدد طبیعی ک n، اگر چنین عدد طبیعی وجود داشته باشد متر، که برای آن برابری برقرار است ک = n . متر.

یا به عبارت دیگر , برای تقسیم یک عدد بر عدد دیگر، باید عدد سومی را پیدا کنید که وقتی در عدد دوم ضرب می شود، عدد اول را به دست می دهد.

اگر یک عدد طبیعی است کبر یک عدد طبیعی بخش پذیر است n، سپس شماره کتماس گرفت مضرب عدد,

شماره n — مقسوم علیه یک عدد ک.

اعداد 1، 2، 3، 6، 10، 15، 30 نیز مقسوم علیه 30 هستند و 30 مضرب هر یک از این اعداد است. توجه داشته باشید که عدد 30 بر مثلا عدد 7 بخش پذیر نیست بنابراین عدد 7 مقسوم علیه عدد 30 نیست و عدد 30 مضرب عدد 7 نیست.

پس از انجام عملیات تقسیم می گویند: «عدد کقابل تقسیم بر عدد n"، "شماره nمقسوم علیه یک عدد است ک"، "شماره کمضرب عدد n"، "شماره کمضرب عدد است n».

به راحتی می توان تمام مقسوم علیه های عدد 6 را یادداشت کرد. اینها اعداد 1، 2، 3 و 6 هستند. آیا می توان تمام اعدادی را که مضرب عدد 6 هستند فهرست کرد؟ اعداد 6. 1، 6. 2، 6. 3، 6. 4، 6. 5 و غیره مضرب عدد 6 هستند. در می یابیم که تعداد بی نهایت اعداد مضربی از عدد 6 وجود دارد. بنابراین، فهرست کردن همه آنها غیرممکن است.

به طور کلی برای هر عدد طبیعی کهر یک از اعداد

ک . 1, ک . 2, ک . 3, ک . 4 , ...

مضرب عدد است ک.

حداقل مقسوم علیههر عدد طبیعی کعدد 1 است و بزرگترین مقسوم علیه- خود شماره ک.

از جمله اعدادی که مضرب هستند ک، بزرگترین وجود ندارد، اما کوچکترین وجود دارد - این خود عدد است ک.

هر یک از اعداد 21 و 36 بر عدد 3 بخش پذیرند و مجموع آنها یعنی عدد 57 نیز بر عدد 3 بخش پذیر است. بطور کلی اگر هر یک از اعداد کو nقابل تقسیم بر عدد متر، سپس مجموع k+nبر عدد نیز بخش پذیر است متر.

هر کدام از اعداد 4 و 8 نیستند سهامیک عدد صحیح بر عدد 3 است و مجموع آنها یعنی عدد 12 بر عدد 3 به طور مساوی بخش پذیر نیست. به طور مساوی بر عدد 5 بخش پذیر نیست ک، بدون شماره nبه طور مساوی بر یک عدد بخش پذیر نیستند متر، سپس مجموع ک + nممکن است بر یک عدد کامل بخش پذیر باشد یا نباشد متر

عدد 35 بدون باقیمانده بر عدد 7 بخش پذیر است اما عدد 17 بر عدد 7 بخش پذیر نیست. مجموع 35 + 17 نیز بر عدد 7 بخش پذیر نیست. به طور کلی، اگر تعداد کقابل تقسیم بر عدد مترو شماره nبر عدد بخش پذیر نیست متر، سپس مجموع ک + nبر عدد بخش پذیر نیست متر

کنفرانس پژوهشی منطقه‌ای برای دانش‌آموزان ناحیه شهرداری لاخدنپخ

"گامی به سوی آینده"

پروژه ریاضی با موضوع:

تکمیل شده توسط: گالکینا ناتالیا

دانش آموز کلاس هفتم

MKOU "دبیرستان Elisenvaara"

سر: واسیلیوا

لاریسا ولادیمیروا

معلم ریاضی

MKOU "دبیرستان Elisenvaara"

مقدمه 3 صفحه

از تاریخچه ریاضی 4 صفحه.

مفاهیم پایه 4 صفحه.

طبقه بندی علائم تقسیم پذیری: 5 صفحه.

تقسیم پذیری اعداد با آخرین رقم (های) 5 تا 6 صفحه تعیین می شود.
تقسیم پذیری اعداد با مجموع ارقام عدد تعیین می شود: 6 صفحه.
تقسیم پذیری اعداد پس از انجام برخی اقدامات بر روی ارقام صفحات شماره 6 - 9 تعیین می شود.
برای تعیین بخش پذیری یک عدد از علائم دیگر 9 تا 10 صفحه استفاده می شود.

کاربرد معیارهای تقسیم پذیری در عمل 10 – 11 صفحه.

نتیجه 11 صفحه

کتابشناسی 12 صفحه.

مقدمه

ارتباط مطالعه: نشانه های تقسیم پذیری همواره مورد توجه دانشمندان زمان ها و اقوام مختلف بوده است. هنگام مطالعه مبحث "علائم بخش پذیری اعداد بر 2، 3، 5، 9، 10" در درس ریاضی، به مطالعه اعداد برای بخش پذیری علاقه مند شدم. فرض بر این بود که اگر بتوان تقسیم پذیری اعداد را بر این اعداد تعیین کرد، باید نشانه هایی وجود داشته باشد که با آن بتوان بخش پذیری اعداد را تعیین کرد. اعداد طبیعیو برای اعداد دیگر در برخی موارد، برای اینکه بفهمیم آیا یک عدد طبیعی بخش پذیر است یا خیر الفبه یک عدد طبیعی ببدون باقی مانده، لازم نیست این اعداد را تقسیم کنید. دانستن برخی نشانه های تقسیم پذیری کافی است.

فرضیه- اگر نشانه هایی از بخش پذیری اعداد طبیعی بر 2، 3، 5، 9 و 10 وجود داشته باشد، نشانه های دیگری وجود دارد که می توان با آنها تقسیم پذیری اعداد طبیعی را تعیین کرد.

هدف از مطالعه - علائم از قبل شناخته شده بخش پذیری اعداد طبیعی را که در مدرسه مطالعه کرده اند، تکمیل کنید و این علائم بخش پذیری را نظام مند کنید.

برای رسیدن به این هدف باید موارد زیر را حل کرد وظایف:

به طور مستقل تقسیم پذیری اعداد را بررسی کنید.

برای آشنایی با سایر نشانه های تقسیم پذیری، متون اضافی را مطالعه کنید.

ویژگی ها را از منابع مختلف ترکیب و خلاصه کنید.

نتیجه گیری کنید.

موضوع مطالعه- مطالعه تمام نشانه های ممکن تقسیم پذیری.

موضوع تحقیق- نشانه های تقسیم پذیری

روش های تحقیق- جمع آوری مواد، پردازش داده ها، مقایسه، تجزیه و تحلیل، ترکیب.

تازگی:در طول پروژه، دانش خود را در مورد علائم بخش پذیری اعداد طبیعی گسترش دادم.

از تاریخ ریاضیات

بلز پاسکال(متولد 1623) - یکی از بیشترین افراد مشهوردر تاریخ بشریت پاسکالومر، زمانی که او 39 ساله بود، اما با وجود چنین زندگی کوتاه، به عنوان یک ریاضیدان، فیزیکدان، فیلسوف و نویسنده برجسته در تاریخ ثبت شد. واحد فشار (پاسکال) و یک زبان برنامه نویسی بسیار محبوب امروزه به نام او نامگذاری شده است. بلز پاسکال یک چیز مشترک پیدا کرد

تست پاسکال روشی است که به شما امکان می دهد تست های بخش پذیری بر هر عددی را بدست آورید. نوعی "نشانه جهانی تقسیم پذیری".

تست تقسیم پذیری پاسکال: عدد طبیعی الفبر عدد طبیعی دیگری تقسیم خواهد شد بفقط در صورتی که مجموع حاصل از ارقام عدد باشد الفبه باقیمانده های مربوطه که از تقسیم واحدهای رقمی بر عدد بدست می آیند ب، بر این عدد تقسیم می شود.

به عنوان مثال : عدد 2814 بر 7 بخش پذیر است زیرا 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 بر 7 بخش پذیر است. و 3 باقیمانده حاصل از تقسیم 10 بر 7 است.

مفاهیم اساسی

بیایید برخی از مفاهیم ریاضی را که هنگام مطالعه این مبحث به آنها نیاز خواهیم داشت، به خاطر بسپاریم.

آزمون تقسیم پذیریقانونی است که به موجب آن، بدون انجام تقسیم، می توانید تعیین کنید که آیا یک عدد بر عدد دیگر بخش پذیر است یا خیر.

تقسیم کنندهعدد طبیعی الف عدد طبیعی را نام ببرید الف بدون باقی مانده تقسیم می شود.

سادهاعداد طبیعی نامیده می شوند که به جز یک و خودشان هیچ مقسوم علیه طبیعی دیگری ندارند.

کامپوزیتاعدادی هستند که مقسوم علیه های طبیعی غیر از 1 و خودشان دارند.

نشانه های تقسیم پذیری

تمام علائم بخش پذیری اعداد طبیعی که در این کار در نظر گرفتم را می توان به 4 گروه تقسیم کرد:

بیایید نگاهی دقیق تر به هر یک از این گروه ها بیندازیم.

تقسیم پذیری اعداد با آخرین رقم (ها) تعیین می شود.

اولین گروه از علائم بخش پذیری اعداد طبیعی که در نظر گرفتم شامل علائم بخش پذیری بر 2، 4، 5، 8، 20، 25، 50، 125 و واحدهای رقمی 10، 100 و غیره است.

بخش پذیری بر 2 را تست کنید: یک عدد زمانی بر 2 بخش پذیر است که آخرین رقم آن عدد بر 2 بخش پذیر باشد (یعنی آخرین رقم یک عدد زوج باشد).

به عنوان مثال: 32217864 : 2

بخش پذیری بر 4 را تست کنید : یک عدد زمانی بر 4 بخش پذیر است که دو رقم آخر آن صفر باشد یا زمانی که عدد دو رقمی تشکیل شده از دو رقم آخر آن بر 4 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال, 35324 : 4; 6600 : 4

تست بخش پذیری بر 5 : عددی بر 5 بخش پذیر است که آخرین رقم آن 5 یا 0 باشد.

به عنوان مثال: 36780 : 5 یا 12326 5 : 5

تست بخش پذیری بر 8:یک عدد زمانی بر 8 بخش پذیر است که بر 8 بخش پذیر باشد عدد سه رقمی، از سه رقم آخر این عدد تشکیل شده است.

به عنوان مثال: 432240 : 8

تست بخش پذیری بر 20:یک عدد زمانی بر 20 بخش پذیر است که عددی که از دو رقم آخر تشکیل شده است بر 20 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال: 59640 : 20

تست بخش پذیری بر 25:اعدادی که دو رقم آخر آنها صفر است یا عددی را تشکیل می دهند که بر 25 بخش پذیر است بر 25 بخش پذیرند.

به عنوان مثال: 667975 : 25 یا 77689 00 : 25

تست بخش پذیری بر 50:یک عدد زمانی بر 50 بخش پذیر است که عددی که از دو رقم اعشاری پایین آن تشکیل شده است بر 50 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال: 564350 :50 یا 5543 00 :50

تست بخش پذیری بر 125:عددی بر 125 بخش پذیر است که سه رقم آخر آن صفر باشد یا عددی را تشکیل دهد که بر 125 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال: 32157000 :125 یا 3216 250 :125

آن دسته از اعداد طبیعی که تعداد صفرهای آنها بزرگتر یا مساوی با تعداد صفرهای واحد رقمی است به یک واحد رقمی تقسیم می شوند.

به عنوان مثال، 12000 بر 10، 100 و 1000 بخش پذیر است.

تقسیم پذیری اعداد با مجموع ارقام عدد مشخص می شود

این گروه از علائم بخش پذیری اعداد طبیعی شامل علائم بخش پذیری بر 3، 9، 11 است که در نظر گرفتم.

تست بخش پذیری بر 3:عددی بر 3 بخش پذیر است که مجموع ارقام آن بر 3 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12، (12:3)

تست بخش پذیری بر 9:عددی بر 9 بخش پذیر است که مجموع ارقام آن بر 9 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال: 653022: 9 تن 6+5+3+0+2+2=18، (18:9)

تست بخش پذیری بر 11:این اعداد در صورتی بر 11 بخش پذیر هستند که مجموع ارقام در مکان های فرد یا برابر با مجموع ارقام مکان های زوج باشد یا با مضرب 11 با آن تفاوت داشته باشد.

به عنوان مثال: 865948732:11 زیرا 8+5+4+7+2=26 و 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 زیرا 8+5+4+7+2=26 و 1+2+8+4=15، 26-15=11، (11:11)

تقسیم پذیری اعداد پس از انجام برخی اعمال بر روی ارقام این عدد مشخص می شود

این گروه از علائم بخش پذیری اعداد طبیعی شامل علائم بخش پذیری بر 6، 7، 11، 13،17، 19، 23، 27، 29، 31، 33، 37، 41، 59، 79، 101 است.

تست بخش پذیری بر 6:

علامت 1: عددی بر 6 بخش پذیر است که حاصل تفریق دو برابر عدد صدها از عدد پس از صدها بر 6 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 138: 6 زیرا 1·2=2، 38 – 2=36، (36:6); 744:6 زیرا 44 - 7·2 = 30، (30:6)

علامت 2: عددی بر 6 بخش پذیر است اگر و تنها در صورت چهار برابر شدن تعداد ده ها اضافه شده به تعداد واحدها بر 6 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 768:6 زیرا 76·4+8=312، 31·4+2=126، 12·4+6=54 (54:6)

بخش پذیری بر 7:

علامت 1: عدد بر بخش پذیر است 7 وقتی سه برابر شود، تعداد ده ها اضافه شده به تعداد واحدها بر 7 بخش پذیر است.

به عنوان مثال،شماره 154:7، زیرا 15 3 + 4 = 49 (49:7) بر 7 تقسیم می شود

علامت 2: عددی بر 7 بخش پذیر است که مدول مجموع جبری اعداد تشکیل دهنده گروه های فرد سه رقمی (شروع با یک) که با علامت "+" گرفته می شود و اعداد زوج با علامت "-" بر 7 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 138689257:7، زیرا ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

بخش پذیری بر 11:

علامت 1: عددی بر 11 بخش پذیر است که مدول تفاضل مجموع اعدادی که موقعیت های فرد را اشغال می کنند و مجموع ارقامی که موقعیت های زوج را اشغال می کنند بر 11 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 9163627:11، زیرا ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

علامت 2: یک عدد بر 11 بخش پذیر است که مجموع اعدادی که گروه های دو رقمی را تشکیل می دهند (که با یک شروع می شوند) بر 11 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 103785:11، زیرا 10+37+85=132 و 01+32=33 (33:11)

بخش پذیری بر 13:

علامت 1: عددی بر 13 بخش پذیر است که مجموع ده ها به اضافه چهار عدد بر 13 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 845:13، زیرا 84+5·4=104، 10+4·4=26 (26:13)

علامت 2: عددی بر 13 بخش پذیر است که تفاوت بین تعداد ده ها و نه برابر تعداد یک ها بر 13 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 845:13، زیرا 84-5 9=39 (39:13)

تست بخش پذیری بر 17:یک عدد زمانی بر 17 بخش پذیر است که مدول اختلاف بین تعداد ده ها و پنج برابر تعداد یک ها بر 17 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 221:17، زیرا ǀ22-5·1ǀ=17

علائم بخش پذیری بر 19:عددی بر 19 بخش پذیر است که تعداد ده ها به دو برابر تعداد واحدها بر 19 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 646:19، زیرا 64+6·2=76، 7+2·6=19، (19:19)

تست های بخش پذیری بر 23:

علامت 1: عددی بر 23 بخش پذیر است که عدد صدها که به 3 برابر عددی که از دو رقم آخر اضافه می شود بر 23 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 28842:23، زیرا 288+3·42=414، 4+3·14=46 (46:23)

علامت 2: عدد بر بخش پذیر است 23 وقتی تعداد ده ها که به هفت برابر تعداد یک ها اضافه می شود بر 23 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 391:23، زیرا

3 9+7 1=46 (46:23): عدد بر بخش پذیر است 23 علامت 3

به عنوان مثالوقتی تعداد صدها به هفت برابر تعداد ده ها و سه برابر تعداد واحدها بر 23 بخش پذیر باشد.

، 391:23، زیرا 3+7·9+3·1=69 (69:23)

به عنوان مثالتست بخش پذیری بر 27:

یک عدد زمانی بر 27 بخش پذیر است که مجموع اعداد تشکیل دهنده گروه های سه رقمی (شروع با یک) بر 27 بخش پذیر باشد.، 2705427:27 زیرا 427+705+2=1134، 134+1=135، (135:27)

به عنوان مثالتست بخش پذیری بر 29:

عددی بر 29 بخش پذیر است که تعداد ده ها به سه برابر تعداد واحدها بر 29 بخش پذیر باشد.، 261:29، زیرا 26+3·1=29 (29:29)

به عنوان مثالتست بخش پذیری بر 31:

یک عدد زمانی بر 31 بخش پذیر است که مدول اختلاف بین تعداد ده ها و سه برابر تعداد یک ها بر 31 بخش پذیر باشد.، 217:31، زیرا ǀ21-3·7ǀ= 0، (0:31)

به عنوان مثالتست های بخش پذیری بر 33:

اگر مجموع حاصل از تقسیم یک عدد از راست به چپ به گروه های دو رقمی بر 33 بخش پذیر باشد، آن عدد بر 33 بخش پذیر است.

علامت 1: ، 396:33، زیرا 96+3=99 (99:33)

به عنوان مثال, تست های بخش پذیری بر 37:

علامت 2: یک عدد زمانی بر 37 بخش پذیر است که هنگام تقسیم عدد به گروه های سه رقمی (شروع با یک)، مجموع این گروه ها مضرب 37 باشد.

به عنوان مثالشماره 100048:37، زیرا 100+048=148، (148:37)یک عدد بر 37 بخش پذیر است که مدول سه برابری تعداد صدها به چهار برابر شدن تعداد ده ها منهای تعداد واحدهای ضرب در هفت بر 37 تقسیم شود.

، عدد 481:37 است، زیرا بر 37 بخش پذیر است

علامت 1ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

به عنوان مثال،معیارهای تقسیم بر 41:

علامت 2: عددی بر 41 بخش پذیر است که مدول اختلاف بین تعداد ده ها و چهار برابر تعداد واحدها بر 41 بخش پذیر باشد.369:41، زیرا ǀ36-4·9ǀ=0، (0:41)

: برای بررسی اینکه آیا یک عدد بر 41 بخش پذیر است یا خیر، باید آن را از راست به چپ به گروه های 5 رقمی تقسیم کرد. سپس در هر گروه، رقم اول سمت راست را در 1 ضرب کنید، رقم دوم را در 10، سوم را در 18، چهارم را در 16، پنجم را در 37 ضرب کنید و همه حاصل را جمع کنید. اگر نتیجهبر 41 بخش پذیر خواهد بود، سپس خود عدد بر 41 بخش پذیر خواهد بود.

به عنوان مثالتست بخش پذیری بر 59:

عددی بر 59 بخش پذیر است که تعداد ده ها که به تعداد یک ها ضرب شده در 6 اضافه می شود بر 59 بخش پذیر باشد.، 767:59، زیرا 76+7·6=118، 11+8·6=59، (59:59)

به عنوان مثال، 711:79، زیرا 71+8·1=79، (79:79)

آزمون بخش پذیری بر 99:یک عدد بر 99 بخش پذیر است که مجموع اعدادی که گروه های دو رقمی را تشکیل می دهند (که با یک شروع می شوند) بر 99 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 12573:99، زیرا 1+25+73=99، (99:99)

تست بخش پذیری بر 101:یک عدد زمانی بر 101 بخش پذیر است که مدول مجموع جبری اعدادی که گروه های فرد متشکل از دو رقم (با یک شروع می شوند) که با علامت "+" گرفته می شوند و اعداد زوج با علامت "-" بر 101 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال

برای تعیین بخش پذیری یک عدد از معیارهای تقسیم پذیری دیگر استفاده می شود

این گروه از علائم بخش پذیری اعداد طبیعی شامل علائم بخش پذیری بر: 6، 12، 14، 15، 27، 30، 60 و غیره است. اینها همه اعداد ترکیبی هستند. معیارهای تقسیم پذیری اعداد مرکب بر اساس معیارهای تقسیم پذیری اعداد اول است که هر عدد مرکب را می توان به آن تجزیه کرد.

تست بخش پذیری بر 6:

علامت 1: عددی بر 6 بخش پذیر است که بر 2 و 3 بخش پذیر باشد، یعنی زوج باشد و مجموع ارقام آن بر 3 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 768:6، زیرا 7+6+8=21 (21:3) و آخرین رقم در عدد 768 زوج است.

تست بخش پذیری بر 12: عددی بر 12 بخش پذیر است که همزمان بر 3 و 4 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 408:12، زیرا 4+0+8=12 (12:3) و دو رقم آخر بر 4 بخش پذیرند (08:4)

تست بخش پذیری بر 14:یک عدد زمانی بر 14 بخش پذیر است که بر 2 و 7 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال،عدد 45612:14 چون بر 2 و 7 بخش پذیر است، یعنی بر 14 بخش پذیر است.

تست بخش پذیری بر 15:یک عدد زمانی بر 15 بخش پذیر است که بر 3 و 5 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 1146795:15 زیرا این عدد بر 3 و 5 بخش پذیر است.

تست های بخش پذیری بر 27:یک عدد زمانی بر 27 بخش پذیر است که بر 3 و 9 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 511704:27 زیرا 5+1+1+7+0+4=18، (18:3 و 18:9)

علائم بخش پذیری بر 30:یک عدد وقتی به 0 ختم شود بر 30 بخش پذیر است و مجموع همه ارقام بر 3 بخش پذیر است.

به عنوان مثال، 510:30 زیرا 5+1+0=6 (6:3) و در عدد 510 (آخرین رقم 0)

علائم بخش پذیری بر 60:برای اینکه یک عدد بر 60 بخش پذیر باشد، لازم و کافی است که بر 4، 3 یا 5 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 1620:60 زیرا 1+6+2+0=9 (9:3)، عدد 1620 با 0 به پایان می رسد، یعنی. بر 5 و 1620 بخش پذیر است: 4 زیرا دو رقم آخر 20:4

کار کاربرد عملی دارد. این می تواند توسط دانش آموزان مدرسه و بزرگسالان هنگام حل موقعیت های واقعی استفاده شود. معلمان، چه در هنگام برگزاری دروس ریاضی و چه در دروس انتخابی و کلاس های اضافیبرای تکرار

این مطالعهزمانی برای دانش آموزان مفید خواهد بود خودآموزیبرای امتحانات نهایی و ورودی همچنین برای دانش آموزانی که هدفشان رتبه های بالا در المپیادهای شهری است مفید خواهد بود.

وظیفه شماره 1 . آیا می توان تنها با استفاده از اعداد 3 و 4 نوشت:

عددی که بر 10 بخش پذیر است؛

عدد زوج؛

عددی که مضرب 5 باشد؛

عدد فرد

مشکل شماره 2

یک عدد نه رقمی بنویسید که هیچ رقم تکراری نداشته باشد (همه ارقام متفاوت هستند) و بدون باقی مانده بر 1 بخش پذیر باشد.

بزرگترین این اعداد را بنویسید.

کوچکترین این اعداد را بنویسید.

پاسخ: 987652413; 102347586

مشکل شماره 3

بزرگترین عدد چهار رقمی را بیابید که همه ارقام آن متفاوت است و بر 2، 5، 9، 11 بخش پذیر است.

جواب: 8910

مشکل شماره 4

اولیا یک عدد سه رقمی ساده را ارائه کرد که همه ارقام آن متفاوت است. اگر آخرین رقم آن برابر با مجموع دو عدد اول باشد، به چه رقمی ختم می شود؟ نمونه هایی از این اعداد را ذکر کنید.

پاسخ: فقط با 7. 4 عدد وجود دارد که شرایط مسئله را برآورده می کند: 167، 257، 347، 527

مشکل شماره 5

70 دانش آموز در دو کلاس با هم هستند. در یک کلاس 17/7 دانش آموز در کلاس حاضر نشدند و در کلاس دیگر 9/2 در درس ریاضی نمرات عالی گرفتند. در هر کلاس چند دانش آموز وجود دارد؟

راه حل:در کلاس اول از این کلاس ها می تواند وجود داشته باشد: 17، 34، 51... - اعداد مضرب 17. در کلاس دوم: 9، 18، 27، 36، 45، 54... - اعدادی که مضرب هستند. از 9. ما باید 1 عدد را از دنباله اول انتخاب کنیم و 2 عددی از دومی است به طوری که جمع آنها به 70 برسد. علاوه بر این، در این دنباله ها فقط تعداد کمی از عبارت ها می توانند تعداد احتمالی فرزندان را بیان کنند. کلاس این توجه به طور قابل توجهی انتخاب گزینه ها را محدود می کند. تنها گزینه ممکن جفت (34، 36) بود.

مشکل شماره 6

در کلاس نهم برای کار آزمایشی 1/7 دانش‌آموز امتیاز A، 1/3 - B، ½ - C دریافت کردند. بقیه کارها رضایت بخش نبود. چند شغل از این دست وجود داشت؟

راه حل:راه حل مسئله باید عددی باشد که مضربی از اعداد: 7، 3، 2 باشد. ابتدا کوچکترین این اعداد را پیدا می کنیم. LCM (7، 3، 2) = 42. شما می توانید یک عبارت با توجه به شرایط مسئله ایجاد کنید: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 ناموفق. مسائل رابطه ریاضی فرض می کند که تعداد دانش آموزان کلاس 84، 126 و غیره باشد. انسان. اما عقل سلیم نشان می دهد که قابل قبول ترین پاسخ عدد 42 است.

پاسخ: 1 شغل

نتیجه گیری:

در نتیجه این کار متوجه شدم که علاوه بر علائم بخش پذیری بر 2، 3، 5، 9 و 10 که می شناسم، نشانه های دیگری نیز برای بخش پذیری اعداد طبیعی وجود دارد. دانش به دست آمده به طور قابل توجهی حل بسیاری از مشکلات را سرعت می بخشد. و من می توانم از این دانش در خود استفاده کنم فعالیت های آموزشی، هم در درس ریاضی و هم در فعالیت های فوق برنامه. همچنین باید توجه داشت که فرمول بندی برخی از معیارهای تقسیم پذیری پیچیده است. شاید به همین دلیل است که آنها در مدرسه مطالعه نمی شوند. من انتظار دارم در آینده به کار بر روی مطالعه علائم بخش پذیری اعداد طبیعی ادامه دهم.

فرهنگ لغت دایره المعارفیریاضیدان جوان ساوین A.P. مسکو "پداگوژی" 1989.

ریاضیات. مواد اضافی برای دروس ریاضیات، پایه های 5-11. ریازانوفسکی A.R.، Zaitsev E.A. مسکو "Bustard" 2002.

پشت صفحات کتاب ریاضی. Vilenkin N.Ya.، Depman I.Ya. م.: آموزش و پرورش، 1989.

کار فوق برنامه در ریاضیات در پایه های 6-8. مسکو. "روشنگری" 1984 V. A. Gusev, A. I. Orlov, A. L. Rosenthal.

1001 پرسش و پاسخ. کتاب بزرگ دانش" مسکو. "دنیای کتاب" 2004.

درس اختیاری ریاضی. نیکولسکایا I.L. - مسکو روشنگری 1991.

مسائل المپیاد در ریاضیات و روش های حل آنها. Farkov A.V. - مسکو. 2003

منابع اینترنتی

مشاهده محتوای ارائه
"علائم بخش پذیری اعداد طبیعی"

کنفرانس پژوهشی منطقه ای برای دانش آموزان

منطقه شهرداری لاخدنپخ "گام به آینده"

"علائم بخش پذیری اعداد طبیعی"

تکمیل شده توسط: گالکینا ناتالیا

دانش آموز کلاس هفتم

MKOU "دبیرستان Elisenvaara"

سر: واسیلیوا لاریسا ولادیمیروا

معلم ریاضیات در MKOU "Elisenvaarskaya" دبیرستان"

2014

ارتباط مطالعه : نشانه های تقسیم پذیری همواره دانشمندان زمان ها و اقوام مختلف را مورد توجه قرار داده است. هنگام مطالعه مبحث "علائم بخش پذیری اعداد بر 2، 3، 5، 9، 10" در درس ریاضی، به مطالعه اعداد برای بخش پذیری علاقه مند شدم. فرض بر این بود که اگر بتوان تقسیم پذیری اعداد را بر این اعداد تعیین کرد، باید نشانه هایی وجود داشته باشد که با آن بتوان تقسیم پذیری اعداد طبیعی را بر اعداد دیگر تعیین کرد. در برخی موارد، برای اینکه بفهمیم آیا یک عدد طبیعی بخش پذیر است یا خیر الف به یک عدد طبیعی ب بدون باقی مانده، لازم نیست این اعداد را تقسیم کنید. دانستن برخی نشانه های تقسیم پذیری کافی است. فرضیه - اگر نشانه هایی از بخش پذیری اعداد طبیعی بر 2، 3، 5، 9 و 10 وجود داشته باشد، نشانه های دیگری وجود دارد که می توان با آنها تقسیم پذیری اعداد طبیعی را تعیین کرد. هدف از مطالعه - علائم از قبل شناخته شده بخش پذیری اعداد طبیعی را که در مدرسه مطالعه کرده اند، تکمیل کنید و این علائم بخش پذیری را نظام مند کنید. برای رسیدن به این هدف باید موارد زیر را حل کرد وظایف:

به طور مستقل تقسیم پذیری اعداد را بررسی کنید.
برای آشنایی با سایر نشانه های تقسیم پذیری، متون اضافی را مطالعه کنید.
ویژگی ها را از منابع مختلف ترکیب و خلاصه کنید.
نتیجه گیری کنید. موضوع مطالعه - بخش پذیری اعداد طبیعی موضوع تحقیق - نشانه های تقسیم پذیری روش های تحقیق - جمع آوری مطالب، پردازش داده ها، مقایسه، تجزیه و تحلیل، تعمیم. تازگی : در طول پروژه دانش خود را گسترش دادم معیارهای بخش پذیری اعداد طبیعی

از تاریخ ریاضیات

بلز پاسکال (متولد 1623) - یکی از مشهورترین افراد در تاریخ بشریت. پاسکال در 39 سالگی درگذشت، اما با وجود چنین عمر کوتاهی، به عنوان یک ریاضیدان، فیزیکدان، فیلسوف و نویسنده برجسته در تاریخ ثبت شد. واحد فشار (پاسکال) و یک زبان برنامه نویسی بسیار محبوب امروزه به نام او نامگذاری شده است. بلز پاسکال یک چیز مشترک پیدا کرد الگوریتمی برای یافتن نشانه های تقسیم پذیری هر عدد صحیح بر هر عدد صحیح دیگر.

تست تقسیم پذیری پاسکال: یک عدد طبیعی a بر عدد طبیعی دیگر b تقسیم می شود تنها در صورتی که مجموع حاصلضرب ارقام عدد a بر باقیمانده های مربوطه حاصل از تقسیم واحدهای رقمی بر عدد b بر این عدد بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال : عدد 2814 بر 7 بخش پذیر است زیرا 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 بر 7 بخش پذیر است. و 3 باقیمانده حاصل از تقسیم 10 بر 7 است.

مفاهیم اساسی

بیایید برخی از مفاهیم ریاضی را که هنگام مطالعه این مبحث به آنها نیاز داریم را به خاطر بسپاریم:

آزمون تقسیم پذیری قانونی است که به موجب آن، بدون انجام تقسیم، می توانید تعیین کنید که آیا یک عدد بر عدد دیگر بخش پذیر است یا خیر.

تقسیم کننده عدد طبیعی الف با یک شماره طبیعی تماس بگیرید ب ، به آن الف بدون باقی مانده تقسیم می شود.

ساده اعداد طبیعی نامیده می شوند که به جز یک و خودشان هیچ مقسوم علیه طبیعی دیگری ندارند.

کامپوزیت اعدادی هستند که مقسوم علیه های طبیعی غیر از 1 و خودشان دارند.

نشانه های تقسیم پذیری

تمام علائم بخش پذیری اعداد طبیعی که در این کار در نظر گرفتم را می توان به 4 گروه تقسیم کرد:

من

من . تقسیم پذیری اعداد با آخرین رقم (ها) تعیین می شود.

بخش پذیری بر 2 را تست کنید : یک عدد زمانی بر 2 بخش پذیر است که آخرین رقم آن عدد بر 2 بخش پذیر باشد (یعنی آخرین رقم یک عدد زوج باشد).

به عنوان مثال : 3221786 4 : 2

بخش پذیری بر 4 را تست کنید : یک عدد زمانی بر 4 بخش پذیر است که دو رقم آخر آن صفر باشد یا زمانی که عدد دو رقمی تشکیل شده از دو رقم آخر آن بر 4 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال: 353 24 : 4; 66 00 : 4

تست بخش پذیری بر 5 : عددی بر 5 بخش پذیر است که آخرین رقم آن 5 یا 0 باشد.

به عنوان مثال: 3678 0 : 5 یا 12326 5 : 5

تست بخش پذیری بر 8: یک عدد زمانی بر 8 بخش پذیر است که یک عدد سه رقمی از سه رقم آخر آن عدد بر 8 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال: 432 240 : 8

تست بخش پذیری بر 20: یک عدد بر 20 بخش پذیر است که عدد بر دو تشکیل شود آخرین اعداد، بخش پذیر بر 20. (فرمول دیگر: عدد قابل بخش است تا 20 وقتی رقم آخر عدد 0 و رقم دوم تا آخر زوج است).

به عنوان مثال: 596 40 : 20

تست بخش پذیری بر 25: اعدادی که دو رقم آخر آنها صفر است یا عددی را تشکیل می دهند که بر 25 بخش پذیر است بر 25 بخش پذیرند.

به عنوان مثال: 6679 75 : 25 یا 77689 00 : 25

تست بخش پذیری بر 50: یک عدد زمانی بر 50 بخش پذیر است که عددی که از دو رقم اعشاری پایین آن تشکیل شده است بر 50 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال : 5643 50 : 50 یا 5543 00 : 50

تست بخش پذیری بر 125: عددی بر 125 بخش پذیر است که سه رقم آخر آن صفر باشد یا عددی را تشکیل دهد که بر 125 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال: 32157 000 : 125 یا 3216 250 : 125

علائم بخش پذیری بر عدد واحد 10، 100، 1000 و غیره: آن دسته از اعداد طبیعی که تعداد صفرهای آنها بزرگتر یا مساوی با تعداد صفرهای واحد رقمی است به یک واحد رقمی تقسیم می شوند.

به عنوان مثال، 12000 بر 10، 100 و 1000 بخش پذیر است.

II . تقسیم پذیری اعداد با مجموع ارقام عدد مشخص می شود

این گروه از علائم بخش پذیری اعداد طبیعی شامل علائم بخش پذیری بر 3، 9، 11 است که در نظر گرفتم.

تست بخش پذیری بر 3: عددی بر 3 بخش پذیر است که مجموع ارقام آن بر 3 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال: 5421: 3 تن 5+4+2+1=12، (12:3)

تست بخش پذیری بر 9: عددی بر 9 بخش پذیر است که مجموع ارقام آن بر 9 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال: 653022: 9 زیرا 6+5+3+0+2+2=18، (18:9)

تست بخش پذیری بر 11: این اعداد در صورتی بر 11 بخش پذیر هستند که مجموع ارقام در مکان های فرد یا برابر با مجموع ارقام مکان های زوج باشد یا با مضرب 11 با آن تفاوت داشته باشد.

به عنوان مثال: 865948732:11 زیرا 8+5+4+7+2=26 و 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 زیرا 8+5+4+7+2=26 و 1+2+8+4=15، 26-15=11، (11:11)

III . تقسیم پذیری اعداد پس از انجام برخی اعمال مشخص می شود

بالاتر از ارقام این عدد

این گروه از علائم بخش پذیری اعداد طبیعی شامل علائم بخش پذیری بر: 6، 7، 11، 13،17، 19، 23، 27، 29، 31، 33، 37، 41، 59، 79، 99، 101 است.

تست بخش پذیری بر 6:

علامت 1: عددی بر 6 بخش پذیر است که حاصل تفریق دو برابر عدد صدها از عدد پس از صدها بر 6 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال: 138: 6 زیرا 1·2=2، 38 – 2=36، (36:6); 744:6 زیرا 44 - 7·2 = 30، (30:6)

علامت 2: یک عدد بر 6 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که عدد چهار ده دهی که به تعداد یک ها اضافه می شود بر 6 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال: 768:6 زیرا 76·4+8=312، 31·4+2=126، 12·4+6=54 (54:6)

بخش پذیری بر 7:

علامت 1: عددی بر 7 بخش پذیر است که سه برابر تعداد ده ها که به تعداد واحدها اضافه می شود بر 7 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال: عدد 154:7، زیرا 15 3 + 4 = 49 (49:7) بر 7 تقسیم می شود

علامت 2: یک عدد زمانی بر 7 بخش پذیر است که مدول مجموع جبری اعداد تشکیل دهنده گروه های فرد سه رقمی (شروع با یک)، که با علامت "+" گرفته می شود و اعداد زوج با علامت "-" بر اعداد بخش پذیر باشد. 7.

به عنوان مثال، 138689257:7، زیرا ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

بخش پذیری بر 11:

علامت 1: عددی بر 11 بخش پذیر است که مدول تفاضل مجموع ارقام اشغال کننده موقعیت های فرد و مجموع ارقامی که موقعیت های زوج را اشغال می کنند بر 11 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 9163627:11، زیرا ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

علامت 2: عددی بر 11 بخش پذیر است که مجموع اعدادی که گروه های دو رقمی را تشکیل می دهند (با یک شروع می شوند) بر 11 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 103785:11، زیرا 10+37+85=132 و 01+32=33 (33:11)

بخش پذیری بر 13:

علامت 1: عددی بر 13 بخش پذیر است که مجموع تعداد ده ها و چهار برابر تعداد یک ها بر 13 بخش پذیر باشد.

برای مثال، 845:13، زیرا 84+5·4=104، 10+4·4=26 (26:13)

علامت 2: عددی بر 13 بخش پذیر است که تفاوت بین تعداد ده ها و 9 برابر تعداد یک ها بر 13 بخش پذیر باشد.

برای مثال، 845:13، زیرا 84-5 9=39 (39:13)

تست بخش پذیری بر 17: یک عدد زمانی بر 17 بخش پذیر است که مدول اختلاف بین تعداد ده ها و پنج برابر تعداد یک ها بر 17 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 221:17، زیرا ǀ22-5·1ǀ=17

علائم بخش پذیری بر 19: زمانی که عدد ده ده باشد بر 19 بخش پذیر است نادرست با دوبرابر تعداد واحدها که بر 19 بخش پذیر است.

برای مثال، 646:19، زیرا 64+6·2=76، 7+2·6=19، (19:19)

تست های بخش پذیری بر 23:

علامت 1: عددی بر 23 بخش پذیر است که تعداد صدها که به 3 برابر عددی که دو رقم آخر تشکیل می دهند بر 23 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 28842:23، زیرا 288+3·42=414، 4+3·14=46 (46:23)

علامت 2: عددی بر 23 بخش پذیر است که تعداد ده ها به هفت برابر تعداد واحدها بر 23 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 391:23، زیرا 39+7·1=46 (46:23)

علامت 3: عددی بر 23 بخش پذیر است که تعداد صدها به هفت برابر تعداد ده ها و سه برابر تعداد واحدها اضافه شود. قابل تقسیم بر 23

به عنوان مثال، 391:23، زیرا 3+7·9+3·1=69 (69:23)

، 391:23، زیرا یک عدد زمانی بر 27 بخش پذیر است که مجموع اعداد تشکیل دهنده گروه های سه رقمی (شروع با یک) بر 27 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 2705427:27 زیرا 427+705+2=1134، 134+1=135، (135:27)

یک عدد زمانی بر 27 بخش پذیر است که مجموع اعداد تشکیل دهنده گروه های سه رقمی (شروع با یک) بر 27 بخش پذیر باشد. یک عدد بر 29 بخش پذیر است که تعداد ده ها به سه برابر تعداد یک ها بر 29 بخش پذیر باشد.

برای مثال، 261:29، زیرا 26+3·1=29 (29:29)

تست بخش پذیری بر 31: یک عدد زمانی بر 31 بخش پذیر است که مدول اختلاف تعداد ده ها باشد و سه برابر تعداد واحدها بر 31 تقسیم می شود.

به عنوان مثال، 217:31، زیرا ǀ21-3·7ǀ= 0، (0:31)

یک عدد زمانی بر 31 بخش پذیر است که مدول اختلاف بین تعداد ده ها و سه برابر تعداد یک ها بر 31 بخش پذیر باشد. اگر مجموع حاصل از تقسیم یک عدد از راست به چپ به گروه های دو رقمی بر 33 بخش پذیر باشد، آن عدد بر 33 بخش پذیر است.

برای مثال، 396:33، زیرا 96+3=99 (99:33)

اگر مجموع حاصل از تقسیم یک عدد از راست به چپ به گروه های دو رقمی بر 33 بخش پذیر باشد، آن عدد بر 33 بخش پذیر است.

علامت 1 : یک عدد زمانی بر 37 بخش پذیر است که هنگام تقسیم عدد به گروه های سه رقمی (شروع با یک)، مجموع این گروه ها مضرب 37 باشد.

به عنوان مثال , شماره 100048:37، زیرا 100+048=148، (148:37)

علامت 2: عددی بر 37 بخش پذیر است که مدول سه برابری صدها که به چهار برابر شدن تعداد ده ها منهای تعداد واحدها در هفت ضرب می شود بر 37 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، عدد 481:37، زیرا ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37 بر 37 بخش پذیر است.

، عدد 481:37 است، زیرا بر 37 بخش پذیر است

علامت 1: عددی بر 41 بخش پذیر است که مدول اختلاف بین تعداد ده ها و چهار برابر تعداد یک ها بر 41 بخش پذیر باشد.

برای مثال، 369:41، زیرا ǀ36-4·9ǀ=0، (0:41)

علامت 2: برای بررسی اینکه آیا یک عدد بر 41 بخش پذیر است یا خیر، باید آن را از راست به چپ به گروه های 5 رقمی تقسیم کرد. سپس در هر گروه، رقم اول سمت راست را در 1 ضرب کنید، رقم دوم را در 10، سوم را در 18، چهارم را در 16، پنجم را در 37 ضرب کنید و همه حاصل را جمع کنید. اگر نتیجه بر 41 بخش پذیر باشد، خود عدد است بر 41 بخش پذیر خواهد بود.

: برای بررسی اینکه آیا یک عدد بر 41 بخش پذیر است یا خیر، باید آن را از راست به چپ به گروه های 5 رقمی تقسیم کرد. سپس در هر گروه، رقم اول سمت راست را در 1 ضرب کنید، رقم دوم را در 10، سوم را در 18، چهارم را در 16، پنجم را در 37 ضرب کنید و همه حاصل را جمع کنید. اگر نتیجه عددی بر 59 بخش پذیر است که تعداد ده ها که به تعداد یک ها ضرب شده در 6 اضافه می شود بر 59 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 767:59، زیرا 76+7·6=118، 11+8·6=59، (59:59)

عددی بر 59 بخش پذیر است که تعداد ده ها که به تعداد یک ها ضرب شده در 6 اضافه می شود بر 59 بخش پذیر باشد. عددی بر 79 بخش پذیر است که تعداد ده ها که به تعداد یک ها ضرب در 8 اضافه می شود بر 79 بخش پذیر باشد.

برای مثال، 711:79، زیرا 71+8·1=79، (79:79)

آزمون بخش پذیری بر 99: یک عدد زمانی بر 99 بخش پذیر است که مجموع اعدادی که گروه های دو رقمی را تشکیل می دهند (که با یک شروع می شوند) بر 99 بخش پذیر باشد.

برای مثال، 12573:99، زیرا 1+25+73=99، (99:99)

تست بخش پذیری بر 101: یک عدد زمانی بر 101 بخش پذیر است که مدول مجموع جبری اعدادی که گروه های فرد متشکل از دو رقم (با یک شروع می شوند) که با علامت "+" گرفته می شوند و اعداد زوج با علامت "-" بر 101 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 590547:101، زیرا ǀ59-5+47ǀ=101، (101:101)

IV . برای تعیین بخش پذیری یک عدد از معیارهای تقسیم پذیری دیگر استفاده می شود

تست بخش پذیری بر 6: یک عدد زمانی بر 6 بخش پذیر است که بر 2 و 3 بخش پذیر باشد، یعنی اگر زوج باشد و مجموع ارقام آن بر 3 بخش پذیر باشد.

برای مثال، 768:6، زیرا 7+6+8=21 (21:3) و آخرین رقم در عدد 768 زوج است.

تست بخش پذیری بر 12 : عددی بر 12 بخش پذیر است که همزمان بر 3 و 4 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 408:12، زیرا 4+0+8=12 (12:3) و دو رقم آخر بر 4 بخش پذیرند (08:4)

تست بخش پذیری بر 14: یک عدد زمانی بر 14 بخش پذیر است که بر 2 و 7 بخش پذیر باشد.

مثلا عدد 45612:14 چون بر 2 و 7 بخش پذیر است، یعنی بر 14 بخش پذیر است.

تست بخش پذیری بر 15: یک عدد زمانی بر 15 بخش پذیر است که بر 3 و 5 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 1146795:15 زیرا این عدد بر 3 و 5 بخش پذیر است

تست های بخش پذیری بر 27: یک عدد زمانی بر 27 بخش پذیر است که بر 3 و 9 بخش پذیر باشد. به عنوان مثال، 511704:27 زیرا 5+1+1+7+0+4=18، (18:3 و 18:9)

علائم بخش پذیری بر 30: یک عدد وقتی به 0 ختم شود بر 30 بخش پذیر است و مجموع همه ارقام بر 3 بخش پذیر است.

مثلا 510:30 چون 5+1+0=6 (6:3) و در عدد 510 (آخرین رقم 0)

علائم بخش پذیری بر 60: برای اینکه یک عدد بر 60 بخش پذیر باشد، لازم و کافی است که بر 4، 3 یا 5 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 1620:60 زیرا 1+6+2+0=9 (9:3)، عدد 1620 با 0 به پایان می رسد، یعنی. بر 5 و 1620 بخش پذیر است: 4 زیرا دو رقم آخر 20:4

کاربرد معیارهای تقسیم پذیری در عمل

کار کاربرد عملی دارد. این می تواند توسط دانش آموزان مدرسه و بزرگسالان هنگام حل موقعیت های واقعی استفاده شود. معلمان، هم در طول درس ریاضیات و هم در دروس انتخابی و کلاس های تجدیدنظر اضافی.

این مطالعه برای دانش آموزان در آمادگی مستقل برای امتحانات نهایی و ورودی مفید خواهد بود. همچنین برای دانش آموزانی که هدفشان رتبه های بالا در المپیادهای شهری است مفید خواهد بود.

وظیفه شماره 1 . آیا می توان تنها با استفاده از اعداد 3 و 4 نوشت:

عددی که بر 10 بخش پذیر است؛
عدد زوج؛
عددی که مضرب 5 باشد؛
عدد فرد

مشکل شماره 3 : بزرگترین عدد چهار رقمی را بیابید که همه ارقام آن متفاوت است و بر 2، 5، 9، 11 بخش پذیر است.

جواب: 8910

وظیفه شماره 4: اولیا یک عدد سه رقمی ساده را ارائه کرد که همه ارقام آن متفاوت است. اگر آخرین رقم آن برابر با مجموع دو عدد اول باشد، به چه رقمی ختم می شود؟ نمونه هایی از این اعداد را ذکر کنید.

پاسخ: فقط با 7. 4 عدد وجود دارد که شرایط مسئله را برآورده می کند: 167، 257، 347، 527

مشکل شماره 5 : 70 دانش آموز در دو کلاس با هم هستند. در یک کلاس 17/7 دانش آموز در کلاس حاضر نشدند و در کلاس دیگر 9/2 در درس ریاضی نمرات عالی گرفتند. در هر کلاس چند دانش آموز وجود دارد؟

راه حل: در کلاس اول از این کلاس ها می تواند وجود داشته باشد: 17، 34، 51... - اعداد مضرب 17. در کلاس دوم: 9، 18، 27، 36، 45، 54... - اعدادی که مضرب هستند. از 9. ما باید 1 عدد را از دنباله اول انتخاب کنیم و 2 عددی از دومی است به طوری که جمع آنها به 70 برسد. علاوه بر این، در این دنباله ها فقط تعداد کمی از عبارت ها می توانند تعداد احتمالی فرزندان را بیان کنند. کلاس این توجه به طور قابل توجهی انتخاب گزینه ها را محدود می کند. تنها گزینه ممکن جفت (34، 36) بود.

مشکل شماره 6 : در پایه نهم، 1/7 دانش آموزان برای آزمون نمره A، 1/3 دریافت کردند چهار، ½ - سه. بقیه کارها رضایت بخش نبود. چند اثر از این دست وجود داشت؟

راه حل: راه حل مسئله باید عددی باشد که مضربی از اعداد 7، 3، 2 باشد. ابتدا بیایید پیدا کنیم کوچکترین این اعداد LCM (7، 3، 2) = 42. می توانید یک عبارت بسازید با توجه به شرایط مسئله: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 ناموفق. مسائل رابطه ریاضی این عدد را فرض می کنند دانش آموزان کلاس 84، 126 و غیره انسان. اما به دلایل عقل سلیم بنابراین قابل قبول ترین پاسخ عدد 42 است.

پاسخ: 1 شغل.

نتیجه گیری:

در نتیجه این کار متوجه شدم که علاوه بر علائم بخش پذیری بر 2، 3، 5، 9 و 10 که می شناسم، نشانه های دیگری نیز برای بخش پذیری اعداد طبیعی وجود دارد. دانش به دست آمده به طور قابل توجهی حل بسیاری از مشکلات را سرعت می بخشد. و من می توانم از این دانش در فعالیت های آموزشی خود چه در درس ریاضی و چه در فعالیت های فوق برنامه استفاده کنم. همچنین باید توجه داشت که فرمول بندی برخی از معیارهای تقسیم پذیری پیچیده است. شاید به همین دلیل است که آنها در مدرسه مطالعه نمی شوند. من انتظار دارم در آینده به کار بر روی مطالعه علائم بخش پذیری اعداد طبیعی ادامه دهم.

فرهنگ لغت دانشنامه یک ریاضیدان جوان. ساوین A.P. مسکو "پداگوژی" 1989.
ریاضیات. مواد اضافی برای دروس ریاضیات، پایه های 5-11. ریازانوفسکی A.R.، Zaitsev E.A. مسکو "Bustard" 2002.
پشت صفحات کتاب ریاضی. Vilenkin N.Ya.، Depman I.Ya. م.: آموزش و پرورش، 1989.
کار فوق برنامه در ریاضیات در پایه های 6-8. مسکو. "روشنگری" 1984 V. A. Gusev, A. I. Orlov, A. L. Rosenthal.
1001 پرسش و پاسخ. کتاب بزرگ دانش" مسکو. "دنیای کتاب" 2004.
درس اختیاری ریاضی. نیکولسکایا I.L. - مسکو روشنگری 1991.
مسائل المپیاد در ریاضیات و روش های حل آنها. Farkov A.V. - مسکو. 2003
منابع اینترنتی

اعداد طبیعی

مجموعه ای از اعداد طبیعی که برای شمارش یا انتقال استفاده می شود.

به طور رسمی، مجموعه اعداد طبیعی را می توان با استفاده از سیستم بدیهی Peano تعریف کرد.

باسیستم بدیهیات Peano

1. واحد - عدد طبیعی که از هیچ عددی پیروی نمی کند.

2. برای هر عدد طبیعی وجود دارد مفرد
که بلافاصله دنبال می شود.

3. هر عدد طبیعی
بلافاصله فقط یک عدد را دنبال می کند.

4. اگر برخی مجموعه
شامل و همراه با هر عدد طبیعی شامل عدد بلافاصله پس از آن است
(اصول القاء).

عملیات روی یک مجموعه

ضرب

تفریق :

خصوصیات تفریق: اگر
که

اگر
که

بخش پذیری اعداد طبیعی

بخش : تقسیم بر
به گونه ای که

خواصعملیات:

1. اگر
تقسیم می شوند که
تقسیم بر

2. اگر
و
تقسیم می شوند که
تقسیم بر

3. اگر
و قابل تقسیم بر تقسیم بر

4. اگر تا آن زمان قابل تقسیم باشد
تقسیم بر

5. اگر
بر a تقسیم می شوند به این و آن تقسیم نمی شوند
قابل تقسیم بر

6. اگر یا با آن تقسیم می شود
تقسیم بر

7. اگر قابل تقسیم بر
سپس تقسیم بر و تقسیم می شود

قضیهدر مورد تقسیم با باقی ماندهبرای هر عدد طبیعی
فقط اعداد مثبت وجود دارد
به گونه ای که
و

اثبات. اجازه دهید
الگوریتم زیر را در نظر بگیرید:

اگر

اگر
سپس یک تفریق دیگر انجام می دهیم

فرآیند تفریق را تا جایی ادامه می دهیم که باقی مانده از عدد کمتر شود

یک عدد وجود دارد به گونه ای که

بیایید تمام خطوط این الگوریتم را جمع کنیم و عبارت مورد نیاز را به دست آوریم

ما منحصر به فرد بودن نمایش را با تضاد اثبات خواهیم کرد.

فرض کنید دو نمایش وجود دارد

و
یک عبارت را از دیگری کم کنید و
آخرین برابری در اعداد صحیح فقط در مورد از آن زمان ممکن است
در
□

نتیجه 1. هر عدد طبیعی را می توان به صورت زیر نشان داد:
یا یا

نتیجه 2. اگر
اعداد طبیعی متوالی، پس یکی از آنها بر بخش پذیر است

نتیجه 3. اگر
دو عدد زوج متوالی، پس یکی از آنها بر بخش پذیر است

تعریف. عدد طبیعی اگر مقسوم علیه دیگری جز یک و خودش نداشته باشد اول نامیده می شود.

نتیجه4. هر عدد اول شکلی دارد
یا

در واقع، هر عددی را می توان به شکل نشان داد، با این حال، همه اعداد در این سری، به جز
قطعا کامپوزیت هستند □

نتیجه5 . اگر
پس عدد اول
تقسیم بر

واقعا،
سه عدد طبیعی متوالی و
حتی، و
عدد اول عجیب و غریب بنابراین یکی از اعداد زوج است
و
بر 4 بخش پذیر است و یک نیز بر 4 بخش پذیر است □

مثال 2 . عبارات زیر درست است:

1. مجذور یک عدد فرد با تقسیم بر 8 باقیمانده می دهد

2. برای هیچ عدد طبیعی n عدد n 2 +1 بر 3 بخش پذیر نیست.

3. تنها با استفاده از اعداد 2، 3، 7، 8 (احتمالاً چندین بار)، نمی توان یک عدد طبیعی را مربع کرد.

اثبات1. هر عدد فرد را می توان به صورت نمایش داد
یا
اجازه دهید هر یک از این اعداد را مربع کنیم و عبارت مورد نیاز را بدست آوریم.

اثبات 2.هر عدد طبیعی را می توان به صورت نمایش داد
سپس بیان
برابر یکی از عبارات خواهد بود
که به آنها تقسیم نمی شوند

اثبات3. در واقع، آخرین رقم مربع یک عدد طبیعی نمی تواند به هیچ یک از این ارقام ختم شود.

نشانه های تقسیم پذیری

تعریف. نمایش اعشاری یک عدد طبیعی، نمایش یک عدد به شکل است

علامت اختصاری

نشانه های تقسیم پذیری به

تایید شده 6اجازه دهید
نمایش دهدهی عدد سپس:

1. عدد بر بخش پذیر است
وقتی شماره - حتی؛

2. عدد بر بخش پذیر است وقتی عدد دو رقمی باشد
تقسیم بر

3. عدد بر بخش پذیر است چه زمانی
یا

4. عدد بر بخش پذیر است
چه زمانی

5. عدد بر بخش پذیر است
وقتی عدد دو رقمی باشد
- تقسیم بر

6. عدد بر بخش پذیر است

7. عدد بر بخش پذیر است وقتی مجموع ارقام یک عدد تقسیم شود

8. عدد بر بخش پذیر است
وقتی مجموع ارقام یک عدد با علائم متناوب تقسیم بر

اثباتبرهان علائم 1)-5) را به راحتی می توان از نماد دهیاعداد 6) و 7 را ثابت کنیم. واقعا،

نتیجه این است که اگر بخش پذیر باشد (یا
پس مجموع ارقام عدد نیز بر آن بخش پذیر است

بگذارید 11 را ثابت کنیم). بگذارید بر بخش پذیر باشد اجازه دهید عدد را در شکل نمایش دهیم

از آنجایی که تمام مجموع جمع شده بر تقسیم می شوند
سپس مقدار نیز بر □ تقسیم می شود

مثال 3 . تمام اعداد پنج رقمی فرم را پیدا کنید
که بر 45 بخش پذیرند.

اثبات
بنابراین، عدد بر 5 بخش پذیر است و رقم آخر آن 0 یا 5 است، یعنی.
یا
عدد اصلی نیز بر 9 بخش پذیر است، بنابراین بر 9 بخش پذیر است، یعنی.
یا قابل تقسیم بر 9، یعنی.

پاسخ:

آزمون تقسیم پذیریدر و

تایید شده 7اجازه دهید نمایش دهدهی عدد Number Number بر بخش پذیر باشد
وقتی تفاوت بین یک عدد بدون سه رقم آخر و یک عدد ساخته شده از سه رقم آخر تقسیم بر

اثباتبیایید آن را به شکل Since the number نشان دهیم
تقسیم بر و
که
قابل تقسیم بر و □

مثال 4 . اجازه دهید
سپس
بر عدد و در نتیجه بخش پذیر است
تقسیم بر

اجازه دهید
سپس

بخش پذیر بر سپس عدد
تقسیم بر

اعداد اول

غربال اراتوستن

(الگوریتم ساده برای بدست آوردن تمام اعداد اول)

الگوریتم.همه اعداد از 1 تا 100 را یادداشت می کنیم و ابتدا همه زوج ها را خط می زنیم. سپس، از بقیه موارد، آنهایی را که بر 3، 5، 7 و غیره تقسیم می شوند خط می زنیم. در نتیجه فقط اعداد اول باقی خواهند ماند.

قضیه اقلیدس. تعداد اعداد اول بی نهایت است.

اثبات"با تناقض." بگذارید تعداد اعداد اول متناهی باشد -
عدد را در نظر بگیرید
سوال: شماره - ساده یا مرکب؟

اگر یک عدد مرکب باشد، بر تعدادی عدد اول بخش پذیر است و بنابراین یک بر این عدد اول تقسیم می شود. تناقض.

اگر عدد اول است، پس از هر عدد اولی بزرگتر است
و همه اعداد اول را نوشتیم و شماره گذاری کردیم. باز هم تناقض. □

تایید شده 8اگر عددی مرکب باشد، مقسوم علیه اول دارد به طوری که

اثباتاگر کوچکترین مقسوم علیه عدد مرکب است
که

نتیجه.برای تعیین اینکه یک عدد اول است یا خیر، باید تعیین کنید که آیا آن ضرایب اول دارد یا خیر

مثال 5 . اجازه دهید
برای بررسی اینکه آیا یک عدد وجود دارد یا خیر
ساده، باید بررسی کنید که آیا بر اعداد اول بخش پذیر است یا خیر پاسخ: عدد
ساده

مولد اعداد اول

فرضیه:تمام شماره های فرم
ساده

در
- اینها اعداد اول هستند
برای
به صورت دستی و با کمک کامپیوتر ثابت شده است که همه اعداد ترکیبی هستند.

به عنوان مثال، (اویلر)

فرضیه:تمام شماره های فرم
ساده

در
این درست است، آه
قابل تقسیم بر 17

فرضیه: تمام شماره های فرم
ساده

در
این درست است، آه

فرضیه:همه اعداد فرم اول هستند. در
این درست است، آه

قضیه.(روش فاکتورگیری فرمت) عدد صحیح فرد اول نیست
اعداد طبیعی وجود دارد به گونه ای که
اثبات

□

مثال 6 . اعداد عامل را به عوامل اول تبدیل کنید

مثال 7 . فاکتور یک عدد
این عدد بر 3 بخش پذیر است
علاوه بر این، با توجه به روش انتخاب عوامل،

مثال 8 . عدد در چه اعداد صحیحی است

ساده؟

توجه داشته باشید که از زمان
ساده، سپس هر دو
یا
پاسخ:

تصویب شد 10آیا یک عدد طبیعی زمانی که مربع کامل باشد تعداد فرد مقسوم علیه دارد؟

اثباتاگر
مقسوم علیه
سپس دارای دو جفت مقسوم علیه مختلف است
و
و چه زمانی
هر دو جفت برابر خواهند بود.

مثال 9 . اعداد دقیقاً 99 مقسوم علیه دارند. آیا یک عدد می تواند دقیقا 100 مقسوم علیه داشته باشد؟

پاسخ: خیر معتبر با ویژگی قبلی و - مربع های کامل، اما کار آنها نیست.

مثال 10 . اعداد
ساده پیدا کنید

راه حل.هر عددی را می توان به صورت نمایش داد
اگر
سپس سه عدد اول بدست می آورید
ارضای شرایط مشکل اگر
که
کامپوزیت اگر
آن عدد
تقسیم بر چه می شود اگر
آن عدد
بر بخش پذیر است بنابراین در تمام گزینه های در نظر گرفته شده سه عدد اول به دست نمی آید. پاسخ:

تعریف. شماره بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد نامیده می شود و اگر تقسیم شود و بزرگترین این اعداد باشد.

تعیین نام:

تعریف . اعداد و گفته می شود که اگر نسبتا اول هستند

مثال 1 2 . معادله را با اعداد طبیعی حل کنید

راه حل.اجازه دهید

بنابراین، معادله به نظر می رسد پاسخ: هیچ راه حلی وجود ندارد.

در موردقضیه اساسی حساب

قضیه.هر عدد طبیعی بزرگتر یا عدد اول است یا می توان آن را به صورت حاصل ضرب اعداد اول نوشت و این حاصل ضرب تا ترتیب ضرایب منحصر به فرد است.

نتیجه 1.اجازه دهید

سپس
برابر است با حاصلضرب همه ضرایب اول مشترک با کمترین توان.

نتیجه 2.اجازه دهید
سپس
برابر است با حاصلضرب همه عوامل اول مختلف با بیشترین توان. تقسیم بر

10. پیدا کنید آخرین رقمشماره 7 2011 + 9 2011.

11. تمام اعداد طبیعی را که در صورت قرار دادن صفر بین رقم واحد و رقم ده ها، 9 برابر می شوند، بیابید.

12. به تعدادی عدد دو رقمی، یک به چپ و راست اضافه شد. نتیجه عددی 23 برابر بزرگتر از نسخه اصلی بود. این شماره را پیدا کنید

سوالاتی در مورد تئوری یا تمرینات را می توان از والری پتروویچ چواکوف پرسید

chv @ uriit . ru

در ادامه مطلب

1. Vilenkin N.Ya. و دیگران در پشت صفحات کتاب ریاضیات. حسابی. جبر. -M.: آموزش و پرورش، 2008.

2. سوریوکوف P.F. آمادگی برای حل مسائل المپیاد در ریاضیات. -M.: Ilexa، 2009.

3. Kanel-Belov A.Ya.، Kovaldzhi A.K. چگونه تصمیم می گیرند وظایف غیر استاندارد. - م. MCNMO، 2009.

4. Agakhanov N.A., Podlipsky O.K. المپیادهای ریاضی منطقه مسکو. – م.: فیزمتکنگا، 2006

5. گورباچف N.V. مجموعه مسائل المپیاد، –M.:MCNMO، 2004

سخنرانی

نکات سخنرانی برای درس "نظریه اعداد"

سخنرانی

بخش های زیر از نظریه اعداد: نظریه تقسیم پذیری، ساده و مرکب ... قضیه. اجازه دهید x>0، xR، dN. مقدار طبیعیاعدادمضرب d که از x تجاوز نکند برابر است با... سخنرانی 12 13 سخنرانی 13 15 ادبیات. 17 چکیدهسخنرانی هادر درس "نظریه ها" اعداد" ...

یادداشت های سخنرانی در مورد علم شناسی

چکیده

پاولیوچنکوف چکیدهسخنرانی هادر مطالعات فرهنگی ... ناهموار و وجود داشت در داخل طبیعیمزارع در پولیس ... تحقیق بینهایت کوچک اعدادتا حد زیادی خلقت را تکمیل کرده اند... در حالی که ماده قابل تقسیمبی نهایت معنوی...

یادداشت های سخنرانی منطق شادرین

چکیده

نمایندگی می کند چکیدهسخنرانی هادر رشته "منطق". چکیدهسخنرانی هاگردآوری شده در ... این تعریف است طبیعیاعداد. بنابراین، اگر 1 - طبیعیعدد و n - طبیعیشماره، سپس 1 ... تمام حجم را خسته کنید قابل تقسیممفاهیم، پس ...