برخی از مسائل در فیزیک و ریاضیات را می توان با استفاده از ویژگی های سری اعداد حل کرد. دو دنباله اعداد ساده که در مدارس تدریس می شود جبری و هندسی است. در این مقاله نگاهی دقیق تر به این سوال خواهیم داشت که چگونه می توان مجموع یک پیشروی هندسی رو به کاهش نامتناهی را پیدا کرد.

هندسی پیشروی

این کلمات به معنای یک سری اعداد حقیقی هستند که عناصر a i عبارت را برآورده می کند:

در اینجا i تعداد عنصر در سری است، r یک عدد ثابت به نام مخرج است.

این تعریف نشان می دهد که با دانستن هر عضوی از پیشرفت و مخرج آن، می توانید کل سری اعداد را بازیابی کنید. به عنوان مثال، اگر عنصر دهم شناخته شده باشد، با تقسیم آن بر r عنصر نهم بدست می آید، سپس با تقسیم مجدد آن عنصر هشتم و غیره بدست می آید. این آرگومان های ساده به ما اجازه می دهد تا عبارتی را بنویسیم که برای سری اعداد مورد بررسی معتبر است:

نمونه ای از پیشروی با مخرج 2 سری زیر خواهد بود:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

اگر مخرج برابر با -2 باشد، یک سری کاملاً متفاوت به دست می آید:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

پیشرفت هندسی بسیار سریعتر از پیشرفت جبری است، یعنی اصطلاحات آن به سرعت افزایش و به سرعت کاهش می یابد.

مجموع i شرایط پیشرفت

برای حل مسائل عملی، اغلب لازم است که مجموع چندین عنصر از دنباله عددی مورد بررسی را محاسبه کنیم. برای این مورد فرمول زیر معتبر است:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

مشاهده می شود که برای محاسبه مجموع ترم های i، فقط دو عدد باید بدانید: a 1 و r، که منطقی است، زیرا آنها به طور منحصر به فرد کل دنباله را تعیین می کنند.

دنباله کاهشی و مجموع عبارت های آن

حالا بیایید در نظر بگیریم مورد خاص. فرض می کنیم که مدول مخرج r از یک تجاوز نمی کند، یعنی 1-

در نظر گرفتن یک پیشروی هندسی رو به کاهش جالب است زیرا مجموع نامتناهی عبارات آن به یک عدد واقعی محدود تمایل دارد.

بیایید فرمول مجموع را بدست آوریم، اگر عبارت S i را که در پاراگراف قبل ارائه شده است بنویسید، انجام این کار آسان است. ما داریم:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

بیایید موردی را در نظر بگیریم که i->∞. از آنجایی که مدول مخرج کمتر از 1 است، افزایش آن به توان بی نهایت صفر را به دست می دهد. این را می توان با استفاده از مثال r=0.5 بررسی کرد:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

در نتیجه، مجموع عبارات یک پیشروی هندسی نزولی نامتناهی به شکل زیر خواهد بود:

این فرمول اغلب در عمل، به عنوان مثال، برای محاسبه مساحت ارقام استفاده می شود. همچنین برای حل پارادوکس Zeno of Elea با لاک پشت و آشیل استفاده می شود.

بدیهی است که در نظر گرفتن مجموع یک پیشروی فزاینده هندسی نامحدود (r>1) به نتیجه S ∞ = +∞ منجر می شود.

وظیفه یافتن اولین ترم یک پیشرفت

اجازه دهید نحوه اعمال فرمول های بالا را با استفاده از مثالی از حل یک مسئله نشان دهیم. مشخص است که مجموع یک تصاعد هندسی نامتناهی 11 است. به علاوه، جمله هفتم آن 6 برابر کمتر از جمله سوم است. اولین عنصر برای این سری اعداد چیست؟

ابتدا، اجازه دهید دو عبارت برای تعیین عناصر 7 و 3 بنویسیم. ما گرفتیم:

با تقسیم عبارت اول بر دوم و بیان مخرج، داریم:

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

از آنجایی که نسبت جمله های هفتم و سوم در بیان مسئله آمده است، می توانید آن را جایگزین کنید و r را پیدا کنید:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0.63894

ما r را تا پنج رقم اعشار محاسبه کردیم. از آنجایی که مقدار حاصل کمتر از یک است، پیشرفت در حال کاهش است، که استفاده از فرمول را برای مجموع نامتناهی آن توجیه می کند. بیایید عبارت اولین جمله را از طریق جمع S ∞ بنویسیم:

مقادیر شناخته شده را جایگزین این فرمول می کنیم و جواب می گیریم:

a 1 = 11*(1-0.63894) = 3.97166.

پارادوکس معروف زنو با آشیل سریع و لاک پشت کند

Zeno of Elea فیلسوف مشهور یونانی است که در قرن پنجم قبل از میلاد می‌زیسته است. ه. تعدادی از اوج ها یا پارادوکس های آن به امروز رسیده است که در آن مسئله بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک در ریاضیات فرمول بندی شده است.

یکی از پارادوکس های معروف زنو رقابت بین آشیل و لاک پشت است. زنو معتقد بود که اگر آشیل از فاصله دور به لاک پشت امتیاز بدهد، هرگز نمی تواند به آن برسد. مثلاً اجازه دهید آشیل 10 برابر سریعتر از یک حیوان خزنده بدود که مثلاً 100 متر جلوتر از او است. هنگامی که جنگجو 100 متر می دود، لاک پشت 10 متر می خزد و آشیل پس از 10 متر دویدن دوباره می بیند که لاک پشت 1 متر دیگر می خزد. شما می توانید تا بی نهایت به این روش بحث کنید، فاصله بین رقبا در واقع کاهش می یابد، اما لاک پشت همیشه جلوتر خواهد بود.

زنو را به این نتیجه رساند که حرکت وجود ندارد و تمام حرکات اطراف اجسام یک توهم است. البته فیلسوف یونان باستان اشتباه می کرد.

راه‌حل پارادوکس در این واقعیت نهفته است که مجموع نامتناهی از بخش‌هایی که دائماً در حال کاهش هستند به یک عدد محدود تمایل دارند. در مورد فوق، برای مسافتی که آشیل دوید، به دست می آوریم:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

با استفاده از فرمول حاصل از مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت، به دست می آوریم:

S ∞ = 100 / (1-0.1) ≈ 111.111 متر

این نتیجه نشان می دهد که آشیل زمانی که لاک پشت تنها ۱۱۱۱/۱۱ متر می خزد به پایش می رسد.

یونانیان باستان نمی دانستند چگونه در ریاضیات با مقادیر بی نهایت کار کنند. با این حال، این پارادوکس را می توان حل کرد اگر به تعداد نامتناهی شکاف هایی که آشیل باید بر آنها غلبه کند، توجه کنیم، بلکه به تعداد محدودی از گام هایی که دونده برای رسیدن به هدف خود نیاز دارد، توجه کنیم.

هدف درس: آشنا کردن دانش آموزان با نوع جدیدی از توالی - پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش.
وظایف:
تدوین یک ایده اولیه از حد یک دنباله عددی؛
آشنایی با روش دیگری برای تبدیل کسرهای تناوبی نامتناهی به کسرهای معمولی با استفاده از فرمول مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش.
رشد کیفیات فکری شخصیت دانش‌آموزان مانند تفکر منطقی، توانایی انجام اقدامات ارزیابی و تعمیم.
پرورش فعالیت، کمک متقابل، جمع گرایی و علاقه به موضوع.

دانلود:

پیش نمایش:

درس در مورد موضوع "پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش" (جبر، کلاس دهم)

هدف از درس: معرفی دانش آموزان با نوع جدیدی از توالی - یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش.

وظایف:

تدوین یک ایده اولیه از حد یک دنباله عددی؛ آشنایی با روش دیگری برای تبدیل کسرهای تناوبی نامتناهی به کسرهای معمولی با استفاده از فرمول مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش.

رشد کیفیات فکری شخصیت دانش‌آموزان مانند تفکر منطقی، توانایی انجام اقدامات ارزیابی و تعمیم.

پرورش فعالیت، کمک متقابل، جمع گرایی و علاقه به موضوع.

تجهیزات: کلاس کامپیوتر، پروژکتور، صفحه نمایش.

نوع درس: درس - یادگیری یک موضوع جدید.

در طول کلاس ها

I. Org. لحظه موضوع و هدف درس را بیان کنید.

II. به روز رسانی دانش دانش آموزان.

در کلاس نهم شما پیشرفت های حسابی و هندسی را مطالعه کردید.

سوالات

1. تعریف پیشرفت حسابی.

(پیشرفت حسابی دنباله ای است که در آن هر عضو

با شروع از دوم، برابر است با عبارت قبلی که به همان عدد اضافه شده است).

2. فرمول n ترم یک پیشرفت حسابی

3. فرمول مجموع اولی n شرایط یک پیشرفت حسابی

( یا )

4. تعریف پیشرفت هندسی.

(پیشرفت هندسی دنباله ای از اعداد غیرصفر است

هر جمله آن، با شروع از دوم، برابر است با جمله قبلی ضرب در

همان شماره).

5. فرمول n ترم ترم هندسی

6. فرمول مجموع اولی n اعضای یک پیشرفت هندسی

7. چه فرمول های دیگری را می شناسید؟

(، جایی که ؛ ؛

; , )

وظایف

1. پیشروی حسابی با فرمول داده می شود a n = 7 - 4n. 10 را پیدا کنید. (-33)

2. در تصاعد حسابی a 3 = 7 و a 5 = 1 . 4 را پیدا کنید. (4)

3. در تصاعد حسابی a 3 = 7 و a 5 = 1 . 17 را پیدا کنید. (-35)

4. در تصاعد حسابی a 3 = 7 و a 5 = 1 . S 17 را پیدا کنید. (-187)

5. برای پیشرفت هندسیترم پنجم را پیدا کنید

6. برای پیشرفت هندسیترم n را پیدا کنید

7. به صورت تصاعدی b 3 = 8 و b 5 = 2. b 4 را پیدا کنید. (4)

8. به صورت تصاعدی b 3 = 8 و b 5 = 2. b 1 و q را پیدا کنید.

9. به صورت تصاعدی b 3 = 8 و b 5 = 2. S5 را پیدا کنید. (62)

III. یادگیری یک موضوع جدید(نمایش ارائه).

مربعی را در نظر بگیرید که ضلع آن برابر با 1 باشد. مربع دیگری را رسم می کنیم که ضلع آن نصف مربع اول است، سپس یکی دیگر که ضلع آن نصف دومی است، سپس مربع بعدی و غیره. هر بار ضلع مربع جدید برابر با نصف مربع قبلی است.

در نتیجه، دنباله ای از اضلاع مربع ها را دریافت کردیمتشکیل یک تصاعد هندسی با مخرج.

و آنچه بسیار مهم است، هر چه بیشتر چنین مربع هایی بسازیم، ضلع مربع کوچکتر می شود.مثلا ،

آن ها با افزایش عدد n، شرایط پیشروی به صفر می رسد.

با استفاده از این شکل می توانید دنباله دیگری را در نظر بگیرید.

به عنوان مثال، دنباله مساحت مربع ها:

و دوباره، اگر n به طور نامحدود افزایش می یابد، سپس منطقه هر چقدر که دوست دارید به صفر نزدیک می شود.

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم. مثلث متساوی الاضلاع با اضلاع برابر 1 سانتی متر. بیایید طبق قضیه در مورد خط وسط مثلث با رئوس در وسط اضلاع مثلث اول، مثلث زیر را بسازیم - ضلع دوم برابر با نصف ضلع اول، ضلع سوم است. برابر است با نصف ضلع دوم و غیره. دوباره دنباله ای از طول اضلاع مثلث ها را به دست می آوریم.

در .

اگر یک پیشروی هندسی با مخرج منفی.

سپس، دوباره، با افزایش تعداد n شرایط رویکرد پیشرفت صفر است.

بیایید به مخرج این دنباله ها توجه کنیم. همه جا مخرج ها در مقدار مطلق کمتر از 1 بودند.

می‌توان نتیجه گرفت: اگر مدول مخرج آن کمتر از 1 باشد، یک پیشروی هندسی بی‌نهایت در حال کاهش خواهد بود.

کار جلویی.

تعریف:

پیشرفت هندسیاگر مدول مخرج آن کمتر از یک باشد، بی نهایت نزولی نامیده می شود..

با استفاده از تعریف، می توانید تصمیم بگیرید که آیا یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش است یا خیر.

وظیفه

آیا دنباله یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش است اگر با فرمول داده شود:

راه حل:

بیایید q را پیدا کنیم.

; ; ; .

این پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش است.

ب) این دنباله یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش نیست.

مربعی را در نظر بگیرید که ضلع آن برابر با 1 است. آن را به نصف، یکی از نصف ها را از وسط و غیره تقسیم کنید. مساحت تمام مستطیل های به دست آمده یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش را تشکیل می دهند:

مجموع مساحت تمام مستطیل های به دست آمده از این طریق برابر با مساحت مربع 1 و برابر با 1 خواهد بود.

اما در سمت چپ این برابری مجموع بی نهایت عبارت است.

بیایید مجموع n جمله اول را در نظر بگیریم.

با توجه به فرمول مجموع n جمله اول یک تصاعد هندسی، برابر است با.

اگر n پس بدون محدودیت افزایش می یابد

یا . بنابراین، یعنی .

مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهشمحدودیت توالی وجود دارد S 1، S 2، S 3، …، S n، ….

مثلا برای پیشرفت,

ما داریم

زیرا

مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهشرا می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد.

III. درک و تثبیت(تکمیل وظایف).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. خلاصه کردن.

امروز با چه سکانسی آشنا شدید؟

یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش را تعریف کنید.

چگونه ثابت کنیم که یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش است؟

فرمول حاصل از مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش را ارائه دهید.

V. تکالیف.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

پیش نمایش:

برای استفاده از پیش نمایش ارائه، یک حساب Google ایجاد کنید و وارد آن شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلاید:

همه باید بتوانند به طور مداوم فکر کنند، با شواهد قضاوت کنند و نتایج نادرست را رد کنند: یک فیزیکدان و یک شاعر، یک راننده تراکتور و یک شیمیدان. E. Kolman در ریاضیات، نه فرمول ها، بلکه فرآیندهای تفکر را باید به خاطر داشت. V.P. Ermakov پیدا کردن مربع یک دایره آسان تر از گول زدن یک ریاضیدان است. آگوستوس دو مورگان چه علمی می تواند نجیب تر، تحسین برانگیزتر و مفیدتر از ریاضیات برای بشریت باشد؟ فرانکلین

در حال کاهش بی نهایت درجه پیشرفت هندسی 10

من. پیشرفت های حسابی و هندسی. سوالات 1. تعریف پیشروی حسابی. پیشروی حسابی دنباله ای است که در آن هر جمله، که از دومی شروع می شود، برابر است با جمله قبلی که به همان عدد اضافه می شود. 2. فرمول برای ترم n یک پیشرفت حسابی. 3. فرمول مجموع n جمله اول یک پیشروی حسابی. 4. تعریف پیشرفت هندسی. پیشروی هندسی دنباله ای از اعداد غیرصفر است که هر جمله آن، با شروع از دوم، برابر است با جمله قبلی ضرب در همان عدد 5. فرمول nامین ترم یک پیشرفت هندسی. 6. فرمول مجموع n جمله اول یک پیشروی هندسی.

II. پیشرفت حسابی وظایف یک پیشرفت حسابی با فرمول a n = 7 – 4 n به دست می آید 10 را پیدا کنید. (-33) 2. در پیشروی حسابی a 3 = 7 و a 5 = 1. 4 را پیدا کنید. (4) 3. در پیشروی حسابی 3 = 7 و a 5 = 1. 17 را پیدا کنید. (-35) 4. در پیشروی حسابی، 3 = 7 و a 5 = 1. S 17 را پیدا کنید. (-187)

II. پیشرفت هندسی وظایف 5. برای پیشرفت هندسی، جمله پنجم را بیابید. 6. برای پیشرفت هندسی، جمله n را پیدا کنید. 7. در پیشرفت هندسی b 3 = 8 و b 5 = 2. b 4 را پیدا کنید. (4) 8. در پیشرفت هندسی b 3 = 8 و b 5 = 2. b 1 و q را پیدا کنید. 9. در پیشرفت هندسی b 3 = 8 و b 5 = 2. S5 را پیدا کنید. (62)

تعریف: اگر مدول مخرج آن کمتر از یک باشد، یک پیشروی هندسی را بی نهایت نزولی می گویند.

مشکل شماره 1 آیا دنباله یک پیشرفت هندسی بی نهایت نزولی است اگر با این فرمول به دست آید: راه حل: الف) این پیشروی هندسی بی نهایت نزولی است. ب) این دنباله یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش نیست.

مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش، حد دنباله S ​​1، S 2، S 3، ...، S n، ... است. به عنوان مثال، برای پیشرفتی که داریم از آنجایی که مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد.

تکمیل وظایف مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش را با جمله اول 3 و دومی 0.3 پیدا کنید. 2. شماره 13; شماره 14; کتاب درسی، ص 138 3. شماره 15(1;3); شماره 16(1;3) شماره 18(1;3); 4. شماره 19; شماره 20.

امروز با چه سکانسی آشنا شدید؟ یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش را تعریف کنید. چگونه ثابت کنیم که یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش است؟ فرمول حاصل از مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش را ارائه دهید. سوالات

ریاضیدان معروف لهستانی هوگو اشتاینهاوس به شوخی ادعا می کند که قانونی وجود دارد که به شرح زیر است: یک ریاضیدان آن را بهتر انجام می دهد. یعنی، اگر به دو نفر که یکی از آنها ریاضیدان است، سپردید تا هر کار ناآشنا را انجام دهند، نتیجه همیشه این خواهد بود: ریاضیدان آن را بهتر انجام خواهد داد. هوگو اشتاینهاوس 01/14/1887-02/25/1972

دنباله های عددی VI

§ l48. مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش

تا به حال، هنگام صحبت از مجموع، همیشه تعداد عبارت های این مجموع را محدود فرض می کردیم (مثلاً 2، 15، 1000 و غیره). اما هنگام حل برخی از مسائل (مخصوصاً ریاضیات عالی) باید با مجموع بی نهایت عبارت سروکار داشت.

S= آ 1 + آ 2 + ... + آ n + ... . (1)

این مبالغ چیست؟ الف- مقدماتی مجموع بی نهایت عبارت آ 1 , آ 2 , ..., آ n ، ... حد حاصل جمع S نامیده می شود n اولین پ اعداد وقتی پ -> ∞ :

S=S n = (آ 1 + آ 2 + ... + آ n ). (2)

محدودیت (2) البته ممکن است وجود داشته باشد یا نباشد. بر این اساس می گویند جمع (1) موجود است یا نیست.

چگونه می توانیم بفهمیم که آیا مجموع (1) در هر مورد خاص وجود دارد؟ تصمیم مشترکاین موضوع بسیار فراتر از محدوده برنامه ما است. با این حال، یک مورد خاص مهم وجود دارد که اکنون باید آن را بررسی کنیم. ما در مورد جمع کردن شرایط یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش صحبت خواهیم کرد.

اجازه دهید آ 1 , آ 1 q , آ 1 q 2، ... یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است. این بدان معنی است که | q |< 1. Сумма первых پ شرایط این پیشرفت برابر است

از قضایای اساسی در مورد حدود متغیرها (به بند 136 مراجعه کنید) به دست می آوریم:

اما 1 = 1، a qn = 0. بنابراین

بنابراین، مجموع یک تصاعد هندسی بی نهایت در حال کاهش برابر است با اولین جمله این پیشرفت تقسیم بر یک منهای مخرج این پیشرفت.

1) مجموع تصاعد هندسی 1، 1/3، 1/9، 1/27، ... برابر است با

و مجموع پیشرفت هندسی 12 است. -6; 3; - 3/2 , ... برابر

2) کسر تناوبی ساده 0.454545 ... را به یک کسر معمولی تبدیل کنید.

برای حل این مشکل، این کسر را به صورت مجموع نامتناهی تصور کنید:

قسمت سمت راستاین برابری مجموع یک تصاعد هندسی بی نهایت در حال کاهش است که جمله اول آن برابر با 100/45 و مخرج آن 100/1 است. از همین رو

با استفاده از روش توصیف شده، می توان آن را نیز به دست آورد قانون کلیتبدیل کسرهای تناوبی ساده به کسرهای معمولی (به فصل دوم، بند 38 مراجعه کنید):

برای تبدیل یک کسر تناوبی ساده به یک کسر معمولی، باید موارد زیر را انجام دهید: در صورت‌دهنده، دوره کسری اعشاری را قرار دهید، و در مخرج - عددی متشکل از نه‌ها به تعداد ارقام دوره گرفته شده است. از کسر اعشاری

3) کسر تناوبی مخلوط 0.58333 .... را به کسر معمولی تبدیل کنید.

بیایید این کسری را به صورت مجموع نامتناهی تصور کنیم:

در سمت راست این تساوی، تمام جمله ها که از 3/1000 شروع می شوند، یک تصاعد هندسی بی نهایت رو به کاهش را تشکیل می دهند که جمله اول آن برابر با 3/1000 و مخرج آن 1/10 است. از همین رو

با استفاده از روش توصیف شده، می توان یک قانون کلی برای تبدیل کسرهای تناوبی مخلوط به کسرهای معمولی به دست آورد (به فصل دوم، § 38 مراجعه کنید). ما عمداً آن را در اینجا ارائه نمی کنیم. نیازی به یادآوری این قانون دست و پا گیر نیست. بسیار مفیدتر است که بدانیم هر کسر تناوبی مخلوط را می توان به عنوان مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش و یک عدد معین نشان داد. و فرمول

برای مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش، البته باید به خاطر بسپارید.

به عنوان تمرین پیشنهاد می کنیم علاوه بر مشکلات شماره 995-1000 که در زیر آورده شده است، یک بار دیگر به مشکل شماره 301 § 38 مراجعه کنید.

تمرینات

995. به مجموع یک تصاعد هندسی بی نهایت نزولی چه می گویند؟

996. مجموع پیشرفت های هندسی بی نهایت رو به کاهش را بیابید:

997. در چه مقادیری ایکس پیشرفت

آیا بی نهایت در حال کاهش است؟ مجموع چنین پیشرفتی را بیابید.

998. در مثلث متساوی الاضلاع با ضلع آ یک مثلث جدید با اتصال نقاط میانی اضلاع آن حک شده است. یک مثلث جدید به همین صورت در این مثلث حک می شود و به همین ترتیب ad infinitum.

الف) مجموع محیط های تمام این مثلث ها؛

ب) مجموع مساحت آنها.

999. مربع با ضلع آ یک مربع جدید با اتصال نقاط میانی اضلاع آن حک شده است. یک مربع در این مربع به همین ترتیب حک شده است و به همین ترتیب ad infinitum. مجموع محیط همه این مربع ها و مجموع مساحت آنها را بیابید.

1000. یک تصاعد هندسی بی نهایت نزولی بنویسید به طوری که مجموع آن برابر با 25/4 و مجموع مجذورهای جمله های آن برابر با 625/24 باشد.

سطح اول

پیشرفت هندسی راهنمای جامعبا مثال (2019)

دنباله اعداد

بنابراین، بیایید بنشینیم و شروع به نوشتن چند عدد کنیم. مثلا:

شما می توانید هر عددی را بنویسید، و می تواند هر تعداد که دوست دارید وجود داشته باشد (در مورد ما، آنها وجود دارند). مهم نیست که چند عدد بنویسیم، همیشه می توانیم بگوییم کدام اول است، کدام دوم و همینطور تا آخرین عدد، یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است:

دنباله اعدادمجموعه ای از اعداد است که به هر کدام می توان یک شماره منحصر به فرد اختصاص داد.

به عنوان مثال، برای دنباله ما:

شماره اختصاص داده شده فقط مختص یک عدد در دنباله است. به عبارت دیگر، سه عدد دوم در دنباله وجود ندارد. عدد دوم (مانند عدد هفتم) همیشه یکسان است.

عددی که دارای عدد است، nامین عضو دنباله نامیده می شود.

ما معمولاً کل دنباله را با یک حرف صدا می زنیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله همان حرف است با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

در مورد ما:

رایج ترین انواع پیشروی، حسابی و هندسی است. در این مبحث در مورد نوع دوم صحبت خواهیم کرد - پیشرفت هندسی.

چرا پیشرفت هندسی و تاریخچه آن مورد نیاز است؟

حتی در دوران باستان، راهب ریاضیدان ایتالیایی، لئوناردو پیزا (که بیشتر به فیبوناچی معروف است) به نیازهای عملی تجارت می پرداخت. راهب با این وظیفه روبرو شد که تعیین کند کوچکترین وزنی که می توان برای وزن کردن یک محصول استفاده کرد چقدر است؟ فیبوناچی در آثار خود ثابت می‌کند که چنین سیستمی از وزن‌ها بهینه است: این یکی از اولین موقعیت‌هایی است که در آن افراد مجبور بودند با یک پیشروی هندسی دست و پنجه نرم کنند، که احتمالاً قبلاً در مورد آن شنیده‌اید و حداقل آن را داشته‌اید. مفهوم کلی. پس از درک کامل موضوع، به این فکر کنید که چرا چنین سیستمی بهینه است؟

در حال حاضر، در عمل زندگی، پیشرفت هندسی هنگام سرمایه‌گذاری پول در بانک، زمانی که میزان بهره به مقدار انباشته شده در حساب دوره قبل تعلق می‌گیرد، خود را نشان می‌دهد. به عبارت دیگر، اگر پول را در یک سپرده مدت دار در یک بانک پس انداز قرار دهید، پس از یک سال سپرده به مقدار اصلی افزایش می یابد، یعنی. مبلغ جدید برابر است با سهم ضرب شده در. در یک سال دیگر، این مقدار افزایش می یابد، یعنی. مقدار بدست آمده در آن زمان دوباره ضرب خواهد شد و به همین ترتیب. وضعیت مشابهی در مشکلات محاسبه به اصطلاح توضیح داده شده است بهره مرکب- درصد هر بار از مبلغ موجود در حساب با احتساب سود قبلی اخذ می شود. کمی بعد در مورد این وظایف صحبت خواهیم کرد.

موارد ساده تری وجود دارد که در آن پیشرفت هندسی اعمال می شود. به عنوان مثال، شیوع آنفولانزا: یک نفر فرد دیگری را آلوده کرد، آنها نیز به نوبه خود فرد دیگری را آلوده کردند و بنابراین موج دوم عفونت یک فرد است و آنها نیز به نوبه خود دیگری را آلوده کردند ... و غیره. .

به هر حال، یک هرم مالی، همان MMM، یک محاسبه ساده و خشک بر اساس ویژگی های یک پیشرفت هندسی است. جالب هست؟ بیایید آن را بفهمیم.

پیشرفت هندسی

فرض کنید یک دنباله اعداد داریم:

بلافاصله پاسخ خواهید داد که این کار آسانی است و نام چنین دنباله ای یک پیشرفت حسابی با تفاوت اصطلاحات آن است. این چطوره:

اگر عدد قبلی را از عدد بعدی کم کنید، خواهید دید که هر بار یک تفاوت جدید دریافت می کنید (و غیره)، اما دنباله قطعا وجود دارد و به راحتی قابل توجه است - هر عدد بعدی چند برابر بزرگتر از عدد قبلی است!

این نوع دنباله اعداد نامیده می شود پیشرفت هندسیو تعیین شده است.

پیشروی هندسی () دنباله ای عددی است که جمله اول آن با صفر متفاوت است و هر جمله که از دومی شروع می شود برابر است با عدد قبلی ضرب در همان عدد. این عدد را مخرج یک تصاعد هندسی می نامند.

محدودیت هایی که عبارت اول ( ) برابر نیست و تصادفی نیستند. بیایید فرض کنیم هیچ کدام وجود ندارد، و جمله اول هنوز برابر است، و q برابر است با، هوم.. بگذارید باشد، سپس معلوم می شود:

موافق باشید که این دیگر یک پیشرفت نیست.

همانطور که متوجه شدید، اگر عددی غیر از صفر، a وجود داشته باشد، همان نتایج را خواهیم گرفت. در این موارد، به سادگی هیچ پیشرفتی وجود نخواهد داشت، زیرا کل سری اعداد یا همه صفر خواهند بود یا یک عدد، و بقیه صفر خواهند بود.

حالا بیایید در مورد مخرج پیشروی هندسی، یعنی o با جزئیات بیشتری صحبت کنیم.

بیایید تکرار کنیم: - این شماره است هر ترم بعدی چند بار تغییر می کند؟پیشرفت هندسی

به نظر شما چه چیزی می تواند باشد؟ درست است، مثبت و منفی، اما صفر نیست (در این مورد کمی بالاتر صحبت کردیم).

بیایید فرض کنیم که ما مثبت است. اجازه دهید در مورد ما، a. ارزش ترم دوم چیست و؟ شما به راحتی می توانید پاسخ دهید که:

درست است. بر این اساس، اگر، پس همه شرایط بعدی پیشرفت علامت یکسانی دارند - آنها مثبت هستند.

اگه منفی باشه چی؟ به عنوان مثال، الف. ارزش ترم دوم چیست و؟

این یک داستان کاملا متفاوت است

سعی کنید شرایط این پیشرفت را بشمارید. چقدر گرفتی؟ من دارم. بنابراین، اگر، پس علائم شرایط پیشروی هندسی متناوب است. یعنی اگر پیشروی با علائم متناوب برای اعضای آن مشاهده کردید، مخرج آن منفی است. این دانش می تواند به شما کمک کند هنگام حل مسائل مربوط به این موضوع خود را آزمایش کنید.

حالا بیایید کمی تمرین کنیم: سعی کنید تعیین کنید کدام دنباله اعداد یک تصاعد هندسی و کدام یک پیشرفت حسابی هستند:

فهمیدم؟ بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم:

• پیشرفت هندسی - 3، 6.
• پیشرفت حسابی - 2، 4.
• این نه یک پیشرفت حسابی است و نه یک پیشرفت هندسی - 1، 5، 7.

بیایید به آخرین پیشرفت خود برگردیم و سعی کنیم عضو آن را پیدا کنیم، دقیقاً مانند حسابی. همانطور که ممکن است حدس زده باشید، دو راه برای پیدا کردن آن وجود دارد.

هر جمله را به صورت متوالی ضرب می کنیم.

بنابراین، امین ترم پیشرفت هندسی توصیف شده برابر است با.

همانطور که قبلاً حدس زدید، اکنون شما خودتان فرمولی را استخراج خواهید کرد که به شما کمک می کند هر عضوی از پیشرفت هندسی را پیدا کنید. یا قبلاً آن را برای خود توسعه داده اید و نحوه یافتن عضو گام به گام را شرح داده اید؟ اگر چنین است، صحت استدلال خود را بررسی کنید.

اجازه دهید این را با مثال یافتن ترم این پیشرفت نشان دهیم:

به عبارت دیگر:

مقدار ترم پیشروی هندسی داده شده را خودتان بیابید.

اتفاق افتاد؟ بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم:

لطفاً توجه داشته باشید که دقیقاً همان عددی را به دست آوردید که در روش قبلی، زمانی که ما به طور متوالی در هر جمله قبلی پیشرفت هندسی ضرب کردیم.
بیایید سعی کنیم "شخصیت زدایی" کنیم این فرمول- بیایید آن را به شکل کلی قرار دهیم و دریافت کنیم:

فرمول مشتق شده برای همه مقادیر - هم مثبت و هم منفی صادق است. این را خودتان با محاسبه شرایط پیشرفت هندسی با بررسی کنید شرایط زیر: ، آ.

حساب کردی؟ بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم:

موافق باشید که می توان یک ترم یک پیشرفت را به همان روش یک ترم پیدا کرد، اما امکان محاسبه نادرست وجود دارد. و اگر ما قبلاً عبارت ترم هندسی را پیدا کرده باشیم، چه چیزی می تواند ساده تر از استفاده از بخش "قطع" فرمول باشد.

پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است.

اخیراً ، ما در مورد این واقعیت صحبت کردیم که می تواند بزرگتر یا کمتر از صفر باشد ، با این حال ، مقادیر خاصی وجود دارد که پیشرفت هندسی برای آنها نامیده می شود. بی نهایت در حال کاهش.

فکر می کنید چرا این نام را گذاشته اند؟
ابتدا، اجازه دهید مقداری پیشرفت هندسی متشکل از اصطلاحات را بنویسیم.
پس بیایید بگوییم:

می بینیم که هر عبارت بعدی یک ضریب از جمله قبلی کمتر است، اما آیا عددی وجود خواهد داشت؟ شما بلافاصله پاسخ خواهید داد - "نه". به همین دلیل است که بی نهایت در حال کاهش است - کاهش می یابد و کاهش می یابد، اما هرگز صفر نمی شود.

برای درک واضح اینکه چگونه از نظر بصری به نظر می رسد، بیایید سعی کنیم نموداری از پیشرفت خود را ترسیم کنیم. بنابراین، برای مورد ما، فرمول به شکل زیر است:

در نمودارها ما عادت داریم که وابستگی را ترسیم کنیم، بنابراین:

ماهیت عبارت تغییر نکرده است: در مدخل اول وابستگی مقدار عضوی از یک پیشروی هندسی را به عدد ترتیبی آن نشان دادیم و در ورودی دوم به سادگی مقدار عضوی از یک پیشرفت هندسی را به عنوان در نظر گرفتیم. ، و شماره ترتیبی را نه به عنوان، بلکه به عنوان تعیین کرد. تنها کاری که باید انجام شود ساخت یک نمودار است.
ببینیم چی گرفتی این نموداری است که من به آن رسیدم:

میبینی؟ تابع کاهش می یابد، به سمت صفر میل می کند، اما هرگز از آن عبور نمی کند، بنابراین بی نهایت در حال کاهش است. بیایید نقاط خود را روی نمودار مشخص کنیم، و در همان زمان مختصات و معنی آن چیست:

سعی کنید نمودار یک پیشروی هندسی را به صورت شماتیک به تصویر بکشید اگر جمله اول آن نیز برابر باشد. تجزیه و تحلیل کنید که چه تفاوتی با نمودار قبلی ما دارد؟

توانستی مدیریت کنی؟ این نموداری است که من به آن رسیدم:

اکنون که اصول مبحث پیشرفت هندسی را کاملاً درک کرده اید: می دانید که چیست، می دانید چگونه اصطلاح آن را پیدا کنید، و همچنین می دانید که پیشرفت هندسی بی نهایت کاهشی چیست، بیایید به ویژگی اصلی آن برویم.

خاصیت پیشرفت هندسی.

آیا خاصیت اصطلاحات یک تصاعد حسابی را به خاطر دارید؟ بله، بله، چگونه می توان مقدار تعداد معینی از یک پیشرفت را در زمانی که مقادیر قبلی و بعدی شرایط این پیشرفت وجود دارد، پیدا کرد. یادت میاد؟ این:

اکنون دقیقاً با همان سؤال برای شرایط یک تصاعد هندسی روبرو هستیم. برای استخراج چنین فرمولی، بیایید طراحی و استدلال را شروع کنیم. خواهید دید، بسیار آسان است، و اگر فراموش کردید، می توانید خودتان آن را بیرون بیاورید.

بیایید یک پیشرفت هندسی ساده دیگر را در نظر بگیریم، که در آن می دانیم و. چطوری پیدا کنم؟ با پیشرفت حسابی آسان و ساده است، اما در اینجا چطور؟ در واقع، در هندسی نیز هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد - فقط باید هر مقداری را که به ما داده شده مطابق فرمول یادداشت کنید.

ممکن است بپرسید اکنون در مورد آن چه باید بکنیم؟ بله خیلی ساده ابتدا بیایید این فرمول ها را در شکل به تصویر بکشیم و سعی کنیم با آنها انجام دهیم دستکاری های مختلفبرای رسیدن به یک ارزش

بیایید از اعدادی که به ما داده می شود انتزاع کنیم، بیایید فقط بر بیان آنها از طریق فرمول تمرکز کنیم. ما باید مقدار برجسته شده با رنگ نارنجی را با دانستن عبارات مجاور آن پیدا کنیم. بیایید سعی کنیم با آنها تولید کنیم اقدامات مختلف، در نتیجه می توانیم بدست آوریم.

اضافه شدن.
بیایید سعی کنیم دو عبارت اضافه کنیم و دریافت می کنیم:

از این عبارت، همانطور که می بینید، ما به هیچ وجه نمی توانیم آن را بیان کنیم، بنابراین، گزینه دیگری - تفریق را امتحان خواهیم کرد.

منها کردن.

همانطور که می بینید، ما نمی توانیم این را نیز بیان کنیم، بنابراین، بیایید سعی کنیم این عبارات را در یکدیگر ضرب کنیم.

ضرب.

اکنون با ضرب عبارات پیشرفت هندسی که به ما داده شده در مقایسه با آنچه که باید پیدا شود، به دقت به آنچه داریم نگاه کنید:

حدس بزنید در مورد چه چیزی صحبت می کنم؟ درست است، برای پیدا کردن ما نیاز به گرفتن ریشه دوماز اعداد پیشروی هندسی مجاور اعداد مورد نظر ضرب در یکدیگر:

بفرمایید. شما خودتان خاصیت پیشرفت هندسی را به دست آوردید. سعی کنید این فرمول را در آن بنویسید نمای کلی. اتفاق افتاد؟

شرط را فراموش کرده اید؟ به این فکر کنید که چرا مهم است، برای مثال سعی کنید خودتان آن را محاسبه کنید. در این صورت چه اتفاقی خواهد افتاد؟ درست است، کاملا مزخرف است، زیرا فرمول شبیه به این است:

بر این اساس، این محدودیت را فراموش نکنید.

حالا بیایید محاسبه کنیم که برابر است

پاسخ صحیح - ! اگر هنگام محاسبه دومی را فراموش نکردید معنی ممکن، پس شما یک همکار عالی هستید و می توانید بلافاصله به سراغ آموزش بروید و اگر فراموش کردید مطالبی را که در زیر بحث شده است را بخوانید و توجه کنید که چرا لازم است هر دو ریشه را در پاسخ یادداشت کنید.

بیایید هر دو پیشرفت هندسی خود را ترسیم کنیم - یکی با مقدار و دیگری با مقدار و بررسی کنیم که آیا هر دوی آنها حق وجود دارند یا خیر:

برای بررسی اینکه آیا چنین تصاعدی هندسی وجود دارد یا خیر، باید دید که آیا تمام عبارات داده شده آن یکسان هستند؟ q را برای حالت اول و دوم محاسبه کنید.

ببینید چرا باید دو جواب بنویسیم؟ چون علامت اصطلاح مورد نظر شما به مثبت یا منفی بودن آن بستگی دارد! و از آنجایی که نمی دانیم چیست، باید هر دو پاسخ را با یک مثبت و یک منفی بنویسیم.

حالا که به نکات اصلی تسلط پیدا کردید و فرمول خاصیت پیشروی هندسی را استخراج کردید، پیدا کنید، دانستن و

پاسخ های خود را با پاسخ های صحیح مقایسه کنید:

چه فکر می‌کنید، چه می‌شود اگر مقادیر شرایط پیشروی هندسی مجاور عدد مورد نظر، بلکه با فاصله مساوی از آن به ما داده شود. به عنوان مثال، ما باید پیدا کنیم، و داده و. آیا می توانیم در این مورد از فرمولی که به دست آورده ایم استفاده کنیم؟ سعی کنید این احتمال را به همان روش تأیید یا رد کنید، و توضیح دهید که هر مقدار از چه چیزی تشکیل شده است، همانطور که در ابتدا فرمول را استخراج کردید.
چی به دست آوردی؟

حالا دوباره با دقت نگاه کنید.
و به همین ترتیب:

از اینجا می توانیم نتیجه بگیریم که فرمول کار می کند نه تنها با همسایگانبا شرایط مورد نظر از پیشرفت هندسی، بلکه با مساوی فاصلهاز آنچه اعضا به دنبال آن هستند.

بنابراین، فرمول اولیه ما به شکل زیر است:

یعنی اگر در مورد اول گفتیم حالا می گوییم می تواند برابر هر کدام باشد عدد طبیعی، که کوچکتر است. نکته اصلی این است که برای هر دو عدد داده شده یکسان است.

با مثال های خاص تمرین کنید، فقط بسیار مراقب باشید!

1. ، . پیدا کردن.
2. ، . پیدا کردن.
3. ، . پیدا کردن.

تصمیم گرفت؟ امیدوارم خیلی دقت کرده باشید و متوجه یک شکار کوچک شده باشید.

بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم.

در دو حالت اول با آرامش فرمول فوق را اعمال می کنیم و مقادیر زیر را بدست می آوریم:

در مورد سوم، پس از بررسی دقیق تر شماره سریالاعدادی که به ما داده می‌شوند، متوجه می‌شویم که با عدد مورد نظر ما فاصله ندارند: این عدد قبلی است، اما در موقعیت حذف شده است، بنابراین امکان اعمال فرمول وجود ندارد.

چگونه آن را حل کنیم؟ در واقع آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست! بیایید بنویسیم که هر عددی که به ما داده شده و عددی که به دنبال آن هستیم شامل چه مواردی است.

پس داریم و. بیایید ببینیم با آنها چه کاری می توانیم انجام دهیم؟ پیشنهاد میکنم تقسیم بر ما گرفتیم:

ما داده های خود را با فرمول جایگزین می کنیم:

مرحله بعدی که می توانیم پیدا کنیم این است - برای این کار باید ریشه مکعب عدد حاصل را بگیریم.

حالا بیایید دوباره به آنچه داریم نگاه کنیم. ما آن را داریم، اما باید آن را پیدا کنیم، و به نوبه خود برابر است با:

ما تمام داده های لازم برای محاسبه را پیدا کردیم. در فرمول جایگزین کنید:

پاسخ ما: .

سعی کنید مشکل مشابه دیگری را خودتان حل کنید:
داده شده: ،
پیدا کردن:

چقدر گرفتی؟ من دارم - .

همانطور که می بینید، اساسا شما نیاز دارید فقط یک فرمول را به خاطر بسپار- . شما می توانید همه بقیه را خودتان بدون هیچ مشکلی در هر زمانی برداشت کنید. برای این کار کافی است ساده ترین پیشروی هندسی را روی یک کاغذ بنویسید و طبق فرمولی که در بالا توضیح داده شد، هر یک از اعداد آن را بنویسید.

مجموع عبارات یک تصاعد هندسی.

حالا بیایید به فرمول هایی نگاه کنیم که به ما امکان می دهد به سرعت مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی را در یک بازه معین محاسبه کنیم:

برای بدست آوردن فرمول مجموع ترم های یک پیشروی هندسی محدود، تمام قسمت های معادله فوق را در ضرب کنید. ما گرفتیم:

با دقت نگاه کنید: دو فرمول آخر چه مشترکاتی دارند؟ درست است، مثلاً اعضای مشترک و غیره به جز عضو اول و آخر. بیایید سعی کنیم 1 را از معادله 2 کم کنیم. چی به دست آوردی؟

حال عبارت پیشرفت هندسی را از طریق فرمول بیان کنید و عبارت حاصل را با آخرین فرمول خود جایگزین کنید:

عبارت را گروه بندی کنید. شما باید دریافت کنید:

تنها کاری که باید انجام شود این است که بیان کنیم:

بر این اساس، در این مورد.

چه می شود اگر؟ آن وقت چه فرمولی کار می کند؟ یک پیشروی هندسی در را تصور کنید. او چگونه است؟ یک سری اعداد یکسان صحیح است، بنابراین فرمول به صورت زیر خواهد بود:

افسانه های زیادی در مورد پیشرفت حسابی و هندسی وجود دارد. یکی از آنها افسانه ست، خالق شطرنج است.

بسیاری از مردم می دانند که بازی شطرنج در هند اختراع شده است. هنگامی که پادشاه هندو او را ملاقات کرد، از شوخ طبعی او و موقعیت های مختلف ممکن در او خوشحال شد. پادشاه که متوجه شد توسط یکی از رعایای خود اختراع شده است، تصمیم گرفت شخصاً به او پاداش دهد. او مخترع را به نزد خود احضار کرد و به او دستور داد هر آنچه را که می خواهد از او بخواهد و قول داد حتی ماهرانه ترین آرزو را برآورده کند.

ستا برای فکر کردن وقت خواست و وقتی روز بعد ستا در برابر شاه حاضر شد، شاه را با تواضع بی سابقه درخواست خود شگفت زده کرد. او خواست که برای مربع اول صفحه شطرنج یک دانه گندم، برای مربع دوم یک دانه گندم، برای سومین، چهارمین و غیره یک دانه گندم بدهد.

پادشاه عصبانی شد و شیث را بیرون کرد و گفت که درخواست خادم شایسته سخاوت پادشاه نیست، اما قول داد که خادم دانه های خود را برای تمام مربع های تخته دریافت کند.

و حالا سوال: با استفاده از فرمول مجموع شرایط یک تصاعد هندسی، محاسبه کنید که ست چند دانه باید دریافت کند؟

بیایید استدلال را شروع کنیم. از آنجایی که ست طبق شرط، برای مربع اول صفحه شطرنج، برای مربع دوم، سوم، چهارم و غیره یک دانه گندم درخواست کرد، پس می بینیم که مشکل در مورد یک پیشرفت هندسی است. در این مورد چه چیزی برابر است؟
درست.

مجموع مربع های صفحه شطرنج. به ترتیب، . ما تمام داده ها را داریم، تنها چیزی که باقی می ماند این است که آن را به فرمول وصل کنیم و محاسبه کنیم.

برای تصور حداقل "مقیاس" یک عدد معین، با استفاده از ویژگی های درجه تبدیل می کنیم:

البته، اگر بخواهید، می توانید یک ماشین حساب بگیرید و محاسبه کنید که در نهایت چه عددی به دست می آورید، و اگر نه، باید حرف من را قبول کنید: مقدار نهایی عبارت خواهد بود.
به این معنا که:

کوئینتیلیون کوادریلیون تریلیون میلیارد میلیون هزار.

فیو) اگر می‌خواهید عظمت این عدد را تصور کنید، تخمین بزنید که یک انبار برای گنجاندن کل غلات چقدر بزرگ است.
اگر انبار متر ارتفاع و متر عرض داشته باشد، طول آن باید کیلومتر طول بکشد، یعنی. دو برابر فاصله زمین تا خورشید

اگر پادشاه در ریاضیات قوی بود، می توانست خود دانشمند را برای شمردن دانه ها دعوت کند، زیرا برای شمردن یک میلیون دانه، حداقل به یک روز شمارش خستگی ناپذیر نیاز داشت و با توجه به اینکه شمردن پنج میلیون دانه ضروری است. باید در طول زندگی او حساب شود.

حالا بیایید یک مسئله ساده را حل کنیم که شامل مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی است.
دانش آموز کلاس 5A واسیا با آنفولانزا بیمار شد ، اما همچنان به مدرسه می رود. هر روز واسیا دو نفر را آلوده می کند که به نوبه خود دو نفر دیگر و غیره را آلوده می کنند. فقط افراد در کلاس هستند. چند روز دیگر کل کلاس به آنفولانزا مبتلا می شوند؟

بنابراین، اولین اصطلاح پیشرفت هندسی واسیا است، یعنی یک شخص. ترم هفتم پیشرفت هندسی، دو نفری است که در روز اول ورودش به آن مبتلا شد. مبلغ کلاعضای پیشرفت برابر با تعداد دانش آموزان در 5A است. بر این اساس، ما در مورد پیشرفتی صحبت می کنیم که در آن:

بیایید داده های خود را با فرمول برای مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی جایگزین کنیم:

کل کلاس در عرض چند روز بیمار می شوند. فرمول ها و اعداد را باور نمی کنید؟ سعی کنید "عفونت" دانش آموزان را خودتان به تصویر بکشید. اتفاق افتاد؟ ببین برای من چطور به نظر می رسد:

خودتان محاسبه کنید اگر هر کدام یک نفر را مبتلا کنند و فقط یک نفر در کلاس باشد چند روز طول می کشد تا دانش آموزان به آنفولانزا مبتلا شوند.

چه ارزشی گرفتی؟ معلوم شد که همه بعد از یک روز مریض شدند.

همانطور که می بینید، چنین کار و ترسیمی برای آن شبیه یک هرم است که در آن هر مورد بعدی افراد جدیدی را "به ارمغان می آورد". با این حال، دیر یا زود لحظه ای فرا می رسد که دومی نمی تواند کسی را جذب کند. در مورد ما، اگر تصور کنیم که کلاس ایزوله است، فرد از زنجیره () را می بندد. بنابراین، اگر فردی درگیر بود هرم مالی، که در آن پول داده شده است اگر دو شرکت کننده دیگر را بیاورید، سپس شخص (یا مورد کلی) کسی را نمی آورد و بنابراین هر چیزی را که در این کلاهبرداری مالی سرمایه گذاری کرده بود از دست می داد.

همه آنچه در بالا گفته شد به یک پیشرفت هندسی کاهش یا افزایش اشاره دارد، اما، همانطور که به یاد دارید، ما یک نوع خاص داریم - یک پیشرفت هندسی بی نهایت کاهشی. چگونه می توان مجموع اعضای آن را محاسبه کرد؟ و چرا این نوع پیشرفت ویژگی های خاصی دارد؟ بیایید با هم بفهمیم

بنابراین، ابتدا اجازه دهید دوباره به این ترسیم یک پیشروی هندسی در حال کاهش بی نهایت از مثال خود نگاه کنیم:

حالا بیایید به فرمول حاصل از مجموع یک پیشرفت هندسی که کمی قبل از آن مشتق شده است نگاه کنیم:
یا

ما برای چه تلاش می کنیم؟ درست است، نمودار نشان می دهد که تمایل به صفر دارد. یعنی در، تقریباً برابر خواهد بود، به ترتیب، هنگام محاسبه عبارت تقریباً به دست خواهیم آورد. در این رابطه، ما معتقدیم که هنگام محاسبه مجموع یک پیشروی هندسی بی‌نهایت کاهشی، می‌توان از این براکت صرف نظر کرد، زیرا برابر خواهد بود.

- فرمول مجموع عبارات یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش است.

مهم!ما از فرمول برای مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش فقط در صورتی استفاده می کنیم که شرط صریحاً بیان کند که باید مجموع را پیدا کنیم. بي نهايتتعداد اعضا

اگر عدد خاصی n مشخص شده باشد، از فرمول جمع n جمله استفاده می کنیم، حتی اگر یا.

حالا بیایید تمرین کنیم.

1. مجموع اولین جمله های پیشروی هندسی را با و بیابید.
2. مجموع عبارت های یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش را با و بیابید.

امیدوارم بی نهایت دقت کرده باشید بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم:

اکنون شما همه چیز را در مورد پیشرفت هندسی می دانید و زمان آن رسیده که از تئوری به عمل بروید. رایج ترین مشکلات پیشرفت هندسی که در امتحان با آن مواجه می شوند، مشکلات محاسبه بهره مرکب است. اینها مواردی هستند که در مورد آنها صحبت خواهیم کرد.

مشکلات در محاسبه بهره مرکب

احتمالاً نام فرمول بهره مرکب را شنیده اید. میفهمی یعنی چی؟ اگر نه، بیایید آن را بفهمیم، زیرا هنگامی که خود فرآیند را درک کردید، بلافاصله متوجه خواهید شد که پیشرفت هندسی با آن چه ارتباطی دارد.

همه ما به بانک می رویم و می دانیم که وجود دارد شرایط مختلفدر سپرده: این مدت است، و خدمات اضافی، و سود با دو راه های مختلفمحاسبات آن - ساده و پیچیده است.

با علاقه سادههمه چیز کم و بیش روشن است: سود یک بار در پایان مدت سپرده تعلق می گیرد. یعنی اگر بگوییم 100 روبل برای یک سال واریز می کنیم، فقط در پایان سال اعتبار داده می شود. بر این اساس، تا پایان سپرده ما روبل دریافت خواهیم کرد.

بهره مرکب- این گزینه ای است که در آن رخ می دهد سرمایه بهره، یعنی اضافه شدن آنها به مبلغ سپرده و محاسبه بعدی درآمد نه از مبلغ اولیه، بلکه از مبلغ سپرده انباشته. حروف بزرگ به طور مداوم اتفاق نمی افتد، اما با مقداری فراوانی. به عنوان یک قاعده، چنین دوره هایی برابر هستند و اغلب بانک ها از یک ماه، سه ماهه یا سال استفاده می کنند.

بیایید فرض کنیم که سالانه همان روبل را واریز می کنیم، اما با سرمایه گذاری ماهانه سپرده. ما چه کار می کنیم؟

اینجا همه چی رو میفهمی؟ اگر نه، بیایید مرحله به مرحله آن را بفهمیم.

روبل به بانک آوردیم. تا پایان ماه، باید مبلغی در حساب خود داشته باشیم که شامل روبل خود به اضافه سود آن است، یعنی:

موافق؟

می توانیم آن را از پرانتز خارج کنیم و سپس به دست می آوریم:

موافقم، این فرمول در حال حاضر بیشتر شبیه آنچه در ابتدا نوشتیم است. تنها چیزی که باقی می ماند این است که درصدها را مشخص کنید

در بیانیه مشکل به ما در مورد نرخ های سالانه گفته شده است. همانطور که می دانید، ما در ضرب نمی کنیم - درصدها را به اعداد اعشاری، به این معنا که:

درست؟ حالا ممکن است بپرسید این شماره از کجا آمده است؟ بسیار ساده!
تکرار می کنم: بیانیه مشکل در مورد می گوید سالانهبهره ای که تعلق می گیرد ماهانه. همانطور که می دانید، در یک سال از ماه ها، بر این اساس، بانک بخشی از سود سالانه را در هر ماه از ما دریافت می کند:

متوجه شدی؟ حالا سعی کنید بنویسید اگر بگویم سود روزانه محاسبه می شود، این قسمت از فرمول چگونه خواهد بود.
توانستی مدیریت کنی؟ بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم:

آفرین! بیایید به وظیفه خود بازگردیم: بنویسید که در ماه دوم چقدر به حساب ما واریز می شود، با توجه به اینکه سود به مبلغ سپرده انباشته تعلق می گیرد.
این چیزی است که من دریافت کردم:

یا به عبارت دیگر:

من فکر می کنم که شما قبلاً متوجه یک الگو شده اید و یک پیشرفت هندسی را در همه این موارد مشاهده کرده اید. بنویسید که عضو آن با چه مبلغی برابری می کند یا به عبارت دیگر در پایان ماه چقدر پول دریافت می کنیم.
انجام داد؟ بیایید بررسی کنیم!

همانطور که می بینید، اگر یک سال پول را با سود ساده در بانک بگذارید، روبل و اگر با نرخ بهره مرکب، روبل دریافت کنید. سود ناچیز است، اما این فقط در طول سال اتفاق می افتد، اما برای بیشتر یک دوره طولانیسرمایه گذاری بسیار سودآورتر است:

بیایید به نوع دیگری از مسائل مربوط به بهره مرکب نگاه کنیم. بعد از چیزی که فهمیدید، برای شما ابتدایی خواهد بود. بنابراین، وظیفه:

شرکت Zvezda سرمایه گذاری در این صنعت را در سال 2000 با سرمایه به دلار آغاز کرد. از سال 1380 هر سال سودی معادل سرمایه سال قبل دریافت کرده است. اگر سود از گردش خارج نشود، شرکت Zvezda در پایان سال 2003 چقدر سود خواهد داشت؟

سرمایه شرکت Zvezda در سال 2000.
- سرمایه شرکت Zvezda در سال 2001.
- سرمایه شرکت Zvezda در سال 2002.
- سرمایه شرکت Zvezda در سال 2003.

یا می توانیم به طور خلاصه بنویسیم:

برای مورد ما:

2000، 2001، 2002 و 2003.

به ترتیب:
روبل
لطفاً توجه داشته باشید که در این مشکل ما تقسیم بر یا بر نداریم، زیرا درصد سالانه داده می شود و سالانه محاسبه می شود. یعنی هنگام خواندن یک مسئله بر روی سود مرکب دقت کنید که چند درصد داده شده و در چه دوره ای محاسبه شده است و فقط پس از آن به محاسبات بروید.
اکنون همه چیز را در مورد پیشرفت هندسی می دانید.

آموزش.

1. اگر معلوم باشد که و. عبارت پیشرفت هندسی را بیابید
2. اگر معلوم باشد که، و
3. شرکت ام دی ام کپیتال سرمایه گذاری در این صنعت را در سال 2003 با سرمایه به دلار آغاز کرد. از سال 1383 تاکنون هر سال سودی معادل سرمایه سال قبل دریافت کرده است. شرکت MSK Cash Flow در سال 2005 سرمایه گذاری در این صنعت را به مبلغ 10000 دلار آغاز کرد و در سال 2006 شروع به کسب سود به مبلغ 100 دلار کرد. اگر سود از گردش خارج نمی شد، در پایان سال 2007، سرمایه یک شرکت چند دلار بیشتر از دیگری است؟

پاسخ ها:

1. از آنجایی که بیان مسئله نمی گوید که پیشرفت بی نهایت است و باید مجموع تعداد خاصی از عبارت های آن را پیدا کرد، محاسبه طبق فرمول انجام می شود:
2. 
   شرکت سرمایه MDM:

   2003، 2004، 2005، 2006، 2007.
   - 100٪ افزایش می یابد، یعنی 2 برابر.
   به ترتیب:
   روبل
   شرکت MSK Cash Flow:

   2005، 2006، 2007.
   - افزایش می یابد، یعنی بارها.
   به ترتیب:
   روبل
   روبل

بیایید خلاصه کنیم.

1) پیشروی هندسی ( ) دنباله ای عددی است که جمله اول آن با صفر متفاوت است و هر جمله که از دومی شروع می شود برابر با عدد قبلی ضرب در همان عدد است. این عدد را مخرج یک تصاعد هندسی می نامند.

2) معادله شرایط پیشروی هندسی است.

3) می تواند هر مقداری به جز و.

• اگر، پس همه شرایط بعدی پیشرفت علامت یکسانی دارند - آنها مثبت هستند;
• اگر، سپس تمام شرایط بعدی پیشرفت علائم جایگزین؛
• وقتی - پیشرفت را بی نهایت کاهشی می نامند.

4) با - خاصیت پیشرفت هندسی (اصطلاحات مجاور)

یا
، در (اصطلاحات مساوی)

وقتی آن را پیدا کردید، آن را فراموش نکنید باید دو پاسخ وجود داشته باشد.

مثلا،

5) مجموع عبارات پیشرفت هندسی با فرمول محاسبه می شود:
یا

اگر پیشرفت بی نهایت در حال کاهش باشد، آنگاه:
یا

مهم!ما از فرمول برای مجموع عبارت‌های یک پیشروی هندسی بی‌نهایت در حال کاهش استفاده می‌کنیم، تنها در صورتی که شرط صریحاً بیان کند که باید مجموع تعداد نامتناهی از عبارت‌ها را پیدا کنیم.

6) مسائل مربوط به بهره مرکب نیز با استفاده از فرمول ترم ترم یک پیشروی هندسی محاسبه می شوند، مشروط بر اینکه پول نقداز گردش خارج نشدند:

پیشرفت هندسی. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

پیشرفت هندسی( ) دنباله ای عددی است که جمله اول آن با صفر متفاوت است و هر جمله که از دومی شروع می شود برابر است با عدد قبلی ضرب در همان عدد. این شماره نامیده می شود مخرج یک پیشرفت هندسی

مخرج پیشرفت هندسیمی تواند هر ارزشی به جز و.

• اگر همه شرایط بعدی پیشرفت علامت یکسانی داشته باشند - آنها مثبت هستند.
• اگر، پس همه اعضای بعدی پیشرفت نشانه های متناوب را دارند.
• وقتی - پیشرفت را بی نهایت کاهشی می نامند.

معادله شرایط پیشرفت هندسی - .

مجموع شرایط یک تصاعد هندسیبا فرمول محاسبه می شود:
یا

درس در مورد موضوع "پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش" (جبر، کلاس دهم)

هدف از درس:معرفی دانش آموزان با نوع جدیدی از توالی - یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش.

تجهیزات:پروژکتور، صفحه نمایش

نوع درس:درس - یادگیری یک موضوع جدید.

در طول کلاس ها

من . سازمان لحظه موضوع و هدف درس را بیان کنید.

II . به روز رسانی دانش دانش آموزان.

در کلاس نهم شما پیشرفت های حسابی و هندسی را مطالعه کردید.

سوالات

1. تعریف پیشروی حسابی. (پیشرفت حسابی دنباله ای است که در آن هر عضو، با شروع از دوم، برابر با عضو قبلی است که به همان عدد اضافه شده است).

2. فرمول nترم ترم حسابی (
)

3. فرمول مجموع اولی nشرایط یک پیشرفت حسابی

(
یا
)

4. تعریف پیشرفت هندسی. (پیشرفت هندسی دنباله ای از اعداد غیرصفر است که هر جمله آن با شروع از دومی برابر است با جمله قبلی ضرب در همان عدد).

5. فرمول nترم ترم هندسی (

)

6. فرمول مجموع اولی nاعضای یک پیشرفت هندسی (
)

7. چه فرمول های دیگری را می شناسید؟

(
، جایی که
;
;
;
,
)

5. برای پیشرفت هندسی
ترم پنجم را پیدا کنید

6. برای پیشرفت هندسی
پیدا کردن nعضو ام

7. به صورت تصاعدی ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . پیدا کردن ب 4 . (4)

8. به صورت تصاعدی ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . پیدا کردن ب 1 و q .

9. به صورت تصاعدی ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . پیدا کردن اس 5 . (62)

III . یادگیری یک موضوع جدید(نمایش ارائه).

مربعی را در نظر بگیرید که ضلع آن برابر با 1 باشد. مربع دیگری را رسم می کنیم که ضلع آن نصف مربع اول است، سپس یکی دیگر که ضلع آن نصف دومی است، سپس مربع بعدی و غیره. هر بار ضلع مربع جدید برابر با نصف مربع قبلی است.

در نتیجه، دنباله ای از اضلاع مربع ها را دریافت کردیم تشکیل یک تصاعد هندسی با مخرج .

و آنچه بسیار مهم است، هر چه بیشتر چنین مربع هایی بسازیم، ضلع مربع کوچکتر می شود. مثلا,

آن ها با افزایش عدد n، شرایط پیشروی به صفر می رسد.

با استفاده از این شکل می توانید دنباله دیگری را در نظر بگیرید.

به عنوان مثال، دنباله مساحت مربع ها:

. و باز هم اگر nبه طور نامحدود افزایش می یابد، سپس منطقه هر چقدر که دوست دارید به صفر نزدیک می شود.

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم. مثلث متساوی الاضلاع با اضلاع برابر 1 سانتی متر. بیایید طبق قضیه در مورد خط وسط مثلث با رئوس در وسط اضلاع مثلث اول، مثلث زیر را بسازیم - ضلع دوم برابر با نصف ضلع اول، ضلع سوم است. برابر است با نصف ضلع دوم و غیره. دوباره دنباله ای از طول اضلاع مثلث ها را به دست می آوریم.

در
.

اگر یک تصاعد هندسی با مخرج منفی در نظر بگیریم.

سپس، دوباره، با افزایش تعداد nشرایط رویکرد پیشرفت صفر است.

بیایید به مخرج این دنباله ها توجه کنیم. همه جا مخرج ها در مقدار مطلق کمتر از 1 بودند.

می‌توان نتیجه گرفت: اگر مدول مخرج آن کمتر از 1 باشد، یک پیشروی هندسی بی‌نهایت در حال کاهش خواهد بود.

تعریف:

اگر مدول مخرج آن کمتر از یک باشد، یک پیشروی هندسی به طور نامحدود در حال کاهش است.
.

با استفاده از تعریف، می توانید تصمیم بگیرید که آیا یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش است یا خیر.

وظیفه

آیا دنباله یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش است اگر با فرمول داده شود:

;
.

راه حل:

. پیدا خواهیم کرد q .

;
;
;
.

این پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش است.

ب)این دنباله یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش نیست.

مربعی را در نظر بگیرید که ضلع آن برابر با 1 است. آن را به نصف، یکی از نصف ها را از وسط و غیره تقسیم کنید. مساحت تمام مستطیل های به دست آمده یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش را تشکیل می دهند:

مجموع مساحت تمام مستطیل های به دست آمده از این طریق برابر با مساحت مربع 1 و برابر با 1 خواهد بود.