درس از سری "الگوریتم های هندسی"

سلام خواننده عزیز!

امروز شروع به یادگیری الگوریتم های مرتبط با هندسه می کنیم. واقعیت این است که مسائل المپیاد زیادی در علوم کامپیوتر مرتبط با هندسه محاسباتی وجود دارد و حل چنین مسائلی اغلب مشکلاتی را ایجاد می کند.

در طول چندین درس، تعدادی از وظایف فرعی ابتدایی را در نظر خواهیم گرفت که حل اکثر مسائل در هندسه محاسباتی بر اساس آنها است.

در این درس ما یک برنامه برای پیدا کردن معادله یک خط، عبور از داده شده است دو نقطه. برای حل مسائل هندسی، به دانش هندسه محاسباتی نیاز داریم. بخشی از درس را به شناخت آنها اختصاص خواهیم داد.

بینش از هندسه محاسباتی

هندسه محاسباتی شاخه ای از علوم کامپیوتر است که به مطالعه الگوریتم هایی برای حل مسائل هندسی می پردازد.

داده های اولیه برای چنین مسائلی می تواند مجموعه ای از نقاط در یک صفحه، مجموعه ای از قطعات، یک چند ضلعی (مشخص شده، به عنوان مثال، با لیستی از رئوس آن در جهت عقربه های ساعت) و غیره باشد.

نتیجه می تواند پاسخی به برخی سؤالات باشد (مثلاً آیا یک نقطه به یک قطعه تعلق دارد، آیا دو بخش متقاطع می شوند یا ...) یا یک شی هندسی (مثلاً کوچکترین چند ضلعی محدب که نقاط داده شده را به هم متصل می کند، مساحت یک چند ضلعی و غیره).

ما مسائل هندسه محاسباتی را فقط در صفحه و فقط در سیستم مختصات دکارتی در نظر خواهیم گرفت.

بردارها و مختصات

برای اعمال روش های هندسه محاسباتی، باید تصاویر هندسی را به زبان اعداد ترجمه کرد. فرض می کنیم که به هواپیما یک سیستم مختصات دکارتی داده می شود که در آن جهت چرخش در خلاف جهت عقربه های ساعت مثبت نامیده می شود.

اکنون اجسام هندسی یک عبارت تحلیلی دریافت می کنند. بنابراین، برای تعیین یک نقطه، کافی است مختصات آن را نشان دهیم: یک جفت اعداد (x; y). یک قطعه را می توان با تعیین مختصات انتهای آن مشخص کرد، یک خط مستقیم را می توان با تعیین مختصات یک جفت از نقاط آن مشخص کرد.

اما ابزار اصلی ما برای حل مسائل بردارها خواهند بود. بنابراین اجازه دهید اطلاعاتی را در مورد آنها یادآوری کنم.

بخش خط AB، که یک نکته دارد آآغاز (نقطه کاربرد)، و نقطه در نظر گرفته می شود که در– پایان، بردار نامیده می شود ABو برای مثال با یا یا با یک حرف کوچک پررنگ نشان داده می شود آ .

برای نشان دادن طول یک بردار (یعنی طول قطعه مربوطه)، از نماد مدول (مثلاً ) استفاده می کنیم.

یک بردار دلخواه دارای مختصاتی برابر با تفاوت بین مختصات متناظر انتهای و ابتدای آن خواهد بود:

,

در اینجا نکات است آو ب مختصات دارند به ترتیب.

برای محاسبات از مفهوم استفاده خواهیم کرد زاویه جهت دار، یعنی زاویه ای که موقعیت نسبی بردارها را در نظر می گیرد.

زاویه جهت بین بردارها آ و ب اگر چرخش از بردار باشد مثبت است آ به بردار ب در جهت مثبت (در خلاف جهت عقربه های ساعت) و در حالت دیگر منفی انجام می شود. به شکل 1a، Fig.1b مراجعه کنید. همچنین گفته می شود که یک جفت بردار آ و ب مثبت (منفی) گرا.

بنابراین، مقدار زاویه جهت‌دار به ترتیبی که بردارها فهرست شده‌اند بستگی دارد و می‌تواند مقادیری را در بازه دریافت کند.

بسیاری از مسائل در هندسه محاسباتی از مفهوم بردار (ارول یا شبه مقیاس) حاصل از بردارها استفاده می کنند.

حاصل ضرب برداری بردارهای a و b حاصل ضرب طول این بردارها و سینوس زاویه بین آنها است:

.

ضرب ضربدری بردارها در مختصات:

عبارت سمت راست یک تعیین کننده مرتبه دوم است:

برخلاف تعریفی که در هندسه تحلیلی ارائه می شود، یک عدد اسکالر است.

علامت حاصلضرب بردار موقعیت بردارها را نسبت به یکدیگر تعیین می کند:

آ و ب مثبت گرا

اگر مقدار باشد، یک جفت بردار آ و ب جهت گیری منفی

ضرب ضربدر بردارهای غیرصفر صفر است اگر و فقط اگر هم خط باشند ( ). این بدان معنی است که آنها روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار می گیرند.

بیایید به چند مسئله ساده که هنگام حل مشکلات پیچیده تر ضروری هستند نگاه کنیم.

بیایید معادله یک خط مستقیم را از مختصات دو نقطه تعیین کنیم.

معادله خطی که از دو نقطه مختلف می گذرد که با مختصات آنها مشخص می شود.

اجازه دهید دو نقطه غیر منطبق روی یک خط مستقیم داده شود: با مختصات (x1; y1) و با مختصات (x2; y2). بر این اساس، بردار با شروع در یک نقطه و پایان در یک نقطه دارای مختصات (x2-x1، y2-y1) است. اگر P(x, y) یک نقطه دلخواه در خط ما باشد، مختصات بردار برابر است با (x-x1، y - y1).

با استفاده از حاصلضرب بردار، شرط همخطی بودن بردارها را می توان به صورت زیر نوشت:

آن ها (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

معادله آخر را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

تبر + توسط + c = 0، (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

بنابراین، خط مستقیم را می توان با معادله شکل (1) مشخص کرد.

مسئله 1. مختصات دو نقطه آورده شده است. نمایش آن را به شکل ax + by + c = 0 بیابید.

در این درس اطلاعاتی در مورد هندسه محاسباتی آموختیم. مشکل یافتن معادله یک خط را از مختصات دو نقطه حل کردیم.

در درس بعدی برنامه ای ایجاد می کنیم تا نقطه تلاقی دو خط را که توسط معادلات ما داده شده است را پیدا کنیم.

این مقاله در ادامه مبحث معادله یک خط در صفحه می باشد: این نوع معادله را معادله کلی یک خط در نظر خواهیم گرفت. بیایید قضیه را تعریف کنیم و آن را اثبات کنیم. بیایید بفهمیم که یک معادله کلی ناقص یک خط چیست و چگونه می توان از یک معادله عمومی به انواع دیگر معادلات یک خط انتقال داد. ما کل نظریه را با تصاویر و راه حل هایی برای مسائل عملی تقویت خواهیم کرد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

بگذارید یک سیستم مختصات مستطیلی O x y روی صفحه مشخص شود.

قضیه 1

هر معادله درجه اول که به شکل Ax + B y + C = 0 باشد، که در آن A، B، C برخی از اعداد واقعی هستند (A و B همزمان با صفر برابر نیستند)، یک خط مستقیم را تعریف می کند. یک سیستم مختصات مستطیلی در یک هواپیما. به نوبه خود، هر خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه با معادله ای تعیین می شود که به شکل A x + B y + C = 0 برای مجموعه خاصی از مقادیر A، B، C است.

اثبات

این قضیه از دو نکته تشکیل شده است که هر کدام را ثابت می کنیم.

1. اجازه دهید ثابت کنیم که معادله A x + B y + C = 0 یک خط مستقیم را در صفحه تعریف می کند.

بگذارید نقطه ای M 0 (x 0 , y 0) وجود داشته باشد که مختصات آن با معادله A x + B y + C = 0 مطابقت دارد. بنابراین: A x 0 + B y 0 + C = 0. از سمت چپ و راست معادلات A x + B y + C = 0 سمت چپ و راست معادله A x 0 + B y 0 + C = 0 را کم کنید، معادله جدیدی به نظر می رسد که شبیه A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . معادل A x + B y + C = 0 است.

معادله حاصل A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ضروری است و شرایط کافیعمود بردارها n → = (A، B) و M 0 M → = (x - x 0، y - y 0). بنابراین، مجموعه نقاط M (x, y) یک خط مستقیم را در یک سیستم مختصات مستطیلی عمود بر جهت بردار n → = (A, B) تعریف می کند. می توانیم فرض کنیم که اینطور نیست، اما پس از آن بردارهای n → = (A, B) و M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) عمود نخواهند بود و برابری A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 درست نیست.

در نتیجه، معادله A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 یک خط معین را در یک سیستم مختصات مستطیلی روی صفحه تعریف می کند، و بنابراین معادله معادل A x + B y + C = 0 تعیین می کند. همان خط به این ترتیب قسمت اول قضیه را ثابت کردیم.

1. اجازه دهید اثبات کنیم که هر خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی روی یک صفحه را می توان با معادله درجه اول Ax + B y + C = 0 مشخص کرد.

اجازه دهید یک خط مستقیم a را در یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه تعریف کنیم. نقطه M 0 (x 0 , y 0) که این خط از آن عبور می کند و همچنین بردار عادی این خط n → = (A, B) .

اجازه دهید نقطه ای M (x، y) نیز وجود داشته باشد - یک نقطه شناور روی یک خط. در این حالت بردارهای n → = (A, B) و M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) بر یکدیگر عمود هستند و حاصل ضرب اسکالر آنها صفر است:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

بیایید معادله A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 را بازنویسی کنیم، C = - A x 0 - B y 0 را تعریف کنیم و در نتیجه نهایی معادله A x + B y + C = را بدست آوریم. 0.

بنابراین، ما قسمت دوم قضیه را ثابت کرده ایم و کل قضیه را به طور کلی ثابت کرده ایم.

تعریف 1

معادله ای از فرم A x + B y + C = 0 - این معادله کلی یک خطدر یک صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی شکلاکسی.

بر اساس قضیه اثبات شده، می توان نتیجه گرفت که یک خط مستقیم و معادله کلی آن که بر روی صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی ثابت تعریف شده است، به طور جدایی ناپذیری به هم مرتبط هستند. به عبارت دیگر، خط اصلی با معادله کلی آن مطابقت دارد. معادله کلی یک خط با یک خط معین مطابقت دارد.

از اثبات قضیه نیز چنین استنباط می شود که ضرایب A و B برای متغیرهای x و y مختصات بردار عادی خط هستند که با معادله کلی خط A x + B y + C = به دست می آید. 0.

بیایید یک مثال خاص از یک معادله کلی یک خط مستقیم را در نظر بگیریم.

اجازه دهید معادله 2 x + 3 y - 2 = 0 داده شود که مربوط به یک خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی است. بردار معمولی این خط بردار است n → = (2، 3). بیایید خط مستقیم داده شده را در نقاشی رسم کنیم.

همچنین می توانیم موارد زیر را بیان کنیم: خط مستقیمی که در نقاشی می بینیم با معادله کلی 2 x + 3 y - 2 = 0 تعیین می شود، زیرا مختصات تمام نقاط روی یک خط مستقیم داده شده با این معادله مطابقت دارد.

می‌توانیم معادله λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 را با ضرب دو طرف معادله عمومی خط در عدد λ که برابر با صفر نیست به دست آوریم. معادله به دست آمده معادل معادله کلی اصلی است، بنابراین، همان خط مستقیم را در صفحه توصیف می کند.

تعریف 2

معادله کلی یک خط را کامل کنید- چنین معادله ای از خط مستقیم A x + B y + C = 0 که در آن اعداد A، B، C با صفر متفاوت هستند. در غیر این صورت معادله است ناقص.

اجازه دهید تمام تغییرات معادله کلی ناقص یک خط را تجزیه و تحلیل کنیم.

1. وقتی A = 0، B ≠ 0، C ≠ 0، معادله کلی شکل B y + C = 0 را به خود می گیرد. چنین معادله کلی ناقصی در یک سیستم مختصات مستطیلی O x y خط مستقیمی را که موازی با محور Ox است تعریف می کند، زیرا برای هر مقدار واقعی x متغیر y مقدار را می گیرد. - C B. به عبارت دیگر، معادله کلی خط مستقیم A x + B y + C = 0، زمانی که A = 0، B ≠ 0، مکان نقاط (x، y) را مشخص می کند که مختصات آنها برابر با همان عدد است. - C B.
2. اگر A = 0، B ≠ 0، C = 0، معادله کلی به شکل y = 0 است. این معادله ناقصمحور آبسیسا O x را تعریف می کند.
3. هنگامی که A ≠ 0، B = 0، C ≠ 0، یک معادله کلی ناقص A x + C = 0 به دست می آوریم، که یک خط مستقیم موازی با مختصات را تعریف می کند.
4. فرض کنید A ≠ 0، B = 0، C = 0، سپس معادله کلی ناقص به شکل x = 0 خواهد بود و این معادله خط مختصات O y است.
5. در نهایت، برای A ≠ 0، B ≠ 0، C = 0، معادله کلی ناقص به شکل A x + B y = 0 است. و این معادله یک خط مستقیم را توصیف می کند که از مبدا می گذرد. در واقع، جفت اعداد (0، 0) با برابری A x + B y = 0 مطابقت دارد، زیرا A · 0 + B · 0 = 0.

اجازه دهید تمام انواع معادلات کلی ناقص یک خط مستقیم را به صورت گرافیکی نشان دهیم.

مثال 1

مشخص است که خط مستقیم داده شده موازی با محور مختصات است و از نقطه 2 7، - 11 عبور می کند. لازم است معادله کلی خط داده شده را یادداشت کنید.

راه حل

یک خط مستقیم موازی با محور ارتین با معادله ای به شکل A x + C = 0 به دست می آید که در آن A ≠ 0 است. شرط همچنین مختصات نقطه ای را که خط از آن می گذرد مشخص می کند و مختصات این نقطه با شرایط معادله کلی ناقص A x + C = 0 مطابقت دارد. برابری درست است:

A 2 7 + C = 0

از آن می توان C را تعیین کرد اگر مقداری غیر صفر به A بدهیم، به عنوان مثال، A = 7. در این حالت، ما به دست می آوریم: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. ما هر دو ضرایب A و C را می دانیم، آنها را در معادله A x + C = 0 جایگزین می کنیم و معادله خط مستقیم مورد نیاز را بدست می آوریم: 7 x - 2 = 0

پاسخ: 7 x - 2 = 0

مثال 2

نقاشی یک خط مستقیم را نشان می دهد، باید معادله آن را یادداشت کنید.

راه حل

نقشه داده شده به ما اجازه می دهد تا به راحتی داده های اولیه را برای حل مشکل بگیریم. در نقاشی می بینیم که خط مستقیم داده شده موازی با محور Ox است و از نقطه (0، 3) می گذرد.

خط مستقیم که با آبسیسا موازی است با معادله کلی ناقص B y + C = 0 تعیین می شود. بیایید مقادیر B و C را پیدا کنیم. مختصات نقطه (0، 3)، از آنجایی که خط داده شده از آن عبور می کند، معادله خط B y + C = 0 را برآورده می کند، پس تساوی معتبر است: B · 3 + C = 0. بیایید B را مقداری غیر از صفر قرار دهیم. فرض کنید B = 1، در این صورت از تساوی B · 3 + C = 0 می توانیم C: C = - 3 را پیدا کنیم. ما استفاده می کنیم ارزش های شناخته شده B و C معادله مورد نیاز خط مستقیم را بدست می آوریم: y - 3 = 0.

پاسخ: y - 3 = 0.

معادله کلی خطی که از نقطه معینی در صفحه می گذرد

بگذارید خط داده شده از نقطه M 0 (x 0 , y 0) عبور کند، سپس مختصات آن با معادله کلی خط مطابقت دارد. برابری درست است: A x 0 + B y 0 + C = 0. اجازه دهید سمت چپ و راست این معادله را از سمت چپ و راست کلی کم کنیم معادله کاملسر راست. به دست می آوریم: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0، این معادله معادل معادله اصلی اصلی است، از نقطه M 0 (x 0, y 0) می گذرد و دارای یک نرمال است. بردار n → = (A, B) .

نتیجه ای که به دست آوردیم امکان نوشتن معادله کلی خط مستقیم را با آن امکان پذیر می کند مختصات شناخته شدهبردار معمولی یک خط و مختصات یک نقطه معین از این خط.

مثال 3

با توجه به نقطه M 0 (- 3, 4) که یک خط از آن می گذرد و بردار عادی این خط n → = (1، - 2) . لازم است معادله خط داده شده را یادداشت کنید.

راه حل

شرایط اولیه به ما امکان می دهد داده های لازم را برای کامپایل معادله بدست آوریم: A = 1، B = - 2، x 0 = - 3، y 0 = 4. سپس:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

مشکل را می شد به گونه ای دیگر حل کرد. معادله کلی یک خط مستقیم A x + B y + C = 0 است. بردار نرمال داده شده به ما اجازه می دهد تا مقادیر ضرایب A و B را بدست آوریم، سپس:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

حال بیایید مقدار C را با استفاده از نقطه M 0 (- 3, 4) مشخص شده توسط شرط مسئله، که خط مستقیم از آن عبور می کند، پیدا کنیم. مختصات این نقطه با معادله x - 2 · y + C = 0 مطابقت دارد، یعنی. - 3 - 2 4 + C = 0. بنابراین C = 11. معادله خط مستقیم مورد نیاز به شکل: x - 2 · y + 11 = 0 است.

پاسخ: x - 2 y + 11 = 0 .

مثال 4

با توجه به یک خط 2 3 x - y - 1 2 = 0 و یک نقطه M 0 که روی این خط قرار دارد. فقط آبسیسا این نقطه مشخص است و برابر با - 3 است. تعیین ترتیب یک نقطه معین ضروری است.

راه حل

اجازه دهید مختصات نقطه M 0 را x 0 و y 0 تعیین کنیم. داده های منبع نشان می دهد که x 0 = - 3. از آنجایی که نقطه متعلق به یک خط معین است، پس مختصات آن با معادله کلی این خط مطابقت دارد. سپس برابری صادق خواهد بود:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0 را تعریف کنید: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

پاسخ: - 5 2

انتقال از معادله کلی یک خط به انواع دیگر معادلات یک خط و بالعکس

همانطور که می دانیم چندین نوع معادله برای یک خط مستقیم در یک صفحه وجود دارد. انتخاب نوع معادله به شرایط مسئله بستگی دارد. می توان یکی را انتخاب کرد که برای حل آن راحت تر است. مهارت تبدیل یک معادله از یک نوع به یک معادله از نوع دیگر در اینجا بسیار مفید است.

ابتدا اجازه دهید انتقال از معادله کلی شکل A x + B y + C = 0 به معادله متعارف x - x 1 a x = y - y 1 a y را در نظر بگیریم.

اگر A ≠ 0 باشد، عبارت B y را به آن منتقل می کنیم سمت راستمعادله کلی در سمت چپ A را از پرانتز خارج می کنیم. در نتیجه به دست می آوریم: A x + C A = - B y.

این برابری را می توان به صورت یک نسبت نوشت: x + C A - B = y A.

اگر B ≠ 0 باشد، فقط عبارت A x را در سمت چپ معادله کلی می گذاریم، بقیه را به سمت راست منتقل می کنیم، به دست می آید: A x = - B y - C. – B را از پرانتز خارج می کنیم، سپس: A x = - B y + C B .

بیایید تساوی را به شکل یک نسبت بازنویسی کنیم: x - B = y + C B A.

البته نیازی به حفظ فرمول های به دست آمده نیست. کافی است هنگام حرکت از یک معادله عمومی به یک معادله متعارف، الگوریتم اقدامات را بدانید.

مثال 5

معادله کلی خط 3 y - 4 = 0 داده شده است. تبدیل آن به یک معادله متعارف ضروری است.

راه حل

بیایید آن را بنویسیم معادله اصلیمانند 3 سال - 4 = 0. بعد، طبق الگوریتم پیش می رویم: عبارت 0 x در سمت چپ باقی می ماند. و در سمت راست قرار می دهیم - 3 عدد از براکت ها؛ دریافت می کنیم: 0 x = - 3 y - 4 3 .

بیایید تساوی حاصل را به صورت نسبت بنویسیم: x - 3 = y - 4 3 0 . بنابراین، ما معادله ای از فرم متعارف را به دست آورده ایم.

پاسخ: x - 3 = y - 4 3 0.

برای تبدیل معادله کلی یک خط به پارامتری، ابتدا یک انتقال به شکل متعارف و سپس انتقال از معادله متعارف یک خط به معادلات پارامتری انجام می شود.

مثال 6

خط مستقیم با معادله 2 x - 5 y - 1 = 0 به دست می آید. معادلات پارامتری این خط را بنویسید.

راه حل

اجازه دهید از معادله عمومی به معادله متعارف گذر کنیم:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

اکنون هر دو طرف معادله متعارف حاصل را برابر λ می گیریم، سپس:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

پاسخ:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

معادله کلی را می توان به معادله یک خط مستقیم با شیب y = k · x + b تبدیل کرد، اما فقط زمانی که B ≠ 0 باشد. برای انتقال، عبارت B y را در سمت چپ می گذاریم، بقیه به سمت راست منتقل می شوند. دریافت می کنیم: B y = - A x - C . بیایید هر دو طرف تساوی حاصل را بر B، متفاوت از صفر تقسیم کنیم: y = - A B x - C B.

مثال 7

معادله کلی خط داده شده است: 2 x + 7 y = 0. شما باید آن معادله را به یک معادله شیب تبدیل کنید.

راه حل

بیایید طبق الگوریتم اقدامات لازم را انجام دهیم:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

پاسخ: y = - 2 7 x .

از معادله کلی یک خط، کافی است به سادگی یک معادله در بخش هایی به شکل x a + y b = 1 به دست آوریم. برای انجام چنین انتقالی، عدد C را به سمت راست تساوی منتقل می کنیم، دو طرف برابری حاصل را بر - C تقسیم می کنیم و در نهایت ضرایب متغیرهای x و y را به مخرج ها منتقل می کنیم:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

مثال 8

لازم است معادله کلی خط x - 7 y + 1 2 = 0 را به معادله خط در بخش تبدیل کنیم.

راه حل

بیایید 1 2 را به سمت راست حرکت دهیم: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

بیایید هر دو طرف تساوی را بر 1/2- تقسیم کنیم: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

پاسخ: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

به طور کلی، انتقال معکوس نیز آسان است: از انواع دیگر معادلات به معادلات عمومی.

معادله یک خط در پاره ها و یک معادله با ضریب زاویه ای را می توان به سادگی با جمع آوری تمام عبارت های سمت چپ تساوی به یک ضریب کلی تبدیل کرد:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

معادله متعارف طبق طرح زیر به یک معادله عمومی تبدیل می شود:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

برای حرکت از پارامتری ابتدا به حالت متعارف و سپس به حالت کلی بروید:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

مثال 9

معادلات پارامتری خط x = - 1 + 2 · λ y = 4 داده شده است. باید معادله کلی این خط را یادداشت کرد.

راه حل

اجازه دهید انتقال از معادلات پارامتریکبه متعارف:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

بیایید از حالت متعارف به کلی حرکت کنیم:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

پاسخ: y - 4 = 0

مثال 10

معادله یک خط مستقیم در بخش های x 3 + y 1 2 = 1 داده شده است. لازم است انتقال به ظاهر عمومیمعادلات

راه حل:

ما به سادگی معادله را به شکل مورد نیاز بازنویسی می کنیم:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

پاسخ: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

ترسیم معادله کلی یک خط

در بالا گفتیم که معادله کلی را می توان با مختصات شناخته شده بردار نرمال و مختصات نقطه ای که خط از آن عبور می کند، نوشت. چنین خط مستقیمی با معادله A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 تعریف می شود. در آنجا مثال مربوطه را نیز تحلیل کردیم.

حال بیایید به مثال های پیچیده تری نگاه کنیم که در آن ابتدا باید مختصات بردار معمولی را تعیین کنیم.

مثال 11

یک خط موازی با خط 2 x - 3 y + 3 3 = 0 داده می شود. نقطه M 0 (4، 1) که خط داده شده از آن عبور می کند نیز مشخص است. لازم است معادله خط داده شده را یادداشت کنید.

راه حل

شرایط اولیه به ما می گوید که خطوط موازی هستند، سپس، به عنوان بردار معمولی خط، که معادله آن باید نوشته شود، بردار جهت خط n را می گیریم → = (2, - 3): 2 x - 3 سال + 3 3 = 0. اکنون همه داده های لازم برای ایجاد معادله کلی خط را می دانیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

پاسخ: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

مثال 12

خط داده شده از مبدا عمود بر خط x - 2 3 = y + 4 5 عبور می کند. ایجاد یک معادله کلی برای یک خط معین ضروری است.

راه حل

بردار معمولی یک خط معین، بردار جهت خط x - 2 3 = y + 4 5 خواهد بود.

سپس n → = (3، 5) . خط مستقیم از مبدا می گذرد، یعنی. از نقطه O (0، 0). بیایید یک معادله کلی برای یک خط داده شده ایجاد کنیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

پاسخ: 3 x + 5 y = 0 .

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

معادله یک خط مستقیم در یک صفحه.
بردار جهت مستقیم است. بردار معمولی

خط مستقیم در هواپیما یکی از ساده ترین هاست شکل های هندسی، از آن زمان برای شما آشناست کلاس های خردسال، و امروز یاد می گیریم که چگونه با استفاده از روش های هندسه تحلیلی با آن مقابله کنیم. برای تسلط بر مواد، باید بتوانید یک خط مستقیم بسازید. بدانید چه معادله ای یک خط مستقیم را تعریف می کند، به ویژه خط مستقیمی که از مبدا مختصات و خطوط مستقیم موازی با محورهای مختصات می گذرد. این اطلاعاترا می توان در دفترچه راهنما یافت نمودارها و خواص توابع ابتدایی، من آن را برای matan ایجاد کردم، اما بخش مربوط به تابع خطیبسیار موفق و دقیق معلوم شد. بنابراین قوری های عزیز ابتدا آنجا را گرم کنید. علاوه بر این، شما باید دانش اولیه در مورد بردارها، در غیر این صورت درک مطالب ناقص خواهد بود.

در این درس به روش هایی می پردازیم که از طریق آنها می توانید معادله یک خط مستقیم را در یک صفحه ایجاد کنید. توصیه می کنم از مثال های عملی غافل نشوید (حتی اگر بسیار ساده به نظر برسد)، زیرا من حقایق ابتدایی و مهم، تکنیک های فنی که در آینده مورد نیاز خواهند بود، از جمله در سایر بخش های ریاضیات عالی در اختیار آنها قرار خواهم داد.

• چگونه معادله خط مستقیم را با ضریب زاویه بنویسیم؟
• چگونه؟
• چگونه با استفاده از معادله کلی یک خط مستقیم بردار جهت را پیدا کنیم؟
• چگونه معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار معمولی بنویسیم؟

و شروع می کنیم:

معادله یک خط مستقیم با شیب

شکل معروف "مدرسه" معادله خط مستقیم نامیده می شود معادله یک خط مستقیم با شیب. به عنوان مثال، اگر یک خط مستقیم با معادله داده شود، شیب آن عبارت است از: . بیایید معنای هندسی این ضریب را در نظر بگیریم و چگونه مقدار آن بر محل خط تأثیر می گذارد:

در یک درس هندسه ثابت شده است که شیب خط مستقیم برابر است با مماس زاویهبین جهت محور مثبتو این خط:، و زاویه در خلاف جهت عقربه های ساعت "باز می شود".

برای اینکه نقاشی را به هم نریزم، فقط برای دو خط مستقیم زاویه کشیدم. بیایید خط "قرمز" و شیب آن را در نظر بگیریم. با توجه به موارد فوق: (زاویه آلفا با یک قوس سبز نشان داده می شود). برای خط مستقیم "آبی" با ضریب زاویه، برابری درست است (زاویه "بتا" با یک قوس قهوه ای نشان داده می شود). و اگر مماس زاویه مشخص باشد، در صورت لزوم یافتن آن آسان است و خود گوشهبا استفاده از تابع معکوس - متقاطع. همانطور که می گویند، یک جدول مثلثاتی یا یک ریز حساب در دستان شماست. بدین ترتیب، ضریب زاویه ای درجه شیب خط مستقیم به محور آبسیسا را ​​مشخص می کند..

در این صورت امکان پذیر است موارد زیر:

1) اگر شیب منفی است: پس خط، به طور کلی، از بالا به پایین می رود. به عنوان مثال خطوط مستقیم "آبی" و "تمشک" در نقاشی هستند.

2) اگر شیب مثبت باشد: آنگاه خط از پایین به بالا می رود. مثال - خطوط مستقیم "سیاه" و "قرمز" در نقاشی.

3) اگر شیب صفر باشد: معادله شکل می گیرد و خط مستقیم مربوطه موازی با محور است. یک مثال خط مستقیم "زرد" است.

4) برای یک خانواده از خطوط موازی با یک محور (هیچ مثالی در نقاشی وجود ندارد، به جز خود محور)، ضریب زاویه ای وجود ندارد (مماس 90 درجه تعریف نشده است).

هر چه ضریب شیب در مقدار مطلق بیشتر باشد، نمودار خط مستقیم تندتر می شود..

برای مثال دو خط مستقیم را در نظر بگیرید. بنابراین، در اینجا خط مستقیم شیب تندتری دارد. اجازه دهید یادآوری کنم که ماژول به شما امکان می دهد علامت را نادیده بگیرید، ما فقط به آن علاقه داریم ارزش های مطلقضرایب زاویه ای

به نوبه خود، یک خط مستقیم تندتر از خطوط مستقیم است .

برعکس: هر چه ضریب شیب در مقدار مطلق کمتر باشد، خط مستقیم صاف تر است.

برای خطوط مستقیم نابرابری درست است، بنابراین خط مستقیم صاف تر است. سرسره بچه گانه، برای اینکه به خود ضربه و کبودی وارد نکنید.

چرا این لازم است؟

عذاب خود را طولانی کنید دانستن حقایق فوق به شما امکان می دهد فوراً اشتباهات خود را مشاهده کنید ، به ویژه خطاهای هنگام ساخت نمودار - اگر مشخص شود که نقاشی "بدیهی است چیزی اشتباه است". توصیه می شود که شما فورامشخص بود که مثلاً خط مستقیم بسیار شیب دار است و از پایین به بالا می رود و خط مستقیم بسیار صاف است و نزدیک به محور فشرده می شود و از بالا به پایین می رود.

در مسائل هندسی، اغلب چندین خط مستقیم ظاهر می شود، بنابراین تعیین آنها به نحوی راحت است.

تعیین ها: خطوط مستقیم کوچک تعیین می شوند با حروف لاتین: . یک گزینه محبوب این است که آنها را با استفاده از همان حرف با زیرنویس های طبیعی تعیین کنید. به عنوان مثال، پنج خطی که ما به آنها نگاه کردیم را می توان با آنها نشان داد .

از آنجایی که هر خط مستقیم با دو نقطه مشخص می شود، می توان آن را با این نقاط نشان داد: و غیره. نام گذاری به وضوح نشان می دهد که نقاط به خط تعلق دارند.

وقت آن است که کمی خود را گرم کنیم:

چگونه معادله خط مستقیم را با ضریب زاویه بنویسیم؟

اگر نقطه ای متعلق به یک خط مشخص و ضریب زاویه ای آن مشخص باشد، معادله این خط با فرمول بیان می شود:

مثال 1

معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای بنویسید اگر معلوم شود که نقطه متعلق به این خط مستقیم است.

راه حل: بیایید با استفاده از فرمول معادله خط مستقیم را بسازیم . که در در این مورد:

پاسخ:

معاینهبه سادگی انجام می شود. ابتدا به معادله به دست آمده نگاه می کنیم و مطمئن می شویم که شیب ما در جای خود قرار دارد. ثانیاً مختصات نقطه باید این معادله را برآورده کند. بیایید آنها را به معادله متصل کنیم:

برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که نقطه معادله حاصل را برآورده می کند.

نتیجه: معادله به درستی پیدا شد.

یک مثال پیچیده تر برای تصمیم مستقل:

مثال 2

اگر معلوم شود که زاویه تمایل آن نسبت به جهت مثبت محور برابر است و نقطه متعلق به این خط مستقیم است، معادله ای بنویسید.

اگر مشکلی دارید، مطالب تئوری را دوباره بخوانید. دقیق تر، عملی تر، از شواهد زیادی صرف نظر می کنم.

زنگ خورد تماس اخر، جشن فارغ التحصیلی خاموش شد و بیرون از دروازه مدرسه بومی ما، خود هندسه تحلیلی در انتظار ماست. شوخی ها تموم شد... یا شاید آنها تازه شروع کرده اند =)

با نوستالژی قلممان را به سوی آشنا تکان می دهیم و با معادله کلی یک خط مستقیم آشنا می شویم. زیرا در هندسه تحلیلی دقیقاً از این استفاده می شود:

معادله کلی یک خط مستقیم شکل دارد: ، تعدادی اعداد کجا هستند. در عین حال، ضرایب همزمانبرابر صفر نیستند، زیرا معادله معنای خود را از دست می دهد.

بیایید کت و شلوار بپوشیم و معادله را با ضریب شیب گره بزنیم. اول، بیایید همه شرایط را به سمت چپ:

عبارت با "X" باید در وهله اول قرار گیرد:

در اصل، معادله قبلاً شکل دارد، اما طبق قوانین آداب ریاضی، ضریب جمله اول (در این مورد) باید مثبت باشد. تغییر علائم:

این ویژگی فنی را به خاطر بسپارید!ضریب اول را (بیشتر اوقات) مثبت می کنیم!

در هندسه تحلیلی، تقریباً همیشه معادله یک خط مستقیم آورده می شود فرم کلی. خوب، در صورت لزوم، می توان آن را به راحتی با یک ضریب زاویه ای به شکل "مدرسه" کاهش داد (به استثنای خطوط مستقیم موازی با محور مختصات).

بیایید از خود بپرسیم که چیست کافیآیا می دانید یک خط مستقیم بسازید؟ دو نقطه اما بیشتر در مورد این حادثه دوران کودکی، در حال حاضر چوب با فلش قانون. هر خط مستقیم دارای شیب بسیار خاصی است که به راحتی می توان با آن "انطباق داد". بردار.

بردار موازی یک خط را بردار جهت آن خط می گویند. بدیهی است که هر خط مستقیم دارای تعداد نامتناهی بردار جهت است و همه آنها خطی خواهند بود (هم جهت یا نه - مهم نیست).

بردار جهت را به صورت زیر نشان می دهم: .

اما یک بردار برای ساخت یک خط مستقیم کافی نیست؛ بردار آزاد است و به هیچ نقطه ای از صفحه گره نمی خورد. بنابراین، علاوه بر این لازم است که نقطه ای را که متعلق به خط است، بدانیم.

چگونه با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت معادله یک خط مستقیم بنویسیم؟

اگر نقطه مشخصی متعلق به یک خط و بردار جهت این خط مشخص باشد، می توان معادله این خط را با استفاده از فرمول جمع آوری کرد:

گاهی نامیده می شود معادله متعارف خط .

چه زمانی باید انجام داد یکی از مختصاتبرابر با صفر است، در مثال های عملی زیر متوجه خواهیم شد. به هر حال، لطفا توجه داشته باشید - هر دو به یکبارهمختصات نمی توانند برابر با صفر باشند، زیرا بردار صفر جهت خاصی را مشخص نمی کند.

مثال 3

با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت برای یک خط مستقیم معادله بنویسید

راه حل: بیایید با استفاده از فرمول معادله یک خط مستقیم را بسازیم. در این مورد:

با استفاده از خواص نسبت از شر کسرها خلاص می شویم:

و معادله را به شکل کلی می آوریم:

پاسخ:

به عنوان یک قاعده، نیازی به کشیدن نقاشی در چنین نمونه هایی نیست، اما برای درک:

در نقاشی نقطه شروع، بردار جهت اصلی (از هر نقطه ای از صفحه قابل ترسیم است) و خط مستقیم ساخته شده را می بینیم. به هر حال، در بسیاری از موارد ساختن یک خط مستقیم با استفاده از یک معادله با ضریب زاویه ای راحت تر است. تبدیل معادله به شکل و انتخاب یک نقطه دیگر برای ساختن یک خط مستقیم آسان است.

همانطور که در ابتدای پاراگراف ذکر شد، یک خط مستقیم دارای بردارهای جهت بی نهایت زیادی است و همه آنها به صورت خطی هستند. به عنوان مثال، من سه بردار از این قبیل ترسیم کردم: . هر بردار جهتی را که انتخاب کنیم، نتیجه همیشه همان معادله خط مستقیم خواهد بود.

بیایید با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت معادله یک خط مستقیم ایجاد کنیم:

حل تناسب:

دو ضلع را بر -2 تقسیم کنید و معادله آشنا را بدست آورید:

علاقه مندان می توانند وکتورها را به همین ترتیب تست کنند یا هر بردار خطی دیگری.

حالا بیایید مشکل معکوس را حل کنیم:

چگونه با استفاده از معادله کلی یک خط مستقیم بردار جهت را پیدا کنیم؟

بسیار ساده:

اگر یک خط با یک معادله کلی در یک سیستم مختصات مستطیل شکل داده شود، آن بردار بردار جهت این خط است.

نمونه هایی از یافتن بردارهای جهت خطوط مستقیم:

این دستور به ما امکان می دهد از بین یک عدد نامتناهی فقط یک بردار جهت پیدا کنیم، اما به بیشتر نیاز نداریم. اگرچه در برخی موارد توصیه می شود مختصات بردارهای جهت را کاهش دهید:

بنابراین، معادله یک خط مستقیم را مشخص می کند که موازی با محور است و مختصات بردار جهت حاصل به راحتی بر 2- تقسیم می شود و دقیقاً بردار پایه را به عنوان بردار جهت به دست می آورد. منطقی

به همین ترتیب، معادله یک خط مستقیم موازی با محور را مشخص می کند و با تقسیم مختصات بردار بر 5، بردار واحد را به عنوان بردار جهت به دست می آوریم.

حالا بیایید آن را انجام دهیم بررسی مثال 3. مثال بالا رفت، بنابراین به شما یادآوری می کنم که در آن معادله یک خط مستقیم را با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت جمع آوری کردیم.

اولا، با استفاده از معادله خط مستقیم بردار جهت آن را بازسازی می کنیم: - همه چیز خوب است، ما بردار اصلی را دریافت کرده ایم (در برخی موارد نتیجه ممکن است یک بردار خطی با بردار اصلی باشد، و معمولاً با تناسب مختصات مربوطه به راحتی می توان متوجه آن شد).

دوما، مختصات نقطه باید معادله را برآورده کند. ما آنها را در معادله جایگزین می کنیم:

برابری صحیح به دست آمد که بسیار خوشحالیم.

نتیجه: کار به درستی انجام شد.

مثال 4

با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت برای یک خط مستقیم معادله بنویسید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. راه حل و پاسخ در پایان درس است. بسیار توصیه می شود که با استفاده از الگوریتمی که قبلاً بحث شد بررسی کنید. سعی کنید همیشه (در صورت امکان) پیش نویس را بررسی کنید. احمقانه است که اشتباهاتی را مرتکب شویم که 100% بتوان از آنها اجتناب کرد.

در صورتی که یکی از مختصات بردار جهت صفر باشد، خیلی ساده عمل کنید:

مثال 5

راه حل: فرمول مناسب نیست زیرا مخرج سمت راست صفر است. یک خروجی وجود دارد! با استفاده از خواص نسبت، فرمول را به شکل بازنویسی می کنیم و بقیه در امتداد یک شیار عمیق می چرخند:

پاسخ:

معاینه:

1) بردار هدایت خط را بازیابی کنید:
- بردار حاصل با بردار جهت اصلی هم خط است.

2) مختصات نقطه را در معادله جایگزین کنید:

برابری صحیح به دست می آید

نتیجه: کار به درستی انجام شد

این سوال پیش می‌آید، اگر نسخه جهانی وجود دارد که در هر صورت کار می‌کند، چرا باید با فرمول خود زحمت بکشید؟ دو دلیل وجود دارد. ابتدا فرمول به صورت کسری است خیلی بهتر به خاطر بسپارید. و دوم، نقطه ضعف فرمول جهانیآن است خطر گیج شدن به طور قابل توجهی افزایش می یابدهنگام تعویض مختصات

مثال 6

با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت برای یک خط مستقیم معادله بنویسید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید.

بیایید به دو نکته ای که در همه جا وجود دارد بازگردیم:

چگونه با استفاده از دو نقطه معادله خط مستقیم بنویسیم؟

اگر دو نقطه شناخته شده باشد، معادله یک خط مستقیم که از این نقاط می گذرد را می توان با استفاده از فرمول جمع آوری کرد:

در واقع، این یک نوع فرمول است و دلیل آن این است: اگر دو نقطه مشخص باشد، بردار بردار جهت خط داده شده خواهد بود. در درس وکتور برای آدمکدر نظر گرفتیم ساده ترین کار- نحوه پیدا کردن مختصات یک بردار از دو نقطه با توجه به این مسئله، مختصات بردار جهت عبارتند از:

توجه داشته باشید : نقاط را می توان "مبادله" کرد و می توان از فرمول استفاده کرد . چنین راه حلی معادل خواهد بود.

مثال 7

معادله یک خط مستقیم را با استفاده از دو نقطه بنویسید .

راه حل: از فرمول استفاده می کنیم:

ترکیب مخرج ها:

و عرشه را به هم بزنید:

اکنون زمان خلاص شدن از شر آن است اعداد کسری. در این مورد، شما باید هر دو طرف را در 6 ضرب کنید:

پرانتزها را باز کنید و معادله را به ذهن بسپارید:

پاسخ:

معاینهواضح - مختصات نقاط شروعباید معادله حاصل را برآورده کند:

1) مختصات نقطه را جایگزین کنید:

برابری واقعی

2) مختصات نقطه را جایگزین کنید:

برابری واقعی

نتیجه: معادله خط به درستی نوشته شده است.

اگر حداقل یکیاز بین نقاط معادله را برآورده نمی کند، به دنبال خطا باشید.

شایان ذکر است که تأیید گرافیکی در این مورد دشوار است، زیرا یک خط مستقیم بسازید و ببینید آیا نقاط به آن تعلق دارند یا خیر. ، نه چندان ساده

من چند جنبه فنی دیگر راه حل را یادداشت می کنم. شاید در این مشکل استفاده از فرمول آینه سود بیشتری داشته باشد و در همان نقاط معادله بسازید:

کسری کمتر. اگر بخواهید، می توانید راه حل را تا انتها انجام دهید، نتیجه باید همان معادله باشد.

نکته دوم این است که به پاسخ نهایی نگاه کنیم و بفهمیم که آیا می توان آن را بیشتر ساده کرد؟ به عنوان مثال، اگر معادله را بدست آورید، توصیه می شود آن را دو برابر کاهش دهید: - معادله همان خط مستقیم را تعریف می کند. با این حال، این موضوع قبلاً یک موضوع گفتگو است موقعیت نسبی خطوط.

پس از دریافت پاسخ در مثال 7، برای هر موردی، بررسی کردم که آیا همه ضرایب معادله بر 2، 3 یا 7 بخش پذیر هستند یا خیر. اگرچه، اغلب چنین کاهش هایی در حین حل انجام می شود.

مثال 8

برای خطی که از نقاط می گذرد معادله بنویسید .

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است که به شما امکان می دهد تکنیک های محاسبه را بهتر درک کرده و تمرین کنید.

مشابه پاراگراف قبل: اگر در فرمول یکی از مخرج ها (مختصات بردار جهت) صفر می شود، سپس آن را به شکل بازنویسی می کنیم. باز هم توجه کنید که چقدر بی دست و پا و گیج به نظر می رسد. من خیلی فایده ای در آوردن نمی بینم نمونه های عملی، زیرا ما قبلاً چنین مشکلی را حل کرده ایم (نگاه کنید به شماره 5 و 6).

بردار عادی مستقیم (بردار عادی)

چه چیزی طبیعی است؟ به زبان ساده، نرمال عمود است. یعنی بردار عادی یک خط بر یک خط معین عمود است. بدیهی است که هر خط مستقیمی دارای تعداد نامتناهی از آنها (و همچنین بردارهای جهت) است و همه بردارهای عادی خط مستقیم هم خط خواهند بود (هم جهت یا نه، فرقی نمی کند).

برخورد با آنها حتی ساده تر از بردارهای راهنما خواهد بود:

اگر یک خط با یک معادله کلی در یک سیستم مختصات مستطیل شکل داده شود، آن بردار بردار عادی این خط است.

اگر مختصات بردار جهت باید با دقت از معادله خارج شوند، آنگاه مختصات بردار معمولی را می توان به سادگی "حذف کرد".

بردار معمولی همیشه متعامد بردار جهت خط است. اجازه دهید با استفاده از متعامد بودن این بردارها را بررسی کنیم محصول نقطه ای:

من مثال هایی با همان معادلات برای بردار جهت خواهم آورد:

آیا می توان معادله ای از یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار معمولی ساخت؟ من آن را در دل خود احساس می کنم، ممکن است. اگر بردار نرمال شناخته شده باشد، جهت خود خط مستقیم به وضوح مشخص است - این یک "ساختار سفت و سخت" با زاویه 90 درجه است.

چگونه معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار معمولی بنویسیم؟

اگر نقطه مشخصی متعلق به یک خط و بردار نرمال این خط مشخص باشد، معادله این خط با فرمول بیان می شود:

در اینجا همه چیز بدون کسری و سایر شگفتی ها انجام شد. این بردار معمولی ماست. عاشقش باش و احترام =)

مثال 9

معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار معمولی بنویسید. بردار جهت خط را پیدا کنید.

راه حل: از فرمول استفاده می کنیم:

معادله کلی خط مستقیم به دست آمده است، بیایید بررسی کنیم:

1) "حذف" مختصات بردار نرمال از معادله: - بله، در واقع، بردار اصلی از شرط به دست آمده است (یا باید یک بردار خطی به دست آید).

2) بیایید بررسی کنیم که آیا نقطه معادله را برآورده می کند:

برابری واقعی

پس از اینکه متقاعد شدیم که معادله به درستی ساخته شده است، بخش دوم و آسان‌تر کار را تکمیل می‌کنیم. بردار هدایت خط مستقیم را بیرون می آوریم:

پاسخ:

در نقاشی وضعیت به این صورت است:

برای اهداف آموزشی، یک کار مشابه برای حل مستقل:

مثال 10

معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار معمولی بنویسید. بردار جهت خط را پیدا کنید.

بخش پایانی درس به انواع کمتر رایج، اما مهم معادلات یک خط در یک صفحه اختصاص خواهد یافت.

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.
معادله یک خط به شکل پارامتریک

معادله یک خط مستقیم در پاره ها به شکل است که در آن ثابت های غیر صفر هستند. برخی از انواع معادلات را نمی توان به این شکل نشان داد، به عنوان مثال، تناسب مستقیم (زیرا جمله آزاد برابر با صفر است و راهی برای بدست آوردن یک در سمت راست وجود ندارد).

این، به بیان مجازی، یک نوع معادله "فنی" است. یک کار رایج این است که معادله کلی یک خط را به عنوان معادله یک خط در پاره ها نشان دهیم. چگونه راحت است؟ معادله یک خط در پاره ها به شما امکان می دهد به سرعت نقاط تقاطع یک خط را با محورهای مختصات پیدا کنید، که می تواند در برخی از مسائل ریاضیات عالی بسیار مهم باشد.

بیایید نقطه تلاقی خط با محور را پیدا کنیم. "y" را صفر می کنیم و معادله به شکل . امتیاز مورد نظر به صورت خودکار به دست می آید: .

همینطور با محور - نقطه ای که در آن خط مستقیم محور ارتجاعی را قطع می کند.

تعریف.هر خط مستقیم روی هواپیما را می توان با یک معادله مرتبه اول مشخص کرد

تبر + وو + سی = 0،

علاوه بر این، ثابت های A و B در یک زمان برابر با صفر نیستند. این معادله مرتبه اول نامیده می شود معادله کلی یک خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت A، Bو C موارد خاص زیر ممکن است:

C = 0، A ≠0، B ≠ 0 - خط مستقیم از مبدأ عبور می کند

A = 0، B ≠0، C ≠0 (By + C = 0) - خط مستقیم موازی با محور Ox

B = 0، A ≠0، C ≠ 0 (Ax + C = 0) - خط مستقیم موازی با محور Oy

B = C = 0، A ≠0 - خط مستقیم با محور Oy منطبق است

A = C = 0، B ≠0 - خط مستقیم با محور Ox منطبق است

معادله یک خط مستقیم را می توان در آن نشان داد در اشکال مختلفبسته به شرایط اولیه

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و بردار نرمال

تعریف.در سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با اجزای (A, B) عمود بر خط مستقیمی است که با معادله Ax + By + C = 0 به دست می‌آید.

مثال. معادله خطی که از نقطه A(1, 2) عمود بر (3, -1) می گذرد را بیابید.

راه حل. با A = 3 و B = -1، معادله خط مستقیم را بسازیم: 3x – y + C = 0. برای یافتن ضریب C، مختصات نقطه داده شده A را در عبارت حاصل جایگزین می کنیم. 3 – 2 + C = 0، بنابراین، C = -1. مجموع: معادله مورد نیاز: 3x – y – 1 = 0.

معادله خطی که از دو نقطه می گذرد

اجازه دهید دو نقطه M 1 (x 1، y 1، z 1) و M 2 (x 2، y 2، z 2) در فضا داده شود، سپس معادله خطی که از این نقاط می گذرد، می شود:

اگر هر یک از مخرج ها برابر با صفر باشد، صورت مربوطه باید برابر با صفر باشد. در صفحه، معادله خط نوشته شده در بالا ساده شده است:

اگر x 1 ≠ x 2 و x = x 1، اگر x 1 = x 2.

کسر = k نامیده می شود شیبسر راست.

مثال. معادله خطی که از نقاط A(1,2) و B(3,4) می گذرد را بیابید.

راه حل.با استفاده از فرمول نوشته شده در بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و شیب

اگر مجموع Ax + Bu + C = 0، به شکل زیر منتهی شوید:

و تعیین کنید ، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود معادله یک خط مستقیم با شیبک.

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار جهت

با قیاس با نقطه با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از یک بردار عادی، می توانید تعریف خط مستقیم را از طریق یک نقطه و بردار جهت دهنده خط مستقیم را وارد کنید.

تعریف.هر بردار غیر صفر (α 1، α 2)، که اجزای آن شرط A α 1 + B α 2 = 0 را برآورده می کند، بردار هدایت کننده خط نامیده می شود.

تبر + وو + سی = 0.

مثال. معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

راه حل.معادله خط مورد نظر را به شکل Ax + By + C = 0 جستجو می کنیم. مطابق با تعریف، ضرایب باید شرایط را برآورده کنند:

1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. الف = ب.

سپس معادله خط مستقیم به این شکل است: Ax + Ay + C = 0، یا x + y + C / A = 0. برای x = 1، y = 2 ما C/A = -3 را به دست می آوریم، یعنی. معادله مورد نیاز:

معادله یک خط در پاره ها

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ах + Ву + С = 0 С≠0، با تقسیم بر –С، به دست می آید: یا

معنی هندسیضرایب است که ضریب آمختصات نقطه تقاطع خط با محور Ox است و ب– مختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور Oy.

مثال.معادله کلی خط x – y + 1 = 0 داده شده است. معادله این خط را به صورت پاره پاره پیدا کنید.

C = 1، a = -1، b = 1.

معادله عادی یک خط

اگر هر دو طرف معادله Ax + By + C = 0 در عدد ضرب شوند که نامیده می شود عامل عادی سازی، سپس دریافت می کنیم

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

معادله عادی یک خط علامت ± فاکتور نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

مثال. با توجه به معادله کلی خط مستقیم 12x – 5y – 65 = 0. باید بنویسید انواع مختلفمعادلات این خط

معادله این خط در قطعات:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم موازی با محورها یا عبور از مبدا مختصات.

مثال. خط مستقیم بخش های مثبت مساوی را در محورهای مختصات قطع می کند. اگر مساحت مثلث تشکیل شده توسط این قطعات 8 سانتی متر مربع باشد، برای یک خط مستقیم معادله بنویسید.

راه حل.معادله خط مستقیم به شکل زیر است: , ab /2 = 8; ab=16; a=4، a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

مثال. برای خط مستقیمی که از نقطه A(-2, -3) و مبدا می گذرد معادله بنویسید.

راه حل. معادله خط مستقیم: ، که در آن x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

زاویه بین خطوط مستقیم در یک صفحه

تعریف.اگر دو خط y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2 داده شود، آنگاه زاویه تند بین این خطوط به صورت تعریف می شود.

.

اگر k 1 = k 2 دو خط موازی باشند. اگر k 1 = -1 / k 2 باشد، دو خط عمود هستند.

قضیه.خطوط Ax + Bу + C = 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 زمانی که ضرایب A 1 = λA، B 1 = λB متناسب باشند، موازی هستند. اگر همچنین C 1 = λC، آنگاه خطوط بر هم منطبق هستند. مختصات نقطه تقاطع دو خط به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط پیدا می شود.

معادله خطی که از نقطه ای عمود بر یک خط معین می گذرد

تعریف.خط مستقیمی که از نقطه M 1 (x 1, y 1) می گذرد و عمود بر خط مستقیم y = kx + b با معادله نشان داده می شود:

فاصله از نقطه به خط

قضیه.اگر یک نقطه M(x 0, y 0) داده شود، فاصله تا خط Ax + Bу + C = 0 به صورت تعیین می شود.

.

اثباتبگذارید نقطه M 1 (x 1, y 1) قاعده عمودی باشد که از نقطه M به یک خط مستقیم داده شده کاهش یافته است. سپس فاصله بین نقاط M و M 1:

(1)

مختصات x 1 و y 1 را می توان با حل سیستم معادلات پیدا کرد:

معادله دوم سیستم معادله خط مستقیم عبوری است این نقطه M 0 عمود بر یک خط مستقیم داده شده است. اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0،

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت شده است.

مثال. زاویه بین خطوط را تعیین کنید: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

مثال. نشان دهید که خطوط 3x – 5y + 7 = 0 و 10x + 6y – 3 = 0 عمود هستند.

راه حل. ما پیدا می کنیم: k 1 = 3/5، k 2 = -5/3، k 1 * k 2 = -1، بنابراین، خطوط عمود هستند.

مثال. رئوس مثلث A(0; 1)، B (6; 5)، C (12; -1) آورده شده است. معادله ارتفاع رسم شده از راس C را پیدا کنید.

راه حل. معادله ضلع AB را پیدا می کنیم: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

معادله ارتفاع مورد نیاز به این شکل است: Ax + By + C = 0 یا y = kx + b. k = . سپس y = . زیرا ارتفاع از نقطه C می گذرد، سپس مختصات آن این معادله را برآورده می کند: از آنجا b = 17. مجموع: .

پاسخ: 3 x + 2 y – 34 = 0.

معادلات متعارف یک خط در فضا، معادلاتی هستند که خطی را تعریف می کنند که از یک نقطه معین به صورت هم خط با بردار جهت می گذرد.

بگذارید یک نقطه و یک بردار جهت داده شود. یک نقطه دلخواه روی یک خط قرار دارد لفقط در صورتی که بردارها و هم خطی باشند، یعنی شرط برای آنها برآورده شود:

.

معادلات فوق هستند معادلات متعارفسر راست.

شماره متر , nو پپیش بینی های بردار جهت بر روی محورهای مختصات هستند. از آنجایی که بردار غیر صفر است، پس همه اعداد متر , nو پنمی تواند به طور همزمان برابر با صفر باشد. اما ممکن است یکی دو تا از آنها صفر شود. به عنوان مثال، در هندسه تحلیلی، ورودی زیر مجاز است:

,

به این معنی که پیش بینی های بردار روی محور اوهو اوزبرابر با صفر هستند. بنابراین، هم بردار و هم خطی که توسط معادلات متعارف تعریف شده اند، بر محورها عمود هستند. اوهو اوز، یعنی هواپیماها yOz .

مثال 1.معادلات خطی را در فضای عمود بر صفحه بنویسید و عبور از نقطه تلاقی این صفحه با محور اوز .

راه حل. بیایید نقطه تلاقی این صفحه با محور را پیدا کنیم اوز. از آنجایی که هر نقطه روی محور قرار دارد اوز، دارای مختصات است، پس با فرض در معادله داده شده از هواپیما x = y = 0، 4 می گیریم z- 8 = 0 یا z= 2. بنابراین نقطه تلاقی این صفحه با محور اوزدارای مختصات (0; 0; 2) است. از آنجایی که خط مورد نظر بر صفحه عمود است، با بردار عادی خود موازی است. بنابراین، بردار جهت دهنده خط مستقیم می تواند بردار عادی باشد هواپیما داده شده

حال بیایید معادلات مورد نیاز یک خط مستقیم را که از یک نقطه عبور می کند، یادداشت کنیم آ= (0; 0; 2) در جهت بردار:

معادلات خطی که از دو نقطه داده شده می گذرد

یک خط مستقیم را می توان با دو نقطه که روی آن قرار دارد تعریف کرد و در این حالت، بردار جهت دهنده خط مستقیم می تواند بردار باشد. سپس معادلات متعارف خط شکل می گیرند

.

معادلات فوق خطی را مشخص می کند که از دو نقطه داده شده عبور می کند.

مثال 2.معادله خطی در فضایی که از نقاط و .

راه حل. اجازه دهید معادلات مورد نیاز خط مستقیم را به شکل بالا در مرجع نظری بنویسیم:

.

از آنجا که، پس خط مستقیم مورد نظر عمود بر محور است اوه .

مستقیم به عنوان خط تقاطع هواپیماها

یک خط مستقیم در فضا را می توان به عنوان خط تقاطع دو صفحه غیر موازی و به عنوان مجموعه ای از نقاط که سیستمی از دو معادله خطی را برآورده می کند تعریف کرد.

معادلات سیستم نیز نامیده می شود معادلات کلیمستقیم در فضا

مثال 3.معادلات متعارف یک خط در فضا را بنویسید که با معادلات کلی داده می شود

راه حل. برای نوشتن معادلات متعارف یک خط یا همان معادلات خطی که از دو نقطه داده شده می گذرد، باید مختصات هر دو نقطه روی خط را پیدا کنید. برای مثال، آنها می توانند نقاط تلاقی یک خط مستقیم با هر دو صفحه مختصات باشند yOzو xOz .

نقطه تقاطع یک خط و یک صفحه yOzآبسیسا دارد ایکس= 0. بنابراین با فرض در این سیستم معادلات ایکس= 0، سیستمی با دو متغیر دریافت می کنیم:

تصمیم او y = 2 , z= 6 همراه با ایکس= 0 یک نقطه را تعریف می کند آ(0؛ 2؛ 6) خط مورد نظر. سپس با فرض در سیستم معادلات داده شده y= 0، سیستم را دریافت می کنیم

تصمیم او ایکس = -2 , z= 0 همراه با y= 0 یک نقطه را تعریف می کند ب(-2؛ 0؛ 0) تقاطع یک خط با یک صفحه xOz .

حال بیایید معادلات خطی که از نقاط عبور می کند را یادداشت کنیم آ(0؛ 2؛ 6) و ب (-2; 0; 0) :

,

یا پس از تقسیم مخرج بر -2:

,