سخنرانی در مورد جبر و هندسه. ترم 1.

سخنرانی 15. بیضی.

فصل 15. بیضی.

بند 1. تعاریف اساسی

تعریف. بیضی GMT ​​یک صفحه است، مجموع فواصل تا دو نقطه ثابت صفحه که کانون نامیده می شوند، یک مقدار ثابت است.

تعریف. فاصله یک نقطه دلخواه M صفحه تا کانون بیضی را شعاع کانونی نقطه M می نامند.

نام گذاری ها:
- کانون های بیضی،
- شعاع کانونی نقطه M.

توسط تعریف بیضی، نقطه M یک نقطه از بیضی اگر و فقط اگر است
- مقدار ثابت. این ثابت معمولاً 2a نشان داده می شود:

. (1)

توجه کنید که
.

طبق تعریف بیضی، کانون های آن نقاط ثابتی هستند، بنابراین فاصله بین آنها نیز یک مقدار ثابت برای یک بیضی معین است.

تعریف. فاصله کانونی های بیضی را فاصله کانونی می گویند.

تعیین:
.

از مثلث
به دنبال آن است
، یعنی

.

اجازه دهید عددی را با b نشان دهیم
، یعنی

. (2)

تعریف. نگرش

(3)

خروج از مرکز بیضی نامیده می شود.

اجازه دهید یک سیستم مختصات را در این صفحه معرفی کنیم که آن را برای بیضی متعارف می نامیم.

تعریف. محوری که کانون های بیضی روی آن قرار دارند، محور کانونی نامیده می شود.

بیایید یک PDSC متعارف برای بیضی بسازیم، شکل 2 را ببینید.

محور کانونی را به عنوان محور آبسیسا انتخاب می کنیم و محور ارتین را از وسط قطعه ترسیم می کنیم.
عمود بر محور کانونی

سپس کانون ها مختصاتی دارند
,
.

بند 2. معادله متعارف یک بیضی.

قضیه. در سیستم مختصات متعارف برای یک بیضی، معادله بیضی به شکل زیر است:

. (4)

اثبات ما اثبات را در دو مرحله انجام می دهیم. در مرحله اول، ثابت خواهیم کرد که مختصات هر نقطه ای که روی بیضی قرار دارد، معادله (4) را برآورده می کند. در مرحله دوم ثابت خواهیم کرد که هر جوابی برای معادله (4) مختصات نقطه ای را می دهد که روی بیضی قرار دارد. از اینجا نتیجه خواهد شد که معادله (4) توسط آن نقاط و تنها نقاطی از صفحه مختصات که روی بیضی قرار دارند ارضا می شود. از این و از تعریف معادله منحنی نتیجه می شود که معادله (4) معادله بیضی است.

1) نقطه M(x,y) نقطه ای از بیضی باشد، یعنی. مجموع شعاع کانونی آن 2a است:

.

بیایید از فرمول فاصله بین دو نقطه در صفحه مختصات استفاده کنیم و از این فرمول برای یافتن شعاع کانونی یک نقطه M استفاده کنیم:

,
، از جایی که می گیریم:

بیایید یک ریشه را به سمت راست برابری ببریم و آن را مربع کنیم:

با کاهش، دریافت می کنیم:

موارد مشابه را ارائه می دهیم، 4 کاهش می دهیم و رادیکال را حذف می کنیم:

.

مربع کردن

براکت ها را باز کرده و کوتاه کنید
:

جایی که به دست می آوریم:

با استفاده از برابری (2) به دست می آوریم:

.

تقسیم آخرین برابری بر
، برابری (4) و غیره را بدست می آوریم.

2) فرض کنید یک جفت اعداد (x,y) معادله (4) را برآورده کند و فرض کنید M(x,y) نقطه متناظر در صفحه مختصات Oxy باشد.

سپس از (4) چنین می شود:

.

ما این برابری را با عبارت برای شعاع کانونی نقطه M جایگزین می کنیم:

.

در اینجا از برابری (2) و (3) استفاده کردیم.

بدین ترتیب،
. به همین ترتیب،
.

حال توجه داشته باشید که از برابری (4) نتیجه می شود که

یا
و غیره.
، سپس نابرابری به صورت زیر است:

.

از اینجا به نوبه خود نتیجه می شود که

یا
و

,
. (5)

از مساوات (5) نتیجه می شود که
، یعنی نقطه M(x,y) نقطه ای از بیضی است و غیره.

قضیه ثابت می شود.

تعریف. معادله (4) معادله متعارف بیضی نامیده می شود.

تعریف. محورهای مختصات متعارف یک بیضی را محورهای اصلی بیضی می نامند.

تعریف. مبدأ سیستم مختصات متعارف بیضی را مرکز بیضی می گویند.

بند 3. خواص بیضی.

قضیه. (خواص بیضی.)

1. در سیستم مختصات متعارف برای یک بیضی، همه چیز

نقاط بیضی در مستطیل قرار دارند

,
.

2. نقاط روی آن قرار دارند

3. بیضی منحنی است که نسبت به آن متقارن است

محورهای اصلی آنها

4. مرکز بیضی مرکز تقارن آن است.

اثبات 1، 2) بلافاصله از معادله متعارف بیضی به دست می آید.

3، 4) فرض کنید M(x، y) یک نقطه دلخواه از بیضی باشد. سپس مختصات آن معادله (4) را برآورده می کند. اما پس از آن مختصات نقاط نیز معادله (4) را برآورده می کند، و بنابراین، نقاط بیضی هستند که گزاره های قضیه از آنها پیروی می کنند.

قضیه ثابت می شود.

تعریف. کمیت 2a را محور اصلی بیضی، کمیت a را محور نیمه اصلی بیضی می نامند.

تعریف. کمیت 2b را محور فرعی بیضی، کمیت b را محور نیمه‌مینور بیضی می‌نامند.

تعریف. نقاط تلاقی یک بیضی با محورهای اصلی آن را رئوس بیضی می گویند.

اظهار نظر. بیضی را می توان به صورت زیر ساخت. در هواپیما، ما "میخ را به کانون ها می کوبیم" و طول نخ را روی آنها می بندیم
. سپس یک مداد برداشته و با آن نخ را محکم می کنیم. سپس سرب مداد را در امتداد صفحه حرکت می دهیم و از محکم بودن نخ مطمئن می شویم.

از تعریف خروج از مرکز چنین بر می آید که

اجازه دهید عدد a را ثابت کرده و عدد c را روی صفر هدایت کنیم. سپس در
,
و
. در حدی که به دست می آوریم

یا
- معادله دایره

اجازه دهید ما اکنون کارگردانی کنیم
. سپس
,
و می بینیم که در حد، بیضی به یک پاره خط مستقیم تبدیل می شود
در نماد شکل 3.

بند 4. معادلات پارامتری بیضی.

قضیه. اجازه دهید
- اعداد واقعی دلخواه سپس سیستم معادلات

,
(6)

معادلات پارامتریک یک بیضی در سیستم مختصات متعارف برای بیضی هستند.

اثبات کافی است ثابت کنیم که سیستم معادلات (6) معادل معادله (4) است، یعنی. آنها مجموعه ای از راه حل های مشابه دارند.

1) فرض کنید (x, y) یک راه حل دلخواه برای سیستم (6) باشد. معادله اول را بر a و دومی را بر b تقسیم کرده و هر دو معادله را مربع کنید و اضافه کنید:

.

آن ها هر جواب (x, y) سیستم (6) معادله (4) را برآورده می کند.

2) برعکس، اجازه دهید جفت (x، y) یک راه حل برای معادله (4)، یعنی.

.

از این تساوی نتیجه می شود که نقطه با مختصات
روی دایره ای با شعاع واحد با مرکز در مبدا قرار دارد، یعنی. نقطه ای از یک دایره مثلثاتی است که زاویه مشخصی با آن مطابقت دارد
:

از تعریف سینوس و کسینوس بلافاصله نتیجه می شود که

,
، جایی که
، که از آن نتیجه می شود که جفت (x, y) راه حلی برای سیستم (6) و غیره است.

قضیه ثابت می شود.

اظهار نظر. یک بیضی را می توان در نتیجه "فشردگی" یکنواخت دایره ای به شعاع a به سمت محور آبسیسا به دست آورد.

اجازه دهید
- معادله دایره با مرکز در مبدا. "فشردگی" یک دایره به محور آبسیسا چیزی نیست جز تبدیل صفحه مختصات که طبق قانون زیر انجام می شود. برای هر نقطه M(x,y) یک نقطه را در همان صفحه مرتبط می کنیم
، جایی که
,
- نسبت تراکم.

با این تبدیل، هر نقطه از دایره به نقطه دیگری در صفحه "انتقال" می‌کند که دارای همان آبسیسا است، اما مختصات کوچک‌تری دارد. بیایید ترتیب قدیمی یک نقطه را از طریق جدید بیان کنیم:

و دایره ها را جایگزین معادله کنید:

.

از اینجا دریافت می کنیم:

. (7)

از این نتیجه می شود که اگر قبل از تبدیل "فشرده سازی" نقطه M(x, y) روی دایره قرار داشته باشد، یعنی. مختصات آن معادله دایره را برآورده کرد، سپس پس از تبدیل "فشردگی" این نقطه به نقطه "تبدیل" شد.
، که مختصات آن معادله بیضی (7) را برآورده می کند. اگر بخواهیم معادله یک بیضی را با محور نیمه‌مینور بدست آوریم، باید ضریب فشرده‌سازی را بگیریم.

.

بند 5. مماس بر بیضی.

قضیه. اجازه دهید
- نقطه دلخواه بیضی

.

سپس معادله مماس بر این بیضی در نقطه
دارای فرم:

. (8)

اثبات کافی است موردی را در نظر بگیریم که نقطه مماس در ربع اول یا دوم صفحه مختصات باشد:
. معادله بیضی در نیم صفحه بالایی به شکل زیر است:

. (9)

بیایید از معادله مماس برای نمودار تابع استفاده کنیم
در نقطه
:

جایی که
- مقدار مشتق یک تابع معین در یک نقطه
. بیضی در ربع اول را می توان نمودار تابع (8) در نظر گرفت. بیایید مشتق و مقدار آن را در نقطه مماس پیدا کنیم:

,

. در اینجا ما از این واقعیت استفاده کردیم که نقطه مماس
نقطه ای از بیضی است و بنابراین مختصات آن معادله بیضی (9) را برآورده می کند.

.

مقدار یافت شده مشتق را با معادله مماس (10) جایگزین می کنیم:

,

جایی که به دست می آوریم:

این دلالت می کنه که:

بیایید این برابری را بر تقسیم کنیم
:

.

ذکر این نکته باقی می ماند
، زیرا نقطه
متعلق به بیضی است و مختصات آن معادله آن را برآورده می کند.

معادله مماس (8) به روشی مشابه در نقطه مماس واقع در ربع سوم یا چهارم صفحه مختصات ثابت می شود.

و در نهایت، به راحتی می توانیم تأیید کنیم که معادله (8) معادله مماس را در نقاط نشان می دهد
,
:

یا
، و
یا
.

قضیه ثابت می شود.

بند 6. ویژگی آینه ای بیضی

قضیه. مماس بر بیضی دارای زوایای مساوی با شعاع کانونی نقطه مماس است.

اجازه دهید
- نقطه تماس،
,
- شعاع کانونی نقطه مماس، P و Q - پیش بینی کانون ها روی مماس کشیده شده به بیضی در نقطه
.

قضیه بیان می کند که

. (11)

این برابری را می توان به برابری زوایای تابش و انعکاس یک پرتو نور از یک بیضی آزاد شده از کانون آن تعبیر کرد. این خاصیت را خاصیت آینه ای بیضی می نامند:

پرتویی از نور منتشر شده از کانون بیضی، پس از انعکاس از آینه بیضی، از کانون دیگری از بیضی عبور می کند.

اثبات قضیه. برای اثبات تساوی زاویه ها (11) شباهت مثلث ها را ثابت می کنیم
و
، که در آن طرفین
و
مشابه خواهد بود. از آنجایی که مثلث ها قائم الزاویه هستند، برای اثبات برابری کافی است

تعریف. بیضی مکان هندسی نقاط یک صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها از دو نقطه داده شده از این صفحه که کانون نامیده می شود یک مقدار ثابت است (به شرطی که این مقدار از فاصله بین کانون ها بیشتر باشد). .

اجازه دهید کانون ها را از طریق فاصله بین آنها و یک مقدار ثابت نشان دهیم، برابر با مقدارفواصل از هر نقطه از بیضی تا کانون، از طریق (با توجه به شرایط).

بیایید یک سیستم مختصات دکارتی بسازیم به طوری که کانون ها روی محور آبسیسا قرار گیرند و مبدا مختصات با وسط قطعه مطابقت داشته باشد (شکل 44). سپس کانون ها مختصات زیر را خواهند داشت: فوکوس چپ و فوکوس راست. اجازه دهید معادله بیضی را در سیستم مختصاتی که انتخاب کرده ایم استخراج کنیم. برای این منظور یک نقطه دلخواه از بیضی را در نظر بگیرید. با تعریف بیضی، مجموع فواصل این نقطه تا کانون ها برابر است با:

بنابراین با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه به دست می آوریم

برای ساده سازی این معادله، آن را به شکل می نویسیم

سپس با مجذور کردن دو طرف معادله، به دست می آوریم

یا پس از ساده سازی های آشکار:

حالا دوباره دو طرف معادله را مربع می کنیم و بعد از آن داریم:

یا پس از تبدیل های یکسان:

از آنجایی که طبق شرط در تعریف بیضی، عدد مثبت است. اجازه دهید نماد را معرفی کنیم

سپس معادله به شکل زیر در می آید:

با تعریف بیضی، مختصات هر یک از نقاط آن معادله (26) را برآورده می کند. اما رابطه (29) پیامد معادله (26) است. در نتیجه، با مختصات هر نقطه از بیضی نیز ارضا می شود.

می توان نشان داد که مختصات نقاطی که روی بیضی قرار ندارند معادله (29) را برآورده نمی کند. بنابراین، معادله (29) معادله یک بیضی است. به آن معادله متعارف بیضی می گویند.

اجازه دهید شکل بیضی را با استفاده از معادله متعارف آن تعیین کنیم.

اول از همه به این نکته توجه کنیم که این معادله فقط شامل حتی درجات x و y این بدان معناست که اگر هر نقطه ای متعلق به یک بیضی باشد، آنگاه دارای یک نقطه متقارن با نقطه نسبت به محور آبسیسا و یک نقطه متقارن با نقطه نسبت به محور مختصات است. بنابراین، بیضی دارای دو محور متقارن عمود بر یکدیگر است که در سیستم مختصات انتخابی ما با محورهای مختصات منطبق است. از این پس محورهای تقارن بیضی را محورهای بیضی و نقطه تقاطع آنها را مرکز بیضی می نامیم. محوری که کانون های بیضی روی آن قرار دارند (در در این موردمحور x) محور کانونی نامیده می شود.

اجازه دهید ابتدا شکل بیضی را در ربع اول تعیین کنیم. برای انجام این کار، معادله (28) را برای y حل می کنیم:

بدیهی است که در اینجا، از آنجایی که y مقادیر خیالی می گیرد. همانطور که از 0 به a افزایش می دهید، y از b به 0 کاهش می یابد. بخشی از بیضی که در ربع اول قرار دارد، کمانی خواهد بود که با نقاط B محدود شده است (0؛ b) و روی محورهای مختصات قرار دارد (شکل 45). اکنون با استفاده از تقارن بیضی، به این نتیجه می رسیم که بیضی شکلی دارد که در شکل نشان داده شده است. 45.

نقاط تلاقی بیضی با محورها را رئوس بیضی می گویند. از تقارن بیضی به دست می آید که، علاوه بر رئوس، بیضی دو رأس دیگر نیز دارد (شکل 45 را ببینید).

قطعات و رئوس متضاد بیضی و همچنین طول آنها را به ترتیب محور اصلی و فرعی بیضی می نامند. اعداد a و b را به ترتیب نیم محور اصلی و فرعی بیضی می نامند.

نسبت نصف فاصله بین کانون ها به محور نیمه اصلی بیضی را خروج از مرکز بیضی می نامند و معمولاً با حرف نشان داده می شود:

از آنجایی که خروج از مرکز بیضی کمتر از وحدت است: خروج از مرکز شکل بیضی را مشخص می کند. در واقع، از فرمول (28) چنین برمی‌آید که هرچه خروج از مرکز بیضی کوچک‌تر باشد، تفاوت محور نیمه فرعی b آن با محور نیمه اصلی a کمتر است، یعنی بیضی کمتر درازتر است (در امتداد محور کانونی).

در حالت محدود، نتیجه دایره ای به شعاع a:، یا . در همان زمان، به نظر می رسد کانون های بیضی در یک نقطه ادغام می شوند - مرکز دایره. خروج از مرکز دایره صفر است:

ارتباط بین بیضی و دایره را می توان از منظر دیگری برقرار کرد. اجازه دهید نشان دهیم که یک بیضی با نیم محورهای a و b را می توان به عنوان یک دایره با شعاع a در نظر گرفت.

اجازه دهید دو صفحه P و Q را در نظر بگیریم که بین خود یک زاویه a را تشکیل می دهند که برای آن (شکل 46). اجازه دهید یک سیستم مختصات در صفحه P بسازیم و در صفحه Q یک سیستم Oxy با مبدا مشترک O و یک محور آبسیسا مشترک منطبق بر خط تقاطع صفحات. دایره ای را در صفحه P در نظر بگیرید

با مرکز در مبدا و شعاع برابر با a. اجازه دهید یک نقطه انتخاب شده دلخواه روی دایره باشد، طرح آن بر روی صفحه Q باشد، و اجازه دهید طرح نقطه M بر روی محور Ox باشد. اجازه دهید نشان دهیم که نقطه روی یک بیضی با نیم محورهای a و b قرار دارد.

خطوط مرتبه دوم.
بیضی و معادله متعارف آن. دایره

پس از مطالعه کامل خطوط مستقیم در هواپیماما به بررسی هندسه دنیای دو بعدی ادامه می دهیم. مخاطرات دو برابر شده است و من از شما دعوت می کنم از یک گالری زیبا از بیضی ها، هذلولی ها، سهمی ها بازدید کنید که نمایندگان معمولی هستند. خطوط مرتبه دوم. گشت و گذار در حال حاضر آغاز شده است، و اول اطلاعات مختصردرباره کل نمایشگاه در طبقات مختلف موزه:

مفهوم خط جبری و ترتیب آن

خط در هواپیما نامیده می شود جبری، اگر در سیستم مختصات افینمعادله آن شکلی دارد که در آن یک چند جمله ای متشکل از عبارات شکل (- عدد واقعی - اعداد صحیح غیر منفی) است.

همانطور که می بینید، معادله یک خط جبری شامل سینوس ها، کسینوس ها، لگاریتم ها و دیگر بوموندهای کاربردی نیست. فقط X و Y وارد می شوند اعداد صحیح غیر منفیدرجه.

سفارش خطیبرابر با حداکثر مقدار عبارات موجود در آن است.

با توجه به قضیه مربوطه، مفهوم یک خط جبری و همچنین ترتیب آن به انتخاب بستگی ندارد. سیستم مختصات افینبنابراین، برای سهولت وجود، فرض می‌کنیم که تمام محاسبات بعدی در آن صورت می‌گیرد مختصات کارتزین.

معادله کلیخط مرتبه دوم دارای فرم، جایی است که - اعداد واقعی دلخواه (مرسوم است که آن را با ضریب دو بنویسید)، و ضرایب در همان زمان برابر با صفر نیستند.

اگر، پس معادله ساده می شود ، و اگر همزمان ضرایب برابر با صفر نباشند، دقیقاً همین است معادله کلی یک خط "مسطح".، که نشان می دهد خط سفارش اول.

بسیاری معنای اصطلاحات جدید را درک کرده اند، اما، با این وجود، برای تسلط 100٪ بر مواد، انگشتان خود را به سوکت می چسبانیم. برای تعیین ترتیب خط، باید تکرار کنید همه شرایطمعادلات آن و پیدا کردن برای هر یک از آنها مجموع درجاتمتغیرهای ورودی

مثلا:

عبارت حاوی "x" تا توان 1 است.
این عبارت حاوی "Y" تا توان 1 است.
هیچ متغیری در عبارت وجود ندارد، بنابراین مجموع توان آنها صفر است.

حالا بیایید بفهمیم که چرا معادله خط را تعریف می کند دومینسفارش:

این عبارت حاوی "x" تا توان 2 است.
جمع دارای مجموع توانهای متغیرها است: 1 + 1 = 2;
این عبارت حاوی "Y" تا توان 2 است.
همه اصطلاحات دیگر - کمتردرجه.

حداکثر مقدار: 2

اگر مثلاً به معادله خود اضافه کنیم، از قبل مشخص خواهد شد خط مرتبه سوم. بدیهی است که شکل کلی معادله خط مرتبه 3 شامل یک "مجموعه کامل" از اصطلاحات است که مجموع توانهای متغیرهای آن برابر با سه است:
، که در آن ضرایب به طور همزمان برابر با صفر نیستند.

اگر یک یا چند عبارت مناسب را اضافه کنید که حاوی ، سپس ما قبلاً در مورد آن صحبت خواهیم کرد خطوط سفارش 4، و غیره.

ما باید بیش از یک بار با خطوط جبری مرتبه های 3، 4 و بالاتر مواجه شویم، به ویژه هنگام آشنایی با سیستم مختصات قطبی.

با این حال، اجازه دهید به معادله کلی بازگردیم و ساده ترین تغییرات مدرسه را به خاطر بسپاریم. به عنوان مثال، سهمی خود را نشان می دهد که معادله آن به راحتی قابل کاهش است ظاهر عمومیو هذلولی با معادله معادل. با این حال، همه چیز به این راحتی نیست ...

یک اشکال قابل توجه معادله عمومی این است که تقریباً همیشه مشخص نیست که کدام خط را تعریف می کند. حتی در ساده ترین حالت، بلافاصله متوجه نمی شوید که این یک هذل گویی است. چنین چیدمان هایی فقط در یک بالماسکه خوب هستند ، بنابراین در دوره هندسه تحلیلی ما در نظر می گیریم کار معمولی معادله خط مرتبه 2 را به شکل متعارف می آورد.

شکل متعارف یک معادله چیست؟

این به طور کلی پذیرفته شده است نمای استانداردمعادله، زمانی که در عرض چند ثانیه مشخص می شود که چه جسم هندسی را تعریف می کند. علاوه بر این، فرم متعارف برای حل بسیاری از موارد بسیار راحت است وظایف عملی. بنابراین، برای مثال، با توجه به معادله متعارف "مسطح" مستقیماولاً بلافاصله مشخص می شود که این یک خط مستقیم است و ثانیاً نقطه متعلق به آن و بردار جهت به راحتی قابل مشاهده است.

بدیهی است که هر خط سفارش 1یک خط مستقیم است در طبقه دوم، دیگر این نگهبان نیست که منتظر ما است، بلکه یک گروه بسیار متنوع تر از 9 مجسمه است:

طبقه بندی خطوط مرتبه دوم

با استفاده از مجتمع ویژهاعمال، هر معادله یک خط مرتبه دوم به یکی از اشکال زیر کاهش می یابد:

(و اعداد حقیقی مثبت هستند)

1) - معادله متعارف بیضی؛

2) - معادله متعارف هذلولی.

3) - معادله متعارف سهمی؛

4) – خیالیبیضی

5) - یک جفت خط متقاطع؛

6) - جفت خیالیخطوط متقاطع (با یک نقطه تقاطع معتبر در مبدا)؛

7) - یک جفت خط موازی.

8) - جفت خیالیخطوط موازی؛

9) - یک جفت خط منطبق.

برخی از خوانندگان ممکن است این تصور را داشته باشند که فهرست ناقص است. به عنوان مثال در نقطه شماره 7 معادله زوج را مشخص می کند مستقیم، موازی با محور، و این سوال پیش می آید: معادله ای که خطوط موازی با محور ارتجاعی را تعیین می کند کجاست؟ پاسخ دهید متعارف در نظر گرفته نمی شود. خطوط مستقیم همان حالت استاندارد را نشان می دهد که 90 درجه چرخیده است و ورودی اضافی در طبقه بندی اضافی است، زیرا اساساً چیز جدیدی به ارمغان نمی آورد.

بنابراین نه و تنها نه وجود دارد انواع مختلفخطوط مرتبه 2 ، اما در عمل آنها اغلب یافت می شوند بیضی، هذلولی و سهمی.

ابتدا بیضی را بررسی می کنیم. طبق معمول، من روی آن نکاتی تمرکز می کنم که دارند پراهمیتبرای حل مسائل، و اگر به استنتاج دقیق فرمول ها، اثبات قضایا نیاز دارید، لطفاً به عنوان مثال به کتاب درسی بازیلف/آتاناسیان یا الکساندروف مراجعه کنید.

بیضی و معادله متعارف آن

املا... لطفا اشتباهات برخی از کاربران Yandex که علاقه مند به "نحوه ساختن بیضی"، "تفاوت بین بیضی و بیضی" و "غیر مرکزیت یک بیضی" هستند را تکرار نکنید.

معادله متعارف بیضی دارای شکل است که در آن اعداد حقیقی مثبت هستند و . من بعداً تعریف بیضی را بیان خواهم کرد، اما در حال حاضر وقت آن است که از فروشگاه صحبت کردن فاصله بگیریم و یک مشکل رایج را حل کنیم:

چگونه بیضی بسازیم؟

بله، فقط آن را بگیرید و فقط آن را بکشید. این کار اغلب اتفاق می افتد و بخش قابل توجهی از دانش آموزان به درستی با نقاشی کنار نمی آیند:

مثال 1

بیضی بدست آمده توسط معادله را بسازید

راه حل: ابتدا اجازه دهید معادله را به شکل متعارف برسانیم:

چرا آوردن؟ یکی از مزایای معادله متعارف این است که به شما امکان می دهد فوراً تعیین کنید رئوس بیضی، که در نقاطی قرار دارند. به راحتی می توان فهمید که مختصات هر یک از این نقاط معادله را برآورده می کند.

در این مورد :


بخش خطتماس گرفت محور اصلیبیضی
بخش خط – محور فرعی;
عدد تماس گرفت شفت نیمه اصلیبیضی
عدد – محور فرعی.
در مثال ما: .

برای اینکه سریع تصور کنید یک بیضی خاص چگونه به نظر می رسد، کافی است به مقادیر "a" و "be" معادله متعارف آن نگاه کنید.

همه چیز خوب، صاف و زیبا است، اما یک نکته وجود دارد: من نقاشی را با استفاده از برنامه انجام دادم. و شما می توانید نقاشی را با استفاده از هر برنامه ای انجام دهید. با این حال، در واقعیت تلخیک تکه کاغذ شطرنجی روی میز است و موش ها دایره ای روی دستان ما می رقصند. افراد با استعداد هنری، البته، می توانند بحث کنند، اما شما موش هایی نیز دارید (هر چند کوچکتر). بیهوده نیست که بشریت خط کش، قطب نما، نقاله و سایر وسایل ساده را برای طراحی اختراع کرد.

به همین دلیل، بعید است که بتوانیم با دانستن رئوس به دقت یک بیضی رسم کنیم. اگر بیضی کوچک باشد، مثلاً با نیم محور، مشکلی ندارد. متناوبا، می توانید مقیاس و بر این اساس، ابعاد نقاشی را کاهش دهید. ولی در مورد کلییافتن نکات اضافی بسیار مطلوب است.

دو روش برای ساخت بیضی وجود دارد - هندسی و جبری. من ساخت و ساز با استفاده از قطب نما و خط کش را دوست ندارم زیرا الگوریتم کوتاه ترین نیست و ترسیم به طور قابل توجهی به هم ریخته است. در مواقع اضطراری لطفا به کتاب درسی مراجعه کنید، اما در واقع استفاده از ابزار جبر بسیار منطقی تر است. از معادله بیضی در پیش نویس به سرعت بیان می کنیم:

سپس معادله به دو تابع تقسیم می شود:
- قوس بالای بیضی را مشخص می کند.
- قوس پایین بیضی را مشخص می کند.

بیضی تعریف شده توسط معادله متعارف با توجه به محورهای مختصات و همچنین نسبت به مبدا متقارن است. و این عالی است - تقارن تقریباً همیشه منادی رایگان است. بدیهی است که کافی است با یک چهارم مختصات سروکار داشته باشیم، بنابراین به تابع نیاز داریم . برای یافتن نقاط اضافی با ابسیسا التماس می شود . بیایید روی سه پیامک روی ماشین حساب ضربه بزنید:

البته، همچنین خوب است که اگر اشتباه جدی در محاسبات انجام شود، بلافاصله در طول ساخت و ساز مشخص می شود.

نقاط روی نقاشی را علامت گذاری کنید (رنگ قرمز)، نقاط متقارنروی کمان های باقی مانده ( رنگ ابی) و با دقت کل شرکت را با یک خط وصل کنید:


بهتر است طرح اولیه را خیلی نازک بکشید و فقط پس از آن با مداد فشار وارد کنید. نتیجه باید یک بیضی کاملا مناسب باشد. به هر حال، دوست دارید بدانید این منحنی چیست؟

تعریف بیضی کانون های بیضی و خروج از مرکز بیضی

بیضی است مورد خاصبیضی شکل کلمه "بیضی" را نباید به معنای فلسطینی فهمید ("کودک یک بیضی کشید" و غیره). این یک اصطلاح ریاضی است که فرمول بندی دقیقی دارد. هدف از این درس بررسی تئوری بیضی ها و انواع مختلف آنها نیست که عملاً هیچ توجهی به آنها نمی شود. دوره استانداردهندسه تحلیلی و با توجه به بیشتر نیازهای فعلی، بلافاصله به تعریف دقیق بیضی می رویم:

بیضیمجموعه تمام نقاط صفحه است که مجموع فواصل هر یک از دو نقطه داده شده به نام ترفندهابیضی، کمیت ثابتی است که از نظر عددی برابر با طول محور اصلی این بیضی است: .
در این حالت فواصل بین فوکوس ها کمتر از این مقدار است: .

حالا همه چیز واضح تر می شود:

تصور کنید که نقطه آبی در امتداد یک بیضی حرکت می کند. بنابراین، مهم نیست که چه نقطه ای از بیضی را می گیریم، مجموع طول قطعات همیشه یکسان خواهد بود:

بیایید مطمئن شویم که در مثال ما مقدار مجموع واقعاً برابر با هشت است. به طور ذهنی نقطه "um" را در راس سمت راست بیضی قرار دهید، سپس: ، که چیزی است که باید بررسی شود.

روش دیگر ترسیم آن بر اساس تعریف بیضی است. ریاضیات بالاتر گاهی اوقات عامل تنش و استرس است، بنابراین وقت آن است که یک جلسه تخلیه مجدد داشته باشید. لطفاً کاغذ واتمن یا یک ورق مقوای بزرگ بردارید و با دو میخ به میز سنجاق کنید. اینها ترفندهایی خواهند بود. یک نخ سبز به سرهای ناخن بیرون زده ببندید و با مداد آن را تا انتها بکشید. سرب مدادی به نقطه خاصی که متعلق به بیضی است ختم می شود. حالا شروع به حرکت مداد در امتداد کاغذ کنید و نخ سبز را کشیده نگه دارید. روند را تا بازگشت به آن ادامه دهید نقطه شروع... عالی ... نقاشی را می توان برای تأیید به دکتر و معلم ارسال کرد =)

چگونه کانون بیضی را پیدا کنیم؟

در مثال بالا، من نقاط کانونی "آماده" را به تصویر کشیدم و اکنون یاد خواهیم گرفت که چگونه آنها را از اعماق هندسه استخراج کنیم.

اگر یک بیضی با یک معادله متعارف به دست آید، کانون های آن دارای مختصاتی هستند ، کجاست فاصله از هر کانون تا مرکز تقارن بیضی.

محاسبات ساده تر از ساده هستند:

! مختصات خاص کانون ها را نمی توان با معنی «تسه» شناسایی کرد!تکرار می کنم که این است DISTANCE از هر کانون تا مرکز(که در حالت کلی لازم نیست دقیقاً در مبدا قرار گیرد).
و بنابراین، فاصله بین کانون ها نیز نمی تواند به موقعیت متعارف بیضی گره بخورد. به عبارت دیگر، بیضی را می توان به مکان دیگری منتقل کرد و مقدار آن بدون تغییر باقی می ماند، در حالی که کانون ها به طور طبیعی مختصات خود را تغییر می دهند. لطفا درنظر داشته باشید این لحظهدر طول مطالعه بیشتر موضوع

خروج از مرکز بیضی و معنای هندسی آن

خروج از مرکز یک بیضی نسبتی است که می تواند مقادیری در محدوده داشته باشد.

در مورد ما:

بیایید دریابیم که چگونه شکل یک بیضی به خارج از مرکز آن بستگی دارد. برای این راس چپ و راست را اصلاح کنیداز بیضی مورد نظر، یعنی مقدار محور نیمه اصلی ثابت می ماند. سپس فرمول خروج از مرکز به شکل زیر در می آید:

بیایید شروع کنیم به نزدیک کردن مقدار خروج از مرکز به وحدت. این فقط در صورتی امکان پذیر است که . چه مفهومی داره؟ ... ترفندها را به خاطر بسپار . این بدان معنی است که کانون های بیضی در امتداد محور آبسیسا به سمت رئوس کناری "از هم دور می شوند". و از آنجایی که "قطعه های سبز لاستیکی نیستند"، بیضی به ناچار شروع به صاف شدن می کند و به سوسیس نازک تر و نازک تری تبدیل می شود که روی یک محور قرار گرفته است.

بدین ترتیب، چگونه ارزش نزدیک ترخروج از مرکز بیضی به وحدت، بیضی کشیده تر است.

حالا بیایید روند مخالف را مدل کنیم: کانون های بیضی به سمت یکدیگر رفتند و به مرکز نزدیک شدند. این بدان معنی است که مقدار ce کمتر و کمتر می شود و بر این اساس، خروج از مرکز به صفر میل می کند: .
در این حالت، برعکس، "قطعات سبز" " شلوغ می شوند" و شروع به "فشار دادن" خط بیضی به بالا و پایین می کنند.

بدین ترتیب، هر چه مقدار خروج از مرکز به صفر نزدیکتر باشد، بیضی بیشتر به آن شباهت دارد... به مورد محدود کننده زمانی که کانون ها با موفقیت دوباره در مبدا متحد می شوند نگاه کنید:

دایره حالت خاصی از بیضی است

در واقع، در مورد تساوی نیم محورها، معادله متعارف بیضی شکل می گیرد، که به طور انعکاسی به معادله دایره ای با مرکز در مبدا شعاع "a" تبدیل می شود، که از مدرسه به خوبی شناخته شده است.

در عمل، علامت گذاری با حرف "ر" صحبت کردن بیشتر استفاده می شود: . شعاع طول یک قطعه است که هر نقطه از دایره با فاصله شعاع از مرکز جدا می شود.

توجه داشته باشید که تعریف بیضی کاملاً صحیح است: کانون ها بر هم منطبق هستند و مجموع طول بخش های منطبق برای هر نقطه روی دایره ثابت است. از آنجایی که فاصله بین کانون ها است، پس خروج از مرکز هر دایره صفر است.

ساخت یک دایره آسان و سریع است، فقط از یک قطب نما استفاده کنید. با این حال، گاهی اوقات لازم است مختصات برخی از نقاط آن را دریابیم، در این مورد ما به روش آشنا می رویم - معادله را به شکل شاد ماتانوف می آوریم:

- عملکرد نیم دایره بالایی؛
- عملکرد نیم دایره پایین.

پس از آن ما پیدا می کنیم مقادیر مورد نیاز, متمایز کردن, ادغام کردنو کارهای خوب دیگر انجام دهید

البته مقاله فقط برای مرجع است، اما چگونه می توان بدون عشق در جهان زندگی کرد؟ کار خلاقانه برای تصمیم مستقل

مثال 2

معادله متعارف یک بیضی را در صورتی بسازید که یکی از کانون ها و محورهای نیمه فرعی آن شناخته شده باشد (مرکز در مبدا باشد). رئوس، نقاط اضافی را بیابید و روی نقاشی یک خط بکشید. خروج از مرکز را محاسبه کنید.

حل و نقاشی در پایان درس

بیایید یک عمل اضافه کنیم:

بیضی را بچرخانید و موازی کنید

اجازه دهید به معادله متعارف بیضی بازگردیم، یعنی به شرایطی که راز آن از اولین ذکر این منحنی ذهن های کنجکاو را عذاب داده است. بنابراین ما به بیضی نگاه کردیم ، اما آیا در عمل امکان برآوردن معادله وجود ندارد ? بالاخره اینجا اما به نظر بیضی هم هست!

این نوع معادله نادر است، اما وجود دارد. و در واقع یک بیضی را تعریف می کند. بیایید ابهام زدایی کنیم:

در نتیجه ساخت و ساز، بیضی بومی ما به دست آمد که 90 درجه چرخید. به این معنا که، - این ورودی غیر متعارفبیضی . رکورد!- معادله هیچ بیضی دیگری را تعریف نمی کند، زیرا هیچ نقطه (کانونی) روی محور وجود ندارد که تعریف بیضی را برآورده کند.

11.1. مفاهیم اساسی

بیایید خطوط تعریف شده توسط معادلات درجه دوم را نسبت به مختصات فعلی در نظر بگیریم

ضرایب معادله اعداد واقعی هستند، اما حداقل یکی از اعداد A، B یا C غیر صفر است. چنین خطوطی را خطوط (منحنی) مرتبه دوم می نامند. در زیر مشخص خواهد شد که معادله (11.1) یک دایره، بیضی، هذلولی یا سهمی را در صفحه تعریف می کند. قبل از رفتن به این عبارت، اجازه دهید خواص منحنی های ذکر شده را مطالعه کنیم.

11.2. دایره

ساده ترین منحنی مرتبه دوم یک دایره است. به یاد بیاورید که دایره ای با شعاع R با مرکز در یک نقطه مجموعه تمام نقاط M صفحه است که شرط را برآورده می کند. بگذارید یک نقطه در یک سیستم مختصات مستطیلی دارای مختصات x 0، y 0 و - یک نقطه دلخواه روی دایره باشد (شکل 48 را ببینید).

سپس از شرط معادله را بدست می آوریم

(11.2)

معادله (11.2) با مختصات هر نقطه از یک دایره مشخص می شود و با مختصات هیچ نقطه ای که روی دایره قرار ندارد ارضا نمی شود.

معادله (11.2) نامیده می شود معادله متعارف یک دایره

به طور خاص، تنظیم و، معادله یک دایره با مرکز در مبدا به دست می آوریم .

معادله دایره (11.2) پس از تبدیل های ساده به شکل . هنگام مقایسه این معادله با معادله عمومی (11.1) یک منحنی مرتبه دوم، به راحتی می توان متوجه شد که دو شرط برای معادله یک دایره برآورده می شود:

1) ضرایب x 2 و y 2 با یکدیگر برابر هستند.

2) هیچ عضوی حاوی ضرب xy مختصات فعلی وجود ندارد.

بیایید مشکل معکوس را در نظر بگیریم. با قرار دادن مقادیر و در رابطه (11.1) بدست می آوریم

بیایید این معادله را تبدیل کنیم:

(11.4)

نتیجه این است که معادله (11.3) یک دایره را تحت شرایط تعریف می کند . مرکز آن در نقطه است ، و شعاع

.

اگر ، سپس معادله (11.3) شکل می گیرد

.

با مختصات یک نقطه ارضا می شود . در این مورد می گویند: "دایره به یک نقطه منحط شده است" (شعاع صفر دارد).

اگر ، سپس معادله (11.4) و بنابراین معادله معادل(11.3) هیچ خطی را تعریف نمی کند، زیرا قسمت راستمعادله (11.4) منفی است و سمت چپ منفی نیست (مثلاً "دایره خیالی است").

11.3. بیضی

معادله بیضی متعارف

بیضی مجموعه تمام نقاط یک صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده از این صفحه نامیده می شود. ترفندها ، یک مقدار ثابت بزرگتر از فاصله بین کانون ها است.

بگذارید فوکوس ها را با علامت گذاری کنیم F 1و F 2، فاصله بین آنها 2 است ج، و مجموع فواصل از یک نقطه دلخواه بیضی تا کانون - در 2 آ(شکل 49 را ببینید). طبق تعریف 2 آ > 2ج، یعنی آ > ج.

برای استخراج معادله بیضی، یک سیستم مختصات را انتخاب می کنیم تا کانون ها F 1و F 2روی محور قرار داشت و مبدأ با وسط بخش منطبق بود F 1 F 2. سپس کانون ها دارای مختصات زیر خواهند بود: و .

اجازه دهید یک نقطه دلخواه از بیضی باشد. سپس با توجه به تعریف بیضی، یعنی.

این، در اصل، معادله یک بیضی است.

اجازه دهید معادله (11.5) را به بیشتر تبدیل کنیم نمای سادهبه روش زیر:

زیرا آ>با، آن بگذاریم

(11.6)

سپس آخرین معادله به شکل یا خواهد بود

(11.7)

می توان ثابت کرد که معادله (11.7) معادل معادله اصلی است. نامیده می شود معادله بیضی متعارف .

بیضی یک منحنی مرتبه دوم است.

بررسی شکل یک بیضی با استفاده از معادله آن

اجازه دهید شکل بیضی را با استفاده از معادله متعارف آن تعیین کنیم.

1. معادله (11.7) حاوی x و y فقط در توان زوج است، بنابراین اگر نقطه ای متعلق به یک بیضی باشد، نقاط ,, نیز به آن تعلق دارند. بدین ترتیب بیضی از نظر محور و و همچنین نسبت به نقطه ای که مرکز بیضی نامیده می شود متقارن است.

2. نقاط تقاطع بیضی را با محورهای مختصات بیابید. با قرار دادن، دو نقطه و را پیدا می کنیم که در آن محور بیضی را قطع می کند (شکل 50 را ببینید). با قرار دادن معادله (11.7) نقاط تقاطع بیضی را با محور: و می یابیم. نکته ها آ 1 , الف 2 , ب 1, ب 2نامیده می شوند رئوس بیضی. بخش ها آ 1 الف 2و B 1 B 2و همچنین طول آنها 2 آو 2 ببر این اساس نامیده می شوند محورهای اصلی و فرعیبیضی شماره آو ببه ترتیب بزرگ و کوچک نامیده می شوند شفت های محوربیضی

3. از رابطه (11.7) چنین بر می آید که هر جمله در سمت چپ از یک تجاوز نمی کند، یعنی. نابرابری ها و یا و اتفاق می افتد. در نتیجه، تمام نقاط بیضی در داخل مستطیلی قرار دارند که توسط خطوط مستقیم تشکیل شده است.

4. در رابطه (11.7)، مجموع عبارت های غیر منفی و برابر با یک است. در نتیجه، با افزایش یک عبارت، عبارت دیگر کاهش می یابد، یعنی اگر افزایش یابد، کاهش می یابد و بالعکس.

از موارد فوق چنین استنباط می شود که بیضی شکلی دارد که در شکل نشان داده شده است. 50 (منحنی بسته بیضی).

اطلاعات بیشتر در مورد بیضی

شکل بیضی به نسبت بستگی دارد. هنگامی که بیضی به دایره تبدیل می شود، معادله بیضی (11.7) شکل می گیرد. این نسبت اغلب برای مشخص کردن شکل یک بیضی استفاده می شود. نسبت نصف فاصله بین کانون ها به محور نیمه اصلی بیضی را خروج از مرکز بیضی و o6o با حرف ε ("epsilon") نشان داده می شود.

با 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

این نشان می دهد که هر چه خروج از مرکز بیضی کوچکتر باشد، بیضی کمتر مسطح می شود. اگر ε = 0 را تنظیم کنیم، بیضی به دایره تبدیل می شود.

فرض کنید M(x;y) یک نقطه دلخواه از بیضی با کانون های F 1 و F 2 باشد (شکل 51 را ببینید). طول قطعات F 1 M = r 1 و F 2 M = r 2 را شعاع کانونی نقطه M می نامند. به طور مشخص،

فرمول ها پابرجا هستند

خطوط مستقیم نامیده می شوند

قضیه 11.1.اگر فاصله یک نقطه دلخواه از بیضی تا مقداری کانونی باشد، d فاصله همان نقطه تا جهت متناظر با این کانون است، آنگاه این نسبت یک مقدار ثابت برابر با خروج از مرکز بیضی است:

از برابری (11.6) چنین بر می آید که . اگر، پس معادله (11.7) یک بیضی را تعریف می کند که محور اصلی آن روی محور Oy و محور کوچک روی محور Ox قرار دارد (شکل 52 را ببینید). کانون چنین بیضی در نقاط و، جایی است که .

11.4. هذلولی

معادله هذلولی متعارف

هایپربولی مجموعه تمام نقاط صفحه است، مدول اختلاف فاصله هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده از این صفحه، به نام ترفندها ، یک مقدار ثابت کمتر از فاصله بین کانون ها است.

بگذارید فوکوس ها را با علامت گذاری کنیم F 1و F 2فاصله بین آنها است 2 ثانیه، و مدول تفاوت در فواصل از هر نقطه هذلولی تا کانون از طریق 2a. الف- مقدماتی 2a < 2 ثانیه، یعنی آ < ج.

برای استخراج معادله هذلولی، یک سیستم مختصات را انتخاب می کنیم تا کانون ها F 1و F 2روی محور قرار داشت و مبدأ با وسط بخش منطبق بود F 1 F 2(شکل 53 را ببینید). سپس کانون ها دارای مختصات و

اجازه دهید یک نقطه دلخواه از هذلولی باشد. سپس با توجه به تعریف هذلولی یا، یعنی پس از ساده سازی ها، همانطور که هنگام استخراج معادله بیضی انجام شد، به دست می آوریم معادله هذلولی متعارف

(11.9)

(11.10)

هذلولی خطی از مرتبه دوم است.

بررسی شکل هذلولی با استفاده از معادله آن

اجازه دهید با استفاده از معادله هذلولی شکل آن را تعیین کنیم.

1. معادله (11.9) حاوی x و y فقط در توانهای زوج است. در نتیجه، هذلولی با توجه به محورها و همچنین نسبت به نقطه متقارن است که به نام مرکز هذلولی

2. نقاط تقاطع هذلولی را با محورهای مختصات بیابید. با قرار دادن معادله (11.9)، دو نقطه تقاطع هذلولی با محور پیدا می کنیم: و. با قرار دادن (11.9)، ما دریافت می کنیم، که نمی تواند باشد. در نتیجه، هذلولی محور Oy را قطع نمی کند.

نقاط نامیده می شود قله ها هذلولی ها و بخش

محور واقعی ، بخش خط - نیم محور واقعی هایپربولی

نقطه اتصال بخش نامیده می شود محور خیالی ، شماره b - نیمه محور خیالی . مستطیل با اضلاع 2aو 2bتماس گرفت مستطیل اصلی هذلولی .

3. از معادله (11.9) چنین بر می آید که مینیوند کمتر از یک نیست، یعنی آن یا . این بدان معناست که نقاط هذلولی در سمت راست خط (شاخه سمت راست هذلولی) و در سمت چپ خط (شاخه چپ هذلولی) قرار دارند.

4. از معادله (11.9) هذلولی مشخص می شود که وقتی افزایش می یابد، افزایش می یابد. این از این واقعیت ناشی می شود که تفاوت یک مقدار ثابت برابر با یک را حفظ می کند.

از موارد فوق چنین استنباط می شود که هذلولی دارای شکل نشان داده شده در شکل 54 است (منحنی متشکل از دو شاخه نامحدود).

مجانب هذلولی

خط مستقیم L مجانبی نامیده می شود یک منحنی نامحدود K اگر فاصله d از نقطه M منحنی K تا این خط مستقیم به صفر گرایش پیدا کند که فاصله نقطه M در امتداد منحنی K از مبدأ نامحدود باشد. شکل 55 تصویری از مفهوم مجانب ارائه می دهد: خط مستقیم L مجانبی برای منحنی K است.

اجازه دهید نشان دهیم که هذلولی دو مجانب دارد:

(11.11)

از آنجایی که خطوط مستقیم (11.11) و هذلولی (11.9) با توجه به محورهای مختصات متقارن هستند، کافی است تنها نقاطی از خطوط نشان داده شده را در نظر بگیریم که در ربع اول قرار دارند.

اجازه دهید یک نقطه N روی یک خط مستقیم که همان آبسیسا x با نقطه هذلولی دارد، در نظر بگیریم. (شکل 56 را ببینید)، و تفاوت ΜΝ بین مختصات خط مستقیم و شاخه هذلولی را بیابید:

همانطور که می بینید، با افزایش x، مخرج کسر افزایش می یابد. شمارنده یک مقدار ثابت است. بنابراین، طول بخش ΜΝ به صفر تمایل دارد. از آنجایی که MΝ بزرگتر از فاصله d از نقطه M تا خط است، پس d به سمت صفر میل می کند. بنابراین، خطوط مجانبی از هذلول هستند (11.9).

هنگام ساخت یک هذلولی (11.9)، توصیه می شود ابتدا مستطیل اصلی هذلولی را بسازید (شکل 57 را ببینید)، خطوط مستقیمی را که از رئوس مخالف این مستطیل عبور می کنند ترسیم کنید - مجانب هذلولی و علامت گذاری رئوس و . از هذلولی

معادله هذلولی متساوی الاضلاع.

مجانبی که محورهای مختصات آن هستند

هذلول (11.9) متساوی الاضلاع نامیده می شود که نیم محورهای آن برابر با () باشد. معادله متعارف آن

(11.12)

مجانب هذلولی متساوی الاضلاع معادلاتی دارند و بنابراین نیمساز زوایای مختصات هستند.

بیایید معادله این هذلولی را در یک سیستم مختصات جدید در نظر بگیریم (نگاه کنید به شکل 58)، که با چرخش محورهای مختصات توسط یک زاویه از سیستم قدیمی به دست آمده است. ما از فرمول ها برای چرخش محورهای مختصات استفاده می کنیم:

مقادیر x و y را با معادله (11.12) جایگزین می کنیم:

معادله هذلولی متساوی الاضلاع، که محورهای Ox و Oy مجانب آن هستند، شکل خواهد داشت.

اطلاعات بیشتر در مورد هایپربولی

عجیب و غریب هذلولی (11.9) نسبت فاصله بین کانون ها به مقدار محور واقعی هذلولی است که با ε نشان داده می شود:

از آنجایی که برای یک هذلولی، خروج از مرکز هذلولی بزرگتر از یک است: . خروج از مرکز شکل هذلولی را مشخص می کند. در واقع، از برابری (11.10) چنین بر می آید که i.e. و .

از این جا می توان دریافت که هر چه گریز از مرکز هذلول کوچکتر باشد، نسبت نیم محورهای آن کمتر است و بنابراین مستطیل اصلی آن کشیده تر است.

خروج از مرکز هذلولی متساوی الاضلاع است. واقعا،

شعاع کانونی و برای نقاط شاخه سمت راست، هذلولی ها شکل و را دارند و برای شاخه چپ - و .

خطوط مستقیم را جهات هذلولی می نامند. از آنجایی که برای هذلولی ε > 1، پس . این بدان معنی است که جهت راست بین مرکز و راس راست هذلولی، سمت چپ - بین مرکز و راس چپ قرار دارد.

جهات یک هذلولی دارای همان خاصیت جهت یک بیضی است.

منحنی تعریف شده توسط معادله نیز یک هذلولی است که محور واقعی 2b آن بر روی محور Oy و محور فرضی 2 قرار دارد. آ- در محور Ox. در شکل 59 به صورت یک خط نقطه چین نشان داده شده است.

واضح است که هذلولی ها مجانب مشترکی دارند. چنین هذلولی هایی مزدوج نامیده می شوند.

11.5. سهمی

معادله سهمی متعارف

سهمی مجموعه ای از تمام نقاط صفحه است که هر یک از آنها به یک اندازه از یک نقطه معین که کانون نامیده می شود و یک خط معین به نام جهت یابی فاصله دارند. فاصله کانون F تا جهات را پارامتر سهمی می نامند و با p نشان داده می شود (p > 0).

برای به دست آوردن معادله سهمی، سیستم مختصات Oxy را انتخاب می کنیم تا محور Ox از کانون F عمود بر جهات در جهت جهت مستقیم به F عبور کند و مبدأ مختصات O در وسط بین تمرکز و جهت (شکل 60 را ببینید). در سیستم انتخاب شده، فوکوس F دارای مختصاتی است و معادله مستقیم دارای شکل یا است.

1. در معادله (11.13) متغیر y با توان زوج ظاهر می شود، به این معنی که سهمی متقارن حول محور Ox است. محور Ox، محور تقارن سهمی است.

2. از آنجایی که ρ > 0، از (11.13) نتیجه می شود که . در نتیجه سهمی در سمت راست محور Oy قرار دارد.

3. وقتی y = 0 داریم. بنابراین سهمی از مبدا می گذرد.

4. با افزایش x به طور نامحدود، ماژول y نیز به طور نامحدود افزایش می یابد. سهمی شکل (شکل) را دارد که در شکل 61 نشان داده شده است. نقطه O(0; 0) راس سهمی نامیده می شود، قطعه FM = r شعاع کانونی نقطه M نامیده می شود.

معادلات،، ( p>0) همچنین سهمی ها را تعریف می کنند، آنها در شکل 62 نشان داده شده اند

نشان دادن این نمودار آسان است سه جمله ای درجه دوم، که در آن، B و C هر اعداد حقیقی هستند، یک سهمی به معنای تعریف آن در بالا است.

11.6. معادله عمومی خطوط مرتبه دوم

معادلات منحنی های مرتبه دوم با محورهای تقارن موازی با محورهای مختصات

اجازه دهید ابتدا معادله بیضی را با مرکز در نقطه ای پیدا کنیم که محورهای تقارن آن با محورهای مختصات Ox و Oy موازی هستند و نیم محورها به ترتیب برابر هستند. آو ب. اجازه دهید در مرکز بیضی O 1 ابتدای یک سیستم مختصات جدید قرار دهیم که محورها و نیمه محورهای آن آو ب(شکل 64 را ببینید):

در نهایت، سهمی های نشان داده شده در شکل 65 دارای معادلات متناظر هستند.

معادله

معادلات بیضی، هذلولی، سهمی و معادله یک دایره بعد از تبدیل (پرانتز باز، همه عبارت های معادله را به یک طرف منتقل کنید، عبارت های مشابه را بیاورید، نمادهای جدید برای ضرایب معرفی کنید) را می توان با استفاده از یک معادله منفرد نوشت. فرم

که در آن ضرایب A و C همزمان با صفر برابر نیستند.

این سوال مطرح می شود: آیا هر معادله شکل (11.14) یکی از منحنی های مرتبه دوم (دایره، بیضی، هذلولی، سهمی) را تعیین می کند؟ پاسخ با قضیه زیر داده می شود.

قضیه 11.2. معادله (11.14) همیشه تعریف می کند: یا یک دایره (برای A = C)، یا یک بیضی (برای A C > 0)، یا یک هذلولی (برای A C)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

معادله مرتبه دوم عمومی

حال بیایید در نظر بگیریم معادله کلیدرجه دوم با دو مجهول:

با معادله (11.14) با وجود یک جمله با حاصلضرب مختصات (B10) تفاوت دارد. می توان با چرخش محورهای مختصات با زاویه a، این معادله را طوری تبدیل کرد که عبارت حاصلضرب مختصات وجود نداشته باشد.

استفاده از فرمول های چرخش محور

بیایید مختصات قدیمی را بر حسب مختصات جدید بیان کنیم:

اجازه دهید زاویه a را طوری انتخاب کنیم که ضریب x" · y" صفر شود، یعنی تساوی

بنابراین، هنگامی که محورها با زاویه a که شرایط (11.17) را برآورده می کند، چرخش می کنند، معادله (11.15) به معادله (11.14) کاهش می یابد.

نتیجه: معادله مرتبه دوم عمومی (11.15) در صفحه (به استثنای موارد انحطاط و زوال) منحنی های زیر را تعریف می کند: دایره، بیضی، هذلولی، سهمی.

نکته: اگر A = C باشد، معادله (11.17) بی معنا می شود. در این مورد، cos2α = 0 (نگاه کنید به (11.16))، سپس 2α = 90 درجه، یعنی α = 45 درجه. بنابراین، هنگامی که A = C، سیستم مختصات باید 45 درجه بچرخد.

بیضی مکان هندسی نقاط یک صفحه است، مجموع فواصل هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده F_1، و F_2 یک مقدار ثابت (2a) بزرگتر از فاصله (2c) بین آنها است. امتیاز داده شده(شکل 3.36، الف). این تعریف هندسی بیان می کند ویژگی کانونی یک بیضی.

ویژگی کانونی بیضی

نقاط F_1 و F_2 کانون بیضی نامیده می شوند، فاصله بین آنها 2c=F_1F_2 فاصله کانونی است، O وسط قطعه F_1F_2 مرکز بیضی است، عدد 2a طول محور اصلی بیضی است. بیضی (بر این اساس، عدد a، محور نیمه اصلی بیضی است). بخش های F_1M و F_2M که نقطه دلخواه M از بیضی را با کانون های آن متصل می کنند، شعاع کانونی نقطه M نامیده می شوند. قطعه ای که دو نقطه بیضی را به هم متصل می کند، وتر بیضی نامیده می شود.

نسبت e=\frac(c)(a) را خروج از مرکز بیضی می نامند. از تعریف (2a>2c) نتیجه می شود که 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

تعریف هندسی بیضی، که ویژگی کانونی آن را بیان می کند، معادل تعریف تحلیلی آن است - خطی که توسط معادله متعارف بیضی ارائه می شود:

در واقع، اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی را معرفی کنیم (شکل 3.36c). ما مرکز O بیضی را به عنوان مبدأ سیستم مختصات در نظر می گیریم. خط مستقیمی را که از کانون ها می گذرد (محور کانونی یا اولین محور بیضی) را به عنوان محور آبسیسا می گیریم (جهت مثبت روی آن از نقطه F_1 تا نقطه F_2 است). اجازه دهید یک خط مستقیم را عمود بر محور کانونی در نظر بگیریم و از مرکز بیضی (محور دوم بیضی) به عنوان محور بیضی می گذرد (جهت روی محور ارتین طوری انتخاب می شود که سیستم مختصات مستطیلی Oxy درست باشد) .

بیایید با استفاده از تعریف هندسی آن معادله ای برای بیضی ایجاد کنیم که خاصیت کانونی را بیان می کند. در سیستم مختصات انتخاب شده، مختصات کانون ها را تعیین می کنیم F_1(-c,0)،~F_2(c,0). برای یک نقطه دلخواه M(x,y) متعلق به بیضی، داریم:

\vline\،\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

با نوشتن این برابری به صورت مختصات، به دست می‌آییم:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

رادیکال دوم را به سمت راست منتقل می کنیم، دو طرف معادله را مربع می کنیم و عبارت های مشابه را می آوریم:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\پیکان راست چپ ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

با تقسیم بر 4، دو طرف معادله را مربع می کنیم:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\پیکان راست چپ~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

تعیین کردن b=\sqrt(a^2-c^2)>0، ما گرفتیم b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. با تقسیم هر دو طرف بر a^2b^2\ne0 به معادله متعارف بیضی می رسیم:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

بنابراین، سیستم مختصات انتخاب شده متعارف است.

اگر کانون های بیضی منطبق باشند، بیضی یک دایره است (شکل 3.36،6)، زیرا a=b. در این حالت، هر سیستم مختصات مستطیلی با مبدأ در نقطه، متعارف خواهد بود O\equiv F_1\equiv F_2و معادله x^2+y^2=a^2 معادله دایره ای است که مرکز آن در نقطه O و شعاع آن برابر با a است.

با استدلال در به صورت برعکسمی توان نشان داد که تمام نقاطی که مختصات آنها معادله (3.49) را برآورده می کند، و فقط آنها، متعلق به مکان هندسی نقاط هستند که بیضی نامیده می شود. به عبارت دیگر، تعریف تحلیلی بیضی معادل تعریف هندسی آن است که خاصیت کانونی بیضی را بیان می کند.

ویژگی کارگردانی یک بیضی

جهات یک بیضی دو خط مستقیم هستند که به موازات محور ارتینی سیستم مختصات متعارف در همان فاصله \frac(a^2)(c) از آن قرار دارند. در c=0، زمانی که بیضی یک دایره است، هیچ جهتی وجود ندارد (می توانیم فرض کنیم که جهات در بی نهایت هستند).

بیضی با خروج از مرکز 0 مکان نقاط در صفحه که برای هر یک از آنها نسبت فاصله به یک نقطه معین F (تمرکز) به فاصله به یک خط مستقیم معین d (مستقیم) که از نقطه معینی نمی گذرد ثابت و برابر است با گریز از مرکز. e ( ویژگی کارگردانی یک بیضی). در اینجا F و d یکی از کانون‌های بیضی و یکی از جهت‌های آن هستند که در یک طرف محور مختصات سیستم مختصات متعارف قرار دارند. F_1,d_1 یا F_2,d_2.

در واقع، برای مثال، برای فوکوس F_2 و Directrix d_2 (شکل 3.37،6) شرایط \frac(r_2)(\rho_2)=eرا می توان به صورت مختصات نوشت:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

رهایی از بی منطقی و جایگزینی e=\frac(c)(a)،~a^2-c^2=b^2، به معادله بیضی متعارف (3.49) می رسیم. استدلال مشابهی را می توان برای تمرکز F_1 و کارگردان انجام داد d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

معادله یک بیضی در یک سیستم مختصات قطبی

معادله بیضی در سیستم مختصات قطبی F_1r\varphi (شکل 3.37،c و 3.37(2)) شکل دارد.

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

که در آن p=\frac(b^2)(a) پارامتر کانونی بیضی است.

در واقع، اجازه دهید کانون سمت چپ F_1 بیضی را به عنوان قطب سیستم مختصات قطبی، و پرتو F_1F_2 را به عنوان محور قطبی انتخاب کنیم (شکل 3.37، ج). سپس برای یک نقطه دلخواه M(r,\varphi)، با توجه به تعریف هندسی (ویژگی کانونی) یک بیضی، r+MF_2=2a داریم. ما فاصله بین نقاط M(r,\varphi) و F_2 (2c,0) را بیان می کنیم (به بند 2 از اظهارات 2.8 مراجعه کنید):

\begin(تراز شده)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end (تراز شده)

بنابراین به صورت مختصات معادله بیضی F_1M+F_2M=2a شکل دارد.

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

ما رادیکال را جدا می کنیم، دو طرف معادله را مربع می کنیم، بر 4 تقسیم می کنیم و عبارت های مشابه را ارائه می دهیم:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

شعاع قطبی r را بیان می کنیم و جایگزین می کنیم e=\frac(c)(a)،~b^2=a^2-c^2،~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \فلش سمت چپ \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \فلش راست چپ \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)،

Q.E.D.

معنی هندسی ضرایب در معادله بیضی

بیایید نقاط تقاطع بیضی (به شکل 3.37، a) را با محورهای مختصات (رأس بیضی) پیدا کنیم. با جایگزینی y=0 در معادله، نقاط تقاطع بیضی را با محور آبسیسا (با محور کانونی) می‌یابیم: x=\pm a. در نتیجه، طول بخش از محور کانونی موجود در داخل بیضی برابر با 2a است. این قطعه همانطور که در بالا ذکر شد، محور اصلی بیضی نامیده می شود و عدد a، محور نیمه اصلی بیضی است. با جایگزینی x=0، y=\pm b را بدست می آوریم. بنابراین طول قطعه محور دوم بیضی موجود در داخل بیضی برابر با 2b است. این قطعه، محور فرعی بیضی نامیده می‌شود و عدد b، محور نیمه‌مینور بیضی است.

واقعا، b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=aو برابری b=a فقط در حالت c=0 که بیضی دایره است به دست می آید. نگرش k=\frac(b)(a)\leqslant1نسبت تراکم بیضی نامیده می شود.

یادداشت های 3.9

1. خطوط مستقیم x=\pm a,~y=\pm b مستطیل اصلی را در صفحه مختصات محدود می کنند که داخل آن یک بیضی وجود دارد (به شکل 3.37، a مراجعه کنید).

2. بیضی را می توان به صورت تعریف کرد مکان نقاط به دست آمده از فشرده سازی یک دایره به قطر آن.

در واقع، اجازه دهید معادله یک دایره در سیستم مختصات مستطیلی Oxy x^2+y^2=a^2 باشد. هنگامی که به محور x با ضریب 0 فشرده می شود

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

با جایگزینی دایره های x=x" و y=\frac(1)(k)y" در معادله، معادله مختصات تصویر M"(x،y") نقطه M(x) را بدست می آوریم، y) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

از آنجایی که b=k\cdot a . این معادله متعارف بیضی است.

3. محورهای مختصات (سیستم مختصات متعارف) محورهای تقارن بیضی (به نام محورهای اصلی بیضی) هستند و مرکز آن مرکز تقارن است.

در واقع، اگر نقطه M(x,y) متعلق به بیضی باشد. سپس نقاط M"(x,-y) و M""(-x,y)، متقارن با نقطه M نسبت به محورهای مختصات، نیز به همان بیضی تعلق دارند.

4. از معادله بیضی در سیستم مختصات قطبی r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(شکل 3.37، ج را ببینید)، معلوم است معنی هندسیپارامتر کانونی نصف طول وتر بیضی است که از کانون آن عمود بر محور کانونی عبور می کند (r = p در \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. خروج از مرکز e مشخص کننده شکل بیضی، یعنی تفاوت بین بیضی و دایره است. هرچه e بزرگتر باشد، بیضی درازتر است و هر چه e به صفر نزدیکتر باشد، بیضی به دایره نزدیکتر است (شکل 3.38a). در واقع، با در نظر گرفتن e=\frac(c)(a) و c^2=a^2-b^2، به دست می آوریم

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\راست )\^2=1-k^2, !}

که در آن k نسبت فشرده سازی بیضی، 0 است

6. معادله \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1در یک

7. معادله \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bیک بیضی با مرکز در نقطه O"(x_0,y_0) تعریف می کند، که محورهای آن موازی با محورهای مختصات هستند (شکل 3.38، ج). این معادله با استفاده از ترجمه موازی به معادله متعارف کاهش می یابد (3.36).

وقتی a=b=R معادله است (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2دایره ای به شعاع R با مرکز در نقطه O"(x_0,y_0) را توصیف می کند.

معادله پارامتری بیضی

معادله پارامتری بیضیدر سیستم مختصات متعارف شکل دارد

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t)،\\ y=b\cdot\sin(t)،\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

در واقع، با جایگزینی این عبارات به معادله (3.49)، به هویت مثلثاتی اصلی \cos^2t+\sin^2t=1 می رسیم.

مثال 3.20.یک بیضی بکشید \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1در سیستم مختصات متعارف Oxy. معادلات نیم محور، فاصله کانونی، خروج از مرکز، نسبت ابعاد، پارامتر کانونی، معادلات مستقیم را بیابید.

راه حل.با مقایسه معادله داده شده با معادله متعارف، نیم محورها را تعیین می کنیم: a=2 - محور نیمه اصلی، b=1 - محور نیمه جزئی بیضی. یک مستطیل پایه با اضلاع 2a=4،~2b=2 با مرکز در مبدا می سازیم (شکل 3.39). با توجه به تقارن بیضی، آن را در مستطیل اصلی قرار می دهیم. در صورت لزوم مختصات برخی از نقاط بیضی را تعیین کنید. به عنوان مثال، با جایگزینی x=1 به معادله بیضی، دریافت می کنیم

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \فلش راست چپ \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \فلش راست چپ \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

بنابراین، نقاط با مختصات \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\راست)- متعلق به بیضی است.

محاسبه نسبت تراکم k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); فاصله کانونی 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); عجیب و غریب e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); پارامتر کانونی p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). معادلات مستقیم را می سازیم: x=\pm\frac(a^2)(c)~\فلش راست چپ~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای انجام محاسبات، باید کنترل های ActiveX را فعال کنید!