صفحه اصلی زبان روکش دار یک نقطه متقارن با نقطه a پیدا کنید. چگونه یک نقطه متقارن در مورد یک خط پیدا کنیم

زبان روکش دار

یک نقطه متقارن با نقطه a پیدا کنید. چگونه یک نقطه متقارن در مورد یک خط پیدا کنیم

اجازه دهید یک خط مستقیم مشخص به ما داده شود که با یک معادله خطی تعریف می شود، و یک نقطه که با مختصات آن (x0, y0) تعریف می شود و روی این خط قرار ندارد. لازم است نقطه ای را پیدا کنید که با یک نقطه معین در مورد یک خط مستقیم مشخص متقارن باشد، یعنی اگر هواپیما از نظر ذهنی در امتداد این خط مستقیم به نصف خم شود، با آن منطبق شود.

دستورالعمل ها

1. واضح است که هر دو نقطه - داده شده و مطلوب - باید روی یک خط قرار گیرند و این خط باید عمود بر خط داده شده باشد. بنابراین، بخش اول مسئله، کشف معادله خطی است که عمود بر یک خط معین باشد و در همان زمان از یک نقطه معین عبور کند.

2. یک خط مستقیم را می توان به دو صورت مشخص کرد. معادله متعارف یک خط به این صورت است: Ax + By + C = 0، که در آن A، B و C ثابت هستند. شما همچنین می توانید یک خط مستقیم را با استفاده از تابع خطی: y = kx + b که k توان زاویه ای است، b جابجایی است، این دو روش قابل تعویض هستند و امکان جابجایی از هر یک به دیگری وجود دارد. اگر Ax + By + C = 0، آنگاه y = – (Ax + C)/B. به عبارت دیگر، در یک تابع خطی y = kx + b، توان زاویه ای k = -A/B، و جابجایی b = -C/B. برای کار در دست، استدلال بر اساس راحت تر است معادله متعارفسر راست.

3. اگر دو خط بر هم عمود باشند و معادله خط اول Ax + By + C = 0 باشد، معادله خط دوم باید مانند Bx – Ay + D = 0 باشد که D یک ثابت است. برای تشخیص مقدار مشخصی از D، علاوه بر این لازم است که بدانیم خط عمود از کدام نقطه عبور می کند. که در در این مورداین نقطه است (x0، y0) در نتیجه، D باید برابری را برآورده کند: Bx0 – Ay0 + D = 0، یعنی D = Ay0 – Bx0.

4. پس از کشف خط عمود، لازم است مختصات نقطه تقاطع آن با نقطه داده شده محاسبه شود. برای این کار باید سیستم را حل کنیم معادلات خطی:Ax + By + C = 0,Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. حل آن اعداد (x1, y1) را به دست می دهد که مختصات نقطه تقاطع خطوط هستند.

5. نقطه مورد نظر باید روی خط تشخیص داده شود و فاصله آن تا نقطه تقاطع باید برابر با فاصله از نقطه تقاطع تا نقطه (x0, y0) باشد. بنابراین مختصات یک نقطه متقارن با نقطه (x0, y0) را می توان با حل سیستم معادلات پیدا کرد: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. اما شما می توانید آن را راحت تر انجام دهید. اگر نقاط (x0, y0) و (x, y) در فواصل مساوی از نقطه (x1, y1) باشند و هر سه نقطه روی یک خط مستقیم قرار گیرند، آنگاه: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0. در نتیجه x = 2×1 – x0، y = 2y1 – y0. با جایگزینی این مقادیر در معادله دوم سیستم اول و ساده کردن عبارات، به راحتی می توان مطمئن شد که سمت راست آن با سمت چپ یکسان می شود. بعلاوه، دیگر در نظر گرفتن معادله اول فایده ای ندارد، زیرا مشخص است که نقاط (x0, y0) و (x1, y1) آن را برآورده می کنند و نقطه (x, y) به وضوح روی یک خط قرار دارد. .

وظیفه یافتن مختصات نقطه ای است که با نقطه نسبت به خط مستقیم متقارن است . من پیشنهاد می‌کنم مراحل را خودتان انجام دهید، اما الگوریتم حل را با نتایج متوسط بیان می‌کنم:

1) خطی را پیدا کنید که عمود بر خط باشد.

2) نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید: .

هر دو عمل به تفصیل در این درس مورد بحث قرار می گیرند.

3) نقطه نقطه وسط قطعه است. مختصات وسط و یکی از انتها را می دانیم. توسط فرمول مختصات نقطه وسط یک قطعهما پیدا می کنیم .

بهتر است بررسی کنید که فاصله نیز 2.2 واحد باشد.

در اینجا ممکن است مشکلاتی در محاسبات ایجاد شود، اما یک ریز حساب کمک بزرگی در برج است و به شما امکان می دهد محاسبه کنید. کسرهای رایج. من بارها به شما توصیه کرده ام و دوباره به شما توصیه می کنم.

چگونه فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنیم؟

مثال 9

فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنید

این یک مثال دیگر برای تصمیم مستقل. من یک اشاره کوچک به شما می دهم: راه های بی نهایت زیادی برای حل این مشکل وجود دارد. خلاصه در پایان درس، اما بهتر است سعی کنید خودتان حدس بزنید، فکر می کنم نبوغ شما به خوبی توسعه یافته است.

زاویه بین دو خط مستقیم

هر گوشه ای یک چوب است:

در هندسه، زاویه بین دو خط مستقیم، زاویه کوچکتر در نظر گرفته می شود، که از آن به طور خودکار نتیجه می شود که نمی تواند مبهم باشد. در شکل، زاویه نشان داده شده با قوس قرمز، زاویه بین خطوط متقاطع در نظر گرفته نمی شود. و همسایه "سبز" او یا مخالف جهت گیریگوشه "تمشک".

اگر خطوط عمود باشند، هر یک از 4 زاویه را می توان به عنوان زاویه بین آنها در نظر گرفت.

زاویه ها چگونه متفاوت است؟ گرایش. اولاً، جهتی که در آن زاویه "پیمایش" می شود اساساً مهم است. ثانیا، یک زاویه جهت منفی با علامت منفی نوشته می شود، برای مثال اگر .

چرا این را به شما گفتم؟ به نظر می رسد که می توانیم با مفهوم معمول زاویه کنار بیاییم. واقعیت این است که فرمول هایی که با آنها زاویه پیدا می کنیم به راحتی می توانند نتیجه منفی داشته باشند و این نباید شما را غافلگیر کند. زاویه ای با علامت منفی بدتر نیست و یک زاویه بسیار خاص دارد معنی هندسی. در طراحی، برای زاویه منفی، حتما جهت آن را با یک فلش (در جهت عقربه های ساعت) نشان دهید.

چگونه زاویه بین دو خط مستقیم را پیدا کنیم؟دو فرمول کار وجود دارد:

مثال 10

زاویه بین خطوط را پیدا کنید

راه حلو روش یک

دو خط مستقیم را در نظر بگیرید که توسط معادلات در آمده است نمای کلی:

اگر مستقیم عمود نیست، آن جهت دارزاویه بین آنها را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

بیایید به مخرج بسیار توجه کنیم - این دقیقاً همین است حاصلضرب عددیبردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم:

اگر، مخرج فرمول صفر می شود و بردارها متعامد و خطوط عمود می شوند. به همین دلیل است که در مورد عمود نبودن خطوط مستقیم در فرمول بندی قید شد.

بر اساس موارد فوق، رسمی کردن راه حل در دو مرحله راحت است:

1) بیایید حاصل ضرب اسکالر بردارهای جهت خطوط را محاسبه کنیم:

2) زاویه بین خطوط مستقیم را با استفاده از فرمول پیدا کنید:

با استفاده از تابع معکوس می توان به راحتی خود زاویه را پیدا کرد. در این مورد، ما از عجیب و غریب بودن مماس قوس استفاده می کنیم (نگاه کنید به. نمودارها و خواص توابع ابتدایی ):

پاسخ:

در پاسخ اشاره می کنیم ارزش دقیق، و همچنین یک مقدار تقریبی (ترجیحاً در هر دو درجه و رادیان) که با استفاده از ماشین حساب محاسبه می شود.

خوب، منهای، منهای، چیز مهمی نیست. در اینجا یک تصویر هندسی است:

تعجب آور نیست که زاویه دارای جهت منفی است، زیرا در بیان مسئله، عدد اول یک خط مستقیم است و "باز کردن" زاویه دقیقاً با آن آغاز شد.

اگر واقعاً می خواهید زاویه مثبت بگیرید، باید خطوط را عوض کنید، یعنی ضرایب را از معادله دوم بگیرید. ، و ضرایب را از معادله اول بگیرید. به طور خلاصه، شما باید با یک مستقیم شروع کنید .

من آن را پنهان نمی کنم، خطوط مستقیم را خودم به ترتیب انتخاب می کنم تا زاویه مثبت شود. قشنگ تره ولی نه بیشتر

برای بررسی راه حل خود، می توانید یک نقاله بردارید و زاویه را اندازه گیری کنید.

روش دو

اگر خطوط مستقیم با معادلات با شیب و عمود نیست، آن جهت دارزاویه بین آنها را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

شرط عمود بودن خطوط با تساوی بیان می شود که اتفاقاً رابطه بسیار مفیدی بین ضرایب زاویه ای خطوط عمود بر هم حاصل می شود: که در برخی مسائل استفاده می شود.

الگوریتم حل مشابه پاراگراف قبل است. اما ابتدا، اجازه دهید خطوط مستقیم خود را به شکل مورد نیاز بازنویسی کنیم:

بنابراین، شیب ها عبارتند از:

1) بیایید بررسی کنیم که آیا خطوط عمود هستند یا خیر:
یعنی خطوط عمود نیستند.

2) از فرمول استفاده کنید:

پاسخ:

روش دوم زمانی مناسب است که معادلات خطوط مستقیم در ابتدا با ضریب زاویه ای مشخص شده باشند. لازم به ذکر است که اگر حداقل یک خط مستقیم موازی با محور ارتین باشد، این فرمول به هیچ وجه قابل اجرا نیست، زیرا برای چنین خطوط مستقیمی شیب تعریف نشده است (به مقاله مراجعه کنید. معادله یک خط مستقیم در یک صفحه).

راه حل سومی هم وجود دارد. ایده این است که زاویه بین بردارهای جهت خطوط را با استفاده از فرمول مورد بحث در درس محاسبه کنیم حاصل ضرب نقطه ای بردارها:

در اینجا ما دیگر در مورد یک زاویه جهت دار صحبت نمی کنیم، بلکه "فقط در مورد یک زاویه" صحبت می کنیم، یعنی نتیجه مطمئناً مثبت خواهد بود. نکته مهم این است که ممکن است در نهایت با یک زاویه مبهم مواجه شوید (نه آن چیزی که نیاز دارید). در این مورد، شما باید رزرو کنید که زاویه بین خطوط مستقیم یک زاویه کوچکتر است و کسینوس قوس حاصل را از رادیان "pi" (180 درجه) کم کنید.

کسانی که مایل هستند می توانند مشکل را از راه سوم حل کنند. اما من همچنان توصیه می‌کنم به اولین رویکرد با زاویه‌ای جهت‌دار بچسبید، به دلیل اینکه گسترده است.

مثال 11

زاویه بین خطوط را پیدا کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. سعی کنید از دو طریق آن را حل کنید.

به نوعی افسانه در طول راه از بین رفت... چون کشچه ای جاودانه وجود ندارد. من هستم، و من به خصوص بخار نشده ام. صادقانه بگویم، فکر می کردم مقاله بسیار طولانی تر باشد. اما همچنان کلاه و عینکم را که اخیراً به دست آورده‌ام برمی‌دارم و در آب دریاچه سپتامبر شنا می‌کنم. خستگی و انرژی منفی را کاملاً از بین می برد.

قبل از به زودی میبینمت!

و به یاد داشته باشید، بابا یاگا لغو نشده است =)

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 3:راه حل : بیایید بردار جهت خط را پیدا کنیم :

بیایید با استفاده از نقطه معادله خط مورد نظر را بسازیم و بردار جهت . از آنجایی که یکی از مختصات بردار جهت صفر است، معادله بیایید آن را به این شکل بازنویسی کنیم:

پاسخ :

مثال 5:راه حل :
1) معادله یک خط بیایید دو نکته را بسازیم :

2) معادله یک خط بیایید دو نکته را بسازیم :

3) ضرایب متناظر برای متغیرها متناسب نیست: ، که به معنای قطع خطوط است.
4) یک نقطه پیدا کنید :

توجه داشته باشید : در اینجا اولین معادله سیستم در 5 ضرب می شود، سپس معادله 2 از معادله 1 کم می شود.
پاسخ :

اوه-او-او-او-اوه... خوب، سخت است، انگار که داشت یک جمله را برای خودش می خواند =) با این حال، آرامش بعدا کمک خواهد کرد، به خصوص که امروز لوازم جانبی مناسب را خریدم. بنابراین، بیایید به بخش اول برویم، امیدوارم تا پایان مقاله روحیه شادی را حفظ کنم.

موقعیت نسبی دو خط مستقیم

این مورد زمانی است که مخاطب به صورت کر همراهی می کند. دو خط مستقیم می تواند:

1) مطابقت؛

2) موازی باشد: ;

3) یا در یک نقطه قطع شوند: .

کمک به آدمک ها : لطفا علامت تقاطع ریاضی را به خاطر بسپارید، اغلب ظاهر می شود. علامت گذاری به این معنی است که خط با خط در نقطه قطع می شود.

چگونه موقعیت نسبی دو خط را تعیین کنیم؟

بیایید با مورد اول شروع کنیم:

دو خط منطبق هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب متناظر آنها متناسب باشد، یعنی یک عدد "لامبدا" وجود دارد که برابری ها برآورده می شود

بیایید خطوط مستقیم را در نظر بگیریم و از ضرایب مربوطه سه معادله ایجاد کنیم: . از هر معادله نتیجه می شود که بنابراین، این خطوط بر هم منطبق هستند.

در واقع، اگر تمام ضرایب معادله ضرب در -1 (علائم تغییر)، و تمام ضرایب معادله برش 2، معادله یکسان را بدست می آورید: .

حالت دوم، زمانی که خطوط موازی هستند:

دو خط موازی هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب آنها از متغیرها متناسب باشد: ، ولی.

به عنوان مثال، دو خط مستقیم را در نظر بگیرید. تناسب ضرایب مربوطه را برای متغیرها بررسی می کنیم:

با این حال، کاملاً بدیهی است که.

و حالت سوم، وقتی خطوط را قطع می کنند:

دو خط اگر و فقط در صورتی قطع می شوند که ضرایب متغیرهای آنها متناسب نباشدیعنی هیچ مقداری از "لامبدا" وجود ندارد که برابری ها برآورده شوند

بنابراین، برای خطوط مستقیم، ما یک سیستم ایجاد خواهیم کرد:

از معادله اول نتیجه می شود که , و از معادله دوم: که به معنی سیستم ناسازگار است(بدون راه حل). بنابراین، ضرایب متغیرها متناسب نیستند.

نتیجه گیری: خطوط قطع می شوند

در مسائل عملی، می توانید از طرح راه حلی که قبلاً در مورد آن بحث شد استفاده کنید. به هر حال، بسیار یادآور الگوریتم بررسی بردارها برای همخطی بودن است که در کلاس به آن نگاه کردیم. مفهوم وابستگی خطی (نا)بردارها. اساس بردارها. اما بسته بندی متمدن تری وجود دارد:

مثال 1

برای فهمیدن ترتیب متقابلمستقیم:

راه حلبر اساس مطالعه بردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم:

الف) از معادلات بردارهای جهت خطوط را پیدا می کنیم: .

یعنی بردارها خطی نیستند و خطوط همدیگر را قطع می کنند.

در هر صورت، سنگی با علائم سر چهارراه می گذارم:

بقیه از روی سنگ می پرند و ادامه می دهند، مستقیم به کشچه ای جاودانه =)

ب) بردارهای جهت خطوط را بیابید:

خطوط بردار جهت یکسانی دارند، به این معنی که آنها یا موازی هستند یا همزمان. در اینجا نیازی به شمارش تعیین کننده نیست.

بدیهی است که ضرایب مجهولات متناسب هستند و .

بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر:

بدین ترتیب،

ج) بردارهای جهت خطوط را بیابید:

بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات این بردارها را محاسبه کنیم:
بنابراین، بردارهای جهت خطی هستند. خطوط یا موازی هستند یا همزمان.

ضریب تناسب "لامبدا" مستقیماً از نسبت بردارهای جهت خطی قابل مشاهده است. با این حال، می توان آن را از طریق ضرایب خود معادلات نیز یافت: .

حال بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر. هر دو عبارت رایگان صفر هستند، بنابراین:

مقدار حاصل این معادله را برآورده می کند (به طور کلی هر عددی آن را برآورده می کند).

بنابراین، خطوط منطبق هستند.

پاسخ:

خیلی زود یاد خواهید گرفت (یا حتی قبلاً یاد گرفته اید) مشکلی را که به صورت شفاهی مورد بحث قرار گرفته است را در عرض چند ثانیه حل کنید. در این زمینه، من هیچ فایده ای برای ارائه یک راه حل مستقل نمی بینم؛ بهتر است یک آجر مهم دیگر را در شالوده هندسی بگذاریم:

چگونه یک خط موازی با یک خط داده شده بسازیم؟

به دلیل ناآگاهی از این ساده ترین کار، بلبل دزد به شدت مجازات می کند.

مثال 2

خط مستقیم با معادله به دست می آید. برای خط موازی که از نقطه عبور می کند معادله بنویسید.

راه حل: خط مجهول را با حرف نشان می دهیم. شرایط در مورد او چه می گوید؟ خط مستقیم از نقطه عبور می کند. و اگر خطوط موازی باشند، بدیهی است که بردار جهت خط مستقیم "tse" برای ساخت خط مستقیم "de" نیز مناسب است.

بردار جهت را از معادله خارج می کنیم:

پاسخ:

هندسه مثال ساده به نظر می رسد:

تست تحلیلی شامل مراحل بعدی:

1) بررسی می کنیم که خطوط بردار جهت یکسانی داشته باشند (اگر معادله خط به درستی ساده نشده باشد، بردارها هم خط خواهند بود).

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله حاصل را برآورده می کند یا خیر.

در بیشتر موارد، تست تحلیلی را می توان به راحتی به صورت شفاهی انجام داد. به دو معادله نگاه کنید، بسیاری از شما به سرعت موازی خطوط را بدون هیچ ترسیمی تعیین خواهید کرد.

مثال هایی برای راه حل های مستقل امروز خلاقانه خواهد بود. زیرا شما همچنان باید با بابا یاگا رقابت کنید و او، می دانید، عاشق انواع معماها است.

مثال 3

برای خطی که از نقطه ای موازی با خط if می گذرد معادله بنویسید

یک راه منطقی و نه چندان منطقی برای حل آن وجود دارد. کوتاه ترین راه در پایان درس است.

ما کمی با خطوط موازی کار کردیم و بعداً به آنها باز خواهیم گشت. مورد خطوط منطبق چندان جالب نیست، بنابراین بیایید مشکلی را که برای شما آشناست در نظر بگیریم برنامه آموزشی مدرسه:

چگونه نقطه تلاقی دو خط را پیدا کنیم؟

اگر مستقیم در نقطه ای قطع می شود، سپس مختصات آن راه حل هستند سیستم های معادلات خطی

چگونه نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنیم؟ سیستم را حل کنید.

بفرمایید معنای هندسی یک سیستم از دو معادله خطی با دو مجهول- این دو خط متقاطع (اغلب) در یک هواپیما هستند.

مثال 4

نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید

راه حل: دو راه برای حل وجود دارد - گرافیکی و تحلیلی.

روش گرافیکی این است که به سادگی خطوط داده شده را رسم کنید و نقطه تقاطع را مستقیماً از نقاشی پیدا کنید:

نکته ما اینجاست: . برای بررسی، باید مختصات آن را در هر معادله خط جایگزین کنید، آنها باید هم آنجا و هم آنجا قرار بگیرند. به عبارت دیگر مختصات یک نقطه راه حلی برای سیستم است. در اصل، ما به یک راه حل گرافیکی نگاه کردیم سیستم های معادلات خطیبا دو معادله، دو مجهول.

روش گرافیکی البته بد نیست، اما معایب قابل توجهی دارد. نه، نکته این نیست که دانش آموزان کلاس هفتم اینگونه تصمیم می گیرند، نکته این است که ایجاد یک نقاشی صحیح و دقیق زمان می برد. علاوه بر این، ساختن برخی از خطوط مستقیم چندان آسان نیست و خود نقطه تقاطع ممکن است جایی در سی ام پادشاهی خارج از برگه دفترچه یادداشت قرار داشته باشد.

بنابراین، جستجوی نقطه تقاطع با استفاده از روش تحلیلی به مصلحت‌تر است. بیایید سیستم را حل کنیم:

برای حل سیستم از روش جمع ترم به ترم معادلات استفاده شد. برای توسعه مهارت های مرتبط، یک درس بخوانید چگونه یک سیستم معادلات را حل کنیم؟

پاسخ:

بررسی بی اهمیت است - مختصات نقطه تقاطع باید هر معادله سیستم را برآورده کند.

مثال 5

نقطه تلاقی خطوط را در صورت قطع آنها پیدا کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. تقسیم کار به چند مرحله راحت است. تجزیه و تحلیل وضعیت نشان می دهد که لازم است:
1) معادله خط مستقیم را بنویسید.
2) معادله خط مستقیم را بنویسید.
3) موقعیت نسبی خطوط را پیدا کنید.
4) اگر خطوط همدیگر را قطع کنند، نقطه تلاقی را پیدا کنید.

توسعه یک الگوریتم عمل برای بسیاری از مسائل هندسی معمولی است، و من بارها بر این موضوع تمرکز خواهم کرد.

راه حل کاملو پاسخ در پایان درس:

قبل از اینکه به بخش دوم درس برسیم، حتی یک جفت کفش کهنه نشده بود:

خطوط عمود بر هم. فاصله از یک نقطه تا یک خط.
زاویه بین خطوط مستقیم

بیایید با یک معمولی و بسیار شروع کنیم وظیفه مهم. در قسمت اول یاد گرفتیم که چگونه یک خط مستقیم به موازات این خط بسازیم و اکنون کلبه روی پای مرغ 90 درجه خواهد چرخید:

چگونه یک خط عمود بر یک معین بسازیم؟

مثال 6

خط مستقیم با معادله به دست می آید. معادله ای عمود بر خطی که از نقطه عبور می کند بنویسید.

راه حل: به شرط معلوم است که . خوب است که بردار هدایت خط را پیدا کنید. از آنجایی که خطوط عمود هستند، ترفند ساده است:

از معادله، بردار نرمال: را حذف می کنیم که بردار هدایت کننده خط مستقیم خواهد بود.

بیایید با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت، معادله یک خط مستقیم را بسازیم:

پاسخ:

بیایید طرح هندسی را گسترش دهیم:

هوم... آسمان نارنجی، دریای نارنجی، شتر نارنجی.

بررسی تحلیلی راه حل:

1) بردارهای جهت را از معادلات خارج می کنیم و با کمک حاصل ضرب اسکالر بردارهاما به این نتیجه می رسیم که خطوط در واقع عمود هستند: .

به هر حال، می توانید از بردارهای معمولی استفاده کنید، حتی ساده تر است.

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله حاصل را برآورده می کند یا خیر .

آزمایش، دوباره، به راحتی به صورت شفاهی انجام می شود.

مثال 7

اگر معادله مشخص باشد، نقطه تلاقی خطوط عمود بر هم را پیدا کنید و دوره

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. چندین عمل در مسئله وجود دارد، بنابراین فرموله کردن راه حل نقطه به نقطه راحت است.

سفر هیجان انگیز ما ادامه دارد:

فاصله از نقطه به خط

روبروی ما یک نوار مستقیم از رودخانه است و وظیفه ما این است که از کوتاه ترین مسیر به آن برسیم. هیچ مانعی وجود ندارد و بهینه ترین مسیر حرکت در امتداد عمود خواهد بود. یعنی فاصله یک نقطه تا یک خط طول پاره عمود بر هم است.

فاصله در هندسه به طور سنتی با حرف یونانی "rho" نشان داده می شود، به عنوان مثال: - فاصله از نقطه "em" تا خط مستقیم "de".

فاصله از نقطه به خط با فرمول بیان می شود

مثال 8

فاصله یک نقطه تا یک خط را پیدا کنید

راه حل: تنها کاری که باید انجام دهید این است که اعداد را با دقت در فرمول جایگزین کرده و محاسبات را انجام دهید:

پاسخ:

بیایید نقاشی را انجام دهیم:

فاصله یافت شده از نقطه تا خط دقیقاً به اندازه طول قطعه قرمز است. اگر نقاشی را روی کاغذ شطرنجی در مقیاس 1 واحد بکشید. = 1 سانتی متر (2 سلول)، سپس فاصله را می توان با یک خط کش معمولی اندازه گیری کرد.

بیایید کار دیگری را بر اساس همان نقاشی در نظر بگیریم:

وظیفه یافتن مختصات نقطه ای است که با نقطه نسبت به خط مستقیم متقارن است . من پیشنهاد می کنم مراحل را خودتان انجام دهید، اما الگوریتم حل را با نتایج متوسط بیان می کنم:

1) خطی را پیدا کنید که عمود بر خط باشد.

2) نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید: .

هر دو عمل به تفصیل در این درس مورد بحث قرار می گیرند.

بهتر است بررسی کنید که فاصله نیز 2.2 واحد باشد.

در اینجا ممکن است مشکلاتی در محاسبات ایجاد شود، اما یک ریز محاسبه گر کمک بزرگی در برج است و به شما امکان می دهد کسرهای معمولی را محاسبه کنید. من بارها به شما توصیه کرده ام و دوباره به شما توصیه می کنم.

چگونه فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنیم؟

مثال 9

فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنید

این مثال دیگری برای تصمیم گیری شماست. من یک اشاره کوچک به شما می دهم: راه های بی نهایت زیادی برای حل این مشکل وجود دارد. خلاصه در پایان درس، اما بهتر است سعی کنید خودتان حدس بزنید، فکر می کنم نبوغ شما به خوبی توسعه یافته است.

زاویه بین دو خط مستقیم

اگر خطوط عمود باشند، هر یک از 4 زاویه را می توان به عنوان زاویه بین آنها در نظر گرفت.

چرا این را به شما گفتم؟ به نظر می رسد که می توانیم با مفهوم معمول زاویه کنار بیاییم. واقعیت این است که فرمول هایی که با آنها زاویه پیدا می کنیم به راحتی می توانند نتیجه منفی داشته باشند و این نباید شما را غافلگیر کند. زاویه ای با علامت منفی بدتر نیست و معنای هندسی بسیار خاصی دارد. در طراحی، برای زاویه منفی، حتما جهت آن را با یک فلش (در جهت عقربه های ساعت) نشان دهید.

چگونه زاویه بین دو خط مستقیم را پیدا کنیم؟دو فرمول کار وجود دارد:

مثال 10

زاویه بین خطوط را پیدا کنید

راه حلو روش یک

بیایید دو خط مستقیم را در نظر بگیریم که با معادلات به صورت کلی تعریف شده اند:

اگر مستقیم عمود نیست، آن جهت دارزاویه بین آنها را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

بیایید به مخرج بسیار توجه کنیم - این دقیقاً همین است حاصلضرب عددیبردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم:

بر اساس موارد فوق، رسمی کردن راه حل در دو مرحله راحت است:

1) بیایید حاصل ضرب اسکالر بردارهای جهت خطوط را محاسبه کنیم:
یعنی خطوط عمود نیستند.

2) زاویه بین خطوط مستقیم را با استفاده از فرمول پیدا کنید:

پاسخ:

در پاسخ شما، مقدار دقیق و همچنین مقدار تقریبی (ترجیحاً در هر دو درجه و رادیان) را که با استفاده از ماشین حساب محاسبه می شود، نشان می دهیم.

فرمول بندی مسئله. مختصات یک نقطه متقارن با یک نقطه را پیدا کنید نسبت به هواپیما

طرح راه حل.

1. معادله خط مستقیمی را که بر صفحه معین عمود است و از نقطه عبور می کند بیابید. . از آنجایی که یک خط مستقیم بر یک صفحه معین عمود است، پس بردار نرمال صفحه را می توان به عنوان بردار جهت آن در نظر گرفت، یعنی.

بنابراین معادله خط مستقیم خواهد بود

2. نقطه را پیدا کنید تقاطع یک خط مستقیم و هواپیماها (مسئله 13 را ببینید).

3. نقطه نقطه وسط قطعه ای است که در آن نقطه است یک نقطه متقارن با نقطه است ، از همین رو

مسئله 14. یک نقطه متقارن با نقطه نسبت به صفحه پیدا کنید.

معادله خط مستقیمی که از نقطه ای عمود بر صفحه معین می گذرد به صورت زیر خواهد بود:

بیایید نقطه تلاقی خط و صفحه را پیدا کنیم.

جایی که - نقطه تلاقی یک خط و یک صفحه، وسط قطعه است، بنابراین

آن ها .

مختصات صفحه همگن دگرگونی های افین در هواپیما.

اجازه دهید م ایکسو در

م(ایکس, درمی (ایکس, در، 1) در فضا (شکل 8).

می (ایکس, در

می (ایکس, در هو

(hx، hy، h)، h  0،

اظهار نظر

ساعت(مثلا، ساعت

در واقع با توجه به ساعت

اظهار نظر

مثال 1.

ب) به یک زاویه (شکل 9).

گام اول.

مرحله 2.چرخش با زاویه 

ماتریس تبدیل مربوطه

مرحله 3.انتقال به بردار A(a ب)

ماتریس تبدیل مربوطه

مثال 3

 در امتداد محور x و

گام اول.

ماتریس تبدیل مربوطه

مرحله 2.

مرحله 3.

بالاخره بهش میرسیم

اظهار نظر

[R]، [D]، [M]، [T]،

اجازه دهید م- نقطه دلخواه هواپیما با مختصات ایکسو در، نسبت به یک سیستم مختصات مستطیلی معین محاسبه می شود. مختصات همگن این نقطه هر سه گانه از اعداد غیرصفر همزمان x 1، x 2، x 3 است که با روابط زیر به اعداد x و y مربوط می شود:

هنگام حل مسائل گرافیک کامپیوتری، مختصات همگن معمولاً به صورت زیر وارد می شوند: به یک نقطه دلخواه م(ایکس, در) به هواپیما یک نقطه اختصاص داده شده است می (ایکس, در، 1) در فضا (شکل 8).

توجه داشته باشید که یک نقطه دلخواه در خطی که مبدا را به هم متصل می کند، نقطه 0(0, 0, 0) با نقطه می (ایکس, در، 1)، را می توان با سه اعداد از شکل (hx، hy، h) به دست داد.

بردار با مختصات hx، hy، بردار جهت خط مستقیم است که نقاط اتصال 0 (0، 0، 0) و می (ایکس, در، 1). این خط صفحه z = 1 را در نقطه (x، y، 1) قطع می کند، که به طور منحصر به فرد نقطه (x، y) صفحه مختصات را مشخص می کند. هو

بنابراین، بین یک نقطه دلخواه با مختصات (x، y) و مجموعه ای از سه گانه از اعداد شکل

(hx، hy، h)، h  0،

یک تناظر (یک به یک) ایجاد می شود که به ما امکان می دهد اعداد hx، hy، h را به عنوان مختصات جدید این نقطه در نظر بگیریم.

اظهار نظر

مختصات همگن که به طور گسترده در هندسه تصویری استفاده می شود، توصیف مؤثر عناصر به اصطلاح نامناسب را ممکن می سازد (اصلاً آنهایی که در آنها صفحه پرتابی با صفحه آشنا اقلیدسی متفاوت است). جزئیات بیشتر در مورد امکانات جدید ارائه شده توسط مختصات همگن معرفی شده در بخش چهارم این فصل مورد بحث قرار گرفته است.

در هندسه تصویری برای مختصات همگن، نماد زیر پذیرفته می شود:

x:y:1 یا، به طور کلی، x1:x2:x3

(به یاد داشته باشید که در اینجا کاملاً لازم است که اعداد x 1، x 2، x 3 همزمان به صفر نشوند).

استفاده از مختصات همگن حتی در هنگام حل ساده ترین مسائل نیز راحت است.

به عنوان مثال، مسائل مربوط به تغییرات مقیاس را در نظر بگیرید. اگر دستگاه نمایشگر فقط با اعداد صحیح کار می کند (یا اگر باید فقط با اعداد صحیح کار کنید)، برای یک مقدار دلخواه ساعت(مثلا، ساعت= 1) نقطه ای با مختصات همگن

غیر ممکن برای تصور با این حال، با انتخاب منطقی h، می توان از صحیح بودن مختصات این نقطه اطمینان حاصل کرد. به طور خاص، برای h = 10 برای مثال مورد بررسی ما داریم

بیایید یک مورد دیگر را در نظر بگیریم. برای جلوگیری از منتهی شدن نتایج تبدیل به سرریز حسابی، برای نقطه ای با مختصات (80000 40000 1000) می توانید برای مثال h=0.001 بگیرید. در نتیجه ما (80 40 1) دریافت می کنیم.

مثال های داده شده سودمندی استفاده از مختصات همگن را هنگام انجام محاسبات نشان می دهد. با این حال، هدف اصلی از معرفی مختصات همگن در گرافیک کامپیوتری، راحتی بی‌تردید آنها در کاربرد تبدیل‌های هندسی است.

با استفاده از سه‌گانه مختصات همگن و ماتریس‌های مرتبه سوم، می‌توان هر تبدیل وابسته به یک صفحه را توصیف کرد.

در واقع با توجه به ساعت= 1، دو ورودی را مقایسه کنید: با علامت * و ماتریس زیر مشخص شده است:

به راحتی می توان فهمید که پس از ضرب عبارات سمت راست آخرین رابطه، هم فرمول (*) و هم برابری عددی صحیح 1=1 را به دست می آوریم.

اظهار نظر

گاهی اوقات در ادبیات از نماد دیگری استفاده می شود - نماد ستونی:

این نماد معادل علامت خط به خط بالا است (و با جابجایی از آن به دست می آید).

عناصر یک ماتریس تبدیل وابسته دلخواه معنای هندسی صریحی ندارند. بنابراین، برای اجرای این یا آن نقشه برداری، یعنی یافتن عناصر ماتریس مربوطه با توجه به توصیف هندسی داده شده، به تکنیک های خاصی نیاز است. به طور معمول، ساخت این ماتریس، مطابق با پیچیدگی مسئله مورد بررسی و موارد خاص که در بالا توضیح داده شد، به چند مرحله تقسیم می شود.

در هر مرحله، ماتریسی جستجو می شود که مربوط به یکی از موارد فوق A، B، C یا D است که دارای ویژگی های هندسی کاملاً مشخص هستند.

اجازه دهید ماتریس های مرتبه سوم مربوطه را بنویسیم.

الف. ماتریس چرخش

ب. ماتریس دیلاتاسیون

ب. ماتریس بازتاب

د. ماتریس انتقال (ترجمه)

بیایید نمونه هایی از تبدیل های افین هواپیما را در نظر بگیریم.

مثال 1.

یک ماتریس چرخشی حول نقطه A بسازید (aب) به یک زاویه (شکل 9).

گام اول.انتقال به بردار - A (-a, -b) برای تراز کردن مرکز چرخش با مبدا مختصات.

ماتریس تبدیل مربوطه

مرحله 2.چرخش با زاویه 

ماتریس تبدیل مربوطه

مرحله 3.انتقال به بردار A(a ب)برای برگرداندن مرکز چرخش به موقعیت قبلی؛

ماتریس تبدیل مربوطه

بیایید ماتریس ها را به همان ترتیبی که نوشته شده اند ضرب کنیم:

در نتیجه، متوجه می شویم که تبدیل مورد نظر (در نماد ماتریسی) به شکل زیر خواهد بود:

به خاطر سپردن عناصر ماتریس حاصل (مخصوصاً در ردیف آخر) چندان آسان نیست. در همان زمان، هر یک از سه ماتریس ضرب شده را می توان به راحتی از توضیحات هندسی نگاشت مربوطه ساخت.

مثال 3

یک ماتریس کششی با ضرایب کشش بسازید در امتداد محور x و در امتداد محور ارتین و با مرکز در نقطه A(a, b).

گام اول.انتقال به بردار -A(-a, -b) برای تراز کردن مرکز کشش با مبدا مختصات.

ماتریس تبدیل مربوطه

مرحله 2.کشش در امتداد محورهای مختصات با ضرایب  و ، به ترتیب. ماتریس تبدیل شکل دارد

مرحله 3.انتقال به بردار A(a, b) تا مرکز کشش به موقعیت قبلی خود بازگردد. ماتریس تبدیل مربوطه -

ضرب ماتریس ها به ترتیب مشابه

بالاخره بهش میرسیم

اظهار نظر

استدلال به روشی مشابه، یعنی شکستن تبدیل پیشنهادی به مراحل پشتیبانی شده توسط ماتریس ها[R]، [D]، [M]، [T]، می توان ماتریسی از هر تبدیل وابسته را از توضیحات هندسی آن ساخت.

Shift با جمع اجرا می شود و مقیاس بندی و چرخش با ضرب اجرا می شود.

تبدیل پوسته پوسته شدن (اتساع) نسبت به مبدا به شکل زیر است:

یا به صورت ماتریسی:

جایی که دیایکس،دیyعوامل پوسته پوسته شدن در امتداد محورها هستند و

- ماتریس مقیاس بندی

وقتی D > 1، بسط رخ می دهد، زمانی که 0<=D<1- сжатие

تبدیل چرخش نسبت به مبدا به شکل زیر است:

یا به صورت ماتریسی:

که در آن φ زاویه چرخش و

- ماتریس چرخش

اظهار نظر:ستون‌ها و ردیف‌های ماتریس چرخش بردارهای واحد متعامد هستند. در واقع، مربع طول بردارهای ردیف برابر با یک است:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 و (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1،

و حاصل ضرب اسکالر بردارهای ردیف است

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

از آنجایی که حاصل ضرب اسکالر بردارها آ · ب = |آ| ·| ب| ·cosψ، جایی که | آ| - طول برداری آ, |ب| - طول برداری بو ψ کوچکترین زاویه مثبت بین آنهاست، سپس از برابری 0 حاصل ضرب اسکالر دو بردار ردیفی به طول 1 نتیجه می شود که زاویه بین آنها 90 درجه است.

یک خط مستقیم در فضا همیشه می تواند به عنوان خط تقاطع دو صفحه غیر موازی تعریف شود. اگر معادله یک صفحه معادله صفحه دوم باشد، معادله خط به صورت داده می شود.

اینجا غیر خطی
. این معادلات نامیده می شوند معادلات کلی مستقیم در فضا

معادلات متعارف خط

هر بردار غیر صفر که روی یک خط معین یا موازی با آن قرار گیرد، بردار جهت این خط نامیده می شود.

اگر نکته مشخص باشد
خط مستقیم و بردار جهت آن
، سپس معادلات متعارف خط به شکل زیر است:

. (9)

معادلات پارامتریک یک خط

اجازه دهید معادلات متعارف خط داده شود

از اینجا معادلات پارامتری خط را بدست می آوریم:

(10)

این معادلات برای یافتن نقطه تلاقی یک خط و یک صفحه مفید است.

معادله خطی که از دو نقطه می گذرد
و
دارای فرم:

زاویه بین خطوط مستقیم

زاویه بین خطوط مستقیم

برابر زاویه بین بردارهای جهت آنها. بنابراین می توان با استفاده از فرمول (4) محاسبه کرد:

شرایط خطوط موازی:

شرایط عمود بودن صفحات:

فاصله یک نقطه از یک خط

پ فرض کنید نکته داده شده است
و مستقیم

از معادلات متعارف خط، نقطه را می دانیم
، متعلق به یک خط و بردار جهت آن
. سپس فاصله نقطه
از یک خط مستقیم برابر است با ارتفاع متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها و
. از این رو،

شرایط تقاطع خطوط

دو خط غیر موازی

اگر و فقط اگر را قطع کنند

موقعیت نسبی یک خط مستقیم و یک صفحه.

بگذارید خط مستقیم داده شود
و هواپیما گوشه بین آنها را می توان با فرمول پیدا کرد

مسئله 73.معادلات متعارف خط را بنویسید

(11)

راه حل. برای نوشتن معادلات متعارف خط (9) باید هر نقطه متعلق به خط و بردار جهت خط را دانست.

بیایید بردار را پیدا کنیم ، به موازات این خط. از آنجایی که باید بر بردارهای عادی این صفحات عمود باشد، یعنی.

,
، آن

از معادلات کلی خط مستقیم داریم که
,
. سپس

از آنجا که نقطه
هر نقطه از یک خط، پس مختصات آن باید معادلات خط را برآورده کند و می توان یکی از آنها را مشخص کرد، برای مثال،
، دو مختصات دیگر را از سیستم (11) پیدا می کنیم:

از اینجا،
.

بنابراین، معادلات متعارف خط مورد نظر به شکل زیر است:

یا
.

مسئله 74.

و
.

راه حل.از معادلات متعارف خط اول، مختصات نقطه مشخص است
متعلق به خط، و مختصات بردار جهت
. از معادلات متعارف خط دوم مختصات نقطه نیز مشخص است
و مختصات بردار جهت
.

فاصله بین خطوط موازی برابر با فاصله نقطه است
از خط مستقیم دوم این فاصله با فرمول محاسبه می شود

بیایید مختصات بردار را پیدا کنیم
.

بیایید حاصل ضرب برداری را محاسبه کنیم
:

مسئله 75.یک نقطه پیدا کن نقطه متقارن
نسبتا مستقیم

راه حل. اجازه دهید معادله صفحه عمود بر یک خط معین و عبور از یک نقطه را بنویسیم . به عنوان بردار معمولی آن شما می توانید بردار جهت دهنده یک خط مستقیم را بگیرید. سپس
. از این رو،

بیایید یک نکته پیدا کنیم
نقطه تلاقی این خط و صفحه P. برای این کار، با استفاده از معادلات (10) معادلات پارامتریک خط را می نویسیم، به دست می آوریم.

از این رو،
.

اجازه دهید
نقطه متقارن به نقطه
نسبت به این خط سپس اشاره کنید
نقطه میانی
. برای یافتن مختصات یک نقطه ما از فرمول های مختصات نقطه میانی قطعه استفاده می کنیم:

,
,
.

بنابراین،
.

مسئله 76.معادله صفحه ای که از یک خط می گذرد را بنویسید
و

الف) از طریق یک نقطه
;

ب) عمود بر صفحه.

راه حل.اجازه دهید معادلات کلی این خط را بنویسیم. برای انجام این کار، دو برابری را در نظر بگیرید:

به این معنی که صفحه مورد نظر متعلق به دسته ای از صفحات با ژنراتور است و معادله آن را می توان به شکل (8) نوشت:

الف) بیایید پیدا کنیم
و از شرایطی که هواپیما از نقطه عبور کند
بنابراین مختصات آن باید معادله صفحه را برآورده کند. بیایید مختصات نقطه را جایگزین کنیم
در معادله دسته ای از هواپیماها:

ارزش یافت شده
بیایید آن را با معادله (12) جایگزین کنیم. معادله صفحه مورد نظر را بدست می آوریم:

ب) بیایید پیدا کنیم
و از شرایطی که صفحه مورد نظر عمود بر صفحه باشد. بردار نرمال یک صفحه معین
، بردار نرمال صفحه مورد نظر (به معادله دسته ای از صفحات (12) مراجعه کنید.