داشتن نمای استاندارد$P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$، که در آن سمت چپدیفرانسیل کل یک تابع $F\left(x,y\right)$ را نشان می دهد که معادله ای در دیفرانسیل کامل.

معادله در مجموع دیفرانسیل همیشه می تواند به صورت $dF\left(x,y\right)=0$ بازنویسی شود، که در آن $F\left(x,y\right)$ تابعی است به طوری که $dF\left(x، y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

بیایید هر دو طرف معادله را ادغام کنیم $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; انتگرال سمت راست صفر برابر با یک ثابت دلخواه $C$ است. بدین ترتیب، تصمیم مشترکاین معادله به صورت ضمنی به شکل $F\left(x,y\right)=C$ است.

برای اینکه یک معادله دیفرانسیل معین معادله ای در مجموع دیفرانسیل باشد، لازم و کافی است که شرط $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ راضی باشد. اگر شرط مشخص شده برآورده شود، یک تابع $F\left(x,y\right)$ وجود دارد که می توانیم برای آن بنویسیم: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$ که از آن دو رابطه بدست می آوریم : $\frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ and $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right) ) دلار.

ما اولین رابطه $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ را روی $x$ ادغام می کنیم و $F\left(x,y\right)=\int را بدست می آوریم. P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$، که در آن $U\left(y\right)$ یک تابع دلخواه از $y$ است.

اجازه دهید آن را طوری انتخاب کنیم که رابطه دوم $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ برآورده شود. برای انجام این کار، رابطه حاصل را برای $F\left(x,y\right)$ با توجه به $y$ متمایز می کنیم و نتیجه را با $Q\left(x,y\right)$ برابر می کنیم. دریافت می کنیم: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left (x,y\right)$.

راه حل بعدی این است:

• از آخرین برابری، $U"\left(y\right)$ را پیدا می کنیم.
• $U"\left(y\right)$ را ادغام کنید و $U\left(y\right)$ را پیدا کنید.
• $U\left(y\right)$ را با برابری $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) جایگزین کنید $ و در نهایت تابع $F\left(x,y\right)$ را بدست می آوریم.

\

ما تفاوت را پیدا می کنیم:

$U"\left(y\right)$ را روی $y$ ادغام می کنیم و $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$ را پیدا می کنیم.

نتیجه را پیدا کنید: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

جواب کلی را به شکل $F\left(x,y\right)=C$ می نویسیم، یعنی:

یک راه حل خاص پیدا کنید $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, جایی که $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 دلار:

راه حل جزئی به این شکل است: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

تعریف 8.4.معادله دیفرانسیل فرم

جایی که
معادله دیفرانسیل کل نامیده می شود.

توجه داشته باشید که سمت چپ چنین معادله ای دیفرانسیل کل یک تابع است
.

به طور کلی می توان معادله (8.4) را به صورت نمایش داد

به جای معادله (8.5) می توانیم معادله را در نظر بگیریم

,

که حل آن انتگرال کلی معادله (8.4) است. بنابراین، برای حل معادله (8.4) باید تابع را پیدا کرد
. مطابق با تعریف معادله (8.4) داریم

(8.6)

تابع
ما به دنبال تابعی خواهیم بود که یکی از این شرایط (8.6) را برآورده کند:

جایی که - یک تابع دلخواه مستقل از .

تابع
به گونه ای تعریف می شود که شرط دوم عبارت (8.6) برآورده شود

(8.7)

از عبارت (8.7) تابع مشخص می شود
. جایگزین کردن آن در عبارت برای
و انتگرال کلی معادله اصلی را بدست آورید.

مشکل 8.3.معادله را یکپارچه کنید

اینجا
.

بنابراین این معادله متعلق به نوع معادلات دیفرانسیل در مجموع دیفرانسیل است. تابع
ما آن را در فرم جستجو خواهیم کرد

.

از طرف دیگر،

.

در برخی موارد شرایط
ممکن است برآورده نشود.

سپس چنین معادلاتی با ضرب در ضریب انتگرال‌گیر به نوع مورد نظر تقلیل می‌یابند، که در مورد کلی، فقط یک تابع است یا .

اگر معادله ای دارای ضریب یکپارچه سازی باشد که فقط به ، سپس با فرمول مشخص می شود

رابطه کجاست فقط باید یک تابع باشد .

به طور مشابه، عامل یکپارچه تنها به ، با فرمول تعیین می شود

رابطه کجاست
فقط باید یک تابع باشد .

عدم وجود متغیر در روابط داده شده، در حالت اول ، و در دوم - متغیر ، نشانه وجود یک عامل یکپارچه کننده برای یک معادله داده شده است.

مشکل 8.4.این معادله را به یک معادله در مجموع دیفرانسیل کاهش دهید.

.

رابطه را در نظر بگیرید:

.

مبحث 8.2. معادلات دیفرانسیل خطی

تعریف 8.5. معادله دیفرانسیل
اگر نسبت به تابع مورد نظر خطی باشد خطی نامیده می شود ، مشتق آن و حاصلضرب تابع مورد نظر و مشتق آن را ندارد.

شکل کلی یک معادله دیفرانسیل خطی با رابطه زیر نشان داده می شود:

(8.8)

اگر در رابطه (8.8) سمت راست
، پس چنین معادله ای همگن خطی نامیده می شود. در صورت قسمت راست
، پس چنین معادله ای ناهمگن خطی نامیده می شود.

اجازه دهید نشان دهیم که معادله (8.8) را می توان در ربع ادغام کرد.

در مرحله اول یک معادله همگن خطی را در نظر می گیریم.

چنین معادله ای معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک است. واقعا،

;

/

آخرین رابطه حل کلی یک معادله همگن خطی را تعیین می کند.

برای یافتن یک جواب کلی برای معادله ناهمگن خطی، از روش تغییر مشتق یک ثابت استفاده می شود. ایده روش این است که حل کلی یک معادله ناهمگن خطی به همان شکل حل معادله همگن مربوطه است، اما یک ثابت دلخواه. با برخی از عملکردها جایگزین شده است
تعیین شود. بنابراین ما داریم:

(8.9)

جایگزینی در رابطه (8.8) عبارات مربوطه
و
، ما گرفتیم

با جایگزینی آخرین عبارت به رابطه (8.9)، انتگرال کلی معادله ناهمگن خطی را بدست می آوریم.

بنابراین، حل کلی یک معادله ناهمگن خطی توسط دو ربع تعیین می شود: حل کلی یک معادله همگن خطی و یک راه حل خاص یک معادله ناهمگن خطی.

مشکل 8.5.معادله را یکپارچه کنید

بنابراین، معادله اصلی متعلق به نوع معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی است.

در مرحله اول، یک جواب کلی برای یک معادله همگن خطی پیدا می کنیم.

;

در مرحله دوم، حل کلی معادله ناهمگن خطی را تعیین می کنیم که به صورت

,

جایی که
- تابعی که باید تعیین شود.

بنابراین ما داریم:

جایگزینی روابط برای و در معادله ناهمگن خطی اصلی به دست می آوریم:

;

;

.

جواب کلی یک معادله ناهمگن خطی به شکل زیر خواهد بود:

.

در این مبحث به روش بازیابی یک تابع از مجموع دیفرانسیل آن نگاه می کنیم، مثال هایی از مشکلات را ارائه می دهیم تجزیه و تحلیل کاملراه حل ها

این اتفاق می افتد که معادلات دیفرانسیل (DE) به شکل P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 ممکن است شامل دیفرانسیل کامل برخی از توابع در سمت چپ باشد. سپس اگر ابتدا تابع را از دیفرانسیل کل آن بازسازی کنیم، می توانیم انتگرال کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنیم.

مثال 1

معادله P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 را در نظر بگیرید. سمت چپ شامل دیفرانسیل یک تابع خاص است U(x، y) = 0. برای انجام این کار، شرط ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x باید برآورده شود.

دیفرانسیل کل تابع U (x, y) = 0 به شکل d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y است. با در نظر گرفتن شرط ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x به دست می آوریم:

P (x، y) d x + Q (x، y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x، y) ∂ U ∂ y = Q (x، y)

با تبدیل معادله اول از سیستم معادلات حاصل، می توانیم به دست آوریم:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

می‌توانیم تابع φ (y) را از معادله دوم سیستم قبلاً به‌دست‌آمده بیابیم:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x، y) d x ∂ y d y

به این ترتیب تابع مورد نظر U (x, y) = 0 را پیدا کردیم.

مثال 2

جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

راه حل

P (x، y) = x 2 - y 2، Q (x، y) = - 2 x y

بیایید بررسی کنیم که آیا شرط ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x برآورده می شود یا خیر:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

شرط ما برآورده شده است.

بر اساس محاسبات، می توان نتیجه گرفت که سمت چپ معادله دیفرانسیل اصلی، دیفرانسیل کل یک تابع U (x, y) = 0 است. ما باید این تابع را پیدا کنیم.

از آنجایی که (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y دیفرانسیل کل تابع U (x, y) = 0 است، پس

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

بیایید اولین معادله سیستم را با توجه به x یکپارچه کنیم:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

اکنون نتیجه حاصل را با توجه به y متمایز می کنیم:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

با تبدیل معادله دوم سیستم، به دست می آوریم: ∂ U ∂ y = - 2 x y . این به آن معنا است
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

که در آن C یک ثابت دلخواه است.

دریافت می کنیم: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. انتگرال عمومی معادله اصلی x 3 3 - x y 2 + C = 0 است.

بیایید به روش دیگری برای یافتن یک تابع با استفاده از دیفرانسیل کل شناخته شده نگاه کنیم. این شامل استفاده از یک انتگرال منحنی از یک نقطه ثابت (x 0، y 0) به یک نقطه با مختصات متغیر (x، y) است:

U (x، y) = ∫ (x 0، y 0) (x، y) P (x، y) d x + Q (x، y) d y + C

در چنین مواردی ارزش انتگرال به هیچ وجه به مسیر ادغام بستگی ندارد. ما می توانیم به عنوان یک مسیر ادغام یک خط شکسته را انتخاب کنیم که پیوندهای آن به موازات محورهای مختصات قرار دارند.

مثال 3

جواب کلی معادله دیفرانسیل (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 را بیابید.

راه حل

بیایید بررسی کنیم که آیا شرط ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x برآورده می شود یا خیر:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

به نظر می رسد که سمت چپ معادله دیفرانسیل با دیفرانسیل کل یک تابع U (x, y) = 0 نشان داده می شود. برای یافتن این تابع باید انتگرال خط نقطه را محاسبه کرد (1 ; 1) قبل از (x, y). اجازه دهید به عنوان مسیر ادغام، یک خط شکسته را انتخاب کنیم که بخش هایی از آن در یک خط مستقیم می گذرد y = 1از نقطه (1، 1) به (x، 1) و سپس از نقطه (x، 1) به (x، y):

∫ (1، 1) (x، y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1، 1) (x، 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

ما یک راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل به شکل x y - x y 2 + C = 0 به دست آورده ایم.

مثال 4

جواب کلی معادله دیفرانسیل y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 را تعیین کنید.

راه حل

بیایید بررسی کنیم که آیا شرط ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x برقرار است یا خیر.

از آنجایی که ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x، ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x، پس شرط برآورده نخواهد شد. این بدان معنی است که سمت چپ معادله دیفرانسیل دیفرانسیل کامل تابع نیست. این یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک است و راه حل های دیگری برای حل آن مناسب است.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

تعریف: معادله فرم

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

جایی که سمت چپ دیفرانسیل کل یک تابع از دو متغیر است، معادله دیفرانسیل کل نامیده می شود.

اجازه دهید این تابع دو متغیر را با F(x,y) نشان دهیم. سپس معادله (9) را می توان به صورت dF(x,y) = 0 بازنویسی کرد و این معادله یک جواب کلی دارد F(x,y) = C.

معادله ای از شکل (9) داده شود. برای اینکه بفهمید آیا معادله دیفرانسیل کل است، باید بررسی کنید که آیا عبارت است یا خیر

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

دیفرانسیل کل برخی از تابع دو متغیر. برای انجام این کار، باید برابری را بررسی کنید

فرض کنید برای یک عبارت معین (10)، برابری (11) در برخی از حوزه های متصل ساده (S) برآورده می شود و بنابراین، عبارت (10) دیفرانسیل کل برخی از تابع F(x,y) در (S) است. ).

بیایید روش زیر را برای یافتن این ضد مشتق در نظر بگیریم. باید تابع F(x,y) را پیدا کرد به طوری که

که در آن تابع (y) در زیر تعریف خواهد شد. پس از فرمول (12) نتیجه می شود که

در تمام نقاط منطقه (S). حالا بیایید تابع (y) را انتخاب کنیم تا تساوی برقرار باشد

برای انجام این کار، تساوی (14) مورد نیاز خود را بازنویسی می کنیم و به جای F(x,y) عبارت آن را مطابق فرمول (12) جایگزین می کنیم:

بگذارید با توجه به y در زیر علامت انتگرال تفاوت قائل شویم (این را می توان از P(x,y) و - انجام داد. توابع پیوستهدو متغیر):

از آنجایی که مطابق (11)، پس با جایگزینی با علامت انتگرال در (16)، داریم:

پس از ادغام بر روی y، خود تابع (y) را می یابیم که به گونه ای ساخته شده است که برابری (14) برآورده می شود. با استفاده از مساوات (13) و (14) می بینیم که

در منطقه (S). (18)

مثال 5. بررسی کنید که آیا معادله دیفرانسیل داده شده یک معادله دیفرانسیل کل است و آن را حل کنید.

این یک معادله دیفرانسیل در مجموع دیفرانسیل است. در واقع، با تعیین، ما متقاعد می شویم که

و این شرط لازم و کافی است برای اینکه بیان

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

دیفرانسیل کل برخی تابع U(x,y) است. علاوه بر این، اینها توابعی هستند که در R پیوسته هستند.

بنابراین، برای ادغام این معادله دیفرانسیل، باید تابعی را پیدا کنید که سمت چپ معادله دیفرانسیل یک دیفرانسیل کل باشد. بگذارید چنین تابعی U(x,y) باشد

با ادغام سمت چپ و راست بر روی x، به دست می آوریم:

برای یافتن q(y)، از این واقعیت استفاده می کنیم که

با جایگزینی مقدار یافت شده μ(y) به (*)، در نهایت تابع U(x,y) را بدست می آوریم:

انتگرال کلی معادله اصلی شکل دارد

انواع پایه معادلات دیفرانسیل مرتبه اول (ادامه دارد).

معادلات دیفرانسیل خطی

تعریف: یک معادله خطی مرتبه اول معادله ای از فرم است

y" + P(x)y = f(x)، (21)

که در آن P(x) و f(x) توابع پیوسته هستند.

نام معادله با این واقعیت توضیح داده می شود که مشتق y" است تابع خطیاز y، یعنی اگر معادله (21) را به شکل y" = - P(x) + f(x) بازنویسی کنیم، آنگاه سمت راست شامل y فقط تا توان اول است.

اگر f(x) = 0، معادله است

yґ+ P(x) y = 0 (22)

خطی نامیده می شود معادله همگن. بدیهی است که یک معادله خطی همگن معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک است:

y" +P(x)y = 0;،

اگر f(x)؟ 0 و سپس معادله

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

معادله ناهمگن خطی نامیده می شود.

به طور کلی متغیرهای معادله (21) قابل تفکیک نیستند.

معادله (21) به صورت زیر حل می شود: ما به دنبال راه حلی به شکل حاصل ضرب دو تابع U(x) و V(x) خواهیم بود:

بیایید مشتق را پیدا کنیم:

y" = U"V + UV" (25)

و این عبارات را با معادله (1) جایگزین کنید:

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

بیایید اصطلاحات سمت چپ را گروه بندی کنیم:

U"V + U = f(x). (26)

اجازه دهید شرطی را بر یکی از عوامل (24) تحمیل کنیم، یعنی، فرض می کنیم که تابع V(x) به گونه ای است که عبارت در پرانتز در (26) را به طور یکسان صفر می کند، یعنی. که راه حلی برای معادله دیفرانسیل است

V" + P(x)V = 0. (27)

این یک معادله با متغیرهای قابل تفکیک است، V(x) را از آن پیدا می کنیم:

حالا بیایید تابع U(x) را پیدا کنیم به طوری که با تابع V(x) که قبلاً پیدا شده است، حاصلضرب U V جواب معادله (26) باشد. برای این کار لازم است که U(x) جواب معادله باشد

این یک معادله قابل تفکیک است، بنابراین

با جایگزینی توابع یافت شده (28) و (30) به فرمول (4)، یک جواب کلی برای معادله (21) بدست می آوریم:

بنابراین روش در نظر گرفته شده (روش برنولی) محلول را کاهش می دهد معادله خطی(21) به حل دو معادله با متغیرهای قابل تفکیک.

مثال 6. انتگرال کلی معادله را بیابید.

این معادله نسبت به y و y خطی نیست، اما اگر x را تابع مورد نظر و y را آرگومان در نظر بگیریم، خطی است.

برای حل معادله به دست آمده از روش جایگزینی (برنولی) استفاده می کنیم. ما به دنبال حل معادله به شکل x(y)=U(y)V(y) خواهیم بود، سپس. معادله را بدست می آوریم:

اجازه دهید تابع V(y) را طوری انتخاب کنیم که. سپس

معادله دیفرانسیل مرتبه اول در مجموع دیفرانسیل معادله ای از فرم است:
(1) ,
جایی که سمت چپ معادله دیفرانسیل کل تابع U است (x, y)از متغیرهای x,y:
.
که در آن .

اگر چنین تابعی U یافت شود (x, y)، سپس معادله به شکل زیر در می آید:
dU (x، y) = 0.
انتگرال کلی آن عبارت است از:
U (x، y) = C,
که در آن C یک ثابت است.

اگر یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول بر حسب مشتق آن نوشته شود:
,
پس از آن آسان است که آن را به شکل (1) . برای انجام این کار، معادله را در dx ضرب کنید. سپس . در نتیجه، معادله ای را به دست می آوریم که بر حسب دیفرانسیل بیان شده است:
(1) .

ویژگی یک معادله دیفرانسیل در مجموع دیفرانسیل

به منظور معادله (1) معادله ای در مجموع دیفرانسیل بود، لازم و کافی است تا رابطه برقرار شود:
(2) .

اثبات

ما همچنین فرض می کنیم که تمام توابع مورد استفاده در اثبات تعریف شده و دارای مشتقات متناظر در محدوده ای از مقادیر متغیرهای x و y هستند. نقطه x 0، y 0نیز متعلق به این منطقه است.

بیایید وجوب شرط (2) را اثبات کنیم..
سمت چپ معادله را بگذارید (1) دیفرانسیل برخی از تابع U است (x, y):
.
سپس
;
.
از آنجایی که مشتق دوم به ترتیب تمایز بستگی ندارد، پس
;
.
نتیجه می شود که . شرط ضرورت (2) ثابت شده است.

بیایید کفایت شرط (2) را ثابت کنیم..
بگذارید شرط برآورده شود (2) :
(2) .
اجازه دهید نشان دهیم که امکان یافتن چنین تابع U وجود دارد (x, y)که دیفرانسیل آن است:
.
این بدان معنی است که چنین تابعی U وجود دارد (x, y)، که معادلات را برآورده می کند:
(3) ;
(4) .
بیایید چنین تابعی را پیدا کنیم. بیایید معادله را یکپارچه کنیم (3) توسط x از x 0 به x، با فرض اینکه y یک ثابت است:
;
;
(5) .
با این فرض که x ثابت است، نسبت به y متمایز می کنیم و اعمال می شود (2) :

.
معادله (4) اجرا خواهد شد اگر
.
ادغام بیش از y از y 0 اسباب بازی:
;
;
.
جایگزین در (5) :
(6) .
بنابراین، ما تابعی را پیدا کرده ایم که دیفرانسیل آن است
.
کفایت ثابت شده است.

در فرمول (6) ، U (x 0 , y 0)یک ثابت است - مقدار تابع U (x, y)در نقطه x 0، y 0. می توان هر مقداری را به آن اختصاص داد.

نحوه تشخیص معادله دیفرانسیل در مجموع دیفرانسیل

معادله دیفرانسیل را در نظر بگیرید:
(1) .
برای تعیین اینکه آیا این معادله در مجموع دیفرانسیل است یا خیر، باید شرایط را بررسی کنید (2) :
(2) .
اگر برقرار باشد، این معادله در مجموع دیفرانسیل است. اگر نه، پس این یک معادله دیفرانسیل کل نیست.

مثال

بررسی کنید که آیا معادله در مجموع دیفرانسیل است:
.

راه حل

اینجا
, .
با در نظر گرفتن x ثابت، با توجه به y متمایز می کنیم:


.
بیایید تفکیک کنیم


.
زیرا:
,
سپس معادله داده شده در مجموع دیفرانسیل است.

روش های حل معادلات دیفرانسیل در مجموع دیفرانسیل

روش استخراج دیفرانسیل متوالی

اکثر روش سادهحل معادله در مجموع دیفرانسیل روش انتخاب متوالی دیفرانسیل است. برای انجام این کار، از فرمول های تمایز نوشته شده به شکل دیفرانسیل استفاده می کنیم:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = د (UV);
;
.
در این فرمول ها، u و v عبارت های دلخواه هستند که از هر ترکیبی از متغیرها ساخته شده اند.

مثال 1

معادله را حل کنید:
.

راه حل

قبلا متوجه شدیم که این معادله در مجموع دیفرانسیل است. بیایید آن را تبدیل کنیم:
(P1) .
معادله را با جداسازی متوالی دیفرانسیل حل می کنیم.
;
;
;
;

.
جایگزین در (P1):
;
.

پاسخ

روش ادغام پی در پی

در این روش به دنبال تابع U هستیم (x, y)، ارضای معادلات:
(3) ;
(4) .

بیایید معادله را ادغام کنیم (3) در x، با در نظر گرفتن ثابت y:
.
اینجا φ (y)- یک تابع دلخواه از y که باید تعیین شود. ثابت ادغام است. در معادله جایگزین کنید (4) :
.
از اینجا:
.
با ادغام، φ را پیدا می کنیم (y)و بنابراین، U (x, y).

مثال 2

معادله را در مجموع دیفرانسیل حل کنید:
.

راه حل

قبلا متوجه شدیم که این معادله در مجموع دیفرانسیل است. اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم:
, .
به دنبال تابع U (x, y)، که دیفرانسیل آن سمت چپ معادله است:
.
سپس:
(3) ;
(4) .
بیایید معادله را ادغام کنیم (3) در x، با در نظر گرفتن ثابت y:
(P2)
.
با توجه به y متمایز کنید:

.
بیایید جایگزین کنیم (4) :
;
.
بیایید ادغام کنیم:
.
بیایید جایگزین کنیم (P2):

.
انتگرال عمومی معادله:
U (x، y) = ثابت.
دو ثابت را با هم ترکیب می کنیم.

پاسخ

روش ادغام در طول یک منحنی

تابع U که با رابطه تعریف می شود:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
را می توان با ادغام این معادله در امتداد منحنی اتصال نقاط پیدا کرد (x 0 , y 0)و (x, y):
(7) .
از آنجا که
(8) ,
سپس انتگرال فقط به مختصات اولیه بستگی دارد (x 0 , y 0)و نهایی (x, y)نقطه می دهد و به شکل منحنی بستگی ندارد. از جانب (7) و (8) ما پیدا می کنیم:
(9) .
اینجا x 0 و y 0 - دائمی بنابراین U (x 0 , y 0)- همچنین ثابت

مثالی از چنین تعریفی از U در اثبات به دست آمد:
(6) .
در اینجا ادغام ابتدا در امتداد یک قطعه موازی با محور y از نقطه انجام می شود (x 0 , y 0 )به نقطه (x 0 , y). سپس یکپارچه سازی در امتداد یک قطعه موازی با محور x از نقطه انجام می شود (x 0 , y)به نقطه (x, y) .

به طور کلی، شما باید معادله نقاط اتصال منحنی را نشان دهید (x 0 , y 0 )و (x, y)به صورت پارامتریک:
ایکس 1 = s(t 1); y 1 = r(t 1);
ایکس 0 = s(t 0); y 0 = r(t 0);
x = s (t); y = r (t);
و ادغام بیش از t 1 از تی 0 به تی.

ساده ترین راه برای انجام یکپارچه سازی از طریق نقاط اتصال بخش است (x 0 , y 0 )و (x, y). در این مورد:
ایکس 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
تی 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; دو 1 = (y - y 0) dt 1.
پس از تعویض، انتگرال بیش از t را به دست می آوریم 0 قبل از 1 .
این روشبا این حال، منجر به محاسبات نسبتاً دست و پا گیر می شود.

منابع:
V.V. استپانوف، دوره معادلات دیفرانسیل، "LKI"، 2015.