یک ریاضیدان، درست مانند یک هنرمند یا شاعر، الگوها را خلق می کند. و اگر الگوهای او پایدارتر است، فقط به این دلیل است که از ایده‌ها تشکیل شده‌اند... الگوهای یک ریاضیدان، درست مانند الگوهای یک هنرمند یا شاعر، باید زیبا باشد. ایده ها، درست مانند رنگ ها یا کلمات، باید با یکدیگر مطابقت داشته باشند. زیبایی اولین شرط است: هیچ جایی در دنیا برای ریاضیات زشت وجود ندارد».
جی اچ هاردی
در فصل اول اشاره شد که اصول اولیه کاملاً وجود دارد توابع ساده، که دیگر نمی توان از طریق بیان کرد توابع ابتدایی. در این راستا، آن دسته از توابع که به طور دقیق می توان گفت که ضد مشتقات آنها توابع ابتدایی هستند، اهمیت عملی زیادی پیدا می کنند. این دسته از توابع شامل توابع منطقی، نشان دهنده نسبت دو چند جمله ای جبری است. بسیاری از مشکلات منجر به ادغام کسرهای گویا می شود. بنابراین، بسیار مهم است که بتوان چنین توابعی را یکپارچه کرد.
2.1.1. توابع گویا کسری
کسر گویا(یا تابع گویا کسری) رابطه دو چند جمله ای جبری نامیده می شود:
کجا و چند جمله ای هستند.
این را به شما یادآوری کنیم چند جمله ای (چند جمله ای, کل عملکرد عقلانی) nدرجه امتابع فرم نامیده می شود
جایی که 
- اعداد واقعی. مثلا،
- چند جمله ای درجه اول؛
- چند جمله ای درجه چهارم و غیره
کسر گویا (2.1.1) نامیده می شود درست, اگر درجه کمتر از درجه باشد , i.e. n<متر، در غیر این صورت کسر نامیده می شود اشتباه.
هر کسر نامناسب را می توان به صورت مجموع یک چند جمله ای (کل جزء) و یک کسر مناسب (قسمت کسری) نشان داد.جداسازی اجزای کل و کسری یک کسر نامناسب را می توان طبق قانون تقسیم چندجمله ای ها با "گوشه" انجام داد.
مثال 2.1.1.کسرهای گویا نامناسب زیر را اجزای کل و کسری مشخص کنید:
آ) 
، ب) 
.
راه حل . الف) با استفاده از الگوریتم تقسیم "گوشه"، به دست می آوریم
بنابراین، ما دریافت می کنیم
.
ب) در اینجا از الگوریتم تقسیم "گوشه" نیز استفاده می کنیم:
در نتیجه می گیریم
.
بیایید خلاصه کنیم. در حالت کلی، انتگرال نامعین یک کسر گویا را می توان به صورت مجموع انتگرال های چند جمله ای و کسر گویا مناسب نشان داد. یافتن پاد مشتق چند جمله ای ها کار سختی نیست. بنابراین، در مطالب بعدی عمدتاً کسرهای گویا مناسب را در نظر خواهیم گرفت.
2.1.2. ساده ترین کسرهای گویا و ادغام آنها
در میان کسرهای گویا، چهار نوع وجود دارد که به عنوان دسته بندی می شوند ساده ترین کسرهای گویا (بنیادی):
|
3) |
4) |
,
,یک عدد صحیح کجاست، 
، یعنی سه جمله ای درجه دوم 
ریشه واقعی ندارد
ادغام کسرهای ساده از نوع 1 و 2 هیچ مشکل بزرگی ایجاد نمی کند:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
اجازه دهید اکنون ادغام کسرهای ساده نوع 3 را در نظر بگیریم، اما کسری از نوع 4 را در نظر نخواهیم گرفت.
بیایید با انتگرال های فرم شروع کنیم
.
این انتگرال معمولاً با جداسازی محاسبه می شود مربع کاملدر مخرج نتیجه یک انتگرال جدول از فرم زیر است
یا 
.
مثال 2.1.2.انتگرال ها را بیابید:
آ) 
، ب) 
.
راه حل . الف) یک مربع کامل از یک مثلث درجه دوم انتخاب کنید:
از اینجا پیدا می کنیم
ب) با جدا کردن یک مربع کامل از یک مثلث درجه دوم، به دست می آوریم:
بدین ترتیب،
.
برای یافتن انتگرال
می توانید مشتق مخرج را در صورت جدا کنید و انتگرال را به مجموع دو انتگرال بسط دهید: اولی آنها با جایگزینی 
به ظاهر می رسد
,
و دوم - به موردی که در بالا مورد بحث قرار گرفت.
مثال 2.1.3.انتگرال ها را بیابید:
.
راه حل
. توجه کنید که 
. بیایید مشتق مخرج را در صورت جدا کنیم:
انتگرال اول با استفاده از جایگزینی محاسبه می شود 
:
در انتگرال دوم، مربع کامل را در مخرج انتخاب می کنیم
بالاخره می رسیم
2.1.3. بسط کسر گویا مناسب
برای مجموع کسرهای ساده
هر کسر منطقی مناسب 
را می توان به روشی منحصر به فرد به عنوان مجموع کسرهای ساده نشان داد. برای این کار باید مخرج را فاکتور گرفت. از جبر بالاتر مشخص می شود که هر چند جمله ای دارای ضرایب واقعی است
تابع گویا کسری از شکل است که صورت و مخرج آن چند جمله‌ای یا حاصل چند جمله‌ای است.
مثال 1. گام 2.
.
ضرایب نامشخص را در چندجمله‌ای ضرب می‌کنیم که در این کسر منفرد نیستند، اما در سایر کسرهای حاصل هستند:
براکت ها را باز می کنیم و عدد انتگرال اصلی را با عبارت حاصل برابر می کنیم:
در هر دو طرف تساوی، ما به دنبال عبارت هایی با توان های یکسان x می گردیم و از آنها یک سیستم معادلات می سازیم:
.
تمام x ها را لغو می کنیم و یک سیستم معادل از معادلات بدست می آوریم:
.
بنابراین، بسط نهایی انتگرال به مجموع کسرهای ساده به صورت زیر است:
.
مثال 2. گام 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:
.
اکنون ما شروع به جستجوی ضرایب نامشخص می کنیم. برای انجام این کار، صورت‌دهنده کسر اصلی در عبارت تابع را با عدد عبارتی که پس از کاهش مجموع کسرها به یک مخرج مشترک به دست می‌آید، برابر می‌کنیم:
اکنون باید یک سیستم معادلات ایجاد و حل کنید. برای انجام این کار، ضرایب متغیر را به درجه متناظر در صورت‌دهنده عبارت اصلی تابع و ضرایب مشابه را در عبارت به‌دست‌آمده در مرحله قبل برابر می‌کنیم:
ما سیستم حاصل را حل می کنیم:
بنابراین، از اینجا
.
مثال 3. گام 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:
ما شروع به جستجوی ضرایب نامطمئن می کنیم. برای انجام این کار، صورت‌دهنده کسر اصلی در عبارت تابع را با عدد عبارتی که پس از کاهش مجموع کسرها به یک مخرج مشترک به دست می‌آید، برابر می‌کنیم:
مانند مثال های قبلی، سیستمی از معادلات را می سازیم:
x ها را کاهش می دهیم و یک سیستم معادل از معادلات بدست می آوریم:
با حل سیستم، مقادیر زیر را از ضرایب نامشخص به دست می آوریم:
ما تجزیه نهایی انتگرال را به مجموع کسرهای ساده بدست می آوریم:
.
مثال 4. گام 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:
.
قبلاً از مثال‌های قبلی می‌دانیم که چگونه می‌توان صورت کسر اصلی را با عبارتی که پس از تجزیه کسر به مجموع کسرهای ساده و رساندن این مجموع به یک مخرج مشترک به‌دست می‌آید، برابر کرد. بنابراین، فقط برای اهداف کنترل، ما سیستم معادلات حاصل را ارائه می کنیم:
با حل سیستم، مقادیر زیر را از ضرایب نامشخص به دست می آوریم:
ما تجزیه نهایی انتگرال را به مجموع کسرهای ساده بدست می آوریم:
مثال 5. گام 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:
.
ما به طور مستقل این مجموع را به یک مخرج مشترک تقلیل می دهیم و صورت این عبارت را با عدد کسر اصلی برابر می کنیم. نتیجه باید سیستم معادلات زیر باشد:
با حل سیستم، مقادیر زیر را از ضرایب نامشخص به دست می آوریم:
.
ما تجزیه نهایی انتگرال را به مجموع کسرهای ساده بدست می آوریم:
.
مثال 6. گام 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:
ما با این مقدار همان اعمال را مانند نمونه های قبلی انجام می دهیم. نتیجه باید سیستم معادلات زیر باشد:
با حل سیستم، مقادیر زیر را از ضرایب نامشخص به دست می آوریم:
.
ما تجزیه نهایی انتگرال را به مجموع کسرهای ساده بدست می آوریم:
.
مثال 7. گام 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:
.
پس از انجام اقدامات معین با مقدار حاصل، سیستم معادلات زیر باید به دست آید:
با حل سیستم، مقادیر زیر را از ضرایب نامشخص به دست می آوریم:
ما تجزیه نهایی انتگرال را به مجموع کسرهای ساده بدست می آوریم:
.
مثال 8. گام 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:
.
بیایید تغییراتی را در اقداماتی که قبلاً به حالت خودکار آورده شده اند، ایجاد کنیم تا یک سیستم معادلات به دست آوریم. یک تکنیک مصنوعی وجود دارد که در برخی موارد به جلوگیری از محاسبات غیر ضروری کمک می کند. با آوردن مجموع کسرها به یک مخرج مشترک، به دست می آوریم و با برابر کردن صورت این عبارت به صورت کسر اصلی، به دست می آوریم.
موضوع: ادغام کسرهای گویا.
توجه! هنگام مطالعه یکی از روش های اساسی انتگرال گیری: ادغام کسرهای گویا، لازم است چند جمله ای ها را در حوزه مختلط در نظر بگیرید تا اثبات های دقیق انجام شود. بنابراین لازم است از قبل مطالعه کنید برخی از خصوصیات اعداد مختلط و عملیات روی آنها.
ادغام کسرهای گویا ساده
اگر پ(z) و س(z) چند جمله ای در حوزه مختلط هستند، سپس آنها کسرهای گویا هستند. نامیده می شود درست، اگر مدرک پ(z) درجه کمتر س(z) ، و اشتباه، اگر مدرک آر کمتر از یک مدرک س.
هر کسری نامناسب را می توان به صورت زیر نشان داد: 
,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z)،
آ آر(z) – چند جمله ای که درجه آن کمتر از درجه باشد س(z).
بنابراین، ادغام کسرهای گویا به ادغام چندجمله ای ها، یعنی توابع توانی، و کسرهای مناسب منتهی می شود، زیرا کسر مناسبی است.
تعریف 5. ساده ترین کسرها (یا ابتدایی) انواع کسرهای زیر هستند:
1) , 2) , 3) , 4) 
.
بیایید دریابیم که چگونه آنها ادغام می شوند.
3) 
(قبلاً مطالعه شده است).
قضیه 5. هر کسر مناسب را می توان به صورت مجموع کسرهای ساده (بدون اثبات) نشان داد.
نتیجه 1. اگر یک کسر گویا مناسب است و اگر در بین ریشه های چند جمله ای فقط ریشه های واقعی ساده وجود داشته باشد، در تجزیه کسری به مجموع کسرهای ساده فقط کسرهای ساده از نوع اول وجود خواهد داشت:
مثال 1.
نتیجه 2. اگر یک کسر گویا مناسب است و اگر در بین ریشه های چند جمله ای فقط چندین ریشه واقعی وجود داشته باشد، در تجزیه کسر به مجموع کسرهای ساده فقط کسرهای ساده از نوع 1 و 2 وجود خواهد داشت. :
مثال 2.
نتیجه 3. اگر یک کسر گویا مناسب است و اگر در بین ریشه های چند جمله ای فقط ریشه های مزدوج پیچیده ساده وجود داشته باشد، در تجزیه کسری به مجموع کسرهای ساده فقط کسرهای ساده از نوع 3 وجود خواهد داشت:
مثال 3.
نتیجه 4. اگر یک کسر گویا مناسب است و اگر در بین ریشه های چند جمله ای فقط چندین ریشه مزدوج پیچیده وجود داشته باشد، در تجزیه کسری به مجموع کسرهای ساده فقط کسرهای ساده 3 و 4 وجود خواهد داشت. انواع:
برای تعیین ضرایب مجهول در بسط داده شده به صورت زیر عمل کنید. ضلع چپ و راست انبساط حاوی ضرایب مجهول در ضرب می شوند برابری دو چند جمله ای به دست می آید. از آن، معادلات ضرایب مورد نیاز با استفاده از:
1. برابری برای هر مقدار X صادق است (روش مقدار جزئی). در این حالت، هر تعداد معادله به دست می‌آید که هر متر از آنها به فرد اجازه می‌دهد ضرایب مجهول را پیدا کند.
2. ضرایب برای همان درجات X منطبق هستند (روش ضرایب نامشخص). در این حالت، سیستمی از m - معادلات با m - مجهول ها به دست می آید که ضرایب مجهول از آن پیدا می شود.
3. روش ترکیبی.
مثال 5. یک کسری را بسط دهید 
به ساده ترین.
راه حل:
بیایید ضرایب A و B را پیدا کنیم.
روش 1 - روش ارزش خصوصی:
روش 2 - روش ضرایب نامشخص:
پاسخ: 
ادغام کسرهای گویا
قضیه 6. انتگرال نامعین هر کسر گویا در هر بازه‌ای که مخرج آن برابر با صفر نباشد وجود دارد و از طریق توابع ابتدایی، یعنی کسرهای گویا، لگاریتم و تانژانت‌های قطبی بیان می‌شود.
اثبات
بیایید کسری گویا را به شکل زیر تصور کنیم: 
. در این حالت، جمله آخر یک کسر مناسب است و طبق قضیه 5 می توان آن را به صورت ترکیبی خطی از کسرهای ساده نشان داد. بنابراین، ادغام یک کسر گویا به ادغام یک چند جمله ای کاهش می یابد اس(ایکس)
و کسرهای ساده که ضد مشتقات آنها، همانطور که نشان داده شد، شکلی دارند که در قضیه نشان داده شده است.
اظهار نظر. مشکل اصلی در این مورد، فاکتورسازی مخرج است، یعنی جستجوی همه ریشه های آن.
مثال 1. انتگرال را پیدا کنید
تمام موارد فوق در پاراگراف های قبلی به ما اجازه می دهد تا قوانین اساسی برای ادغام کسرهای گویا را فرموله کنیم.
1. اگر کسر گویا نامناسب باشد، آنگاه به صورت مجموع یک کسر گویا و چند جمله ای مناسب نمایش داده می شود (بند 2 را ببینید).
این امر ادغام یک کسر گویا نامناسب را به ادغام یک چند جمله ای و یک کسر گویا مناسب کاهش می دهد.
2. مخرج کسر مناسب را عامل کنید.
3. کسر گویا مناسب به مجموع کسرهای ساده تجزیه می شود. این امر ادغام یک کسر گویا را به ادغام کسرهای ساده کاهش می دهد.
بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.
مثال 1. پیدا کنید.
راه حل. زیر انتگرال یک کسر گویا نامناسب است. با انتخاب کل قسمت، دریافت می کنیم
از این رو،
با توجه به اینکه، اجازه دهید کسر منطقی مناسب را بسط دهیم
به کسرهای ساده:
(به فرمول (18) مراجعه کنید). از همین رو
بنابراین، ما در نهایت داریم
مثال 2. پیدا کنید
راه حل. در زیر انتگرال یک کسر گویا مناسب است.
با گسترش آن به کسرهای ساده (به فرمول (16) مراجعه کنید)، به دست می آوریم
مطالب ارائه شده در این مبحث بر اساس اطلاعات ارائه شده در مبحث "کسرهای گویا. تجزیه کسرهای گویا به کسرهای ابتدایی (ساده)" است. اکیداً توصیه می‌کنم قبل از رفتن به خواندن این مطالب، حداقل این موضوع را مرور کنید. علاوه بر این، به جدولی از انتگرال های نامعین نیاز خواهیم داشت.
بگذارید چند اصطلاح را به شما یادآوری کنم. آنها در موضوع مربوطه مورد بحث قرار گرفتند، بنابراین در اینجا به یک فرمول مختصر محدود می شوم.
نسبت دو چند جمله ای $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ را تابع گویا یا کسر گویا می نامند. کسر گویا نامیده می شود درست، اگر $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется اشتباه.
کسرهای گویا ابتدایی (ساده ترین) کسرهای گویا از چهار نوع هستند:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
نکته (مطلوب برای درک کاملتر متن): show\hide
چرا شرط $p^2-4q مورد نیاز است؟< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
به عنوان مثال، برای عبارت $x^2+5x+10$ دریافت می کنیم: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. از آنجایی که $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
ضمناً برای این بررسی اصلاً لازم نیست ضریب قبل از $x^2$ برابر با 1 باشد. مثلاً برای $5x^2+7x-3=0$ دریافت می کنیم: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. از $D > 0$، عبارت $5x^2+7x-3$ قابل فاکتورسازی است.
نمونه‌هایی از کسرهای گویا (مناسب و نامناسب)، و همچنین نمونه‌هایی از تجزیه کسر گویا به کسرهای ابتدایی را می‌توان یافت. در اینجا ما فقط به سؤالات ادغام آنها علاقه مند خواهیم شد. بیایید با ادغام کسرهای ابتدایی شروع کنیم. بنابراین، ادغام هر یک از چهار نوع کسر ابتدایی بالا با استفاده از فرمول های زیر آسان است. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که هنگام ادغام کسری از انواع (2) و (4)، $n=2،3،4،\ldots$ فرض می شود. فرمول های (3) و (4) مستلزم تحقق شرط $p^2-4q هستند< 0$.
\ابتدا(معادله) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \پایان(معادله) \شروع(معادله) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \پایان(معادله) \شروع(معادله) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(معادله)
برای $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ جایگزینی $t=x+\frac(p)(2)$ انجام می‌شود، پس از آن بازه به دست آمده به دو تقسیم شده است. اولی با وارد کردن زیر علامت دیفرانسیل محاسبه می شود و دومی به شکل $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ خواهد بود. این انتگرال با استفاده از رابطه عود گرفته شده است
\begin(معادله) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n،\; n\in N\end (معادله)
محاسبه چنین انتگرالی در مثال شماره 7 مورد بحث قرار گرفته است (به بخش سوم مراجعه کنید).
طرحی برای محاسبه انتگرال توابع گویا (کسری گویا):
- اگر انتگرال ابتدایی است، فرمول های (1)-(4) را اعمال کنید.
- اگر انتگرال ابتدایی نیست، آن را به صورت مجموع کسرهای ابتدایی نشان دهید و سپس با استفاده از فرمول های (1)-(4) ادغام کنید.
الگوریتم فوق برای ادغام کسرهای گویا یک مزیت غیرقابل انکار دارد - جهانی است. آن ها با استفاده از این الگوریتم می توانید ادغام کنید هرکسر گویا به همین دلیل است که تقریباً تمام تغییرات متغیرها در یک انتگرال نامعین (اولر، چبیشف، جایگزینی مثلثاتی جهانی) به گونه ای انجام می شود که پس از این تغییر یک کسری گویا در زیر بازه به دست می آوریم. و سپس الگوریتم را روی آن اعمال کنید. پس از یادداشتی کوچک، کاربرد مستقیم این الگوریتم را با استفاده از مثال ها تحلیل خواهیم کرد.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
در اصل، این انتگرال بدون کاربرد مکانیکی فرمول به راحتی بدست می آید. اگر ثابت $7$ را از علامت انتگرال خارج کنیم و $dx=d(x+9)$ را در نظر بگیریم، به دست می‌آییم:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
برای اطلاعات دقیق، توصیه می کنم به موضوع نگاه کنید. به طور مفصل توضیح می دهد که چگونه چنین انتگرال هایی حل می شوند. به هر حال، فرمول با همان تبدیل هایی که در این پاراگراف هنگام حل آن به صورت "دستی" اعمال شد، ثابت می شود.
2) باز هم دو راه وجود دارد: از فرمول آماده استفاده کنید یا بدون آن انجام دهید. اگر فرمول را اعمال کنید، باید در نظر داشته باشید که ضریب مقابل $x$ (شماره 4) باید حذف شود. برای انجام این کار، اجازه دهید به سادگی این چهار را از پرانتز خارج کنیم:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\راست)\راست)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$
اکنون زمان اعمال فرمول است:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \راست)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \راست )^7)+C. $$
شما می توانید بدون استفاده از فرمول انجام دهید. و حتی بدون خارج کردن 4 دلار ثابت از پرانتز. اگر $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ را در نظر بگیریم، به دست می‌آییم:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
توضیحات مفصل برای یافتن چنین انتگرالهایی در مبحث "ادغام با جایگزینی (جایگزینی تحت علامت دیفرانسیل)" ارائه شده است.
3) ما باید کسر $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ را ادغام کنیم. این کسر دارای ساختار $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ است که در آن $M=4$، $N=7$، $p=10$، $q=34$. با این حال، برای اطمینان از اینکه این واقعاً یک کسر ابتدایی از نوع سوم است، باید بررسی کنید که شرط p^2-4q $ برآورده شده است.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
بیایید همان مثال را حل کنیم، اما بدون استفاده از فرمول آماده. بیایید سعی کنیم مشتق مخرج را در صورت جدا کنیم. این یعنی چی؟ می دانیم که $(x^2+10x+34)"=2x+10$. این عبارت $2x+10$ است که باید آن را در صورتگر جدا کنیم. بیایید تبدیل زیر را به صورتگر اعمال کنیم:
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$
اکنون عبارت مورد نیاز $2x+10$ در صورت حساب ظاهر می شود. و انتگرال ما را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
بیایید انتگرال را به دو قسمت تقسیم کنیم. خوب، و بر این اساس، خود انتگرال نیز "دوشاخه" است:
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \راست)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
بیایید ابتدا در مورد انتگرال اول صحبت کنیم، i.e. حدود $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. از آنجایی که $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$، پس صورتگر انتگرال حاوی دیفرانسیل مخرج است. به طور خلاصه، در عوض از عبارت $( 2x+10)dx$ می نویسیم $d(x^2+10x+34)$.
حال اجازه دهید چند کلمه در مورد انتگرال دوم بگوییم. بیایید یک مربع کامل در مخرج انتخاب کنیم: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. علاوه بر این، $dx=d(x+5)$ را نیز در نظر می گیریم. اکنون مجموع انتگرال هایی که قبلاً به دست آوردیم را می توان به شکل کمی متفاوت بازنویسی کرد:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
اگر در انتگرال اول جایگزینی $u=x^2+10x+34$ را انجام دهیم، به شکل $\int\frac(du)(u)$ خواهد بود و آسان برای استفادهفرمول دوم از . در مورد انتگرال دوم، تغییر $u=x+5$ برای آن امکان پذیر است، پس از آن به شکل $\int\frac(du)(u^2+9)$ خواهد بود. این آب خالصیازدهمین فرمول از جدول انتگرال های نامعین. بنابراین، با بازگشت به مجموع انتگرال ها، داریم:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
ما همان پاسخی را دریافت کردیم که هنگام استفاده از فرمول، که به طور دقیق، تعجب آور نیست. به طور کلی، فرمول با همان روش هایی که برای یافتن این انتگرال استفاده کردیم ثابت می شود. من معتقدم که خواننده ی توجه ممکن است در اینجا یک سوال داشته باشد، بنابراین آن را فرموله می کنم:
سوال شماره 1
اگر فرمول دوم را از جدول انتگرال های نامشخص به انتگرال $\int \frac(d(x^2+10x+34)) (x^2+10x+34)$ اعمال کنیم، نتیجه زیر را بدست می آوریم:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
چرا هیچ ماژولی در راه حل وجود نداشت؟
پاسخ به سوال شماره 1
سوال کاملا طبیعی است. ماژول تنها به این دلیل وجود نداشت که عبارت $x^2+10x+34$ برای هر $x\in R$ بزرگتر از صفر است. نشان دادن این امر از چند جهت بسیار آسان است. برای مثال، از آنجایی که $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ و $(x+5)^2 ≥ 0$، سپس $(x+5)^2+9 > 0$ . شما می توانید متفاوت فکر کنید، بدون استفاده از انتخاب یک مربع کامل. از 10^2-4$\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ برای هر $x\in R$ (اگر این زنجیره منطقیفوق العاده است، دیدنش را توصیه می کنم روش گرافیکیراه حل های نابرابری های درجه دوم). در هر صورت، از $x^2+10x+34 > 0$، سپس $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$، یعنی. به جای ماژول، می توانید از پرانتزهای معمولی استفاده کنید.
تمام نکات مثال شماره 1 حل شد، فقط باید پاسخ را یادداشت کرد.
پاسخ:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5) (3) + C$.
مثال شماره 2
انتگرال $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ را بیابید.
در نگاه اول، کسر انتگرال $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ بسیار شبیه یک کسر ابتدایی از نوع سوم است، یعنی. توسط $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. به نظر می رسد که تنها تفاوت ضریب 3$ در مقابل $x^2$ است، اما برداشتن ضریب (آن را خارج از پرانتز) طولی نمی کشد. با این حال، این شباهت آشکار است. برای کسری $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ شرط $p^2-4q اجباری است< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
ضریب ما قبل از $x^2$ برابر با یک نیست، بنابراین شرط $p^2-4q را بررسی کنید< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант معادله درجه دوم$x^2+px+q=0$. اگر تفکیک کننده کمتر از صفر باشد، نمی توان عبارت $x^2+px+q$ را فاکتور گرفت. بیایید ممیز چند جمله‌ای $3x^2-5x-2$ واقع در مخرج کسر خود را محاسبه کنیم: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. بنابراین، $D > 0$، بنابراین عبارت $3x^2-5x-2$ را می توان فاکتور گرفت. این بدان معناست که کسر $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ یک کسر عنصری از نوع سوم نیست و $\int\frac(7x+12)(3x^2- را اعمال کنید. ) به فرمول انتگرال 5x-2)dx$ امکان پذیر نیست.
خوب، اگر کسر گویا یک کسری ابتدایی نباشد، باید به صورت مجموع کسرهای ابتدایی نمایش داده شود و سپس ادغام شود. به طور خلاصه، از مسیر استفاده کنید. نحوه تجزیه کسری گویا به کسری ابتدایی به تفصیل نوشته شده است. بیایید با فاکتورگیری مخرج شروع کنیم:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(تراز شده) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(تراز شده)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$
ما کسری فرعی را به این شکل ارائه می کنیم:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\راست)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$
حالا بیایید کسری $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ را به موارد ابتدایی تجزیه کنیم:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\راست))(\چپ(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\راست). $$
برای یافتن ضرایب $A$ و $B$ دو راه استاندارد وجود دارد: روش ضرایب نامشخص و روش جایگزینی مقادیر جزئی. بیایید روش جایگزینی مقدار جزئی را اعمال کنیم و $x=2$ و سپس $x=-\frac(1)(3)$ را جایگزین کنیم:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\راست)+B\چپ (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
از آنجایی که ضرایب پیدا شده اند، تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن بسط نهایی است:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
در اصل، شما می توانید این ورودی را ترک کنید، اما من یک گزینه دقیق تر را دوست دارم:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
با بازگشت به انتگرال اصلی، بسط حاصل را در آن جایگزین می کنیم. سپس انتگرال را به دو قسمت تقسیم می کنیم و فرمول را برای هر کدام اعمال می کنیم. ترجیح می دهم بلافاصله ثابت ها را خارج از علامت انتگرال قرار دهم:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\راست)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\راست)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
پاسخ: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
مثال شماره 3
انتگرال $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ را بیابید.
ما باید کسر $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ را ادغام کنیم. صورت شامل چند جمله ای درجه دوم و مخرج شامل چند جمله ای درجه سوم است. از آنجایی که درجه چند جمله ای در صورت از درجه چند جمله ای در مخرج کمتر است، یعنی. 2 دلار< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$
تنها کاری که باید انجام دهیم این است که انتگرال داده شده را به سه تقسیم کرده و فرمول را برای هر کدام اعمال کنیم. ترجیح می دهم بلافاصله ثابت ها را خارج از علامت انتگرال قرار دهم:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
پاسخ: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
ادامه تحلیل نمونه هایی از این مبحث در قسمت دوم قرار دارد.
