અર્ધ વિભાજન પદ્ધતિ(અન્ય નામો: દ્વિભાજન પદ્ધતિ, ડિકોટોમી પદ્ધતિ) સમીકરણ ઉકેલવા માટે f(x) = 0 નીચે મુજબ છે. તે જાણીએ કે કાર્ય સતત છે અને સેગમેન્ટના છેડા પર લે છે
[a, b] વિવિધ ચિહ્નોના મૂલ્યો, પછી રુટ અંતરાલમાં સમાયેલ છે ( a, b). ચાલો અંતરાલને બે ભાગમાં વિભાજીત કરીએ અને પછી આપણે અડધા ભાગને ધ્યાનમાં લઈશું જેના છેડે ફંક્શન વિવિધ ચિહ્નોના મૂલ્યો લે છે. અમે ફરીથી આ નવા સેગમેન્ટને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ છીએ અને રુટ ધરાવતું એક પસંદ કરીએ છીએ. જ્યાં સુધી આગલા સેગમેન્ટની લંબાઈ જરૂરી ભૂલ મૂલ્ય કરતાં ઓછી ન થાય ત્યાં સુધી આ પ્રક્રિયા ચાલુ રહે છે. દ્વિભાજન પદ્ધતિ માટે અલ્ગોરિધમની વધુ સખત રજૂઆત:
1) ચાલો ગણતરી કરીએ x = (a+ b)/2; ચાલો ગણતરી કરીએ f(x);
2) જો f(x) = 0, પછી પગલું 5 પર જાઓ;
3) જો f(x)∙f(a) < 0, то b = x, અન્યથા a = x;
4) જો | b – a| > ε, બિંદુ 1 પર જાઓ;
5) મૂલ્ય આઉટપુટ કરો x;
ઉદાહરણ 2.4.દ્વિભાજન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, સમીકરણના મૂળને શુદ્ધ કરો ( x– 1) 3 = 0, સેગમેન્ટથી સંબંધિત છે.
કાર્યક્રમમાં ઉકેલ એક્સેલ:
1) કોષોમાં એ 1:એફ 4 અમે કોષ્ટક 2.3 માં બતાવ્યા પ્રમાણે સંકેત, પ્રારંભિક મૂલ્યો અને સૂત્રો રજૂ કરીએ છીએ.
2) દરેક ફોર્મ્યુલાને દસમી લાઇન સુધી ફિલ માર્કર સાથે નીચલા કોષોમાં કૉપિ કરો, એટલે કે. બી 4 - સુધી બી 10, સી 4 - સુધી સી 10, ડી 3 - સુધી ડી 10, ઇ 4 - સુધી ઇ 10, એફ 3 - સુધી એફ 10.
કોષ્ટક 2.3
| એ | બી | સી | ડી | ઇ | એફ | |
| f(a)= | =(1-B3)^3 | |||||
| k | a | x | f(x) | b | b-a | |
| 0,95 | =(B3+E3)/2 | =(1-C3)^3 | 1,1 | =E3-B3 | ||
| =IF(D3=0,C3; IF(C$1*D3<0;B3;C3)) | =IF(C$1*D3>0; E3;C3) |
ગણતરીના પરિણામો કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યા છે. 2.4. કૉલમમાં એફઅંતરાલ લંબાઈ મૂલ્યો તપાસી રહ્યા છીએ b – a. જો મૂલ્ય 0.01 કરતા ઓછું હોય, તો આ રેખામાં ઉલ્લેખિત ભૂલ સાથે રૂટનું અંદાજિત મૂલ્ય જોવા મળે છે. જરૂરી ચોકસાઈ હાંસલ કરવા માટે તેને 5 પુનરાવર્તનો થયા. ત્રણ દશાંશ સ્થાનો પર ગોળાકાર કર્યા પછી 0.01 ની ચોકસાઈ સાથે રૂટનું અંદાજિત મૂલ્ય 1.0015625 ≈ 1.00 છે.
કોષ્ટક 2.4
| એ | બી | સી | ડી | ઇ | એફ | |
| f(a)= | 0,000125 | |||||
| k | a | x | f(x) | b | b-a | |
| 0,95 | 1,025 | -2E-05 | 1,1 | 0,15 | ||
| 0,95 | 0,9875 | 2E-06 | 1,025 | 0,075 | ||
| 0,9875 | 1,00625 | -2E-07 | 1,025 | 0,0375 | ||
| 0,9875 | 0,996875 | 3.1E-08 | 1,00625 | 0,0187 | ||
| 0,996875 | 1,0015625 | -4E-09 | 1,00625 | 0,0094 | ||
| 0,996875 | 0,9992188 | 4.8E-10 | 1,0015625 | 0,0047 | ||
| 0,99921875 | 1,0003906 | -6E-11 | 1,0015625 | 0,0023 | ||
| 0,99921875 | 0,9998047 | 7.5E-12 | 1,000390625 | 0,0012 |
આપેલ અલ્ગોરિધમ ધ્યાનમાં લે છે શક્ય કેસ"મૂળને મારવું", એટલે કે સમાનતા f(x) આગલા તબક્કે શૂન્ય. જો ઉદાહરણમાં 2.3 આપણે સેગમેન્ટ લઈએ, તો પહેલા જ સ્ટેપ પર આપણે રૂટ પર પહોંચીએ છીએ x= 1. ખરેખર, ચાલો કોષમાં લખીએ બી 3 મૂલ્ય 0.9. પછી પરિણામ કોષ્ટક 2.5 ફોર્મ લેશે (માત્ર 2 પુનરાવર્તનો આપવામાં આવ્યા છે).
કોષ્ટક 2.5
| એ | બી | સી | ડી | ઇ | એફ | |
| f(a)= | 0,001 | |||||
| k | a | x | f(x) | b | b-a | |
| 0,9 | 1,1 | 0,2 | ||||
ચાલો તેને પ્રોગ્રામમાં બનાવીએ એક્સેલબિલ્ટ-ઇન ભાષાનો ઉપયોગ કરીને દ્વિભાજ્ય પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા માટે કસ્ટમ ફંક્શન્સ f(x) અને દ્વિભાજ્ય(a, b, eps) વિઝ્યુઅલ બેઝિક. તેમના વર્ણનો નીચે આપેલ છે:
કાર્ય f(Byval x)
કાર્ય દ્વિભાજ્ય (a, b, eps)
1 x = (a + b) / 2
જો f(x) = 0 હોય તો GoTo 5
જો f(x) * f(a)< 0 Then
જો Abs(a - b) > eps હોય તો GoTo 1
ફંક્શન f(x) નક્કી કરે છે ડાબી બાજુસમીકરણો અને કાર્ય
દ્વિભાજિત (a, b, eps) દ્વિભાજિત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળની ગણતરી કરે છે f(x) = 0. નોંધ કરો કે ફંક્શન દ્વિભાજિત(a, b, eps) ફંક્શન f(x) માટે એક્સેસનો ઉપયોગ કરે છે. કસ્ટમ ફંક્શન બનાવવા માટેનું અલ્ગોરિધમ અહીં છે:
1) મેનુ આદેશ "ટૂલ્સ - મેક્રો - એડિટર ચલાવો વિઝ્યુઅલ બેઝિક" બારી " માઈક્રોસોફ્ટ વિઝ્યુઅલ બેઝિક" જો માં આ ફાઇલકાર્યક્રમો એક્સેલમેક્રો અથવા યુઝર ફંક્શન્સ અથવા પ્રક્રિયાઓ હજુ સુધી બનાવવામાં આવી નથી, આ વિન્ડો ફિગ 2.4 માં બતાવેલ જેવી દેખાશે.
2) મેનુ કમાન્ડ "Insert - Module" ને એક્ઝિક્યુટ કરો અને આકૃતિ 2.5 માં બતાવ્યા પ્રમાણે પ્રોગ્રામ ફંક્શનના ટેક્સ્ટ્સ દાખલ કરો.
હવે પ્રોગ્રામ શીટ કોષોમાં એક્સેલતમે સૂત્રોમાં બનાવેલ કાર્યોનો ઉપયોગ કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો કોષમાં દાખલ કરીએ ડી 18 સૂત્ર
દ્વિભાજ્ય(0.95;1;0.00001),
પછી આપણને 0.999993896 મૂલ્ય મળે છે.
બીજા સમીકરણને ઉકેલવા માટે (એક અલગ ડાબી બાજુ સાથે) તમારે "ટૂલ્સ - મેક્રો - એડિટર" આદેશનો ઉપયોગ કરીને સંપાદક વિંડો પર જવાની જરૂર છે. વિઝ્યુઅલ બેઝિક” અને ફંક્શન f(x) ના વર્ણનને ફક્ત ફરીથી લખો. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો, 0.001 ની ચોકસાઈ સાથે, sin5 સમીકરણનું મૂળ શોધીએ. x + x 2 – 1 = 0, અંતરાલ (0.4; 0.5) સાથે સંબંધિત. આ કરવા માટે, ચાલો ફંક્શનનું વર્ણન બદલીએ
નવા વર્ણન માટે
f = પાપ(5 * x) + x^2 - 1
પછી કોષમાં ડી 18 આપણને 0.441009521 મૂલ્ય મળે છે (ઉદાહરણ 2.3 માં મળેલ અંતરાલ (0.4; 0.5)ના મૂળના મૂલ્ય સાથે આ પરિણામની તુલના કરો!).
પ્રોગ્રામમાં અડધા ભાગાકાર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલવા Mathcadચાલો સબરૂટિન ફંક્શન બનાવીએ બાઈસેક(f, a, b, ε), જ્યાં:
f-સમીકરણની ડાબી બાજુને અનુરૂપ કાર્યનું નામ f(x) = 0;
a, b- સેગમેન્ટના ડાબા અને જમણા છેડા [ a, b];
ε - રુટના અંદાજિત મૂલ્યની ચોકસાઈ.
પ્રોગ્રામમાં ઉદાહરણનો ઉકેલ Mathcad:
1) પ્રોગ્રામ લોંચ કરો Mathcad.ચાલો ફંક્શનની વ્યાખ્યા આપીએ બાઈસેક(f, a, b, ε). આ કરવા માટે, કીબોર્ડ અને "ગ્રીક સિમ્બોલ્સ" ટૂલબારનો ઉપયોગ કરીને, ટાઇપ કરો બાઈસેક(f, a, b, ε):=. "પ્રોગ્રામિંગ" ટૂલબાર પર અસાઇનમેન્ટ સાઇન ":=" પછી, "લાઇન ઉમેરો" પર ડાબું-ક્લિક કરવા માટે માઉસ પોઇન્ટરનો ઉપયોગ કરો. અસાઇનમેન્ટ સાઇન પછી ઊભી રેખા દેખાશે. આગળ, લૂપ ઓપરેટર, “←” ચિહ્ન દાખલ કરવા માટે “પ્રોગ્રામિંગ” ટૂલબારનો ઉપયોગ કરીને નીચે દર્શાવેલ પ્રોગ્રામ ટેક્સ્ટ દાખલ કરો. જ્યારે, ઓપરેટર વિરામઅને શરતી ઓપરેટર જો અન્યથા.
2) ચાલો ફંક્શનની વ્યાખ્યા આપીએ f(x):=sin(5*x)+x^2–1, અને પછી ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને રૂટની કિંમતની ગણતરી કરો બાઈસેકઆપેલ મૂલ્યો પર:
બાઈસેક(f, –0.8,–0.7,0.0001)=. “=” ચિહ્ન પછી, પ્રોગ્રામ દ્વારા ગણતરી કરાયેલ રૂટ મૂલ્ય –0.7266601563 આપમેળે દેખાશે. ચાલો એ જ રીતે બાકીના મૂળની ગણતરી કરીએ.
નીચે શીટ છે Mathcadકાર્ય વ્યાખ્યા સાથે બાઈસેક(f, a, b, ε) અને ગણતરીઓ:
ચાલો ભાષામાં પ્રોગ્રામ આપીએ સીસમીકરણ ઉકેલવા માટે ++ f(x) = 0 અડધી પદ્ધતિ દ્વારા:
# સમાવેશ થાય છે
# સમાવેશ થાય છે
ડબલ એફ (ડબલ એક્સ);
typedef ડબલ (*PF)(ડબલ);
ડબલ બાઈસેક (PF f, ડબલ a, ડબલ b, ડબલ eps);
ડબલ a, b, x, eps;PF pf;
cout<< "\n a = "; cin >> a;
cout<< "\n b = "; cin >>b;
cout<< "\n eps = "; cin >> eps;
x = bisec(pf,a,b,eps); cout<< "\n x = " << x;
cout<< "\n Press any key & Enter "; cin >> a;
ડબલ f(ડબલ x)(
r = sin(5*x)+x*x-1;
ડબલ બાઈસેક(PF f, ડબલ a, ડબલ b, ડબલ eps)(
do( x = (a + b)/2;
જો (f(x) == 0) બ્રેક;
જો (f(x)*f(a)<0) b = x;
)જ્યારે (fabs(b-a) > eps);
કાર્યક્રમમાં કામગીરી f(x) સમીકરણ ઉકેલવા માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે
sin5 x + x 2 – 1 = 0
ઉદાહરણ 2.3 થી. 0.00001 ની ચોકસાઈ સાથે અંતરાલ (0.4; 0.5) ના રુટ નક્કી કરવા માટેના પ્રોગ્રામનું પરિણામ નીચે પ્રસ્તુત છે (કમ્પ્યુટર સ્ક્રીન):
કોઈપણ કી દબાવો અને એન્ટર કરો
પરિણામ જોવા માટે વિરામ ગોઠવવા માટે છેલ્લી લાઇનની જરૂર છે.
બિનરેખીય સમીકરણોને 2 વર્ગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે - બીજગણિત અને ગુણાતીત. બીજગણિત સમીકરણોમાત્ર બીજગણિતીય કાર્યો (પૂર્ણાંક, તર્કસંગત, અતાર્કિક) ધરાવતા સમીકરણો કહેવાય છે. ખાસ કરીને, બહુપદી એ સમગ્ર બીજગણિતીય કાર્ય છે. અન્ય કાર્યો (ત્રિકોણમિતિ, ઘાતાંકીય, લઘુગણક, વગેરે) ધરાવતા સમીકરણોને કહેવામાં આવે છે. ગુણાતીત
બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ બે જૂથોમાં વહેંચાયેલી છે:
- ચોક્કસ પદ્ધતિઓ ;
- પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ .
ચોક્કસ પદ્ધતિઓ કેટલાક મર્યાદિત સંબંધ (સૂત્ર) ના સ્વરૂપમાં મૂળ લખવાનું શક્ય બનાવે છે.
જેમ જાણીતું છે, ઘણા સમીકરણો અને સમીકરણોની સિસ્ટમોમાં વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલો નથી. આ મુખ્યત્વે મોટાભાગના અતીન્દ્રિય સમીકરણોને લાગુ પડે છે. તે પણ સાબિત થયું છે કે ફોર્મ્યુલાનું નિર્માણ કરવું અશક્ય છે જેનો ઉપયોગ ચારથી વધુ ડિગ્રીના મનસ્વી બીજગણિત સમીકરણને ઉકેલવા માટે થઈ શકે. આ ઉપરાંત, કેટલાક કિસ્સાઓમાં સમીકરણમાં એવા ગુણાંક હોય છે જે ફક્ત લગભગ જાણીતા છે, અને તેથી, સમીકરણના મૂળને ચોક્કસ રીતે નક્કી કરવાનું ખૂબ જ કાર્ય તેનો અર્થ ગુમાવે છે. તેમને ઉકેલવા માટે અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓઆપેલ ચોકસાઈની ડિગ્રી સાથે.
સમીકરણ આપવા દો
- કાર્ય f(x) અંતરાલ પર સતત છે [ a, b] તેના 1લા અને 2જા ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે.
- મૂલ્યો f(x) સેગમેન્ટના છેડે વિવિધ ચિહ્નો છે ( f(a) * f(b) < 0).
- પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્ઝ f"(x) અને f""(x) સમગ્ર સેગમેન્ટમાં ચોક્કસ ચિહ્ન જાળવી રાખો.
શરતો 1) અને 2) ખાતરી આપે છે કે અંતરાલ પર [ a b] ત્યાં ઓછામાં ઓછું એક મૂળ છે, અને 3 થી) તે તેને અનુસરે છે f(x) આ અંતરાલ પર મોનોટોનિક છે અને તેથી મૂળ અનન્ય હશે.
સમીકરણ ઉકેલો (1) પુનરાવર્તિત પદ્ધતિતેનો અર્થ એ છે કે તેના મૂળ છે કે કેમ, કેટલા મૂળ છે અને જરૂરી ચોકસાઈ સાથે મૂળના મૂલ્યો શોધો.
કોઈપણ મૂલ્ય કે જે ફંક્શનને રિવર્સ કરે છે f(x) થી શૂન્ય, એટલે કે જેમ કે:
કહેવાય છે મૂળ સમીકરણો(1) અથવા શૂન્યકાર્યો f(x).
સમીકરણનું મૂળ શોધવાની સમસ્યા f(x) = 0 પુનરાવર્તિત પદ્ધતિ દ્વારા બે તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે:
- મૂળ અલગ - રુટ અથવા તેમાં સમાવિષ્ટ સેગમેન્ટનું અંદાજિત મૂલ્ય શોધવું;
- અંદાજિત મૂળનું શુદ્ધિકરણ - તેમને આપેલ ચોકસાઈની ડિગ્રી પર લાવવું.
રુટ વિભાજનની પ્રક્રિયા કાર્યના સંકેતોની સ્થાપના સાથે શરૂ થાય છે f(x) સીમામાં x=aઅને x=bતેના અસ્તિત્વના ક્ષેત્રમાં બિંદુઓ.
ઉદાહરણ 1 . સમીકરણના મૂળને અલગ કરો:
|
f( x) є x 3 - 6x + 2 = 0. |
ચાલો અંદાજિત આકૃતિ બનાવીએ:
પરિણામે, સમીકરણ (2) અંતરાલો [-3, -1] અને .
મૂળના અંદાજિત મૂલ્યો ( પ્રારંભિક અંદાજ) સમસ્યાના ભૌતિક અર્થ પરથી પણ જાણી શકાય છે, અલગ-અલગ પ્રારંભિક ડેટા સાથે સમાન સમસ્યાને ઉકેલવાથી, અથવા ગ્રાફિકલી શોધી શકાય છે.
એન્જિનિયરિંગ પ્રેક્ટિસમાં સામાન્ય ગ્રાફિક પદ્ધતિઅંદાજિત મૂળનું નિર્ધારણ.
સમીકરણ (1) ના વાસ્તવિક મૂળ ફંક્શનના ગ્રાફના આંતરછેદ બિંદુઓ છે તે ધ્યાનમાં લેતા f(x) x-અક્ષ સાથે, તે કાર્યને પ્લોટ કરવા માટે પૂરતું છે f(x) અને આંતરછેદ બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો f(x) ધરી સાથે ઓહ,અથવા ધરી પર ચિહ્નિત કરો ઓહએક મૂળ ધરાવતા વિભાગો. આલેખનું નિર્માણ ઘણીવાર સમીકરણ (1) ને બદલીને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવી શકાય છે. સમકક્ષતેને સમીકરણ સાથે:
સમીકરણ (4) સરળતાથી સમાનતા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે:
આના પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સમીકરણ (4) ના મૂળ લઘુગણક વળાંકના આંતરછેદ બિંદુઓના એબ્સિસાસ તરીકે શોધી શકાય છે. y= લોગ xઅને હાઇપરબોલ્સ y = . આ વળાંકો બાંધ્યા પછી, અમે લગભગ સમીકરણ (4) નું એક માત્ર મૂળ શોધીશું અથવા તેમાં સમાવિષ્ટ સેગમેન્ટ નક્કી કરીશું.
પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયામાં પ્રારંભિક અંદાજના ક્રમિક શુદ્ધિકરણનો સમાવેશ થાય છે એક્સ 0 આવા દરેક પગલાને કહેવામાં આવે છે પુનરાવર્તન. પુનરાવર્તનોના પરિણામે, અંદાજિત મૂળ મૂલ્યોનો ક્રમ જોવા મળે છે એક્સ 1 , એક્સ 2 , ..., xn.જો આ મૂલ્યો પુનરાવૃત્તિની વધતી સંખ્યા સાથે nમૂળના સાચા મૂલ્યનો સંપર્ક કરો, પછી આપણે કહીએ છીએ કે પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા એકરૂપ થાય છે.
સમીકરણનું મૂળ શોધવા માટે (1) સેગમેન્ટથી સંબંધિત [ a b], આ સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વહેંચો. જો f= 0, પછી x = સમીકરણનું મૂળ છે. જો f 0 ની બરાબર નથી (જે, વ્યવહારમાં, મોટે ભાગે છે), તો પછી આપણે અર્ધભાગમાંથી એક પસંદ કરીએ છીએ અથવા જેના છેડે કાર્ય f(x) વિરોધી ચિહ્નો છે. નવો સંકુચિત સેગમેન્ટ [ એ 1 , b 1] ફરીથી અડધા ભાગમાં વહેંચો અને સમાન ક્રિયાઓ કરો.
આપેલ સમીકરણના મૂળને શોધવા માટે અર્ધભાગની પદ્ધતિ વ્યવહારીક રીતે અનુકૂળ છે.
ઉદાહરણ 3. સમીકરણના મૂળને સ્પષ્ટ કરવા માટે અડધી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો
f( x) = x 4 + 2 x 3 - x - 1 = 0
સેગમેન્ટ [0, 1] પર પડેલો.
સતત અમારી પાસે છે:
f(0) = - 1; f(1) = 1; f(0,5) = 0,06 + 0,25 - 0,5 - 1 = - 1,19;
f(0.75) = 0.32 + 0.84 - 0.75 - 1 = - 0.59;
f(0.875) = 0.59 + 1.34 - 0.88 - 1 = + 0.05;
f(0.8125) = 0.436 + 1.072 - 0.812 - 1 = - 0.304;
f(0.8438) = 0.507 + 1.202 - 0.844 - 1 = - 0.135;
f(0.8594) = 0.546 + 1.270 - 0.859 - 1 = - 0.043, વગેરે.
સ્વીકારી શકાય છે
x = (0.859 + 0.875) = 0.867
આ પદ્ધતિમાં, પુનરાવૃત્તિ પ્રક્રિયામાં નીચેના મૂલ્યોનો સમાવેશ થાય છે જે સમીકરણના મૂળના અંદાજ તરીકે લેવામાં આવે છે (1): એક્સ 1 , એક્સ 2 , ..., x nતાર આંતરછેદ બિંદુઓ એબી x-અક્ષ સાથે (આકૃતિ 3). પ્રથમ આપણે તારનું સમીકરણ લખીએ છીએ એબી:
.
તાર આંતરછેદ બિંદુ માટે એબી x-અક્ષ સાથે ( x = x 1 ,y= 0) આપણને સમીકરણ મળે છે:
નિશ્ચિતતા માટે દો f""(x) > 0 પર a x b(બનતું f""(x) < જો આપણે ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ તો 0 આપણામાં ઘટે છે - f(x) = 0). પછી વળાંક ખાતે = f(x) નીચે તરફ બહિર્મુખ હશે અને તેથી, તેની તાર નીચે સ્થિત હશે એબી. ત્યાં બે સંભવિત કિસ્સાઓ છે: 1) f(એ) > 0 (આકૃતિ 3, એ) અને 2) f(b) < 0 (Рисунок 3, b).
આકૃતિ 3, a, b.
પ્રથમ કિસ્સામાં અંત એગતિહીન અને ક્રમિક અંદાજો: x 0 = b;x , જ્યાં કાર્ય f (એક્સ) તેના બીજા વ્યુત્પન્નના ચિહ્નની વિરુદ્ધ એક ચિહ્ન ધરાવે છે f""(એક્સ).
પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા ત્યાં સુધી ચાલુ રહે છે જ્યાં સુધી તે ન મળે
| x i - x i - 1 |< e ,
જ્યાં e એ સ્પષ્ટ કરેલ મહત્તમ સંપૂર્ણ ભૂલ છે.
ઉદાહરણ 4. સમીકરણનું હકારાત્મક મૂળ શોધો
f( x) = x 3 - 0,2 x 2 - 0,2 એક્સ - 1,2 = 0
e = 0.01 ની ચોકસાઈ સાથે.
સૌ પ્રથમ, આપણે મૂળને અલગ કરીએ છીએ. કારણ કે
f(1) = -0.6< 0 и f (2) = 5,6 > 0,
પછી જરૂરી રૂટ x અંતરાલમાં આવેલું છે. પરિણામી અંતરાલ મોટો છે, તેથી અમે તેને અડધા ભાગમાં વહેંચીએ છીએ. કારણ કે
f (1.5) = 1.425 > 0, પછી 1< x < 1,5.
કારણ કે f""(x) = 6 x- 0.4 > 0 1 પર< એક્સ < 1,5 и f(1.5) > 0, પછી આપણે સમસ્યા હલ કરવા માટે સૂત્ર (5) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
= 1,15;
| x 1-x 0 |
= 0.15 > e,
તેથી, અમે ગણતરીઓ ચાલુ રાખીએ છીએ; એક્સ 1) = -0,173;
= 1,190;
f ( 2-x|x
f (એક્સ 2) = -0,036;
= 1,198;
| x 3-x 2 | = 0,008 < e .
1 |
= 0.04 > e,
આમ, આપણે e = 0.01 ની ચોકસાઈ સાથે x = 1.198 લઈ શકીએ છીએ. f(x) નોંધ કરો કે સમીકરણનું ચોક્કસ મૂળ x = 1.2 છે. a; b], .
દો
આમ, આપણે e = 0.01 ની ચોકસાઈ સાથે x = 1.198 લઈ શકીએ છીએ. f(x)
- પર સતત કાર્ય [ a;
b],
,
ન્યુટનની પદ્ધતિ (સ્પર્શી પદ્ધતિ) 
અંતરાલ પર સતત બે વાર અલગ અલગ કાર્ય છે [ a;
b].
અને 
ચિહ્નને [ માં બદલશો નહીં 
ન્યુટનની પદ્ધતિ (સ્પર્શી પદ્ધતિ) 
ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ સેગમેન્ટનો તે છેડો જ્યાં ચિહ્નો છેમેળ ચોક્કસ મૂળના અનુગામી અંદાજો
c 
.
સૂત્ર દ્વારા શોધો 
માટે
પછી 
સમીકરણનું ચોક્કસ મૂળ છે (1). ε
કમ્પ્યુટિંગ પ્રક્રિયા સામાન્ય રીતે બંધ થાય છે જ્યારે
ઉલ્લેખિત ચોકસાઈ કરતાં ઓછી હોવાનું બહાર આવ્યું છે
. જો કે, આ સ્થિતિ સખત રીતે ખાતરી આપી શકતી નથી કે ઉલ્લેખિત ચોકસાઈ પ્રાપ્ત થઈ છે. સંપૂર્ણ ખાતરી માટે, તમે આ વિભાગની શરૂઆતમાં જણાવ્યા મુજબ ચોકસાઈ તપાસ કરી શકો છો. જો ચોકસાઈ પ્રાપ્ત થઈ નથી, તો તમારે પુનરાવર્તનોને ઘણી વખત પુનરાવર્તિત કરવાની જરૂર છે. 
સેકન્ટ પદ્ધતિ 
કેટલાક પ્રારંભિક અંદાજ હોવા દો . સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણને વધુ એક બિંદુ મળે છે, ક્યાં 
ન્યુટનની પદ્ધતિ (સ્પર્શી પદ્ધતિ) 
h 
ન્યુટનની પદ્ધતિ (સ્પર્શી પદ્ધતિ) 
- એક નાની સંખ્યા. અમે ધારીશું કે અમે પદ્ધતિના ઘણા પગલાં પૂર્ણ કર્યા છે, અને આ સમયે અમારી પાસે બે અનુગામી અનુમાન છે.
,
ચોક્કસ મૂળ સુધી (પ્રારંભિક તબક્કે આ છે
). પછી આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આગામી અંદાજ શોધીએ છીએ
પ્રક્રિયા ન્યુટનની પદ્ધતિની જેમ સમાન માપદંડ અનુસાર અટકે છે. 
પુનરાવર્તન પદ્ધતિ 
પુનરાવર્તન પદ્ધતિમાં, મૂળ સમીકરણ (1) સમકક્ષ સમીકરણમાં પરિવર્તિત થાય છે 
,
. પ્રારંભિક અંદાજ પસંદ થયેલ છે 
. દરેક અનુગામી અંદાજ સૂત્ર દ્વારા મેળવવામાં આવે છે 
પ્રક્રિયા ન્યુટનની પદ્ધતિની જેમ સમાન માપદંડ અનુસાર અટકે છે. પદ્ધતિ એકરૂપ થશે, એટલે કે. મર્યાદા
જો અસમાનતા મૂળના પડોશમાં હોય તો મૂળના ચોક્કસ મૂલ્યની બરાબર
અને પ્રારંભિક અંદાજ મૂળની તદ્દન નજીક છે.
પદ્ધતિઓના ફાયદા અને ગેરફાયદા
,
દ્વિભાજન પદ્ધતિ માટે રુટને અલગ કરવાની જરૂર છે, અને ઉચ્ચ સચોટતા પ્રાપ્ત કરવા માટે ફંક્શનનું ઘણી વખત મૂલ્યાંકન કરવું આવશ્યક છે. આ પદ્ધતિમાં નિર્દિષ્ટ ચોકસાઈ હાંસલ કરવાની ખાતરી આપવામાં આવે છે. સેગમેન્ટનો તે છેડો જ્યાં ચિહ્નો છેન્યૂટનની પદ્ધતિમાં ખૂબ જ ઝડપી કન્વર્જન્સ (ક્વાડ્રેટિક કન્વર્જન્સ) છે, એટલે કે. જ્યાં- મૂળનું ચોક્કસ મૂલ્ય;
ન્યૂટનની પદ્ધતિના કન્વર્જન્સની બાંયધરી આપવા માટે, કેટલીક શરતો પૂરી કરવી જરૂરી છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, તમે આ શરતોને તપાસ્યા વિના ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ શરૂ કરી શકો છો, પરંતુ પછી કન્વર્જન્સ જોવા મળી શકશે નહીં.
સેકન્ટ પદ્ધતિ સરળ કાર્યો માટે ન્યૂટનની પદ્ધતિના કન્વર્જન્સ રેટની નજીકનો કન્વર્જન્સ દર પ્રદાન કરે છે. તેને ફંક્શનના ડેરિવેટિવની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી. જો પ્રારંભિક બિંદુ મૂળથી દૂર લેવામાં આવે છે, તો ત્યાં કોઈ સંપાત હોઈ શકે નહીં.
પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિ ન્યૂટનની પદ્ધતિ કરતાં નોંધપાત્ર રીતે નીચો કન્વર્જન્સ દર આપે છે. જો કન્વર્જન્સ હોય, તો અંદાજ લાગુ પડે છે 
કેટલાક પ્રારંભિક અંદાજ હોવા દો 
- સંખ્યાઓ, 
,
;સેગમેન્ટનો તે છેડો જ્યાં ચિહ્નો છે- મૂળનું ચોક્કસ મૂલ્ય. જથ્થો જ્યાં,
qકાર્ય પર આધાર રાખે છે અને પુનરાવર્તન નંબર પર આધાર રાખતા નથી. જો 
પછી 1 ની નજીક છે q 1 ની નજીક પણ છે અને પદ્ધતિનું કન્વર્જન્સ ધીમું હશે. પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી ચાલુ શરતો તપાસ્યા વિના શરૂ કરી શકાય છે 
ન્યુટનની પદ્ધતિ (સ્પર્શી પદ્ધતિ) 
. આ કિસ્સામાં, પ્રક્રિયા અલગ પડી શકે છે, અને પછી જવાબ પ્રાપ્ત થશે નહીં.
સૂચિબદ્ધ કરતાં અન્ય બિનરેખીય સમીકરણના મૂળ શોધવા માટેની ઘણી પદ્ધતિઓ છે. MATHCAD માં, રૂટ ફંક્શન ફોર્મેટમાં છે 
સેકન્ટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે, અને જો તે ઇચ્છિત પરિણામો તરફ દોરી જતું નથી, તો મુલર પદ્ધતિ. બાદમાં, સેકન્ટ પદ્ધતિથી વિપરીત, દરેક પગલા પર બે વધારાના બિંદુઓ લેવામાં આવે છે, ફંક્શનનો ગ્રાફ ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા પેરાબોલા દ્વારા બદલવામાં આવે છે, અને અક્ષ સાથે પેરાબોલાના આંતરછેદના બિંદુને આગામી અંદાજ તરીકે લેવામાં આવે છે. બળદ. ફોર્મેટમાં રૂટ ફંક્શનમાં રૂટ( f(x),
x,
a,
b) રીડર અને બ્રેન્ટ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ થાય છે. MATHCAD માં બહુપદીના મૂળ શોધવા માટે, Laguerre પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
ડિકોટોમી પદ્ધતિતેનું નામ પ્રાચીન ગ્રીક શબ્દ પરથી પડ્યું છે, જેનો અર્થ થાય છે બે ભાગમાં વિભાજન. તેથી જ આ પદ્ધતિનું બીજું નામ પણ છે: અર્ધભાગ પદ્ધતિ. અમે તેનો વારંવાર ઉપયોગ કરીએ છીએ. ચાલો કહીએ કે "ગ્યુસ ધ નંબર" રમત રમીએ, જ્યાં એક ખેલાડી 1 થી 100 સુધીની સંખ્યાનું અનુમાન લગાવે છે, અને બીજો તેનો અનુમાન લગાવવાનો પ્રયાસ કરે છે, "તેના કરતાં વધુ" અથવા "ઓછા કરતાં" સંકેતો દ્વારા માર્ગદર્શન આપે છે. તે ધારવું તાર્કિક છે કે પ્રથમ નંબર 50 કહેવાશે, અને બીજો જો તે ઓછો છે - 25, જો તે વધુ છે - 75. આમ, દરેક તબક્કે (પુનરાવૃત્તિ) અજ્ઞાતની અનિશ્ચિતતા 2 ગણી ઓછી થાય છે. તે. વિશ્વની સૌથી કમનસીબ વ્યક્તિ પણ 100 રેન્ડમ સ્ટેટમેન્ટને બદલે 7 અનુમાનમાં આ શ્રેણીમાં છુપાયેલા નંબરનો અંદાજ લગાવશે.
સમીકરણ ઉકેલવામાં અડધા ભાગાકારની પદ્ધતિ
અર્ધભાગની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણનો સાચો ઉકેલ ત્યારે જ શક્ય છે જો તે જાણીતું હોય કે આપેલ અંતરાલ પર મૂળ છે અને તે અનન્ય છે. આનો અર્થ એ નથી કે દ્વિભાષી પદ્ધતિનો ઉપયોગ ફક્ત રેખીય સમીકરણોને ઉકેલવા માટે જ થઈ શકે છે. દ્વિભાજન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉચ્ચ ક્રમના સમીકરણોના મૂળ શોધવા માટે, તમારે પહેલા મૂળને ભાગોમાં અલગ કરવા પડશે.< 0.
મૂળને અલગ કરવાની પ્રક્રિયા ફંક્શનના પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્સને શોધીને અને તેમને શૂન્ય f"(x)=0 અને f""(x)=0 સાથે સરખાવીને હાથ ધરવામાં આવે છે. આગળ, f(x) ના ચિહ્નો નિર્ણાયક અને સીમા બિંદુઓ પર નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે જ્યાં ફંક્શન ચિહ્ન |a,b| બદલાય છે, જ્યાં f(a)*f(b)
ડિકોટોમી પદ્ધતિનું અલ્ગોરિધમ
ડિકોટોમી પદ્ધતિનું અલ્ગોરિધમ ખૂબ જ સરળ છે. સેગમેન્ટ |a,b| ને ધ્યાનમાં લો જેની અંદર એક મૂળ x 1 છે
પ્રથમ તબક્કે, x 0 =(a+b)/2 ની ગણતરી કરવામાં આવે છે< 0, то , если наоборот, то ,т.е происходит сужение интервала. Таким образом в результате формируется последовательность x i , где i - номер иттерации.
આગળ, આ બિંદુએ ફંક્શનની કિંમત નક્કી થાય છે: જો f(x 0)
જ્યારે તફાવત b-a જરૂરી ભૂલ કરતાં ઓછો હોય ત્યારે ગણતરીઓ બંધ થાય છે.
અડધા ભાગાકાર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણ તરીકે, આપણે 10 -3 ની ચોકસાઈ સાથે સમીકરણ x 3 -3*x+1=0 ના અંતરાલ પર રૂટ શોધીશું.< 10 -3
કોષ્ટકમાંથી જોઈ શકાય છે, રુટ 0.347 છે. પુનરાવર્તનોની સંખ્યા 10 છે. પૂર્ણ થવાની સ્થિતિ: a-b=0.0009અર્ધભાગ પદ્ધતિ અથવા દ્વિભાષી પદ્ધતિ
સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલવા માટે સૌથી સરળ છે.
ડાઉનલોડ કરો:
ડિકોટોમી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલવું - પાસ્કલમાં દ્વિભાજન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલવું.
તેને ડિકોટોમી પદ્ધતિ પણ કહેવામાં આવે છે. સમીકરણો ઉકેલવાની આ પદ્ધતિ ઉપર ચર્ચા કરાયેલી પદ્ધતિઓથી અલગ છે જેમાં પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્સ અંતરાલ પર તેમની નિશાની જાળવી રાખે તેવી શરતની પરિપૂર્ણતાની જરૂર નથી. દ્વિભાજન પદ્ધતિ કોઈપણ સતત કાર્યો f(x) માટે કન્વર્જ થાય છે, જેમાં બિન-વિભેદ્ય કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે.
એક બિંદુ સાથે સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરો. જો (જે વ્યવહારીક રીતે સૌથી વધુ સંભવ છે), તો બે કિસ્સાઓ શક્ય છે: કાં તો f(x) સેગમેન્ટ (ફિગ. 3.8) પર સાઇન બદલાય છે, અથવા સેગમેન્ટ પર (ફિગ. 3.9)
દરેક કિસ્સામાં તે સેગમેન્ટ પસંદ કરીને કે જેના પર ફંક્શન ચિહ્નમાં ફેરફાર કરે છે, અને આગળ અડધી કરવાની પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીને, તમે સમીકરણના મૂળ ધરાવતા મનસ્વી રીતે નાના સેગમેન્ટ સુધી પહોંચી શકો છો.
ઉદાહરણ 4. સમીકરણ 5x - 6x -3 = 0 અંતરાલ પર એક મૂળ ધરાવે છે. અડધા ભાગાકાર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણ ઉકેલો.ઉકેલ
: પાસ્કલ પ્રોગ્રામ આના જેવો દેખાઈ શકે છે:
ફંક્શન f(x: વાસ્તવિક): વાસ્તવિક;
f:=exp(x*ln(5))-6*x-3;
a, b, e, c, x: વાસ્તવિક;
જ્યારે abs(b-a)>e કરો<0 then
જો f(a)*f(c)
writeln("x=",x:3:3," f(x)=",f(x):4:4);
e=0.001 x=1.562 f(x)=-0.0047
20. અર્ધભાગ વિભાજન પદ્ધતિનું અલ્ગોરિધમ.
1.નવું મૂળ અંદાજ નક્કી કરો એક્સસેગમેન્ટની મધ્યમાં [a,b]: x=(a+b)/2.
2. બિંદુઓ પર કાર્યની કિંમતો શોધો એઅને એક્સ: F(a)અને F(x).
3. સ્થિતિ તપાસો F(a)*F(x)< 0 . જો શરત પૂરી થાય છે, તો રુટ સેગમેન્ટ પર સ્થિત છે [ઓહ] bબિંદુ પર ખસેડો x (b=x). જો શરત પૂરી ન થાય, તો રુટ સેગમેન્ટ પર સ્થિત છે [x,b]. આ કિસ્સામાં, તમારે એક બિંદુની જરૂર છે એબિંદુ પર ખસેડો x (a=x).
4. સ્ટેપ 1 પર જાઓ અને ફરીથી સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વહેંચો. શરત પૂરી ન થાય ત્યાં સુધી અલ્ગોરિધમ ચાલુ રહે છે /F(x)/< e (નિર્દિષ્ટ ચોકસાઈ).
21. મૂળ શોધવા માટેની સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ. ભૌમિતિક અર્થઘટન.
મૂળ સમીકરણ f(x)=0 એ ફોર્મમાં સમકક્ષ રૂપાંતરણ દ્વારા ડાબી બાજુએ પસંદ કરેલ અજ્ઞાત સાથે ઘટાડી દેવામાં આવે છે, એટલે કે, x=φ(x), જ્યાં φ(x) એ મૂળ ફંક્શન f સાથે સંકળાયેલું અમુક કાર્ય છે. (x). સમીકરણ લખવાનું આ સ્વરૂપ, પ્રારંભિક અંદાજ x 0 જોતાં, આગામી, પ્રથમ અંદાજ x 1 =φ(x 0), પછી બીજું અનુમાન x 2 =φ(x 1) અને તેથી વધુ x n +1 મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે. =φ(x n)…. ક્રમ (x n )= x 0, x 1, x 2, …, x n,… પ્રારંભિક મૂલ્ય x 0 સાથે પુનરાવૃત્તિઓ અથવા અંદાજોનો ક્રમ કહેવાય છે. જો કાર્ય φ(x) સતત ન હોય અને તેની મર્યાદા હોય ξ = લિમ x n એ n→∞ તરીકે, પછી, સમાનતા x n +1 =φ(x n) માં મર્યાદામાં પસાર થતાં, આપણે શોધીએ છીએ કે n → ∞: lim x n +1 =lim φ(x n)=φ(lim x n ), એટલે કે, ξ=φ(ξ) પરિણામે, જો અંદાજનો ક્રમ એકરૂપ થાય છે, તો તે સમીકરણ (2) ના મૂળમાં પરિવર્તિત થાય છે, અને તેથી સમીકરણ (1). પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાના સંકલનને લીધે, આ મૂળની ગણતરી પર્યાપ્ત મોટા માટે કરી શકાય છે. nઆપેલ કોઈપણ ચોકસાઈ સાથે. જો કે, કઈ પરિસ્થિતિઓમાં ક્રમ (x n) કન્વર્જન્ટ હશે તે નક્કી કરવું જરૂરી છે. ચાલો બે પડોશી અંદાજ - ε n અને ε n +1 ની ભૂલો વચ્ચે જોડાણ મેળવીએ: x n =ξ+ε n, x n +1 =ξ+ε n +1. ચાલો આ રજૂઆતોને x n +1 =φ(x n) માં બદલીએ અને મૂળની નજીકમાં ટેલર શ્રેણીમાં કાર્યને વિસ્તૃત કરીએ:ξ+ε n +1 =φ(ξ+ε n)=φ(ξ)+ε n φ'(ξ)+ (ε n 2 /2!)φ''(η), જ્યાં η О [ξ; ξ+ε n ] М ξ એ મૂળ છે, તો ξ=φ(ξ), આપણને મળે છે: ε n +1 =ε n φ'(ξ)+(φ''(η)/2)ε n 2 ε થી<1, то ε n 2 <<ε n . Поэтому если φ’(ξ) ¹ 0,то основной вклад в погрешность дает первое слагаемое, а слагаемым (φ’’(η)/2)ε n 2 можно пренебречь, то есть ε n +1 » ε n φ’(ξ).Это означает, что погрешность будет уменьшаться на каждом последующем шаге, если |φ’(ξ)|<1, тогда для любого n|ε n +1 |<|ε n |. Сформулируем теорему о сходимости метода простых итераций, дающую достаточные условия сходимости.
સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિના કન્વર્જન્સ પર પ્રમેય.ચાલો ξ સમીકરણ x=φ(x) નું મૂળ હોઈએ, ફંક્શન φ(x) અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત અને ભિન્ન છે, અને x О માટે ફંક્શનના તમામ મૂલ્યો φ(x) О. પછી, જો આવી ધન સંખ્યા હોય તો q<1, что при x Î выполняется неравенство |φ’(ξ)|≤q<1, то на отрезке уравнение x=φ(x) имеет единственный корень x=ξ и процесс итераций, выраженный формулой x n +1 =φ(x n), где n=1,2,3… , сходится к этому корню независимо от выбора начального приближения x 0 Î .Таким образом, последовательность {x n },начинающаяся с любого x 0 Î , сходится к корню ξ со скоростью геометрической прогрессии, причем скорость сходимости тем выше, чем меньше величина q Î (1;0).Если функция φ(х) монотонно возрастает и 0<φ’(х)<1, то все приближения лежат по одну сторону от корня - такую сходимость называют монотонной (или ступенчатой) – рис.1. Если функция φ(х) монотонно убывает и 0>φ'(x)>-1, પછી પડોશી અંદાજો મૂળની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર આવેલા છે - આવા સંપાતને દ્વિ-માર્ગી (અથવા સર્પાકાર) - ફિગ. 2 કહેવામાં આવે છે. કારણ કે આ કિસ્સામાં રુટ અંતરાલમાં સમાયેલ છે, જેનો છેડો પડોશી અંદાજો છે – ξÎ(x n ,x n +1), પછી શરતની પરિપૂર્ણતા |x n +1 -x n |<ε обеспечивает выполнение условия |ξ-x n +1 |<ε.
કન્વર્જન્સ સ્પીડના સંદર્ભમાં પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓની તુલના કરવામાં સક્ષમ થવા માટે, નીચેના ખ્યાલો રજૂ કરવામાં આવ્યા છે:
વ્યાખ્યા 1:ક્રમ (x n) થી ξ નું કન્વર્જન્સ કહેવાય છે રેખીય(તે મુજબ, પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા છે લીનિયરલી કન્વર્જન્ટ), જો ત્યાં સતત CО(0,1) અને સંખ્યા n 0 હોય કે જે અસમાનતાઓ |ξ-x n +1 |≤C|ξ-x n | n≥n 0 માટે.
અગાઉ રજૂ કરાયેલી ભૂલો માટે આનો અર્થ થાય છે |ε n+1 |≤C|ε n |. સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિમાં, સ્થિર C એ મૂલ્ય q છે, એટલે કે, પદ્ધતિ રેખીય રીતે કન્વર્જ થાય છે.
વ્યાખ્યા 2:અંદાજનો ક્રમ (x n ) ઓછામાં ઓછા ξ સાથે કન્વર્જ થાય છે આરમી ક્રમ (તે મુજબ, પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયામાં ઓછામાં ઓછું છે પી-થો ક્રમ), જો આવા સ્થિરાંકો C>0 હોય, પી≥1 અને n 0 , કે તમામ n≥n 0 માટે શરતો |ξ-x n +1 |≤C|ξ-x n | p (અથવા અન્ય સંકેતોમાં |ε n+1 |≤C|ε n | p).
