ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ 1 ನಿಯಮ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ

ಸೇವೆಯ ಉದ್ದೇಶ. ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ವಿತರಣೆಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು: ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ. ನಿರ್ಧಾರದೊಂದಿಗೆ ವರದಿಯನ್ನು ವರ್ಡ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಕಲಶದಲ್ಲಿ ಬಿಳಿ ಮತ್ತು ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡು. ಬಿಳಿ ಚೆಂಡು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗದೆ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಚಿತಾಭಸ್ಮದಿಂದ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಭವಿಸಿದ ತಕ್ಷಣ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ.
ಈ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಇಬ್ಬರು ಮೂವರು ಶೂಟರ್‌ಗಳು ತಲಾ ಒಂದು ಗುಂಡು ಗುರಿಯತ್ತ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮೊದಲ ಶೂಟರ್ ಅದನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ , ಎರಡನೇ - . ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ - ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2a. ಶೂಟರ್ ಎರಡು ಮೂರು ನಾಲ್ಕು ಹೊಡೆತಗಳನ್ನು ಹಾರಿಸುತ್ತಾನೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಹೊಡೆತದಿಂದ ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , . ಮೊದಲ ಮಿಸ್ ಸಂಭವಿಸಿದಲ್ಲಿ, ಶೂಟರ್ ಮುಂದಿನ ಸ್ಪರ್ಧೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ - ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3. ನಿಂದ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ ವಿವರಗಳು ದೋಷಯುಕ್ತ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪದಗಳಿಗಿಂತ. ನಿಯಂತ್ರಕವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಸೆಳೆಯುತ್ತದೆ ವಿವರಗಳು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ - ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ದೋಷಯುಕ್ತ ಉತ್ತಮ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಇದೇ ಕಾರ್ಯ: ಬುಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಮೀ ಕೆಂಪು ಮತ್ತು n ನೀಲಿ ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ. ಕೆ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. DSV X ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸಿ - ನೀಲಿ ಚೆಂಡುಗಳ ನೋಟ.
ಇತರ ಉದಾಹರಣೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 4. ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ . ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗಿದೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸಿ - ಘಟನೆಯ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಈ ರೀತಿಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು:
1. ಒಂದು ಹೊಡೆತದಿಂದ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 0.8 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾಲ್ಕು ಹೊಡೆತಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಿಟ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸಿ.
2. ನಾಣ್ಯವನ್ನು 7 ಬಾರಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹುಡುಕಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಮತ್ತು ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ನ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. X ವಿತರಣೆಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಮಾಡಿ - ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ನ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ಮೂರು ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಥ್ರೋನಲ್ಲಿ ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.5 ಆಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ - ಕೈಬಿಡಲಾದ ಲಾಂಛನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಪರಿಹಾರ.
ಯಾವುದೇ ಲಾಂಛನಗಳನ್ನು ಎಳೆಯದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
ಮೂರು ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: P(3) = 0.5*0.5*0.5 = 0.125

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮ:

X	0	1	2	3
ಪ	0,125	0,375	0,375	0,125

ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: P = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 0.125 + 0.375 + 0.375 + 0.125 = 1

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಒಬ್ಬ ಶೂಟರ್ ಮೊದಲ ಶೂಟರ್‌ಗೆ ಒಂದು ಹೊಡೆತದಿಂದ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.8, ಎರಡನೇ ಶೂಟರ್‌ಗೆ - 0.85. ಗುರಿಕಾರರು ಗುರಿಯತ್ತ ಒಂದೇ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸಿದರು. ವೈಯಕ್ತಿಕ ಶೂಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವುದನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ - ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಹಿಟ್.
ಪರಿಹಾರ.
ಈವೆಂಟ್ ಎ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ - ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಹಿಟ್. ಸಂಭವನೀಯ ಆಯ್ಕೆಗಳುಈ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

1. ಮೊದಲ ಶೂಟರ್ ಹಿಟ್, ಎರಡನೇ ಶೂಟರ್ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಂಡ: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
2. ಮೊದಲ ಶೂಟರ್ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಂಡ, ಎರಡನೇ ಶೂಟರ್ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆದನು: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಬಾಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುತ್ತವೆ: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68

ನಂತರ ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ - ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಹಿಟ್ - ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: P(A) = 0.12+0.17+0.68 = 0.97

ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಪ್ರಮಾಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆ(X, Y, Z), ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ (x, y, z) ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನಿರಂತರ (ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್) ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಎಂದು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆದರು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ, ಕೆಲವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ (ಎಣಿಕೆಯ) ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.

1 . ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಟೇಬಲ್ ಮೂಲಕ ನೀಡಬಹುದು:

ಅಲ್ಲಿ λ>0, k = 0, 1, 2, … .

ವಿ)ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x) , ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X x ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯ x ಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. F(x) = P(X< x).

F(x) ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

3 . ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು - ವಿತರಣೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ (ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ) (ಸಮಸ್ಯೆ 3 ನೋಡಿ).

ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣಗಳುವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು. ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ "ಸರಾಸರಿ" ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಸೂಚಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಸರಾಸರಿ ಗಾತ್ರಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಚಲನ. ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು :

• ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ (ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ). M(X)=Σ x i p i.
  ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ M(X)=np, ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ M(X)=λ
• ಪ್ರಸರಣ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ D(X)=M2ಅಥವಾ D(X) = M(X 2)− 2. X-M(X) ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಚಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
  ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ D(X)=npq, Poisson ವಿತರಣೆಗಾಗಿ D(X)=λ
• ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ (ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ) σ(X)=√D(X).

"ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು" ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಕಾರ್ಯ 1.

1000 ಲಾಟರಿ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು: ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 5 500 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತವೆ, 10 100 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತವೆ, 20 50 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತವೆ, 50 10 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಟಿಕೆಟ್‌ಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X - ಗೆಲುವಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಾಧ್ಯ: 0, 10, 50, 100 ಮತ್ತು 500.

ಗೆಲ್ಲದಿರುವ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 1000 – (5+10+20+50) = 915, ನಂತರ P(X=0) = 915/1000 = 0.915.

ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. ಫಲಿತಾಂಶದ ಕಾನೂನನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ:

X ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

ಕಾರ್ಯ 3.

ಸಾಧನವು ಮೂರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.1 ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾದ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ರಚಿಸಿ, ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸಿ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. 1. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X=(ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾದ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು: x 1 =0 (ಸಾಧನದ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ವಿಫಲವಾಗಿಲ್ಲ), x 2 =1 (ಒಂದು ಅಂಶ ವಿಫಲವಾಗಿದೆ), x 3 =2 (ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ವಿಫಲವಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು x 4 =3 (ಮೂರು ಅಂಶಗಳು ವಿಫಲವಾಗಿವೆ).

ಅಂಶಗಳ ವೈಫಲ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರ . ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0.1 * 0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;
ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

ಹೀಗಾಗಿ, X ನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ನಾವು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ x i ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು p i ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) ಅಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಬಯಸಿದ ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

3. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ F(x) = Р(Х

x ≤ 0 ಗಾಗಿ ನಾವು F(x) = Р(Х<0) = 0;
0 ಗೆ< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 ಕ್ಕೆ< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 ಕ್ಕೆ< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 ಗಾಗಿ F(x) = 1 ಇರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈವೆಂಟ್ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿದೆ.

F(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್

4. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ X:
- ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- ವ್ಯತ್ಯಾಸ D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ, ಅದು ಪರಸ್ಪರ ದೂರವಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಬಹುದು.
ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ.
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿದೆ.
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ:
,
ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x ನ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಈ x ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ
,
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ; - X ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಂತರ:
.
n ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ:
,

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಸರಣ:
ಅಥವಾ .
n ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
,
ಇಲ್ಲಿ p ಎಂಬುದು ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ:
.

ಉದಾಹರಣೆ 1
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ (DRV) X ಗಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸಿ - ಒಂದು ಜೋಡಿ ಡೈಸ್‌ನ n = 8 ಥ್ರೋಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು "ಆರು" ನ k ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ. ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ವಿತರಣೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ವಿತರಣಾ ಕ್ರಮ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ M(X), ಪ್ರಸರಣ D(X), ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ s(X)). ಪರಿಹಾರ:ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: ಈವೆಂಟ್ A - "ಒಂದು ಜೋಡಿ ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯುವಾಗ, ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ ಆರು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ." ಈವೆಂಟ್ A ಯ P(A) = p ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಯ P(Ā) = q ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ - “ಒಂದು ಜೋಡಿ ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯುವಾಗ, ಸಿಕ್ಸ್ ಎಂದಿಗೂ ಕಾಣಿಸಲಿಲ್ಲ.”
ಒಂದು ಡೈ ಅನ್ನು ಎಸೆಯುವಾಗ "ಆರು" ಗೋಚರಿಸದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 5/6 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಗುಣಾಕಾರ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ
P(Ā) = q = = .
ಕ್ರಮವಾಗಿ,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ d.s.v. ಪರಿಮಾಣ X- ಸಂಖ್ಯೆ ಕೆಎರಡು ದಾಳಗಳನ್ನು ಎಸೆಯುವಾಗ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಆರು ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ದ್ವಿಪದ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ:

ಅಲ್ಲಿ = ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ಮೂಲಕ ಕೆ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನಡೆಸಿದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು:
ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ d.s.v. X º ಕೆ (ಎನ್ = 8; ಪ = ; q = )

ಕೆ
Pn(ಕೆ)

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ (ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ). Xಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಅಕ್ಕಿ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ d.s.v. X=ಕೆ.
ಲಂಬ ರೇಖೆಯು ವಿತರಣೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂ(X).

d.s.v ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. X. ವಿತರಣಾ ಮೋಡ್ 2 (ಇಲ್ಲಿ ಪ 8(2) = 0.2932 ಗರಿಷ್ಠ). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಎಂ(X) = = 2,4444,
ಎಲ್ಲಿ xk = ಕೆ- d.s.v ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಮೌಲ್ಯ X. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಡಿ(X) ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಡಿ(X) = = 4,8097.
ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ (RMS):
s( X) = = 2,1931.

ಉದಾಹರಣೆ 2
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನಿನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.ವೇಳೆ , ನಂತರ (ಮೂರನೇ ಆಸ್ತಿ).
ಒಂದು ವೇಳೆ, ಆಗ. ನಿಜವಾಗಿಯೂ, Xಸಂಭವನೀಯತೆ 0.3 ರೊಂದಿಗೆ ಮೌಲ್ಯ 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಒಂದು ವೇಳೆ, ಆಗ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ
, ನಂತರ ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ Xಮೌಲ್ಯ 1 (ಈ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.3) ಅಥವಾ ಮೌಲ್ಯ 4 (ಈ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.1) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದ ಕಾರಣ, ಸಂಕಲನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 0.3 + 0.1 = 0.4 ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಆಗ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈವೆಂಟ್ ಖಚಿತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್:
ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಸಾಧನಗಳ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ನಂತರ ಖಾತರಿ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧನಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:




ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ "ಬೆಲರೂಸಿಯನ್ ರಾಜ್ಯ

ಕೃಷಿ ಅಕಾಡೆಮಿ"

ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಭಾಗ

ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳು

ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ (NISPO) ಅಕೌಂಟಿಂಗ್ ವಿಭಾಗದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಂದ "ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಸ್" ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು

ಗೋರ್ಕಿ, 2013

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಮುಖ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ . ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅದರ ಅನೇಕ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿವೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ . ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ (DRV) ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುವ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದರೆ. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ (CRV) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತುಂಬುತ್ತವೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ X, Y, Z, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡಿ
ಅಂದರೆ "ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆ X 0.28 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ 5 ರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 . ದಾಳಗಳನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, 1 ರಿಂದ 6 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇದು ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ X=(ಸುತ್ತಿಕೊಂಡ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ). ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆರು ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: 1, 2, 3, 4, 5 ಅಥವಾ 6. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X DSV ಇದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 . ಕಲ್ಲು ಎಸೆದರೆ ಅದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೂರ ಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ X=(ಕಲ್ಲಿನ ಹಾರಾಟದ ದೂರ). ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಯಾವುದೇ, ಆದರೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X NSV ಇದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು .

ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು
ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನೋಟ, ನಂತರ DSV ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ Xತಿಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ DSV ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು
,
, …,
ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಪಡಿಸಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 . ಸ್ವಚ್ಛಗೊಳಿಸಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಿರುವ ಧಾನ್ಯವು 10% ಕಳೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ 4 ಧಾನ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ X=(ಆಯ್ದ ನಾಲ್ಕು ಕಳೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ). DSV ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ Xಮತ್ತು ವಿತರಣೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ.

ಪರಿಹಾರ . ಉದಾಹರಣೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ. ನಂತರ:

DSV X ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ:

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿರೀಕ್ಷೆ

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್.

DSV ವಿತರಣೆ ಕಾನೂನು ತಿಳಿದಿರಲಿ X:

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಡಿಎಸ್ವಿ Xಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೂಲಕ ಈ ಪ್ರಮಾಣದ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ:
.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8 . ಶೂಟರ್ 4, 8, 9 ಮತ್ತು 10 ಅಂಕಗಳನ್ನು 0.1, 0.45, 0.3 ಮತ್ತು 0.15 ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಳಿಸುತ್ತಾನೆ. ಒಂದು ಹೊಡೆತದಿಂದ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ . ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ X=(ಸ್ಕೋರ್ ಮಾಡಿದ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ). ನಂತರ . ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಹೊಡೆತದಿಂದ ಗಳಿಸಿದ ಸರಾಸರಿ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 8.2, ಮತ್ತು 10 ಹೊಡೆತಗಳೊಂದಿಗೆ - 82.

ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳೆಂದರೆ:

.

.

, ಎಲ್ಲಿ
,
.

.

, ಎಲ್ಲಿ Xಮತ್ತು ವೈಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸ
ಎಂದು ಕರೆದರು ವಿಚಲನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.
.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ನಾವು ಸಹ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಪ್ರಸರಣ , ಇದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸುತ್ತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು (ಹರಡುವಿಕೆ) ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಏಕರೂಪದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, "ಅತ್ಯುತ್ತಮ" ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಹರಡುವಿಕೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಸರಣ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವರ್ಗ ವಿಚಲನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: .

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಮಾನವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಸರಣದ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

.

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಬಹುದು:

• ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು
• ವಿಷ ವಿತರಣೆ ಕಾನೂನು
• ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು
• ಹೈಪರ್ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನೀಡಲಾದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ, ಹಾಗೆಯೇ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಕೆಲವು "ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು" ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ರೀತಿಯ ವಿತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ.

1. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು.

$P\left(X=k\right)= ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ ದ್ವಿಪದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $X$ $n$ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ $A$ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮ:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \ಡಾಟ್ಸ್ & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\ end(array)$

ಇಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು $M\left(X\right)=np$ ಆಗಿದೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ . ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಇಬ್ಬರು ಮಕ್ಕಳಿದ್ದಾರೆ. $0.5$ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಹುಡುಗ ಮತ್ತು ಹುಡುಗಿಯನ್ನು ಹೊಂದುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $\xi$ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ - ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿನ ಹುಡುಗರ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $\xi $ ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿನ ಹುಡುಗರ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. $\xi ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು:\ 0,\ ​​1,\ 2$. $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು )$, ಇಲ್ಲಿ $n =2$ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, $p=0.5$ ಎಂಬುದು $n$ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$

ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $\xi $ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವು $0,\ 1,\ 2$ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\ end(array)$

ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು $1$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.

ನಿರೀಕ್ಷೆ $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, ವ್ಯತ್ಯಾಸ $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\ಅಂದಾಜು $0.707.

2. ವಿಷ ವಿತರಣೆ ಕಾನೂನು.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು $0,\ 1,\ 2,\ \ಡಾಟ್ಸ್ ,\ n$ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ $P\left(X=k\right)=(((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಈ ವಿತರಣೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯೆಂದರೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದತ್ತಾಂಶದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಅಂದಾಜು $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಪಡೆದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲು ಕಾರಣ.

ಉದಾಹರಣೆ . ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಹೀಗಿರಬಹುದು: ನಾಳೆ ಗ್ಯಾಸ್ ಸ್ಟೇಷನ್ ಮೂಲಕ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸುವ ಕಾರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; ತಯಾರಿಸಿದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ದೋಷಯುಕ್ತ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಉದಾಹರಣೆ . ಕಾರ್ಖಾನೆಯು $500$ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬೇಸ್‌ಗೆ ಕಳುಹಿಸಿದೆ. ಸಾಗಣೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಹಾನಿಯಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ $0.002$ ಆಗಿದೆ. ಹಾನಿಗೊಳಗಾದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ $X$ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ; $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ ಎಂದರೇನು.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ ಹಾನಿಗೊಳಗಾದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಇಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\ಮೇಲೆ (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\ಮೇಲೆ (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\ಮೇಲೆ (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\ಮೇಲೆ (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\ಮೇಲೆ (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\ಮೇಲೆ (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\ಮೇಲೆ (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\ಮೇಲೆ (k)}\cdot e^{-\lambda }$!}

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & ((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\ end(array)$

ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\lambda $, ಅಂದರೆ $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ =1$.

3. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $X$ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು $1,\ 2,\ \ಡಾಟ್ಸ್ ,\ n$ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\\) ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಬಲ)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \ಡಾಟ್ಸ್ $, ನಂತರ ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಯು ಮೊದಲ ಯಶಸ್ಸಿನವರೆಗೆ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ . ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಹೀಗಿರಬಹುದು: ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ಮೊದಲ ಹೊಡೆತದ ಮೊದಲು ಹೊಡೆತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; ಮೊದಲ ವೈಫಲ್ಯದವರೆಗೆ ಸಾಧನ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; ಮೊದಲ ತಲೆ ಬರುವವರೆಗೆ ನಾಣ್ಯ ಎಸೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಕ್ರಮವಾಗಿ $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. )/p^ $2.

ಉದಾಹರಣೆ . ಮೊಟ್ಟೆಯಿಡುವ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಮೀನಿನ ಚಲನೆಯ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ $ 4 $ ಲಾಕ್ ಇದೆ. ಪ್ರತಿ ಬೀಗದ ಮೂಲಕ ಮೀನು ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ $p=3/5$ ಆಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ ವಿತರಣೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ - ಲಾಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬಂಧನದ ಮೊದಲು ಮೀನುಗಳು ಹಾದುಹೋಗುವ ಲಾಕ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $X$ ಲಾಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬಂಧನದ ಮೊದಲು ಮೀನುಗಳಿಂದ ರವಾನಿಸಲಾದ ಲಾಕ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $X ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು: $ 1, 2, 3, 4. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, ಅಲ್ಲಿ: $ p=2/5$ - ಬೀಗದ ಮೂಲಕ ಮೀನುಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ, $q=1-p=3/5$ - ಬೀಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೀನುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\ಮೇಲೆ (5))\cdot (\ಎಡ((3)\ಮೇಲೆ (5))\ಬಲ))^0=(2)\ ಮೇಲೆ (5))=0.4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=(6)\over (25))=0.24;

$P\left(X=3\right)=((2)\ಮೇಲೆ (5))\cdot (\ಎಡ((3)\ಮೇಲೆ (5))\ಬಲ))^2=(2)\ ಮೇಲೆ (5))\cdot ((9)\ಮೇಲೆ (25))=((18)\ಮೇಲೆ (125))=0.144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\ಮೇಲೆ (5))\cdot (\ಎಡ((3)\ಮೇಲೆ (5))\ಬಲ))^3+(\ಎಡ((\) (3)\ಮೇಲೆ (5))\ಬಲ))^4=(27)\ಮೇಲೆ (125))=0.216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\ end(array)$

ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

ಪ್ರಸರಣ:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\ right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left(\ left( 1-2,176\ಬಲ))^2+0,24\cdot (\ಎಡ(2-2,176\ಬಲ))^2+0,144\cdot (\ಎಡ(3-2,176\ಬಲ))^2+$

$+\0.216\cdot (\ಎಡ(4-2,176\ಬಲ))^2\ಅಂದಾಜು 1.377.$

ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\ಅಂದಾಜು 1,173.$

4. ಹೈಪರ್ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿತರಣೆ ಕಾನೂನು.

$N$ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಇವುಗಳಲ್ಲಿ $m$ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. $n$ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸದೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಹಿಂಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ $k$ ವಸ್ತುಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಹೈಪರ್ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿತರಣೆಯು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ $k$ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $X$ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\ಮೇಲೆ (C^n_N))$

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. Excel $f_x$ ಫಂಕ್ಷನ್ ವಿಝಾರ್ಡ್‌ನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಕಾರ್ಯ HYPERGEOMET ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

$f_x\to$ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ$\ to $ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್$\ to $ ಸರಿ. ನೀವು ಭರ್ತಿ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಡೈಲಾಗ್ ಬಾಕ್ಸ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ_ಯಶಸ್ಸುಗಳ_ಸಂಖ್ಯೆ$k$ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ. ಮಾದರಿ ಅಳತೆ$n$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ_ಯಶಸ್ಸುಗಳ_ಸಂಖ್ಯೆ$m$ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ. ಜನಸಂಖ್ಯೆ_ಗಾತ್ರ$N$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುವ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಕ್ರಮವಾಗಿ $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ((nm\left(1 -(m)\over (N))\right)\left(1-(n)\over (N))\right))\ಮೇಲೆ (N-1))$.

ಉದಾಹರಣೆ . ಬ್ಯಾಂಕಿನ ಕ್ರೆಡಿಟ್ ವಿಭಾಗವು ಉನ್ನತ ಹಣಕಾಸು ಶಿಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ 5 ತಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಕಾನೂನು ಶಿಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ 3 ತಜ್ಞರನ್ನು ನೇಮಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಬ್ಯಾಂಕಿನ ಆಡಳಿತವು ಅವರ ಅರ್ಹತೆಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು 3 ತಜ್ಞರನ್ನು ಕಳುಹಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿತು, ಅವರನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿತು.

ಎ) ತಮ್ಮ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಕಳುಹಿಸಬಹುದಾದ ಉನ್ನತ ಆರ್ಥಿಕ ಶಿಕ್ಷಣ ಹೊಂದಿರುವ ತಜ್ಞರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮಾಡಿ;

ಬಿ) ಈ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $X$ ಆಯ್ಕೆಯಾದ ಮೂವರಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಆರ್ಥಿಕ ಶಿಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತಜ್ಞರ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. $X ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $X$ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: $N=8$ - ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರ, $m=5$ - ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ, $n=3$ - ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು $P\left(X=k\right)$ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_( N)^(n) ) $ ಮೇಲೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\ಅಂದಾಜು 0.018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\ಮೇಲೆ (56))\ಅಂದಾಜು 0.268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\ಮೇಲೆ (28))\ಅಂದಾಜು 0.536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\ಮೇಲೆ (28))\ಅಂದಾಜು 0.179.$

ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ನ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿ:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\ end(array)$

ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೈಪರ್ ಫಾರ್ಮುಲಾಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆ.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m))\over (N))\right)\left(1-(n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-(5)\over (8))\right)\cdot \left(1-(3)\ಮೇಲೆ (8 ))\ಬಲ))\ಮೇಲೆ (8-1))=((225)\ಮೇಲೆ (448))\ಅಂದಾಜು 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\ಅಂದಾಜು 0.7085.$