ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮಗಳು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆ

ಉಪನ್ಯಾಸ 8

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ವಿತರಣೆಗಳು.ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ. ವಿಷ ವಿತರಣೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದು.

6. ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳು
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ರಾಂಡಮ್ ವೇರಿಯಬಲ್ಸ್

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ

ಅದು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಲಿ ಎನ್ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಈವೆಂಟ್ ಎಇದು ಕಾಣಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಾಣಿಸದೇ ಇರಬಹುದು. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವ ಎಎಲ್ಲಾ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಈ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ. ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂತ್ರ ಎ
ನಯವಾದ ಕೆಒಮ್ಮೆ ಪ್ರತಿ ಎನ್ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು, ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರ

ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದ್ವಿಪದ .

ಈ ಕಾನೂನನ್ನು "ದ್ವಿಪದ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್ರ ದ್ವಿಪದದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ದ್ವಿಪದ ಕಾನೂನನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ

ಈ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

.

ನ್ಯೂಟನ್ನ ಬೈನರಿಯಾಗಿರುವ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯೋಣ

.

ಮತ್ತು p ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

.

ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಪ:

.

ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ p+q=1, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

(6.2)

ಆದ್ದರಿಂದ, n ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿನ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ p ನಿಂದ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ..

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

.

ನಾವು ಮೊದಲು ನ್ಯೂಟನ್ರ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡೋಣ ಪ:

ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಪ 2:

ಆದ್ದರಿಂದ,

ಆದ್ದರಿಂದ, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

. (6.3)

ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗುಣಾತ್ಮಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯಿಂದಲೂ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯೋಗಗಳಾದ್ಯಂತ ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ X ಎಂಬುದು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, X 1 ಮೊದಲ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, X 2 - ಎರಡನೆಯದು, ಇತ್ಯಾದಿ, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಒಟ್ಟು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು X = X 1 +X 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. +…+X ಎನ್. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರಕಾರ:

ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದಗಳು ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿನ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ,

ಪ್ರಸರಣ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ:

ರಿಂದ , ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಇದು ಕೇವಲ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ 1 2 ಪಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ 0 2 q, ಆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಮತ್ತು ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

. (6.4)

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಚಿತ್ರ 6.1 ನೋಡಿ). ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪಿ ಎನ್(ಕೆ) ಮೊದಲು ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದರೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಕೆ, ಅದರ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಡಿಮೆಯಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ತಿರುಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಪ=0.5. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಎನ್ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. (ಈ ಪ್ರಸ್ತಾಪದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಮೊಯಿವ್ರೆ-ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್‌ನ ಸ್ಥಳೀಯ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.)

ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು m 0 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಈ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ (ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ). ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ

. (6.5)

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ದ್ವಿಪದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಗಾಗಿ ಮರುಕಳಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು:

(6.6)

ಉದಾಹರಣೆ 6.1.ಈ ಉದ್ಯಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರೀಮಿಯಂ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪಾಲು 31% ಆಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ 75 ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಪ್ರೀಮಿಯಂ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು?

ಪರಿಹಾರ. ಏಕೆಂದರೆ ದಿ ಪ=0,31, q=0,69, ಎನ್=75, ನಂತರ

ಎಂ[ X] = ಎನ್.ಪಿ.= 75×0.31 = 23.25; D[ X] = npq= 75×0.31×0.69 = 16.04.

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೀ 0, ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ

ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮೀ 0 = 23.

ವಿಷ ವಿತರಣೆ

ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಯಾವಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎನ್®¥. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚಳದ ಜೊತೆಗೆ ಇದು ನಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ ಎನ್ಪ್ರಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪಅಥವಾ qಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಪಾಯಿಸನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ. ನಲ್ಲಿ ಎನ್®¥, ಪ®0

, (6.7)

ಅಲ್ಲಿ l= ಎನ್.ಪಿ.. ಈ ಸೂತ್ರವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ವಿಷ ವಿತರಣೆ ಕಾನೂನು , ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಕೆಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: ಕೆ=0,1,2,…

ಪಾಯಿಸನ್ ನಿಯಮವು ಸಮಾನ ಸಮಯದ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ k, ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸರಾಸರಿ ತೀವ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ l ನಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ವಿಷ ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 6.2 ದೊಡ್ಡ ಎಲ್ ರೇಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ
ವಿಷದ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿಯಮದಂತೆ, ಎಲ್ ಏಕತೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎನ್ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇರಬೇಕು ಪಪ್ರತಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಪಾಯ್ಸನ್ ಕಾನೂನನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಪರೂಪದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು.

ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ವಿತರಣೆಗಳು: 1) ಯುನಿಟ್ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; 2) ಪ್ರತಿ ಯುನಿಟ್ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಬಿಸಿಯಾದ ಕ್ಯಾಥೋಡ್‌ನಿಂದ ಹೊರಸೂಸುವ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; 3) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ವಿಕಿರಣಶೀಲ ಮೂಲದಿಂದ ಹೊರಸೂಸಲ್ಪಟ್ಟ ಎ-ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; 4) ದಿನದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೂರವಾಣಿ ವಿನಿಮಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಬರುವ ಕರೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಪಾಯಿಸನ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ

ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಈ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. DSV ಗಾಗಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಕೊನೆಯ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ, ಸಂಕಲನವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಕೆ=1, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊತ್ತದ ಮೊದಲ ಅವಧಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೆ=0, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವರ್ಗದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಪಾಯಿಸನ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

. (6.8)

ಇದು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಪರಸ್ಪರ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದರೆ, ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಕಾರಣವಿದೆ.

ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಓರೆಯಾದ ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬಹುದು:

. (6.9)

l ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಓರೆ ಮತ್ತು ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಪಾಯಿಸನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಘಟನೆಗಳ ಸರಳ ಹರಿವಿನ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಈಗ ತೋರಿಸೋಣ.

ಘಟನೆಗಳ ಹರಿವುಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಿರಿ. ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಳವಾದದ್ದು, ಇದು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಿಶ್ಚಲತೆ, ಯಾವುದೇ ಪರಿಣಾಮವಿಲ್ಲಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯತೆ.

ಹರಿವಿನ ತೀವ್ರತೆ l ಯುನಿಟ್ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಹರಿವಿನ ತೀವ್ರತೆಯ ಸ್ಥಿರವಾದ l ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕೆಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ಹರಿವಿನ ಘಟನೆಗಳು ಟಿಪಾಯ್ಸನ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

. (6.10)

ಈ ಸೂತ್ರವು ಸರಳವಾದ ಹರಿವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಸರಳವಾದ ಹರಿವನ್ನು ಪಾಯಿಸನ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಳವಾದ ಹರಿವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಷ.

ನಿಶ್ಚಲತೆಯ ಆಸ್ತಿ ಕೆಯಾವುದೇ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಕೆಮತ್ತು ಅವಧಿಯ ಮೇಲೆ ಟಿಸಮಯದ ಅವಧಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಣಿಕೆಯ ಪ್ರಾರಂಭವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹರಿವು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕೆಸಮಯದ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳು ಟಿಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ ಕೆಮತ್ತು ಇಂದ ಟಿ.

ಸರಳವಾದ ಹರಿವಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಪಾಯಿಸನ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ (6.10) ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಕೆಸಮಯದಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳು ಟಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತೀವ್ರತೆಯಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಎರಡು ವಾದಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ: ಕೆಮತ್ತು ಟಿ, ಇದು ನಿಶ್ಚಲತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಪರಿಣಾಮದ ಆಸ್ತಿ ಇಲ್ಲಅದು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ ಕೆಯಾವುದೇ ಅವಧಿಯ ಘಟನೆಗಳು ಪ್ರಶ್ನಾರ್ಹ ಅವಧಿಯ ಪ್ರಾರಂಭದ ಹಿಂದಿನ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ಕಾಣಿಸಲಿಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹರಿವಿನ ಇತಿಹಾಸವು ಮುಂದಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸರಳವಾದ ಹರಿವಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪಾಯಿಸನ್ ಸೂತ್ರವು (6.10) ಪರಿಗಣನೆಯಡಿಯಲ್ಲಿ ಅವಧಿಯ ಆರಂಭದ ಮೊದಲು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಪರಿಣಾಮಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಸ್ತಿಅಲ್ಪಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದೇ ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಕಡಿಮೆ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ.

ಪಾಯ್ಸನ್ ಸೂತ್ರವು (6.10) ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. ಹಾಕುವುದು ಕೆ=0 ಮತ್ತು ಕೆ=1, ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಗಳು ಸಂಭವಿಸದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಘಟನೆಗಳು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

.

ಹೋಲಿಸುವುದು ಪಿ ಟಿ(1) ಮತ್ತು ಪಿ ಟಿ(ಕೆ>1), ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಟಿಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6.2.ರುದರ್‌ಫೋರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಗೀಗರ್‌ರ ಅವಲೋಕನಗಳಲ್ಲಿ, 7.5 ರ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ವಿಕಿರಣಶೀಲ ವಸ್ತು ಸೆಕೆಂಡ್ಸರಾಸರಿ 3.87 ಎ-ಕಣಗಳನ್ನು ಹೊರಸೂಸಿತು. 1 ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಸೆಕೆಂಡ್ಈ ವಸ್ತುವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಕಣವನ್ನು ಹೊರಸೂಸುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ವಿಕಿರಣಶೀಲ ಮೂಲದಿಂದ ಹೊರಸೂಸಲ್ಪಟ್ಟ ಎ-ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಘಟನೆಗಳ ಸರಳ ಹರಿವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಎ-ಕಣಗಳ ಹೊರಸೂಸುವಿಕೆಯ ತೀವ್ರತೆಯಿಂದ 1 ಸೆಕೆಂಡ್ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ

,

ನಂತರ ಪಾಯ್ಸನ್ ಸೂತ್ರವು (6.10) ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಟಿ=1 ಸೆಕೆಂಡ್ವಸ್ತುವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಕಣವನ್ನು ಹೊರಸೂಸುತ್ತದೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆ

ಮೊದಲ ಹಿಟ್ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ತನಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುರಿಯಲ್ಲಿ ಶೂಟಿಂಗ್ ನಡೆಸಲಿ ಪಪ್ರತಿ ಹೊಡೆತದಲ್ಲಿ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವುದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಹೊಡೆತಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ, ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಎಂದು ನಾವು ಹೊಡೆದ ಹೊಡೆತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ: X 1 =1, X 2 =2, ... ನಂತರ ಅದು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕೆಹೊಡೆತಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

. (6.11)

ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ ಕೆ=1,2, ... ನಾವು ಮೊದಲ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಪಮತ್ತು ಗುಣಕ q:

ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಸೂತ್ರದಿಂದ (6.11) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ .

ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ

.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

DSV ಗಾಗಿ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

.

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ

.

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

.

ಆದ್ದರಿಂದ,

.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

. (6.12)

6.4.* ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯ

DSV ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅತ್ಯಂತ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಅವನ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಅಂದರೆ.

,

ಅದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಸಂಭವನೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

, (6.13)

ಎಲ್ಲಿ z- ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್. ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಬಹು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವೆ j x ( X)ಮತ್ತು ಅನೇಕ ವಿತರಣೆಗಳು(ಪಿ(x= ಕೆ)} ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಿದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಹೊಂದಲಿ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ

.

ನಂತರ, ನ್ಯೂಟನ್ರ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

,

ಆ. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯ ತೋರುತ್ತಿದೆ

. (6.14)

ಸೇರ್ಪಡೆ. ವಿಷವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯ

ತೋರುತ್ತಿದೆ

. (6.15)

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು

ತೋರುತ್ತಿದೆ

. (6.16)

ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, DSV ಯ ಮುಖ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ:

, (6.17)

. (6.18)

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ವಿಧಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ DSV ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸುಲಭವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅನುಕ್ರಮ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರೀಕ್ಷಾ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಆದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಿ. ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಂಭವಿಸಲಿ ಎಪ್ರಯೋಗದಿಂದ ವಿಚಾರಣೆಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರವು ಅಂತಹ ಯೋಜನೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯವು ಗಮನಾರ್ಹ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಯೋಜನೆಗಾಗಿ, ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪಕ ಬಳಕೆಯು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, x 1, x 2, ..., x ಆಗಿದ್ದರೆ ಎನ್ನಂತರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ

ಅವಕಾಶ ಪಿ ಕೆ=Pk(ಎ) - "ಯಶಸ್ಸಿನ" ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕೆಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ನಲ್ಲಿ -ನೇ ಪರೀಕ್ಷೆ (ಕ್ರಮವಾಗಿ, q ಕೆ=1–ಪಿ ಕೆ- "ವೈಫಲ್ಯ" ದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕೆನೇ ಪರೀಕ್ಷೆ). ನಂತರ, ಸೂತ್ರದ (6.19) ಅನುಸಾರವಾಗಿ, ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

. (6.20)

ಈ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು

.

ಎಂಬುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ p k + q k=1. ಈಗ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (6.1), ನಾವು ಎರಡನೇ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ

ಮತ್ತು .

ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ 1 =ಪ 2 =…=ಪಿ ಎನ್=ಪ(ಅಂದರೆ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಪಡೆದ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಅದು Mx= ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎನ್.ಪಿ., Dx= npq.

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಬಹುದು:

• ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು
• ವಿಷ ವಿತರಣೆ ಕಾನೂನು
• ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು
• ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನೀಡಲಾದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ, ಹಾಗೆಯೇ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಕೆಲವು "ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು" ಬಳಸಿ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ರೀತಿಯ ವಿತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ.

1. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು.

$P\left(X=k\right)= ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ ದ್ವಿಪದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $X$ $n$ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ $A$ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮ:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \ಡಾಟ್ಸ್ & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\ end(array)$

ಇಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು $M\left(X\right)=np$ ಆಗಿದೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ . ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಇಬ್ಬರು ಮಕ್ಕಳಿದ್ದಾರೆ. $0.5$ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಹುಡುಗ ಮತ್ತು ಹುಡುಗಿಯನ್ನು ಹೊಂದುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $\xi$ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ - ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿನ ಹುಡುಗರ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $\xi $ ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿನ ಹುಡುಗರ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. $\xi ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು:\ 0,\ ​​1,\ 2$. $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು )$, ಇಲ್ಲಿ $n =2$ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, $p=0.5$ ಎಂಬುದು $n$ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$

ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $\xi $ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವು $0,\ 1,\ 2$ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\ end(array)$

ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು $1$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.

ನಿರೀಕ್ಷೆ $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, ವ್ಯತ್ಯಾಸ $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\ಅಂದಾಜು $0.707.

2. ವಿಷ ವಿತರಣೆ ಕಾನೂನು.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು $0,\ 1,\ 2,\ \ಡಾಟ್ಸ್ ,\ n$ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ $P\left(X=k\right)=(((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಈ ವಿತರಣೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯೆಂದರೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದತ್ತಾಂಶದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಅಂದಾಜು $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಪಡೆದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲು ಕಾರಣ.

ಉದಾಹರಣೆ . ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಹೀಗಿರಬಹುದು: ನಾಳೆ ಗ್ಯಾಸ್ ಸ್ಟೇಷನ್ ಮೂಲಕ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸುವ ಕಾರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; ತಯಾರಿಸಿದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ದೋಷಯುಕ್ತ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಉದಾಹರಣೆ . ಕಾರ್ಖಾನೆಯು $500$ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬೇಸ್‌ಗೆ ಕಳುಹಿಸಿದೆ. ಸಾಗಣೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಹಾನಿಯಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ $0.002$ ಆಗಿದೆ. ಹಾನಿಗೊಳಗಾದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ $X$ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ; $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ ಎಂದರೇನು.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ ಹಾನಿಗೊಳಗಾದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಇಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\ಮೇಲೆ (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\ಮೇಲೆ (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\ಮೇಲೆ (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\ಮೇಲೆ (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\ಮೇಲೆ (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\ಮೇಲೆ (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\ಮೇಲೆ (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\ಮೇಲೆ (k)}\cdot e^{-\lambda }$!}

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & ((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\ end(array)$

ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\lambda $ ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.

3. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $X$ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು $1,\ 2,\ \ಡಾಟ್ಸ್ ,\ n$ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\\) ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಬಲ)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \ಡಾಟ್ಸ್ $, ನಂತರ ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಯು ಮೊದಲ ಯಶಸ್ಸಿನವರೆಗೆ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ . ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಹೀಗಿರಬಹುದು: ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ಮೊದಲ ಹೊಡೆತದ ಮೊದಲು ಹೊಡೆತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; ಮೊದಲ ವೈಫಲ್ಯದವರೆಗೆ ಸಾಧನ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; ಮೊದಲ ತಲೆ ಬರುವವರೆಗೆ ನಾಣ್ಯ ಎಸೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಕ್ರಮವಾಗಿ $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. )/p^ $2.

ಉದಾಹರಣೆ . ಮೊಟ್ಟೆಯಿಡುವ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಮೀನಿನ ಚಲನೆಯ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ $ 4 $ ಲಾಕ್ ಇದೆ. ಪ್ರತಿ ಬೀಗದ ಮೂಲಕ ಮೀನು ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ $p=3/5$ ಆಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ ವಿತರಣೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ - ಲಾಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬಂಧನದ ಮೊದಲು ಮೀನುಗಳು ಹಾದುಹೋಗುವ ಲಾಕ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $X$ ಲಾಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬಂಧನದ ಮೊದಲು ಮೀನುಗಳಿಂದ ರವಾನಿಸಲಾದ ಲಾಕ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $X ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು: $ 1, 2, 3, 4. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, ಅಲ್ಲಿ: $ p=2/5$ - ಬೀಗದ ಮೂಲಕ ಮೀನುಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ, $q=1-p=3/5$ - ಬೀಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೀನುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\ಮೇಲೆ (5))\cdot (\ಎಡ((3)\ಮೇಲೆ (5))\ಬಲ))^0=(2)\ ಮೇಲೆ (5))=0.4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\ಮೇಲೆ (5))\cdot ((3)\ಮೇಲೆ (5))=(6)\ಮೇಲೆ (25))=0.24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\ಮೇಲೆ (5))\cdot (\ಎಡ((3)\ಮೇಲೆ (5))\ಬಲ))^2=(2)\ ಮೇಲೆ (5))\cdot ((9)\ಮೇಲೆ (25))=((18)\ಮೇಲೆ (125))=0.144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\ಮೇಲೆ (5))\cdot (\ಎಡ((3)\ಮೇಲೆ (5))\ಬಲ))^3+(\ಎಡ((\) (3)\ಮೇಲೆ (5))\ಬಲ))^4=(27)\ಮೇಲೆ (125))=0.216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\ end(array)$

ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

ಪ್ರಸರಣ:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\ right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left(\ left( 1-2,176\ಬಲ))^2+0.24\cdot (\ಎಡ(2-2,176\ಬಲ))^2+0.144\cdot (\ಎಡ(3-2,176\ಬಲ))^2+$

$+\0.216\cdot (\ಎಡ(4-2,176\ಬಲ))^2\ಅಂದಾಜು 1.377.$

ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\ಅಂದಾಜು 1,173.$

4. ಹೈಪರ್ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿತರಣೆ ಕಾನೂನು.

$N$ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಇವುಗಳಲ್ಲಿ $m$ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. $n$ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸದೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಹಿಂಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ $k$ ವಸ್ತುಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಹೈಪರ್ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿತರಣೆಯು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ $k$ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $X$ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\ಮೇಲೆ (C^n_N))$

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. Excel $f_x$ ಫಂಕ್ಷನ್ ವಿಝಾರ್ಡ್‌ನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಕಾರ್ಯ HYPERGEOMET ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

$f_x\to$ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ$\ to $ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್$\ to $ ಸರಿ. ನೀವು ಭರ್ತಿ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಡೈಲಾಗ್ ಬಾಕ್ಸ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ_ಯಶಸ್ಸುಗಳ_ಸಂಖ್ಯೆ$k$ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ. ಮಾದರಿ ಅಳತೆ$n$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ_ಯಶಸ್ಸುಗಳ_ಸಂಖ್ಯೆ$m$ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ. ಜನಸಂಖ್ಯೆ_ಗಾತ್ರ$N$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುವ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಕ್ರಮವಾಗಿ $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ((nm\left(1 -(m)\over (N))\right)\left(1-(n)\over (N))\right))\ಮೇಲೆ (N-1))$.

ಉದಾಹರಣೆ . ಬ್ಯಾಂಕಿನ ಕ್ರೆಡಿಟ್ ವಿಭಾಗವು ಉನ್ನತ ಹಣಕಾಸು ಶಿಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ 5 ತಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಕಾನೂನು ಶಿಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ 3 ತಜ್ಞರನ್ನು ನೇಮಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಬ್ಯಾಂಕಿನ ಆಡಳಿತವು ಅವರ ಅರ್ಹತೆಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು 3 ತಜ್ಞರನ್ನು ಕಳುಹಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿತು, ಅವರನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿತು.

ಎ) ತಮ್ಮ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಕಳುಹಿಸಬಹುದಾದ ಉನ್ನತ ಆರ್ಥಿಕ ಶಿಕ್ಷಣ ಹೊಂದಿರುವ ತಜ್ಞರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮಾಡಿ;

ಬಿ) ಈ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $X$ ಆಯ್ಕೆಯಾದ ಮೂವರಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಆರ್ಥಿಕ ಶಿಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತಜ್ಞರ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. $X ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $X$ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: $N=8$ - ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರ, $m=5$ - ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ, $n=3$ - ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು $P\left(X=k\right)$ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_( N)^(n) ) $ ಮೇಲೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\ಅಂದಾಜು 0.018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\ಮೇಲೆ (56))\ಅಂದಾಜು 0.268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\ಮೇಲೆ (28))\ಅಂದಾಜು 0.536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\ಮೇಲೆ (28))\ಅಂದಾಜು 0.179.$

ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $X$ನ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿ:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\ end(array)$

ಹೈಪರ್ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ $ X$ ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m))\over (N))\right)\left(1-(n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-(5)\over (8))\right)\cdot \left(1-(3)\ಮೇಲೆ (8 ))\ಬಲ))\ಮೇಲೆ (8-1))=((225)\ಮೇಲೆ (448))\ಅಂದಾಜು 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\ಅಂದಾಜು 0.7085.$

ಆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ X ನ ಮೌಲ್ಯವು ಜಿಯೋಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವಿತರಕ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಆರ್ಮತ್ತು ಛೇದ q, ಇದು 1,2,3 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ,... ಕೆ, ... ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ

P(X) = pq ಕೆ-1, ಅಲ್ಲಿ q=1-ಆರ್.

ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಜಿಯೋಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ., ಏಕೆಂದರೆ. ಸತ್ಯ ಪು 1, ಪು 2, ...ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯ ಆರ್, ಮತ್ತು ಛೇದವು q.

ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ 1, 2, ..., ∞ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆಗ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. Mх = 1/p, Dх = q/p 2 ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು

ಉದಾಹರಣೆ. ಮೊದಲ ಹಿಟ್ ಆಗುವವರೆಗೆ ಬಂದೂಕನ್ನು ಗುರಿಯತ್ತ ಹಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಪ್ರತಿ ಹೊಡೆತದೊಂದಿಗೆ p = 0.6 ಆಗಿದೆ. ಎಸ್ ವಿ. X ಮೊದಲ ಹಿಟ್ ಮೊದಲು ಸಂಭವನೀಯ ಹೊಡೆತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಎ) ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಿ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಬೌ) ಶೂಟರ್ ಮೂರು ಹೊಡೆತಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗುಂಡು ಹಾರಿಸಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಿದ್ದರೆ ಪ್ರಕರಣದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಎ)ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ 1, 2, 3, 4,..., ∞ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು
P(1) = p = 0.6
P(2) = qp = 0.4 0.6 = 0.24
P(3) = q 2 p = 0.4 2 0.6 = 0.096 ...
P(k) = q k-1 p = 0.4 k-1 0.6 ...
ವಿತರಣಾ ಶ್ರೇಣಿ:

ನಿಯಂತ್ರಣ: Σp i = 0.6/(1-0.4) = 1 (ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತ)

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಆರ್.ವಿ. X ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು X ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

x ≤ 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, F(x) = 0

ಒಂದು ವೇಳೆ 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
ಒಂದು ವೇಳೆ 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
ಒಂದು ವೇಳೆ 3< x ≤ 4, то F(x) = 0,84 + 0,096 = 0,936 ...
ಕೆ-1 ವೇಳೆ< x ≤ k, то F(x) = 0,6(1-0,4 k-1)/(1-0,4) = 1-0,4 k-1 (частичная сумма геом-ой прогрессии) ...

Mх = 1/p = 1/0.6 ≈ 1.667
Dх = q/p 2 = 0.4/0.36 ≈ 1.111
σ = √Dх ≈ 1.054

b)ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ 1, 2, 3 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
P(1) = p = 0.6
P(2) = qp = 0.4 0.6 = 0.24
P(3) = q 2 p + q 3 = 0.4 2 0.6 + 0.4 3 = 0.16
ವಿತರಣಾ ಶ್ರೇಣಿ:

ನಿಯಂತ್ರಣ: Σp i = 0.6 + 0.24 + 0.16 = 1
ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ.

x ≤ 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, F(x) = 0
ಒಂದು ವೇಳೆ 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
ಒಂದು ವೇಳೆ 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
x > 3 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ F(x) = 0.84 + 0.16 = 1
M(X) = 1 0.6 + 2 0.24 + 3 0.16 = 1.56
D(X) = 1 2 0.6 + 2 2 0.24 + 3 2 0.16 - 1.56 2 = 0.5664
σ(X) ≈ 0.752

ಓರೆಯಾಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್

ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಮಾದರಿ ವಿತರಣೆಯ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಗಳು ಅಪರೂಪ, ಮತ್ತು ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು, ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಗುಣಾಂಕದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೌಮ್ಯವಾದ "ಇಳಿತ" ವನ್ನು ಆಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ. ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಎಡ-ಬದಿಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು - ಬಲ-ಬದಿಯ.

ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಗುಣಾಂಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:
As(X) = (X 1-ಎಂ X) 3 ಪು 1 + (X 2 - ಎಂ X) 3 ಪು 2 + ... + ( Xಎನ್-ಎಂ X) 3 ಪು ಎನ್

ಕೋಫ್. ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ನಿರಂತರ sl.vel. ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ:

ವಿಪರೀತ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯ ಕಡಿದಾದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

Ex(X) = [(x 1 - M X) 4 p 1 + (x 2 - M X) 4 p 2 + ... + (x n - M X) 4 p n ] / σ 4 - 3

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವು ಮುಂದಿನ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿದೆ. X ಅದನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು. ಎಲ್ಲಾ ನಂಬಿಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: 0.1 + 0.2 + 0.5 + 0.1 + 0.1 = 1.

1. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ: M(X) = -2 0.1 - 1 0.2 + 0 0.5 + 1 0.1 + 2 0.1 = -0.1
2. ಪ್ರಸರಣಮುಂದಿನ ವೆಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವರ್ಗ ವಿಚಲನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಅವಳ mat.ozh ನಿಂದ X 0.1) 2 0.1 = 1.09
   ಅಥವಾ D(X) = (-2) 2 0.1 + (-1) 2 0.2 + 0 2 0.5 + 1 2 0.1 + 2 2 0.1 - (-0 ,1) 2 = 1.1 - 0.01 = 1.09
3. ಬುಧವಾರ. ಚದರ ಆರಿಸಿವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ: σ = √1.09 ≈ 1.044
4. ಕೋಫ್. ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ As(X) = [(-2 + 0.1) 3 0.1 + (- 1 + 0.1) 3 0.2 + (0 + 0.1) 3 0.5 + (1 + 0.1) 3 0.1 + (2 + 0.1) 3 0.1] / 1.044 3 = 0.200353
5. ಕೋಫ್. ಹೆಚ್ಚುವರಿಇ X(X) = [(-2 + 0.1) 4 0.1 + (- 1 + 0.1) 4 0.2 + (0 + 0.1) 4 0.5 + (1 + 0 ,1) 4 ·0.1 + (2 + 0.1) 4 · 0.1 ]/1.044 4 - 3 = 0.200353
6. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ X: F(X) = P(X< X) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು 0 ರಿಂದ 1 ರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಪಿ(X< -0,1) = F(-0,1) = 0,3 P(X >-0.05) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.5 + 0.1 + 0.1 = 0.7

2) ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ.

ನಿರಂತರಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ನಿರಂತರ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನ ವಿವರಣೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಜಟಿಲವಾಗಿದೆ.

ನಿರಂತರಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾರಿಗೆಗಾಗಿ ಕಾಯುವ ಸಮಯ, ಯಾವುದೇ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಗಾಳಿಯ ಉಷ್ಣತೆ, ನಾಮಮಾತ್ರದಿಂದ ಒಂದು ಭಾಗದ ನಿಜವಾದ ಗಾತ್ರದ ವಿಚಲನ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮಧ್ಯಂತರವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು.

ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿನ ಮುಖ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿಮುಂತಾದ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ x = ಸಿ(ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ) ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್(ಜೊತೆಗೆ). ನಿರಂತರ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿಈ ರೀತಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, "ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ" ಪ್ರಕಾರದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಂದರೆ. ಎ≤ X≤ ಬಿ. ಅಥವಾ ಅಂತಹ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ X≤ ಜೊತೆಗೆಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದೆ ಆರ್(X≤ ಜೊತೆಗೆ) ನಾವು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ F( X≤ ಜೊತೆಗೆ).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿವಿಧವು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಅವರು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗದು; ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಇರಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತುಂಬಬಹುದು. ಸ್ವಭಾವತಃ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು, ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು X- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ X,ಎಂದು ಕರೆದರು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಕಾರ್ಯಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್: F(x)= ಪಿ(<х}.

ಏನು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳೋಣ: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗಾಗಿ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗದಿದ್ದಾಗ), ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಇದು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ :F( X) = P(X<X) .

ಫಂಕ್ಷನ್ F( X) ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. 0 ≤ F( X) ≤ 1 ;

2.ಎಫ್( X) ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ;

3.F( X) ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬಿಟ್ಟಿದೆ;

4.F(- ∞ ) = 0, F( ∞ ) = 1.