ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಲಾಗರಿಥಮ್

ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಇ = 2,718281828 . ಮೂಲಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಈ ಆಧಾರದಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಲ್ಎನ್, ಆದರೆ ಅಲ್ಲ ಲಾಗ್; ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುವಾಗ 2,718281828 , ಆಧಾರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು, ಸೂಚಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸಂಖ್ಯೆಗಳು X- ಇದು ಒಂದು ಘಾತವಾಗಿದ್ದು, ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು ಇ, ಹೊಂದಲು X.

ಆದ್ದರಿಂದ, ln(7,389...)= 2, ರಿಂದ ಇ 2 =7,389... . ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಇ= 1 ಏಕೆಂದರೆ ಇ 1 =ಇ, ಮತ್ತು ಏಕತೆಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ರಿಂದ ಇ 0 = 1.

ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಇಏಕತಾನದ ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್‌ನ ಮಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ

ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗಿದೆ ಇ = 2,7182818284... .

ಆಗಾಗ್ಗೆ, ಮೆಮೊರಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲು, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳು ಕೆಲವು ಬಾಕಿ ಇರುವ ದಿನಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊದಲ ಒಂಬತ್ತು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ವೇಗ ಇ 1828 ಲಿಯೋ ಟಾಲ್‌ಸ್ಟಾಯ್ ಹುಟ್ಟಿದ ವರ್ಷ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಿದರೆ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ!

ಇಂದು ಸಾಕಷ್ಟು ಇವೆ ಪೂರ್ಣ ಕೋಷ್ಟಕಗಳುನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಗ್ರಾಫ್(ಕಾರ್ಯಗಳು y =ಎಲ್ಎನ್ ಎಕ್ಸ್) ಘಾತಾಂಕ ಗ್ರಾಫ್ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ y = xಮತ್ತು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು ಎಕರ್ವ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿ ವೈ = 1/Xನಿಂದ 1 ಮೊದಲು ಎ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನೇಕ ಇತರ ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸ್ವಭಾವವು "ನೈಸರ್ಗಿಕ" ಎಂಬ ಹೆಸರಿನ ರಚನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ.

ನೀವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್, ನಿಜವಾದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ, ಅದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ, ಇದು ಗುರುತುಗಳಿಗೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

ಎಲ್ಲಾ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸಂಕಲನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ವ್ಯವಕಲನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ:

ಎಲ್ಎನ್(xy) = ಎಲ್ಎನ್(X) + ಎಲ್ಎನ್(ವೈ)

ಎಲ್ಎನ್(x/y)= ಎಲ್ಎನ್ಎಕ್ಸ್ - lny

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ನೆಲೆಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಅದು ಕೇವಲ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಇ, ಆದರೆ ಇತರ ನೆಲೆಗಳಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ನಂತರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಗ್ರಾಫ್,ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಇದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ X. ಇದು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ನಲ್ಲಿ X → 0 ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮಿತಿಯು ಮೈನಸ್ ಅನಂತವಾಗಿದೆ ( -∞ ). x → +∞ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮಿತಿಯು ಜೊತೆಗೆ ಅನಂತತೆ ( + ∞ ) ದೊಡ್ಡದಾಗಿ Xಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯ xaಧನಾತ್ಮಕ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಎಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಬಳಕೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ ಬಹಳ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅಪರಿಚಿತರು ಘಾತಾಂಕಗಳಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಬಳಕೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳು. ಬೇಸ್ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಇ ಗಮನಾರ್ಹ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭೌತಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವೈಯಕ್ತಿಕ ರಾಸಾಯನಿಕ, ಜೈವಿಕ ಮತ್ತು ಇತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗಣಿತದ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸೇರಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಅರ್ಧ-ಜೀವಿತಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಥವಾ ವಿಕಿರಣಶೀಲತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಕೊಳೆಯುವ ಸಮಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ಪ್ರದರ್ಶನ ನೀಡುತ್ತಾರೆ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರಗಣಿತ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಅನೇಕ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಯುಕ್ತ ಬಡ್ಡಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಸೇರಿದಂತೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಹಣಕಾಸು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಷಯಗಳ ಕುರಿತು ಪಾಠ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಿ: "ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್"

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಸ್ತುಗಳು
ಆತ್ಮೀಯ ಬಳಕೆದಾರರೇ, ನಿಮ್ಮ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು, ವಿಮರ್ಶೆಗಳು, ಶುಭಾಶಯಗಳನ್ನು ಬಿಡಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ! ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಂಟಿ-ವೈರಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗ್ರೇಡ್ 11 ಗಾಗಿ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಸ್ಟೋರ್‌ನಲ್ಲಿ ಬೋಧನಾ ಸಾಧನಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಮ್ಯುಲೇಟರ್‌ಗಳು
9–11 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ಕೈಪಿಡಿ "ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ"
10–11 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ಕೈಪಿಡಿ "ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್"

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು

ಹುಡುಗರೇ, ಕೊನೆಯ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಸ, ವಿಶೇಷ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ - ಇ ಇಂದು ನಾವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲವು 0 ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇಂದು ನಾವು ಲಾಗರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಆಧಾರವು ಇ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ತನ್ನದೇ ಆದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: $\ln(n)$ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ನಮೂದು ನಮೂದಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: $\log_e(n)=\ln(n)$.
ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಲೋಮಗಳಾಗಿವೆ, ನಂತರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾರ್ಯದ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ: $y=e^x$.
$y=x$ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
$y=x$ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

ಪಾಯಿಂಟ್ (0;1) ನಲ್ಲಿ $y=e^x$ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವು 45° ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ನಂತರ (1;0) ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವು ಸಹ 45&ಡಿಗ್ರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡೂ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು $y=x$ ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಮಾಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸವೂ ಅಲ್ಲ.
3. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಾದ್ಯಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.
4. ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ.
5. ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮೌಲ್ಯಇಲ್ಲ, ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯಸಂ.
6. ನಿರಂತರ.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಪೀನ.
9. ಎಲ್ಲೆಡೆ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಅದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ.
ಪುರಾವೆಗೆ ಆಳವಾಗಿ ಹೋಗುವುದರಲ್ಲಿ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

ಉದಾಹರಣೆ.
ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: $x=4$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ $y=\ln(2x-7)$.
ಪರಿಹಾರ.
IN ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು $y=f(kx+m)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
ಉತ್ತರ: 2.

ಉದಾಹರಣೆ.
$х=е$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ $y=ln(x)$ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ.
$x=a$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಚೆನ್ನಾಗಿ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
$x=e$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವು $y=\frac(x)(e)$ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.
ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ: $y=x^6-6*ln(x)$.
ಪರಿಹಾರ.
$D(y)=(0;+∞)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್.
ನೀಡಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲ. ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
ಪಾಯಿಂಟ್ $х=-1$ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ. ನಂತರ ನಾವು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $x=1$. ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಪಾಯಿಂಟ್ $x=1$ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು, ನಂತರ $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
ಉತ್ತರ: ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ (0;1), ರೇ $ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ) ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಅನೇಕ ಇತರ ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸರಳತೆಯು "ನೈಸರ್ಗಿಕ" ಎಂಬ ಹೆಸರಿನ ಮೂಲವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ನೈಜ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಅದು ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಗುರುತುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ:

e ln ⁡ a = a (a > 0) ; (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಇ^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln ⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

ಎಲ್ಲಾ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಂತೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕೂಡಿಸಲು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y. (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \ln xy=\ln x+\ln y.)