ಇತರ ನಿಘಂಟುಗಳಲ್ಲಿ "Conditional EXTREME" ಏನೆಂದು ನೋಡಿ:

ರಿಲೇಟಿವ್ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್, ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ (x1,..., xn + m) n + m ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಿಂದ ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳು m ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ (ಷರತ್ತುಗಳು) ಸಹ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ: φk (x1,..., xn) + ಮೀ) = 0, 1≤ ಕೆ ≤ ಮೀ (*) (ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಮ್ ನೋಡಿ)… …

ಸೆಟ್ ತೆರೆದಿರಲಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇರಲಿ ಬಿಡಿ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಎರವಲು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ). ಜಿ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ

- (ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ನಿಂದ) ನಿರಂತರ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯ f (x), ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ: x0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಫ್ (x) ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯವು x0 ನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ) ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ (x0 + δ, x0 δ) ಇದ್ದರೆ,... ... ಗ್ರೇಟ್ ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ

ಈ ಪದವು ಇತರ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಮ್ (ಅರ್ಥಗಳು) ನೋಡಿ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮಮ್ (ಲ್ಯಾಟ್ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್) ಎಂಬುದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ತಲುಪುವ ಹಂತ... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರಅನೇಕ ಅಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು. L. f ಸಹಾಯದಿಂದ. ದಾಖಲಾಗಿವೆ ಅಗತ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳುಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮತೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ... ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ

ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಅಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಯಗಳ ತೀವ್ರ (ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೀಸಲಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಿಸ್ತು. ಇನ್ ಮತ್ತು. ಇದು ಆ ಅಧ್ಯಾಯದ ಸಹಜ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಾಗಿದೆ..... ಗ್ರೇಟ್ ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ

ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತದ ಮೇಲೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಸಹಾಯದಿಂದ. ರೇಖೀಯ ವಿಧಾನಗಳ ಬಳಕೆ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸೂಕ್ತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ... ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ

ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಅತ್ಯಂತ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಸಾಧಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

ಇವುಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಧಿಸಲಾದ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ (ಹಂತ, ಭೇದಾತ್ಮಕ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಒಂದು ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆ... ... ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ

ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಅತ್ಯಂತ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯು ತೀವ್ರವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ವಿಧಾನಗಳು... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

ಪುಸ್ತಕಗಳು

• ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು. ಸಂಪುಟ 2. ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಕಂಟ್ರೋಲ್, V. ಬಾಸ್. ಸೂಕ್ತ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್‌ನ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ: ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಬೇಷರತ್ತಾದ ವಿಪರೀತ,...

ಉದಾಹರಣೆ

ಒದಗಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಸಂಬಂಧದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ: . ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ: ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ
ವಿಮಾನ
.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು: ಸಮೀಕರಣದಿಂದ
ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
X:

ಎಂದು ಒದಗಿಸಿದೆ
, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ
.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ: ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ , ಸಿಲಿಂಡರ್ ಅನ್ನು ದಾಟುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ
ವಿಮಾನ
, ನೀವು ಅರ್ಜಿದಾರರ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು (Fig.9). ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು: ಸಮೀಕರಣದಿಂದ
ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
. y ಯ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ X:

ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆ
ಎಂದು ಒದಗಿಸಿದೆ
, ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆ- ಇದು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ
, ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ
, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣ.

ಎಂದು ಹೇಳೋಣ ಚುಕ್ಕೆ
, ಸಂಯೋಜಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು, ಸ್ಥಳೀಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ), ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ
ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಳಿಗೆ ಅಂತಹ
, ಇದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಅಸಮಾನತೆಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಸಂಯೋಜಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ನಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ X.

ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಗುಣಕ ವಿಧಾನ. ಸಹಾಯಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ ─ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯ, ಎ ─ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಗುಣಕ. ಹೀಗಾಗಿ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ 3 ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ x, yಮತ್ತು.

ನಂತರ ನೀವು ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು.

ಪ್ರಮೇಯ. ಬಿಂದುವು ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಭವನೀಯ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ
ಕಾರ್ಯಗಳ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ನಿರಂತರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿವೆ ಮತ್ತು . ಸೂಚಿಸೋಣ

ನಂತರ ವೇಳೆ
, ಅದು
─ ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದು
ಜೋಡಣೆ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೇಳೆ
, ಅದು
─ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು, ವೇಳೆ
, ಅದು
─ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು.

§8. ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಮತ್ತು ಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ
ಕೆಲವು (ತೆರೆದ) ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
ಈ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೇರ ರೇಖೆ (ಅಕ್ಷ) , ಈ ಹಂತದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 1). ಅವಕಾಶ
- ಈ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಇತರ ಪಾಯಿಂಟ್,
- ನಡುವಿನ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ
ಮತ್ತು
, ನಿರ್ದೇಶನದ ವೇಳೆ ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ
ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ , ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕುಗಳು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ.

ಅವಕಾಶ
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ
. ಮಿತಿ

ಎಂದು ಕರೆದರು ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
ಕಡೆಗೆ (ಅಥವಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ) ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

.

ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ "ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ" ವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ
ಕಡೆಗೆ . ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ,"ನಿರ್ದೇಶನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ" ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ನಾವು ಈಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ
ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಕ್ಷವನ್ನು ಬಿಡಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು . ಮಾಡಿದ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ದಿಕ್ಕಿನ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

.

ವೆಕ್ಟರ್ ವೇಳೆ
ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
, ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
ವೆಕ್ಟರ್ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ
ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು:

.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್
ಎಂದು ಕರೆದರು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ಕಾರ್ಯಗಳು
ಹಂತದಲ್ಲಿ
. ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ವೇಗವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಳದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ A(1, 1) ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್
. ಹುಡುಕಿ: 1) A ಹಂತದಲ್ಲಿ grad z; 2) ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ A ನಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನ .

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು
:

;
.

ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್:
. ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು :

. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವೆಕ್ಟರ್ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ :

ಆದ್ದರಿಂದ,
,
.◄

ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ.

ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಾ

ಕಡಿಮೆ ಚೌಕ ವಿಧಾನ.

FNP ಯ ಸ್ಥಳೀಯ ತೀವ್ರತೆ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಿ ಮತ್ತು= f(ಪಿ), ಆರ್.ಡಿ.ಆರ್ ಎನ್ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ಅನ್ನು ಬಿಡಿ ( ಎ 1 , ಎ 2 , ..., ಒಂದು p) –ಆಂತರಿಕಸೆಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಡಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 9.4.

1) ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗರಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು= f(P), ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ U(P 0) М D ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0), Р¹Р 0 , ಸ್ಥಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ f(ಪಿ) £ f(ಪಿ 0) ಅರ್ಥ f(P 0) ಗರಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ f(P0) = ಗರಿಷ್ಠ f(ಪ) .

2) ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕನಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು= f(P), ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ U(P 0)Ì D ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , ಸ್ಥಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ f(ಪಿ)³ f(ಪಿ 0) ಅರ್ಥ f(P 0) ಕನಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ f(P 0) = ನಿಮಿಷ f(ಪ).

ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳು, ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಕೆಳಗಿನಂತೆ, ಅಸಮಾನತೆಗಳು f(ಪಿ) £ f(ಪಿ 0), f(ಪಿ)³ f(P 0) P 0 ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತರಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದೇ ಪ್ರಕಾರದ ಹಲವಾರು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಹಲವಾರು ಕನಿಷ್ಠ, ಹಲವಾರು ಗರಿಷ್ಠ) . ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಥಳೀಯ(ಸ್ಥಳೀಯ) ವಿಪರೀತಗಳು.

ಪ್ರಮೇಯ 9.1. (FNP ಯ ತೀವ್ರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿ)

ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ ಮತ್ತು= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ನಲ್ಲಿ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಪುರಾವೆ.ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ( ಎ 1 , ಎ 2 , ..., ಒಂದು p) ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು= f(ಪಿ) ಒಂದು ವಿಪರೀತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗರಿಷ್ಠ. ವಾದಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸೋಣ X 2 , ..., x n, ಹಾಕುವುದು X 2 =ಎ 2 ,..., x n = ಒಂದು p. ನಂತರ ಮತ್ತು= f(ಪಿ) = f 1 ((X 1 , ಎ 2 , ..., ಒಂದು p) ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ X 1 . ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ X 1 = ಎ 1 ವಿಪರೀತ (ಗರಿಷ್ಠ), ನಂತರ f 1 ¢=0 ಅಥವಾ ಯಾವಾಗ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ X 1 =ಎ 1 (ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿ). ಆದರೆ, ಇದರರ್ಥ P 0 ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ - ತೀವ್ರ ಬಿಂದು. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಇತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. CTD.

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು ಈ ಕಾರ್ಯ.

ಪ್ರಮೇಯ 9.1 ರಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ, FNP ಯ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು. ಆದರೆ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವೂ ಒಂದು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಲ್ಲ.

ಪ್ರಮೇಯ 9.2. (FNP ಯ ತೀವ್ರತೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ)

P 0 ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು= f(ಪಿ) ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ನಂತರ

ಮತ್ತು ವೇಳೆ ಡಿ 2 ಯು(P 0) > 0 ನಲ್ಲಿ, ನಂತರ P 0 ಒಂದು ಬಿಂದು ಕನಿಷ್ಠಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು= f(ಪ);

ಬಿ) ವೇಳೆ ಡಿ 2 ಯು(P0)< 0 при , то Р 0 – точка ಗರಿಷ್ಠಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು= f(ಪ);

ಸಿ) ವೇಳೆ ಡಿ 2 ಯು(P 0) ಅನ್ನು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ನಂತರ P 0 ಒಂದು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಲ್ಲ;

ನಾವು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಡಿ 2 ಯು(P 0) = 0 ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ಅಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಪರೀತದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ - ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು.

ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ z = f(X,ವೈ) ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ, ಎರಡನೆಯ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ರೂಪದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ

ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದು P 0 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದು.

ಸೂಚಿಸೋಣ, , . ನಾವು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ

.

ತಿರುಗಿದರೆ:

ಡಿ 2 zಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ನಲ್ಲಿ > 0, ಅಂದರೆ. P 0 - ಕನಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್, ವೇಳೆ ಎ(P 0) > 0 ಮತ್ತು D(P 0) > 0;

ಡಿ 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если ಎ(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

D(P 0) ಆಗಿದ್ದರೆ< 0, то ಡಿ 2 zಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ರ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಅದು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರತೆಯಿಲ್ಲ;

D(Р 0) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದು Р 0 ರ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ z = f(X,ವೈ) ಎರಡು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (ಅದನ್ನು "ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಡಿ" ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ)

1) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ D( f) ಕಾರ್ಯಗಳು.

2) ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಅಂದರೆ. D(D) ನಿಂದ ಅಂಕಗಳು f), ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

3) ಪ್ರತಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ P 0 ಚೆಕ್ ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳುವಿಪರೀತ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಹುಡುಕಿ , ಅಲ್ಲಿ , , ಮತ್ತು D(P 0) ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಎ(P 0).ನಂತರ:

D(P 0) >0 ಆಗಿದ್ದರೆ, P 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ತೀವ್ರತೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವೇಳೆ ಎ(P 0) > 0 – ನಂತರ ಇದು ಕನಿಷ್ಠ, ಮತ್ತು ವೇಳೆ ಎ(P 0)< 0 – максимум;

D(P 0) ಆಗಿದ್ದರೆ< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

D(P 0) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

4) ಕಂಡುಬರುವ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.

ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ z = X 3 + 8ವೈ 3 – 3xy .

ಪರಿಹಾರ.ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

, , Þ P 0 (0,0), .

ತೀವ್ರತೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

6X, = -3, = 48ನಲ್ಲಿಮತ್ತು = 288xy – 9.

ನಂತರ D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 - ಪಾಯಿಂಟ್ Р 1 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಪರೀತವಿದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಎ(P 1) = 3 >0, ನಂತರ ಈ ವಿಪರೀತವು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಮಿಷ z=z(ಪಿ 1) = .

ಉದಾಹರಣೆ 2.

ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ .

ಪರಿಹಾರ: ಡಿ( f) =R 2 . ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು: ; ಯಾವಾಗ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ನಲ್ಲಿ= 0, ಅಂದರೆ P 0 (0,0) ಈ ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.

2, = 0, = , = , ಆದರೆ ಡಿ (ಪಿ 0) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ.

ಅದೇ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಪ್ರಮೇಯ 9.2 ಅನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ - ಡಿ 2 zಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ f(X, ವೈ) ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ನಲ್ಲಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ f =f(ಪ) - f(P 0)>0 "P, ನಂತರ P 0 ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು, ಆದರೆ D ಆಗಿದ್ದರೆ f < 0, то Р 0 – точка максимума.

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಡಿ f = f(X, ವೈ) – f(0, 0) = f(0+D X,0+D ವೈ) – f(0, 0) = .

ಡಿ ನಲ್ಲಿ X= 0.1 ಮತ್ತು ಡಿ ವೈ= -0.008 ನಾವು ಡಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ f = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0.1 ಮತ್ತು ಡಿ ವೈ= 0.001 ಡಿ f= 0.01 + 0.1 > 0, ಅಂದರೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಷರತ್ತು D ಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ f <0 (т.е. f(X, ವೈ) < f(0, 0) ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ P 0 ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಲ್ಲ), ಅಥವಾ ಸ್ಥಿತಿ D f>0 (ಅಂದರೆ f(X, ವೈ) > f(0, 0) ಮತ್ತು ನಂತರ P 0 ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಲ್ಲ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ವಿಪರೀತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಈ ಕಾರ್ಯಯಾವುದೇ ವಿಪರೀತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ.

ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಗಣಿತವಾದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೇಷರತ್ತಾಗಿ, ಫಂಕ್ಷನ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು (ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು) ವಿಧಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 9.2.ಕಾರ್ಯದ ವಿಪರೀತ ಮತ್ತು = f(X 1 , X 2 , ... , x n), ಅದರ ವಾದಗಳು ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ X 1 , X 2 , ... , x nಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿ j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, ..., ಜೆ ಟಿ(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, ಅಲ್ಲಿ P ( X 1 , X 2 , ... , x n) ಒ ಡಿ( f), ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ .

ಸಮೀಕರಣಗಳು ಜೆ ಕೆ(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , ಕೆ = 1, 2,..., ಮೀ, ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ z = f(X,ವೈ) ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರ. ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. , ನಂತರ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದರೆ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಡಿ(ಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕೆಲವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ. f) (ಅಂದರೆ, ಇದು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲ z = f(X,ವೈ), ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್ನೊಂದಿಗೆ ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳ ಪೈಕಿ ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಅಂಕಗಳು, ಚಿತ್ರ 5).

ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ z = f(X,ವೈ) ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ( ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನ) ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬರೆಯಿರಿ) ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ (ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ) ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಫಲಿತಾಂಶದ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಾ. ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿ. ಒಂದು ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ. ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಗುಣಕ ವಿಧಾನ. ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಉಪನ್ಯಾಸ 5.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.1.ಡಾಟ್ M 0 (x 0, y 0)ಎಂದು ಕರೆದರು ಗರಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್ಕಾರ್ಯಗಳು z = f (x, y),ಒಂದು ವೇಳೆ f (x o , y o) > f(x,y)ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಳಿಗೆ (x, y) M 0.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.2.ಡಾಟ್ M 0 (x 0, y 0)ಎಂದು ಕರೆದರು ಕನಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್ಕಾರ್ಯಗಳು z = f (x, y),ಒಂದು ವೇಳೆ f (x o , y o) < f(x,y)ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಳಿಗೆ (x, y)ಒಂದು ಹಂತದ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ M 0.

ಗಮನಿಸಿ 1. ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳುಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಟೀಕೆ 2. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 5.1(ಅಗತ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು). ಒಂದು ವೇಳೆ M 0 (x 0, y 0)- ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದು z = f (x, y),ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಪುರಾವೆ.

ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸೋಣ ನಲ್ಲಿ, ಎಣಿಕೆ y = y 0. ನಂತರ ಕಾರ್ಯ f (x, y 0)ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ X, ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ x = x 0ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಫೆರ್ಮಟ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಗಾಗಿ ಅದೇ ಹೇಳಿಕೆಯು ಇದೇ ರೀತಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.3.ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಹಲವಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸೇರಿದ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳುಈ ಕಾರ್ಯ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ತಲುಪಬಹುದು, ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಮೇಯ 5.2(ಒಂದು ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು). ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಲೆಟ್ M 0 (x 0, y 0), ಇದು ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ z = f (x, y),ಈ ಕಾರ್ಯವು 3 ನೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ನಿರಂತರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಾವು ನಂತರ ಸೂಚಿಸೋಣ:

1) f(x,y)ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದೆ M 0ಗರಿಷ್ಠ ವೇಳೆ ಎಸಿ–ಬಿ² > 0, ಎ < 0;

2) f(x,y)ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದೆ M 0ಕನಿಷ್ಠ ವೇಳೆ ಎಸಿ–ಬಿ² > 0, ಎ > 0;

3) ಒಂದು ವೇಳೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಿಪರೀತವಿಲ್ಲ ಎಸಿ–ಬಿ² < 0;

4) ವೇಳೆ ಎಸಿ–ಬಿ² = 0, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಪುರಾವೆ.

ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ f(x,y),ಸ್ಥಾಯಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ:

ಎಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗದ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಂ 0 ಎಂ, ಎಲ್ಲಿ M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ ನಲ್ಲಿ), ಮತ್ತು O ಅಕ್ಷ Xφ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ, ನಂತರ Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y =Δρsinφ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: . ನಂತರ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಬಹುದು ಎ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವೀಗ ನಾಲ್ಕನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳು:

1) ಎಸಿ-ಬಿ² > 0, ಎ < 0. Тогда , и ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ Δρ ನಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ ವೈ)< f (x 0 , y 0), ಅದು M 0- ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು.

2) ಅವಕಾಶ ಎಸಿ–ಬಿ² > 0, ಎ > 0.ನಂತರ , ಮತ್ತು M 0- ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು.

3) ಅವಕಾಶ ಎಸಿ-ಬಿ² < 0, ಎ> 0. ಕಿರಣದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ φ = 0. ನಂತರ (5.1) ನಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ , ಅಂದರೆ, ಈ ಕಿರಣದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಕಿರಣದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸಿದರೆ ಅಂತಹ ಟಿಜಿ φ 0 = -A/B,ಅದು , ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಕಿರಣದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವಧಿ M 0ಒಂದು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಲ್ಲ.

3`) ಯಾವಾಗ ಎಸಿ–ಬಿ² < 0, ಎ < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ.

3``) ವೇಳೆ ಎಸಿ–ಬಿ² < 0, ಎ= 0, ನಂತರ . ಅದರಲ್ಲಿ . ನಂತರ ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಕ್ಕೆ φ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 2 ಬಿ cosφ + ಸಿ sinφ 2 ರ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿದೆ IN, ಅಂದರೆ, ಇದು ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ sinφ ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ M 0.ಇದರರ್ಥ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳವು ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಲ್ಲ.

4) ವೇಳೆ ಎಸಿ–ಬಿ² = 0, ಮತ್ತು , , ಅಂದರೆ, ಏರಿಕೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು 2α 0 ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ತೀವ್ರತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆ ಅಗತ್ಯ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಕಾರ್ಯದ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ z = x² - 2 xy + 2ವೈ² + 2 X.ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ . ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದು (-2,-1). ಇದರಲ್ಲಿ ಎ = 2, IN = -2, ಜೊತೆಗೆ= 4. ನಂತರ ಎಸಿ–ಬಿ² = 4 > 0, ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ತಲುಪಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಕನಿಷ್ಠ (ಇಂದಿನಿಂದ ಎ > 0).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.4.ಫಂಕ್ಷನ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ಸ್ ವೇಳೆ f (x 1 , x 2 ,..., x n)ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳುಎಂದು ಮೀಸಮೀಕರಣಗಳು ( ಮೀ< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0,…, φ ಮೀ ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು φ i ನಿರಂತರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (5.2) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.5.ಕಾರ್ಯದ ವಿಪರೀತ f (x 1 , x 2 ,..., x n)ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು (5.2) ಪೂರೈಸಿದಾಗ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತದ ಕೆಳಗಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ನೀಡಬಹುದು: ಕಾರ್ಯದ ವಾದಗಳನ್ನು ಬಿಡಿ f(x,y)φ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ (x,y)= 0, O ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ xy. ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ O ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬಗಳನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸುವುದು xyಅದು ಮೇಲ್ಮೈಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವವರೆಗೆ z = f (x,y),φ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (x,y)= 0. ಫಲಿತಾಂಶದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದು ಸಹಜವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಕಾರ್ಯದ ಬೇಷರತ್ತಾದ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ f(x,y).

ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.6.ಕಾರ್ಯ L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +...+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

ಎಲ್ಲಿ λi -ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯ, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು λi– ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಗುಣಕಗಳು.

ಪ್ರಮೇಯ 5.3(ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು). ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ z = f (x, y)ಸಂಯೋಜಕ ಸಮೀಕರಣದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ φ ( x, y)= 0 ಅನ್ನು ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಬಹುದು L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

ಪುರಾವೆ. ಜೋಡಣೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಸೂಚ್ಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿನಿಂದ X, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ ನಲ್ಲಿನಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ X: y = y(x).ನಂತರ zನಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಿದೆ X, ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: . (5.4) ಜೋಡಣೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ . (5.5)

ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (5.5) ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ λ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು (5.4) ಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

, ಅಥವಾ .

ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕು, ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

(5.6)

ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ: x, yಮತ್ತು λ, ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಷರತ್ತುಗಳಾಗಿವೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ (5.6) ನಿಂದ ಸಹಾಯಕ ಅಜ್ಞಾತ λ ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಟೀಕೆ 1. ಪ್ರಮೇಯ 5.2 ರೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡು ಬಂದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಟಿಪ್ಪಣಿ 2. ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ತಲುಪಬಹುದಾದ ಅಂಶಗಳು f (x 1 , x 2 ,..., x n)ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು (5.2) ಪೂರೈಸಿದಾಗ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು (5.7)

ಉದಾಹರಣೆ. ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ z = xyಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ x + y= 1. ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ L(x, y) = xy + λ (x + y – 1) ಸಿಸ್ಟಮ್ (5.6) ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಎಲ್ಲಿ -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5 ಇದರಲ್ಲಿ L(x,y)ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0.5 ≤ 0.5, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಂಡುಬರುವ ಸ್ಥಾಯಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ L(x,y)ಗರಿಷ್ಠ ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು z = xy -ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗರಿಷ್ಠ.

z - /(x, y) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವು ಡೊಮೇನ್ D ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಿ ಮತ್ತು Mo(xo, Vo) ಈ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗುವಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ Mo(xo, yo) ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಗಳು /(x, y); ಎಲ್ಲಾ Dx, Du, ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ | ನಂತರ Mo(xo,yo) ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಳುವಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, A/o(x0, y0) ಬಿಂದುವಿನ 6-ನೆರೆಹೊರೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, M0(x0, y0) ಬಿಂದುವು f(x, y) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಇದರ ಅಂಕಗಳು M(x, y), ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. 1. ಫಂಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಾಗಿ - ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು (ಅಂಜೂರ 17). 2. ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ 0 (0,0) ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 18). 3. ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ 0(0,0) ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. 4 ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ 0(0, 0) ನ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, j ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತ (ಚಿತ್ರ 19 ನೋಡಿ), ಅದರ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ 0(0,0) ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ /(x,y) 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ = ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆ ಅಥವಾ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ 6-ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಿಗೆ M(x) y) ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಾಗ ನಾವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಪಾಯಿಂಟ್ Mq ನ. ಗರಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠಗಳನ್ನು ಅದರ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 11 (ಅತ್ಯಂತಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿ). ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಹಲವಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ. ಹಲವಾರು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಒಂದು ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ಗಳು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. M0(x0, yо) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ z = f(x) y) ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ವಿಪರೀತವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. ವೇರಿಯೇಬಲ್ y ಗೆ ಯೋ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡೋಣ. ನಂತರ z = /(x, y) ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ x\ ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ x = xo ನಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ, ಚಿತ್ರ 20), ನಂತರ x = "o, ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನ | (*o,l>)" ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಹಾಗೆಯೇ, ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. = 0 ಮತ್ತು χ = 0 ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ z = Dx, y ಕಾರ್ಯದ ಬಿಂದುಗಳು $£ = φ = 0 ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 11 ತೀವ್ರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆ. ಕಾರ್ಯ ಚಿತ್ರ 18 Fig. 20 immt ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ನಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಟ್ರಮ್‌ನ imvat ಮೇಲೆ ತೆಳುವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು 0(0,0) ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು M(x, ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. y), ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಪಾಯಿಂಟ್ 0 (0,0) ಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಅದಕ್ಕಾಗಿ, ಸೂಚಿಸಿದ ಪ್ರಕಾರದ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಪಾಯಿಂಟ್ 0 (0,0) ಗಾಗಿ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ (0, y) ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮಿನಿ-ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಪಾಯಿಂಟ್ (Fig. 21) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 12 (ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು). Mo(xo»Yo) ಬಿಂದುವು f(x, y) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ /, ಪಾಯಿಂಟ್ Mo ಸೇರಿದಂತೆ, f(z, y) ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಎರಡನೇ ಆದೇಶದವರೆಗೆ. ನಂತರ". ಪಾಯಿಂಟ್ Mo(xo, V0) ನಲ್ಲಿ D(xo, yo) ಆಗಿದ್ದರೆ /(xo, y) ಕಾರ್ಯವು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ< 0. Если же то в точке Мо(жо>f(x, y) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. m ಪ್ರಮೇಯದ 1) ಮತ್ತು 2) ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಮ್ಮನ್ನು ನಾವು ಮಿತಿಗೊಳಿಸೋಣ. ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ /(i, y): ಅಲ್ಲಿ. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, (1) ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ತ್ರಿಪದಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ D/ ಹೆಚ್ಚಳದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಎರಡನೇ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ d2f ನ ಚಿಹ್ನೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ಸಮಾನತೆ (l) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು: MQ(ಆದ್ದರಿಂದ, V0) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ... ಏಕೆಂದರೆ, ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, f(s, y) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆ (3) M0(s0,yo) ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಇರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ (ಬಿಂದು А/0, ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವು /,z(s,y) Af0 ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. А Ф 0 ಇರುವ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ . M0(x0) y0 ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ЛС - В2 > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ತ್ರಿಪದಿಯ AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 ಚಿಹ್ನೆಯು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ A ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ , V0) (ಹಾಗೆಯೇ C ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ, AC - B2 > 0 A ಮತ್ತು C ಗಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು). ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) ಮೊತ್ತದ AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 ಚಿಹ್ನೆಯು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ: ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ /(s,y) ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದು (s0, V0) ಸ್ಥಿತಿ, ನಂತರ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ || ಅಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಚದರ, V0) ಕಾರ್ಯ /(s, y) ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ (s0, y0) ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ |Dr| ಮತ್ತು |ಡು| ಅಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಆದ್ದರಿಂದ, ಯೋ) ಕಾರ್ಯವು /(s, y) ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. 1. ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ 4 ತೀವ್ರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು u ಎಂಬ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಿಂದ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದು. ನಾವು ಈಗ ಪ್ರಮೇಯ 12 ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಇದರರ್ಥ Ml ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಪರೀತವಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ. ನಾವು r ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ ಬಲ ಭಾಗ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕನಿಷ್ಠವಾದಾಗ (") ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 2. ಒಂದು ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ. ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಿಂದುವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 12 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಎಂ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರತೆಯಿಲ್ಲ. * 3. ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ. ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ ನಾವು ಪ್ರಮೇಯ 12 ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ರೀತಿ ಮಾಡೋಣ. ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ A/o(0,0) r ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. n ಇಂಡಿಪೆಂಡೆಂಟ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಲಿ.ಪಾಯಿಂಟ್ Mo ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಮೇಯ 13 (ಅತಿವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳವರೆಗೆ). ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಿ ಮತ್ತು ಫೈನ್ Mt(xi...) ನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ನಿರಂತರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ, ಇದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪ (ಫೈನ್‌ನಲ್ಲಿನ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎರಡನೇ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಸ್ಥಾಯಿ ಉತ್ತಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ (ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತ), ಎಫ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು (ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಉತ್ತಮ ಗರಿಷ್ಠ) ಉತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪ (4) ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಉತ್ತಮ LG0 ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರತೆಯಿಲ್ಲ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ರೂಪ (4) ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಖಚಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪದ ಧನಾತ್ಮಕ (ಋಣಾತ್ಮಕ ) ನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು. ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಾದ್ಯಂತ, ಕಾರ್ಯದ ವಾದಗಳು ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಬದ್ಧವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, ಅಂತಹ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಬೇಷರತ್ತಾದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎದುರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. z = /(x, y ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ ) ಡೊಮೇನ್ D ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ L ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನಾವು f(x> y) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಕರ್ವ್ L. ಅದೇ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು L ಕರ್ವ್‌ನಲ್ಲಿ z = f(x) y) ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ L ಕರ್ವ್‌ನ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ, f(x, y) ಕಾರ್ಯವು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. M (s, y) y) ಕರ್ವ್ L ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ) M0 (x0, V0) ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿದ ಮತ್ತು M0 ಬಿಂದುಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಕರ್ವ್ L ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಕರ್ವ್‌ನಲ್ಲಿ r - f(x,y) ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ! ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು: ಡಿ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ x = /(z, y) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಹೀಗಾಗಿ, z = y ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ವೈಲ್ಡ್‌ಬೀಸ್ಟ್‌ನ ವಾದಗಳು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಇರುವಂತಿಲ್ಲ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಅವು y ) = 0 ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ, ಇದನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇಷರತ್ತಾದ ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ಕಾರ್ಯದ ಬೇಷರತ್ತಾದ ಗರಿಷ್ಟ (Fig. 23) ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ (0,0) ನಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಇದು ಪಾಯಿಂಟ್ M ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ - pvvboloid ನ ಶೃಂಗವಾಗಿದೆ ನಾವು y = j ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ. ನಂತರ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗರಿಷ್ಠವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.ಇದು (o,|) ಬಿಂದುವಿಗೆ ತಲುಪುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಚೆಂಡಿನ ಶೃಂಗದ Afj ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ಚೆಂಡಿನ ಛೇದನದ ರೇಖೆಯು ಸಮತಲ y = j. ಬೇಷರತ್ತಾದ mvximum ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೇಲ್ಮೈ * = 1 - l;2 ~ y1 ಎಲ್ಲಾ vpplicvt ನಡುವೆ mvximum ಅನ್ವಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ; summvv ಷರತ್ತುಬದ್ಧ - vllikvt ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ pvraboloidv, xOy ಸಮತಲವಲ್ಲ y = j ನೇರ ರೇಖೆಯ ಬಿಂದುವಿಗೆ* ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣ y) - O y ಅನ್ನು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x ನ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ x: ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ y ಬದಲಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಒಂದು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ (ಷರತ್ತುರಹಿತ) ತೀವ್ರತೆಯು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ. ಹಲವಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಒಂದು ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು A ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (2") ನಾವು y = 1-x ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು y ಅನ್ನು (V) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಒಂದು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x: ನಾವು ಇದನ್ನು ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ಗಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ: ಎಲ್ಲಿಂದ x = 1 ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ; , ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು r (ಚಿತ್ರ 24) ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 24). ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರಮ್, ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಸಂಪರ್ಕದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿರಲಿ, ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣವು ಬಿಂದುವಿನ xx ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. xq ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ x ಕಾರ್ಯದ /(r, ip(x)) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಅಥವಾ ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, f(x, y) ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಪಾಯಿಂಟ್ Mo" O) ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (5) ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ನಿರ್ಧರಿಸದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಂಶ A ಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪದದ ಮೂಲಕ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು (4), ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ). ನಂತರ, dx ನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತತೆಯಿಂದಾಗಿ, ನಾವು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (6) ಮತ್ತು (7) ಕಾರ್ಯದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬೇಷರತ್ತಾದ ತೀವ್ರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್ /(x, y), ವೇಳೆ, ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ A ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಸಂಪರ್ಕದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವಿಪರೀತದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಬಹುದಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, 1) ನಾವು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ, 2) ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದ ನಾವು A ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳ x, y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತುದಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸ್ವರೂಪದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ x0, V0, A ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪರಿಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ (8) ಒದಗಿಸಿದರೆ , ನಂತರ ಹಂತದಲ್ಲಿ (x0, V0) ಕಾರ್ಯ /(x, y ) ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; d2F > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ - ನಂತರ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕನಿಷ್ಠ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಥಾಯಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ (xo, J/o) F(x, y) ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ D ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಹಂತದಲ್ಲಿ (®o, V0) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ x, y), ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕನಿಷ್ಠ /(x, y), ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ. ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ತಿರುಗೋಣ: x + y = 1 ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನಾವು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಗುಣಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ರಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ, ನಾವು x = y ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣ) x - y = j ಎಂಬುದು ಸಂಭವನೀಯ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಎ = -1 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯವು. ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ * = x2 + y2 ಸ್ಥಿತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಬೇಷರತ್ತಾದ ವಿಪರೀತವಿಲ್ಲ. P(x, y ) ಸಂಪರ್ಕದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ /(x, y) ಗಾಗಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ಅರ್ಥವಲ್ಲ ಉದಾಹರಣೆ: y 4 ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ ನಾವು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ A ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು: ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಾವು x + y = 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು x = y = A = 0 ಯಿಂದ ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (0,0) ಫಂಕ್ಷನ್ F(x, y; 0) ಬೇಷರತ್ತಾದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ, r = xy ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆ. y = x ಇದ್ದಾಗ, ". ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ r = x2. ಪಾಯಿಂಟ್ (0,0) ನಲ್ಲಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕನಿಷ್ಠವಿದೆ ಎಂದು ಇಲ್ಲಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. "ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್‌ಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ/ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ A|, Az,..., A„, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶಗಳಾಗಿರುವ Lagrange ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸಿ. F ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (9) ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು n + m ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದ ನಾವು Ab A3|..., ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು x ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ \) x2). » ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತದ ಸಂಭವನೀಯ ಬಿಂದುಗಳ xn. ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುವ ಬಿಂದುಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಭೌತಿಕ ಅಥವಾ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ವಭಾವದ ಪರಿಗಣನೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. 15.3. ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕೆಲವು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೀಮಿತ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ z = /(x, y) ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರಲಿ D. ಪ್ರಮೇಯ 3 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಅತ್ಯಧಿಕ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ (xo, V0). ಪಾಯಿಂಟ್ (xo, y0) ಡೊಮೇನ್ D ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಆಗ ಫಂಕ್ಷನ್ / ಅದರಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ಅಂಶವು ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ /(x, y) ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಾರ್ಯ /(x, y) ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, z =/(x, y) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಿಂದ ತೆಗೆದ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶ 2), ಈ ಪ್ರದೇಶದ ಒಳಗೆ ಸಾಧಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ) ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾದ (ಚಿಕ್ಕ) 27 ರ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ z = /(x,y) ಕಾರ್ಯದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಸಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸೋಣ. Prmmr. ಪ್ರದೇಶ 4 ರ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಡಿ ಪ್ರದೇಶದ ಒಳಗೆ ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು x = y « 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ 0 (0,0) ಕಾರ್ಯ x ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಈಗ Г ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಗಡಿಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು y = 0 ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರಿಂದ = ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ z ಕಾರ್ಯ = 1 + y2 ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ Г", ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ (, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಸಮ್ಮಿತಿ ಪರಿಗಣನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಗಡಿಯ ಇತರ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ z = x2+y2 ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ "ಬಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದು 0(0, 0) ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅತ್ಯಧಿಕ ಮೌಲ್ಯಈ ಕಾರ್ಯದ, ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ, ಗಡಿಯ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 25) ಚಿತ್ರ 25 ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಟ್ಟದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ: 9 ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮೂರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು: ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: ಕಾರ್ಯಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು : ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: 3 J ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮಮ್ ಹಲವಾರು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಒಂದು ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು 34. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು: 35. ಸಂಕೀರ್ಣದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯ, ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ |J ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು: ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಲಾದ jj ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: 40. x = 3 ನೇರ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಛೇದನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. 41. ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ x ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ. . ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು T: ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಾಮಾನ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ: 49. ಮೇಲ್ಮೈ x2 + 2y2 + 3z2 = 21, ಸಮತಲ x + 4y ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮತಲಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ + 6z = 0. ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೊದಲ ಮೂರು ಅಥವಾ ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ : 50. y ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ (0, 0). ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ :). ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ: 84. ಮುಚ್ಚಿದ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ z = x2 - y2 ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ 85. ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಕಾರ್ಯದ * = x2y (4-x-y) ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ x = 0, y = 0, x + y = b ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದಿದೆ. 88. ಚಿಕ್ಕದಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ತೆರೆದ ಪೂಲ್‌ನ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಅದರ ಪರಿಮಾಣವು V. 87 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ 5 ಅನ್ನು ನೀಡಿದ ಗರಿಷ್ಠ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್‌ನ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಉತ್ತರಗಳು 1. ಮತ್ತು | ಅದರ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ x ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಚೌಕ. 3. ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಉಂಗುರಗಳ ಕುಟುಂಬ 2= 0,1,2,... .4. ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮತಲ. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = -x? ಮೇಲೆ ಇರುವ ಸಮತಲದ ಭಾಗ. 8. ವೃತ್ತದ ಬಿಂದುಗಳು x. ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮತಲ x ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ j * ^ ಅಥವಾ j x ^ ^ ಇದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಅನಂತ ಸರಣಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಮಬ್ಬಾದ ಚೌಕಗಳು (ಚಿತ್ರ 26); l ಇದು ಅನಂತ ಸರಣಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. a) ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು x b) ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ವಲಯಗಳು. 10. ಎ) ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಸ್ ವೈ) ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಸ್ ವೈ ಎ) ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಸ್ ಬಿ) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಸ್ | .ಪ್ಲೇನ್ಸ್ xc. 13. ಪ್ರೈಮ್ - ಓಝ್ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಏಕ-ಕುಹರದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ಗಳು; ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು Oz ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ಗಳು, ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಎರಡೂ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಕೋನ್ನಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ, ಬಿ) 0. 18. ನಾವು y = kxt ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ ನಂತರ z lim z = -2, ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ (0,0) ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. 19. a) ಪಾಯಿಂಟ್ (0,0); ಬಿ) ಪಾಯಿಂಟ್ (0,0). 20. a) ಬ್ರೇಕ್ ಲೈನ್ - ವೃತ್ತ x2 + y2 = 1; ಬಿ) ಬ್ರೇಕ್ ಲೈನ್ ನೇರ ರೇಖೆ y = x ಆಗಿದೆ. 21. ಎ) ಬ್ರೇಕ್ ಲೈನ್‌ಗಳು - ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಗಳು ಆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಓಯ್; ಬಿ) 0 (ಖಾಲಿ ಸೆಟ್). 22. ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು (m, n), ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು n ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ