ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಾ. ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿ. ಒಂದು ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ. ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಗುಣಕ ವಿಧಾನ. ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಉಪನ್ಯಾಸ 5.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.1.ಡಾಟ್ M 0 (x 0, y 0)ಎಂದು ಕರೆದರು ಗರಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್ಕಾರ್ಯಗಳು z = f (x, y),ಒಂದು ವೇಳೆ f (x o , y o) > f(x,y)ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಳಿಗೆ (x, y) M 0.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.2.ಡಾಟ್ M 0 (x 0, y 0)ಎಂದು ಕರೆದರು ಕನಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್ಕಾರ್ಯಗಳು z = f (x, y),ಒಂದು ವೇಳೆ f (x o , y o) < f(x,y)ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಳಿಗೆ (x, y)ಒಂದು ಹಂತದ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ M 0.

ಗಮನಿಸಿ 1. ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳುಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಟೀಕೆ 2. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 5.1 (ಅಗತ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳುವಿಪರೀತ). ಒಂದು ವೇಳೆ M 0 (x 0, y 0)- ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದು z = f (x, y),ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಪುರಾವೆ.

ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸೋಣ ನಲ್ಲಿ, ಎಣಿಕೆ y = y 0. ನಂತರ ಕಾರ್ಯ f (x, y 0)ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ X, ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ x = x 0ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಫೆರ್ಮಟ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಗಾಗಿ ಅದೇ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.3.ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಹಲವಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸೇರಿದ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳುಈ ಕಾರ್ಯ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ತಲುಪಬಹುದು, ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಮೇಯ 5.2(ಒಂದು ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು). ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಲೆಟ್ M 0 (x 0, y 0), ಇದು ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ z = f (x, y),ಈ ಕಾರ್ಯವು 3 ನೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ನಿರಂತರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಾವು ನಂತರ ಸೂಚಿಸೋಣ:

1) f(x,y)ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದೆ M 0ಗರಿಷ್ಠ ವೇಳೆ ಎಸಿ–ಬಿ² > 0, ಎ < 0;

2) f(x,y)ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದೆ M 0ಕನಿಷ್ಠ ವೇಳೆ ಎಸಿ–ಬಿ² > 0, ಎ > 0;

3) ಒಂದು ವೇಳೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರತೆಯಿಲ್ಲ ಎಸಿ–ಬಿ² < 0;

4) ವೇಳೆ ಎಸಿ–ಬಿ² = 0, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಪುರಾವೆ.

ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ f(x,y),ಸ್ಥಾಯಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ:

ಎಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗದ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಂ 0 ಎಂ, ಎಲ್ಲಿ M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ ನಲ್ಲಿ), ಮತ್ತು O ಅಕ್ಷ Xφ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ, ನಂತರ Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y =Δρsinφ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: . ನಂತರ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಬಹುದು ಎ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವೀಗ ನಾಲ್ಕನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳು:

1) ಎಸಿ-ಬಿ² > 0, ಎ < 0. Тогда , и ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ Δρ ನಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ ವೈ)< f (x 0 , y 0), ಅದು M 0- ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು.

2) ಅವಕಾಶ ಎಸಿ–ಬಿ² > 0, ಎ > 0.ನಂತರ , ಮತ್ತು M 0- ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು.

3) ಅವಕಾಶ ಎಸಿ-ಬಿ² < 0, ಎ> 0. ಕಿರಣದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ φ = 0. ನಂತರ (5.1) ನಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ , ಅಂದರೆ, ಈ ಕಿರಣದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಕಿರಣದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸಿದರೆ ಅಂತಹ ಟಿಜಿ φ 0 = -A/B,ಅದು , ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಕಿರಣದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವಧಿ M 0ಒಂದು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಲ್ಲ.

3`) ಯಾವಾಗ ಎಸಿ–ಬಿ² < 0, ಎ < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

ಹಿಂದಿನದನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ.

3``) ವೇಳೆ ಎಸಿ–ಬಿ² < 0, ಎ= 0, ನಂತರ . ಅದರಲ್ಲಿ . ನಂತರ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ φ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 2 ಬಿ cosφ + ಸಿ sinφ 2 ರ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿದೆ IN, ಅಂದರೆ, ಇದು ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ sinφ ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ M 0.ಇದರರ್ಥ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳವು ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಲ್ಲ.

4) ವೇಳೆ ಎಸಿ–ಬಿ² = 0, ಮತ್ತು , , ಅಂದರೆ, ಏರಿಕೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು 2α 0 ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ತೀವ್ರತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆ ಅಗತ್ಯ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಕಾರ್ಯದ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ z = x² - 2 xy + 2ವೈ² + 2 X.ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ . ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದು (-2,-1). ಇದರಲ್ಲಿ ಎ = 2, IN = -2, ಇದರೊಂದಿಗೆ= 4. ನಂತರ ಎಸಿ–ಬಿ² = 4 > 0, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಥಾಯಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ತಲುಪಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಕನಿಷ್ಠ (ಇಂದಿನಿಂದ ಎ > 0).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.4.ಫಂಕ್ಷನ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ಸ್ ವೇಳೆ f (x 1 , x 2 ,..., x n)ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳುಎಂದು ಮೀಸಮೀಕರಣಗಳು ( ಮೀ< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,..., x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,..., x n) = 0,…, φ ಮೀ ( x 1, x 2,..., x n) = 0, (5.2)

ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು φ i ನಿರಂತರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (5.2) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.5.ಕಾರ್ಯದ ವಿಪರೀತ f (x 1 , x 2 ,..., x n)ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು (5.2) ಪೂರೈಸಿದಾಗ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತದ ಕೆಳಗಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ನೀಡಬಹುದು: ಕಾರ್ಯದ ವಾದಗಳನ್ನು ಬಿಡಿ f(x,y)φ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ (x,y)= 0, O ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ xy. ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ O ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬಗಳನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸುವುದು xyಅದು ಮೇಲ್ಮೈಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವವರೆಗೆ z = f (x,y),φ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (x,y)= 0. ಫಲಿತಾಂಶದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದು ಸಹಜವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಕಾರ್ಯದ ಬೇಷರತ್ತಾದ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ f(x,y)

ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.6.ಕಾರ್ಯ L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +...+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

ಎಲ್ಲಿ λ ನಾನು -ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯ, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು λi– ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಗುಣಕಗಳು.

ಪ್ರಮೇಯ 5.3(ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು). ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ z = f (x, y)ಸಂಯೋಜಕ ಸಮೀಕರಣದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ φ ( x, y)= 0 ಅನ್ನು ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಬಹುದು L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

ಪುರಾವೆ. ಜೋಡಣೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಸೂಚ್ಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿನಿಂದ X, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ ನಲ್ಲಿನಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ X: y = y(x).ನಂತರ zನಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಿದೆ X, ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: . (5.4) ಜೋಡಣೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ . (5.5)

ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (5.5) ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ λ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು (5.4) ನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

, ಅಥವಾ .

ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕು, ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

(5.6)

ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ: x, yಮತ್ತು λ, ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಷರತ್ತುಗಳಾಗಿವೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ (5.6) ನಿಂದ ಸಹಾಯಕ ಅಜ್ಞಾತ λ ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಟೀಕೆ 1. ಥಿಯರಮ್ 5.2 ರೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಬಂದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಟಿಪ್ಪಣಿ 2. ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ತಲುಪಬಹುದಾದ ಅಂಶಗಳು f (x 1 , x 2 ,..., x n)ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು (5.2) ಪೂರೈಸಿದಾಗ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು (5.7)

ಉದಾಹರಣೆ. ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ z = xyಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ x + y= 1. ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ L(x, y) = xy + λ (x + y – 1) ಸಿಸ್ಟಮ್ (5.6) ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಎಲ್ಲಿ -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5 ಇದರಲ್ಲಿ L(x,y)ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0.5 ≤ 0.5, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಂಡುಬರುವ ಸ್ಥಾಯಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ L(x,y)ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಹೊಂದಿದೆ z = xy -ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗರಿಷ್ಠ.

ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ.

ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಾ

ಕಡಿಮೆ ಚೌಕ ವಿಧಾನ.

FNP ಯ ಸ್ಥಳೀಯ ತೀವ್ರತೆ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಿ ಮತ್ತು= f(ಪಿ), ಆರ್.ಡಿ.ಆರ್ ಎನ್ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ಅನ್ನು ಬಿಡಿ ( ಎ 1 , ಎ 2 , ..., ಒಂದು p) –ಆಂತರಿಕಸೆಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಡಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 9.4.

1) ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗರಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು= f(P), ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ U(P 0) М D ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0), Р¹Р 0 , ಸ್ಥಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ f(ಪಿ) £ f(ಪಿ 0) ಅರ್ಥ f(P 0) ಗರಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ f(P0) = ಗರಿಷ್ಠ f(ಪ) .

2) ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕನಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು= f(P), ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ U(P 0)Ì D ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , ಸ್ಥಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ f(ಪಿ)³ f(ಪಿ 0) ಅರ್ಥ f(P 0) ಕನಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ f(P 0) = ನಿಮಿಷ f(ಪ).

ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳು, ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಕೆಳಗಿನಂತೆ, ಅಸಮಾನತೆಗಳು f(ಪಿ) £ f(ಪಿ 0), f(ಪಿ)³ f(P 0) P 0 ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತರಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದೇ ಪ್ರಕಾರದ ಹಲವಾರು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಹಲವಾರು ಕನಿಷ್ಠ, ಹಲವಾರು ಗರಿಷ್ಠ) . ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಥಳೀಯ(ಸ್ಥಳೀಯ) ವಿಪರೀತಗಳು.

ಪ್ರಮೇಯ 9.1 (FNP ಯ ತೀವ್ರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿ)

ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ ಮತ್ತು= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ನಲ್ಲಿ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಪುರಾವೆ.ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ( ಎ 1 , ಎ 2 , ..., ಒಂದು p) ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು= f(ಪಿ) ಒಂದು ವಿಪರೀತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗರಿಷ್ಠ. ವಾದಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸೋಣ X 2 , ..., x n, ಹಾಕುವುದು X 2 =ಎ 2 ,..., x n = ಒಂದು p. ನಂತರ ಮತ್ತು= f(ಪಿ) = f 1 ((X 1 , ಎ 2 , ..., ಒಂದು p) ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ X 1 . ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ X 1 = ಎ 1 ವಿಪರೀತ (ಗರಿಷ್ಠ), ನಂತರ f 1 ¢=0 ಅಥವಾ ಯಾವಾಗ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ X 1 =ಎ 1 (ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿ). ಆದರೆ, ಇದರರ್ಥ P 0 ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ - ತೀವ್ರ ಬಿಂದು. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಇತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. CTD.

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು ಈ ಕಾರ್ಯ.

ಪ್ರಮೇಯ 9.1 ರಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ, FNP ಯ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು. ಆದರೆ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವೂ ಒಂದು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಲ್ಲ.

ಪ್ರಮೇಯ 9.2 (FNP ಯ ತೀವ್ರತೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ)

P 0 ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು= f(ಪಿ) ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ನಂತರ

ಮತ್ತು ವೇಳೆ ಡಿ 2 ಯು(P 0) > 0 ನಲ್ಲಿ, ನಂತರ P 0 ಒಂದು ಬಿಂದು ಕನಿಷ್ಠಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು= f(ಪ);

ಬಿ) ವೇಳೆ ಡಿ 2 ಯು(P0)< 0 при , то Р 0 – точка ಗರಿಷ್ಠಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು= f(ಪ);

ಸಿ) ವೇಳೆ ಡಿ 2 ಯು(P 0) ಅನ್ನು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ನಂತರ P 0 ಒಂದು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಲ್ಲ;

ನಾವು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಡಿ 2 ಯು(P 0) = 0 ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ಅಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಪರೀತದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ - ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು.

ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ z = f(X,ವೈ) ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ, ಎರಡನೆಯ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ರೂಪದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ

ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದು P 0 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದು.

ಸೂಚಿಸೋಣ, , . ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ

.

ತಿರುಗಿದರೆ:

ಡಿ 2 z> 0 ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ನಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. P 0 - ಕನಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್, ವೇಳೆ ಎ(P 0) > 0 ಮತ್ತು D(P 0) > 0;

ಡಿ 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если ಎ(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

D(P 0) ಆಗಿದ್ದರೆ< 0, то ಡಿ 2 zಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ರ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಅದು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರತೆಯಿಲ್ಲ;

D(Р 0) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದು Р 0 ರ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ z = f(X,ವೈ) ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (ಅದನ್ನು "ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಡಿ" ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ) ಒಂದು ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು:

1) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ D( f) ಕಾರ್ಯಗಳು.

2) ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಅಂದರೆ. D(D) ನಿಂದ ಅಂಕಗಳು f), ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

3) ಪ್ರತಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ P 0, ತೀವ್ರತೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಹುಡುಕಿ , ಅಲ್ಲಿ , , ಮತ್ತು D(P 0) ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಎ(P 0).ನಂತರ:

D(P 0) >0 ಆಗಿದ್ದರೆ, P 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ತೀವ್ರತೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವೇಳೆ ಎ(P 0) > 0 – ನಂತರ ಇದು ಕನಿಷ್ಠ, ಮತ್ತು ವೇಳೆ ಎ(P 0)< 0 – максимум;

D(P 0) ಆಗಿದ್ದರೆ< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

D(P 0) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

4) ಕಂಡುಬರುವ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.

ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ z = X 3 + 8ವೈ 3 – 3xy .

ಪರಿಹಾರ.ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

, , Þ P 0 (0,0), .

ತೀವ್ರತೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

6X, = -3, = 48ನಲ್ಲಿಮತ್ತು = 288xy – 9.

ನಂತರ D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(P 1) = 36-9>0 – ಪಾಯಿಂಟ್ P 1 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಪರೀತವಿದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಎ(P 1) = 3 >0, ನಂತರ ಈ ವಿಪರೀತವು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಮಿಷ z=z(ಪಿ 1) = .

ಉದಾಹರಣೆ 2.

ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ .

ಪರಿಹಾರ: ಡಿ( f) =R 2 . ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು: ; ಯಾವಾಗ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ನಲ್ಲಿ= 0, ಅಂದರೆ P 0 (0,0) ಈ ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.

2, = 0, = , = , ಆದರೆ ಡಿ (ಪಿ 0) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ.

ಅದೇ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಪ್ರಮೇಯ 9.2 ಅನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ - ಡಿ 2 zಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ f(X, ವೈ) ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ನಲ್ಲಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ f =f(ಪ) - f(P 0)>0 "P, ನಂತರ P 0 ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ D ಆಗಿದ್ದರೆ f < 0, то Р 0 – точка максимума.

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಡಿ f = f(X, ವೈ) – f(0, 0) = f(0+D X,0+D ವೈ) – f(0, 0) = .

ಡಿ ನಲ್ಲಿ X= 0.1 ಮತ್ತು ಡಿ ವೈ= -0.008 ನಾವು ಡಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ f = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0.1 ಮತ್ತು ಡಿ ವೈ= 0.001 ಡಿ f= 0.01 + 0.1 > 0, ಅಂದರೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ P 0 ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಷರತ್ತು D ಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ f <0 (т.е. f(X, ವೈ) < f(0, 0) ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ P 0 ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಲ್ಲ), ಅಥವಾ ಸ್ಥಿತಿ D f>0 (ಅಂದರೆ f(X, ವೈ) > f(0, 0) ಮತ್ತು ನಂತರ P 0 ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಲ್ಲ). ಇದರರ್ಥ, ಒಂದು ವಿಪರೀತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ವಿಪರೀತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ.

ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಗಣಿತವಾದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೇಷರತ್ತಾಗಿ, ಫಂಕ್ಷನ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು (ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು) ವಿಧಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 9.2.ಕಾರ್ಯದ ವಿಪರೀತ ಮತ್ತು = f(X 1 , X 2 , ... , x n), ಅದರ ವಾದಗಳ ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ X 1 , X 2 , ... , x nಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿ j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, ..., ಜೆ ಟಿ(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, ಅಲ್ಲಿ P ( X 1 , X 2 , ... , x n) ಒ ಡಿ( f), ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ .

ಸಮೀಕರಣಗಳು ಜೆ ಕೆ(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , ಕೆ = 1, 2,..., ಮೀ, ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ z = f(X,ವೈ) ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರ. ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. , ನಂತರ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದರೆ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಡಿ(ಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕೆಲವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ. f) (ಅಂದರೆ, ಇದು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲ z = f(X,ವೈ), ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್ನೊಂದಿಗೆ ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳ ಪೈಕಿ ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಅಂಕಗಳು, ಚಿತ್ರ 5).

ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ z = f(X,ವೈ) ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ( ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನ) ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬರೆಯಿರಿ) ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ (ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ) ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಫಲಿತಾಂಶದ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1: ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಆ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (x, y)ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ: . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳ< 0.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2: ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಆ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (x, y)ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ: . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳ > 0.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3: ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳು.

ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತಗಳು

ಅನೇಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ.ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಲೈನ್ ನೀಡಲಿ ಎಲ್ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲೆ 0xy. ಕಾರ್ಯವು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುವುದು ಎಲ್ಅಂತಹ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ P(x, y),ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಲ್, ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಳಿ ಇದೆ ಪ. ಅಂತಹ ಅಂಕಗಳು ಪಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳುಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಲ್. ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವಂತಹವುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಎಲ್.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಪರೀತದ ಬಿಂದುವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ (ಅವರು ಸಹ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಬೇಷರತ್ತಾದ ವಿಪರೀತ) ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಗೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ, ಸಹಜವಾಗಿ, ನಿಜವಲ್ಲ: ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿರಬಾರದು. ನಾನು ಹೇಳಿದ್ದನ್ನು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಮೇಲಿನ ಗೋಳಾರ್ಧವಾಗಿದೆ (ಅನುಬಂಧ 3 (ಅಂಜೂರ 3)).

ಈ ಕಾರ್ಯವು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಶೃಂಗವು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂಅರ್ಧಗೋಳಗಳು. ಸಾಲು ವೇಳೆ ಎಲ್ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆ ಇದೆ ಎಮತ್ತು IN(ಅವಳ ಸಮೀಕರಣ x+y-1=0), ನಂತರ ಈ ಸಾಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಅತ್ಯಧಿಕ ಮೌಲ್ಯಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು IN.ಇದು ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ (ಗರಿಷ್ಠ) ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ; ಇದು ಗೋಳಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಪರೀತತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಆಕೃತಿಯಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಂತಿಮ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಈ ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ವಿಪರೀತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಅಂದರೆ. ಕೆಲವು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಈಗ ನಾವು Z= f(x, y) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಹುಡುಕಾಟಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯೋಣ, ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳು x ಮತ್ತು y ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (x, y) = 0 ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ನಾವು ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣ. ಜೋಡಣೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ y ಅನ್ನು x: y=(x) ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ Z= f(x, (x)) = Ф(x) ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಕಾರ್ಯವು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ತಲುಪುವ ಮೌಲ್ಯ x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ನಂತರ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ y ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಾವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, x+y-1=0 ಸಂಬಂಧ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು y=1-x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ

z x = 0.5 ನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ; ಆದರೆ ನಂತರ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ y = 0.5, ಮತ್ತು ನಾವು ನಿಖರವಾಗಿ ಪಾಯಿಂಟ್ P ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಗಣನೆಗಳಿಂದ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದಾಗಲೂ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಹಳ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು x=x(t), y=y(t). x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಈ ಕಾರ್ಯ, ನಾವು ಮತ್ತೆ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಯೋಜಕ ಸಮೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ನೋಟಮತ್ತು ನಾವು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗುತ್ತದೆ. z= f(x, y) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ (x, y) = 0. z= f(x, y) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಒಟ್ಟು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ y` ಸೂಚ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ಕಂಡುಬರುವ ಒಟ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು; ಇದು x ಮತ್ತು y ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅವು ಸಂಯೋಜಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಹ ಪೂರೈಸಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಪಾತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಸಹಾಯಕ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

(ಮುಂಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯು ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ). ಈ ಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಚಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

ಇದು ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ (x, y) = 0, ಅಜ್ಞಾತ x, y ಮತ್ತು ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು (*) ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ: ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಬಹುದಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು

Z= f(x, y) ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ (x, y) = 0, ನೀವು ಸಹಾಯಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

ಅಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸೂಚಿಸಲಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಿಯಮದಂತೆ, ಅಗತ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು x ಮತ್ತು y ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ನಾನು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ; ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಷಯವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಅಂಶ ಏನೆಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿವರಿಸಿದ ತಂತ್ರವನ್ನು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

z - /(x, y) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವು ಡೊಮೇನ್ D ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಿ ಮತ್ತು Mo(xo, Vo) ಈ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಅಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗುವಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ Mo(xo, y) ಬಿಂದುವನ್ನು f(x, y) ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಎಲ್ಲಾ Dx, Du, ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ | ನಂತರ Mo(xo,yo) ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಳುವಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, A/o(x0, y0) ಬಿಂದುವಿನ 6-ನೆರೆಹೊರೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, M0(x0, y0) ಬಿಂದುವು f(x, y) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಇದರ ಅಂಕಗಳು M(x, y), ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. 1. ಫಂಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಾಗಿ - ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು (ಅಂಜೂರ 17). 2. ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ 0 (0,0) ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 18). 3. ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ 0(0,0) ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. 4 ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ 0(0, 0) ನ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, j ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತ (ಚಿತ್ರ 19 ನೋಡಿ), ಅದರ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ 0(0,0) ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ /(x,y) 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ = ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆ ಅಥವಾ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ 6-ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಿಗೆ M(x) y) ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಾಗ ನಾವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಪಾಯಿಂಟ್ Mq ನ. ಗರಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠಗಳನ್ನು ಅದರ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 11 (ಅತ್ಯಂತಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿ). ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಮ್ ಕಾರ್ಯವು ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಅಸ್ಥಿರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಹಲವಾರು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆ. ಒಂದು ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ಗಳು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. z = f(x) y) ಕಾರ್ಯವು M0(x0, yо) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. y ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಊ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡೋಣ. ನಂತರ z = /(x, y) ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ x\ ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ x = xo ನಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ, ಚಿತ್ರ 20), ನಂತರ x = "o, ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನ | (*o,l>)" ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಹಾಗೆಯೇ, ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. = 0 ಮತ್ತು χ = 0 ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ z = Dx, y) ಬಿಂದುಗಳು 11 ರ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ, ಅದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. 20 ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯವು 0 (0,0) ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು M(x,y) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಬಿಂದು 0(0,0) ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಪ್ರಕಾರದ 0(0,0) ಅನ್ನು ಮಿನಿಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಜೂರ 21) ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ತೀವ್ರತೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (d§x ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ತೀವ್ರತೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳು). ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದು (x, y), ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ Mo ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ / ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯ /(r, y ) ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ನಿರಂತರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಂತರ". ಪಾಯಿಂಟ್ Mo(xo, V0) ನಲ್ಲಿ D(xo, yo) ಆಗಿದ್ದರೆ /(xo, y) ಕಾರ್ಯವು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ< 0. Если же то в точке Мо(жо>f(x, y) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. m ಪ್ರಮೇಯದ 1) ಮತ್ತು 2) ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಮ್ಮನ್ನು ನಾವು ಮಿತಿಗೊಳಿಸೋಣ. ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ /(i, y): ಅಲ್ಲಿ. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, (1) ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ತ್ರಿಪದಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ D/ ಹೆಚ್ಚಳದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಎರಡನೇ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ d2f ನ ಚಿಹ್ನೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ಸಮಾನತೆ (l) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು: MQ(ಆದ್ದರಿಂದ, V0) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ... ಏಕೆಂದರೆ, ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, f(s, y) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆ (3) M0(s0,yo) ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಇರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ (ಬಿಂದು А/0, ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವು /,z(s,y) Af0 ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. А Ф 0 ಇರುವ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ M0(x0) y0 ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ЛС - В2 > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ತ್ರಿಪದಿಯ AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 ಚಿಹ್ನೆಯು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ A ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಇದರಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. , V0) (ಹಾಗೆಯೇ C ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ, AC - B2 > 0 A ಮತ್ತು C ಗಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು). ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) ಮೊತ್ತದ AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 ಚಿಹ್ನೆಯು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ: ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ /(s,y) ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದು (s0, V0) ಸ್ಥಿತಿ, ನಂತರ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ || ಅಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಚದರ, V0) ಕಾರ್ಯವು /(s, y) ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿತಿಯು ಸ್ಥಾಯಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ (s0, y0) ತೃಪ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ |Dr| ಮತ್ತು |ಡು| ಅಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಆದ್ದರಿಂದ, ಯೋ) ಕಾರ್ಯವು /(s, y) ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. 1. ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ 4 ತೀವ್ರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು u ಎಂಬ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಿಂದ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದು. ನಾವು ಈಗ ಪ್ರಮೇಯ 12 ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಇದರರ್ಥ Ml ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಪರೀತವಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ. ನಾವು r ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ ಬಲ ಭಾಗಈ ಕಾರ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕನಿಷ್ಠವಾದಾಗ (") ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 2. ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಮೇಯ 12 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಎಂ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರತೆಯಿಲ್ಲ. * 3. ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆ ಮಾಡಿ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರಮೇಯ 12 ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ರೀತಿ ಮಾಡೋಣ. ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ A/o(0,0) r ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. n ಇಂಡಿಪೆಂಡೆಂಟ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಲಿ, ಪ್ರಮೇಯ 13 (ಅತಿವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳವರೆಗೆ) ವೇಳೆ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಿ ಮತ್ತು ಫೈನ್ Mt(xi...) ನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ನಿರಂತರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ, ಇದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪ (ಫೈನ್‌ನಲ್ಲಿನ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎರಡನೇ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಸ್ಥಾಯಿ ಉತ್ತಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. definite (ಋಣಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತ), f ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು (ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಉತ್ತಮವಾದ ಗರಿಷ್ಠ) ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಾರ್ಮ್ (4) ಚಿಹ್ನೆ-ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಉತ್ತಮವಾದ LG0 ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರತೆಯಿಲ್ಲ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಾರ್ಮ್ (4) ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ 15.2 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪದ ಖಚಿತತೆಗಾಗಿ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಸ್ಥಳೀಯ ವಿಪರೀತಗಳು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಾದ್ಯಂತ, ಕಾರ್ಯದ ವಾದಗಳು ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ಬದ್ಧವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ. ಅಂತಹ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಬೇಷರತ್ತಾದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. z =/(x, y) ಕಾರ್ಯವನ್ನು D ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಈ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ L ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನಾವು f(x> y) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಕರ್ವ್ L ನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಅದೇ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು L ಕರ್ವ್‌ನಲ್ಲಿ z = f(x) y) ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ L. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ , F(x, y) ಕಾರ್ಯವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗರಿಷ್ಟ (ಕನಿಷ್ಠ) ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ M (s, y) y) ಕರ್ವ್ L ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, M0(x0, V0) ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿದೆ M0 ಬಿಂದುವಿನಿಂದ (ಕರ್ವ್ L ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ಕರ್ವ್‌ನಲ್ಲಿ r - f(x,y) ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು: x ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ = /(z, y) ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ D, ಹೀಗೆ, z = y ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ವೈಲ್ಡ್‌ಬೀಸ್ಟ್‌ನ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ: ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ ಸಂಬಂಧ y) = 0, ಇದನ್ನು ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇಷರತ್ತಾದ ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ಕಾರ್ಯದ ಬೇಷರತ್ತಾದ ಗರಿಷ್ಟ (Fig. 23) ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ (0,0) ನಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಇದು ಪಾಯಿಂಟ್ M ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ - pvvboloid ನ ಶೃಂಗವನ್ನು ನಾವು y = j ಎಂಬ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ. ನಂತರ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗರಿಷ್ಠವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (o,|), ಮತ್ತು ಇದು ಚೆಂಡಿನ ಶೃಂಗದ Afj ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಮತಲ y = j ನೊಂದಿಗೆ ಚೆಂಡಿನ ಛೇದನದ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಬೇಷರತ್ತಾದ mvximum ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೇಲ್ಮೈ * = 1 - l;2 ~ y1 ಎಲ್ಲಾ vpplicvt ನಡುವೆ mvximum ಅನ್ವಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ; summvv ಷರತ್ತುಬದ್ಧ - vllikvt ಅಂಕಗಳ pvraboloidv ನಡುವೆ ಮಾತ್ರ, xOy ಸಮತಲವಲ್ಲದ ನೇರ ರೇಖೆಯ y = j ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣ y) - O y ಅನ್ನು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x ನ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ x: ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ y ಬದಲಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಒಂದು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ (ಷರತ್ತುರಹಿತ) ತೀವ್ರತೆಯು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ. ಹಲವಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಒಂದು ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು A ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (2") ನಾವು y = 1-x ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು y ಅನ್ನು (V) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಒಂದು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಅದನ್ನು ತೀವ್ರತೆಗಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ: x = 1 ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ; , ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು r (Fig. 24) ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಸಂಪರ್ಕದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಿರಲಿ, xx ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ನಿರಂತರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. xq ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ x ಕಾರ್ಯದ /(r, ip(x)) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಅಥವಾ ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, f(x, y) ನಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಪಾಯಿಂಟ್ Mo" O ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ) ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (5) ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ನಿರ್ಧರಿಸದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಂಶ A ಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪದದ ಮೂಲಕ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು (4), ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ ನಂತರ, dx ನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತತೆಯಿಂದಾಗಿ, ನಾವು ಲಗ್ರೇಂಜ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬೇಷರತ್ತಾದ ತೀವ್ರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು (6) ಮತ್ತು (7) ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಕಾರ್ಯವು /(x, y), ಅಗತ್ಯವಾಗಿ Lagrange ಕಾರ್ಯದ ಒಂದು ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಸಂಪರ್ಕದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಸಾಮಾನ್ಯ ತೀವ್ರತೆ: 1) ನಾವು ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ, 2) ಈ ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು U ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಇದರಿಂದ ನಾವು A ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು x, y ಸಂಭವನೀಯ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತುದಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸ್ವರೂಪದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ x0, V0, A ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪರಿಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ (8) ಒದಗಿಸಿದರೆ , ನಂತರ ಹಂತದಲ್ಲಿ (x0, V0) ಕಾರ್ಯ /(x, y ) ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; d2F > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ - ನಂತರ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕನಿಷ್ಠ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಥಾಯಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ (xo, J/o) F(x, y) ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ D ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಹಂತದಲ್ಲಿ (®o, V0) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ x, y), ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕನಿಷ್ಠ /(x, y), ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ತಿರುಗೋಣ: x + y = 1 ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನಾವು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಗುಣಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ರಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ x = y ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣ) ನಾವು x - y = j ಸಂಭವನೀಯ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಎ = -1 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯವು. ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ * = x2 + y2 ಸ್ಥಿತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಬೇಷರತ್ತಾದ ವಿಪರೀತವಿಲ್ಲ. P(x, y ಸಂಪರ್ಕದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ /(x, y) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾದ ತೀವ್ರತೆಯ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ಅರ್ಥವಲ್ಲ y 4 ಷರತ್ತಿನಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ನಾವು ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. A ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು: ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಾವು x + y = 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು x = y = A = 0 ಆಗಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನಾವು ಬರುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (0,0), F(x, y; 0) ಒಂದು ಬೇಷರತ್ತಾದ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ y = x ಆಗಿರುವಾಗ r = x2 ಎಂಬ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆ ಇರುತ್ತದೆ ಪಾಯಿಂಟ್ (0,0) ನಲ್ಲಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕನಿಷ್ಠವಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ "ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಗುಣಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾದಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು A|, Az,..., A„, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ. F ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (9) ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು n + m ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದ ನಾವು Ab A3|..., ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು x ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ \) x2). » ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಬಿಂದುಗಳ xn. ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುವ ಬಿಂದುಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಭೌತಿಕ ಅಥವಾ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ವಭಾವದ ಪರಿಗಣನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. 15.3. ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕೆಲವು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೀಮಿತ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ z = /(x, y) ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಅತ್ಯಧಿಕ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ (xo, V0). ಬಿಂದು (xo, y0) D ಪ್ರದೇಶದ ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯ / ಅದರಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ) ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ಅಂಶವು ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ /(x, y) ಆದಾಗ್ಯೂ, /(x, y) ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೀಮಿತ ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶ 2 ರಲ್ಲಿ z = /(x, y) ಕಾರ್ಯದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಈ ಪ್ರದೇಶದೊಳಗೆ ಸಾಧಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಹಾಗೆಯೇ ಈ ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾದ (ಚಿಕ್ಕ) 27 ರ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ z = /(x,y) ಕಾರ್ಯದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಸಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸೋಣ. Prmmr. ಪ್ರದೇಶ 4 ರ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಡಿ ಪ್ರದೇಶದೊಳಗಿನ ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಇಲ್ಲಿಂದ x = y « 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಪಾಯಿಂಟ್ 0 (0,0) ಕಾರ್ಯ x ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಈಗ Г ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಗಡಿಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು y = 0 ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರಿಂದ = ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ z ಕಾರ್ಯ = 1 + y2 ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ Г", ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ (, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಸಮ್ಮಿತಿ ಪರಿಗಣನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಗಡಿಯ ಇತರ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಕಾರ್ಯ z = x2+y2 ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ "B ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರದೇಶದ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದು 0(0, 0) ನಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಗಡಿಯ (ಚಿತ್ರ 25) ಚಿತ್ರ 25 ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಟ್ಟದ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ: 9 ಮೂರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: ಕಾರ್ಯಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು : ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: 3 J ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮಮ್ ಹಲವಾರು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಒಂದು ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು 34. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು: 35. ಸಂಕೀರ್ಣದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯ, ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ |J ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು: ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಲಾದ jj ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: 40. x = 3 ನೇರ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಛೇದನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. 41. ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ x ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ. . ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು T: ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಾಮಾನ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ: 49. ಮೇಲ್ಮೈ x2 + 2y2 + 3z2 = 21, ಸಮತಲ x + 4y ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮತಲಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ + 6z = 0. ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೊದಲ ಮೂರು ಅಥವಾ ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ : 50. y ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ (0, 0). ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ :). ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ: 84. ಮುಚ್ಚಿದ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ z = x2 - y2 ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ 85. ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಕಾರ್ಯದ * = x2y (4-x-y) ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ x = 0, y = 0, x + y = b ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದಿದೆ. 88. ಚಿಕ್ಕದಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ತೆರೆದ ಪೂಲ್‌ನ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಅದರ ಪರಿಮಾಣವು V. 87 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ 5 ಅನ್ನು ನೀಡಿದ ಗರಿಷ್ಠ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರದ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಉತ್ತರಗಳು 1. ಮತ್ತು | ಅದರ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ x ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಚೌಕ. 3. ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಉಂಗುರಗಳ ಕುಟುಂಬ 2= 0,1,2,... .4. ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮತಲ. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = -x? ಮೇಲೆ ಇರುವ ಸಮತಲದ ಭಾಗ. 8. ವೃತ್ತದ ಬಿಂದುಗಳು x. ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮತಲವು x ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ j * ^ ಅಥವಾ j x ^ ^ ಇದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಅನಂತ ಸರಣಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಚೌಕಗಳು (ಚಿತ್ರ 26); l ಇದು ಅನಂತ ಸರಣಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. a) ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು x b) ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ವಲಯಗಳು. 10. ಎ) ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಸ್ ವೈ) ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಸ್ ವೈ ಎ) ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಸ್ ಬಿ) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಸ್ | .ಪ್ಲೇನ್ಸ್ xc. 13. ಪ್ರಿಮ್ - ಓಝ್ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಏಕ-ಕುಹರದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ಗಳು; ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು Oz ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ಗಳು, ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಎರಡೂ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಕೋನ್ನಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ, ಬಿ) 0. 18. ನಾವು y = kxt ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ ನಂತರ z lim z = -2, ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ (0,0) ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. 19. a) ಪಾಯಿಂಟ್ (0,0); ಬಿ) ಪಾಯಿಂಟ್ (0,0). 20. a) ಬ್ರೇಕ್ ಲೈನ್ - ವೃತ್ತ x2 + y2 = 1; ಬಿ) ಬ್ರೇಕ್ ಲೈನ್ ನೇರ ರೇಖೆ y = x ಆಗಿದೆ. 21. ಎ) ಬ್ರೇಕ್ ಲೈನ್‌ಗಳು - ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಗಳು ಆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಓಯ್; ಬಿ) 0 (ಖಾಲಿ ಸೆಟ್). 22. ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು (m, n), ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು n ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಯಗಳ ತೀವ್ರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳು.ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ (ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಒಂದು ಹಂತವನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ (ಗರಿಷ್ಠ) ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿ. ಒಂದು ಆತ್ಯಂತಿಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಮೊದಲ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅವು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು, ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳೂ ಇರಬಹುದು.

ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ತೀವ್ರವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ವಿಪರೀತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರ ಎರಡನೇ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವೇಳೆ

ಸ್ಥಿತಿ ನಂತರ ಅದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ವರೂಪದ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇರಬಹುದು.

ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಾ.ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಶಬ್ದಶಃ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ. ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ನಾವು ನಮ್ಮನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಒಬ್ಬರು ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು.

ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶವು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ; ಈ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶವು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ.ಒಂದು ಹಂತವನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕನಿಷ್ಠ (ಗರಿಷ್ಠ) ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದರಲ್ಲಿ (ಕ್ರಮವಾಗಿ) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ

ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿ

ಅಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಗುಣಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಹಾಗೆಯೇ ಸಹಾಯಕ ಅಂಶ A ಯ ಮೌಲ್ಯ). ಈ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ ಇರಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಅಲ್ಲ: ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಅದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಾರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ.ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ