ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣ. ಎಲಿಪ್ಸ್ ಆಸ್ತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ನಿರ್ಮಾಣ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.1.ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ದೂರದ ಮೊತ್ತವನ್ನು F 1 ಮತ್ತು F 2 ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರ್ಮಾಣದ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು F 1 ಮತ್ತು F 2 ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 2a ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. F 1 ಮತ್ತು F 2 ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 2c ಆಗಿರಲಿ. 2a ಉದ್ದದ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗದ ಥ್ರೆಡ್ ಅನ್ನು ಎಫ್ 1 ಮತ್ತು ಎಫ್ 2 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಸೂಜಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ. ಇದು ಒಂದು ≥ c ಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಪೆನ್ಸಿಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಥ್ರೆಡ್ ಅನ್ನು ಎಳೆದ ನಂತರ, ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ, ಅದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 7.1).

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿವರಿಸಿದ ಸೆಟ್ ಖಾಲಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ a ≥ c. ಯಾವಾಗ a = c, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು F 1 ಮತ್ತು F 2 ಅಂತ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು c = 0 ಆಗಿರುವಾಗ, ಅಂದರೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ಅದು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ a. ಈ ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಿ, ನಿಯಮದಂತೆ, a > c > 0 ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.1 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳು ಎಫ್ 1 ಮತ್ತು ಎಫ್ 2 (ಚಿತ್ರ 7.1 ನೋಡಿ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು 2c ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, - ನಾಭಿದೂರ, ಮತ್ತು F 1 M ಮತ್ತು F 2 M ವಿಭಾಗಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು M ಅನ್ನು ಅದರ ಕೇಂದ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಆಕಾರವನ್ನು ನಾಭಿದೂರದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ |F 1 F 2 | = 2c ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ a, ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸ್ಥಾನ - ಒಂದು ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳು F 1 ಮತ್ತು F 2.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು foci F 1 ಮತ್ತು F 2 ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ F 1 F 2 ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸುವ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ (ಚಿತ್ರ 7.2, a). ಈ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಕ್ಷಗಳು. ಅವುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದು O ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ, ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳು (ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ A, B, C ಮತ್ತು D ಅಂಕಗಳು. 7.2, a) - ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಶೃಂಗಗಳು.

ಸಂಖ್ಯೆ a ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರ್ಧ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷ, ಮತ್ತು b = √(a 2 - c 2) - ಅದರ ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷ. c > 0 ಗಾಗಿ, ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ (ಶೃಂಗಗಳು A ಮತ್ತು B Fig. 7.2, a), ಮತ್ತು ಅರೆ-ಚಿಕ್ಕ ಅಕ್ಷದ b ಕೇಂದ್ರ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದಿಂದ ಅದರ ಎರಡು ಇತರ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 7.2, a ನಲ್ಲಿ C ಮತ್ತು D ಶೃಂಗಗಳು).

ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಸಮೀಕರಣ. F 1 ಮತ್ತು F 2, ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷ 2a ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. 2c ಫೋಕಲ್ ಲೆಂತ್ ಆಗಿರಲಿ, 2c = |F 1 F 2 |

ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ಆಕ್ಸಿ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಮೂಲವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಆನ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. x-ಅಕ್ಷ(ಚಿತ್ರ 7.2, ಬಿ). ಅಂತಹ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂಗೀಕೃತಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ, ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅಂಗೀಕೃತ.

ಆಯ್ದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಫೋಸಿಗಳು ಎಫ್ 1 (ಸಿ; 0), ಎಫ್ 2 (-ಸಿ; 0) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಷರತ್ತು |F 1 M| ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ + |F 2 M| = 2a ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಅನಾನುಕೂಲವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎರಡು ಚದರ ರಾಡಿಕಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (7.2) ಎರಡನೇ ಆಮೂಲಾಗ್ರವನ್ನು ಸರಿಸೋಣ ಬಲಭಾಗದಮತ್ತು ಚೌಕಾಕಾರ:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆದ ನಂತರ ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತಂದ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

ಅಲ್ಲಿ ε = c/a. ಎರಡನೇ ಆಮೂಲಾಗ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ನಾವು ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ಅಥವಾ, ನಮೂದಿಸಿದ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ε ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. a 2 ರಿಂದ - c 2 = b 2 > 0, ನಂತರ

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

ಸಮೀಕರಣವು (7.4) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ. ಆದರೆ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುವಾಗ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ (7.2) ಯಾವುದೇ ಸಮಾನವಲ್ಲದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು - ಚದರ ರಾಡಿಕಲ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಎರಡು ಚೌಕಗಳು. ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದು ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ನಮ್ಮ ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಿಲ್ಲ.

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳು F 1 ಮತ್ತು F 2, |F 1 F 2 | = 2c, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಫೋಸಿಯೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಎಫ್ 1 ಎಫ್ 2 ವಿಭಾಗದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಮತಲದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಸೂಚಿಸಿದ ಕುಟುಂಬದ ಕೆಲವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಛೇದಕಗಳಿಲ್ಲದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳ ವಿವರಿಸಿದ ಕುಟುಂಬವು ಎಫ್ 1 ಎಫ್ 2 ವಿಭಾಗದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇಡೀ ಸಮತಲವನ್ನು ಆವರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಯತಾಂಕದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (7.4) ಪೂರೈಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹಲವಾರು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳ ನಡುವೆ ವಿತರಿಸಬಹುದೇ? ಸೆಟ್‌ನ ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳು ಸೆಮಿಮೇಜರ್ ಆಕ್ಸಿಸ್ a ಜೊತೆಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅರೆಮೇಜರ್ ಅಕ್ಷ a ದೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿರಲಿ. ನಂತರ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆ

ಆ. ಸಮೀಕರಣಗಳು (7.4) ಮತ್ತು (7.5) ಹೊಂದಿವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ

ã ≠ a ಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿದರೆ ಸಾಕು:

ಇದು ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ

ಇದು ã ≠ a ಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ರಿಂದ . ಆದ್ದರಿಂದ, (7.4) ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ a > 0 ಮತ್ತು ಅರೆ-ಚಿಕ್ಕ ಅಕ್ಷ b =√(a 2 - c 2) > 0. ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂಗೀಕೃತ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ನೋಟ.ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನವು ಸಾಕಷ್ಟು ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡದೀರ್ಘವೃತ್ತ. ಆದರೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಆಕಾರವನ್ನು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (7.4) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು y ≥ 0 ಎಂದು ಊಹಿಸಿ, y ಅನ್ನು x ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು: y = b√(1 - x 2 /a 2), ಮತ್ತು, ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ (7.4) ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತವನ್ನು x 2 + y 2 = a 2 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಗುಣಾಂಕ a/b> 1 ಜೊತೆಗೆ ಸಂಕುಚಿತಗೊಂಡಿದ್ದರೆ y-ಅಕ್ಷ, ನಂತರ ನೀವು x 2 + (ya/b) 2 = a 2 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಅಂದರೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ 7.1.ಅದೇ ವೃತ್ತವನ್ನು a/b ಅಂಶದಿಂದ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಫೋಕಲ್ ಲೆಂತ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಮತ್ತು ε ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ (7.4), ε = 2c/2a = c/a. (7.4) ನಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಅಸಮಾನತೆ a ನಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದರೆ

ಯಾವಾಗ c = 0, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿದಾಗ, ಮತ್ತು ε = 0. ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, 0

ಸಮೀಕರಣ (7.3) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (7.4) ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು (7.4) ಮತ್ತು (7.2) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವೂ ಸಹ (7.3) ಆಗಿದೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಸಂಬಂಧ (7.3) ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಉದ್ದ |F 2 M|ಗೆ ಸರಳವಾದ, ಮೂಲಭೂತ-ಮುಕ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ M(x; y) ಬಿಂದುವಿನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು: |F 2 M| = a + εx.

ಎರಡನೇ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಪರಿಗಣನೆಗಳಿಂದ ಅಥವಾ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೊದಲು (7.2), ಮೊದಲ ಆಮೂಲಾಗ್ರವನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಅಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ M(x; y) ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ (Fig. 7.2 ನೋಡಿ)

|ಎಫ್ 1 ಎಂ | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7.1.ಸೆಮಿಮೇಜರ್ ಅಕ್ಷ 5 ಮತ್ತು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ 0.8 ನೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು a = 5 ಮತ್ತು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ε = 0.8, ನಾವು ಅದರ ಅರೆ-ಮೈನರ್ ಅಕ್ಷ b ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. b = √(a 2 - c 2), ಮತ್ತು c = εa = 4, ನಂತರ b = √(5 2 - 4 2) = 3. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವು x 2/5 2 + y 2/3 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ 2 = 1. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಆಯತವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಬದಿಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತಿ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 1). 7.4). ಈ ಆಯತವು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಕ್ಷಗಳು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 7.4 ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಎಫ್ 1.2 (± 4; 0) ಅನ್ನು ಸಹ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (7.6) |F 1 M| ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ = (a/ε - x)ε. ಫೋಕಸ್ F 1 ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರದ ಕಾರಣ, a > c ಗಾಗಿ a/ε - x ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಲಂಬ ರೇಖೆಯ ದೂರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ d: x = a/ε ಬಿಂದುವಿನಿಂದ M(x; y) ಈ ಸಾಲಿನ ಎಡಕ್ಕೆ ಇರುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

ಇದರರ್ಥ ಈ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಸಮತಲದ M(x; y) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯದ F 1 M ನ ಉದ್ದದ ಅನುಪಾತವು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಂತರಕ್ಕೆ d ε ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (Fig. 7.5).

ನೇರ ರೇಖೆಯು "ಡಬಲ್" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ d ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವ ಲಂಬವಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯು d ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ x = -a/ε ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಡಿ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ. d ಮತ್ತು d" ಎರಡೂ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅದರ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುಗಳಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿ a/ε = a 2 /c (Fig. 7.5 ನೋಡಿ).

ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಅದರ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಫೋಕಸ್‌ಗೆ ಇರುವ ದೂರವನ್ನು p ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಫೋಕಲ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್. ಈ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯ F 1 M ಮತ್ತು F 2 M ಬಿಂದು M (Fig. 7.6) ನಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಈ ಆಸ್ತಿ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ. ಫೋಕಸ್ ಎಫ್ 1 ನಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ಮೂಲವನ್ನು ಇರಿಸಿದರೆ, ಈ ಫೋಕಸ್‌ನಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಕಿರಣವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದಿಂದ ಪ್ರತಿಫಲನದ ನಂತರ ಎರಡನೇ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ನಂತರ ಅದು ಪ್ರತಿಫಲನದ ಮೊದಲು ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಅದೇ ಕೋನದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಫೋಕಸ್ ಎಫ್ 1 ನಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಿರಣಗಳು ಎರಡನೇ ಫೋಕಸ್ ಎಫ್ 2 ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಆಸ್ತಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಈ ಸಮತಲದ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ದೂರದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಫೋಸಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಫೋಸಿಯ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ) .

ಫೋಸಿಯನ್ನು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ - ಮೂಲಕ , ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯ, ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಫೋಸಿಗೆ ದೂರ, ಮೂಲಕ (ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ).

ನಾವು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ ಇದರಿಂದ ಫೋಸಿಗಳು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವು ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 44). ನಂತರ foci ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: ಎಡ ಗಮನ ಮತ್ತು ಬಲ ಫೋಕಸ್. ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಫೋಸಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಥವಾ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸರಳೀಕರಣಗಳ ನಂತರ:

ಈಗ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಅಥವಾ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ

ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (26) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣ (29) ಸಮೀಕರಣದ (26) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಕೂಡ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರದ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (29) ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣ (29) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಆಕಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸೋಣ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡೋಣ ಪದವಿಗಳನ್ನೂ ಸಹ x ಮತ್ತು y. ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು ಇರುವ ಅಕ್ಷ (ಇನ್ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ x-ಆಕ್ಸಿಸ್) ಅನ್ನು ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಆಕಾರವನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, y ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (28) ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ಇಲ್ಲಿ , y ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ನೀವು 0 ರಿಂದ a ಗೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, y b ನಿಂದ 0 ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಇರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಭಾಗವು B (0; b) ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆರ್ಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿರುತ್ತದೆ (Fig. 45). ಈಗ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. 45.

ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಶೃಂಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಶೃಂಗಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಚಿತ್ರ 45 ನೋಡಿ).

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿರುದ್ಧ ಶೃಂಗಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಫೋಸಿಯ ನಡುವಿನ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಅಂತರವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ಏಕತೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದರಿಂದ: ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಆಕಾರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸೂತ್ರದಿಂದ (28) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ಚಿಕ್ಕದಾದಷ್ಟೂ ಅದರ ಚಿಕ್ಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷದ b ಪ್ರಮುಖ ಅರೆ-ಅಕ್ಷದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು (ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ) ಕಡಿಮೆ ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ a: , ಅಥವಾ . ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಲೀನಗೊಳ್ಳುವಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ - ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ. ವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು. ಅರೆ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು a ಮತ್ತು b ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸೋಣ.

P ಮತ್ತು Q ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅಂತಹ ಕೋನವನ್ನು ತಮ್ಮ ನಡುವೆ ರೂಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ a, ಇದಕ್ಕಾಗಿ (Fig. 46). ನಾವು P ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ, ಮತ್ತು Q ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿ Oxy ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲ O ಮತ್ತು ಸಮತಲಗಳ ಛೇದನದ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಸಾಮಾನ್ಯ abscissa ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ. P ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು a ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ. ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, Q ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿರಲಿ. ಬಿಂದುವು ಅರೆ ಅಕ್ಷಗಳು a ಮತ್ತು b ಯೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳುಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೇಖೆಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು Xಮತ್ತು ವೈಎರಡನೇ ಪದವಿಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಸೇರಿವೆ.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕರ್ವ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

ಎಲ್ಲಿ ಎ, ಬಿ, ಸಿ, ಡಿ, ಇ, ಎಫ್- ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಗುಣಾಂಕ ಎ, ಬಿ, ಸಿಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅವುಗಳಿಗೆ ಹೋಗುವುದು ಸುಲಭ; ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆ 1 ಇದಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಿದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಫೋಸಿ ಎಂಬ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ದೂರದ ಮೊತ್ತವು ಫೋಸಿಯ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಫೋಕಸ್‌ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಎಲ್ಲಿ ಎಮತ್ತು ಬಿ (ಎ > ಬಿ) - ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಗಳು, ಅಂದರೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿದ ಭಾಗಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉದ್ದಗಳು.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಅದರ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಮತ್ತೊಂದು ಅಕ್ಷವು ಈ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಡಾಟ್ ಬಗ್ಗೆಈ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷವು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ( ಎ, ಬಗ್ಗೆ) ಮತ್ತು (- ಎ, ಬಗ್ಗೆ), ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷವು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿದೆ ( ಬಿ, ಬಗ್ಗೆ) ಮತ್ತು (- ಬಿ, ಬಗ್ಗೆ) ಈ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಶೃಂಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. x- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅದರ ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ - ಅದರ ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷ. ಮೇಲಿನಿಂದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದವರೆಗಿನ ಅವುಗಳ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ = ಬಿ, ನಂತರ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಇದು ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಎ, ಮತ್ತು ವೃತ್ತವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣದೀರ್ಘವೃತ್ತ. ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದಿಂದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ ಎ/ಬಿಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬಾರಿ ಓಹ್ .

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಸಾಲು ಇದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ , ದೀರ್ಘವೃತ್ತ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ. ನಾವು ಮುಕ್ತ ಪದದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾವಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಯ ವಿಭಜನೆ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕಡಿತ:

ಉತ್ತರ. ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆದ ಸಮೀಕರಣವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ರೇಖೆಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 5 ಮತ್ತು 4 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ಸೆಮಿಮೇಜರ್ ಅಕ್ಷ ಎ= 5, ಸೆಮಿಮೈನರ್ ಆಕ್ಸಿಸ್ ಆಗಿದೆ ಬಿ= 4. ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು , ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ

ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ತಂತ್ರಗಳು.

ಎಂದು ಕರೆದರು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆದೀರ್ಘವೃತ್ತ.

ವರ್ತನೆ ಬಿ/ಎದೀರ್ಘವೃತ್ತದ "ಓಬ್ಲೇಟ್ನೆಸ್" ಅನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಅನುಪಾತವು ಚಿಕ್ಕದಾದಷ್ಟೂ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಉದ್ದನೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳಿಗೆ, ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು 0 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಏಕತೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಫೋಸಿಯ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 8 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷವು 10 ಆಗಿದ್ದರೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಕೆಲವು ಸರಳ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷವು 10 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಅರ್ಧ, ಅಂದರೆ ಅರೆ-ಅಕ್ಷ ಎ = 5 ,

foci ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 8 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿಫೋಕಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು 4 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ಫಲಿತಾಂಶವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 4.ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮುಖ್ಯ ಅಕ್ಷವು 26 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷದ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಎರಡರಿಂದಲೂ ಕೆಳಗಿನಂತೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರೆಮೇಜರ್ ಅಕ್ಷ ಎ= 13. ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಸಿ, ಮೈನರ್ ಅರೆ-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

.

ಸಣ್ಣ ಅರೆ-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದದ ಚೌಕವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 5.ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಸಿ, ಇದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುಗಳ ಮೊದಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ:

.

ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 6.ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ ಎತ್ತುಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿ:

1) ಫೋಕಸ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 30 ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷವು 34 ಆಗಿದೆ

2) ಮೈನರ್ ಆಕ್ಸಿಸ್ 24, ಮತ್ತು ಫೋಕಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ (-5; 0)

3) ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವು ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ (6; 0)

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸೋಣ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ (ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಲ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಫೋಸಿಯಿಂದ ಈ ಹಂತಕ್ಕೆ ದೂರವಾಗಿದ್ದರೆ, ದೂರದ ಸೂತ್ರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಫೋಸಿಯಿಂದ ದೂರದ ಮೊತ್ತವು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಎ.

ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಾಲುಗಳು

ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಮುಖ್ಯೋಪಾಧ್ಯಾಯಿನಿಗಳುದೀರ್ಘವೃತ್ತ (ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕೆಂಪು ರೇಖೆಗಳಿವೆ).

ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಇದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

,

ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಅಂತರಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು .

ಉದಾಹರಣೆ 7.ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

.

ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 8.ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಫೋಸಿಗಳು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೇಖೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು. ಸೆಮಿಸ್ಟರ್ 1.

ಉಪನ್ಯಾಸ 15. ಎಲಿಪ್ಸ್.

ಅಧ್ಯಾಯ 15. ಎಲಿಪ್ಸ್.

ಷರತ್ತು 1. ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಸಮತಲದ GMT ಆಗಿದೆ, ಫೋಸಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಮತಲದ ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ದೂರದ ಮೊತ್ತವು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಮತಲದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು M ನಿಂದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು M ಬಿಂದುವಿನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹುದ್ದೆಗಳು:
- ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ,
- M ಬಿಂದುವಿನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, M ಬಿಂದುವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ
- ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯ. ಈ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 2a ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

. (1)

ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸು
.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಅದರ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುಗಳು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ನಾಭಿದೂರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹುದ್ದೆ:
.

ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ
ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
, ಅಂದರೆ

.

ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು b ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ
, ಅಂದರೆ

. (2)

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ವರ್ತನೆ

(3)

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ, ಅದನ್ನು ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವು ಇರುವ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕಾಗಿ ಅಂಗೀಕೃತ PDSC ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ, ಚಿತ್ರ 2 ನೋಡಿ.

ನಾವು ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ
ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ.

ನಂತರ ಫೋಸಿಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ
,
.

ಷರತ್ತು 2. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ.

ಪ್ರಮೇಯ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

. (4)

ಪುರಾವೆ. ನಾವು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (4) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣ (4) ಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ಅದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (4) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದ ಆ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಮಾತ್ರ. ಇದರಿಂದ ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (4) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

1) M(x, y) ಬಿಂದುವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ. ಅದರ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಮೊತ್ತವು 2a ಆಗಿದೆ:

.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು M ನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

,
, ನಾವು ಎಲ್ಲಿಂದ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಸರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸೋಣ:

ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, 4 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಆಮೂಲಾಗ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ:

.

ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮಾಡುವುದು

ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ
:

ನಾವು ಎಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಮಾನತೆ (2) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

.

ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು
, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (4), ಇತ್ಯಾದಿ.

2) ಈಗ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (x, y) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (4) ಪೂರೈಸಲಿ ಮತ್ತು M(x, y) ಸಮನ್ವಯ ಸಮತಲ Oxy ನಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ.

ನಂತರ (4) ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

.

ನಾವು ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

.

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮಾನತೆ (2) ಮತ್ತು (3) ಅನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ,
. ಅಂತೆಯೇ,
.

ಈಗ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ (4) ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ

ಅಥವಾ
ಇತ್ಯಾದಿ
, ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

.

ಇಲ್ಲಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಅದು

ಅಥವಾ
ಮತ್ತು

,
. (5)

ಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ (5) ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
, ಅಂದರೆ M(x, y) ಬಿಂದುವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಒಂದು ಬಿಂದು, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಮೀಕರಣ (4) ಅನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರಧಾನ ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಷರತ್ತು 3. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಪ್ರಮೇಯ. (ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.)

1. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕಾಗಿ ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲವೂ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಬಿಂದುಗಳು ಆಯತದಲ್ಲಿವೆ

,
.

2. ಅಂಕಗಳು ಸುಳ್ಳು

3. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಅವರ ಮುಖ್ಯ ಅಕ್ಷಗಳು.

4. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಅದರ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ. 1, 2) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

3, 4) M(x, y) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (4) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ನಂತರ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (4) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಇದರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ.

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಪ್ರಮಾಣ 2a ಅನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು a ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಪ್ರಮಾಣ 2b ಅನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೈನರ್ ಆಕ್ಸಿಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು b ಅನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರೆಮೈನರ್ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಶೃಂಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ, ನಾವು "ನಾಭಿ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಉಗುರು ಸುತ್ತಿಗೆ" ಮತ್ತು ಅವರಿಗೆ ಥ್ರೆಡ್ ಉದ್ದವನ್ನು ಜೋಡಿಸುತ್ತೇವೆ
. ನಂತರ ನಾವು ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಥ್ರೆಡ್ ಅನ್ನು ಬಿಗಿಗೊಳಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಸೀಸವನ್ನು ಸಮತಲದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ಥ್ರೆಡ್ ಬಿಗಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ನಾವು ಎ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸೋಣ. ನಂತರ ನಲ್ಲಿ
,
ಮತ್ತು
. ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ

ಅಥವಾ
- ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣ.

ಈಗ ನಿರ್ದೇಶಿಸೋಣ
. ನಂತರ
,
ಮತ್ತು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ
ಚಿತ್ರ 3 ರ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ.

ಷರತ್ತು 4. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಪ್ರಮೇಯ. ಅವಕಾಶ
- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

,
(6)

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ.

ಪುರಾವೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (6) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (4) ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕು, ಅಂದರೆ. ಅವರು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ.

1) ಸಿಸ್ಟಮ್ (6) ಗೆ (x, y) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪರಿಹಾರವಾಗಿರಲಿ. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು a ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಎರಡನೆಯದನ್ನು b ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಸೇರಿಸಿ:

.

ಆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರ (x, y) (6) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (4) ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

2) ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಜೋಡಿ (x, y) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (4) ಪರಿಹಾರವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ.

.

ಈ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಇದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಘಟಕ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನವು ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ
:

ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

,
, ಎಲ್ಲಿ
, ಇದು ಜೋಡಿ (x, y) ಸಿಸ್ಟಮ್ (6) ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಕಡೆಗೆ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ಏಕರೂಪದ "ಸಂಕುಚನ" ದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಅವಕಾಶ
- ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣ. ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ವೃತ್ತದ "ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುವಿಕೆ" ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು M(x, y) ಗೆ ನಾವು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ
, ಎಲ್ಲಿ
,
- ಸಂಕೋಚನ ಅನುಪಾತ.

ಈ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ, ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ "ಪರಿವರ್ತನೆ" ಆಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದೇ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಆರ್ಡಿನೇಟ್. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಹಳೆಯ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಸದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:

ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:

.

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

. (7)

"ಸಂಕೋಚನ" ರೂಪಾಂತರದ ಮೊದಲು M (x, y) ಬಿಂದುವು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದವು, ನಂತರ "ಸಂಕೋಚನ" ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ ಈ ಬಿಂದುವು "ಪರಿವರ್ತನೆ" ಬಿಂದುವಿಗೆ
, ಇದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (7) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ನಾವು ಸೆಮಿಮೈನರ್ ಆಕ್ಸಿಸ್ಬ್ನೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನಾವು ಸಂಕೋಚನ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ

.

ಷರತ್ತು 5. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಅವಕಾಶ
- ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು

.

ನಂತರ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಈ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣ
ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

. (8)

ಪುರಾವೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದ ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುವಿದ್ದಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಕು:
. ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

. (9)

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸೋಣ
ಹಂತದಲ್ಲಿ
:

ಎಲ್ಲಿ
- ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯ
. ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ (8) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸ್ಪರ್ಶದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

,

. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದು ಎಂಬ ಅಂಶದ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ
ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (9) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ.

.

ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (10) ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

,

ನಾವು ಎಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ:

ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸೋಣ
:

.

ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಉಳಿದಿದೆ
, ಏಕೆಂದರೆ ಚುಕ್ಕೆ
ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದ ಮೂರನೇ ಅಥವಾ ನಾಲ್ಕನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಟ್ಯಾಂಜೆನ್ಸಿಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವು (8) ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣವು (8) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು
,
:

ಅಥವಾ
, ಮತ್ತು
ಅಥವಾ
.

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಷರತ್ತು 6. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕನ್ನಡಿ ಆಸ್ತಿ.

ಪ್ರಮೇಯ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಅವಕಾಶ
- ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದು,
,
– ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುವಿನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು, P ಮತ್ತು Q – ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಮೇಲಿನ ಫೋಸಿಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು
.

ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯ ಹೇಳುತ್ತದೆ

. (11)

ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅದರ ಗಮನದಿಂದ ಬಿಡುಗಡೆಯಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದಿಂದ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣದ ಘಟನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನದ ಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಬಹುದು. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕನ್ನಡಿ ಆಸ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕನ್ನಡಿಯಿಂದ ಪ್ರತಿಫಲನದ ನಂತರ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುದಿಂದ ಬಿಡುಗಡೆಯಾದ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮತ್ತೊಂದು ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ. ಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು (11), ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ
ಮತ್ತು
, ಇದರಲ್ಲಿ ಪಕ್ಷಗಳು
ಮತ್ತು
ಇದೇ ಇರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಲಂಬಕೋನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕು

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಿಂದ ಎರಡು ನೀಡಿದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ F_1 ಅಂತರಗಳ ಮೊತ್ತ, ಮತ್ತು F_2 ಇವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ (2c) ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (2a) ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ(ಚಿತ್ರ 3.36, ಎ). ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಫೋಕಲ್ ಆಸ್ತಿ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಫೋಕಲ್ ಆಸ್ತಿ

F_1 ಮತ್ತು F_2 ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಫೋಸಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 2c=F_1F_2 ನಾಭಿದೂರವಾಗಿದೆ, F_1F_2 ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದ O ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 2a ಎಂಬುದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತ (ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಸಂಖ್ಯೆ a ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ). ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು M ಅನ್ನು ಅದರ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ F_1M ಮತ್ತು F_2M ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು M ಬಿಂದುವಿನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸ್ವರಮೇಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

e=\frac(c)(a) ಅನುಪಾತವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ (2a>2c) ಇದು 0\leqslant e ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಅದರ ಫೋಕಲ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು, ಅದರ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ - ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆ:

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (Fig. 3.36c) ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ O ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ; ನಾವು ಫೋಸಿ (ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷ ಅಥವಾ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೊದಲ ಅಕ್ಷ) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಅದರ ಮೇಲೆ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ F_2 ಪಾಯಿಂಟ್ ವರೆಗೆ); ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗೋಣ (ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಎರಡನೇ ಅಕ್ಷ) .

ಫೋಕಲ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ. ಆಯ್ದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಫೋಸಿಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ F_1(-c,0),~F_2(c,0). ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು M(x,y) ಗಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

ನಾವು ಎರಡನೇ ರಾಡಿಕಲ್ ಅನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತರುತ್ತೇವೆ:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\ಲೆಫ್ಟ್‌ರೈಟ್‌ಟಾರೋ ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\ಲೆಫ್ಟ್‌ರೈಟ್‌ಟಾರೋ~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ನಂತರ b=\sqrt(a^2-c^2)>0, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು a^2b^2\ne0 ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದೀರ್ಘವೃತ್ತ:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಂಗೀಕೃತವಾಗಿದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ವೃತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 3.36,6), ಏಕೆಂದರೆ a=b. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಂಗೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತದೆ O\equiv F_1\equiv F_2, ಮತ್ತು x^2+y^2=a^2 ಸಮೀಕರಣವು O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು a ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ.

ತರ್ಕಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮ, ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (3.49) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ಮಾತ್ರ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬಿಂದುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಫೋಕಲ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಡೈರೆಕ್ಟರಿ ಆಸ್ತಿ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಅದರಿಂದ ಅದೇ ದೂರದಲ್ಲಿ \frac(a^2)(c). c=0 ನಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ವೃತ್ತವಾಗಿರುವಾಗ, ಯಾವುದೇ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇರುವುದಿಲ್ಲ (ನಿರ್ದೇಶನಗಳು ಅನಂತದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು).

ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ 0 ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ ದೂರದ ಅನುಪಾತ ಎಫ್ (ಫೋಕಸ್) ನೀಡಿದ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ದೂರಕ್ಕೆ d (ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಇ ( ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ನಿರ್ದೇಶಕ ಆಸ್ತಿ). ಇಲ್ಲಿ F ಮತ್ತು d ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ. F_1,d_1 ಅಥವಾ F_2,d_2 .

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫೋಕಸ್ F_2 ಮತ್ತು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ d_2 (Fig. 3.37,6) ಸ್ಥಿತಿ \frac(r_2)(\rho_2)=eನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

ಅತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವುದು ಮತ್ತು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, ನಾವು ಅಂಗೀಕೃತ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (3.49) ತಲುಪುತ್ತೇವೆ. ಫೋಕಸ್ F_1 ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಕರಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣ

ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ F_1r\varphi (Fig. 3.37, c ಮತ್ತು 3.37 (2)) ನಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

ಇಲ್ಲಿ p=\frac(b^2)(a) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಫೋಕಲ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಧ್ರುವವಾಗಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಎಡ ಫೋಕಸ್ F_1 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ರೇ F_1F_2 ಧ್ರುವೀಯ ಅಕ್ಷವಾಗಿ (Fig. 3.37, c). ನಂತರ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು M(r,\varphi) ಗೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ (ಫೋಕಲ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ) ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು r+MF_2=2a ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. M(r,\varphi) ಮತ್ತು F_2(2c,0) ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ (ನೋಡಿ):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು F_1M+F_2M=2a ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

ನಾವು ಆಮೂಲಾಗ್ರ, ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

ಧ್ರುವೀಯ ತ್ರಿಜ್ಯ r ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಬದಲಿ ಮಾಡಿ e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ (ಚಿತ್ರ 3.37, a ನೋಡಿ) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು (ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಶೃಂಗಗಳು). ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ y=0 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ): x=\pm a. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಒಳಗಿರುವ ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷದ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವು 2a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು, ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ a ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ. x=0 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು y=\pm b ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಒಳಗೆ ಇರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಎರಡನೇ ಅಕ್ಷದ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವು 2b ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೈನರ್ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸೆಮಿಮೈನರ್ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ.

ನಿಜವಾಗಿಯೂ, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆ b=a ಅನ್ನು c=0 ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ವರ್ತನೆ k=\frac(b)(a)\leqslant1ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಂಕೋಚನ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು 3.9

1. ನೇರ ರೇಖೆಗಳು x=\pm a,~y=\pm b ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಆಯತವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ, ಅದರೊಳಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಿದೆ (Fig. 3.37, a ನೋಡಿ).

2. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ವೃತ್ತವನ್ನು ಅದರ ವ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಕುಗ್ಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಆಕ್ಸಿಯಲ್ಲಿನ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು x^2+y^2=a^2 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. 0 ರ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ x- ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಿದಾಗ

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(ಕೇಸ್)

x=x" ಮತ್ತು y=\frac(1)(k)y" ವಲಯಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, M(x, x,) ಬಿಂದುವಿನ M"(x",y") ಚಿತ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. y) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

ರಿಂದ b=k\cdot a . ಇದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

3. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು (ಕ್ಯಾನೋನಿಕಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳಾಗಿವೆ (ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮುಖ್ಯ ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಅದರ ಕೇಂದ್ರವು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, M(x,y) ಬಿಂದುವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ . ನಂತರ ಅಂಕಗಳು M"(x,-y) ಮತ್ತು M""(-x,y), ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ M ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದೇ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ.

4. ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(ಚಿತ್ರ 3.37, c ನೋಡಿ), ಫೋಕಲ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ - ಇದು ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಅದರ ಫೋಕಸ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸ್ವರಮೇಳದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ (r=p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ಇ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಆಕಾರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ದೊಡ್ಡದಾದ e, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಹೆಚ್ಚು ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು e ಸೊನ್ನೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (Fig. 3.38a). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, e=\frac(c)(a) ಮತ್ತು c^2=a^2-b^2 , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

ಇಲ್ಲಿ k ಎಂಬುದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಂಕುಚಿತ ಅನುಪಾತ, 0

6. ಸಮೀಕರಣ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 a ನಲ್ಲಿ

7. ಸಮೀಕರಣ \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b O"(x_0,y_0) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳ ಅಕ್ಷಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (Fig. 3.38, c). ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಭಾಷಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂಗೀಕೃತ ಒಂದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ (3.36).

ಯಾವಾಗ a=b=R ಸಮೀಕರಣ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 O"(x_0,y_0) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ R ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (3.49) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಮುಖ್ಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ \cos^2t+\sin^2t=1.

ಉದಾಹರಣೆ 3.20.ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಆಕ್ಸಿಯಲ್ಲಿ. ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳು, ನಾಭಿದೂರ, ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ, ಸಂಕೋಚನ ಅನುಪಾತ, ಫೋಕಲ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್, ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿ, ನಾವು ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ: a=2 - ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷ, b=1 - ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರೆ-ಚಿಕ್ಕ ಅಕ್ಷ. ನಾವು ಮೂಲ ಆಯತವನ್ನು 2a = 4, ~ 2b = 2 ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ (Fig. 3.39). ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಆಯತಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ x=1 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \ಲೆಫ್ಟ್‌ರೈಟ್‌ಟಾರೋ \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \ಲೆಫ್ಟ್‌ರೈಟ್‌ಟಾರೋ \ ಕ್ವಾಡ್ y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಳು \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\ಬಲ)- ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ.

ಸಂಕೋಚನ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ನಾಭಿದೂರ 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ಫೋಕಲ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). ನಾವು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).