ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ ಈ ಹಂತದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಕೊಲಿನಿಯರ್.

ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ ಎಲ್ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿತಿಯು ಅವರಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

.

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೀ , ಎನ್ಮತ್ತು ಪನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಾಗಿವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೀ , ಎನ್ಮತ್ತು ಪಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಶೂನ್ಯವಾಗಬಹುದು. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ನಮೂದನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ:

,

ಅಂದರೆ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳು ಓಹ್ಮತ್ತು ಓಝ್ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಗಳೆರಡೂ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಓಹ್ಮತ್ತು ಓಝ್, ಅಂದರೆ ವಿಮಾನಗಳು yOz .

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಮತಲದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಓಝ್ .

ಪರಿಹಾರ. ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಮತಲದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಓಝ್. ಯಾವುದೇ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿರುವುದರಿಂದ ಓಝ್, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಂತರ, ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ x = y = 0, ನಾವು 4 ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ z- 8 = 0 ಅಥವಾ z= 2. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಮತಲದ ಛೇದನದ ಬಿಂದು ಓಝ್ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (0; 0; 2) . ಬಯಸಿದ ರೇಖೆಯು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಬಹುದು ನೀಡಿದ ವಿಮಾನ.

ಈಗ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಎ= (0; 0; 2) ವೆಕ್ಟರ್ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ:

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಬಹುದು. ನಂತರ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತವೆ

.

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು .

ಪರಿಹಾರ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಉಲ್ಲೇಖದಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

.

ರಿಂದ , ನಂತರ ಬಯಸಿದ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಓಹ್ .

ವಿಮಾನಗಳ ಛೇದನದ ರೇಖೆಯಂತೆ ನೇರವಾಗಿ

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರವಲ್ಲದ ಸಮತಲಗಳ ಛೇದನದ ರೇಖೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಂದರೆ, ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಿದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ. ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಅಥವಾ, ಅದೇ ವಿಷಯವೆಂದರೆ, ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ನೀವು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅವು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಿಮಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ yOzಮತ್ತು xOz .

ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಛೇದನದ ಬಿಂದು yOz abscissa ಹೊಂದಿದೆ X= 0. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಊಹಿಸುವುದು X= 0, ನಾವು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅವಳ ನಿರ್ಧಾರ ವೈ = 2 , z= 6 ಜೊತೆಗೆ X= 0 ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎ(0; 2; 6) ಬಯಸಿದ ಸಾಲು. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನೀಡಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಊಹಿಸಿ ವೈ= 0, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅವಳ ನಿರ್ಧಾರ X = -2 , z= 0 ಜೊತೆಗೆ ವೈ= 0 ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಬಿ(-2; 0; 0) ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಛೇದನ xOz .

ಈಗ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಎ(0; 2; 6) ಮತ್ತು ಬಿ (-2; 0; 0) :

,

ಅಥವಾ ಛೇದಗಳನ್ನು -2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ನಂತರ:

,

ರೇಖೆಯು M 1 (x 1; y 1) ಮತ್ತು M 2 (x 2; y 2) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಲಿ. ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು y-y 1 = ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಕೆ (x - x 1), (10.6)

ಎಲ್ಲಿ ಕೆ - ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕ.

ಸರಳ ರೇಖೆಯು M 2 (x 2 y 2) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದರಿಂದ, ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು (10.6): y 2 -y 1 = ಕೆ (x 2 - x 1).

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಕೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (10.6), ನಾವು M 1 ಮತ್ತು M 2 ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ

x 1 = x 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, M 1 (x 1,y I) ಮತ್ತು M 2 (x 2,y 2) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಸಮೀಕರಣ ಹೀಗಿದೆ x = x 1 .

y 2 = y I ಆಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು y = y 1 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಸರಳ ರೇಖೆ M 1 M 2 ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು M 1 (a;0) ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು Oy ಅಕ್ಷವನ್ನು M 2 (0;b) ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:
ಆ.
. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ, ಏಕೆಂದರೆ a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ರೇಖೆಯು ಯಾವ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಪಾಯಿಂಟ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ Mo (x O; y o) ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ n = (A; B) ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು M (x; y) ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ M 0 M (x - x 0; y - y o) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (Fig. 1 ನೋಡಿ). n ಮತ್ತು M o M ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಕಾರಣ, ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಅಂದರೆ

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

ಸಮೀಕರಣ (10.8) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ .

ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ n= (A; B) ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ .

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (10.8) ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಆಹ್ + ವು + ಸಿ = 0 , (10.9)

ಅಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು B ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, C = -Ax o - Vu o ಎಂಬುದು ಉಚಿತ ಪದವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣ (10.9) ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ(ಚಿತ್ರ 2 ನೋಡಿ).

Fig.1 Fig.2

ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು

,

ಎಲ್ಲಿ
- ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು
- ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕರ್ವ್ಸ್ ಸರ್ಕಲ್

ವೃತ್ತವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ ಆರ್ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ
:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪಾಲನ್ನು ಕೇಂದ್ರವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಿಂದ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಫೋಸಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಇದು ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ
, foci ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು
.

ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
ಜಿ ದೇಎ ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದ;ಬಿ - ಅರೆ-ಮೈನರ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದ (ಚಿತ್ರ 2).

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ.
ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ರೇಖೆಯು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳು, ಅಂದಿನಿಂದ ನಿಮಗೆ ಪರಿಚಿತ ಕಿರಿಯ ತರಗತಿಗಳು, ಮತ್ತು ಇಂದು ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಎದುರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ವಸ್ತುವನ್ನು ಸದುಪಯೋಗಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಶಕ್ತರಾಗಿರಬೇಕು; ಯಾವ ಸಮೀಕರಣವು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಯಿರಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆ. ಈ ಮಾಹಿತಿಕೈಪಿಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ನಾನು ಅದನ್ನು ಮಾತನ್‌ಗಾಗಿ ರಚಿಸಿದ್ದೇನೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ವಿಭಾಗ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಇದು ಅತ್ಯಂತ ಯಶಸ್ವಿ ಮತ್ತು ವಿವರವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಿಯ ಟೀಪಾಟ್ಗಳು, ಮೊದಲು ಅಲ್ಲಿ ಬೆಚ್ಚಗಾಗಲು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನೀವು ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ವಾಹಕಗಳು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ವಸ್ತುವಿನ ತಿಳುವಳಿಕೆಯು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸದಂತೆ ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ), ನಾನು ಅವರಿಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತೇನೆ, ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತರ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ತಾಂತ್ರಿಕ ತಂತ್ರಗಳು.

• ಕೋನ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಹೇಗೆ?
• ಹೇಗೆ ?
• ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು?
• ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬರೆಯುವುದು?

ಮತ್ತು ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ "ಶಾಲೆ" ರೂಪವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಇಳಿಜಾರು: . ಈ ಗುಣಾಂಕದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ರೇಖೆಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರಭಾವಿಸುತ್ತದೆ:

ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕಧನಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನ ನಡುವೆಮತ್ತು ಈ ಸಾಲು: , ಮತ್ತು ಕೋನವು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ "ಬಿಚ್ಚಿ".

ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತಗೊಳಿಸದಿರಲು, ನಾನು ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೋನಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದೆ. "ಕೆಂಪು" ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕಾರ: ("ಆಲ್ಫಾ" ಕೋನವನ್ನು ಹಸಿರು ಚಾಪದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಕೋನ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ "ನೀಲಿ" ನೇರ ರೇಖೆಗೆ, ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ ("ಬೀಟಾ" ಕೋನವನ್ನು ಕಂದು ಆರ್ಕ್ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಮತ್ತು ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿಯೇವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು - ಆರ್ಕ್ಟಜೆಂಟ್. ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, ಕೈಯಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕೋಷ್ಟಕ ಅಥವಾ ಮೈಕ್ರೊಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್. ಹೀಗಾಗಿ, ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಸಾಧ್ಯ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳು:

1) ಇಳಿಜಾರು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ: ರೇಖೆಯು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ "ನೀಲಿ" ಮತ್ತು "ರಾಸ್ಪ್ಬೆರಿ" ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

2) ಇಳಿಜಾರು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ: ನಂತರ ಸಾಲು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು - ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ "ಕಪ್ಪು" ಮತ್ತು "ಕೆಂಪು" ನೇರ ರೇಖೆಗಳು.

3) ಇಳಿಜಾರು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ: , ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ "ಹಳದಿ" ನೇರ ರೇಖೆ.

4) ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ (ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಉದಾಹರಣೆಯಿಲ್ಲ, ಅಕ್ಷವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ), ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ (90 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ).

ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಗುಣಾಂಕ, ನೇರ ರೇಖೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಕಡಿದಾದ ಹೋಗುತ್ತದೆ..

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನೇರ ರೇಖೆಯು ಕಡಿದಾದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ, ನಾವು ಮಾತ್ರ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು.

ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆಯು ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿದಾದದ್ದಾಗಿದೆ .

ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ: ಇಳಿಜಾರಿನ ಗುಣಾಂಕವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ನೇರ ರೇಖೆಯು ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಕ್ಕಳ ಸ್ಲೈಡ್, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವೇ ಮೂಗೇಟುಗಳು ಮತ್ತು ಉಬ್ಬುಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ.

ಇದು ಏಕೆ ಅಗತ್ಯ?

ನಿಮ್ಮ ಹಿಂಸೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿ ಮೇಲಿನ ಸಂಗತಿಗಳ ಜ್ಞಾನವು ನಿಮ್ಮ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ದೋಷಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ನೋಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ - ರೇಖಾಚಿತ್ರವು "ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಏನಾದರೂ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ" ಎಂದು ತಿರುಗಿದರೆ. ನೀವು ಎಂದು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ನೇರವಾಗಿಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೇರ ರೇಖೆಯು ತುಂಬಾ ಕಡಿದಾದ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯು ತುಂಬಾ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ, ಅಕ್ಷದ ಹತ್ತಿರ ಒತ್ತಿದರೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಹಲವಾರು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗಾದರೂ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ಹುದ್ದೆಗಳು: ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗೆ: . ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸುವುದು ಜನಪ್ರಿಯ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಈಗ ನೋಡಿದ ಐದು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು .

ಯಾವುದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಈ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಬಹುದು: ಇತ್ಯಾದಿ ಅಂಕಗಳು ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿವೆ ಎಂದು ಪದನಾಮವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ಬೆಚ್ಚಗಾಗಲು ಸಮಯ:

ಕೋನ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಈ ರೇಖೆಯ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಬಿಂದುವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ . IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:

ಉತ್ತರ:

ಪರೀಕ್ಷೆಸರಳವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಇಳಿಜಾರು ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸೋಣ:

ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ ಪಾಯಿಂಟ್ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ಸಮೀಕರಣವು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚು ಟ್ರಿಕಿ ಉದಾಹರಣೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ:

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಅದರ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವು , ಮತ್ತು ಬಿಂದುವು ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ನಿಮಗೆ ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳಿದ್ದರೆ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಓದಿ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ನಾನು ಬಹಳಷ್ಟು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇನೆ.

ರಿಂಗಣಿಸಿತು ಕೊನೆಯ ಕರೆ, ಪದವಿ ಪಕ್ಷವು ಸತ್ತುಹೋಯಿತು, ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸ್ಥಳೀಯ ಶಾಲೆಯ ಗೇಟ್‌ಗಳ ಹೊರಗೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತವು ನಮಗೆ ಕಾಯುತ್ತಿದೆ. ಹಾಸ್ಯಗಳು ಮುಗಿದವು ... ಅಥವಾ ಬಹುಶಃ ಅವರು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ =)

ನಾವು ನಾಸ್ಟಾಲ್ಜಿಕಲ್ ಆಗಿ ನಮ್ಮ ಪೆನ್ನನ್ನು ಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಅಲೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣನೇರ ರೇಖೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: , ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಂಕಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣವು ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಸೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಧರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರಿನ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಟ್ಟೋಣ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸರಿಸೋಣ ಎಡಬದಿ:

"X" ಪದವನ್ನು ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇಡಬೇಕು:

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣವು ಈಗಾಗಲೇ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ , ಆದರೆ ಗಣಿತದ ಶಿಷ್ಟಾಚಾರದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಮೊದಲ ಪದದ ಗುಣಾಂಕ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು. ಬದಲಾಯಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳು:

ಈ ತಾಂತ್ರಿಕ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ!ನಾವು ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು (ಹೆಚ್ಚಾಗಿ) ​​ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ!

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ. ಸರಿ, ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ (ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಅದನ್ನು "ಶಾಲಾ" ರೂಪಕ್ಕೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು.

ಏನು ಎಂದು ನಮ್ಮನ್ನು ನಾವೇ ಕೇಳಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಸಾಕುಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ತಿಳಿದಿದೆಯೇ? ಎರಡು ಅಂಕಗಳು. ಆದರೆ ಈ ಬಾಲ್ಯದ ಘಟನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು, ಈಗ ಬಾಣಗಳ ನಿಯಮದೊಂದಿಗೆ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೇರ ರೇಖೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು "ಹೊಂದಾಣಿಕೆ" ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್.

ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಆ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವೆಲ್ಲವೂ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ (ಸಹ ದಿಕ್ಕಿನ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲ - ಇದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ).

ನಾನು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇನೆ: .

ಆದರೆ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸದಿಶವು ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿದ ಕೆಲವು ಅಂಶವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಳಸಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಒಂದು ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಈ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಬಹುದು:

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ .

ಯಾವಾಗ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದುಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲಕ, ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ - ಎರಡೂ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು, ಏಕೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ: ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:

ಅನುಪಾತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತು ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತರುತ್ತೇವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ:

ಉತ್ತರ:

ನಿಯಮದಂತೆ, ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಲುವಾಗಿ:

ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಮೂಲ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ (ಅದನ್ನು ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಯೋಜಿಸಬಹುದು) ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ನೇರ ರೇಖೆ. ಮೂಲಕ, ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮತ್ತೊಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ.

ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ನೇರ ರೇಖೆಯು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅವೆಲ್ಲವೂ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾನು ಅಂತಹ ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದೆ: . ನಾವು ಯಾವುದೇ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಂಡರೂ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು:

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು -2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರಿಚಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ:

ಆಸಕ್ತರು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್.

ಈಗ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು?

ತುಂಬಾ ಸರಳ:

ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಈ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಹೇಳಿಕೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕೇವಲ ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಮಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣವು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ –2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ಆಧಾರ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ತಾರ್ಕಿಕ.

ಅಂತೆಯೇ, ಸಮೀಕರಣವು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ ಅದನ್ನು ಮಾಡೋಣ ಉದಾಹರಣೆ 3 ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಯಿತು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ: - ಎಲ್ಲವೂ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಮೂಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ (ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಕೊಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತದಿಂದ ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸುಲಭ).

ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಅದು ನಮಗೆ ತುಂಬಾ ಸಂತೋಷವಾಗಿದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವಿದೆ. ಈಗ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಡ್ರಾಫ್ಟ್ ಅನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ (ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ) ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. 100% ತಪ್ಪಿಸಬಹುದಾದ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಮೂರ್ಖತನ.

ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸರಳವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ:

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಪರಿಹಾರ: ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಛೇದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಸೂತ್ರವು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ನಿರ್ಗಮನವಿದೆ! ಅನುಪಾತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದವು ಆಳವಾದ ರಟ್ನಲ್ಲಿ ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ:

ಉತ್ತರ:

ಪರೀಕ್ಷೆ:

1) ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸಿ:
- ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದೆ.

2) ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ:

ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ

ತೀರ್ಮಾನ: ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ

ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಆವೃತ್ತಿಯಿದ್ದರೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಏಕೆ ಚಿಂತಿಸಬೇಕು? ಎರಡು ಕಾರಣಗಳಿವೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸೂತ್ರವು ಒಂದು ಭಾಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಹೆಚ್ಚು ಚೆನ್ನಾಗಿ ನೆನಪಿದೆ. ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಅನಾನುಕೂಲತೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೂತ್ರಎಂಬುದು ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುವ ಅಪಾಯವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವಾಗ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಸರ್ವತ್ರ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ:

ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಬಹುದು:

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಒಂದು ವಿಧದ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಏಕೆ: ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳುನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯ- ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು:

ಸೂಚನೆ : ಅಂಕಗಳನ್ನು "ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು" ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು . ಅಂತಹ ಪರಿಹಾರವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ .

ಪರಿಹಾರ: ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಛೇದಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವುದು:

ಮತ್ತು ಡೆಕ್ ಅನ್ನು ಷಫಲ್ ಮಾಡಿ:

ಈಗ ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸಮಯ ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮನಸ್ಸಿಗೆ ತನ್ನಿ:

ಉತ್ತರ:

ಪರೀಕ್ಷೆಸ್ಪಷ್ಟ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುಗಳುಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು:

1) ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:

ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆ.

2) ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:

ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದುಬಿಂದುಗಳ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ, ದೋಷವನ್ನು ನೋಡಿ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪರಿಶೀಲನೆಯು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಳು ಅದಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆಯೇ ಎಂದು ನೋಡಿ , ಅಷ್ಟು ಸರಳವಲ್ಲ.

ಪರಿಹಾರದ ಒಂದೆರಡು ಹೆಚ್ಚಿನ ತಾಂತ್ರಿಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಾನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ. ಬಹುಶಃ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕನ್ನಡಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು, ಅದೇ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡಿ:

ಕಡಿಮೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು. ನೀವು ಬಯಸಿದರೆ, ನೀವು ಅಂತ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು, ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದೇ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿರಬೇಕು.

ಎರಡನೆಯ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೋಡುವುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಅದನ್ನು ಎರಡರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ: - ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸಂಭಾಷಣೆಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನ.

ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆದ ನಂತರ ಉದಾಹರಣೆ 7 ರಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು 2, 3 ಅಥವಾ 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ನಾನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಂತಹ ಕಡಿತಗಳನ್ನು ಪರಿಹಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8

ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ .

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ತಂತ್ರವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಛೇದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು (ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ) ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಅವಳು ಎಷ್ಟು ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಿದ್ದಾಳೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ತರುವುದರಲ್ಲಿ ನನಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ (ಸಂಖ್ಯೆ 5, 6 ನೋಡಿ).

ನೇರ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ (ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್)

ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂದರೇನು? ಸರಳ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಹಾಗೆಯೇ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳು), ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ (ಸಹ ದಿಕ್ಕಿನ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲ, ಇದು ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ).

ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗಿಂತ ಅವರೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಈ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ "ಹೊರತೆಗೆಯಲು" ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ "ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು".

ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಯಾವಾಗಲೂ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ:

ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಂತೆಯೇ ನಾನು ಅದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ:

ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ನೀಡಿದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ನನ್ನ ಕರುಳಿನಲ್ಲಿ ನಾನು ಅದನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಅದು ಸಾಧ್ಯ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನೇರ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸ್ವತಃ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ - ಇದು 90 ಡಿಗ್ರಿ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ “ಕಠಿಣ ರಚನೆ” ಆಗಿದೆ.

ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬರೆಯುವುದು?

ಒಂದು ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಈ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಆಶ್ಚರ್ಯಗಳಿಲ್ಲದೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆ. ಇದು ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಅವನನ್ನು ಪ್ರೀತಿಸು. ಮತ್ತು ಗೌರವ =)

ಉದಾಹರಣೆ 9

ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ನೀಡಿದ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ: ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

1) ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು "ತೆಗೆದುಹಾಕಿ": - ಹೌದು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೂಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು).

2) ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾದ ನಂತರ, ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ, ಸುಲಭವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ:

ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ತರಬೇತಿ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯ:

ಉದಾಹರಣೆ 10

ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ನೀಡಿದ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪಾಠದ ಅಂತಿಮ ವಿಭಾಗವು ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ, ಆದರೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ

ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ.
ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿನ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿವೆ. ಕೆಲವು ವಿಧದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೇರ ಅನುಪಾತ (ಉಚಿತ ಪದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ).

ಇದು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, "ತಾಂತ್ರಿಕ" ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಹೇಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ? ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಾವು "y" ಅನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಬಯಸಿದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: .

ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಅದೇ - ನೇರ ರೇಖೆಯು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು

Ax + Wu + C = 0,

ಇದಲ್ಲದೆ, ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ.ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸ್ಥಿರ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಸಿ ಕೆಳಗಿನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 - ನೇರ ರೇಖೆಯು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆ

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) - Oy ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆ

B = C = 0, A ≠0 - ನೇರ ರೇಖೆಯು Oy ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ

A = C = 0, B ≠0 - ನೇರ ರೇಖೆಯು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿಯಾವುದೇ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ.

ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ (A, B) Ax + By + C = 0 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. (3, -1) ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ A (1, 2) ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. A = 3 ಮತ್ತು B = -1 ನೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ: 3x - y + C = 0. ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ನೀಡಿದ ಬಿಂದು A ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ: 3 – 2 + C = 0, ಆದ್ದರಿಂದ, C = -1 . ಒಟ್ಟು: ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮೀಕರಣ: 3x – y – 1 = 0.

ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

M 1 (x 1, y 1, z 1) ಮತ್ತು M 2 (x 2, y 2, z 2) ಎಂಬ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೀಡೋಣ, ನಂತರ ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

ಯಾವುದೇ ಛೇದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು, ಮೇಲೆ ಬರೆಯಲಾದ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ:

x 1 ≠ x 2 ಮತ್ತು x = x 1, x 1 = x 2 ಆಗಿದ್ದರೆ.

ಭಾಗ = ಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಇಳಿಜಾರುನೇರ.

ಉದಾಹರಣೆ. A (1, 2) ಮತ್ತು B (3, 4) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಮೇಲೆ ಬರೆದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರಿನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಒಟ್ಟು Ax + Bu + C = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಫಾರ್ಮ್‌ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ:

ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿ , ನಂತರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಕೆ.

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್

ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಮೂದಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ (α 1, α 2), ಎ α 1 + ಬಿ α 2 = 0 ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಘಟಕಗಳನ್ನು ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

Ax + Wu + C = 0.

ಉದಾಹರಣೆ. ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ (1, -1) ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ A (1, 2) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಯಸಿದ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ: Ax + By + C = 0. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಗುಣಾಂಕಗಳು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು:

1 * A + (-1) * B = 0, ಅಂದರೆ. ಎ = ಬಿ.

ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: Ax + Ay + C = 0, ಅಥವಾ x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 ನಾವು C / A = -3 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮೀಕರಣ:

ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ Ах + Ву + С = 0 С≠0, ನಂತರ, –С ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಅಥವಾ

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಗುಣಾಂಕಗಳು ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬಿ- ಓಯ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ.

ಉದಾಹರಣೆ. x - y + 1 = 0 ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಈ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

C = 1, , a = -1, b = 1.

ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ

Ax + By + C = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ಅಂಶ, ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಅಂಶದ ಚಿಹ್ನೆ ± ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ μ * ಸಿ< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ 12x – 5y – 65 = 0. ನೀವು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳುಈ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣ:

ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣ: (5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ)

; cos φ = 12/13; ಪಾಪ φ= -5/13; p = 5.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಅಥವಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮಾನ ಧನಾತ್ಮಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಭಾಗಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವು 8 ಸೆಂ 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

ಉದಾಹರಣೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ A (-2, -3) ಮತ್ತು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಹೀಗಿದೆ: , ಅಲ್ಲಿ x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 ನೀಡಿದರೆ, ಈ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ತೀವ್ರ ಕೋನವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

.

k 1 = k 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. k 1 = -1/ k 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. A 1 = λA, B 1 = λB ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ Ax + Bу + C = 0 ಮತ್ತು A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. C 1 = λC ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಾಲುಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಈ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. M 1 (x 1, y 1) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯ y = kx + b ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಅಂತರ

ಪ್ರಮೇಯ. M(x 0, y 0) ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, Ax + Bу + C = 0 ರೇಖೆಯ ಅಂತರವನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

.

ಪುರಾವೆ.ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 (x 1, y 1) ಒಂದು ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಆಧಾರವಾಗಿರಲಿ M ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ M ಮತ್ತು M 1 ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ:

(1)

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ x 1 ಮತ್ತು y 1 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ M 0 ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ನಂತರ, ಪರಿಹರಿಸುವ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (1) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

ಕೆ 1 = -3; ಕೆ 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

ಉದಾಹರಣೆ. 3x – 5y + 7 = 0 ಮತ್ತು 10x + 6y – 3 = 0 ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. C ಶೃಂಗದಿಂದ ಎಳೆಯಲಾದ ಎತ್ತರದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. AB ಬದಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎತ್ತರದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: Ax + By + C = 0 ಅಥವಾ y = kx + b. ಕೆ = . ನಂತರ y = . ಏಕೆಂದರೆ ಎತ್ತರವು ಪಾಯಿಂಟ್ C ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ: ಎಲ್ಲಿಂದ b = 17. ಒಟ್ಟು: .

ಉತ್ತರ: 3 x + 2 y – 34 = 0.

ಈ ಲೇಖನವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಷಯವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತದೆ: ನಾವು ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ; ರೇಖೆಯ ಅಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ ಯಾವುದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ರೇಖೆಯ ಇತರ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿವರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಲಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ O x y ಅನ್ನು ನೀಡಲಿ.

ಪ್ರಮೇಯ 1

ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವು A x + B y + C = 0 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ A, B, C ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (A ಮತ್ತು B ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ), ಇದರಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳ A, B, C ಗೆ A x + B y + C = 0 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ

ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ; ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

1. A x + B y + C = 0 ಸಮೀಕರಣವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಕೆಲವು ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 (x 0 , y 0) ಇರಲಿ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು A x + B y + C = 0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಹೀಗೆ: A x 0 + B y 0 + C = 0. A x + B y + C = 0 ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ A x 0 + B y 0 + C = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಂದ, ನಾವು A (x) ನಂತೆ ಕಾಣುವ ಹೊಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - x 0) + B (y - y 0) = 0 . ಇದು A x + B y + C = 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿವಾಹಕಗಳ ಲಂಬತೆ n → = (A, B) ಮತ್ತು M 0 M → = (x - x 0, y - y 0). ಹೀಗಾಗಿ, ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ M (x, y) ವೆಕ್ಟರ್ n → = (A, B) ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಹಾಗಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು n → = (A, B) ಮತ್ತು M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ಲಂಬವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆ A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ನಿಜವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ಸಮೀಕರಣವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣ A x + B y + C = 0 ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಅದೇ ಸಾಲು. ನಾವು ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.

1. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಡಿಗ್ರಿ A x + B y + C = 0 ನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸೋಣ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ; ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 (x 0 , y 0) ಈ ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಈ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ n → = (A, B) .

ಕೆಲವು ಪಾಯಿಂಟ್ M (x, y) ಸಹ ಇರಲಿ - ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ತೇಲುವ ಬಿಂದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು n → = (A, B) ಮತ್ತು M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ, C: C = - A x 0 - B y 0 ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿ ನಾವು A x + B y + C = ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. 0.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡನೇ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ A x + B y + C = 0 - ಇದು ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿಆಕ್ಸಿ.

ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಸ್ಥಿರವಾದ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದಂತೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೂಲ ರೇಖೆಯು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ; ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಲಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯಿಂದ x ಮತ್ತು y ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ A ಮತ್ತು B ಗುಣಾಂಕಗಳು ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು A x + B y + C = ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. 0.

ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

2 x + 3 y - 2 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ n → = (2 , 3) ​​. ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ.

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೇಳಬಹುದು: ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನಾವು ನೋಡುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು 2 x + 3 y - 2 = 0 ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ನಾವು λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ- A x + B y + C = 0 ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಂತಹ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ, ಇದರಲ್ಲಿ A, B, C ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣವು ಅಪೂರ್ಣ.

ರೇಖೆಯ ಅಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ.

1. ಯಾವಾಗ A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು B y + C = 0 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಅಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ O x y ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು O x ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ x ನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ y ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. - ಸಿ ಬಿ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, A x + B y + C = 0 ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ, A = 0, B ≠ 0, ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು (x, y) ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಸಿ ಬಿ.
2. A = 0, B ≠ 0, C = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು y = 0 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಅಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷ O x ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.
3. ಯಾವಾಗ A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, ನಾವು ಅಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ A x + C = 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.
4. A ≠ 0, B = 0, C = 0 ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಅಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು x = 0 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು O y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.
5. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 ಗಾಗಿ, ಅಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು A x + B y = 0 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (0, 0) A x + B y = 0 ಸಮಾನತೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ A · 0 + B · 0 = 0.

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಅಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ವಿವರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ನೀಡಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ 2 7, - 11 ರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು A x + C = 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ A ≠ 0. ಸ್ಥಿತಿಯು ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ A x + C = 0, ಅಂದರೆ. ಸಮಾನತೆ ನಿಜ:

A 2 7 + C = 0

ಅದರಿಂದ ನಾವು A ಕೆಲವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ C ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, A = 7. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. A ಮತ್ತು C ಎರಡರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು A x + C = 0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ: 7 x - 2 = 0

ಉತ್ತರ: 7 x - 2 = 0

ಉದಾಹರಣೆ 2

ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ನೀವು ಅದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ;

ಪರಿಹಾರ

ನೀಡಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು O x ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ (0, 3).

ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ B y + C = 0 ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (0, 3), ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಯು ಅದರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದರಿಂದ, B y + C = 0 ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸಮಾನತೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: B · 3 + C = 0. ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಬೇರೆ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಬಿ ಹೊಂದಿಸೋಣ. B = 1 ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ B · 3 + C = 0 ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಾವು C: C = - 3 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ನಾವು ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತೀವಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳುಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ, ನಾವು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: y - 3 = 0.

ಉತ್ತರ: y - 3 = 0 .

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಯು M 0 (x 0, y 0) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಲಿ, ನಂತರ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಸಮಾನತೆ ನಿಜ: A x 0 + B y 0 + C = 0. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಂದ ಕಳೆಯೋಣ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣನೇರ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 (x 0, y 0) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ವೆಕ್ಟರ್ n → = (A, B) .

ನಾವು ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ ತಿಳಿದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 3

M 0 (- 3, 4) ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೂಲಕ ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ n → = (1 , - 2) . ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. ನಂತರ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಿತ್ತು. ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು A x + B y + C = 0 ಆಗಿದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

ಈಗ ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ M 0 (- 3, 4) ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು C ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು x - 2 · y + C = 0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಅಂದರೆ. - 3 - 2 4 + C = 0. ಆದ್ದರಿಂದ C = 11. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: x - 2 · y + 11 = 0.

ಉತ್ತರ: x - 2 y + 11 = 0.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 2 3 x - y - 1 2 = 0 ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು - 3 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು x 0 ಮತ್ತು y 0 ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸೋಣ. ಮೂಲ ಡೇಟಾವು x 0 = - 3 ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬಿಂದುವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಈ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆಗ ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2 ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಿ

ಉತ್ತರ: - 5 2

ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ರೇಖೆಯ ಮತ್ತು ಹಿಂಭಾಗದ ಇತರ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಹಲವಾರು ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರದ ಆಯ್ಕೆಯು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾದದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಕಾರದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಕಾರದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಕೌಶಲ್ಯ ಇಲ್ಲಿ ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, A x + B y + C = 0 ರೂಪದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x - x 1 a x = y - y 1 a y ಎಂಬ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

A ≠ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು B y ಪದವನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಬಲಭಾಗದಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಿಂದ A ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: A x + C A = - B y.

ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನುಪಾತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು: x + C A - B = y A.

B ≠ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ A x ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ, ಇತರರನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: A x = - B y - C. ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ – B ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ, ನಂತರ: A x = - B y + C B .

ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನುಪಾತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ: x - B = y + C B A.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಂಗೀಕೃತ ಒಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 5

3 y - 4 = 0 ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ಅದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣ 3 y - 4 = 0 ನಂತೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ: 0 x ಪದವು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ; ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ - ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಿಂದ 3; ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 0 x = - 3 y - 4 3 .

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನುಪಾತವಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ: x - 3 = y - 4 3 0 . ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಉತ್ತರ: x - 3 = y - 4 3 0.

ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು, ಮೊದಲು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಪರಿವರ್ತನೆ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು 2 x - 5 y - 1 = 0 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಾಲಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡೋಣ:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

ಈಗ ನಾವು λ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

ಉತ್ತರ:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು y = k · x + b ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ B ≠ 0 ಆಗ ಮಾತ್ರ. ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ, ನಾವು B y ಪದವನ್ನು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ, ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: B y = - A x - C . ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು B ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ: y = - A B x - C B.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: 2 x + 7 y = 0. ನೀವು ಆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು.

ಪರಿಹಾರ

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ ಅಗತ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

ಉತ್ತರ: y = - 2 7 x

ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, x a + y b = 1 ರೂಪದ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪಡೆಯಲು ಸಾಕು. ಅಂತಹ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು - ಸಿ ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ವೇರಿಯಬಲ್ಸ್ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಛೇದಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿ:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

ಉದಾಹರಣೆ 8

x - 7 y + 1 2 = 0 ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

1 2 ಅನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು -1/2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

ಉತ್ತರ: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಹಿಮ್ಮುಖ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಸಹ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ: ಇತರ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಂದಕ್ಕೆ.

ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

ಕೆಳಗಿನ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B 0

ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಂದ ಸರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಅಂಗೀಕೃತ ಒಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

ಉದಾಹರಣೆ 9

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ಸಾಲಿನ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಂಗೀಕೃತವಾದವುಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡೋಣ:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

ಅಂಗೀಕೃತದಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

ಉತ್ತರ: y - 4 = 0

ಉದಾಹರಣೆ 10

x 3 + y 1 2 = 1 ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಅಗತ್ಯ.

ಪರಿಹಾರ:

ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

ಉತ್ತರ: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ತಿಳಿದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ್ದೇವೆ. ಅಂತಹ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಈಗ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ, ಅದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 11

2 x - 3 y + 3 3 = 0 ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುವ ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 (4, 1) ಅನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ, ನಂತರ, ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ, ಅದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ, ನಾವು ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ಈಗ ನಾವು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

ಉತ್ತರ: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

ಉದಾಹರಣೆ 12

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಯು x - 2 3 = y + 4 5 ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಲಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ x - 2 3 = y + 4 5 ಸಾಲಿನ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಂತರ n → = (3, 5) . ನೇರ ರೇಖೆಯು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ O ಮೂಲಕ (0, 0). ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

ಉತ್ತರ: 3 x + 5 y = 0 .

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ