ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ (DE) - ಇದು ಸಮೀಕರಣ,
ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ, y ಎಂಬುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಯಾವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಮತ್ತು "ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು" ಪದಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು. ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣದ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣದ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮೊದಲ ಆರ್ಡರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಸ್ಥಿರ x ಮತ್ತು y ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಅಥವಾ y ಆಗಿರಬಹುದು.
ಮೊದಲ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, y ಎಂಬುದು x ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
.
ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, x ಎಂಬುದು y ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
.

ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು y′ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು.

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು dx ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ರಿಂದ ಮತ್ತು, ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

• ನಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

  ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಇನ್ನೂ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ. ಪರಿಹಾರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನೀವು ಪಡೆಯಬಹುದು: ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಅವಲಂಬನೆ;ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

• y = u ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (x), ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, n ಬಾರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು .

  Φ ವಿಧದ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯ ಅವಲಂಬನೆ (x, y) = 0

• ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು;

  ಚತುರ್ಭುಜಗಳಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು - ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

• ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬರುವುದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರವು C 1, C 2, C 3, ... C n ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಭಾಗಶಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯ

C 1, C 2, C 3, ..., C n ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಬಳಸಿದ ಸಾಹಿತ್ಯ:
ವಿ.ವಿ. ಸ್ಟೆಪನೋವ್, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೋರ್ಸ್, "LKI", 2015.

ಎನ್.ಎಂ. ಗುಂಥರ್, ಆರ್.ಓ. ಕುಜ್ಮಿನ್, ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ, "ಲ್ಯಾನ್", 2003.

ಇಂದು, ಯಾವುದೇ ತಜ್ಞರಿಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಕೌಶಲ್ಯವೆಂದರೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು - ಇದು ಇಲ್ಲದೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಅನ್ವಯಿಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಭೌತಿಕ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅಥವಾ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ಸ್ಥೂಲ ಆರ್ಥಿಕ ನೀತಿಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಬದಲಾವಣೆಗಳು. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ, ಔಷಧ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಂತಹ ಹಲವಾರು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಿಗೆ ಸಹ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗೆ ನಾವು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಳಕೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಅದಕ್ಕೂ ಮೊದಲು ನಾವು ಮುಖ್ಯ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು - ಸರಳ ವಿಧಗಳು ನಮ್ಮ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಋಷಿಗಳು ಹೇಳಿದರುಗಣಿತದ ಭಾಷೆ . ಸಹಜವಾಗಿ, ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಇವುಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸದ ಬಹುಪಾಲು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ನಾವು ಸಂಭವಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಯಸಿದಾಗ ನಿಜವಾದ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗಣಿತವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆನಿಜ ಜೀವನ

. ಆದರೆ ನೈಜ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು-ಹಣದುಬ್ಬರ, ಉತ್ಪಾದನೆ ಅಥವಾ ಜನಸಂಖ್ಯಾ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಸಮಯದ ಅಂಶವನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಬಹುದು? ಒಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣಪ್ರಮುಖ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸಮಯದ ಅಂಶವನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸೂಚಕವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ಸರಳವಾದವುಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ.

ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿಧಗಳು

ಸರಳವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು $y'(x)=f(x)$ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $f(x)$ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $y'(x)$ ಎಂಬುದು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಬದಲಾವಣೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ದರವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಏಕೀಕರಣದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು: $$y(x)=\int f(x)dx.$$ ಎರಡನೆಯದುಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: $y'(x)=f(x)\cdot g(y)$. ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ $y$ ಸಹ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು - ನೀವು "ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬೇಕು" ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು $y'(x)/g(y)=f(x)$ ಅಥವಾ $dy/g(y) ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬೇಕು. =f(x)dx$. ಇದು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕಾರದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಕೊನೆಯ ಸರಳ ವಿಧವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು $y'+p(x)y=q(x)$ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ $p(x)$ ಮತ್ತು $q(x)$ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳು, ಮತ್ತು $y=y(x)$ ಎನ್ನುವುದು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಒಬ್ಬರು ಈಗಾಗಲೇ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ ವಿಶೇಷ ವಿಧಾನಗಳು(ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನ, ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ).

ಇನ್ನೂ ಇವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಜಾತಿಗಳುಸಮೀಕರಣಗಳು - ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ರಮದ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಿದ್ಧತೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಅನುಭವದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಭಾಗಶಃ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು, ಅನಿರೀಕ್ಷಿತವಾಗಿ, ಹಣಕಾಸುಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ ಇದೆ. ಇದರರ್ಥ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಣಕಾಸು ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಬ್ಲಾಕ್-ಸ್ಕೋಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಆಯ್ಕೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ (ಪ್ರಕಾರ ಭದ್ರತೆಗಳು) ಅದರ ಲಾಭದಾಯಕತೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಪಾವತಿಗಳ ಗಾತ್ರ, ಹಾಗೆಯೇ ಪಾವತಿಗಳ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ದಿನಾಂಕಗಳು. ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೀವು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ Matlab ಅಥವಾ Maple.

ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಅನ್ವಯದ ಉದಾಹರಣೆ

ನಾವು ಭರವಸೆ ನೀಡಿದಂತೆ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ.

ಕೆಲವು ಕಂಪನಿಗಳಿಗೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮಾರಾಟದಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಆದಾಯದ ಕಾರ್ಯವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ $MR=10-0.2q$. ಇಲ್ಲಿ $MR$ ಎಂಬುದು ಸಂಸ್ಥೆಯ ಕನಿಷ್ಠ ಆದಾಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $q$ ಎಂಬುದು ಉತ್ಪಾದನೆಯ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಒಟ್ಟು ಆದಾಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಇದು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅನೇಕ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಉದ್ಯಮಗಳು ತಮ್ಮ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಎದುರಿಸುತ್ತವೆ.

ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಆದಾಯವು ಒಟ್ಟು ಆದಾಯದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಮಾರಾಟದಲ್ಲಿ ಆದಾಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, $R(0)=0$ ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ $R'=10-0.2q$ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ: $$R(q) = \int (10-0.2q)dq = 10 q-0.1q^2+C. $$

ಸ್ಥಿರವಾದ $C$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, $R(0)=0$ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಿರಿ. ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ ಆದ್ದರಿಂದ C=0 ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಒಟ್ಟು ಆದಾಯ ಕಾರ್ಯವು $R(q)=10q-0.1q^2$ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಮೂಲಕ ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯರಿಮೋಟ್ ಕಂಟ್ರೋಲ್‌ಗಳನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಸೂಚನೆಗಳು

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರೆ: dy/dx = q(x)/n(y), ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ. ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು: n(y)dy = q(x)dx. ನಂತರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, dy/dx = x/y ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು q(x) = x, n(y) = y ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದನ್ನು ydy = xdx ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸಿ. ಇದು y^2 = x^2 + c ಆಗಿರಬೇಕು.

ರೇಖೀಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳುಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು "ಮೊದಲ" ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ. ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯವು ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೊದಲ ಹಂತಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ಲೀನಿಯರ್ dy/dx + f(x) = j(x) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ f(x) ಮತ್ತು g(x) x ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನೇಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: md 2x/dt 2 = –kx. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರಮುಖವಾದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ: ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕ.

ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಇದ್ದರೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ, ನಂತರ ನಿಮಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳು, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಧನ್ಯವಾದಗಳು. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಅಸ್ಥಿರ x ಮತ್ತು y ದೂರ, ವೇಗ, ತೂಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ - x≥0 ಮತ್ತು y≥0 ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಹಿಂಜರಿಯಬೇಡಿ. x ಅಥವಾ y ಸೇಬುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮರೆಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. - ನಂತರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮಾತ್ರ ಆಗಿರಬಹುದು. x ಮಗನ ವಯಸ್ಸು ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವನು ತನ್ನ ತಂದೆಗಿಂತ ದೊಡ್ಡವನಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

ಮೂಲಗಳು:

• ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳುಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಲವರ್ಧನೆ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು. ಇದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಯಾವುದಾದರೂ ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ಡೇಟಾದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಜ್ಞಾತದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಆಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ಆಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಸಂಬಂಧವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು: F(x, y(x), y'(x), y''(x),..., y^n(x)) = 0, ಇಲ್ಲಿ x ಎಂಬುದು ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿದೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್, y (x) ಎಂಬುದು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಗರಿಷ್ಠ ಆದೇಶಉತ್ಪನ್ನ (n).

ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಬಂಧವು ಹಲವಾರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು (ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ಗಳು) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , ಅಲ್ಲಿ z(x, y) ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿಯಲು, ನೀವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಅಂದರೆ. ವಿಭಿನ್ನತೆಗೆ ವಿಲೋಮವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣ y’ = -y/x ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ y' ಅನ್ನು dy/dx ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ: dy/dx = -y/x.

ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು dx ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು y: dy/y = -dx/x ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಸಂಯೋಜಿಸಿ: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| +ಸಿ.

ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. C ಎಂಬುದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. C ಯ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ, ಪರಿಹಾರವು ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಹಾರವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಪದವಿಗಳುವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ದೃಶ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಹಲವಾರು ಕಡಿತ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ವಿಸ್ತರಣೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಬೇರುಗಳು, ಮುಕ್ತ ಪದದ ವಿಭಾಜಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ (x - x0) ನಂತರದ ವಿಭಜನೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. ಪರಿಹಾರ: ಈ ಬಹುಪದದ ಮುಕ್ತ ಪದ -3, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಜಕಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ±1 ಮತ್ತು ±3 ಆಗಿರಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಗುರುತನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಾ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.

ಎರಡನೇ ಮೂಲ x = -1. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ (x + 1). ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. ಪದವಿಯನ್ನು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಅವುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

ತಾರತಮ್ಯವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ಸಮೀಕರಣವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: x = (-2 + i·√11)/2 ಮತ್ತು x = (-2 – i·√11)/2.

ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಮಾಡಲು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು. ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಗಳು ಸಮವಾಗಿರುವಾಗ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: x^4 - 13 x² + 36 = 0

ಈಗ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

ಸಲಹೆ 10: ರೆಡಾಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು

ರಾಸಾಯನಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯು ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳ ರೂಪಾಂತರದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ವಸ್ತುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರೂಪುಗೊಂಡವುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ರಾಸಾಯನಿಕ ಕ್ರಿಯೆಆರಂಭಿಕ ಪದಾರ್ಥಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಅಂಶಗಳು ಅವುಗಳ ಆಕ್ಸಿಡೀಕರಣ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ, ಅವರು ಬೇರೆಯವರ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‌ಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ತಮ್ಮದೇ ಆದದನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅವರ ಚಾರ್ಜ್ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ರೆಡಾಕ್ಸ್ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು .

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಾರದ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ X, ಇದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ .

ನೀವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿದರೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ನಂತರ ನಾವು ಬಯಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

y = F(x) + C,

ಎಲ್ಲಿ F(x)- ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ f(x)ನಡುವೆ X, ಎ ಜೊತೆಗೆ- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ Xಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪರಿಹಾರ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. x, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು ಬಯಸಿದ ಕಾರ್ಯ ವೈ, ಮತ್ತು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಅರ್ಥಪೂರ್ಣ.

ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾದರೆ y(x 0) = y 0, ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ನಂತರ y = F(x) + C, ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಇನ್ನೂ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ C = C 0, ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿರ C = C 0ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ F(x 0) + C = y 0, ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

y = F(x) + C 0.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಪರಿಹಾರ:

ನಾವು ನೀಡಿದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

.

ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಅದು., ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶವು ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

.

ಅಂದರೆ, ಯಾವಾಗ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಗುರುತಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪರಿಹಾರವು ವಾದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ x.

ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ODE ಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಜೊತೆಗೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ:

.

.

ನಂತರ, ಬದಲಿ C = 2 ODE ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ, ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಸಮೀಕರಣದ 2 ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು f(x). ಈ ರೂಪಾಂತರವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ f(x)ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗುವುದಿಲ್ಲ xಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೀಕರಣದ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ X.

ವಾದದ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ x ∈ Xಕಾರ್ಯಗಳು f(x)ಮತ್ತು g(x)ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ xಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ವೈ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ .

ಕೆಲವು ವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವೇಳೆ x ∈ Xಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ, ಅಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ODE ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಉಳಿದವರೆಲ್ಲರಿಗೂ xಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ Xಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 1.

ODE ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: .

ಪರಿಹಾರ.

ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಇದು ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ln(x+3)ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರವಿದೆ x > -3 . ಇದರರ್ಥ ನೀಡಲಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ x > -3 . ಈ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ x+3ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು 2 ಭಾಗಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ODE ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು x + 3.

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ .

ಮುಂದೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ: . ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್, ಈ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಆದೇಶಗಳ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು) ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮ ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ, ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದೇ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಆದರೆ ನಾವು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ, ನಾವು "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಪದವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

ಸಮೀಕರಣ (1) ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಸಮೀಕರಣ (2) ಮೂರನೇ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳು (3) ಮತ್ತು (4) ಎರಡನೇ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಸಮೀಕರಣ (5) ಮೊದಲ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಎನ್ನೇ ಆದೇಶವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಮೊದಲಿನಿಂದ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎನ್-ನೇ ಆದೇಶ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್. ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರ್ಡರ್‌ಗಳು, ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಥವಾ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರಬಾರದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (1) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಲ್ಲ, ಹಾಗೆಯೇ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ; ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (2) - ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ; ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (4) - ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್; ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (5) - ಕಾರ್ಯಗಳು. ಕೇವಲ ಸಮೀಕರಣವು (3) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ y = f(x), ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದಾಗ ಅದು ಗುರುತಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೀಕರಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ. ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ.

ಇದು ಇದು ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ . ಅದರಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಸಿ, ನಾವು ವಿವಿಧ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಎನ್ th ಆದೇಶವು ಅದರ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎನ್ಸ್ವತಂತ್ರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು, ಅಂದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ .

ಪರಿಹಾರ. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ.

,

.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ -

ನೀಡಿದ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ.

ಈಗ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಿರಿ

.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಜೊತೆಗೆ, ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ, ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆ . ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಸಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ ಸಿ. ಇದು ಕೌಶಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಿಂದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ವೈ = 3, x= 1. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಈ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಸರಳವಾದವುಗಳು ಸಹ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಉತ್ತಮ ಏಕೀಕರಣ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂತಹ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ನೀವು ತಕ್ಷಣವೇ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು.

.

ವೇರಿಯಬಲ್ (ಬದಲಿ) ಬದಲಾವಣೆಯ ಮೂಲಕ ನಾವು ಏಕೀಕರಣದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದು ಆಗಿರಲಿ.

ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ dxಮತ್ತು ಈಗ - ಗಮನ - ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ರಿಂದ xಮತ್ತು ಇದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ("ಸೇಬು" - ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆ ವರ್ಗಮೂಲಅಥವಾ, ಅದೇ ವಿಷಯ - "ಒಂದು-ಅರ್ಧ" ಮತ್ತು "ಕೊಚ್ಚಿದ ಮಾಂಸ" ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ):

ನಾವು ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುವುದು x, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

.

ಇದು ಈ ಮೊದಲ ಹಂತದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ, ಅಂದರೆ ಶಾಲಾ ಗಣಿತದ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ x. ಶಾಲೆಯಿಂದ ಮರೆತುಹೋಗದ (ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾರನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ) ಶಾಲೆಯಿಂದ ಅನುಪಾತದ ಬಗ್ಗೆ ಜ್ಞಾನವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.