ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಮಾತನಾಡೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ, ತದನಂತರ ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ತೆರಳಿ. ನಾವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\int g(x) \; dx$. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ನೀಡಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹಲವಾರು ಕೋಷ್ಟಕಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ಅಂದರೆ, ನೇರ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಮ್ಮ ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\int g(x) \; dx$ ಕೆಲವು ಟೇಬಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ $\int f(u) \; du=F(u)+C$. $\int f(u)\ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ ನಂತರ; du=F(u)+C$ ನಾವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು $x$ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುವುದು. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

$$\int g(x)\; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

ಅಂತಹ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು $u$ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂಬುದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಿಮಗೆ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಅದನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನಮಗೆ ಒಂದು ಸೂತ್ರದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾನು ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ. $y=f(x)$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ:

\begin(ಸಮೀಕರಣ)dy=y"dx\end(ಸಮೀಕರಣ)

ಆ. ಕೆಲವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಈ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಯಮವು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ನಿಯಮವು ಬದಲಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೂತ್ರ (1) ನಿಂದ ಪಡೆದ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. $y=x+C$ ಎಂದು ಬಿಡಿ, ಇಲ್ಲಿ $C$ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸಂಖ್ಯೆ, ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ). ನಂತರ, $x+C$ ಅನ್ನು $y$ ಬದಲಿಗೆ ಫಾರ್ಮುಲಾ (1) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$

$(x+C)"=x"+C"=1+0=1$ ರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವು ಹೀಗಾಗುತ್ತದೆ:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$

ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ, ಅಂದರೆ.

\begin(ಸಮೀಕರಣ)dx=d(x+C)\end(ಸಮೀಕರಣ)

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೂತ್ರವು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ ಹೀಗೆ.

ಇನ್ನೂ ಒಂದನ್ನು ನೋಡೋಣ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಸೂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ (1). $y=Cx$, ಇಲ್ಲಿ $C$, ಮತ್ತೆ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಲಿ. $y$ ಬದಲಿಗೆ $Cx$ ಅನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ (1) ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$

$(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$, ನಂತರ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವು $d(Cx)=(Cx)"dx$ ಆಗುತ್ತದೆ: $d(Cx)=Cdx $ ನಾವು ಈ ಸೂತ್ರದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು $C$ ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ($C\neq 0$), ನಾವು $\frac(d(Cx))(C)=dx$ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು :

\begin(ಸಮೀಕರಣ)dx=\frac(1)(C)\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end(ಸಮೀಕರಣ)

ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಅಂತಹ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸುವ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಕವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೂತ್ರವು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $dx=\frac(1)(5) d(5x)$, $dx=-\frac(1)(19) d(-19x)$.

ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 2, ಸೂತ್ರಗಳು (2) ಮತ್ತು (3) ಅನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂತ್ರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಟಿಪ್ಪಣಿ

ಈ ವಿಷಯವು 1-3 ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿವೆ. ಗೊಂದಲವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ: "ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅನ್ನು ಬಳಸಿ" ಎಂಬ ಪಠ್ಯವು ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಅದು ಅಕ್ಷರಶಃ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ: "ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಬಳಸಿ, ಈ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಇದೆ". ನಮಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸೂತ್ರದ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಇದನ್ನು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೀಗೆ: "ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ."

ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಟಿಪ್ಪಣಿ

ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುವ ಹಿಂದಿನ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಲು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಷಯದ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾದ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಒದಗಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1

$\int \frac(dx)(x+4)$ ಹುಡುಕಿ.

ನಾವು ಗೆ ತಿರುಗಿದರೆ, ಸಮಗ್ರ $\int \frac(dx)(x+4)$ ಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಫಾರ್ಮುಲಾ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ. $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ: $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ ಸೂತ್ರವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\int \frac(du)(u)$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು (ಎರಡೂ ಒಂದೇ ಅಕ್ಷರದ $u$). ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, $\int \frac(dx)(x+4)$ ನಲ್ಲಿ, $x$ ಅಕ್ಷರವು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ $x+4$ ಛೇದದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಕೋಷ್ಟಕ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ. ನಮ್ಮ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ "ಹೊಂದಿಸಲು" ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ನಾವು $x$ ಬದಲಿಗೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್‌ಗಾಗಿ $x+4$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, $y$ ಬದಲಿಗೆ $x+4$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಬಳಸೋಣ:

$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$

$(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$, ನಂತರ ಸಮಾನತೆ $ d(x+4)=(x+4)"dx $ ಆಗುತ್ತದೆ:

$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$

ಆದ್ದರಿಂದ $dx=d(x+4)$. ನಿಜ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಸ್ಥಿರವಾದ $C$ ಬದಲಿಗೆ $4$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದಾಗಿತ್ತು. ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ನಾವು $dx=d(x+4)$ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಸಮಾನತೆ $dx=d(x+4)$ ನಮಗೆ ಏನು ನೀಡುತ್ತದೆ?

ಮತ್ತು ಅದು ನಮಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: $dx=d(x+4)$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $dx$ ಬದಲಿಗೆ ಸಮಗ್ರ $\int \frac(dx)(x+4)$ ನಲ್ಲಿ ನಾವು $d(x) ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು +4)$ , ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)$$

ಫಲಿತಾಂಶದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ ಎಂಬ ಕೋಷ್ಟಕ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ ನಾವು ಈ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, $x+4$ ಅನ್ನು $u$ ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸೋಣ (ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಪರ್ಯಾಯ$u=x+4$):

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C.$$

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. $x$ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ. $u=x+4$ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವಿವರಣೆಯಿಲ್ಲದೆ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$

ಉತ್ತರ: $\int \frac(dx)(x+4)=\ln|x+4|+C$.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

$\int e^(3x) dx$ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ನಾವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿದರೆ, ಸಮಗ್ರ $\int e^(3x) dx$ ಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಫಾರ್ಮುಲಾ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ. $\int e^u du=e^u+C$. ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ: $\int e^u du=e^u+C$ ಸೂತ್ರವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\int e^u du$ ನಲ್ಲಿ $e$ ನ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರಬೇಕು ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ ಒಂದೇ (ಎರಡೂ ಒಂದು ಅಕ್ಷರ $u$). ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, $\int e^(3x) dx$ ನಲ್ಲಿ, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ $x$ ಅಕ್ಷರವಿದೆ, ಮತ್ತು $e$ ನ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ $3x$ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಕೋಷ್ಟಕ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ. ನಮ್ಮ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ "ಹೊಂದಿಸಲು" ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ನೀವು $x$ ಬದಲಿಗೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್‌ಗಾಗಿ $3x$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, $y$ ಬದಲಿಗೆ $3x$ ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

$$ d(3x)=(3x)"dx $$

$(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$ ರಿಂದ, ನಂತರ ಸಮಾನತೆ $d(3x)=(3x)"dx$ ಆಗುತ್ತದೆ:

$$ d(3x)=3dx $$

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು $3$ ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ: $\frac(d(3x))(3)=dx$, ಅಂದರೆ. $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸ್ಥಿರವಾದ $C$ ಬದಲಿಗೆ $3$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ನಾವು $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮಾನತೆ $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ ನಮಗೆ ಏನು ನೀಡಿತು? ಇದರರ್ಥ $dx$ ಬದಲಿಗೆ, $\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\int e^(3x) dx$ ಗೆ ಬದಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x) $$

ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾದ $\frac(1)(3)$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು $3x$ ಅನ್ನು $u$ ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸೋಣ (ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಪರ್ಯಾಯ$u=3x$), ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಕೋಷ್ಟಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ $\int e^u du=e^u+C$:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C.$$

ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆ, ನಾವು ಮೂಲ ವೇರಿಯಬಲ್ $x$ ಅನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. $u=3x$ ರಿಂದ, ನಂತರ $\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$. ಕಾಮೆಂಟ್ಗಳಿಲ್ಲದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)( 3)\cdot e^(3x)+C.$$

ಉತ್ತರ: $ \int e^(3x) dx= \frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3

$\int (3x+2)^2 dx$ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ನೇರವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು. ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

ಮೊದಲ ದಾರಿ

$(3x+2)^2=9x^2+12x+4$ ರಿಂದ, ನಂತರ $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\int (9x^2+12x+4)dx$ ಅನ್ನು ಮೂರು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx $$

$\int x^2 dx$ ಹುಡುಕಲು ನಾವು $u=x$ ಮತ್ತು $\alpha=2$ ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ: $\int x^2 dx=\frac(x^(2 +1))( 2+1)+C=\frac(x^3)(3)+C$. ಅದೇ ರೀತಿ, ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಅದೇ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ $u=x$ ಮತ್ತು $\alpha=1$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ: $\int x^1 dx=\frac(x^(1+1))(1+1 )+ C=\frac(x^2)(2)+C$. $\int 1 dx=x+C$ ರಿಂದ, ನಂತರ:

$$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^ 2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^ 2+4x+C. $$

ಎರಡನೇ ದಾರಿ

ನಾವು ಆವರಣವನ್ನು ತೆರೆಯುವುದಿಲ್ಲ. $x$ ಬದಲಿಗೆ $3x+2$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸಲು ಮತ್ತು ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು $3$ ಅಂಶದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ $C=3$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ $2$ ಎಂಬ ಪದವು ಕಾಣೆಯಾಗಿದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2)$. ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ ಮತ್ತು $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2 ) $ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$.

ಸಮಾನತೆ $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ ಅನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ:

$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\ \dx=\frac(1)(3)d(3x+2). $$

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಾವು $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, $\frac(1)(3)d(3x) ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\int (3x+2) ಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ $dx$ ಬದಲಿಗೆ )^2 dx$ +2)$. ಫಲಿತಾಂಶದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ನಾವು ಸ್ಥಿರವಾದ $\frac(1)(3)$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac(1)(3)d(3x+2)=\frac(1)(3)\cdot \ int (3x+2)^2 d(3x+2). $$

ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ $u=3x+2$ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಮುಂದಿನ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ:

$$ \frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac(1)(3)\cdot \int u^ 2 du=\frac(1)(3)\cdot \frac(u^(2+1))(2+1)+C=\frac(u^3)(9)+C. $$

$u$ ಬದಲಿಗೆ $3x+2$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ \frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

ವಿವರಣೆಯಿಲ್ಲದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ = \frac(1)(3)\cdot \int u^2 du=\frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

ನಾನು ಒಂದೆರಡು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ಅವುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1

ಇಲ್ಲಿ ಏನೋ ಸೇರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಮೊದಲ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ, ನಮಗೆ $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$ ಸಿಕ್ಕಿತು. ಎರಡನೆಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಉತ್ತರವು ಹೀಗಾಯಿತು: $\int (3x+2)^2 dx=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎರಡನೆಯ ಉತ್ತರದಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ! ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ \frac((3x+2)^3)(9)+C=\frac(27x^3+54x^2+36x+8)(9)+C=\frac(27x^3)(9) +\frac(54x^2)(9)+\frac(36x)(9)+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+ ಸಿ. $$

ಉತ್ತರಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ! ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಭಾಗ $\frac(8)(9)$ ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂತು?

ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ನೀವು ಹಿಂದಿನ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ವಿಷಯವನ್ನು ಓದಿ (ಗಮನಿಸಿ ವಿಶೇಷ ಗಮನಪುಟದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2) ಮತ್ತು ನೇರ ಏಕೀಕರಣ (ಇದು ಪ್ರಶ್ನೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಗೆ ಗಮನ ಕೊಡುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ). ಈ ವಿಷಯಗಳು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸ್ಥಿರವಾದ $C$ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, $C_1=C+\frac(8)(9)$ ಮರುವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ತರವನ್ನು $3x^3+6x^2+4x+C$ ಅಥವಾ $\frac(3x+2)^3)(9)+ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು; C$.

ಪ್ರಶ್ನೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

ಎರಡನೆಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಏಕೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿತ್ತು? ಇದು ಅನಗತ್ಯ ತೊಡಕು! ಮೊದಲ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದೆರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನಗತ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಏಕೆ ಬಳಸಬೇಕು? ಶಾಲೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಲು ಬೇಕಾಗಿರುವುದು.

ಒಳ್ಳೆಯದು, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ಅಂತಹ ತೊಡಕು ಅಲ್ಲ. ನೀವು ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಾಗ, ನೀವು ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೀರಿ: $\int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d (3x+2)=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ನೋಡೋಣ. ನೀವು $\int (3x+2)^2 dx$ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ $\int (3x+2)^(200) dx$ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಸರಿಹೊಂದಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಉತ್ತರವು ಸಿದ್ಧವಾಗಲಿದೆ:

$$ \int (3x+2)^(200) dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^(200) d(3x+2)=|u=3x+2| =\\ =\frac(1)(3)\cdot \int u^(200) du=\frac(u^(201))(603)+C=\frac((3x+2)^(201) )(603)+ಸಿ. $$

ಈಗ ಅದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\int (3x+2)^(200) dx$ ಅನ್ನು ಮೊದಲ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನೀವು $(3x+2)^(200)$ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಇನ್ನೂರ ಒಂದು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು! ತದನಂತರ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಸಹ ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಲ್ಲಿ ತೀರ್ಮಾನವು ಹೀಗಿದೆ: ದೊಡ್ಡ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ, ನೇರ ಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನವು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವು ಅದರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4

$\int \sin2x dx$ ಹುಡುಕಿ.

ನಾವು ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲ ದಾರಿ

ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಈ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಫಾರ್ಮುಲಾ ಸಂಖ್ಯೆ 5 ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ. $\int \sin u du=-\cos u+C$. ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\int \sin2x dx$ ಅನ್ನು $\int \sin u du$ ರೂಪಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲು, ನಾವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ $2$ ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಇದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ರಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ವಿವರವಾದ ಕಾಮೆಂಟ್ಗಳಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಬಹುದು:

$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac(1)(2)\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac(1)(2)d(2x )=\\ =\frac(1)(2) \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac(1)(2) \int \sin u du=-\frac(1) (2)\cos u+C=-\frac(1)(2)\cos 2x+C. $$

ಉತ್ತರ: $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$.

ಎರಡನೇ ದಾರಿ

ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಸರಳವಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರ: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. $\sin 2x$ ಬದಲಿಗೆ $2 \sin x \cos x$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾದ $2$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರದ ಉದ್ದೇಶವೇನು? ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\int \sin x\cos x dx$ ಇಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಾವು $\int \sin x\cos x dx$ ಅನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು ಇದರಿಂದ ಅದು ಟೇಬಲ್ ಒಂದರಂತೆ ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಬಳಸಿ $d(\cos x)$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಮೂದಿಸಿದ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ $y$ ಬದಲಿಗೆ $\cos x$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:

$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$

$d(\cos x)=-\sin x dx$ ರಿಂದ, ನಂತರ $\sin x dx=-d(\cos x)$. $\sin x dx=-d(\cos x)$ ರಿಂದ, ನಾವು $\int \sin x\cos x dx$ ನಲ್ಲಿ $\sin x dx$ ಬದಲಿಗೆ $-d(\cos x)$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ$\cos x$. ಈಗ, ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ $u=\cos x$ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು:

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^ 2+C=-\cos^2x+C. $$

ಉತ್ತರ ಸಿಕ್ಕಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನೀವು $u$ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ನಮೂದಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ರೀತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಾಕಷ್ಟು ಕೌಶಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದಾಗ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಕೇತಗಳ ಅಗತ್ಯವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವರಣೆಯಿಲ್ಲದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)= |u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

ಉತ್ತರ: $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.

ಮೂರನೇ ದಾರಿ

ಮೂರನೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಅದೇ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. $\sin 2x$ ಬದಲಿಗೆ $2 \sin x \cos x$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾದ $2$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

ಬಳಸಿ $d(\sin x)$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಮೂದಿಸಿದ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ $y$ ಬದಲಿಗೆ $\sin x$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:

$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$

ಆದ್ದರಿಂದ $d(\sin x)=\cos x dx$. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಾವು $\cos x dx$ ಬದಲಿಗೆ $\int \sin x\cos x dx$ ನಲ್ಲಿ $d(\sin x)$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ$\ಪಾಪ x$. ಈಗ, ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ $u=\sin x$ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು:

$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C= \sin^2x+C. $$

ಉತ್ತರ ಸಿಕ್ಕಿದೆ. ವಿವರಣೆಯಿಲ್ಲದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

ಉತ್ತರ: $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಓದಿದ ನಂತರ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ (ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ) ಉತ್ತರಗಳು, ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಪ್ರಶ್ನೆ #3

ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿ. ಉತ್ತರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು, ಆದರೆ ಅವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ! ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ರಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾದ $\frac(8)(9)$ ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇತ್ತು, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಉತ್ತರಗಳು ನೋಟದಲ್ಲಿ ಹೋಲುವಂತಿಲ್ಲ: $-\frac(1)(2)\cos 2x+C $, $-\ cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸ್ಥಿರವಾದ $C$ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಇದೆಯೇ?

ಹೌದು, ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಒಂದು ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ, ಅದರ ನಂತರ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ನಾವು ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. ನಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ ಆಗುತ್ತದೆ:

$$ -\frac(1)(2)\cos 2x+C=-\frac(1)(2)\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac(1)(2) +\frac(1)(2)\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac(1)(2). $$

ಈಗ ಎರಡನೇ ಉತ್ತರದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡೋಣ, ಅಂದರೆ. $-\cos^2x+C$. $\cos^2 x=1-\sin^2x$ ರಿಂದ, ನಂತರ:

$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ರಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಮೂರು ಉತ್ತರಗಳು: $\sin^2 x+C-\frac(1)(2)$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+ C$ . ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಈಗ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಆ. ವಿಷಯವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಲ್ಲಿನ ಸಣ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಮಹತ್ತರವಾಗಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಉತ್ತರ - ಆದರೆ ಇದು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನಾನು ಏನನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಿದ್ದೇನೆ: ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀವು ನೋಡಿದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದರ ಅರ್ಥವಲ್ಲ. ಉದ್ದೇಶಿತ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಲೇಖಕರಿಗಿಂತ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ತಲುಪುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಚೆಕ್ ಉತ್ತರದ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಬಂದರೆ, ನಂತರ ಸಮಾನತೆ $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+ C\right)"=\sin 2x$. ಆದ್ದರಿಂದ $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)$ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ನಿಜವೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ $\sin 2x $ನ:

$$ \left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\left(-\frac(1)(2)\cos 2x\right)"+C"=-\frac (1)(2)\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac(1)(2)\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac(1) (2)\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x $$.

ಪರಿಶೀಲನೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ. ಸಮಾನತೆ $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂತ್ರವು $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2 )\cos 2x+C$ ಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 5 ರಲ್ಲಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೂ ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಪರೀಕ್ಷೆಗಳುಓಹ್, ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು

ಇದು ಪಾಠದ ಅಂತಿಮ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ! ನೀವು ದಣಿದಿದ್ದರೆ, ನಾಳೆ ಓದುವುದು ಉತ್ತಮವೇ? ;)

ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: ಅಥವಾ (ಗುಣಾಂಕಗಳು , ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ).

ಅಂದರೆ, ನಮ್ಮ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯ. ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?

ಉದಾಹರಣೆ 14

ದಯವಿಟ್ಟು ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ, ಈಗ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

1) ರೂಪದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಅಥವಾ (ಗುಣಾಂಕಗಳು , ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ), ನಂತರ ನಾವು ಮಾಡುವ ಮೊದಲನೆಯದು... ಡ್ರಾಫ್ಟ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಈಗ ನಾವು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

2) ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಛೇದದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ (ಇದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ - ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಮೂಲವಿಲ್ಲದೆ) ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ:

3) ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ:

ನಮ್ಮ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶದ ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ವಿಷಯಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ... ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ಗಾಗಿ ಗುಣಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅದು ತೆರೆದಾಗ, ನಾವು ಕನಿಷ್ಟ . IN ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಸೂಕ್ತವಾದ ಗುಣಕ:

4) ಸ್ವಯಂ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ನಮ್ಮ ವಿಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಮತ್ತೆ ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಮ್ಮ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶದ ಅಂಶವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೋಡೋಣ: .
ಇದು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ನಾವು ತಪ್ಪು ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

5) ನಮ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ:
- ನಾವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದ್ದ ಪದವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ:

- ಕಳೆಯಿರಿ ( ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಿಮಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಸೇರಿಸಲು)ನಮ್ಮ "ತಪ್ಪು" ಪದ:
- ನಾವು ಎರಡೂ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ:

- ಕಳೆಯಿರಿ (ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ)ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು:

6) ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್‌ನ ಅಂಶವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ ಆಯ್ಕೆಯು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರದ ಅಂತಿಮ ವಿನ್ಯಾಸವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

(1) ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ ಡ್ರಾಫ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಅಂಶವನ್ನು ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಅನುಭವದೊಂದಿಗೆ, ಆಯ್ಕೆಯು ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಕಷ್ಟಕರವಲ್ಲ.

(2) ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ, ಈ ಹಂತವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು

(3) ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಹೊರಗೆ ಸರಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

(4) ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದೆ; ಎರಡನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ರೀತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ).

ಉಳಿದವು ತಂತ್ರದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತು, ಆರಂಭಿಕರಿಗಾಗಿ, ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ- ಒಂದು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 15

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಉದಾಹರಣೆ 16

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಏಕೀಕರಣದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯಇದು ನನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿಲ್ಲ:

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಶ್ರಮದಾಯಕ ಕೆಲಸವಾಗಿದೆ, ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೃತಕ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಏನು ಮಾಡುವುದು...

ಇತರ ವಿಧದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿವೆ, ಭಾಗಶಃ-ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನಿಶ್ಚಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು. ಆದರೆ ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಪಾಠದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ ಭಾಗಶಃ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕೀಕರಣ.

§ 5. ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನ್ವಯಗಳು

.

5.1. ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು.ಕಾರ್ಯ ಎಫ್(x) ಆಗಿದೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯ f(x), ಕೆಲವು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ Xಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಫ್ (x)= f(x). ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ f(x) ಎಂದು ಕರೆದರು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ವೇಳೆ ಎಫ್(x) - ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಚೀನ f(x), ಅದು
, ಸ್ಥಿರ ಸಿನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಮೂಲಕ ಸಾಗುತ್ತದೆ. ಟೇಬಲ್ 2 ಯಾವ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಯು= ಯು(x).

ಕೋಷ್ಟಕ 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ 10), 12) ಮತ್ತು 14) ಸೂತ್ರಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ 11), 13) ಮತ್ತು 15) ಕ್ರಮವಾಗಿ.

ಒಂದು ವೇಳೆ f(x) - ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ [ ಎ; ಬಿ], ನಂತರ ಇರುತ್ತದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಈ ಕಾರ್ಯದಿಂದ, ಇದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರ:

, (5.1)

ಎಲ್ಲಿ ಎಫ್(x) - ಯಾವುದೇ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ f(x). ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ (ಇದು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ), ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳೆರಡೂ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ರೇಖೀಯತೆ(ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು, ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು):

.

ಉದಾಹರಣೆ 5.1. ಹುಡುಕಿ: ಎ)
; b)
.

ಪರಿಹಾರ.ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಎ)ಛೇದದಿಂದ ಅಂಶದಿಂದ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಮೊದಲು ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಅನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ರೇಖೀಯತೆಮತ್ತು "ಕೋಷ್ಟಕ" ಸೂತ್ರಗಳು 1)-3):

ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಬಿ),ಜೊತೆಗೆ ರೇಖೀಯತೆಮತ್ತು "ಕೋಷ್ಟಕ" ಸೂತ್ರಗಳು 3), 9), 1), ನಾವು ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ (5.1):

5.2 ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸುವುದು ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು.ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ನ ಭಾಗವು ಕೆಲವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವಿಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಕೋಷ್ಟಕ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.2ಹುಡುಕಿ: ಎ)
; b)
.

ಪರಿಹಾರ.ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಎ)ನೀವು ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು
, ತದನಂತರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ 5) ನಲ್ಲಿ ಯು= ಎಲ್ಎನ್ x:

ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ b)
, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರಣ 11) ನಲ್ಲಿ
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಗಮನಿಸಿ 1.ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸುವಾಗ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಮೇಲೆ ಬಳಸಿದ ಜೊತೆಗೆ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ:

;
;
; ; ;

;
;
;
.

ಗಮನಿಸಿ 2.ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಸ್ ಉದಾಹರಣೆ 5.2.ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಇನ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು. ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು 5.2.b)ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

IN ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಬದಲಿ ಆಯ್ಕೆಯು ಸಮಗ್ರತೆಯ ಪ್ರಕಾರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷ ಬದಲಿಗಳನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ರೂಪದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ
, ನಂತರ ನಾವು ಹಾಕಬಹುದು
ಅಥವಾ
.

ಉದಾಹರಣೆ 5.3ಹುಡುಕಿ: ಎ)
; b)
.

ಪರಿಹಾರ.ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎ)ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

(ಬದಲಿ ನಂತರ ನಾವು ಕೋಷ್ಟಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ್ದೇವೆ 11 )).

ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ b)ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದನ್ನು ನಾವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

5.3 ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣ.ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, "ಭಾಗಗಳ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಏಕೀಕರಣ" ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಅದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

, (5.2)

ಒಂದು ನಿಶ್ಚಿತಕ್ಕಾಗಿ

, (5.3)

ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ.

1) ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್ ಬಹುಪದದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ xಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ
, ನಂತರ ಹಾಗೆ ಯುಬಹುಪದವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ dv.

2) ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್ ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ( ) ಅಥವಾ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ (
) ಕಾರ್ಯಗಳು, ನಂತರ ಯು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.4.ಹುಡುಕಿ: ಎ)
; b)
.

ಪರಿಹಾರ.ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎ)ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ (5.2) ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ನಿಯಮ. ನಿಖರವಾಗಿ, ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ
. ನಂತರ
. ಮುಂದೆ,
, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ
. ಆದ್ದರಿಂದ, . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಮಗ್ರತೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಟ್ಟವು ಛೇದದ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ):

.

ಅಂತಿಮ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ b)ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ (5.3) ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು.

5.4 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು. ಮುಖ್ಯ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡುವುದು ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ, ಇದು ಮೂಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ 10 )-16 ).

ಉದಾಹರಣೆ 5.5.ಹುಡುಕಿ: ಎ)
; b)
; ವಿ)
.

ಪರಿಹಾರ.ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎ)ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ:

ಆದ್ದರಿಂದ (ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ 13) )

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ b)ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ನ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇರುವಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಛೇದದಲ್ಲಿ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಆರಿಸುವುದರಿಂದ (), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ, ಕಾರಣ 11) (ಕೋಷ್ಟಕ 2) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
. ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ x, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ವಿ)ನಾವು ಮೊದಲು ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

5.5 ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕೀಕರಣ.ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ
(ಎಲ್ಲಿ ಮೀಮತ್ತು ಎನ್ – ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

1) ಎರಡೂ ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, "ಪದವಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು" ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ; .

2) ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮೀ ಮತ್ತು ಎನ್- ಬೆಸ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎನ್=2 ಕೆ+1. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ cosx ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ತರಲು "ಸ್ಪ್ಲಿಟ್ ಆಫ್" (ಆದರಿಂದ). ಉಳಿದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ
ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ
() ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಅನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿದ ನಂತರ (ಮತ್ತು ರೇಖೀಯತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು), ನಾವು ರೂಪದ ಸಮಗ್ರಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
, ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು 2) ಕೋಷ್ಟಕ 2 ರಿಂದ:
.

ಜೊತೆಗೆ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಹ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ

ಉದಾಹರಣೆ 5.6.ಹುಡುಕಿ: ಎ)
; b)
; ವಿ)
.

ಪರಿಹಾರ. ಎ)ಸಮಗ್ರತೆಯು ಬೆಸ (5 ನೇ) ಪದವಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಸಿಂಕ್ಸ್, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದರಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ ಎರಡನೇ ನಿಯಮ, ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ b)ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ (5.4 ), ರೇಖೀಯತೆಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ಸಮಾನತೆ
ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕ ಸೂತ್ರ 4):

ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿ)ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪದವಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ, ನಾವು ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕ ಸೂತ್ರಗಳು:

5.6. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅನ್ವಯಗಳು.ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ನಿರಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ [ ಎ; ಬಿ] ಕಾರ್ಯಗಳು f(x), ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವೈ= f(x), ಅಕ್ಷ OXಮತ್ತು ಎರಡು ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳು x= ಎ, x= ಬಿ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು: (ನೋಡಿ. Fig.3) ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ

ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಟೇಬಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ: $$ f"(x) dx = d(f(x)) $$

ನಾನು ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ ಪ್ರಮುಖ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಎಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಯೋಚಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ವಿಧಾನದಿಂದ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ (ಬದಲಿಯಾಗಿ)? ಇದು ಒಂದೇ ವಿಷಯ, ಇದು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ನಿಜ.

ಫಾರ್ಮುಲಾ

ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೋರಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದರ ಭೇದಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬಯಸಿದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ. ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi"(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x) $$

ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾರಾಂಶ

ಈ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲು, ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ಅವರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ:

$ dx = d(x+c), c=const $	$ -\sin x dx=d(\cos x) $
$ dx=\frac(1)(a) d(ax) $	$ \cos x dx = d(\sin x) $
$ xdx=\frac(1)(2) d(x^2+a) $	$ \frac(dx)(x) = d(\ln x) $
$ -\frac(dx)(x^2)= d(\frac(1)(x)) $	$ \frac(dx)(\cos^2 x) = d(tg x) $
$$ \int f(kx+b)dx = \frac(1)(k) \int f(kx+b)d(kx+b) = \frac(1)(k) F(kx+b) + C$$

ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಅವಿಭಾಜ್ಯ $$ \int \sin x \cos x dx $$ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಹಾಕಬಹುದು, ಸೈನ್ ಅಥವಾ ಕೊಸೈನ್ ಕೂಡ. ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗದಿರಲು, $ \cos x $ ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ: $$ \int \sin x \cos xdx = \int \sin x d(\sin x) = \frac(1)(2) \sin^2 x + C $$ ನಿಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ನಮಗೆ ಕಳುಹಿಸಿ. ನಾವು ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಮ್ಮ ಶಿಕ್ಷಕರಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಗ್ರೇಡ್ ಅನ್ನು ಸಮಯೋಚಿತವಾಗಿ ಪಡೆಯಲು ಇದು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ!

ಉತ್ತರ

$$ \int \sin x \cos x dx = \frac(1)(2) \sin^2 x + C $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕೆಲವು ವಿಧದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ನಮ್ಮ ಸಹಾಯವನ್ನು ನಿಮಗೆ ಒದಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಬೇಗ. ಆರ್ಡರ್ ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ನಾವು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ.