ಮೊದಲ ಹಂತ

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ದಿ ಅಲ್ಟಿಮೇಟ್ ಗೈಡ್ (2019)

ಗುಡ್ಡಗಾಡು ಪ್ರದೇಶದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರವಾದ ರಸ್ತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ. ಅಂದರೆ, ಅದು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಲಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಎಡಕ್ಕೆ ತಿರುಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಕ್ಷವನ್ನು ರಸ್ತೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರೆ, ರಸ್ತೆ ರೇಖೆಯು ಕೆಲವು ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ:

ಅಕ್ಷವು ಶೂನ್ಯ ಎತ್ತರದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ; ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮುದ್ರ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಂತಹ ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಮುಂದೆ ಸಾಗುವಾಗ, ನಾವು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಸಹ ಹೇಳಬಹುದು: ವಾದವು ಬದಲಾದಾಗ (ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲನೆ), ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲನೆ). ಈಗ ನಮ್ಮ ರಸ್ತೆಯ "ಕಡಿದಾದ" ಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಎಂದು ಯೋಚಿಸೋಣ? ಇದು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು? ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೂರವನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಎತ್ತರವು ಎಷ್ಟು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ರಸ್ತೆಯ ವಿವಿಧ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಮುಂದಕ್ಕೆ (x- ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ) ಚಲಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಸಮುದ್ರ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ (y- ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ) ಹೋಲಿಸಿದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೀಟರ್‌ಗಳಿಂದ ಏರುತ್ತೇವೆ ಅಥವಾ ಬೀಳುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ("ಡೆಲ್ಟಾ x" ಓದಿ).

ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರವನ್ನು (ಡೆಲ್ಟಾ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ "ಬದಲಾವಣೆ" ಎಂಬರ್ಥದ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ - ಇದು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ, - ಬದಲಾವಣೆ; ಹಾಗಾದರೆ ಅದು ಏನು? ಅದು ಸರಿ, ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ.

ಪ್ರಮುಖ: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಒಂದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ. "ಡೆಲ್ಟಾ" ಅನ್ನು "x" ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಎಂದಿಗೂ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬೇಡಿ! ಅಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, .

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮುಂದೆ, ಅಡ್ಡಲಾಗಿ, ಮೂಲಕ. ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನೊಂದಿಗೆ ರಸ್ತೆಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಏರಿಕೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ? ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ, . ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮುಂದೆ ಹೋದಂತೆ, ನಾವು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಏರುತ್ತೇವೆ.

ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ: ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಚಲಿಸಿದ ನಂತರ ನಾವು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಿಮ ಹಂತವು ಪ್ರಾರಂಭದ ಹಂತಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಅದು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಆರೋಹಣವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವರೋಹಣ.

ನಾವು "ಕಡಿದಾದ" ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ: ಇದು ದೂರದ ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಎತ್ತರವು ಎಷ್ಟು (ಕಡಿದಾದ) ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ:

ರಸ್ತೆಯ ಕೆಲವು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಮುಂದೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ರಸ್ತೆಯು ಒಂದು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಏರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಈ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಇಳಿಜಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ರಸ್ತೆ, ಮೀ ಮೂಲಕ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಕಿಮೀಯಿಂದ ಕೈಬಿಟ್ಟರೆ? ನಂತರ ಇಳಿಜಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಬೆಟ್ಟದ ತುದಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ನೀವು ಶಿಖರಕ್ಕೆ ಅರ್ಧ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಮೊದಲು ವಿಭಾಗದ ಪ್ರಾರಂಭವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ ಅರ್ಧ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಎತ್ತರವು ಬಹುತೇಕ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು.

ಅಂದರೆ, ನಮ್ಮ ತರ್ಕದ ಪ್ರಕಾರ, ಇಲ್ಲಿ ಇಳಿಜಾರು ಬಹುತೇಕ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ಕೇವಲ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಬಹಳಷ್ಟು ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಕಡಿದಾದ ಹೆಚ್ಚು ಸಮರ್ಪಕ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಒಂದು ಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಚಲಿಸುವಾಗ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ನೀವು ಅಳತೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ನಿಖರತೆ ಕೂಡ ನಮಗೆ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ರಸ್ತೆಯ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಂಬವಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗಬಹುದು. ನಂತರ ನಾವು ಯಾವ ದೂರವನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕು? ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್? ಮಿಲಿಮೀಟರ್? ಕಡಿಮೆ ಉತ್ತಮ!

IN ನಿಜ ಜೀವನಹತ್ತಿರದ ಮಿಲಿಮೀಟರ್‌ಗೆ ದೂರವನ್ನು ಅಳೆಯುವುದು ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚು. ಆದರೆ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಪೂರ್ಣತೆಗಾಗಿ ಶ್ರಮಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು ಅಪರಿಮಿತ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಹೆಸರಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಹೇಳುತ್ತೀರಿ: ಒಂದು ಟ್ರಿಲಿಯನ್! ಎಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ? ಮತ್ತು ನೀವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ - ಮತ್ತು ಅದು ಇನ್ನೂ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಬರೆಯಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನಾವು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: (ನಾವು "x ಸೊನ್ನೆಗೆ ಒಲವು" ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ). ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು!ಆದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ತುಂಬಾ ಹತ್ತಿರ. ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಅದರ ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ (). ನೀವು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ನೀವು ಬಹುಶಃ ಈಗಾಗಲೇ ಅದನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೀರಿ: ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನೀವು ಯೋಚಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಎರಡರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಇನ್ನೂ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಮತ್ತು ಅನಂತತೆಯು ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್ನುವುದಕ್ಕಿಂತಲೂ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದು ಮತ್ತು ಅನಂತ ಚಿಕ್ಕದು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ: at.

ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ರಸ್ತೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ. ಆದರ್ಶಪ್ರಾಯವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಇಳಿಜಾರು ಮಾರ್ಗದ ಅಪರಿಮಿತ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಇಳಿಜಾರು, ಅಂದರೆ:

ಅನಂತವಾದ ಸ್ಥಳಾಂತರದೊಂದಿಗೆ, ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಸಹ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ. ಆದರೆ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಎಂದರೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮವಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ. ನೀವು ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ವಿಭಜಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, . ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿಂತ ನಿಖರವಾಗಿ ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇದೆಲ್ಲ ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ? ರಸ್ತೆ, ಕಡಿದಾದ ... ನಾವು ಕಾರ್ ರ್ಯಾಲಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಗುತ್ತಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಾವು ಗಣಿತವನ್ನು ಕಲಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್‌ನ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್‌ನ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವಂತೆಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅವರು ಬದಲಾವಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ () ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವಾಗ ಎಷ್ಟು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಾದ ಹೆಚ್ಚಳಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ದೂರದಿಂದ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವಾಗ ಕಾರ್ಯ (ಎತ್ತರ) ಎಷ್ಟು ಬದಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಯಾವಾಗ ಎಂಬ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಾರ್ಯದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಮೇಲಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ: ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ರಸ್ತೆಯೊಂದಿಗಿನ ಸಾದೃಶ್ಯದಂತೆ, ಇಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಹುದೇ? ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಮತಲ ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿ ಚಾಲನೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಕಡಿದಾದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇದು ನಿಜ, ಎತ್ತರವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ: ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಿಯೆಯ (ಸ್ಥಿರ) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬೆಟ್ಟದ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ತುದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಎತ್ತರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಶೃಂಗದ ಎದುರು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಬದಲಾಯಿತು, ಅಂದರೆ, ವಿಭಾಗವು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಭಾಗಗಳು ತಪ್ಪಾದ ಅಳತೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ನಾವು ನಮ್ಮ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಅದರ ಉದ್ದವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಮೇಲ್ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅದು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಉಳಿಯಿತು, ಅಂದರೆ, ಅದರ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಇದು ಒಲವು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನ

ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು: ನಾವು ಅತ್ಯಂತ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಂತಾಗ, ಎಡಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಣ್ಣ ಶಿಫ್ಟ್ ನಮ್ಮ ಎತ್ತರವನ್ನು ನಗಣ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿವರಣೆಯೂ ಇದೆ: ಶೃಂಗದ ಎಡಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮೊದಲೇ ಕಂಡುಕೊಂಡಂತೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಜಿಗಿತಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸರಾಗವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ರಸ್ತೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ತನ್ನ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ತೀವ್ರವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ). ಆದ್ದರಿಂದ, ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಇರಬೇಕು. ಇದು ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ಶೃಂಗದ ಹಂತದಲ್ಲಿ.

ತೊಟ್ಟಿಗೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ (ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ):

ಏರಿಕೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ವಾದವನ್ನು ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಯಾವ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತೇವೆ? ಅದು (ವಾದ) ಈಗ ಏನಾಯಿತು? ನಾವು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಅದರಿಂದ ನೃತ್ಯ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಅದೇ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗೇನು? ಸಮಾನ ವಾದ? ಬಹಳ ಸುಲಭ: . ಈಗ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ ಏನು? ವಾದವು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಕಾರ್ಯವೂ ಸಹ ಹೋಗುತ್ತದೆ: . ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಹೊಸದೇನೂ ಇಲ್ಲ: ಇದು ಇನ್ನೂ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ:

ಏರಿಕೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ:

1. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳವು ಸಮಾನವಾದಾಗ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
2. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೂ ಅದೇ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರಗಳು:

ಒಂದೇ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ನೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ, ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನಾವು ಇದನ್ನು ಆರಂಭದಲ್ಲಿಯೇ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ - ರಸ್ತೆಯ ಕಡಿದಾದವು ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ, ಯಾವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೂಚಿಸಬೇಕು:

ಪವರ್ ಕಾರ್ಯ.

ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎನ್ನುವುದು ವಾದವು ಸ್ವಲ್ಪ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಇರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ತಾರ್ಕಿಕ, ಸರಿ?).

ಇದಲ್ಲದೆ - ಯಾವುದೇ ಮಟ್ಟಿಗೆ: .

ಘಾತವಾದಾಗ ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣ:

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಆದ್ದರಿಂದ ವಾದವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳ ಏನು?

ಹೆಚ್ಚಳ ಇದು. ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ:

ಉತ್ಪನ್ನವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಬಿ) ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯ (): .

ಈಗ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದರರ್ಥ ಹೆಚ್ಚಳದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇತರ ಪದದ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ನಿಯಮವನ್ನು ತಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಸಿ) ನಾವು ತಾರ್ಕಿಕ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು: ಮೊತ್ತದ ಘನದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೊದಲ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಅಥವಾ ಘನಗಳ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಿ. ಸೂಚಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ನೀವೇ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ:

ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು:

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: .

ಡಿ) ದೊಡ್ಡ ಅಧಿಕಾರಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಇ) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಪೂರ್ಣಾಂಕವೂ ಅಲ್ಲ:

(2)

ನಿಯಮವನ್ನು ಪದಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು: "ಪದವಿಯನ್ನು ಗುಣಾಂಕವಾಗಿ ಮುಂದಕ್ಕೆ ತರಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ."

ನಾವು ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ನಂತರ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ (ಬಹುತೇಕ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ). ಈಗ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

1. (ಎರಡು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ: ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು - ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ);

1. . ಇದನ್ನು ನಂಬಿರಿ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲ, ಇದು ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ "ಇದು ಹೇಗೆ? ಪದವಿ ಎಲ್ಲಿದೆ?”, ವಿಷಯ ನೆನಪಿರಲಿ “”!
   ಹೌದು, ಹೌದು, ಮೂಲವು ಸಹ ಒಂದು ಪದವಿಯಾಗಿದೆ, ಕೇವಲ ಭಾಗಶಃ: .
   ಇದರರ್ಥ ನಮ್ಮ ವರ್ಗಮೂಲವು ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ:
   .
   ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಕಲಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ:

   ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ಮತ್ತೆ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿಷಯವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ ""!!! (ಸುಮಾರು ಪದವಿಯೊಂದಿಗೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸೂಚಕ)

2. . ಈಗ ಘಾತ:

   ಮತ್ತು ಈಗ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ (ನೀವು ಇನ್ನೂ ಮರೆತಿದ್ದೀರಾ?):
   ;
   .
   ಈಗ, ಎಂದಿನಂತೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ:
   .

3. . ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ: .

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಉನ್ನತ ಗಣಿತದಿಂದ ಒಂದು ಸತ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ.

ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ನ ಮೊದಲ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ನೀವು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವಿರಿ (ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಲು, ನೀವು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಬೇಕು). ಈಗ ನಾನು ಅದನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ - ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾದಷ್ಟೂ ಕಾರ್ಯವು ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.ಇದೇ "ಗುರಿ".

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನೀವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಹೌದು, ಹೌದು, ನಾಚಿಕೆಪಡಬೇಡ, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ: ;

ನಿಮ್ಮ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ರೇಡಿಯನ್ಸ್ ಮೋಡ್‌ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ!

ಇತ್ಯಾದಿ ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ದಿ ಹತ್ತಿರದ ಮೌಲ್ಯಗೆ ಸಂಬಂಧ

ಎ) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎಂದಿನಂತೆ, ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಸೈನ್‌ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ("" ವಿಷಯವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ): .

ಈಗ ಉತ್ಪನ್ನ:

ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ: . ಅನಂತರ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಕ್ಕೆ ಅದು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮವೂ ಆಗಿದೆ: . ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಅದನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು, ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ, ನಲ್ಲಿ) ಅಪರಿಮಿತ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ ಏನು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಸೈನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಇವು ಮೂಲ ("ಕೋಷ್ಟಕ") ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಅವರು ಒಂದು ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ:

ನಂತರ ನಾವು ಅವರಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಇವುಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದವು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಭ್ಯಾಸ:

1. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ;
2. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳು:

1. ಮೊದಲಿಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ, ತದನಂತರ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:
   ;
   .
2. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯದ್ದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯ. ಅವಳನ್ನು ಕರೆತರಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ
   ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ:
   .
   ಅದ್ಭುತವಾಗಿದೆ, ಈಗ ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:
   .
   .
3. . Eeeeeee..... ಏನಿದು????

ಸರಿ, ನೀವು ಹೇಳಿದ್ದು ಸರಿ, ಅಂತಹ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಅವರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕಲಿಯಬೇಕು:

ಘಾತ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು "ಘಾತ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ

ಈ ಕಾರ್ಯದ ಆಧಾರವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ - ಇದು ಅನಂತವಾಗಿದೆ ದಶಮಾಂಶ, ಅಂದರೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ). ಇದನ್ನು "ಯೂಲರ್ ಸಂಖ್ಯೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಇದನ್ನು ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿಯಮ:

ನೆನಪಿಡುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ.

ಸರಿ, ನಾವು ದೂರ ಹೋಗಬಾರದು, ತಕ್ಷಣವೇ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಲೋಮವು ಯಾವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ? ಲಾಗರಿಥಮ್:

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆಧಾರವು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ:

ಅಂತಹ ಲಾಗರಿಥಮ್ (ಅಂದರೆ, ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್) ಅನ್ನು "ನೈಸರ್ಗಿಕ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ವಿಶೇಷ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಬದಲಿಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಇದು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ? ಖಂಡಿತವಾಗಿ, .

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
2. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಯಾವುದು?

ಉತ್ತರಗಳು: ಪ್ರದರ್ಶಕ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್- ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋದ ನಂತರ ನಾವು ನಂತರ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು

ಯಾವುದರ ನಿಯಮಗಳು? ಮತ್ತೆ ಹೊಸ ಪದ, ಮತ್ತೆ?!...

ವ್ಯತ್ಯಾಸಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಅಷ್ಟೇ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಂದೇ ಪದದಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಏನು ಕರೆಯಬಹುದು? ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಲ್ಲ... ಗಣಿತಜ್ಞರು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಅದೇ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ಪದವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಬಂದಿದೆ - ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಇಲ್ಲಿ.

ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಡೆದಾಗ, ನಾವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು. ಅವರ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕಾಗಿ ನಮಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಹ ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ:

ಒಟ್ಟು 5 ನಿಯಮಗಳಿವೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೇಳೆ - ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ (ಸ್ಥಿರ), ನಂತರ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ನಿಯಮವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸಹ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ: .

ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ. ಅದು ಇರಲಿ, ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿರಲಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

1. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ;
2. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ;
3. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ;
4. ಹಂತದಲ್ಲಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳು:

1. (ಉತ್ಪನ್ನವು ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ನೆನಪಿಡಿ?);

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಉತ್ಪನ್ನ:

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1. ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು;
2. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳು:

ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಈಗ ನಿಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವು ಯಾವುದೇ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಲಿಯಲು ಸಾಕು, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಘಾತಾಂಕಗಳಲ್ಲ (ನೀವು ಇನ್ನೂ ಏನೆಂದು ಮರೆತಿದ್ದೀರಾ?).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಸ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಸರಳ ನಿಯಮ: . ನಂತರ:

ಸರಿ, ಇದು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆ. ಈಗ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ.

ಸಂಭವಿಸಿದ?

ಇಲ್ಲಿ, ನಿಮ್ಮನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ:

ಸೂತ್ರವು ಘಾತಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಅದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಅಂಶ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು, ಅದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ಆದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಉತ್ತರಗಳು:

ಇದು ಕೇವಲ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಲ್ಲದೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ, ಇದನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಸರಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಇದು ಇಲ್ಲಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದ್ದೀರಿ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಭಿನ್ನ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ನಾವು ಈ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬೇಸ್ಗೆ ತಗ್ಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೂಲವನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೀರಿ? ನೀವು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಈಗ ನಾವು ಬದಲಿಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಛೇದವು ಕೇವಲ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ ಇಲ್ಲದೆ). ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂದಿಗೂ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅತಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

"ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ" ಎಂದರೇನು? ಇಲ್ಲ, ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ಟಜೆಂಟ್ ಅಲ್ಲ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು (ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡರೂ, "ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್" ವಿಷಯವನ್ನು ಓದಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಚೆನ್ನಾಗಿರುತ್ತೀರಿ), ಆದರೆ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, "ಸಂಕೀರ್ಣ" ಪದವು "ಕಷ್ಟ" ಎಂದರ್ಥವಲ್ಲ.

ಸಣ್ಣ ಕನ್ವೇಯರ್ ಬೆಲ್ಟ್ ಅನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ: ಇಬ್ಬರು ಜನರು ಕುಳಿತು ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲನೆಯದು ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಹೊದಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಅದನ್ನು ರಿಬ್ಬನ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಟ್ಟುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಯೋಜಿತ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ: ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಸುತ್ತುವ ಮತ್ತು ರಿಬ್ಬನ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಟ್ಟಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ತಿನ್ನಲು, ನೀವು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮ.

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಗಣಿತದ ಪೈಪ್‌ಲೈನ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ: ಮೊದಲು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಚಾಕೊಲೇಟ್), ನಾನು ಅದರ ಕೊಸೈನ್ (ಹೊದಿಕೆ) ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾನು ಪಡೆದದ್ದನ್ನು ನೀವು ಚೌಕಾಕಾರ ಮಾಡಿ (ಅದನ್ನು ರಿಬ್ಬನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕಟ್ಟಿಕೊಳ್ಳಿ). ಏನಾಯಿತು? ಕಾರ್ಯ. ಇದೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ: ಯಾವಾಗ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೊದಲನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಅದೇ ಹಂತಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು: ಮೊದಲು ನೀವು ಅದನ್ನು ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾನು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇನೆ: . ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಪ್ರಮುಖ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳು: ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕ್ರಮವು ಬದಲಾದಾಗ, ಕಾರ್ಯವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬೇರೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದರ ವಾದವು ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ: .

ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, .

ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆ: (ಅದೇ ವಿಷಯ). .

ನಾವು ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಮಾಡುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ "ಬಾಹ್ಯ" ಕಾರ್ಯ, ಮತ್ತು ಮೊದಲು ಮಾಡಿದ ಕ್ರಿಯೆ - ಅದರ ಪ್ರಕಾರ "ಆಂತರಿಕ" ಕಾರ್ಯ(ಇವು ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಹೆಸರುಗಳು, ನಾನು ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿಷಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುತ್ತೇನೆ).

ಯಾವ ಕಾರ್ಯವು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಆಂತರಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

ಉತ್ತರಗಳು:ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವುದು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ

1. ನಾವು ಮೊದಲು ಯಾವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ? ಮೊದಲಿಗೆ, ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಘನಗೊಳಿಸಿ. ಇದರರ್ಥ ಇದು ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿದೆ.
   ಮತ್ತು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವು ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ: .
2. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .
3. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .
4. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .
5. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .

ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸರಿ, ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಯಾವಾಗಲೂ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಮೊದಲು ನಾವು ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಆಂತರಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅಧಿಕೃತ ನಿಯಮವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

ಇದು ಸರಳವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಸರಿ?

ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಪರಿಹಾರಗಳು:

1) ಆಂತರಿಕ:;

ಬಾಹ್ಯ:;

2) ಆಂತರಿಕ:;

(ಇದೀಗ ಅದನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಡಿ! ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಏನೂ ಹೊರಬರುವುದಿಲ್ಲ, ನೆನಪಿದೆಯೇ?)

3) ಆಂತರಿಕ:;

ಬಾಹ್ಯ:;

ಇದು ಮೂರು ಹಂತದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ: ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ವತಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅದರಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮೂರನೇ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ನಾವು ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಅನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಹೊದಿಕೆ ಮತ್ತು ಬ್ರೀಫ್ಕೇಸ್ನಲ್ಲಿ ರಿಬ್ಬನ್ನೊಂದಿಗೆ). ಆದರೆ ಭಯಪಡಲು ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವಿಲ್ಲ: ನಾವು ಇನ್ನೂ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಂದಿನಂತೆ ಅದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ "ಅನ್ಪ್ಯಾಕ್" ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಅಂತ್ಯದಿಂದ.

ಅಂದರೆ, ಮೊದಲು ನಾವು ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಕೊಸೈನ್, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. ತದನಂತರ ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ? ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ನಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೆಚ್ಚು "ಬಾಹ್ಯ" ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯವು ಇರುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಗೂಡುಕಟ್ಟುವಿಕೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 4-ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.

1. ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. .

2. ರೂಟ್. .

3. ಸೈನ್. .

4. ಚೌಕ. .

5. ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ- ವಾದದ ಅಪರಿಮಿತ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕಾಗಿ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತ:

ಮೂಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು:

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ:

ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:

ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ:

ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

1. ನಾವು "ಆಂತರಿಕ" ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.
2. ನಾವು "ಬಾಹ್ಯ" ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.
3. ನಾವು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಂಕಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಲೇಖನದ ವಿಷಯ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ- ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವೈ = f(X), ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ( ಎ, ಬಿ) ಹಂತದಲ್ಲಿ Xಈ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ fಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ವಾದದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ.

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಇತರ ಪದನಾಮಗಳನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ತ್ವರಿತ ವೇಗ.

ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಿಡಿ ಎಂನೇರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ದೂರ ರುಚಲಿಸುವ ಬಿಂದು, ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಎಣಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂ 0 , ಸಮಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಟಿ, ಅಂದರೆ ರುಸಮಯದ ಕಾರ್ಯವಿದೆ ಟಿ: ರು= f(ಟಿ). ಕೆಲವು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವಕಾಶ ಟಿಚಲಿಸುವ ಬಿಂದು ಎಂದೂರದಲ್ಲಿತ್ತು ರುಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಎಂ 0, ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಟಿ+ಡಿ ಟಿಒಂದು ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ತನ್ನನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಳು ಎಂ 1 - ದೂರದಲ್ಲಿ ರು+ಡಿ ರುಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ( ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ.).

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಡಿ ಟಿದೂರ ರುಡಿ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ ರು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವರು ಹೇಳುವ ಪ್ರಕಾರ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಡಿ ಟಿಪರಿಮಾಣ ರುಡಿ ಇಂಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಪಡೆದರು ರು.

ಸರಾಸರಿ ವೇಗವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ವೇಗವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಟಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಧ್ಯಂತರದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ದೇಹ ಡಿ ಟಿಬಹಳ ವೇಗವಾಗಿ ಚಲಿಸಿತು, ಮತ್ತು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಬಹಳ ನಿಧಾನವಾಗಿ, ನಂತರ ಸರಾಸರಿ ವೇಗವು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ಸೂಚಿಸಲಾದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಅದರ ಚಲನೆಯ ನಿಜವಾದ ವೇಗದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಟಿ. ಸರಾಸರಿ ವೇಗವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಜವಾದ ವೇಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು, ನೀವು ಕಡಿಮೆ ಸಮಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ D ಟಿ. ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ವೇಗವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಟಿ D ನಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ವೇಗದ ಮಿತಿ ಟಿ® 0. ಈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಚಲನೆಯ ವೇಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಕ್ಷಣ:

ಹೀಗಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯ ವೇಗವನ್ನು ಪಥ ಹೆಚ್ಚಳ ಅನುಪಾತ ಡಿ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರುಸಮಯ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಡಿ ಟಿ, ಸಮಯ ಹೆಚ್ಚಳವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ. ಏಕೆಂದರೆ

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ. ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ.

ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವು ವಿಭಿನ್ನ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಜನ್ಮಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಬರೆದ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೊದಲ ಪ್ರಕಟಿತ ಕೃತಿಯು ಶೀರ್ಷಿಕೆಯಾಗಿತ್ತು ಹೊಸ ವಿಧಾನಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾ ಮತ್ತು ಮಿನಿಮಾ, ಹಾಗೆಯೇ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು, ಇದಕ್ಕೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಥವಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಅಡಚಣೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರಲಿ ವೈ =f(Xಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ( ಸೆಂ.ಮೀ. ಅಕ್ಕಿ.).

ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ Xಕಾರ್ಯ ವಿಷಯಗಳು ವೈ =f(X) ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು Xಮತ್ತು ವೈವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂ 0(X, ವೈ) ವಾದದ ವೇಳೆ Xಕೊಡು ಹೆಚ್ಚಳ ಡಿ X, ನಂತರ ವಾದದ ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯ X+ಡಿ Xಹೊಸ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ y+ಡಿ ವೈ = f(X + ಡಿ X) ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವು ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂ 1(X+ಡಿ X,ವೈ+ಡಿ ವೈ) ನೀವು ಸೆಕೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ ಎಂ 0ಎಂ 1 ಮತ್ತು j ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನ ಎತ್ತು, ಎಂಬುದು ಆಕೃತಿಯಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವೇಳೆ ಡಿ Xಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು, ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ 1 ಕರ್ವ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಂ 0, ಮತ್ತು ಕೋನ ಜ ಡಿ ಜೊತೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ X. ನಲ್ಲಿ Dx® 0 ಕೋನವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಿತಿ a ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಎಂ 0 ಮತ್ತು x-ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಘಟಕ, ಕೋನ a, ಬಯಸಿದ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಇಳಿಜಾರು:

ಆದ್ದರಿಂದ, f´( X) = tga

ಆ. ಉತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯ f´( X) ನೀಡಿದ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ Xಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ f(X) ಅನುಗುಣವಾದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಂ 0(X,ವೈ) ಧನಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಎತ್ತು.

ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ ವೈ = f(X) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ X = X 0, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರಂತರತೆ. ಪ್ರಮೇಯ.

ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ ವೈ = f(X) ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X = X 0, ನಂತರ ಇದು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಿರುದ್ಧವಾದ ತೀರ್ಮಾನವು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ X = X 0 ಕಾರ್ಯ ವೈ = f(X) ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದರೆ ಅದು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯ ವೈ = |X| ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನಿರಂತರ X(–Ґ x x = 0 ಯಾವುದೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕವಿಲ್ಲ. ಬಲ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗವಿದೆ, ಆದರೆ ಅವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕುರಿತು ಕೆಲವು ಪ್ರಮೇಯಗಳು. ಉತ್ಪನ್ನದ ಬೇರುಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯ (ರೋಲ್ ಪ್ರಮೇಯ).ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ f(X) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ಎ,ಬಿ], ಈ ವಿಭಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X = ಎಮತ್ತು X = ಬಿಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ( f(ಎ) = f(ಬಿ) = 0), ನಂತರ ವಿಭಾಗದ ಒಳಗೆ [ ಎ,ಬಿ] ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ X= ಜೊತೆಗೆ, ಎ c b, ಇದರಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನ fў( X) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. fў( ಸಿ) = 0.

ಫಿನೈಟ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಪ್ರಮೇಯ (ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಪ್ರಮೇಯ).ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ ಎ, ಬಿ] ಮತ್ತು ಈ ವಿಭಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ವಿಭಾಗದ ಒಳಗೆ [ ಎ, ಬಿ] ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ ಜೊತೆಗೆ, ಎಸಿ ಬಿ ಅದು

f(ಬಿ) – f(ಎ) = fў( ಸಿ)(ಬಿ– ಎ).

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಏರಿಕೆಗಳ ಅನುಪಾತದ ಪ್ರಮೇಯ (ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಮೇಯ).ಒಂದು ವೇಳೆ f(X) ಮತ್ತು ಜಿ(X) - ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳು [ಎ, ಬಿ] ಮತ್ತು ಈ ವಿಭಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಜಿў( X) ಈ ವಿಭಾಗದ ಒಳಗೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಮಾಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ವಿಭಾಗದ ಒಳಗೆ [ ಎ, ಬಿ] ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ X = ಜೊತೆಗೆ, ಎಸಿ ಬಿ ಅದು

ವಿವಿಧ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.

ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ ವೈ =f(X) ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗುತ್ತದೆ [ ಎ, ಬಿ]. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು f ў( X), ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ X, ಅಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನ f ў( X) ಸಹ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ X. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ f(X), ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ f ўў ( X).

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ n-ಕಾರ್ಯದ ಕ್ರಮ f(X) ಉತ್ಪನ್ನದ (ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ) ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ n- 1- ನೇ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವೈ(ಎನ್) = (ವೈ(ಎನ್- 1)) ў.

ವಿವಿಧ ಆದೇಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು.

ಫಂಕ್ಷನ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ವೈ = f(X), ಎಲ್ಲಿ X- ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್, ಹೌದು dy = f ў( X)dx, ನಿಂದ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳು X, ಆದರೆ ನಿಂದ Xಮೊದಲ ಅಂಶವು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ f ў( X), ಎರಡನೇ ಅಂಶ ( dx) ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳವಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ಈ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ dyನಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ X, ನಂತರ ನಾವು ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಕ್ರಿಯೆಯ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ-ಆರ್ಡರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಡಿ 2ವೈ:

ಡಿ(dx) = ಡಿ 2ವೈ = f ўў( X)(dx) 2 .

ಭೇದಾತ್ಮಕ n-ಮೊದಲ ಕ್ರಮವನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್‌ನ ಮೊದಲ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ n- 1- ನೇ ಆದೇಶ:

ಡಿ ಎನ್ ವೈ = ಡಿ(ಡಿ ಎನ್–1ವೈ) = f(ಎನ್)(X)dx(ಎನ್).

ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಒಂದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಹಲವಾರು ವಾದಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ x i(i 1 ರಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್,i= 1, 2,… ಎನ್),f(X 1,X 2,… x n), ನಂತರ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ವಾದವು ಬದಲಾದಾಗ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x i. ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನ x iಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ವಾದಗಳು ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ x i, ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಇರಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ, ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ

ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಅದೇ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ) ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಬಹುದು, ಇವುಗಳು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ. ವಿಭಿನ್ನ ವಾದಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಅಂತಹ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಕ್ರಮದ ನಿರಂತರ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅನ್ನಾ ಚುಗೈನೋವಾ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.\(y = f(x)\) ಕಾರ್ಯವು \(x_0\) ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಿ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಬಿಡದಂತೆ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ \(\ಡೆಲ್ಟಾ x \) ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ \(\Delta y \) (ಬಿಂದು \(x_0 \) ನಿಂದ \(x_0 + \Delta x \) ಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ) ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ \(\frac(\Delta y)(\ಡೆಲ್ಟಾ x) \). \(\Delta x \rightarrow 0\) ನಲ್ಲಿ ಈ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ\(x_0 \) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ \(y=f(x) \) ಮತ್ತು \(f"(x_0) \) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು y ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. y" = f(x) ಒಂದು ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ x ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ y = f(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: y = f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಉತ್ಪನ್ನಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ. y-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲದ abscissa x=a ನೊಂದಿಗೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, f(a) ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ :
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \), ನಂತರ ಸಮಾನತೆ \(f"(a) = tan(a) \) ನಿಜ.

ಈಗ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಕಾರ್ಯವು \(y = f(x)\) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ಇದರರ್ಥ x ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), ಅಂದರೆ \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ಡೆಲ್ಟಾ x\). ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆಯ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಅರ್ಥವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ "ಬಹುತೇಕ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ" ಮತ್ತು ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ X. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ \(y = x^2\) ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ \(\Delta y \ approx 2x \cdot \Delta x \) ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅದು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

1. \(x\) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ, \(f(x)\) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ
2. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ \(x\) ಇಂಕ್ರಿಮೆಂಟ್ \(\ಡೆಲ್ಟಾ x\) ನೀಡಿ, ಹೊಸ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹೋಗಿ \(x+ \Delta x \), \(f(x+ \Delta x) \) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ
3. ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರಚಿಸಿ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ಈ ಮಿತಿಯು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ y = f(x) x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಸಿಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. y = f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕಾರ್ಯಗಳು y = f(x).

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸೋಣ: ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಹೇಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ?

x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ M(x; f(x)) ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವು f "(x) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಗ್ರಾಫ್ "ಮುರಿಯಲು" ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪಾಯಿಂಟ್ M ನಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ ಕ್ರಿಯೆಯು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರಬೇಕು.

ಇವು "ಹ್ಯಾಂಡ್-ಆನ್" ವಾದಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ. x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ \(\Delta x \) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ನಂತರ \(\Delta y\) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ರಿವರ್ಸ್ ಹೇಳಿಕೆ ನಿಜವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಕಾರ್ಯ y = |x| ಎಲ್ಲೆಡೆ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ x = 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ, ಆದರೆ "ಜಂಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್" (0; 0) ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ. \(y=\sqrt(x)\) ಕಾರ್ಯವು x = 0 ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು x = 0 ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವು y-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಮೀಕರಣವು x = 0 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂತಹ ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಕೋನ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ \(f "(0)\) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಹೊಸ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಯಿತು - ವಿಭಿನ್ನತೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಅದು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಗೆ ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು?

ಉತ್ತರವನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅದು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಭಾಗಗಳು, ಮೊತ್ತಗಳು, ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ "ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು", ಅಂದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಈ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುವ ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯಬಹುದು. C ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು f=f(x), g=g(x) ಕೆಲವು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನಿಜ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

(\ದೊಡ್ಡದು\bf ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ)

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ y=f(x), ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಎ, ಬಿ). ಅವಕಾಶ X- ಮಧ್ಯಂತರದ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು (ಎ, ಬಿ), ಎ Δx- ಮೌಲ್ಯದಂತಹ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ x+Δxಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೂ ಸೇರಿದೆ (ಎ, ಬಿ). ಈ ಸಂಖ್ಯೆ Δxಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳ y=f(x)ಹಂತದಲ್ಲಿ X, ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ Δx, ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕರೆ ಮಾಡೋಣ

Δy = f(x+Δx) - f(x).

ಎಂದು ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ Δx ≠ 0. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ Xಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತವು ಅನುಗುಣವಾದ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ Δx

ನಾವು ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೌಲ್ಯದಿಂದ Xನಾವು ಸ್ಥಿರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅನುಪಾತವು ವಾದದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ Δx. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ Δx, ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿದೆ Δx=0, ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ Δx=0. ಹೀಗಾಗಿ, ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಮಗೆ ಹಕ್ಕಿದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯನಲ್ಲಿ Δx → 0.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ y=f(x)ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ Xನಲ್ಲಿ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ Δx → 0ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅನುಪಾತ, ಅಂದರೆ

ಈ ಮಿತಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಹುದ್ದೆ. y′(x)ಅಥವಾ f′(x).

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ: ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f(x)ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ Xಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎತ್ತುಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ:

f′(x 0) = \tgα.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಅರ್ಥ: ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಾರ್ಗದ ಉತ್ಪನ್ನವು ವೇಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಚಲನೆಅಂಕಗಳು:

ರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣ y=f(x)ಹಂತದಲ್ಲಿ M 0 (x 0 ,y 0)ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವು ಅದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ f′(x 0)≠ 0, ನಂತರ ಸಾಲಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯದ ಸಮೀಕರಣ y=f(x)ಹಂತದಲ್ಲಿ M 0 (x 0 ,y 0)ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ y=f(x)ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (ಎ, ಬಿ), X- ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯ, Δx- ವಾದದ ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚಳ, ಅಂದರೆ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯ x+Δx ∈ (a, b).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಕಾರ್ಯ y=f(x)ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಸಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ X, ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ವೇಳೆ Δyಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯ X, ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ Δx, ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು

Δy = A Δx +αΔx,

ಎಲ್ಲಿ ಎ- ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ Δx, ಎ α - ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯ Δx, ಇದು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ Δx→ 0.

ಎರಡು ಅಪರಿಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ αΔxಹೆಚ್ಚು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕ, ಹೇಗೆ Δx(3 ಅಪರಿಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆಸ್ತಿ), ನಂತರ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

Δy = A Δx +o(Δx).

ಪ್ರಮೇಯ. ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ y=f(x)ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿತ್ತು X, ಇದು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ A=f′(x), ಅದು

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ y=f(x) X, ನಂತರ ಇದು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯಿಂದ y=f(x)ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ X, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅನುಸರಿಸುವುದಿಲ್ಲ f(x)ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯ y=|x|- ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ x=0, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ y=f(x)ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ X:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ y=xನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, ಅದು dx=Δx- ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಈ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

ಭೇದಾತ್ಮಕ dyಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಳ Δyಕಾರ್ಯಗಳು y=f(x)ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ X, ಎರಡೂ ಒಂದೇ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ Δx, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ: ವಾದವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಾಗ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. Δx.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು

ಪ್ರಮೇಯ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳಿದ್ದರೆ u(x)ಮತ್ತು v(x)ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು X, ನಂತರ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅಂಶ (ಭಾಗಶಃ ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ v(x)≠ 0) ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಹ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ y=f(φ(x))≡ F(x), ಎಲ್ಲಿ y=f(u), u=φ(x). ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಯುಎಂದು ಕರೆದರು ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದ, X - ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್.

ಪ್ರಮೇಯ. ಒಂದು ವೇಳೆ y=f(u)ಮತ್ತು u=φ(x)ಅವುಗಳ ವಾದಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು, ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ y=f(φ(x))ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಅದು ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ ಆಗಿದೆ y=F(f(φ(x))), ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

y′ x = y′ u u′ v′ x,

ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ v=φ(x), u=f(v)ಮತ್ತು y=F(u)- ಅವರ ವಾದಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಪ್ರಮೇಯ. ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ y=f(x)ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ x 0. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸೂಚಿಸಿದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಲಿ x 0ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f′(x 0) ≠ 0. ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ y 0 =f(x 0)ವಿಲೋಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ y=f(x)ಕಾರ್ಯ x=f -1 (y), ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾದ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವು ಅನುಗುಣವಾದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ y 0 =f(x 0)ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ವೈಸೂತ್ರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

ಮೊದಲ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ರೂಪದ ಅಸ್ಥಿರತೆ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಒಂದು ವೇಳೆ y=f(x), x=φ(t)- ಅವರ ವಾದಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ y=f(φ(t))ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ

y′ t = y′ x x′ t.

ಎ-ಪ್ರಿಯರಿ dy=y′ t dt, ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ

ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೊದಲ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ರೂಪದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಆಸ್ತಿ: ವಾದದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದ್ದಂತೆ Xಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವಾದದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ Xಸ್ವತಃ ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ನ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ dyಕಾರ್ಯಗಳು y=f(x)ವಾದದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ dx.

ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ dyಕಾರ್ಯಗಳು y=f(x), ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಏರಿಕೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ Δyಈ ಕಾರ್ಯ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನಂತದವರೆಗೆ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಣ್ಣ ಕಾರ್ಯಚಿಕ್ಕದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮ Δx, ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ

Δy ≈ ಡೈ.

ಅನುಪಾತವನ್ನು ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ Δy-dy=o(Δx), ನಂತರ ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದರೊಂದಿಗೆ ಬಯಸಿದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತದೆ |Δх|.

ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxಅಥವಾ

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

ಈ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆಯು ದೋಷದೊಂದಿಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ o(Δx)ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ f(x)ಬಿಂದುವಿನ ಸಣ್ಣ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ X(ಅಂದರೆ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ Δx) ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವಾದ Δx, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವುದು.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನ (ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ). y=f(x)ಅದರ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಕೇತ y=f(x):

ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಅರ್ಥ. ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ y=f(x)ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನ f″(x)ಸಮಯದ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ವೇಗವರ್ಧನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X.

ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಎನ್ನೇ ಉತ್ಪನ್ನ (ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನ ಎನ್-ನೇ ಆದೇಶ) ಕಾರ್ಯಗಳು y=f(x)ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ n-1ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

ಹುದ್ದೆಗಳು: y″′, y IV, ವೈ ವಿಇತ್ಯಾದಿ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸರಳವಾದ (ಮತ್ತು ತುಂಬಾ ಸರಳವಲ್ಲ) ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಖರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿಯಮಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು. . ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದವರು ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ (1643-1727) ಮತ್ತು ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೀಬ್ನಿಜ್ (1646-1716).

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನೀವು ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಿಮಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಘಟಕಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿಮತ್ತು ಯಾವ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ (ಉತ್ಪನ್ನ, ಮೊತ್ತ, ಅಂಶ)ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಮತ್ತಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳುನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ, ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸೂತ್ರಗಳು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ನಂತರ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು "x" ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಎರಡನೇ ಪದವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ; ಇದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಏನಾದರೂ ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಇನ್ನೂ ಉದ್ಭವಿಸಿದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಸರಳ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾದ ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೆರವುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಇದೀಗ ಅವರ ಕಡೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇವೆ.

ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

1. ಸ್ಥಿರ (ಸಂಖ್ಯೆ) ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ (1, 2, 5, 200...). ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ
2. ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ "ಎಕ್ಸ್". ಯಾವಾಗಲೂ ಒಬ್ಬರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ದೀರ್ಘಕಾಲ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಹ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ
3. ಪದವಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಚದರ-ಅಲ್ಲದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು.
4. ಪವರ್ -1 ಗೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
5. ಉತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗ ಮೂಲ
6. ಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
7. ಕೊಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
8. ಸ್ಪರ್ಶಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
9. ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ
10. ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
11. ಆರ್ಕೋಸಿನ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
12. ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
13. ಆರ್ಕ್ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ
14. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
15. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
16. ಘಾತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
17. ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು

1. ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
2. ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ
2a. ಸ್ಥಿರ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
3. ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
4. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ನಿಯಮ 1.ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ

ಮತ್ತು

ಆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮ. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿರ ಪದದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ

ನಿಯಮ 2.ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು

ಆ. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 1. ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಫಲಿತಾಂಶ 2. ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರವುಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಗುಣಕಗಳಿಗೆ:

ನಿಯಮ 3.ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು , ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಅಂಶವು ಸಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆu/v, ಮತ್ತು

ಆ. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಂಶವು ಛೇದದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಛೇದನ ಮತ್ತು ಛೇದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಹಿಂದಿನ ಅಂಶ.

ಇತರ ಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ನೋಡಬೇಕು

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕುರಿತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ."ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶ".

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ನೀವು ಸ್ಥಿರವನ್ನು (ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆ) ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವಾಗಿ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು! ಒಂದು ಪದದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ತಪ್ಪು, ಇದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸರಾಸರಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಹಲವಾರು ಒಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಭಾಗಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾನೆ, ಅವನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಈ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ ಯು"v, ಯಾವುದರಲ್ಲಿ ಯು- ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 ಅಥವಾ 5, ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿರ, ನಂತರ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆ 10 ರಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ).

ಇತರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪು- ಸರಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪರಿಹಾರ. ಅದಕ್ಕೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲೇಖನವನ್ನು ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಮೊದಲು ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ದಾರಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸದೆ ನೀವು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಹೊಸ ವಿಂಡೋಗಳಲ್ಲಿ ಕೈಪಿಡಿಯನ್ನು ತೆರೆಯಬೇಕಾಗಬಹುದು. ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳುಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು .

ನೀವು ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ತೋರುತ್ತಿರುವಾಗ , ನಂತರ "ಅಧಿಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" ಪಾಠವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ.

ನೀವು ಅಂತಹ ಕೆಲಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ , ನಂತರ ನೀವು "ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು" ಪಾಠವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ.

ಹಂತ-ಹಂತದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು - ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ: ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎರಡನ್ನೂ ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ (ಸಂಖ್ಯೆ), ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, "X" ಒಂದಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ 5 ಶೂನ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, "x" ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು "x" ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಂತೆ ಒಂದೇ ಘಟಕದಿಂದ ಎರಡನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಂಶವು ಛೇದದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಛೇದ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ಹಿಂದಿನ ಅಂಶದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಎರಡನೇ ಅಂಶವಾಗಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಮರೆಯಬಾರದು:

ನೀವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳ ನಿರಂತರ ರಾಶಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, , ನಂತರ ತರಗತಿಗೆ ಸ್ವಾಗತ "ಅಧಿಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" .

ನೀವು ಸೈನ್‌ಗಳು, ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು, ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಮತ್ತು ಇತರರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕುರಿತು ಇನ್ನಷ್ಟು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ತೋರುತ್ತಿರುವಾಗ , ನಂತರ ನಿಮಗೊಂದು ಪಾಠ "ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು" .

ಉದಾಹರಣೆ 5.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವೆಂದರೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯನಾವು ಪಡೆಯುವ ವರ್ಗಮೂಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:

ಉದಾಹರಣೆ 6.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಅದರ ಲಾಭಾಂಶವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆ 4 ರಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಿದ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.