ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣ

ಪಿ. ರೊಮಾನೋವ್, ಟಿ. ರೊಮಾನೋವಾ,
ಮ್ಯಾಗ್ನಿಟೋಗೋರ್ಸ್ಕ್,
ಚೆಲ್ಯಾಬಿನ್ಸ್ಕ್ ಪ್ರದೇಶ

ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣ

ITAKA+ ಹೋಟೆಲ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್‌ನ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಲೇಖನವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಡಗು ನಿರ್ಮಾಣಗಾರರ ಸೆವೆರೊಡ್ವಿನ್ಸ್ಕ್ ನಗರದಲ್ಲಿ ತಂಗಿದಾಗ, ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ವಸತಿ ಹುಡುಕುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವು ಎದುರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. , ಹೋಟೆಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣ "ITHAKA +" http://itakaplus.ru ನ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಅವಧಿಗೆ, ದೈನಂದಿನ ಪಾವತಿಯೊಂದಿಗೆ ನಗರದಲ್ಲಿ ಅಪಾರ್ಟ್ಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮತ್ತು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಬಾಡಿಗೆಗೆ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಆನ್ ಆಧುನಿಕ ಹಂತಶಿಕ್ಷಣದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ, ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ ಸೃಜನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಯೋಚಿಸುವ ವ್ಯಕ್ತಿತ್ವದ ರಚನೆ. ಸಂಶೋಧನಾ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ಸೃಜನಶೀಲತೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಬಹುದು. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮ್ಮ ಸೃಜನಶೀಲ ಶಕ್ತಿಗಳು, ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಭೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಅಡಿಪಾಯವು ಪೂರ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಷಯಕ್ಕೂ ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸಣ್ಣ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ನೀತಿಬೋಧಕ ಗುರಿಯಾಗಿರಬಾರದು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಆದರೆ ಅವರ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಯೋಚಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ವಿಶಾಲವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಸಮಗ್ರತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂತರ್ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬರೆಯಬೇಕೆಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಕಲಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಾಲುಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ (ಬಂಡಲ್, ಕುಟುಂಬ) ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ - ಅವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವ ಸಾಲುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು:

a) xOy ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಒಂದು ಬಿಂದು (ರೇಖೆಗಳ ಕೇಂದ್ರ ಪೆನ್ಸಿಲ್);
ಬಿ) ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕ (ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರ ಕಿರಣ).

ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಸಿಸ್ಟಂನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು "ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ" ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಎರಡು ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದ್ದೇವೆ:

1) ಅದು ಹಾದುಹೋಗುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಸ್ಪರ್ಶದ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು;
2) ಅದರ ಇಳಿಜಾರು ನೀಡಿದ ಸ್ಪರ್ಶಕದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು.

A.G ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ತರಬೇತಿಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಯಿತು. ಮೊರ್ಡ್ಕೋವಿಚ್. ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಅದರ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು a (x0 ಬದಲಿಗೆ) ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) ಜೊತೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿ). ಕ್ರಮಬದ್ಧ ತಂತ್ರ, ನಮ್ಮ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

1. ಎ ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿ.
2. ಎಫ್ (ಎ) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
3. f "(x) ಮತ್ತು f "(a) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
4. ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು a, f(a), f "(a) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಸ್ಪರ್ಶಕ y = f(a) = f "(a)(x – a).

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಷ್ಠಾನದ ಅನುಕ್ರಮದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಬಹುದು.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಪರಿಹಾರವು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಹಂತಗಳು ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಉಲ್ಲೇಖ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅಭ್ಯಾಸವು ತೋರಿಸಿದೆ. . ಈ ವಿಧಾನವು P.Ya ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಮಾನಸಿಕ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕ್ರಮೇಣ ರಚನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಗಲ್ಪೆರಿನ್ ಮತ್ತು ಎನ್.ಎಫ್. ತಾಲಿಜಿನಾ.

ಮೊದಲ ವಿಧದ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ:

• ಸ್ಪರ್ಶಕವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ (ಸಮಸ್ಯೆ 1);
• ಸ್ಪರ್ಶಕವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ (ಸಮಸ್ಯೆ 2).

ಕಾರ್ಯ 1. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಪಾಯಿಂಟ್ M (3; - 2) ನಲ್ಲಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಪಾಯಿಂಟ್ M(3; – 2) ಒಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದು, ರಿಂದ

1. a = 3 - ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ abscissa.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮೀಕರಣ.

ಸಮಸ್ಯೆ 2. M(- 3; 6) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ y = – x 2 – 4x + 2 ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಪಾಯಿಂಟ್ M(- 3; 6) ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ f(- 3) 6 (ಚಿತ್ರ 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮೀಕರಣ.

ಸ್ಪರ್ಶಕವು M(- 3; 6) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

a = – 4 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮೀಕರಣವು y = 4x + 18 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

a = – 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವು y = 6 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೆಯ ಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತವೆ:

• ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಕೆಲವು ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸಮಸ್ಯೆ 3);
• ಸ್ಪರ್ಶಕವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ (ಸಮಸ್ಯೆ 4).

ಸಮಸ್ಯೆ 3. ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು y = x 3 - 3x 2 + 3 ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ y = 9x + 1 ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

1. a - ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ abscissa.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

ಆದರೆ, ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, f "(a) = 9 (ಸಮಾನಾಂತರ ಸ್ಥಿತಿ). ಇದರರ್ಥ ನಾವು 3a 2 – 6a = 9 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದರ ಬೇರುಗಳು a = – 1, a = 3 (Fig. 3 )

4. 1) a = – 1;
2) ಎಫ್ (– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 - ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮೀಕರಣ;

1) a = 3;
2) ಎಫ್ (3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x - 24 - ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮೀಕರಣ.

ಸಮಸ್ಯೆ 4. y = 0.5x 2 - 3x + 1 ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, 45 ° ಕೋನದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆ y = 0 (Fig. 4) ಗೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ. f "(a) = tan 45° ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಾವು a: a – 3 = 1 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ^a = 4.

1. a = 4 - ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ abscissa.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮೀಕರಣ.

ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ.

1. ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = 2x 2 - 5x - 2 ಗೆ ಬರೆಯಿರಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ 3 (ಚಿತ್ರ 5) ನೊಂದಿಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದರೆ.

ಪರಿಹಾರ. ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರದ ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆ 1 ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

1. a = 3 - ಬಲ ಕೋನದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ abscissa.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – ಮೊದಲ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣ.

ಅವಕಾಶ ಎ - ಮೊದಲ ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನ. ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎರಡನೇ ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ. y = 7x - 20 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು tg ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊದಲ ಸ್ಪರ್ಶಕ a = 7. ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

ಇದರರ್ಥ ಎರಡನೇ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮುಂದಿನ ಪರಿಹಾರವು ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯ 3 ಗೆ ಬರುತ್ತದೆ.

B(c; f(c)) ಎರಡನೆಯ ಸಾಲಿನ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ

1. - ಸ್ಪರ್ಶದ ಎರಡನೇ ಬಿಂದುವಿನ abscissa.
2.
3.
4.
- ಎರಡನೇ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣ.

ಸೂಚನೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು k 1 k 2 = – 1 ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಸ್ಪರ್ಶದ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

2. ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ. ಕಾರ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಅಂದರೆ, ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆ 1 ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (ಚಿತ್ರ 6).

1. y = x 2 + x + 1 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ abscissa ಆಗಿರಲಿ.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಸಿ ಆಗಿರಲಿ
2.
3. f "(c) = c.
4.

ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ

ಆದ್ದರಿಂದ y = x + 1 ಮತ್ತು y = – 3x – 3 ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಾಗಿವೆ.

ಕೆಲವು ಸಂಶೋಧನಾ ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುವುದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮುಖ್ಯ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ (ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಹೋಲಿಕೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ, ಊಹೆಯನ್ನು ಮುಂದಿಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ, ಇತ್ಯಾದಿ). ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳು ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಘಟಕವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು (ಸಮಸ್ಯೆ 1 ಗೆ ವಿಲೋಮ) ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

3. y = x ಮತ್ತು y = – 2x ರೇಖೆಗಳು y = x 2 + bx + c ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಯಾವ ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ರೇಖೆಗಳು?

ಪರಿಹಾರ.

t ಎಂಬುದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = x 2 + bx + c ನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ y = x ನ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ abscissa ಆಗಿರಲಿ; p ಎಂಬುದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = x 2 + bx + c ಯೊಂದಿಗೆ y = – 2x ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಆಗಿದೆ. ನಂತರ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣ y = x ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ y = (2t + b)x + c – t 2 , ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣ y = – 2x ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ y = (2p + b)x + c – p 2 .

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸೋಣ

ಉತ್ತರ:

ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

1. y = x + 3 ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ನ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ y = 2x 2 - 4x + 3 ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಉತ್ತರ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9.5.

2. a ಯ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು y = x 2 - ax ಎಂಬ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - abscissa x 0 = 1 ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ M(2; 3) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ?

ಉತ್ತರ: a = 0.5.

3. p ನ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆ y = px – 5 ಕರ್ವ್ y = 3x 2 – 4x – 2 ಅನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ?

ಉತ್ತರ: ಪು 1 = – 10, ಪು 2 = 2.

4. y = 3x – x 3 ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು P(0; 16) ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಈ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಉತ್ತರ: ಎ (2; - 2), ಬಿ (- 4; 52).

5. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = x 2 + 6x + 10 ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಡುವಿನ ಕಡಿಮೆ ಅಂತರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಉತ್ತರ:

6. y = x 2 – x + 1 ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ, ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು y – 3x + 1 = 0 ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉತ್ತರ: M(2; 3).

7. y = x 2 + 2x – | ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ 4x |, ಇದು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ. ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡಿ.

ಉತ್ತರ: y = 2x – 4.

8. y = 2x – 1 ರೇಖೆಯು y = x 4 + 3x 2 + 2x ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಅವರ ಹತ್ತಿರದ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉತ್ತರ:

9. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = x 2 ರಂದು, ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ x 1 = 1, x 2 = 3 ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಸೆಕೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಯಾವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸೆಕೆಂಟ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ? ಸೆಕೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಉತ್ತರ: y = 4x - 3 - ಸೆಕೆಂಟ್ ಸಮೀಕರಣ; y = 4x – 4 – ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮೀಕರಣ.

10. q ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ y = x 3 - 4x 2 + 3x + 1 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವೆ, ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ 0 ಮತ್ತು 1 ನೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: q = 45°.

11. ಯಾವ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ 135 ° ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ?

ಉತ್ತರ: ಎ (0; – 1), ಬಿ (4; 3).

12. ಪಾಯಿಂಟ್ A (1; 8) ನಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಪರ್ಶ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉತ್ತರ:

13. ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು y = x 2 – x + 1 ಮತ್ತು y = 2x 2 – x + 0.5 ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಿಗೆ ಬರೆಯಿರಿ.

ಉತ್ತರ: y = – 3x ಮತ್ತು y = x.

14. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ x-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ.

ಉತ್ತರ:

15. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = x 2 + 2x – 8 ಯಾವ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಉತ್ತರ: q 1 = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ 6, q 2 = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ (- 6).

16. ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಈ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: ಎ (- 3; 11).

17. ಲೈನ್ y = 2x + 7 ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = x 2 - 1 ಪಾಯಿಂಟ್ M ಮತ್ತು N ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. M ಮತ್ತು N ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉತ್ತರ: ಕೆ (1; - 9).

18. b ನ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ y = 9x + b ರೇಖೆಯು y = x 3 – 3x + 15 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ?

ಉತ್ತರ: - 1; 31.

19. k ನ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆ y = kx – 10 y = 2x 2 + 3x – 2 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ? k ನ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ, ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಉತ್ತರ: ಕೆ 1 = - 5, ಎ (- 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. ಬಿ ಯ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು y = bx 3 – 2x 2 – 4 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ x 0 = 2 ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ M(1; 8) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ?

ಉತ್ತರ: ಬಿ = - 3.

21. ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಬಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ A(1; 2) ಮತ್ತು B(2; 4) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉತ್ತರ:

22. ಗುಣಾಂಕದ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ k ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = x 2 + kx + 1 ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ?

ಉತ್ತರ: ಕೆ = ಡಿ 2.

23. ನೇರ ರೇಖೆಯ y = x + 2 ಮತ್ತು ಕರ್ವ್ y = 2x 2 + 4x – 3 ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

29. 45° ಕೋನದಲ್ಲಿ ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಜನರೇಟರ್‌ಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉತ್ತರ:

30. y = 4x – 1 ಸಾಲಿಗೆ y = x 2 + ax + b ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ರೂಪದ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳ ಶೃಂಗಗಳ ಲೊಕಸ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಉತ್ತರ: ನೇರ ರೇಖೆ y = 4x + 3.

ಸಾಹಿತ್ಯ

1. ಜ್ವಾವಿಚ್ ಎಲ್.ಐ., ಶ್ಲ್ಯಾಪೋಚ್ನಿಕ್ ಎಲ್.ಯಾ., ಚಿಂಕಿನಾ ಎಂ.ವಿ. ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭ: ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವವರಿಗೆ 3600 ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. - ಎಂ., ಬಸ್ಟರ್ಡ್, 1999.
2. ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ. ಯುವ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಸೆಮಿನಾರ್ ನಾಲ್ಕು. ವಿಷಯ: ಉತ್ಪನ್ನ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳು. - ಎಂ., "ಗಣಿತ", ಸಂಖ್ಯೆ. 21/94.
3. ಮಾನಸಿಕ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕ್ರಮೇಣ ಸಮೀಕರಣದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ರಚನೆ. / ಎಡ್. ಪಿ.ಯಾ. ಗಲ್ಪೆರಿನಾ, ಎನ್.ಎಫ್. ತಾಲಿಜಿನಾ. - ಎಂ., ಮಾಸ್ಕೋ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ, 1968.

ಲೇಖನವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ. ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, 2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

Yandex.RTB R-A-339285-1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

y = k x + b ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕೋನ α ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು x ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಯ y = k x + b ಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, x ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹಸಿರು ಬಾಣ ಮತ್ತು ಹಸಿರು ಆರ್ಕ್ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕೆಂಪು ಚಾಪದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀಲಿ ರೇಖೆಯು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು y = k x + b ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕ k ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ k = t g α.

• ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವು x ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವು y = b ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
• ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವು y = k x + b ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು 0 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವಿದೆ.
• α = π 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಯ ಸ್ಥಳವು x ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಯನ್ನು x = c ನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮೌಲ್ಯವು c ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.
• y = k x + b ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವು ಚೂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು π 2 ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

ಸೆಕೆಂಟ್ ಎನ್ನುವುದು ಎಫ್ (x) ಕಾರ್ಯದ 2 ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯುವ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರವು A B ಒಂದು ಸೆಕೆಂಟ್, ಮತ್ತು f (x) ಕಪ್ಪು ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ, α ಕೆಂಪು ಆರ್ಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಸೆಕೆಂಟ್ನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವು ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ A B C ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎದುರು ಭಾಗದ ಪಕ್ಕದ ಅನುಪಾತದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4

ಫಾರ್ಮ್ನ ಸೆಕೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, ಇಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ಗಳು x A, x B, ಮತ್ತು f (x A), f (x) ಬಿ) ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸೆಕೆಂಟ್‌ನ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸಮಾನತೆ k = f (x B) - f (x A) x B - x A ಅಥವಾ k = f (x A) - f (x B) x A - x B ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ , ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ಅಥವಾ
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

ಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ 3 ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ: A ಬಿಂದುವಿನ ಎಡಕ್ಕೆ, A ನಿಂದ B ವರೆಗೆ, B ಯ ಬಲಕ್ಕೆ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವು ಕಾಕತಾಳೀಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಮೂರು ಸೆಕೆಂಟ್‌ಗಳಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಬಳಸಿ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ ಇದೇ ಸಮೀಕರಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸೆಕೆಂಟ್ ಇನ್ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಸರಿಸಮವಾದ.

ಒಂದು ಸೆಕೆಂಟ್ ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಛೇದಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಸೆಕೆಂಟ್‌ಗೆ y = 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸೈನುಸಾಯ್ಡ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5

ಪಾಯಿಂಟ್ x 0 ನಲ್ಲಿ f (x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ; f (x 0) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ x 0; f (x 0), x 0 ಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಅನೇಕ x ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ. ನಂತರ y = x + 1 ಕಾರ್ಯದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೇಖೆಯು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (1; 2) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y = 2 x ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, (1; 2) ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. y = 2 x ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ನೀಲಿ ರೇಖೆಯು ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆ ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, y = 2 x y = x + 1 ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಲೀನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು A B ಯ ವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು ಬಿಂದು A ಅನ್ನು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ, ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನೀಲಿ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ ಎ ಬಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ α ನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವು ಸ್ಪರ್ಶಕ α x ನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6

A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ y = f (x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು A B ಯ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಸ್ಥಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ B A ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ B → A.

ಈಗ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ.

x 0, f (x 0) ಮತ್ತು x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), ಮತ್ತು ∆ x ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ A ಮತ್ತು B ಗಳು f (x) ಗಾಗಿ ಸೆಕೆಂಟ್ A B ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ. ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ ಕಾರ್ಯವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ A B C. ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ∆ y ∆ x = t g α ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಲಿಮ್ ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, x 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f (x) ಅನ್ನು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ∆ x → 0 , ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಇದು f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ k x ಅನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ, f ’ (x) x 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕದಂತೆ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ x 0, f 0 (x 0) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ಪರ್ಶದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಮೌಲ್ಯವು x 0 ಬಿಂದುವಿನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು k x = f "(x 0) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಲು, ಅದು ಹಾದುಹೋಗುವ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದರ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಛೇದಕದಲ್ಲಿ x 0 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

x 0, f 0 (x 0) ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ y = f (x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವು y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಇದರರ್ಥ f "(x 0) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯವು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಲಂಬವಾಗಿ, ಒದಗಿಸಿದ lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ ಮತ್ತು lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ ಅಥವಾ ಗೈರುಹಾಜರಿಯು ಲಿಮ್ x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸ್ಥಳವು ಅದರ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ k x = f "(x 0). o x ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದಾಗ, ನಾವು k k = 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, o y - k x = ∞ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಮತ್ತು ರೂಪ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣ x = x 0 k x > 0 ನೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, k x ನಂತೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ< 0 .

ಉದಾಹರಣೆ 2

y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (1; 3) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಷರತ್ತಿನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಬಿಂದು, (1; 3) ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದು ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ - 1. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ f' (x) ನ ಮೌಲ್ಯವು ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರು, ಇದು ಇಳಿಜಾರಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಂತರ k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

ಇದು α x = a r c t g 3 3 = π 6 ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ಉತ್ತರ:ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ಗಾಗಿ ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ- ಸ್ಪರ್ಶಕ ಚಿತ್ರ, ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆ - ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದು. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವು ವಿಸ್ತೃತ ನೋಟವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ
y = 3 · x - 1 5 + 1 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ (1 ; 1) . ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಹೋಗೋಣ

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

x 0 = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, f' (x) ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲಿಮ್ x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ · 1 + 0 = + ∞ ಮತ್ತು ಲಿಮ್ x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , ಅಂದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್ (1; 1) ನಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಲಂಬ ಸ್ಪರ್ಶಕ

ಉತ್ತರ:ಸಮೀಕರಣವು x = 1 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವು π 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಅದನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

1. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಇಲ್ಲ;
2. ಸ್ಪರ್ಶಕವು x ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
3. ಸ್ಪರ್ಶಕವು y = 8 5 x + 4 ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ x ∈ - ∞ ; 2 ಮತ್ತು [- 2 ; +∞) . ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಅದು ಇದೆ

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [ - 2 ; +∞)

ಯಾವಾಗ x = - 2, ಆಗ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

ನಾವು x = - 2 ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, ಅಂದರೆ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ( - 2; - 2) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.
2. ಇಳಿಜಾರು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ ಸ್ಪರ್ಶಕವು x ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ k x = t g α x = f "(x 0). ಅಂದರೆ, ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ ಅಂತಹ x ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಅಂದರೆ, f 'ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು (x) ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವು x ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾವಾಗ x ∈ - ∞ ; - 2, ನಂತರ - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, ಮತ್ತು x ∈ (- 2; + ∞) ಗಾಗಿ ನಾವು 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

ಆದ್ದರಿಂದ - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 ಅನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಅಗತ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರದ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಕಪ್ಪು ರೇಖೆಯು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ, ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.

1. ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವಾಗ, ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅಲ್ಲಿ ಇಳಿಜಾರು ಮೌಲ್ಯ 8 5 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು y "(x) = 8 5 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಂತರ, x ∈ - ∞; - 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, ಮತ್ತು x ∈ (- 2 ; + ∞), ನಂತರ 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

ಮತ್ತೊಂದು ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಹೋಗೋಣ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಳು - 1; 4 15, 5; 8 3 ಎಂಬುದು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು y = 8 5 x + 4 ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.

ಉತ್ತರ:ಕಪ್ಪು ರೇಖೆ - ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್, ಕೆಂಪು ರೇಖೆ - y = 8 5 x + 4 ನ ಗ್ರಾಫ್, ನೀಲಿ ರೇಖೆ - ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು - 1; 4 15, 5; 8 3.

ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಇರಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 5

y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 ಕಾರ್ಯದ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಇದು y = - 2 x + 1 2 ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಇದೆ.

ಪರಿಹಾರ

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಲು, ರೇಖೆಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುವಿನ ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ - 1, ಅಂದರೆ, k x · k ⊥ = - 1 ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಷರತ್ತಿನಿಂದ ನಾವು ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವು ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು k ⊥ = - 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

ಈಗ ನೀವು ಟಚ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು x ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥದಿಂದ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ
x 0 ನಾವು k x = y "(x 0) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಾವು ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ x ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 ಪಾಪ 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 ಪಾಪ 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 ಪಾಪ 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ ಪಾಪ 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಈ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

3 2 x 0 - π 4 = a r c ಪಾಪ - 1 9 + 2 πk ಅಥವಾ 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c ಪಾಪ - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk ಅಥವಾ 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c ಪಾಪ 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ಅಥವಾ x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z ಎಂಬುದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ.

x ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆ. ಈಗ ನೀವು y ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಮುಂದುವರಿಯಬೇಕು:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ಅಥವಾ y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 ಅಥವಾ y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 ಅಥವಾ y 0 = - 4 5 + 1 3

ಇದರಿಂದ ನಾವು 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + ಎ ಆರ್ ಸಿ ಸಿನ್ 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.

ಉತ್ತರ:ಅಗತ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c ಪಾಪ 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

ದೃಶ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಚಿತ್ರವು ಸ್ಥಳವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯಗಳು ಬರುತ್ತಿವೆಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ [- 10; 10 ], ಅಲ್ಲಿ ಕಪ್ಪು ರೇಖೆಯು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನೀಲಿ ರೇಖೆಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಾಗಿವೆ, ಅವು y = - 2 x + 1 2 ರೂಪದ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ. ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.

2ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಏಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲ. ಅವರಿಗೆ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಯೋಜನೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಸಂಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ

x c e n t e r ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು; y c e n t e r ಮತ್ತು R ತ್ರಿಜ್ಯ, x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ.

ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯವು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ.

x 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಲು; y 0 , ಇದು ಮೇಲಿನ ಅಥವಾ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧವೃತ್ತದಲ್ಲಿದೆ, y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r ಅಥವಾ y = - R 2 - x - x c e r 2 ರೂಪದ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಸೂಚಿಸಿದ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y c e n t e r.

x c e n t e r ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗ; y c e n t e r + R ಮತ್ತು x c e n t e r; y c e n t e r - R ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಬಹುದು y = y c e n t e r + R ಮತ್ತು y = y c e n t e r - R , ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ x c e n t e r + R ; ವೈ ಸಿ ಇ ಎನ್ ಟಿ ಇ ಆರ್ ಮತ್ತು
x c e n t e r - R; y c e n t e r o y ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನಾವು x = x c e n t e r + R ಮತ್ತು x = x c e n t e r - R ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು x c e n t e r ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ; y c e n t e r ಅರೆ ಅಕ್ಷಗಳು a ಮತ್ತು b ನೊಂದಿಗೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಮತ್ತು ವೃತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧ-ದೀರ್ಘವೃತ್ತ. ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಅವು x ಅಥವಾ ಸುಮಾರು y ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕೆಳಗೆ, ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

x = 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ x ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

x = 2 ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

ನಂತರ 2; 5 3 2 + 5 ಮತ್ತು 2; - 5 3 2 + 5 ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧ-ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.

y ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕಡೆಗೆ ಹೋಗೋಣ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 ರೂಪದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ 2 ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ; 5 3 2 + 5 ಹಾಗೆ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ ವೈ = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
2 ; - 5 3 2 + 5 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು x c e n t e r ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ; y c e n t e r ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳು x c e n t e r + α ; y c e n t e r ಮತ್ತು x c e n t e r - α ; y c e n t e r , ಅಸಮಾನತೆ x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 ನಡೆಯುತ್ತದೆ, ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ x c e n t e r ; y c e n t e r + b ಮತ್ತು x c e n t e r; y c e n t e r -b , ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆ x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ರೂಪದ ಎರಡು ಸಂಯೋಜಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r ಅಥವಾ y = x a · x - 2 n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು y ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಅವು x ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುವು ಯಾವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಗುರುತನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಪಾಯಿಂಟ್ 7 ರಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ; - 3 3 - 3 .

ಪರಿಹಾರ

2 ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪರಿಹಾರ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ಮತ್ತು y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

ಇದು ಯಾವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಸೆಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ 7; - 3 3 - 3 .

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಾನತೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ಎರಡನೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ನೀಡಿದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನೀವು ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

ಉತ್ತರ:ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

ಇದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಈ ರೀತಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ

x 0, y (x 0) ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = a x 2 + b x + c ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಲು, ನೀವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು y = y "(x) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ 0) x - x 0 + y ( x 0) ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಸ್ಪರ್ಶಕವು x ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ x = a y 2 + b y + c ಅನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು y ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪಾಯಿಂಟ್ x 0, y (x 0) ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ. ಅಂತಹ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ o y ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8

ನಾವು 150 ° ನ ಸ್ಪರ್ಶ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಗ್ರಾಫ್ x - 2 y 2 - 5 y + 3 ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

ಇಳಿಜಾರಿನ ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪಾಯಿಂಟ್ x 0 ನಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ x ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ 150 ° ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಎರಡನೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುಗಳು 23 4 ಎಂದು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ; - 5 + 3 4 .

ಉತ್ತರ:ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

ಅದನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಈ ರೀತಿ ಚಿತ್ರಿಸೋಣ:

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆಯೇ? ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲು ವಿಷಯವನ್ನು ಓದಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳುತ್ತೀರಿ. ಈಗ ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಸಮಾನವಾದಾಗ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನೀವು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ್ದೀರಾ? ಇದು ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕು. ಈಗ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಉತ್ತರ:. ಸಂಭವಿಸಿದ? ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ನಾನು ಬಲವಾಗಿ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ವಿಷಯವು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದು ನನಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದರೆ ಮುಂದೆ ಹೋಗುವುದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಗ್ರಾಫ್ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ. ಅದರ abscissa ಇರಲಿ, ನಂತರ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ; ಅದರ ಆರ್ಡಿನೇಟ್:

ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಸೆಕೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನಂತೆಯೇ). ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಂತೆ, ಈ ಕೋನವನ್ನು x-ಅಕ್ಷದ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋನವು ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು? ನೀವು ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಓರೆಯಾಗಿಸಿದರೂ, ಒಂದು ಅರ್ಧವು ಇನ್ನೂ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಕೋನ , ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಕೋನ . ಅರ್ಥ, . ಕೋನವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸ್ಥಾನವು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಕೋನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಅಂದರೆ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು a ಎಂಬುದು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ:

ಚಿತ್ರದಿಂದ ಇದನ್ನು ನೋಡಬಹುದು, ಎ. ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಳ ಅನುಪಾತ:

(ಇದು ಆಯತಾಕಾರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ).

ಈಗ ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ. ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅದು ಅಪರಿಮಿತವಾದಾಗ, ಅನುಪಾತವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೆಕೆಂಟ್‌ಗೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಬಿಂದುವು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಬಿಂದು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ ಸ್ಪರ್ಶಕ(ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭೇಟಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ - ಪಾಯಿಂಟ್ ಹತ್ತಿರ, ಆದರೆ ಇದು ಸಾಕು). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸೆಕೆಂಟ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಮಿತಿ ಸ್ಥಾನ.

ಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಕರೆಯೋಣ. ನಂತರ ಅದು ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ

ಅದು ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈಗ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ:

ಯಾವ ಗುಣಾಂಕವು ಕಾರಣವಾಗಿದೆ? ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ. ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಇಳಿಜಾರು. ಅದರ ಅರ್ಥವೇನು? ಮತ್ತು ಇದು ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶ! ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ:

ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ನಾವು ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ ಏನು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ? ನೋಡೋಣ:
ಈಗ ಕೋನಗಳು ಮಂದವಾಗಿವೆ. ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: . ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ, . ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ : , ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಕಳೆದ ಬಾರಿಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮತ್ತೆ ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಿಂದುವಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಿಮ ನಿಯಮವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ:
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ (ಅದೇ) ಈ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರು:

ಅದು ಏನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ.ಸರಿ, ಇದೆಲ್ಲವೂ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ನಮಗೆ ಅದು ಏಕೆ ಬೇಕು? ಇಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆ:
ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅದಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ನಾವು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಕಂಡುಕೊಂಡಂತೆ, ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವು ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಈ ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: . ಇದರರ್ಥ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶದ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ!

ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನ. ಈ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: . ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉತ್ತರ:. ಈಗ ನೀವೇ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

ಉತ್ತರಗಳು:

ತಿಳಿಯುವುದು ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂಬ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು "ಅಡ್ಡ" ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ x- ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ:

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಯಾವುದು? ಸಹಜವಾಗಿ, ಶೂನ್ಯ! ಮತ್ತು ಸೊನ್ನೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

"ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕತಾನತೆ" ಎಂಬ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ಓದಿ. ವಿಪರೀತ ಅಂಕಗಳು."

ಈಗ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸೋಣ. ನಾವು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, . ನಾವು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ. ನಾವು ಆಡಳಿತಗಾರನನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಲಗತ್ತಿಸಿ ಮತ್ತು ಸೆಳೆಯಿರಿ:

ಈ ಸಾಲಿನ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ಏನು ಗೊತ್ತು? ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯ ಯಾವುದು? ಏಕೆಂದರೆ ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಒಂದು ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯ, ಅದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು

ಆದರೆ ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ! ಇದು ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರು, ಇದು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅದು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈಗ ಅದನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ. ಶೆಲ್ಲಿಂಗ್ ಪೇರಳೆಗಳಂತೆ ಇದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ: ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ - ಮೌಲ್ಯ. ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ, ಇದು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿದೆ (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಅಕ್ಷದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ):

ಅದನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ (ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಆಯತಾಕಾರದ). ನಂತರ (ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು x-ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಒಂದೇ ಕೋನಕ್ಕೆ). ಯಾವುದು ಮತ್ತು ಸಮಾನ? ಅಂಕಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಎ. ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಪಡೆದ ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ನೀವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

1. ಹುಡುಕಿ ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮೀಕರಣಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ.
2. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಕೋನದಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
3. ರೇಖೆಯು ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
4. ರೇಖೆಯು ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು:

ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವಿವರಣೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಈ ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರು:

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣ:

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

ಸರಿ, ವಿಷಯ ಮುಗಿದಿದೆ. ನೀವು ಈ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಓದುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನೀವು ತುಂಬಾ ಕೂಲ್ ಆಗಿದ್ದೀರಿ ಎಂದರ್ಥ.

ಏಕೆಂದರೆ ಕೇವಲ 5% ಜನರು ಮಾತ್ರ ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಮೇಲೆ ಏನನ್ನಾದರೂ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಮರ್ಥರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಮತ್ತು ನೀವು ಕೊನೆಯವರೆಗೂ ಓದಿದರೆ, ನೀವು ಈ 5% ನಲ್ಲಿರುತ್ತೀರಿ!

ಈಗ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯ.

ಈ ವಿಷಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ. ಮತ್ತು, ನಾನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇನೆ, ಇದು ... ಇದು ಕೇವಲ ಸೂಪರ್ ಆಗಿದೆ! ನಿಮ್ಮ ಬಹುಪಾಲು ಗೆಳೆಯರಿಗಿಂತ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಉತ್ತಮವಾಗಿದ್ದೀರಿ.

ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಇದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ ...

ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ?

ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು, ಬಜೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾಲೇಜಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಲು ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಜೀವನಕ್ಕಾಗಿ.

ನಾನು ನಿಮಗೆ ಏನನ್ನೂ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ನಾನು ಒಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇನೆ ...

ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಜನರು ಉತ್ತಮ ಶಿಕ್ಷಣ, ಅದನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸದವರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗಳಿಸಿ. ಇದು ಅಂಕಿಅಂಶ.

ಆದರೆ ಇದು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವಲ್ಲ.

ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅವರು ಹೆಚ್ಚು ಸಂತೋಷವಾಗಿರುತ್ತಾರೆ (ಅಂತಹ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಇವೆ). ಬಹುಶಃ ಅವರ ಮುಂದೆ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಅವಕಾಶಗಳು ತೆರೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಜೀವನವು ಪ್ರಕಾಶಮಾನವಾಗುತ್ತದೆಯೇ? ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ...

ಆದರೆ ನೀವೇ ಯೋಚಿಸಿ...

ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಇತರರಿಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿರಲು ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ... ಸಂತೋಷವಾಗಿರಲು ಏನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ?

ಈ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿಮ್ಮ ಕೈಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕಾಗಿ ಕೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಸಮಯದ ವಿರುದ್ಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಮತ್ತು, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸದಿದ್ದರೆ (ಬಹಳಷ್ಟು!), ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಎಲ್ಲೋ ಒಂದು ಅವಿವೇಕಿ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೀರಿ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಸಮಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಇದು ಕ್ರೀಡೆಯಂತೆಯೇ - ಖಚಿತವಾಗಿ ಗೆಲ್ಲಲು ನೀವು ಅದನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ನೀವು ಎಲ್ಲಿ ಬೇಕಾದರೂ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ, ವಿವರವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ನಿರ್ಧರಿಸಿ!

ನೀವು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು (ಐಚ್ಛಿಕ) ಮತ್ತು ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಲು, ನೀವು ಪ್ರಸ್ತುತ ಓದುತ್ತಿರುವ YouClever ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಜೀವನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ನೀವು ಸಹಾಯ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೇಗೆ? ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ:

1. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಗುಪ್ತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅನ್ಲಾಕ್ ಮಾಡಿ - 299 ರಬ್.
2. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಎಲ್ಲಾ 99 ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಗುಪ್ತ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಅನ್ಲಾಕ್ ಮಾಡಿ - 499 ರಬ್.

ಹೌದು, ನಮ್ಮ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂತಹ 99 ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗುಪ್ತ ಪಠ್ಯಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ತೆರೆಯಬಹುದು.

ಸೈಟ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜೀವನಕ್ಕಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಗುಪ್ತ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ...

ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿಮಗೆ ಇಷ್ಟವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಇತರರನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಕೇವಲ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲಬೇಡಿ.

"ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದೆ" ಮತ್ತು "ನಾನು ಪರಿಹರಿಸಬಲ್ಲೆ" ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು. ನಿಮಗೆ ಎರಡೂ ಬೇಕು.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ!