ಪರಿಚಯ

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಯಾವುದೇ ಕಾನೂನುಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿವೆಯೇ? ಹೌದು, ಆದರೆ ಈ ಕಾನೂನುಗಳು ನಾವು ಬಳಸಿದ ಕಾನೂನುಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಭೌತಿಕ ಕಾನೂನುಗಳು. ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ SV ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; SV ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಾವು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ SV ಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಭಾಗವಹಿಸುವ ಘಟನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಿಜ, ಈ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಸ್ವಭಾವತಃ ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಕೆಲವು SV ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ. Xi ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಪ್ರಮಾಣದ ಎಲ್ಲಾ (i=1…n) ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ P(Xi) ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅದರ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

SV ಯ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವು SV ಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು SV ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಪರಿಶೀಲನೆಗಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಲ್ಪನೆ SV ಯ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನಿನ ಬಗ್ಗೆ ಗಣಿತದ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ (ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿಧಾನ).

ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ನಾನ್‌ಪ್ಯಾರಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿಧಾನವು (SV ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ) ಕಡಿಮೆ ನಿಖರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವಿಶಾಲ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಂತೆಯೇ, SV ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿಗೆ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೇವಲ ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಒಂದೋ ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (ಸೂತ್ರ) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ (ಬಹುಶಃ ಯಾರಾದರೂ ಇದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಅಥವಾ ನಮಗಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ!), ಅಥವಾ ನಾವು ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆವರ್ತನಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳು, ಕಾನೂನು ವಿತರಣೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಊಹೆಗಳನ್ನು (ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮುಂದಿಡಲು) ಮಾಡಿ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು “ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ” ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಲಸವನ್ನು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ - ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ದ್ವಿಪದ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೀಯ ವಿತರಣೆಗಳು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿಕ್, ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಮತ್ತು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಇತರವುಗಳು.

ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ, ವಿಶೇಷ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ನಿಖರತೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕೋಷ್ಟಕಗಳ ಅನೇಕ ಸಂಪುಟಗಳ ಬಳಕೆಯಿಲ್ಲದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ತರಬೇತಿಯಿಲ್ಲದೆ, ಕಳೆದ ಎರಡು ಶತಮಾನಗಳಿಂದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಳಕೆ ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಇಂದು ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಬದಲಾಗಿದೆ - ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ (ಎರಡನೆಯದು ಎಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಬಹುದು!), ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಮಯವನ್ನು ನಿಮಿಷಗಳು ಅಥವಾ ಸೆಕೆಂಡುಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿವಿಧ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್‌ಗಳಿವೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವವುಗಳಿವೆ. ಈ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿವೆ. ಈ ಅನೇಕ ವಿತರಣೆಗಳು ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತಹ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜ್ಞಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿವೆ ಸರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದೆ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಗುಣಮಟ್ಟ ನಿಯಂತ್ರಣ, ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ, ಪಾಯ್ಸನ್ (1781-1840) ಅವರ ಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅವರು ಜಾಕೋಬ್ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾನೂನಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಶೂಟಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರು. . ಪಾಯ್ಸನ್ ಹೆಸರು ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿಗೆ ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ. ಕೋರ್ಸ್ ಕೆಲಸ. ಇದರ ಬಗ್ಗೆನೇರವಾಗಿ ಕಾನೂನಿನ ಬಗ್ಗೆ, ಅದರ ಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ವಿಶೇಷ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಹೇಳಲಾಗುವುದು ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸದಿಂದ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುವುದು.

ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣಾ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಸಾರವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ನಮ್ಮ ಪ್ರಬಂಧದ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಬಂಧದ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

1. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ (ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿತರಣೆ)

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ (ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿತರಣೆ) - ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು, ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು p ಆಗಿದ್ದರೆ (0

PX(x)ºP(X=x) = pxq1-x ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ 0 ಮತ್ತು 1 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ SV X ಅನ್ನು ಬರ್ನೌಲಿಯ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ p ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ; p+q=1; x=0.1.

ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಲಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಅದೇ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅವಲೋಕನಗಳ (ಪ್ರಯೋಗಗಳು) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆಯು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾವು p ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ - ಅಂಗಡಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವ ಸಂದರ್ಶಕರು ಖರೀದಿದಾರರಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು (1- p) = q - ಸಂದರ್ಶಕರು ಅಂಗಡಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಒಬ್ಬ ಖರೀದಿದಾರ.

n ಸಂದರ್ಶಕರ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಖರೀದಿದಾರರ ಸಂಖ್ಯೆ X ಆಗಿದ್ದರೆ, n ಸಂದರ್ಶಕರಲ್ಲಿ k ಖರೀದಿದಾರರು ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

P(X= k) = , ಅಲ್ಲಿ k=0,1,…n 1)

ಫಾರ್ಮುಲಾ (1) ಅನ್ನು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಎರಡು ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಯೋಗವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಯಶಸ್ಸು" (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆ 1 ರಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು "ವೈಫಲ್ಯ" (ಕ್ರಮವಾಗಿ 0 ರಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ p ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ವೈಫಲ್ಯ - q ಅಕ್ಷರದಿಂದ; ಸಹಜವಾಗಿ q=1-p. p ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ನಿಯತಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ದ್ವಿಪದ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ, ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂತ್ಯಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ nth ಪ್ರಯೋಗ ಅಥವಾ xth ಯಶಸ್ಸಿನ ನಂತರ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

- ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ನಿಯತಾಂಕ (ಒಂದೇ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ);

- ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;

- ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ;

- ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ದ್ವಿಪದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ (m|n,p) - n ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ m ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ G(m|p) - ಮೊದಲ ಯಶಸ್ಸಿನವರೆಗೆ (ಮೊದಲ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ m.

ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ C(m|x,p) - x-th ಯಶಸ್ಸಿನವರೆಗೆ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ m (ಸಹಜವಾಗಿ, x-th ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ).

ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Y(m|x,p) - x-th ಯಶಸ್ಸಿನ ಮೊದಲು ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ m (x-th ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ).

ಗಮನಿಸಿ: ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.

ವಿಷ ವಿತರಣೆ

2.1. ಪಾಯ್ಸನ್ ಕಾನೂನಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಲಕ್ಷಣ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಬೇಕು, ಇದನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: 0, 1, 2, ... , m, ... ; ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಅನ್ನು ಪಾಯಿಸನ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ m ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ:

ಅಲ್ಲಿ a ಎಂಬುದು ಪಾಯ್ಸನ್ ಕಾನೂನು ನಿಯತಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ.

ವಿತರಣಾ ಶ್ರೇಣಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X, ಪಾಯ್ಸನ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

xm				…	ಮೀ	…
ಪಂ	ಇ-ಎ			…		…

2.2.ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು Рm ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಎಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸರಣಿಯು x ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, x = a ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ

ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ - ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಯ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ:

ಮೊತ್ತದ ಮೊದಲ ಪದವು (m=0 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಕಲನವು m=1 ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಬಹುದು:

ಹೀಗಾಗಿ, a ನಿಯತಾಂಕವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ:

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣ X ಮೌಲ್ಯಗಳು:

ಹಿಂದೆ ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಕಾರ

ಜೊತೆಗೆ,

2.3.ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

I. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಆರ್ಡರ್ k ನ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣವು Xk ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣವು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

II. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಆರ್ಡರ್ k ನ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು k ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು 0 ಆಗಿದೆ:

μ1=M=0,

2 ನೇ ಕ್ರಮದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಪ್ರಸರಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

μ2=M2=a.

III. ಪಾಯ್ಸನ್ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಗಾಗಿ, ನೀಡಿರುವ k ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು Rk ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, Rk ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಅದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, X ನ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಅನೇಕ ಅಭ್ಯಾಸ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ವಿಷದ ವಿತರಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ರೀತಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಚಿತ್ರ.2

ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ x-ಆಕ್ಸಿಸ್ ಆಕ್ಸ್ (Fig. 2) ನಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸೋಣ. ಅಂಕಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿತರಣೆಯು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳು:

1) ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಬೀಳುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ l ಈ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅದೇ ಸರಾಸರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ x- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರತಿ ಯುನಿಟ್ ಉದ್ದದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, λ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

2) ಅಂಕಗಳನ್ನು x- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬೀಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಅತಿಕ್ರಮಿಸದ ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಬೀಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

3) ಒಂದು ಬಿಂದು ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ Δx ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ (ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಸಾಧ್ಯತೆ ಎಂದರ್ಥ).

ನಾವು abscissa ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಉದ್ದದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ - ಈ ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಬೀಳುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳುಮೌಲ್ಯಗಳು 0,1,2,...,m,... ಬಿಂದುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಬೀಳುವುದರಿಂದ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಅವರು ಬಯಸಿದಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಈ ಸರಣಿಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ನಿಖರವಾಗಿ m ಅಂಕಗಳು ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು Pm ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲು ಇನ್ನಷ್ಟು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಸರಳ ಕಾರ್ಯ. ನಾವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶ Δx ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಈ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ತರ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಬೀಳುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ λ·Δх ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸರಾಸರಿ λ ಅಂಕಗಳು ಪ್ರತಿ ಯುನಿಟ್ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಬೀಳುವುದರಿಂದ). ಷರತ್ತು 3 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ Δx ನಾವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಬೀಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, Δх ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಬೀಳುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ λ·Δх ಅದರ ಮೇಲೆ ಬೀಳುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ, ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು).

ಹೀಗಾಗಿ, ಅನಂತವಾದ ವರೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶ, Δх→0 ಗಾಗಿ ನಾವು Δх ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಒಂದು (ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು) ಪಾಯಿಂಟ್ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು λ·Δх ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೂ 1-c·Δх ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಬೀಳದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

L ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬೀಳುವ ನಿಖರವಾಗಿ m ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ Pm ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ನಾವು ವಿಭಾಗವನ್ನು n ಉದ್ದದ ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಭಾಗವು Δx ಅನ್ನು "ಖಾಲಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಂಭವಿಸಿದರೆ "ಆಕ್ರಮಿತ". ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕಾರ, Δх ವಿಭಾಗವು "ಆಕ್ರಮಿತ" ಆಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು λ·Δх= ಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅದು "ಖಾಲಿ" ಆಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 1- ಆಗಿದೆ. ಷರತ್ತು 2 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಅತಿಕ್ರಮಿಸದ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಬೀಳುವ ಅಂಕಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ನಮ್ಮ n ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು n ಸ್ವತಂತ್ರ “ಪ್ರಯೋಗಗಳು” ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆ p= ನೊಂದಿಗೆ “ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು”. n ವಿಭಾಗಗಳ ನಡುವೆ ನಿಖರವಾಗಿ m "ಆಕ್ರಮಿತ" ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

,

ಅಥವಾ ನಾವು λl=a ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ:

.

ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ n ಗೆ, ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಎಲ್ ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಬೀಳುವ ನಿಖರವಾಗಿ m ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ Δx ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಕಗಳು ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ. ಹುಡುಕುವ ಸಲುವಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಬೆಲೆಎಮ್, ನೀವು n→∞ ನಂತೆ ಮಿತಿಗೆ ಹೋಗಬೇಕು:

ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

,

ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಅಲ್ಲಿ a=λl, ಅಂದರೆ. X ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ a=λl ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ a ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು l. R1 ನ ಮೌಲ್ಯ (X ನ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ). ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ l: R1=1-e-a ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಿಂದು ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳು (ಅಥವಾ ಇತರ ಅಂಶಗಳು) ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಂಡಾಗ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಪ್ರದೇಶವು abscissa ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವಿಭಾಗ l ಆಗಿತ್ತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (ಬಿಂದುಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಫ್ಲಾಟ್ ಕ್ಷೇತ್ರ) ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ (ಬಿಂದುಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರ) ಬಿಂದುಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ:

1) ಸರಾಸರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಮವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ λ;

2) ಅಂಕಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅತಿಕ್ರಮಿಸದ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತವೆ;

3) ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಒಂಟಿಯಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ತ್ರಿವಳಿಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ.

ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಪ್ರದೇಶ ಡಿ (ಫ್ಲಾಟ್ ಅಥವಾ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ) ಗೆ ಬೀಳುವ X ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

,

ಇಲ್ಲಿ a ಎಂಬುದು ಪ್ರದೇಶ D ಗೆ ಬೀಳುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಫ್ಲಾಟ್ ಕೇಸ್‌ಗೆ a=SD λ, ಅಲ್ಲಿ SD ಎಂಬುದು D ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ,

ಪ್ರಾದೇಶಿಕ a= VD λ ಗಾಗಿ, VD ಎಂಬುದು D ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಮಾಣವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ವಿಭಾಗ ಅಥವಾ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಷದ ವಿತರಣೆಗೆ, ಸ್ಥಿರ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿ (λ=const) ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಇತರ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಪಾಯ್ಸನ್ ನಿಯಮವು ಇನ್ನೂ ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರಲ್ಲಿರುವ a ನಿಯತಾಂಕವು ವಿಭಿನ್ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: ಇದು ಕೇವಲ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು λ ಉದ್ದ, ಪ್ರದೇಶ ಅಥವಾ ಪರಿಮಾಣದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಭಾಗ, ಪ್ರದೇಶ ಅಥವಾ ಪರಿಮಾಣದ ಮೇಲೆ.

ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆ ಆಡುತ್ತದೆ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಸಂವಹನ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಕ್ಯೂಯಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ. ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟನೆಗಳು (ವಿಕಿರಣಶೀಲ ಕೊಳೆತಗಳು, ದೂರವಾಣಿ ಕರೆಗಳು, ಉಪಕರಣಗಳ ವೈಫಲ್ಯಗಳು, ಅಪಘಾತಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು.

ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುವ ಅತ್ಯಂತ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳು (ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಶಾಪಿಂಗ್) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಡೆಯಲಿ. 0 ರಿಂದ T ವರೆಗಿನ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.

0 ರಿಂದ T ವರೆಗಿನ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಿದ ಘಟನೆಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಾಯಿಸನ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ l=aT ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ a>0 ಎಂಬುದು ಘಟನೆಗಳ ಸರಾಸರಿ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ದೊಡ್ಡ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ದಿನ) ಕೆ ಖರೀದಿಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇರುತ್ತದೆ

ತೀರ್ಮಾನ

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು.

ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಬರುತ್ತವೆ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅದರ ವಿಶೇಷ ಆಸ್ತಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಏಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪಾಯ್ಸನ್‌ನ ಕಾನೂನು ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವೂ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಆರ್ಥಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸ್ಥಿರತೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅತ್ಯಂತ ವಿರಳವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ತೊಂದರೆಗಳಿಂದಾಗಿ ಮತ್ತು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿತರಣೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳು, ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯೋಜನೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು (ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಅಸ್ಥಿರತೆ) ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಭೇಟಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. 18ನೇ-19ನೇ ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಸಿದ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಯೋಜನೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್, ಮೊಯಿವ್ರೆ, ಪಾಯ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು.

ಸಾಹಿತ್ಯ

1. ವೆಂಟ್ಜೆಲ್ ಇ.ಎಸ್. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ. - ಎಂ, "ಹೈಯರ್ ಸ್ಕೂಲ್" 1998

2. ಗ್ಮುರ್ಮನ್ ವಿ.ಇ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ. - ಎಂ, "ಹೈಯರ್ ಸ್ಕೂಲ್" 1998

3. ಕಾಲೇಜುಗಳಿಗೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ. ಸಂ. ಎಫಿಮೊವಾ ಎ.ವಿ. - ಎಂ, ವಿಜ್ಞಾನ 1990

ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. MS EXCEL ಫಂಕ್ಷನ್ POISSON.DIST() ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಿತರಣಾ ನಿಯತಾಂಕ, ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ನಾವು ಅಂದಾಜು ಮಾಡೋಣ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ವಿತರಣೆಯ ಶುಷ್ಕ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಸಂದರ್ಭಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ವಿಷ ವಿತರಣೆ(ಆಂಗ್ಲ) ವಿಷವಿತರಣೆ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಮ್ಯಾಟರ್‌ನಲ್ಲಿ) ಸಂಭವಿಸಿದರೆ ಸರಾಸರಿ ಆವರ್ತನ λ( ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ), ನಂತರ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ X, ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಿದ ವಿಷ ವಿತರಣೆ.

ವಿಷ ವಿತರಣೆಯ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಯಾವಾಗ ವಿಷ ವಿತರಣೆಸಾಕಷ್ಟು ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ:

• ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ದೂರವಾಣಿ ವಿನಿಮಯ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಕರೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;
• ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ವಿಕಿರಣಶೀಲ ಕೊಳೆತಕ್ಕೆ ಒಳಗಾದ ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;
• ಸ್ಥಿರ ಉದ್ದದ ಬಟ್ಟೆಯ ತುಂಡು ದೋಷಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ವಿಷ ವಿತರಣೆಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ:

• ಘಟನೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ನಂತರದ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಹಿಂದಿನದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ;
• ಸರಾಸರಿ ಈವೆಂಟ್ ದರ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಮಧ್ಯಂತರದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
• ಎರಡು ಘಟನೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ;
• ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು; 1; 2…

ಸೂಚನೆ: ಗಮನಿಸಿದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದು ಉತ್ತಮ ಸುಳಿವು ವಿಷ ವಿತರಣೆ,ಇದು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವಾಗಿದೆ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ).

ಅಲ್ಲಿ ಸಂದರ್ಭಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ವಿಷ ವಿತರಣೆ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು:

• ಒಂದು ಗಂಟೆಯೊಳಗೆ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯವನ್ನು ತೊರೆಯುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸರಾಸರಿ ಹರಿವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ: ತರಗತಿಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಇರುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ತರಗತಿಗಳ ನಡುವಿನ ವಿರಾಮದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ತೀವ್ರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ);
• ಕ್ಯಾಲಿಫೋರ್ನಿಯಾದಲ್ಲಿ ವರ್ಷಕ್ಕೆ 5 ಅಂಕಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಭೂಕಂಪಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಒಂದು ಭೂಕಂಪವು ಇದೇ ವೈಶಾಲ್ಯದ ನಂತರದ ಆಘಾತಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು - ಘಟನೆಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿಲ್ಲ);
• ರೋಗಿಗಳು ಇಲಾಖೆಯಲ್ಲಿ ಕಳೆಯುವ ದಿನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ತೀವ್ರ ನಿಗಾ(ಏಕೆಂದರೆ ರೋಗಿಗಳು ತೀವ್ರ ನಿಗಾ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ಕಳೆಯುವ ದಿನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವಾಗಲೂ 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಸೂಚನೆ: ವಿಷ ವಿತರಣೆಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಅಂದಾಜು ಆಗಿದೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿತರಣೆಗಳು: ಮತ್ತು .

ಸೂಚನೆ: ಸಂಬಂಧದ ಬಗ್ಗೆ ವಿಷ ವಿತರಣೆಮತ್ತು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಓದಬಹುದು. ಸಂಬಂಧದ ಬಗ್ಗೆ ವಿಷ ವಿತರಣೆಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಬಗ್ಗೆ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಓದಬಹುದು.

MS EXCEL ನಲ್ಲಿ ವಿಷ ವಿತರಣೆ

MS EXCEL ನಲ್ಲಿ, ಆವೃತ್ತಿ 2010 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ವಿತರಣೆಗಳು ವಿಷಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ POISSON.DIST() , ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಹೆಸರು- POISSON.DIST(), ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ Xಘಟನೆಗಳು (ಕಾರ್ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ p(x), ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ), ಆದರೆ (ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆ Xಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳು).

MS EXCEL 2010 ಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲು, EXCEL POISSON() ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು, ಇದು ನಿಮಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಹ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ p(x) POISSON() ಅನ್ನು MS EXCEL 2010 ರಲ್ಲಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಾಗಿ ಬಿಡಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಫೈಲ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಿತರಣೆಮತ್ತು ಸಂಚಿತ ವಿತರಣೆ ಕಾರ್ಯ.

ವಿಷ ವಿತರಣೆಓರೆಯಾದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉದ್ದನೆಯ ಬಾಲ), ಆದರೆ ನಿಯತಾಂಕ λ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಅದು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆ: ಸರಾಸರಿಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ(ಚದರ) ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ವಿಷ ವಿತರಣೆ- λ (ನೋಡಿ ಉದಾಹರಣೆ ಶೀಟ್ ಫೈಲ್ ಉದಾಹರಣೆ).

ಕಾರ್ಯ

ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ವಿಷ ವಿತರಣೆಗಳುಗುಣಮಟ್ಟದ ನಿಯಂತ್ರಣವು ಉಪಕರಣ ಅಥವಾ ಸಾಧನದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ದೋಷಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 4 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಚಿಪ್ λ (ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ) ನಲ್ಲಿನ ದೋಷಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಚಿಪ್ 2 ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ದೋಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0.2381

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ = TRUE, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯವು ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣೆ ಕಾರ್ಯ, ಅಂದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 0 ರಿಂದ 4 ರವರೆಗಿನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಮೈಕ್ರೋ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ನಿಖರವಾಗಿ 2 ದೋಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: = POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0.1465

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ = ತಪ್ಪು, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಭವನೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಮೈಕ್ರೋ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ 2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ದೋಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: =1-POISSON.DIST(2,4,TRUE) =0.8535

ಸೂಚನೆ: ವೇಳೆ Xಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ, ನಂತರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ . ಸೂತ್ರಗಳು =POISSON.DIST( 2 ; 4; ಸುಳ್ಳು)ಮತ್ತು =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; ಸುಳ್ಳು)ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಉತ್ಪಾದನೆ ಮತ್ತು λ ಅಂದಾಜು

λ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ >15 , ವಿಷ ವಿತರಣೆಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ: μ =λ , σ 2 =λ .

ಈ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಕುರಿತು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳನ್ನು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಅಂದಾಜಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳೂ ಇವೆ, ಮತ್ತು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಯಾವಾಗ ಸಾಧ್ಯ ಮತ್ತು ಯಾವ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಲಹೆ: ನೀವು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಇತರ MS EXCEL ವಿತರಣೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಓದಬಹುದು.

ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ, ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಅನುಷ್ಠಾನಗಳಾಗಿವೆ, ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

• ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳುಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗ. ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಪ್ರದೇಶವು ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರ, ಒಂದು ವಿಭಾಗ, ಮೇಲ್ಮೈ ಇತ್ಯಾದಿ ಆಗಿರಬಹುದು.
• ನೀಡಿರುವ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
• ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಒಂದು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇತರ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
• ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಒಂದೇ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆಯು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಪ್ರದೇಶವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದರಿಂದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಊಟದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರ ವ್ಯಾಪಾರ ಜಿಲ್ಲೆಯಲ್ಲಿರುವ ಬ್ಯಾಂಕ್ ಶಾಖೆಗೆ ಭೇಟಿ ನೀಡುವ ಗ್ರಾಹಕರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. 12 ರಿಂದ 13 ಗಂಟೆಯವರೆಗೆ. ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಗ್ರಾಹಕರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ? ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿರುವ ಘಟನೆಯು ಕ್ಲೈಂಟ್ ಆಗಮನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಒಂದು ನಿಮಿಷದ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಗ್ರಾಹಕರು ಬ್ಯಾಂಕ್‌ಗೆ ಬರುತ್ತಾರೆ - ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ, ಒಬ್ಬರು, ಇಬ್ಬರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು? ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಒಂದು ನಿಮಿಷದೊಳಗೆ ಗ್ರಾಹಕರು ಆಗಮಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಒಂದು-ನಿಮಿಷದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಒಂದು-ನಿಮಿಷದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬ ಗ್ರಾಹಕನ ಆಗಮನವು ಯಾವುದೇ ಒಂದು ನಿಮಿಷದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಗ್ರಾಹಕರ ಆಗಮನದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ, ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕ್ಲೈಂಟ್‌ಗಳು ಬ್ಯಾಂಕ್‌ಗೆ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0.1 ಸೆ.ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ. ಹಾಗಾಗಿ, ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಊಟದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬ್ಯಾಂಕ್‌ಗೆ ಬರುವ ಗ್ರಾಹಕರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯು ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು λ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರ "ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ") - ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆ. ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೂ ಸಹ λ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ . ಯಶಸ್ವಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ Xಪಾಯ್ಸನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ 0 ರಿಂದ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಷದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಎಲ್ಲಿ P(X)- ಸಂಭವನೀಯತೆ Xಯಶಸ್ವಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳು, λ - ಯಶಸ್ಸುಗಳ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇ- ಬೇಸ್ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್, 2.71828 ಗೆ ಸಮಾನ, X- ಸಮಯದ ಪ್ರತಿ ಯುನಿಟ್ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ.

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ಊಟದ ವಿರಾಮದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ, ನಿಮಿಷಕ್ಕೆ ಮೂರು ಗ್ರಾಹಕರು ಬ್ಯಾಂಕಿಗೆ ಬರುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಇಬ್ಬರು ಗ್ರಾಹಕರು ಬ್ಯಾಂಕ್‌ಗೆ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗ್ರಾಹಕರು ಬ್ಯಾಂಕ್‌ಗೆ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು (1) ಅನ್ನು λ = 3 ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸೋಣ. ನಂತರ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಇಬ್ಬರು ಕ್ಲೈಂಟ್‌ಗಳು ಬ್ಯಾಂಕ್‌ಗೆ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕ್ಲೈಂಟ್‌ಗಳು ಬ್ಯಾಂಕ್‌ಗೆ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = ∞) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು, ಸೂತ್ರದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಈವೆಂಟ್ X ≤ 2 ಗೆ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವು 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ - P(X ≤ 2). ಹೀಗಾಗಿ, P(X>2) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. ಈಗ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (1), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ನಿಮಿಷದೊಳಗೆ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕ್ಲೈಂಟ್‌ಗಳು ಬ್ಯಾಂಕ್‌ಗೆ ಬರದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.423 (ಅಥವಾ 42.3%), ಮತ್ತು ಒಂದು ನಿಮಿಷದೊಳಗೆ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕ್ಲೈಂಟ್‌ಗಳು ಬ್ಯಾಂಕ್‌ಗೆ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.577 (ಅಥವಾ 57.7 %).

ಅಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಬೇಸರದಂತಿರಬಹುದು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ λ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಅನೇಕ ಪಾಯ್ಸನ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 1). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ನಿಮಿಷಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ಮೂರು ಕ್ಲೈಂಟ್‌ಗಳು ಬ್ಯಾಂಕ್‌ಗೆ ಬಂದರೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಇಬ್ಬರು ಕ್ಲೈಂಟ್‌ಗಳು ಬ್ಯಾಂಕ್‌ಗೆ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ರೇಖೆಯ ಛೇದಕದಲ್ಲಿದೆ X= 2 ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ λ = 3. ಹೀಗಾಗಿ, ಇದು 0.2240 ಅಥವಾ 22.4% ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 1. λ = 3 ನಲ್ಲಿ ವಿಷದ ಸಂಭವನೀಯತೆ

ಈಗ ಯಾರಾದರೂ ಎಕ್ಸೆಲ್ ಅನ್ನು ಅದರ = POISSON.DIST() ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ (Fig. 2) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿಲ್ಲ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಮೂರು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಯಶಸ್ವಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ X, ಯಶಸ್ವಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಾಸರಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆ λ, ನಿಯತಾಂಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು: ತಪ್ಪು - ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ X(X ಮಾತ್ರ), ನಿಜ - ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 0 ರಿಂದ ಯಶಸ್ವಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ X.

ಅಕ್ಕಿ. 2. ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ λ = 3 ನಲ್ಲಿ ವಿಷ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಅಂದಾಜು

ಒಂದು ವೇಳೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಆರ್- ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಹೇಗೆ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಆರ್, ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂದಾಜು ನಿಖರತೆ. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಕೆಳಗಿನ ಪಾಯ್ಸನ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲಿ P(X)- ಸಂಭವನೀಯತೆ Xಕೊಟ್ಟಿರುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಶಸ್ಸು ಎನ್ಮತ್ತು ಆರ್, ಎನ್- ಮಾದರಿ ಅಳತೆ, ಆರ್- ಯಶಸ್ಸಿನ ನಿಜವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಇ- ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಆಧಾರ, X- ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ (X = 0, 1, 2, ..., ಎನ್).

ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ, ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ 0 ರಿಂದ ∞ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪಾಯ್ಸನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಯಶಸ್ಸುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ಅವಲೋಕನಗಳು - ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೀರಬಾರದು ಎನ್. ಸೂತ್ರದಿಂದ (2) ಇದು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎನ್ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆ ಆರ್ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ವಿಷದ ವಿತರಣೆಯ ನಿರೀಕ್ಷೆ µ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ σ 2 λ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವಾಗ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು (3) ಬಳಸಬೇಕು.

(3) µ = E(X) = λ =ಎನ್.ಪಿ.

ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು, ಸೂತ್ರವನ್ನು (4) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂತ್ರವನ್ನು (4) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ್ವಿಪದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ - ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇದ್ದಾಗ ಪಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು, ಮತ್ತು, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ 1 - ಪುಏಕತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಾವರದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾದ 8% ಟೈರ್‌ಗಳು ದೋಷಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯ ಬಳಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, 20 ಟೈರ್‌ಗಳ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ದೋಷಯುಕ್ತ ಟೈರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ (2), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ನಾವು ಅದರ ಅಂದಾಜಿನ ಬದಲು ನಿಜವಾದ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಬೇಸರದವು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಎಕ್ಸೆಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ನಂತರ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅನಗತ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಚಿತ್ರ 3 ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವಿಭಾಗವು ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ವಿಷದ ವಿತರಣೆಯು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 3. ಎಕ್ಸೆಲ್‌ನಲ್ಲಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಹೋಲಿಕೆ: (ಎ) ವಿಷದ ವಿತರಣೆ; (ಬಿ) ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ: , ಮತ್ತು ಪಾಯ್ಸನ್. ಈ ವಿತರಣೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಸಣ್ಣ ವೃಕ್ಷವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 4).

ಅಕ್ಕಿ. 4. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ

ಮ್ಯಾನೇಜರ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ ಲೆವಿನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. – ಎಂ.: ವಿಲಿಯಮ್ಸ್, 2004. – ಪು. 320–328

ವಿಷ ವಿತರಣೆ.

ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುವ ಅತ್ಯಂತ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಈವೆಂಟ್ ಇರಲಿ ಎಸ್ಥಿರವಾದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (ಮಧ್ಯಂತರ, ಪ್ರದೇಶ, ಪರಿಮಾಣ) ಅಥವಾ ನಿರಂತರ ತೀವ್ರತೆಯ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಘಟನೆಗಳ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ, ಘಟನೆಗಳ ಹರಿವನ್ನು ಸಮಯದ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅನೇಕ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಇದು ಸೇವಾ ವಲಯದಲ್ಲಿ ಕರೆಗಳ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಆಗಿರಬಹುದು (ದುರಸ್ತಿ ಗೃಹೋಪಯೋಗಿ ಉಪಕರಣಗಳು, ಆಂಬ್ಯುಲೆನ್ಸ್‌ಗೆ ಕರೆ ಮಾಡುವುದು ಇತ್ಯಾದಿ), ಟೆಲಿಫೋನ್ ಎಕ್ಸ್‌ಚೇಂಜ್‌ಗೆ ಕರೆಗಳ ಹರಿವು, ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಕೆಲವು ಭಾಗಗಳ ವೈಫಲ್ಯ, ವಿಕಿರಣಶೀಲ ಕೊಳೆತ, ಬಟ್ಟೆಯ ತುಂಡುಗಳು ಅಥವಾ ಲೋಹದ ಹಾಳೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ದೋಷಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ವಿಷ ವಿತರಣೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಆ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ("ಯಶಸ್ಸುಗಳು").

ಒಣದ್ರಾಕ್ಷಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಬನ್ ಅನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ, ಸಮಾನ ಗಾತ್ರದ ಸಣ್ಣ ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರಣ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿತರಣೆಒಣದ್ರಾಕ್ಷಿ, ಎಲ್ಲಾ ತುಂಡುಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಣದ್ರಾಕ್ಷಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೀವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ತುಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಣದ್ರಾಕ್ಷಿಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಿಳಿದಾಗ, ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯು ಯಾವುದೇ ತುಂಡು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ X=ಕೆ(ಕೆ= 0,1,2,...,) ಒಣದ್ರಾಕ್ಷಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯು 0, ಅಥವಾ 1, ಅಥವಾ 2, ಅಥವಾ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ತುಣುಕುಗಳ ದೀರ್ಘ ಸರಣಿಯ ಯಾವ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

1. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದ ಉದ್ದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಸ್ಥಾನದ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ. ಇದು ನಿಶ್ಚಲತೆಯ ಆಸ್ತಿ.

2. ಸಾಕಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಅದೇ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ® 0 ನಂತೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

3. ನಿಗದಿತ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಇತರ ಅವಧಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಪರಿಣಾಮದ ಕೊರತೆಯ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಘಟನೆಗಳ ಹರಿವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಳವಾದದ್ದು.

ಸಾಕಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಅವಧಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಆಸ್ತಿ 2 ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಈವೆಂಟ್ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಾಣಿಸದೇ ಇರಬಹುದು. ಮೂಲಕ ಸಂಭವಿಸುವ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ ಆರ್, ಮತ್ತು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳದಿರುವುದು - ಮೂಲಕ q = 1-ಪ.ಸಂಭವನೀಯತೆ ಆರ್ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ (ಆಸ್ತಿ 3) ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ (ಆಸ್ತಿ 1). ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು 0× ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ q+ 1× ಪ = ಪ. ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಯುನಿಟ್ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹರಿವಿನ ತೀವ್ರತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ a,ಆ. ಎ = .

ಸೀಮಿತ ಅವಧಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಟಿಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ ಎನ್ಭಾಗಗಳು = . ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿನ ಘಟನೆಗಳ ಘಟನೆಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಆಸ್ತಿ 2). ನಾವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ ಟಿನಿರಂತರ ಹರಿವಿನ ತೀವ್ರತೆಯಲ್ಲಿ ಎಈವೆಂಟ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ X = ಕೆಮತ್ತೆ ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎನ್-ಕೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಈವೆಂಟ್ ಮಾಡಬಹುದು ಎನ್ಅಂತರಗಳು 1 ಬಾರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಅದರ ನೋಟಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಅವಧಿಯ ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮೆ ಟಿಅದು ಯಾವುದಾದರೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಕೆಒಟ್ಟು ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಎನ್.ಒಟ್ಟು ಅಂತಹ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಇವೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನಾವು ಬಯಸಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರಬರ್ನೌಲ್ಲಿ

ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಆರಂಭಿಕ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ 2 ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ನಿಖರವಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ® 0 ನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಹೋಗೋಣ ಅಥವಾ ಅದೇ ಏನು, ಎನ್® ಬದಲಿ ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ = ಎ= ಮತ್ತು q = 1 – .

ಹೊಸ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ = ನಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸರಾಸರಿ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಟಿ. ಸರಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

= 1, = ,

ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

, ಕೆ = 0, 1, 2, ...

ಇ = 2.718... ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ X, ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು 0, 1, 2, ... ಒಂದು ವೇಳೆ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಫಾರ್ ಕೆ = 0, 1, 2, ...

ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಎಸ್.ಡಿ. ಪಾಯ್ಸನ್ (1781-1840). ಸಮಯ, ಉದ್ದ, ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣದ ಪ್ರತಿ ಘಟಕಕ್ಕೆ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಪರೂಪದ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ, ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎ) ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬಿ) ಕೆ= , ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ ಸೂತ್ರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ:

ನಂತರದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಮರುಕಳಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಪ(ಕೆ + 1) = ಪ(ಕೆ).

ಉದಾಹರಣೆ 1. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿನದಂದು 1000 ಜನರಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು: ಎ) ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ, ಬಿ) ಒಬ್ಬರು, ಸಿ) ಇಬ್ಬರು, ಡಿ) ಮೂರು ಜನರು ಜನಿಸಿದರು?

ಪರಿಹಾರ. ಏಕೆಂದರೆ ಪ= 1/365, ನಂತರ q= 1 – 1/365 = 364/365 "1.

ನಂತರ

ಎ) ,

b) ,

ವಿ) ,

ಜಿ) .

ಆದ್ದರಿಂದ, 1000 ಜನರ ಮಾದರಿಗಳಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿನದಂದು ಜನಿಸಿದ ಜನರ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆ 65 ಆಗಿರುತ್ತದೆ; 178; 244; 223.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಆರ್ಈವೆಂಟ್ ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು.

ಪರಿಹಾರ. ಈವೆಂಟ್ ಎ= (ಕನಿಷ್ಠ ಒಮ್ಮೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು = (ಒಮ್ಮೆ ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ). ಆದ್ದರಿಂದ .

ಇಲ್ಲಿಂದ ಮತ್ತು .

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫಾರ್ ಆರ್= 0.5, ಫಾರ್ ಆರ್= 0,95 .

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಒಬ್ಬ ನೇಕಾರನಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಲ್ಪಡುವ ಮಗ್ಗಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಗಂಟೆಯೊಳಗೆ 90 ಥ್ರೆಡ್ ಬ್ರೇಕ್ಗಳು ​​ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. 4 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಥ್ರೆಡ್ ಬ್ರೇಕ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ t = 4 ನಿಮಿಷ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಿಮಿಷಕ್ಕೆ ವಿರಾಮಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆ, ಎಲ್ಲಿಂದ . ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಎಂ(X) = ಡಿ(X) = .

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೇರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿಯೇ ಬದಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎನ್ = ಕೆ- 1 ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ .

ಔಟ್ಪುಟ್ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದಂತೆಯೇ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಂ(X), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ದೊಡ್ಡದಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್

ಹೆಚ್ಚಿನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಅದರ ಬಹುಮುಖತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ.

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ

ಯಾವುದಾದರೂ ಘಟನೆ ನಡೆಯಲಿ ಎ. ಈವೆಂಟ್ A ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪ, ಈವೆಂಟ್ ಎ ಸಂಭವಿಸದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 1 ಆಗಿದೆ ಪ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ q. ಅವಕಾಶ ಎನ್ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮೀಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಘಟನೆ ಎ ಸಂಭವಿಸುವ ಆವರ್ತನ ಎನ್ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು.

ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಅಂದರೆ:

1 = ಪ ಎನ್ + ಎನ್ · ಪ ಎನ್ 1 (1 ಪ) + ಸಿ ಎನ್ ಎನ್ 2 · ಪ ಎನ್ 2 (1 ಪ) 2 + + ಸಿ ಎನ್ ಮೀ · ಪ ಮೀ· (1 ಪ) ಎನ್ – ಮೀ++ (1 ಪ) ಎನ್ .

ಪ ಎನ್ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎನ್ಎನ್ಒಮ್ಮೆ; ಎನ್ · ಪ ಎನ್ 1 (1 ಪ) ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎನ್ಎನ್ 1) ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು 1 ಬಾರಿ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ; ಸಿ ಎನ್ ಎನ್ 2 · ಪ ಎನ್ 2 (1 ಪ) 2 ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎನ್ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು, ಈವೆಂಟ್ A ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ( ಎನ್ 2) ಬಾರಿ ಮತ್ತು 2 ಬಾರಿ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ; ಪ ಮೀ = ಸಿ ಎನ್ ಮೀ · ಪ ಮೀ· (1 ಪ) ಎನ್ – ಮೀ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎನ್ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು, ಈವೆಂಟ್ A ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮೀಎಂದಿಗೂ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ ( ಎನ್ – ಮೀ) ಒಮ್ಮೆ; (1 ಪ) ಎನ್ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎನ್ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ, ಈವೆಂಟ್ ಎ ಒಮ್ಮೆಯೂ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ಮೂಲಕ ಮೀ .

ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಎಂ = ಎನ್ · ಪ ,

ಎಲ್ಲಿ ಎನ್ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಪಘಟನೆ ಎ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ σ :

σ = ಚದರ ( ಎನ್ · ಪ· (1 ಪ)) .

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಪ= 0.5, in ಎನ್= 10 ಪ್ರಯೋಗಗಳು ನಡೆಯುತ್ತವೆ ಮೀ= 1 ಬಾರಿ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ಸಿ 10 1 = 10, ಮತ್ತು ಮುಂದೆ: ಪ 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.0098. ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಈ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ತುಂಬಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.5 ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಅವಕಾಶಗಳು "50 ರಿಂದ 50"; ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಈವೆಂಟ್ ಹತ್ತರಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಮ್ಮೆ (ಹೆಚ್ಚು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಇಲ್ಲ) ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಪ= 0.5, in ಎನ್= 10 ಪ್ರಯೋಗಗಳು ನಡೆಯುತ್ತವೆ ಮೀ= 2 ಬಾರಿ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ಸಿ 10 2 = 45, ಮತ್ತು ಮುಂದೆ: ಪ 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.044. ಈ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ!

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಈವೆಂಟ್ ಸ್ವತಃ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸೋಣ. ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಧ್ಯತೆ ಮಾಡೋಣ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಪ= 0.8, in ಎನ್= 10 ಪ್ರಯೋಗಗಳು ನಡೆಯುತ್ತವೆ ಮೀ= 1 ಬಾರಿ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ಸಿ 10 1 = 10, ಮತ್ತು ಮುಂದೆ: ಪ 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.000004. ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ! ಉತ್ತರ, ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ, ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿ ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈವೆಂಟ್ ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿಲ್ಲ. ಇದು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಹೆಚ್ಚು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಣಿಕೆ ಪ 0 , ಪ 1 , ಪ 2 , ಪ 3, ಪ 10 (ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎನ್= 10 ಪ್ರಯೋಗಗಳು 0, 1, 2, 3, 10 ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ), ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ:

ಸಿ 10 0 = 1 , ಸಿ 10 1 = 10 , ಸಿ 10 2 = 45 , ಸಿ 10 3 = 120 , ಸಿ 10 4 = 210 , ಸಿ 10 5 = 252 ,
ಸಿ 10 6 = 210 , ಸಿ 10 7 = 120 , ಸಿ 10 8 = 45 , ಸಿ 10 9 = 10 , ಸಿ 10 10 = 1 ;

ಪ 0 = 1 0.8 0 (1 0.8) 10 0 = 1 1 0.2 10 = 0.0000…;
ಪ 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.0000…;
ಪ 2 = 45 0.8 2 (1 0.8) 10 2 = 45 0.8 2 0.2 8 = 0.0000…;
ಪ 3 = 120 0.8 3 (1 0.8) 10 3 = 120 0.8 3 0.2 7 = 0.0008…;
ಪ 4 = 210 0.8 4 (1 0.8) 10 4 = 210 0.8 4 0.2 6 = 0.0055…;
ಪ 5 = 252 0.8 5 (1 0.8) 10 5 = 252 0.8 5 0.2 5 = 0.0264…;
ಪ 6 = 210 0.8 6 (1 0.8) 10 6 = 210 0.8 6 0.2 4 = 0.0881…;
ಪ 7 = 120 0.8 7 (1 0.8) 10 7 = 120 0.8 7 0.2 3 = 0.2013…;
ಪ 8 = 45 0.8 8 (1 0.8) 10 8 = 45 0.8 8 0.2 2 = 0.3020…(ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ!);
ಪ 9 = 10 0.8 9 (1 0.8) 10 9 = 10 0.8 9 0.2 1 = 0.2684…;
ಪ 10 = 1 0.8 10 (1 0.8) 10 10 = 1 0.8 10 0.2 0 = 0.1074…

ಖಂಡಿತವಾಗಿ ಪ 0 + ಪ 1 + ಪ 2 + ಪ 3 + ಪ 4 + ಪ 5 + ಪ 6 + ಪ 7 + ಪ 8 + ಪ 9 + ಪ 10 = 1 .

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ

ನಾವು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ ಪ 0 , ಪ 1 , ಪ 2 , ಪ 3, ಪ 10, ನಾವು ಉದಾಹರಣೆ 3 ರಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ, ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ, ಅವರ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಒಂದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ (ಅಂಜೂರವನ್ನು ನೋಡಿ. 27.1) (ಉಪನ್ಯಾಸ 25 ನೋಡಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್).

ಅಕ್ಕಿ. 27.1. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ವಿಧ
p = 0.8, n = 10 ನಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ m ಗಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು

ಈವೆಂಟ್ ಎ ಸಂಭವಿಸುವ ಮತ್ತು ಸಂಭವಿಸದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಸರಿಸುಮಾರು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ ದ್ವಿಪದ ಕಾನೂನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು: ಪ≈ (1 ಪ) . ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಎನ್= 10 ಮತ್ತು ಪ= 0.5 (ಅಂದರೆ ಪ= 1 ಪ = 0.5 ).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದೇ ದಿನದಲ್ಲಿ ಹೆರಿಗೆ ಆಸ್ಪತ್ರೆಯಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದ 10 ಮಕ್ಕಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಹುಡುಗರು ಮತ್ತು ಎಷ್ಟು ಹುಡುಗಿಯರು ಇರುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಬಯಸಿದರೆ ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನಾವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬರುತ್ತೇವೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ನಾವು ಹುಡುಗರು ಮತ್ತು ಹುಡುಗಿಯರಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹುಡುಗರು ಮಾತ್ರ ಜನಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ, 1 ಹುಡುಗ ಮತ್ತು 9 ಹುಡುಗಿಯರು ಜನಿಸುತ್ತಾರೆ, 2 ಹುಡುಗರು ಮತ್ತು 8 ಹುಡುಗಿಯರು ಜನಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಹುಡುಗ ಮತ್ತು ಹುಡುಗಿಯನ್ನು ಹೊಂದುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದೇ ಮತ್ತು 0.5 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸರಳತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ (ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರಾಮಾಣಿಕವಾಗಿರಲು, ಇದು ಹಾಗಲ್ಲ, "ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಆರ್ಟಿಫಿಶಿಯಲ್ ಇಂಟೆಲಿಜೆನ್ಸ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್" ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ).

3 ಹುಡುಗರು ಮತ್ತು 7 ಹುಡುಗಿಯರನ್ನು ಹೊಂದುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 7 ಹುಡುಗರು ಮತ್ತು 3 ಹುಡುಗಿಯರನ್ನು ಹೊಂದುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ವಿತರಣೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಜನನದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ 5 ಹುಡುಗರು ಮತ್ತು 5 ಹುಡುಗಿಯರು. ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.25 ಆಗಿದೆ, ಅದು ದೊಡ್ಡದಲ್ಲ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ. ಇದಲ್ಲದೆ, 10 ಅಥವಾ 9 ಹುಡುಗರು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಜನಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 10 ಮಕ್ಕಳಲ್ಲಿ 5 ± 1 ಹುಡುಗ ಹುಟ್ಟುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ.

ಸಿ 10 0 = 1 , ಸಿ 10 1 = 10 , ಸಿ 10 2 = 45 , ಸಿ 10 3 = 120 , ಸಿ 10 4 = 210 , ಸಿ 10 5 = 252 ,
ಸಿ 10 6 = 210 , ಸಿ 10 7 = 120 , ಸಿ 10 8 = 45 , ಸಿ 10 9 = 10 , ಸಿ 10 10 = 1 ;

ಪ 0 = 1 0.5 0 (1 0.5) 10 0 = 1 1 0.5 10 = 0.000977…;
ಪ 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.009766…;
ಪ 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.043945…;
ಪ 3 = 120 0.5 3 (1 0.5) 10 3 = 120 0.5 10 = 0.117188…;
ಪ 4 = 210 0.5 4 (1 0.5) 10 4 = 210 0.5 10 = 0.205078…;
ಪ 5 = 252 0.5 5 (1 0.5) 10 5 = 252 0.5 10 = 0.246094…;
ಪ 6 = 210 0.5 6 (1 0.5) 10 6 = 210 0.5 10 = 0.205078…;
ಪ 7 = 120 0.5 7 (1 0.5) 10 7 = 120 0.5 10 = 0.117188…;
ಪ 8 = 45 0.5 8 (1 0.5) 10 8 = 45 0.5 10 = 0.043945…;
ಪ 9 = 10 0.5 9 (1 0.5) 10 9 = 10 0.5 10 = 0.009766…;
ಪ 10 = 1 0.5 10 (1 0.5) 10 10 = 1 0.5 10 = 0.000977…

ಖಂಡಿತವಾಗಿ ಪ 0 + ಪ 1 + ಪ 2 + ಪ 3 + ಪ 4 + ಪ 5 + ಪ 6 + ಪ 7 + ಪ 8 + ಪ 9 + ಪ 10 = 1 .

ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸೋಣ ಪ 0 , ಪ 1 , ಪ 2 , ಪ 3, ಪ 10 (ಚಿತ್ರ 27.2 ನೋಡಿ).

ಅಕ್ಕಿ. 27.2 ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಗ್ರಾಫ್
p = 0.5 ಮತ್ತು n = 10, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿಗೆ ಹತ್ತಿರ ತರುತ್ತದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮೀ ≈ ಎನ್/2 ಮತ್ತು ಪ≈ 1 ಪಅಥವಾ ಪದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಬದಲಿಗೆ ≈ 0.5, ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಎನ್ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಗ್ರಾಫ್ ಬಲಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಸಮತಟ್ಟಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್ : ಎಂ = ಎನ್ · ಪ , ಡಿ = ಎನ್ · ಪ· (1 ಪ) .

ಮೂಲಕ, ದ್ವಿಪದ ಕಾನೂನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎನ್, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿದೆ, ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ (ಉಪನ್ಯಾಸ 34 ನೋಡಿ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸುವುದು).

ದ್ವಿಪದ ಕಾನೂನು ಯಾವಾಗ ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸಿ ಪ ≠ q, ಅದು ಪ> 0. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಷ ವಿತರಣೆ

ವಿಷ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ (ಜೊತೆ ಎನ್>> 0 ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ಪ>0 (ಅಪರೂಪದ ಘಟನೆಗಳು)).

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಎಲ್ಲಿ ಎ = ಎನ್ · ಪ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ (ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ), ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಾವು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು

ಪ ಮೀ = ಸಿ ಎನ್ ಮೀ · ಪ ಮೀ· (1 ಪ) ಎನ್ – ಮೀ

ಹಾಕಿದರೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಪ = ಎ/ಎನ್ , ನಂತೆ

ಏಕೆಂದರೆ ಪತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮೀ, ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎನ್. ಕೆಲಸ

ಏಕತೆಗೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಅದೇ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ

ಪರಿಮಾಣ

ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಇ – ಎ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ. ಬಾಕ್ಸ್ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎನ್= 100 ಭಾಗಗಳು, ಉತ್ತಮ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಮತ್ತು ದೋಷಯುಕ್ತ ಎರಡೂ. ದೋಷಯುಕ್ತ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪ= 0.01 ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದು ದೋಷಯುಕ್ತವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಇಡುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಹಾದುಹೋದ 100 ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ದೋಷಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಇದರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ವಿಷದ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಪರೂಪದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪಾಯ್ಸನ್ ಕಾನೂನನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಇದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಯತ್ನದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ಪಾಯಿಸನ್ ನಿಯಮದ ರೂಪವನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ತೋರಿಸೋಣ. ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಪ = 0.05 , ಎನ್= 10. ನಂತರ:

ಸಿ 10 0 = 1 , ಸಿ 10 1 = 10 , ಸಿ 10 2 = 45 , ಸಿ 10 3 = 120 , ಸಿ 10 4 = 210 , ಸಿ 10 5 = 252 ,
ಸಿ 10 6 = 210 , ಸಿ 10 7 = 120 , ಸಿ 10 8 = 45 , ಸಿ 10 9 = 10 , ಸಿ 10 10 = 1 ;

ಪ 0 = 1 0.05 0 (1 0.05) 10 0 = 1 1 0.95 10 = 0.5987…;
ಪ 1 = 10 0.05 1 (1 0.05) 10 1 = 10 0.05 1 0.95 9 = 0.3151…;
ಪ 2 = 45 0.05 2 (1 0.05) 10 2 = 45 0.05 2 0.95 8 = 0.0746…;
ಪ 3 = 120 0.05 3 (1 0.05) 10 3 = 120 0.05 3 0.95 7 = 0.0105…;
ಪ 4 = 210 0.05 4 (1 0.05) 10 4 = 210 0.05 4 0.95 6 = 0.00096…;
ಪ 5 = 252 0.05 5 (1 0.05) 10 5 = 252 0.05 5 0.95 5 = 0.00006…;
ಪ 6 = 210 0.05 6 (1 0.05) 10 6 = 210 0.05 6 0.95 4 = 0.0000…;
ಪ 7 = 120 0.05 7 (1 0.05) 10 7 = 120 0.05 7 0.95 3 = 0.0000…;
ಪ 8 = 45 0.05 8 (1 0.05) 10 8 = 45 0.05 8 0.95 2 = 0.0000…;
ಪ 9 = 10 0.05 9 (1 0.05) 10 9 = 10 0.05 9 0.95 1 = 0.0000…;
ಪ 10 = 1 0.05 10 (1 0.05) 10 10 = 1 0.05 10 0.95 0 = 0.0000…

ಖಂಡಿತವಾಗಿ ಪ 0 + ಪ 1 + ಪ 2 + ಪ 3 + ಪ 4 + ಪ 5 + ಪ 6 + ಪ 7 + ಪ 8 + ಪ 9 + ಪ 10 = 1 .

ಅಕ್ಕಿ. 27.3. p = 0.05 ಮತ್ತು n = 10 ನಲ್ಲಿ ವಿಷ ವಿತರಣಾ ಕಥಾವಸ್ತು

ನಲ್ಲಿ ಎನ್> ∞ ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ವಿಷದ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ನೋಡಿ.