ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಧಗಳು. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳುಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕ (LNDU-2) ಜೊತೆಗೆ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳು(PC)

ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳು $p$ ಮತ್ತು $q$ ಹೊಂದಿರುವ 2ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ LDDEಯು $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $f\left(x \right)$ ಒಂದು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

PC ಯೊಂದಿಗಿನ LNDU 2 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಹೇಳಿಕೆಗಳು ನಿಜ.

ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯ $U$ ಒಂದು ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯ $Y$ ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ (GS) ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ನಂತರ GR ನ LHDE-2 ಸೂಚಿಸಲಾದ ಖಾಸಗಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ $y=U+Y$.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಬಲ ಭಾಗ 2ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ LPDEಯು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+... + f_(r) \left(x\right)$, ನಂತರ ಮೊದಲು ನಾವು $f_ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ PD ಗಳನ್ನು $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ ಕಾಣಬಹುದು (1) \ left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ CR LNDU-2 ಅನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ರೂಪ $U= U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

PC ಯೊಂದಿಗೆ 2 ನೇ ಕ್ರಮದ LPDE ಯ ಪರಿಹಾರ

ನೀಡಿರುವ LNDU-2 ನ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು PD $U$ನ ಪ್ರಕಾರವು ಅದರ ಬಲಭಾಗದ $f\left(x\right)$ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. PD LNDU-2 ಗಾಗಿ ಹುಡುಕುವ ಸರಳ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ನಾಲ್ಕು ನಿಯಮಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಿಯಮ #1.

LNDU-2 ನ ಬಲಭಾಗವು $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, ಅಂದರೆ ಇದನ್ನು a ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $n$. ನಂತರ ಅದರ PD $U$ ಅನ್ನು $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ $Q_(n) \left(x\right)$ ಇನ್ನೊಂದು $P_(n) \left(x\right)$ ನಂತೆಯೇ ಇರುವ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ, ಮತ್ತು $r$ ಎಂಬುದು ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ LOD-2 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳು $Q_(n) \left(x\right)$ ಅನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳ (UK) ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಯಮ ಸಂಖ್ಯೆ 2.

LNDU-2 ನ ಬಲಭಾಗವು $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $P_(n) \left(x\right)$ ಎಂಬುದು $n$ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಅದರ PD $U$ ಅನ್ನು $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ $Q_(n ) \ left(x\right)$ ಎಂಬುದು $P_(n) \left(x\right)$ ನಂತೆ ಅದೇ ಪದವಿಯ ಮತ್ತೊಂದು ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $r$ ಎಂಬುದು ಅನುಗುಣವಾದ LODE-2 ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. $\alpha $ ಗೆ ಸಮ. ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳು $Q_(n) \left(x\right)$ ಅನ್ನು NC ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಯಮ ಸಂಖ್ಯೆ 3.

LNDU-2 ನ ಬಲಭಾಗವು $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ \ಬಲ) $, ಅಲ್ಲಿ $a$, $b$ ಮತ್ತು $\beta$ ಇವೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ನಂತರ ಅದರ PD $U$ ಅನ್ನು $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ. \right )\cdot x^(r) $, ಇಲ್ಲಿ $A$ ಮತ್ತು $B$ ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು $r$ ಎನ್ನುವುದು ಅನುಗುಣವಾದ LODE-2 ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, $i\cdot ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ \beta $. $A$ ಮತ್ತು $B$ ಗುಣಾಂಕಗಳು ವಿನಾಶಕಾರಿಯಲ್ಲದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ನಿಯಮ ಸಂಖ್ಯೆ 4.

LNDU-2 ನ ಬಲಭಾಗವು $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, ಇಲ್ಲಿ $P_(n) \left(x\right)$ ಇರುತ್ತದೆ $ n$ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ, ಮತ್ತು $P_(m) \left(x\right)$ ಎಂಬುದು $m$ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಅದರ PD $U$ ಅನ್ನು $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ $Q_(s) \left(x\right)$ ಮತ್ತು $ R_(s) \left(x\right)$ $s$ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದಗಳು, $s$ ಸಂಖ್ಯೆಯು $n$ ಮತ್ತು $m$ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $r$ ಎಂಬುದು ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಗುಣವಾದ LODE-2 ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ, $\alpha +i\cdot \beta $ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು $Q_(s) \left(x\right)$ ಮತ್ತು $R_(s) \left(x\right)$ ಅನ್ನು NC ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

NK ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ LNDU-2 ನ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರದ ಭಾಗವಾಗಿರುವ ಬಹುಪದದ ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಇದು ಅವಶ್ಯಕ:

• ಬರೆದ PD $U$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ, ವಿ ಎಡಬದಿ LNDU-2;
• LNDU-2 ನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಅದೇ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ $x$ ಸರಳೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಗುಂಪು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ;
• ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುರುತಿನಲ್ಲಿ, ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳ $x$ ಅದೇ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ;
• ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಕಾರ್ಯ: ಹುಡುಕಿ ಅಥವಾ LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. PDಯನ್ನೂ ಹುಡುಕಿ , $x=0$ ಗೆ $y=6$ ಮತ್ತು $x=0$ ಗೆ $y"=1$ ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು.

ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ LOD-2 ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. ಈ ಬೇರುಗಳು ಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅನುಗುಣವಾದ LODE-2 ನ OR ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

ಈ LNDU-2 ನ ಬಲಭಾಗವು $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. $\alpha =3$ ಘಾತಾಂಕದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಗುಣಾಂಕವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ LNDU-2 ನ PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

NC ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು $A$, $B$ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಜೆಕ್ ಗಣರಾಜ್ಯದ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ನಾವು ಜೆಕ್ ಗಣರಾಜ್ಯದ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ನಾವು $y""$, $y"$ ಮತ್ತು $y$ ಬದಲಿಗೆ $U""$, $U"$ ಮತ್ತು $U$ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು NLDE-2 $y""-3\cdot y" ಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ ಮೇಲಾಗಿ, $e^(3\cdot x)$ ಘಾತವನ್ನು ಅಂಶವಾಗಿ ಸೇರಿಸಿರುವುದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

ನಾವು NDT ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ OR $y=Y+U$ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ಎಡಕ್ಕೆ(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

ನೀಡಲಾದ ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ PD ಗಾಗಿ ಹುಡುಕಲು, ನಾವು OP ಯ $y"$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

ನಾವು $x=0$ ಗೆ $y=6$ ಮತ್ತು $x=0$ ಗಾಗಿ $y=6$ ಗೆ $y$ ಮತ್ತು $y"$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ಕ್ರೇಮರ್‌ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು $C_(1) $ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು $C_(2) $ ಅನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ start(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \ end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ PD ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸವಾದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ರಮದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ
ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನ >>> ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:
(1)

ಪರಿಹಾರ

ಮೊದಲು ನಾವು ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:
(2)

ಇದು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು:
.
ಬಹು ಬೇರುಗಳು: . ಸಮೀಕರಣದ (2) ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
(3) .
ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ (2):
(4) .

ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು C 1 ಮತ್ತು ಸಿ 2 . ಅಂದರೆ, ನಾವು (4) ನಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:
.
ಪರಿಹಾರ ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣ(1) ಹೀಗೆ:
(5) .

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:
.
ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸೋಣ:
(6) .
ನಂತರ
.

ನಾವು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
.
ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ (1):
(1) ;



.
ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ (2) ಮತ್ತು ಪೂರೈಸುವುದರಿಂದ, ಕೊನೆಯ ಮೂರು ಸಾಲುಗಳ ಪ್ರತಿ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿನ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ:
(7) .
ಇಲ್ಲಿ .

ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ (6) ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು:
(6) :
(7) .

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ (6-7). ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು:
.
ನಾವು ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
;
.

ನಾವು ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (6-7) ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

.
ಕ್ರೇಮರ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
;
.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
;
.
ಏಕೀಕರಿಸೋಣ (ಮೂಲಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೋಡಿ). ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡುವುದು
; ; ; .

.
.

;
.

ಉತ್ತರ

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಧಾನದಿಂದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:
(8)

ಪರಿಹಾರ

ಹಂತ 1. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ನಾವು ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

(9)
ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
.
ಈ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
(10) .
ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ (9):
(11) .

ಹಂತ 2. ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ - ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು

ಈಗ ನಾವು ಸಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ 1 ಮತ್ತು ಸಿ 2 . ಅಂದರೆ, ನಾವು (11) ನಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:
.
ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣ (8) ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ:
(12) .

ಮುಂದೆ, ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಗತಿಯು ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ನಾವು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ ಮುಂದಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು:
(13) :
(14) .
ಇಲ್ಲಿ .

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು:
.
ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
;
.

ನಾವು ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (13-14) ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಯಕ:

.
ಕ್ರೇಮರ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
;
.

.
ರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು. ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಇವರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ:
.
ನಂತರ
.

ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ:


.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ವೈ"" + ಪ(X)ವೈ" + q(X)ವೈ = f(X) ,

ಎಲ್ಲಿ ವೈಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ(X) , q(X) ಮತ್ತು f(X) - ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ( a, b) .

ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ( f(X) = 0), ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ . ಈ ಪಾಠದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಭಾಗವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ( f(X) ≠ 0), ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ .

ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ವೈ"" :

ವೈ"" = −ಪ(X)ವೈ" − q(X)ವೈ + f(X) .

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು .

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರ

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ವೈ"" + ಪ(X)ವೈ" + q(X)ವೈ = 0 .

ಒಂದು ವೇಳೆ ವೈ1 (X) ಮತ್ತು ವೈ2 (X) ಈ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳು, ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ನಿಜ:

1) ವೈ1 (X) + ವೈ 2 (X) - ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವೂ ಆಗಿದೆ;

2) ಸೈ1 (X) , ಎಲ್ಲಿ ಸಿ- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ (ಸ್ಥಿರ), ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಹ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಈ ಎರಡು ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಂದ ಅದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ಸಿ1 ವೈ 1 (X) + ಸಿ 2 ವೈ 2 (X)

ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವೂ ಆಗಿದೆ.

ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಇದು ಪರಿಹಾರವೇ? ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ , ಅಂದರೆ, ಅಂತಹ ಒಂದು ಪರಿಹಾರ ಇದರಲ್ಲಿ, ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಿ1 ಮತ್ತು ಸಿ2 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?

ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ: ಬಹುಶಃ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ. ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳು ಯಾವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಷರತ್ತು ವೈ1 (X) ಮತ್ತು ವೈ2 (X) .

ಮತ್ತು ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಥಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳು.

ಪ್ರಮೇಯ. ಕಾರ್ಯ ಸಿ1 ವೈ 1 (X) + ಸಿ 2 ವೈ 2 (X) ಕಾರ್ಯಗಳ ವೇಳೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ವೈ1 (X) ಮತ್ತು ವೈ2 (X) ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಕಾರ್ಯಗಳು ವೈ1 (X) ಮತ್ತು ವೈ2 (X) ಅವುಗಳ ಅನುಪಾತವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ವೈ1 (X)/ವೈ 2 (X) = ಕೆ ; ಕೆ = ಸ್ಥಿರ ; ಕೆ ≠ 0 .

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಹಳ ಪ್ರಯಾಸಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ರೊನ್ಸ್ಕಿ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ(X) :

ವ್ರೊನ್ಸ್ಕಿ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ . ವ್ರೊನ್ಸ್ಕಿ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಎರಡು ಬಾರಿ ಏಕೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನೋಡಲು ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ, ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಲು, ಪರಿಹಾರಗಳು ಘಾತೀಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸ್ವತಃ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು .

ವ್ರೊನ್ಸ್ಕಿ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ನಿಂದ

ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಈ ಪರಿಹಾರಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

.

ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು: ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸ

ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ವೈ"" + ಪೈ" + qy = 0 ,

ಎಲ್ಲಿ ಪಮತ್ತು q- ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳು.

ಇದು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗೆ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ , ನೀವು ಮೊದಲು ರೂಪದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು

ಕೆ² + pq + q = 0 ,

ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳು , ನಾವು ಈಗ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಖಚಿತತೆಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವ್ರೊನ್ಸ್ಕಿ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂದೇಹಗಳು ಇದನ್ನು ಸ್ವತಃ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ

ಬೇರೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

.

ಉದಾಹರಣೆ 3. ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

.

ಪರಿಹಾರ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪ, ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳು: ಮತ್ತು . ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

.

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ

ಅದು, . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

.

ಉದಾಹರಣೆ 4. ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

.

ಪರಿಹಾರ. ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಸಮೀಕರಣ ಸಮಾನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳು: ಮತ್ತು . ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 5. ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

.

ಪರಿಹಾರ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮಾನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳು: ಮತ್ತು . ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ "ಬೆಲರೂಸಿಯನ್ ರಾಜ್ಯ

ಕೃಷಿ ಅಕಾಡೆಮಿ"

ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಭಾಗ

ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳು

ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ಶಿಕ್ಷಣದ (NISPO) ಅಕೌಂಟಿಂಗ್ ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಂದ "ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು" ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು

ಗೋರ್ಕಿ, 2013

ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕಗುಣಾಂಕಗಳು

ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಆ. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಹಂತಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು
- ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾರ್ಯ
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
.

ಒಂದು ವೇಳೆ
ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ
, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ (1) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

, (2)

ಮತ್ತು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ . ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣ (1) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ .

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

, (3)

ಎಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು
- ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಕಾರ್ಯ (3) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (2) ಸಂಕೀರ್ಣ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ನಿಜವಾದ ಭಾಗ
, ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗ
ಪರಿಹಾರಗಳು
ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಒಂದೇ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಸಮಗ್ರ ಪರಿಹಾರಸಮೀಕರಣ (2) ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎರಡು ನೈಜ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ.

ಏಕರೂಪದ ಪರಿಹಾರಗಳು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಒಂದು ವೇಳೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ (2), ನಂತರ ಕಾರ್ಯ
, ಎಲ್ಲಿ ಇದರೊಂದಿಗೆ- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ (2);

ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ (2), ನಂತರ ಕಾರ್ಯ
ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (2);

ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ (2), ನಂತರ ಅವುಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ
ಸಮೀಕರಣ (2) ಗೆ ಪರಿಹಾರವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು
- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.

ಕಾರ್ಯಗಳು
ಮತ್ತು
ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ
, ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು
, ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆ

ಸಮಾನತೆ (4) ಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು
, ನಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು
ಮತ್ತು
ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ
.

ಉದಾಹರಣೆ 1 . ಕಾರ್ಯಗಳು
ಮತ್ತು
ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ರಿಂದ
ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ
.

ಉದಾಹರಣೆ 2 . ಕಾರ್ಯಗಳು
ಮತ್ತು
ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ
ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ
, ಮತ್ತು
.

ನಿರ್ಮಾಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ

ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು (2), ನೀವು ಅದರ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು . ಈ ಪರಿಹಾರಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ
, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ (2) ಗೆ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ

, (5)

ಎಲ್ಲಿ - ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಂತರ
,
. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ (2):

ಅಥವಾ
.

ಏಕೆಂದರೆ
, ಅದು
. ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯ
ಒಂದು ವೇಳೆ ಸಮೀಕರಣ (2) ಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ

. (6)

ಸಮೀಕರಣ (6) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ (2). ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಅವಕಾಶ ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿವೆ. ಅವು ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ, ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ, ಅಥವಾ ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬಿಡಿ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು (2) ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ
ಮತ್ತು
. ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಈ ಪರಿಹಾರಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ
ಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು
, ಮತ್ತು
. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ (2) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

,

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು
- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 3
.

ಪರಿಹಾರ . ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ಇರುತ್ತದೆ
. ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಮತ್ತು
. ಕಾರ್ಯಗಳು
ಮತ್ತು
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ
.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು
ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ
ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ
ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ .

ಸಂಖ್ಯೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಜ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು - ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗ. ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
,
.

ಉದಾಹರಣೆ 4 . ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ
.

ಪರಿಹಾರ . ತಾರತಮ್ಯ ಸಮೀಕರಣ
. ನಂತರ. ಅಂತೆಯೇ,
. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ.
,
, ಎಲ್ಲಿ
. ಸಮೀಕರಣದ (2) ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು
,
ಅಥವಾ
,
. ಯೂಲರ್ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ

,
.

ನಂತರ,. ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು (2) ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ
ಮತ್ತು
. ಸಮಾನತೆಯಿಂದ

ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು
ಮತ್ತು
, ನಂತರ ಈ ಪರಿಹಾರಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ (2) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು
- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 5 . ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.

ಪರಿಹಾರ . ಸಮೀಕರಣ
ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ
,
. ಕಾರ್ಯಗಳು
ಮತ್ತು
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ.
. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು (2) ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ
ಮತ್ತು
. ಈ ಪರಿಹಾರಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು
. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ (2) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
.

ಉದಾಹರಣೆ 6 . ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.

ಪರಿಹಾರ . ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಸಮೀಕರಣ
ಸಮಾನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ
ಮತ್ತು
. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
.

ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಅಸಮಂಜಸ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಬಲಭಾಗ

ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ (1) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ
ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ:
.

ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಲಭಾಗದ ರೂಪದಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು.
ಸಮೀಕರಣ (1). ಇದು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಆ. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ ಮೀ. ಒಂದು ವೇಳೆ
ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲ, ನಂತರ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪದವಿಯ ಬಹುಪದದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು ಮೀ, ಅಂದರೆ

ಆಡ್ಸ್
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ
ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು

ಉದಾಹರಣೆ 7 . ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.

ಪರಿಹಾರ . ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ
. ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ
ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
ಮತ್ತು
. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
.

ಏಕೆಂದರೆ
ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲ, ನಂತರ ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ
. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
,
ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ:

ಅಥವಾ . ನಾವು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರು:
ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಂತರ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
,
. ನಂತರ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
, ಮತ್ತು ನೀಡಿರುವ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅಸಮಂಜಸವಾದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ:
.

ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ

ಒಂದು ವೇಳೆ
ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲ, ನಂತರ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು. ಒಂದು ವೇಳೆ
ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಕೆ (ಕೆ=1 ಅಥವಾ ಕೆ=2), ನಂತರ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ .

ಉದಾಹರಣೆ 8 . ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.

ಪರಿಹಾರ . ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
. ಅದರ ಬೇರುಗಳು
,
. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
.

ಸಂಖ್ಯೆ 3 ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು
. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:
+ +,
+,.

ನಾವು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರು:

ಇಲ್ಲಿಂದ
,
. ನಂತರ ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ

.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನ

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಲಭಾಗದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಈ ವಿಧಾನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಅವಕಾಶ
ಮತ್ತು
ಸಮೀಕರಣದ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ (2). ನಂತರ ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ
, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು
- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವವೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣ (1) ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ

ಎಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು
- ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಹೊಸ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ

ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ
ಮತ್ತು
. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಮತ್ತು
. ಪಡೆದ ಸಮಾನತೆಗಳ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಮತ್ತು
.

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು (9) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಅಸಮಂಜಸ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (1) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 9 . ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.

ಪರಿಹಾರ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು
. ಇದರ ಬೇರುಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ
,
. ಏಕೆಂದರೆ
ಮತ್ತು
, ಅದು
,
, ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಈ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಲ್ಲಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ
ಮತ್ತು
- ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಈ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
,
. ನಂತರ

,
. ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆದ ಈ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಜ್ಞಾನದ ಸ್ವಯಂ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಯಾವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಯಾವ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಏಕರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದನ್ನು ಅಸಮಂಜಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಯಾವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಯಾವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ?

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಸಮಾನ ಬೇರುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಯಾವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ?

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಯಾವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ?

ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದರೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಯಾವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೀ?

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೊನ್ನೆ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದರೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಯಾವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೀ?

ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವ ಏನು?

ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವಾಗ, ಅಂದರೆ ಅವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

1. ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕ

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಇದರಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸುವುದು ಎಂದು ಊಹಿಸಿ

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ

ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಅದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು. ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳು. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸೋಣ. ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ

ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (59) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ರಿಂದ, ನಂತರ, ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಈ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, k ನ ಆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ (59).

ಗುಣಾಂಕ k ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (61) ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (59).

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಬೇರುಗಳು ನಿಜವಾದ ವಿಭಿನ್ನ, ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿರಬಹುದು.

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

1. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ: . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೂತ್ರವನ್ನು (60) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಎರಡು ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವ್ರೊನ್ಸ್ಕಿ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸೂತ್ರದ (48) ಪ್ರಕಾರ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

2. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ: . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡೂ ಬೇರುಗಳು ನಿಜವಾಗುತ್ತವೆ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (60), ನಾವು ಕೇವಲ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಎರಡನೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ಮೊದಲನೆಯ ಜೊತೆಗೆ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ (59). ನಿಜವಾಗಿಯೂ,

ಆದರೆ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ ಇರುವುದರಿಂದ (61). ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಆದ್ದರಿಂದ . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ (59).

ಕಂಡುಬರುವ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳು ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಈಗ ತೋರಿಸೋಣ. ನಿಜವಾಗಿಯೂ,

ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

3. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ. ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಂದರೆ ಅವರು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತಾರೆ: . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೂತ್ರ (60) ಪ್ರಕಾರ ಸಮೀಕರಣದ (59) ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ:

ಯೂಲರ್‌ನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ (ಅಧ್ಯಾಯ XI, § 5, ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 3 ನೋಡಿ), ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಈ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಮಗ್ರವಾಗಿವೆ. ಮಾನ್ಯವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಅವು ಪರಿಹಾರಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (59) ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ (§ 3, ಐಟಂ 2, ಪ್ರಮೇಯ 1 ನೋಡಿ).

ಈ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ವ್ರೊನ್ಸ್ಕಿ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರಗಳು ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಸುಲಭ.

ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸಮೀಕರಣದ (59) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.