ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು. ವಿತರಣೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ

ಪುಟ 2

ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು (ಚಿತ್ರ 5 ನೋಡಿ) ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು, ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಲು (ಟೇಬಲ್) ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅದನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು, ಅಂಕಗಳನ್ನು (Y Pi) (x - i Pa) ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಲೈನ್ ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ಸ್ವರೂಪದ ಅಂದಾಜು ದೃಶ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (x/, p) ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

M (xn; pn) (hp - - ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು Xt pi - ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು) ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನೇರ ಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಪಡಿಸಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಿಂದುಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ದಾಳ. ಕೆಳಗಿನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಒಂದು, ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಮೂಳೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಲಿಗೆ, ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x (x Xr) ನ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು x ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ x ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ (x, x - Ax) ಬೀಳುತ್ತದೆ, ಆಗ Al; ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಜೊತೆಗೆ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಸಮಗ್ರ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಮಗ್ರ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ನಿರ್ಮಾಣದೊಂದಿಗೆ, ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಳುವ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಬಾರ್‌ಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್‌ಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಭಾವಿಸಲಾದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿತರಣೆಯು ಪ್ರಯೋಗದೊಂದಿಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಒಪ್ಪಿದರೆ, ನಂತರ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ n ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಯಶಸ್ವಿ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ (YJ-I, y ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಹೋಲಿಕೆಯ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಬಾರ್‌ಗಳ ಮೇಲಿನ ಬೇಸ್‌ಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

m ಗೆ 0 ರಿಂದ i ವರೆಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ, PQ, P RF - Pn ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೀಡಲಾಗಿದೆ p; z11, ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಾಗಿದೆ. ಕಾನೂನನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿ (ವಿತರಣಾ ಸರಣಿ), ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ (ವಿತರಣೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.

ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸದ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಆಳವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಕಂಡುಬರುವ ಲೆವೆಲಿಂಗ್ ವಿತರಣಾ ಕರ್ವ್ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎರಡನ್ನೂ ಎಳೆಯುವ ಮೂಲಕ, ಸಂಶೋಧಕರು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ವಿದ್ಯಮಾನಕ್ಕೆ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ವಿದ್ಯಮಾನದಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಂದ ಗಮನಿಸಿದ ಡೇಟಾದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಶೋಧಕರ ಗಮನವನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಶೋಧಕರು ಈ ವಿಚಲನಗಳಿಗೆ ಕಾರಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಾರೆ.

ನಂತರ, ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ (ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ) ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಮಧ್ಯದಿಂದ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೇವನೆಯೊಂದಿಗೆ ತಿಂಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಅಬ್ಸಿಸಾಗಳ ತುದಿಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಅಥವಾ ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಮಾಣದ ಮೌಲ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನಿನ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡುವ ಅಂಕಗಳು - ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೇರ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರವಿತರಣೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. ಕೋಷ್ಟಕ 46 ರಲ್ಲಿ 3 (ಹಾಗೆಯೇ ಅಂಕಿ 4 ಮತ್ತು 5 ರಲ್ಲಿ) ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಅದು ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಮೂರು ನಾಣ್ಯ ಟಾಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು: 0, 1, 2, 3, ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಐದು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಾಧನದಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾದ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು: 0, 1, 2, 3, 4, 5; ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xವಿತರಣಾ ಸರಣಿ ಅಥವಾ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ (ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು) ಮೂಲಕ ನೀಡಬಹುದು.

ವಿತರಣೆಯ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿದೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ Xiಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಆರ್ನಾನು = ಪಿ(X = xi), ಇದನ್ನು ಟೇಬಲ್ ಆಗಿ ಸೂಚಿಸಬಹುದು:

x i				x n
p i				ಆರ್ ಎನ್

ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಆರ್iಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು

ಆರ್i= 1 ಏಕೆಂದರೆ

ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎನ್ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು.

ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ . ಅದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ( Xi) x-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಆರ್i- ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ; ಅಂಕಗಳು ಎiನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ( Xನಾನು, ಆರ್i) ಮುರಿದ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಫ್(X), ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅವರ ಮೌಲ್ಯ Xಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ Xಈ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ X, ಅದು

F(x) = P(X< х).

ಕಾರ್ಯ ಎಫ್(X) ಫಾರ್ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ

ಎಫ್(X) = ಆರ್i , (1.10.1)

ಅಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ i, ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ Xi< х.

ಉದಾಹರಣೆ 3. 100 ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬ್ಯಾಚ್‌ನಿಂದ, ಅದರಲ್ಲಿ 10 ದೋಷಪೂರಿತವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಐದು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿತರಣೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ Xಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ದೋಷಯುಕ್ತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.

ಪರಿಹಾರ. ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ದೋಷಯುಕ್ತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 0 ರಿಂದ 5 ರವರೆಗಿನ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಬಹುದು, ನಂತರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು Xiಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಸಮಾನವಾಗಿವೆ:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಆರ್(ಎಕ್ಸ್ = ಕೆ) ಮಾದರಿಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಕೆ(ಕೆ = 0, 1, 2, 3, 4, 5) ದೋಷಯುಕ್ತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

P (X = k) = .

0.001 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆರ್ 1 = ಪಿ(X = 0) @ 0,583;ಆರ್ 2 = ಪಿ(X = 1) @ 0,340;ಆರ್ 3 = ಪಿ(X = 2) @ 0,070;

ಆರ್ 4 = ಪಿ(X = 3) @ 0,007;ಆರ್ 5 = ಪಿ(X= 4) @ 0;ಆರ್ 6 = ಪಿ(X = 5) @ 0.

ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಆರ್ಕೆ=1, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆಯೆ ಎಂದು ನಾವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಟೇಬಲ್ ನೋಡಿ).

x i
p i

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ X :

x i
p i

ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎಫ್(X) ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಒಂದು ವೇಳೆ Xನಂತರ £ 10 ಎಫ್(X)= ಪಿ(X<X) = 0;

10 ಆಗಿದ್ದರೆ<Xನಂತರ £ 20 ಎಫ್(X)= ಪಿ(X<X) = 0,2 ;

20 ಆಗಿದ್ದರೆ<Xನಂತರ £ 30 ಎಫ್(X)= ಪಿ(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

30 ಆಗಿದ್ದರೆ<Xಆಗ £40 ಎಫ್(X)= ಪಿ(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

40 ಆಗಿದ್ದರೆ<Xನಂತರ £ 50 ಎಫ್(X)= ಪಿ(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

ಒಂದು ವೇಳೆ X> 50, ನಂತರ ಎಫ್(X)= ಪಿ(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

ಉತ್ತರ: ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ Xಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಾಧ್ಯ, ಆದರೆ ಖಚಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯ Xಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ವೀಕರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಯೋಗದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮೌಲ್ಯ Xಈ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ:

ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಕ್ಷರಗಳ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ ಆರ್ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ:

ಅಂದರೆ, ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವಿತರಣಾ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳು (3.1) ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದರಿಂದ, ಅಂದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೀಮಿತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಭವನೀಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟನೆಗಳು ಯಾವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದರೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಅದು ನೀಡಿದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದಾದ ರೂಪವನ್ನು ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸೋಣ X.ಈ ಕಾನೂನನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸರಳ ರೂಪವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವ ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದೆ:

x i	X 1	X 2	× × ×	x n
p i	ಪ 1	ಪ 2	× × ×	ಪಿ ಎನ್

ನಾವು ಅಂತಹ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಗಳ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ X.

ಅಕ್ಕಿ. 3.1

ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ನೀಡಲು, ಅವರು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅದರ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸುತ್ತಾರೆ: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೇರ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 3.1). ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ, ಹಾಗೆಯೇ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನಿನ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯ "ಯಾಂತ್ರಿಕ" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಏಕತೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ಎನ್ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತವೆ . ನಂತರ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಕೆಲವು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರಯೋಗದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿವೆ ನಿರಂತರ (ಪ್ರತ್ಯೇಕ)ಮತ್ತು ನಿರಂತರಮಾದರಿ. ಸ್ಥಗಿತದ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಬಹುದು. ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂತರವನ್ನು ತುಂಬುತ್ತದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉದಾಹರಣೆ:

1) ಮೂರು ನಾಣ್ಯ ಟಾಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. (ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು 0;1;2;3)

2) ಅದೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ನ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನ. (ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು)

3) ಐದು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಾಧನದಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾದ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. (ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು 0;1;2;3;4;5)

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1) ಗುಂಡು ಹಾರಿಸಿದಾಗ ಪ್ರಭಾವದ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ (ಆರ್ಡಿನೇಟ್).

2) ಪ್ರಭಾವದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಗುರಿಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ದೂರ.

3) ಸಾಧನದ ಅಪ್ಟೈಮ್ (ರೇಡಿಯೋ ದೀಪ).

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, X ಎಂಬುದು ಮೂರು ಹೊಡೆತಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

X 1, X 2, ..., X n ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಾಧ್ಯ, ಆದರೆ ಖಚಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು X ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಪ್ರಯೋಗದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, X ನ ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ p ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ:

ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದರಿಂದ, ನಂತರ

ಅಂದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೇಗಾದರೂ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಸಂಭವನೀಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಯಾವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. (ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.)

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನುಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. (ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, ಅದು ನೀಡಿದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ)

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸರಳ ರೂಪವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವ ಟೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 1.

X i	X 1	X 2	…	ಎಕ್ಸ್ ಎನ್
ಪಿ ಐ	ಪಿ 1	P2	…	Pn

ಈ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿತರಣೆಯ ಹತ್ತಿರಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ.

ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿಸಲು, ಅವರು ಅದರ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸುತ್ತಾರೆ: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. (ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ.)

ಚಿತ್ರ 1 - ವಿತರಣೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ

ಈ ಅಂಕಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿತರಣೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ. ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯಂತೆ ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ; ಇದು ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನಿನ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ:

ಈವೆಂಟ್ A ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಾಣಿಸದೇ ಇರಬಹುದಾದ ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, A ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ = 0.3. ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ - ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸಂಭವಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. X ಮೌಲ್ಯದ ವಿತರಣೆಯ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಕೋಷ್ಟಕ 2.

X i
ಪಿ ಐ	0,7	0,3

ಚಿತ್ರ 2 - ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ: ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಲ್ಲದ ಎರಡೂ. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಭವನೀಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲು, ಈವೆಂಟ್ X=x ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಬಳಸದೆ, ಈವೆಂಟ್ X ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x) ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x) ಅದರ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ;

2. ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಲ್ಲಿ:

3. ಆನ್ ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ:

ಚಿತ್ರ 3 - ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇದು ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು 0 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 1 ಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ:

ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ X ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ:

ಚಿತ್ರ 4 - ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ X

ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಯಾವುದೇ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಯಾವಾಗಲೂ ನಿರಂತರ ಹಂತದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಜಿಗಿತಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಜಂಪ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಜಿಗಿತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜಿಗಿತಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತವೆ:

ಚಿತ್ರ 5

ಹಂತದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸುಗಮವಾಗುತ್ತದೆ:

ಚಿತ್ರ 6

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಕ್ರಮೇಣ ನಿರಂತರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಹ ಇವೆ, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ತುಂಬುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲೆಡೆ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಒಡೆಯುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 7

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು (ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ: r.v.) ಕ್ಯಾಪಿಟಲ್ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳಾದ X, Y, ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. Z,...(ಅಥವಾ ಲೋವರ್ಕೇಸ್ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳು ξ (xi), η (eta), θ (ಥೀಟಾ), ψ (psi), ಇತ್ಯಾದಿ), ಮತ್ತು ಅವರು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ x 1 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ , x 2 ,…, 1 ನಲ್ಲಿ , 2 ನಲ್ಲಿ , 3 ನಲ್ಲಿ …

ಉದಾಹರಣೆಗಳುಜೊತೆಗೆ. ವಿ. ಸೇವೆ ಮಾಡಬಹುದು: 1) X- ಡೈ ಎಸೆಯುವಾಗ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; 2) Y - ಗುರಿಯ ಮೇಲೆ ಮೊದಲ ಹಿಟ್ ಮೊದಲು ಹೊಡೆತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; 3) Z- ಸಾಧನದ ತೊಂದರೆ-ಮುಕ್ತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯ, ಇತ್ಯಾದಿ. (ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಎತ್ತರ, ಡಾಲರ್ ವಿನಿಮಯ ದರ, ಬ್ಯಾಚ್‌ನಲ್ಲಿನ ದೋಷಯುಕ್ತ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಗಾಳಿಯ ಉಷ್ಣತೆ, ಆಟಗಾರನ ಗೆಲುವುಗಳು, ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಕಂಪನಿಯ ಲಾಭ, . ..)

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ XΏ ಡಬ್ಲ್ಯೂ

X(w), ಅಂದರೆ. X= X(w), wಓ Ώ (ಅಥವಾ X = f(w)) (31)

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಪ್ರಯೋಗವು ನಾಣ್ಯವನ್ನು 2 ಬಾರಿ ಎಸೆಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. PES ನಲ್ಲಿ Ώ=(w 1, w 2, w 3, w 4), ಅಲ್ಲಿ w 1 = ಜಿಜಿ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ 2 = GR, w 3 = RG, w 4 = RR, ನೀವು p ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ವಿ. X- ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ ಸಂಖ್ಯೆ. ಎಸ್ ವಿ. Xಪ್ರಾಥಮಿಕ ಈವೆಂಟ್ w i ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ : X( w 1 ) = 2, X( w 2 ) = 1, X( w 3 ) = 1, X( w 4 )= 0; X- ಡಿ.ಎಸ್. ವಿ. x 1 ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ = 0, x 2 =1 , x 3 = 2.

X(w) S Р(А) = Р(Х< X).

X- ಡಿ.ಎಸ್. ವಿ.,

x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,...

p i,ಎಲ್ಲಿ ನಾನು = 1,2,3, ...,n,... .

ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನುಡಿ.ಎಸ್. ವಿ. p i =P(X=x i}, i=1,2,3,... ,n,...,

ಜೊತೆಗೆ. ವಿ. X X i. :

X	x 1	x 2	….	x n	…
ಪ	ಪು 1	p2	….	ಪಿ ಎನ್	…

ಘಟನೆಗಳಿಂದ (X = x 1), (X = x 2),..., (X = x n), ಅಂದರೆ. .

(x 1 , ಪು 1 ), (x 2 , p 2),…, (x n , p n) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ(ಅಥವಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ) ವಿತರಣೆ(ಚಿತ್ರ 17 ನೋಡಿ).

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ X ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿದೆ, x 1 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಇದ್ದರೆ , x 2 , ..., x n ಅಂತಹ P(X = x i) = p i > 0 (ನಾನು = 1,2,...) ಪು 1 + p2 + ಪು 3 +…= 1 (32)

ಮೊತ್ತಡಿ.ಎಸ್. ವಿ. X, ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು x i ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, ಮತ್ತು d.s. ವಿ. Y, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ y j ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ p i = Р(Y = y j), j = 1,2,3,... ,m, ಇದನ್ನು d.s ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿ. Z = X + Y, ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ p ij = P (X = x i,Y = y j) ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ z ij = x i + y j ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು iಮತ್ತು ಜೆ. ಕೆಲವು ಮೊತ್ತಗಳು x i + y j ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದಡಿ.ಎಸ್. ವಿ. X, ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು x i ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, ಮತ್ತು d.s. ವಿ. Y, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ y j ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ p i = Р(Y = y j), j = 1,2,3,... ,m, ಇದನ್ನು d.s ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿ. Z = X - Y, ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು z ij = x i – y j ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ p ij = P ( X = x i ,Y = y j ), ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ iಮತ್ತು ಜೆ. ಕೆಲವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು x i – y j ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಲಸಡಿ.ಎಸ್. ವಿ. X, ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು x i ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, ಮತ್ತು d.s. ವಿ. Y, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ y j ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ p i = Р(Y = y j), j = 1,2,3,... ,m, ಇದನ್ನು d.s ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿ. Z = X × Y, ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು z ij = x i × y j ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ p ij = P(X = x i,Y = y j), ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ iಮತ್ತು ಜೆ. ಕೆಲವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು x i × y j ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಡಿ.ಎಸ್. ವಿ. сХ, с x i р i = Р(Х = x i ).

X ಮತ್ತು Y ಘಟನೆಗಳು (X = x i) = A i ಮತ್ತು (Y = y j) = B j ಯಾವುದೇ i= 1,2,...,n ಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ; j = l,2,...,m, i.e.

P(X = x i ;Y = y j) =P(X = x i) ×P (Y = y j) (33)

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಪಾತ್ರೆಯಲ್ಲಿ 8 ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 5 ಬಿಳಿ, ಉಳಿದವು ಕಪ್ಪು. ಅದರಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ 3 ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಬಿಳಿ ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.