ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಕಷ್ಟಕರ ವಿಷಯಗಳುವಿ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಪ್ರತಿ ಪದವೀಧರರು ಉತ್ತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಈ ಲೇಖನವು ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ ಯಾವುದು ಮತ್ತು ಅದು ಏಕೆ ಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಸರಳ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.. ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಕಠಿಣತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಈಗ ಶ್ರಮಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ:

ಉತ್ಪನ್ನವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರವು ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಯೋಚಿಸುತ್ತೀರಿ?

ಉತ್ತರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ - ಮೂರನೆಯದು. ಇದು ಅತ್ಯಧಿಕ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅತಿದೊಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ.

ಕೋಸ್ಟ್ಯಾ, ಗ್ರಿಶಾ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ವಿ ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಪಡೆದರು. ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಅವರ ಆದಾಯ ಹೇಗೆ ಬದಲಾಯಿತು ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಗ್ರಾಫ್ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದೇ ಬಾರಿಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲವೇ? ಆರು ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಕೋಸ್ಟ್ಯಾ ಅವರ ಆದಾಯವು ದ್ವಿಗುಣಗೊಂಡಿದೆ. ಮತ್ತು ಗ್ರಿಶಾ ಅವರ ಆದಾಯವೂ ಹೆಚ್ಚಾಯಿತು, ಆದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ. ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ವೆಯ ಆದಾಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಇಳಿಯಿತು. ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ, ಅಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನ, - ವಿಭಿನ್ನ. ಮ್ಯಾಟ್ವೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅವನ ಆದಾಯದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ನಾವು ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕು?

ನಾವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ನೋಡುತ್ತಿರುವುದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಎಷ್ಟು ಕಡಿದಾದ ಮೇಲೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಕೆಳಗೆ). ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, x ಬದಲಾದಂತೆ y ಎಷ್ಟು ಬೇಗನೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ? ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಥವ್ಯುತ್ಪನ್ನ - ಅಂದರೆ, ಇದು ವೇಗವಾಗಿ ಅಥವಾ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗ್ರಾಫ್ ಬಳಸಿ ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಾವು ನಿಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಮೇಲೆ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಇರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಎಷ್ಟು ಕಡಿದಾದ ಮೇಲೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರ ಮೌಲ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನದಂತೆ ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಯಾವುದು ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಗ್ರಾಫ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ. ಇದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ಅದನ್ನು ಹುಡುಕೋಣ. ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಎದುರು ಭಾಗದ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಯ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ:

ಕ್ರಿಯೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿಯದೆಯೇ ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಂಬಂಧವಿದೆ. ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು. ಇದು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

.

ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ. ಅವಳು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಾಳೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಉತ್ಪನ್ನ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸ್ಪರ್ಶ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದ್ದೇವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕ್ರಿಯೆಯ ವರ್ತನೆಗೆ ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಲಿ ಮತ್ತು ಇತರರಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಲಿ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ದರಗಳಲ್ಲಿ. ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ತೀವ್ರವಾದ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ; ಧನಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ. ಇದರರ್ಥ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಒಂದು ಚೂಪಾದ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ; ಧನಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ. ಚೂಪಾದ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ (ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು) ಮತ್ತು (ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು) ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸಮತಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಹ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪಾಯಿಂಟ್ - ಗರಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳವು ಇಳಿಕೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯು "ಪ್ಲಸ್" ನಿಂದ "ಮೈನಸ್" ಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಂತದಲ್ಲಿ - ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು - ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವೂ ಸಹ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯು "ಮೈನಸ್" ನಿಂದ "ಪ್ಲಸ್" ಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಾವು ಕಲಿಯಬಹುದು.

ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಗರಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ಪ್ಲಸ್" ನಿಂದ "ಮೈನಸ್" ಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಕನಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ಮೈನಸ್" ನಿಂದ "ಪ್ಲಸ್" ಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:

	ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ	ಗರಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್	ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ	ಕನಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್	ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ
+	0	-	0	+

ಎರಡು ಸಣ್ಣ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನಿಮಗೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು - ಮೊದಲ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಗಂಭೀರವಾದ ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ.

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದು :

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸಮತಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬಿಂದುವಿನ ಮೊದಲು ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಯಿತು - ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಅದು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ಅದು ಇದ್ದಂತೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಹ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾದಾಗ ಇದು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ವಿರಾಮಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲಕ ನೀಡದಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸರಳವಾದ (ಮತ್ತು ತುಂಬಾ ಸರಳವಲ್ಲ) ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಖರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿಯಮಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು. . ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದವರು ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ (1643-1727) ಮತ್ತು ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೀಬ್ನಿಜ್ (1646-1716).

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನೀವು ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಿಮಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಘಟಕಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿಮತ್ತು ಯಾವ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ (ಉತ್ಪನ್ನ, ಮೊತ್ತ, ಅಂಶ)ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸೂತ್ರಗಳು, ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅಂಶ - ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ನಂತರ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು "x" ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಏನಾದರೂ ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಇನ್ನೂ ಉದ್ಭವಿಸಿದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಸರಳ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾದ ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೆರವುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಇದೀಗ ಅವರ ಕಡೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇವೆ.

ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

1. ಸ್ಥಿರ (ಸಂಖ್ಯೆ) ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ (1, 2, 5, 200...). ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ
2. ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ "ಎಕ್ಸ್". ಯಾವಾಗಲೂ ಒಬ್ಬರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ದೀರ್ಘಕಾಲ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಹ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ
3. ಪದವಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಚದರ-ಅಲ್ಲದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು.
4. ಪವರ್ -1 ಗೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
5. ಉತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗಮೂಲ
6. ಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
7. ಕೊಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
8. ಸ್ಪರ್ಶಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
9. ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ
10. ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
11. ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
12. ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
13. ಆರ್ಕ್ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ
14. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
15. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
16. ಘಾತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
17. ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು

1. ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
2. ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ
2a. ಸ್ಥಿರ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
3. ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
4. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ನಿಯಮ 1.ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ

ಮತ್ತು

ಆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮ. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿರ ಪದದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ

ನಿಯಮ 2.ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು

ಆ. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 1. ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಫಲಿತಾಂಶ 2. ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರವುಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಗುಣಕಗಳಿಗೆ:

ನಿಯಮ 3.ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು , ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಅಂಶವು ಸಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆu/v, ಮತ್ತು

ಆ. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಂಶವು ಛೇದದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಛೇದನ ಮತ್ತು ಛೇದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಹಿಂದಿನ ಅಂಶ.

ಇತರ ಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ನೋಡಬೇಕು

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕುರಿತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ."ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶ".

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ನೀವು ಸ್ಥಿರವನ್ನು (ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆ) ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವಾಗಿ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು! ಒಂದು ಪದದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ತಪ್ಪು, ಇದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸರಾಸರಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಹಲವಾರು ಒಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಭಾಗಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾನೆ, ಅವನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಈ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ ಯು"v, ಇದರಲ್ಲಿ ಯು- ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 ಅಥವಾ 5, ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿರ, ನಂತರ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆ 10 ರಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ).

ಇತರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪು- ಸರಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪರಿಹಾರ. ಅದಕ್ಕೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲೇಖನವನ್ನು ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಮೊದಲು ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ದಾರಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸದೆ ನೀವು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಹೊಸ ವಿಂಡೋಗಳಲ್ಲಿ ಕೈಪಿಡಿಯನ್ನು ತೆರೆಯಬೇಕಾಗಬಹುದು. ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳುಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು .

ನೀವು ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ತೋರುತ್ತಿರುವಾಗ , ನಂತರ "ಅಧಿಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" ಪಾಠವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ.

ನೀವು ಅಂತಹ ಕೆಲಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ , ನಂತರ ನೀವು "ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು" ಪಾಠವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ.

ಹಂತ-ಹಂತದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು - ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ: ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎರಡನ್ನೂ ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ (ಸಂಖ್ಯೆ), ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, "X" ಒಂದಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ 5 ಶೂನ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, "x" ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು "x" ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಂತೆ ಒಂದೇ ಘಟಕದಿಂದ ಎರಡನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಂಶವು ಛೇದದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಛೇದ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ಹಿಂದಿನ ಅಂಶದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಅಂಶವಾಗಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಮರೆಯಬಾರದು:

ನೀವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳ ನಿರಂತರ ರಾಶಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, , ನಂತರ ತರಗತಿಗೆ ಸ್ವಾಗತ "ಅಧಿಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" .

ನೀವು ಸೈನ್‌ಗಳು, ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು, ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಮತ್ತು ಇತರರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕುರಿತು ಇನ್ನಷ್ಟು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ತೋರುತ್ತಿರುವಾಗ , ನಂತರ ನಿಮಗೊಂದು ಪಾಠ "ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು" .

ಉದಾಹರಣೆ 5.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವೆಂದರೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ. ವರ್ಗಮೂಲದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 6.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಅದರ ಲಾಭಾಂಶವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆ 4 ರಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಿದ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

ದಿನಾಂಕ: 11/20/2014

ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು?

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮುಖ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪರಸ್ಪರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಈ ಪರಿಚಯವು ನಿಮಗೆ ಇದನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:

ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ;

ಈ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿ;

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕುರಿತು ಹೆಚ್ಚು ಗಂಭೀರವಾದ ಪಾಠಗಳಿಗಾಗಿ ತಯಾರು ಮಾಡಿ.

ಮೊದಲನೆಯದು - ಆಹ್ಲಾದಕರ ಆಶ್ಚರ್ಯ.)

ಉತ್ಪನ್ನದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮಿತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಷಯವು ತುಂಬಾ ಜಟಿಲವಾಗಿದೆ. ಇದು ಅಸಮಾಧಾನ ತಂದಿದೆ. ಆದರೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್, ನಿಯಮದಂತೆ, ಅಂತಹ ವ್ಯಾಪಕ ಮತ್ತು ಆಳವಾದ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ!

ಶಾಲೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು ಕೆಲವೇ ನಿಯಮಗಳು- ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳು- ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು. ಅಷ್ಟೆ. ಇದು ನನಗೆ ಸಂತೋಷ ತಂದಿದೆ.

ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣವೇ?)

ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪದನಾಮಗಳು.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹಲವು ವಿಭಿನ್ನ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿವೆ. ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಘಾತ, ಲಾಗರಿಥಮ್, ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತವು ಉನ್ನತವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಎಂದು ಕರೆದರು ವ್ಯತ್ಯಾಸ.ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಅದನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಉತ್ಪನ್ನ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸ- ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಕ್ರಿಯೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ- ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ.

ಹಾಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊತ್ತ- ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ. ಅಥವಾ ಖಾಸಗಿ- ವಿಭಜನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ.

ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನೀವು ಕನಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.) ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಕೆಳಕಂಡಂತಿವೆ: ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ; ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ; ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ; ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿಇತ್ಯಾದಿ ಇದೆಲ್ಲವೂ ಆಗಿದೆ ಒಂದು ಮತ್ತು ಅದೇ.ಸಹಜವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಹ ಇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೇಲಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಡ್ಯಾಶ್‌ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿ: ವೈ"ಅಥವಾ f"(x)ಅಥವಾ ಎಸ್"(ಟಿ)ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

ಓದುವುದು ಇಗ್ರೆಕ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್, ಎಫ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ನಿಂದ ಎಕ್ಸ್, ಎಸ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಟೆ,ಸರಿ, ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ...)

ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: (2x+3)", (x 3 )" , (ಸಿಂಕ್ಸ್)"ಇತ್ಯಾದಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಬಳಸಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂತಹ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ.) ನಾನು ನಿಮಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ರೂಪಾಂತರ.ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, ಈ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ಇವೆ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಕೇವಲ ಮೂರು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ನಿಂತಿರುವ ಮೂರು ಕಂಬಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ಅವರು ಈ ಮೂರು ಕಂಬಗಳು:

1. ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರಗಳು).

3. ಉತ್ಪನ್ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ.

ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ.

ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ. ಈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಳಕೆಗೆ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ, ಇಟ್ಟಿಗೆಗಳಿಂದ, ನೀವು ಇತರ ಎಲ್ಲವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಈ ವರ್ಗದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು.ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ - ರೇಖೀಯ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ, ಇತ್ಯಾದಿ.

"ಮೊದಲಿನಿಂದ" ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಅಂದರೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಶ್ರಮದಾಯಕ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸಹ ಜನರು, ಹೌದು, ಹೌದು!) ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ತಮ್ಮ (ಮತ್ತು ನಮಗೆ) ಜೀವನವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿದರು. ಅವರು ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರು. ಫಲಿತಾಂಶವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ.)

ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಈ ಪ್ಲೇಟ್ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಎಡ - ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

	ಕಾರ್ಯ ವೈ	y ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವೈ"
1	ಸಿ (ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯ)	ಸಿ" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	ಪಾಪ x	(ಸಿನ್ x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - ಪಾಪ x
	tg x
	ctg x
5	ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x
	ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್
	ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x
	arcctg x
4	ಎ x
	ಇ x
5	ಲಾಗ್ ಎ x
	ln x ( a = ಇ)

ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯ- ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ! ನೀವು ಸುಳಿವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಾ?) ಹೌದು, ಹೃದಯದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಮೂಲಕ, ಇದು ತೋರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಷ್ಟ ಅಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ!)

ಹುಡುಕಿ ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಉತ್ಪನ್ನ, ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಂತೆ, ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಚಿಪ್ಸ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಮಾತುಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ, ಅದು ಟೇಬಲ್‌ನಲ್ಲಿ ತೋರುತ್ತಿಲ್ಲ...

ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

1. y = x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ 3

ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ(ಮೂರನೇ ಗುಂಪು). ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ n=3. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು n ಬದಲಿಗೆ ಮೂರನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಬರೆಯಿರಿ:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

ಅಷ್ಟೇ.

ಉತ್ತರ: y" = 3x 2

2. x = 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y = sinx ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಈ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ ನೀವು ಮೊದಲು ಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಬೇಕು x = 0ಇದೇ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ. ನಿಖರವಾಗಿ ಆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ!ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವರು ತಕ್ಷಣವೇ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತಾರೆ ... ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ನಮಗೆ ಕೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೌಲ್ಯ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನ.ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ, ಇದು ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಟ್ಯಾಬ್ಲೆಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

y" = (ಸಿನ್ x)" = cosx

ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

y"(0) = cos 0 = 1

ಇದು ಉತ್ತರವಾಗಲಿದೆ.

3. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ:

ಏನು, ಇದು ಸ್ಫೂರ್ತಿ ನೀಡುತ್ತದೆಯೇ?) ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ. ನೀವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಮರೆತರೆ, ನಮ್ಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು ತುಂಬಾ ತೊಂದರೆದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಟೇಬಲ್ ಸಹಾಯ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ...

ಆದರೆ ನಾವು ನೋಡಿದರೆ ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯ ಕೊಸೈನ್ ಎರಡು ಕೋನ , ನಂತರ ಎಲ್ಲವೂ ತಕ್ಷಣವೇ ಉತ್ತಮಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ!

ಹೌದು, ಹೌದು! ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೊದಲುಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ! ಮತ್ತು ಜೀವನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭಗೊಳಿಸಲು ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಡಬಲ್ ಕೋನ ಕೊಸೈನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು:

ಆ. ನಮ್ಮ ಟ್ರಿಕಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ y = cosx. ಮತ್ತು ಇದು ಟೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ: y" = - ಪಾಪ x.

ಮುಂದುವರಿದ ಪದವೀಧರರು ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆ:

4. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಸಹಜವಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ನೀವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ... ನಂತರ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ರೀತಿ:

ಮತ್ತು x ಗೆ ಹತ್ತನೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವು ಈಗಾಗಲೇ ಕೋಷ್ಟಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ! ಮೂರನೇ ಗುಂಪು, n=1/10. ನಾವು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ನೇರವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಷ್ಟೇ. ಇದು ಉತ್ತರವಾಗಲಿದೆ.

ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಮೊದಲ ಸ್ತಂಭದೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ - ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ. ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ತಿಮಿಂಗಿಲಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಮುಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು?
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅರ್ಥ

ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಕುರಿತು ನನ್ನ ಲೇಖಕರ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ಲೇಖನದ ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ನಿಯೋಜನೆಯಿಂದ ಅನೇಕರು ಆಶ್ಚರ್ಯಚಕಿತರಾಗುತ್ತಾರೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಇದು ಶಾಲೆಯಿಂದಲೂ: ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವು ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ, ಯಾಂತ್ರಿಕ ಅರ್ಥ. ಮುಂದೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಅವರು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ತಂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ. ಉತ್ಪನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು.

ಆದರೆ ನನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿದೆ: ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ, ಮತ್ತು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅಪರಿಮಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳು. ವಿಷಯವೇನೆಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದು ಶಾಲಾ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಳಪೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಜ್ಞಾನದ ಗ್ರಾನೈಟ್ನ ಯುವ ಗ್ರಾಹಕರ ಗಮನಾರ್ಹ ಭಾಗವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ನೀವು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಬುದ್ಧಿವಂತ ಮೆದುಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅನೇಕ ವರ್ಷಗಳಿಂದಈ ಸಾಮಾನುಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ತೊಡೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿಗಳು. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಮಾಸ್ಟರ್ / ಅವರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಅದೇ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅರ್ಥವು ಮೊದಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತದೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಕಲಿಯಿರಿ, ಸೇರಿದಂತೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ, ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಮೂಲಭೂತ ಪಾಠಗಳ ಮೂಲಕ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ, ಮತ್ತು ಬಹುಶಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮಾಸ್ಟರ್ಅವರ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಾರವನ್ನು ಸಹ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳದೆ.

ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಿದ ನಂತರ ಈ ಪುಟದಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಅಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಕಾಯಬಹುದು. ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಅದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪಾಠವು ಸಾಕಷ್ಟು ತಡವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿರುವುದು ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ - ನಾನು ವಿವರಿಸಬೇಕಾದಾಗ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ/ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದುಕಾರ್ಯಗಳು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವರು ಬಹಳ ಸಮಯದವರೆಗೆ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರು. ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ಗಳು”, ನಾನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಮೊದಲೇ ಹಾಕಲು ನಿರ್ಧರಿಸುವವರೆಗೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಿಯ ಟೀಪಾಟ್‌ಗಳು, ಹಸಿದ ಪ್ರಾಣಿಗಳಂತೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಾರವನ್ನು ಹೀರಿಕೊಳ್ಳಲು ಹೊರದಬ್ಬಬೇಡಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಶುದ್ಧತ್ವವು ರುಚಿಯಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ, ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ, ಗರಿಷ್ಠ, ಕನಿಷ್ಠ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಅನೇಕ ಬೋಧನಾ ಸಾಧನಗಳುಕೆಲವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಾನು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಂದಿದ್ದೇನೆ. ನಾವು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಲುಪಬಹುದಾದ ನಗರಕ್ಕೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಲಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಬಾಗಿದ ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ತಿರಸ್ಕರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನೇರ ಹೆದ್ದಾರಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೇರ-ಸಾಲಿನ ನಿರ್ದೇಶನಗಳು ಸಹ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ: ನೀವು ಸುಗಮ ಹೆದ್ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ನಗರಕ್ಕೆ ಹೋಗಬಹುದು. ಅಥವಾ ಗುಡ್ಡಗಾಡು ಹೆದ್ದಾರಿಯಲ್ಲಿ - ಮೇಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಕ್ಕೆ, ಮೇಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ. ಇನ್ನೊಂದು ರಸ್ತೆಯು ಹತ್ತುವಿಕೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ರಸ್ತೆಯು ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ. ವಿಪರೀತ ಉತ್ಸಾಹಿಗಳು ಕಡಿದಾದ ಬಂಡೆ ಮತ್ತು ಕಡಿದಾದ ಆರೋಹಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಮರಿಯ ಮೂಲಕ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಆದರೆ ನಿಮ್ಮ ಆದ್ಯತೆಗಳು ಏನೇ ಇರಲಿ, ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಅದರ ಸ್ಥಳಾಕೃತಿಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಮಾಹಿತಿಯು ಕಾಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ನೀವು ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೃದುವಾದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಹರ್ಷಚಿತ್ತದಿಂದ ಫಿನ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸ್ಕೀ ಇಳಿಜಾರಿನ ಮೇಲೆ ಮುಗ್ಗರಿಸು. ನ್ಯಾವಿಗೇಟರ್ ಅಥವಾ ಉಪಗ್ರಹ ಚಿತ್ರವು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಡೇಟಾವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸತ್ಯವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾರ್ಗದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು.

ಕೆಲವು ರಸ್ತೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ (ಬದಿಯ ನೋಟ):

ಒಂದು ವೇಳೆ, ನಾನು ನಿಮಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ಪ್ರಯಾಣ ನಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ. ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ ನಿರಂತರಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ.

ಈ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳೇನು?

ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಮೌಲ್ಯ ಹೆಚ್ಚುಹಿಂದಿನದು. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ ಆನ್ ಆಗಿದೆ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ(ನಾವು ಬೆಟ್ಟವನ್ನು ಏರುತ್ತೇವೆ). ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ- ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಮೌಲ್ಯ ಕಡಿಮೆಹಿಂದಿನ, ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ ಆನ್ ಆಗಿದೆ ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಗೆ(ನಾವು ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೆಳಗೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ).

ವಿಶೇಷ ಅಂಶಗಳತ್ತ ಗಮನ ಹರಿಸೋಣ. ನಾವು ತಲುಪುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ, ಅಂದರೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಮೌಲ್ಯವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವ (ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು) ಮಾರ್ಗದ ಅಂತಹ ವಿಭಾಗ. ಅದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕನಿಷ್ಠ, ಮತ್ತು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ (ಕಡಿಮೆ).

ನಾವು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಪರಿಭಾಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ, ಆದರೆ ಈಗ ನಾವು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡೋಣ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣ: ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ವಿಭಿನ್ನ ವೇಗದಲ್ಲಿ. ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಕಣ್ಣನ್ನು ಸೆಳೆಯುವ ಮೊದಲ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚು ತಂಪಾಗಿದೆ, ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕಿಂತ . ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರಸ್ತೆಯ ಕಡಿದಾದ ಅಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?

ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ

ಕಲ್ಪನೆ ಹೀಗಿದೆ: ಸ್ವಲ್ಪ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ("ಡೆಲ್ಟಾ x" ಓದಿ), ಅದನ್ನು ನಾವು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ, ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿರುವ ವಿವಿಧ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ "ಅದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲು" ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:

1) ಎಡಭಾಗದ ಬಿಂದುವನ್ನು ನೋಡೋಣ: ದೂರವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ನಾವು ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಏರುತ್ತೇವೆ (ಹಸಿರು ರೇಖೆ). ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳ, ಮತ್ತು ಇನ್ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಈ ಹೆಚ್ಚಳವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ). ನಮ್ಮ ರಸ್ತೆಯ ಕಡಿದಾದ ಅಳತೆಯ ಅನುಪಾತವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಏರಿಕೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ .

ಗಮನ! ಹುದ್ದೆಗಳೆಂದರೆ ಒಂದುಚಿಹ್ನೆ, ಅಂದರೆ, ನೀವು "ಎಕ್ಸ್" ನಿಂದ "ಡೆಲ್ಟಾ" ಅನ್ನು "ಹರಿದು ಹಾಕಲು" ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಈ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಕಾಮೆಂಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನ್ವೇಷಿಸೋಣ. ನಾವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ 20 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿರೋಣ (ಎಡ ಕಪ್ಪು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ). ಮೀಟರ್‌ಗಳ ಅಂತರವನ್ನು (ಎಡ ಕೆಂಪು ರೇಖೆ) ಕ್ರಮಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು 60 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಇರುತ್ತದೆ ಮೀಟರ್ (ಹಸಿರು ರೇಖೆ) ಮತ್ತು: . ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಮೀಟರ್‌ನಲ್ಲಿರಸ್ತೆಯ ಈ ವಿಭಾಗ ಎತ್ತರ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಸರಾಸರಿ 4 ಮೀಟರ್ ಮೂಲಕ... ನಿಮ್ಮ ಕ್ಲೈಂಬಿಂಗ್ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಮರೆತಿರುವಿರಾ? =) ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿರ್ಮಿತ ಸಂಬಂಧವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಸರಾಸರಿ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬೆಳವಣಿಗೆ) ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ : ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯಗಳುಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಮಾತ್ರ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

2) ಈಗ ಬಲಬದಿಯ ಕಪ್ಪು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅದೇ ದೂರಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಏರಿಕೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಕ್ರಮೇಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಳ (ಕಡುಗೆಂಪು ರೇಖೆ) ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅನುಪಾತವು ತುಂಬಾ ಸಾಧಾರಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೀಟರ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಬೆಳವಣಿಗೆ ದರಆಗಿದೆ . ಅಂದರೆ, ಇಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಗದ ಪ್ರತಿ ಮೀಟರ್‌ಗೆ ಇವೆ ಸರಾಸರಿಅರ್ಧ ಮೀಟರ್ ಏರಿಕೆ.

3) ಪರ್ವತದ ಮೇಲೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಾಹಸ. ಮೇಲ್ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ ಕಪ್ಪು ಚುಕ್ಕೆ, ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇದೆ. ಇದು 50 ಮೀಟರ್ ಮಾರ್ಕ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಾವು ಮತ್ತೆ ದೂರವನ್ನು ಜಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ನಮ್ಮನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ - 30 ಮೀಟರ್ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ. ಚಳುವಳಿ ನಡೆಸುವುದರಿಂದ ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಗೆ(ಅಕ್ಷದ "ಕೌಂಟರ್" ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ), ನಂತರ ಅಂತಿಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳ (ಎತ್ತರ) ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಮೀಟರ್ (ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಂದು ವಿಭಾಗ). ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಇಳಿಕೆ ದರವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು: , ಅಂದರೆ, ಈ ವಿಭಾಗದ ಪಥದ ಪ್ರತಿ ಮೀಟರ್ಗೆ, ಎತ್ತರವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಸರಾಸರಿ 2 ಮೀಟರ್ ಮೂಲಕ. ಐದನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಬಟ್ಟೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಿಕೊಳ್ಳೋಣ: ಬಳಸಲು ಉತ್ತಮವಾದ "ಮಾಪನ ಮಾನದಂಡ" ಯಾವುದು? ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ, 10 ಮೀಟರ್ ತುಂಬಾ ಒರಟಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉತ್ತಮ ಡಜನ್ ಹಮ್ಮೋಕ್‌ಗಳು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಉಬ್ಬುಗಳು ಏನೇ ಇರಲಿ, ಕೆಳಗೆ ಆಳವಾದ ಕಮರಿ ಇರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಮೀಟರ್‌ಗಳ ನಂತರ ಅದರ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯು ಮತ್ತಷ್ಟು ಕಡಿದಾದ ಏರಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಹತ್ತು ಮೀಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅನುಪಾತದ ಮೂಲಕ ಮಾರ್ಗದ ಅಂತಹ ವಿಭಾಗಗಳ ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ .

ಮೇಲಿನ ಚರ್ಚೆಯಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರಲಾಗಿದೆ: ಹೇಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯ , ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ನಾವು ರಸ್ತೆಯ ಸ್ಥಳಾಕೃತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಗತಿಗಳು ನಿಜ:

– ಯಾರಿಗಾದರೂಎತ್ತುವ ಅಂಕಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಏರಿಕೆಯ ಗಡಿಯೊಳಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ) ನೀವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ಅನುಗುಣವಾದ ಎತ್ತರದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯು ಈ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

- ಹಾಗೆಯೇ, ಯಾವುದಕ್ಕೂಇಳಿಜಾರಿನ ಬಿಂದುವು ಈ ಇಳಿಜಾರಿನಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿನ ಇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

- ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ: . ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಶೂನ್ಯ ಎತ್ತರ ಹೆಚ್ಚಳ () ಸುಗಮ ಮಾರ್ಗದ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಇತರ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ, ಅದರ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನೀವು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೀರಿ. ವಿಧಿಯು ನಮ್ಮನ್ನು ಎತ್ತರದ ಹದ್ದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೆಟ್ಟದ ತುದಿಗೆ ಅಥವಾ ಕ್ರೋಕಿಂಗ್ ಕಪ್ಪೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಂದರದ ಕೆಳಭಾಗಕ್ಕೆ ತಂದಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ನೀವು ಯಾವುದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಹೆಜ್ಜೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿದ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲು ನಾವು ಅದ್ಭುತ ಅವಕಾಶಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ: , ಅಂದರೆ ಅದನ್ನು ಮಾಡಿ ಅಪರಿಮಿತ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮತ್ತೊಂದು ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ರಸ್ತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯವೇ ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರ್ಯ, ಇದು ನಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತಿದ್ದರುಎಲ್ಲಾ ಸಮತಟ್ಟಾದ ವಿಭಾಗಗಳು, ಆರೋಹಣಗಳು, ಅವರೋಹಣಗಳು, ಶಿಖರಗಳು, ಕಣಿವೆಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ದಾರಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬೆಳವಣಿಗೆ/ಕಡಿತದ ದರದ ಬಗ್ಗೆ?

ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು? ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ದಯವಿಟ್ಟು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದಿ ಮತ್ತು ಬೇಗನೆ ಅಲ್ಲ - ವಸ್ತುವು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ! ಕೆಲವು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಏನಾದರೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಣಿಸದಿದ್ದರೆ ಪರವಾಗಿಲ್ಲ, ನಂತರ ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಲೇಖನಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಬಹುದು. ನಾನು ಹೆಚ್ಚು ಹೇಳುತ್ತೇನೆ, ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ (ಸಲಹೆಯು "ತಾಂತ್ರಿಕ" ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದೆ, ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಗಣಿತವು ಮಹತ್ವದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ).

ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಏನು ಬಂದಿದ್ದೇವೆ? ಮತ್ತು ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಇತರ ಕಾರ್ಯ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯ(ಅಥವಾ ಕೇವಲ ಉತ್ಪನ್ನ).

ಉತ್ಪನ್ನವು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರಕಾರ್ಯಗಳು ಹೇಗೆ? ಲೇಖನದ ಆರಂಭದಿಂದಲೂ ಕಲ್ಪನೆಯು ಕೆಂಪು ದಾರದಂತೆ ಸಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ:

1) ವೇಳೆ , ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ . ಮತ್ತು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಇದೆ ಮಧ್ಯಂತರ(ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದರೂ), ಕಾರ್ಯವು ಬೆಳೆಯುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ "ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ" ಹೋಗುತ್ತದೆ.

2) ವೇಳೆ , ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ . ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಹಂತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರವಿದೆ (ಗ್ರಾಫ್ "ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ" ಹೋಗುತ್ತದೆ).

3) ವೇಳೆ , ನಂತರ ಅನಂತ ಹತ್ತಿರಒಂದು ಹಂತದ ಬಳಿ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ವೇಗವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ.

ಸ್ವಲ್ಪ ಶಬ್ದಾರ್ಥ. "ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸು" ಎಂಬ ಕ್ರಿಯಾಪದವು ವಿಶಾಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಏನು? ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡುವುದು. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಅದರ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ "ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ". ಮೂಲಕ, "ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" ಪದದ ಅರ್ಥವೇನು? ಕಾರ್ಯ ಸಂಭವಿಸಿತುಕಾರ್ಯದಿಂದ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಅರ್ಥದಿಂದ ಪದಗಳನ್ನು ಬಹಳ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ :
ಸಮಯ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯ ವೇಗದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ದೇಹದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ದೇಹವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವು ದೇಹದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ: . "ದೇಹ ಚಲನೆ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಇಲ್ಲ ಉತ್ಪನ್ನ"ದೇಹದ ವೇಗ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.

ದೇಹದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ: . "ದೇಹದ ಚಲನೆ" ಮತ್ತು "ದೇಹದ ವೇಗ" ಎಂಬ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಉತ್ಪನ್ನ"ದೇಹದ ವೇಗವರ್ಧನೆ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.\(y = f(x)\) ಕಾರ್ಯವು ಅದರೊಳಗೆ \(x_0\) ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಿ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಬಿಡದಂತೆ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ \(\ಡೆಲ್ಟಾ x \) ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ \(\Delta y \) (ಬಿಂದು \(x_0 \) ನಿಂದ \(x_0 + \Delta x \) ಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ) ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ \(\frac(\Delta y)(\ಡೆಲ್ಟಾ x) \). \(\Delta x \rightarrow 0\) ನಲ್ಲಿ ಈ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ\(x_0 \) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ \(y=f(x) \) ಮತ್ತು \(f"(x_0) \) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

y ಚಿಹ್ನೆಯು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ y" = f(x) ಒಂದು ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ x ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ y = f(x). ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: y = f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ. y-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲದ abscissa x=a ನೊಂದಿಗೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, f(a) ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ :
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \), ನಂತರ ಸಮಾನತೆ \(f"(a) = tan(a) \) ನಿಜ.

ಈಗ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಕಾರ್ಯವು \(y = f(x)\) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ಇದರರ್ಥ x ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), ಅಂದರೆ \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ಡೆಲ್ಟಾ x\). ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆಯ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಅರ್ಥವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ "ಬಹುತೇಕ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ" ಮತ್ತು ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ X. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ \(y = x^2\) ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ \(\Delta y \ approx 2x \cdot \Delta x \) ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅದು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

1. \(x\) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ, \(f(x)\) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ
2. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ \(x\) ಇಂಕ್ರಿಮೆಂಟ್ \(\ಡೆಲ್ಟಾ x\) ನೀಡಿ, ಹೊಸ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹೋಗಿ \(x+ \Delta x \), \(f(x+ \Delta x) \) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ
3. ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರಚಿಸಿ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ಈ ಮಿತಿಯು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ y = f(x) x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಸಿಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. y = f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕಾರ್ಯಗಳು y = f(x).

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸೋಣ: ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಹೇಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ?

x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ M(x; f(x)) ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವು f "(x) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಗ್ರಾಫ್ "ಮುರಿಯಲು" ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪಾಯಿಂಟ್ M ನಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ ಕ್ರಿಯೆಯು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರಬೇಕು.

ಇವು "ಹ್ಯಾಂಡ್-ಆನ್" ವಾದಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ. x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ \(\Delta x \) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ನಂತರ \(\Delta y\) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ರಿವರ್ಸ್ ಹೇಳಿಕೆ ನಿಜವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಕಾರ್ಯ y = |x| ಎಲ್ಲೆಡೆ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ x = 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ, ಆದರೆ "ಜಂಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್" (0; 0) ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. \(y=\sqrt(x)\) ಕಾರ್ಯವು x = 0 ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು x = 0 ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವು y-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು abscissa ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಮೀಕರಣವು x = 0 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂತಹ ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಕೋನ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ \(f "(0)\) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಹೊಸ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಯಿತು - ವಿಭಿನ್ನತೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಅದು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಗೆ ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು?

ಉತ್ತರವನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅದು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಭಾಗಗಳು, ಮೊತ್ತಗಳು, ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ "ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು", ಅಂದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಈ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುವ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯಬಹುದು. C ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು f=f(x), g=g(x) ಕೆಲವು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನಿಜ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $