ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು. ಸೆಮಿಸ್ಟರ್ 1.

ಉಪನ್ಯಾಸ 15. ಎಲಿಪ್ಸ್.

ಅಧ್ಯಾಯ 15. ಎಲಿಪ್ಸ್.

ಷರತ್ತು 1. ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಸಮತಲದ GMT ಆಗಿದೆ, ಫೋಸಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಮತಲದ ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ದೂರದ ಮೊತ್ತವು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಮತಲದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು M ನಿಂದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು M ಬಿಂದುವಿನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹುದ್ದೆಗಳು:
- ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ,
- M ಬಿಂದುವಿನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯ.

ಮೂಲಕ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಪಾಯಿಂಟ್ M ಎಂಬುದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ
- ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯ. ಈ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 2a ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

. (1)

ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ
.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಅದರ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುಗಳು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ನಾಭಿದೂರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹುದ್ದೆ:
.

ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ
ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
, ಅಂದರೆ

.

ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು b ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ
, ಅಂದರೆ

. (2)

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ವರ್ತನೆ

(3)

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ, ಅದನ್ನು ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವು ಇರುವ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕಾಗಿ ಅಂಗೀಕೃತ PDSC ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ, ಚಿತ್ರ 2 ನೋಡಿ.

ನಾವು ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ
ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ.

ನಂತರ ಫೋಸಿಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ
,
.

ಷರತ್ತು 2. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ.

ಪ್ರಮೇಯ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

. (4)

ಪುರಾವೆ. ನಾವು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (4) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವು (4) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ಅದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (4) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದ ಆ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಮಾತ್ರ. ಇದರಿಂದ ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (4) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

1) M(x, y) ಬಿಂದುವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ. ಅದರ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಮೊತ್ತವು 2a ಆಗಿದೆ:

.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು M ನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

,
, ನಾವು ಎಲ್ಲಿಂದ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಸರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸೋಣ:

ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, 4 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಆಮೂಲಾಗ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ:

.

ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮಾಡುವುದು

ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ
:

ನಾವು ಎಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಮಾನತೆ (2) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

.

ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು
, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (4), ಇತ್ಯಾದಿ.

2) ಈಗ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (x, y) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (4) ಪೂರೈಸಲಿ ಮತ್ತು M(x, y) ಸಮನ್ವಯ ಸಮತಲ Oxy ನಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ.

ನಂತರ (4) ರಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

.

ನಾವು ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

.

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮಾನತೆ (2) ಮತ್ತು (3) ಅನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ,
. ಅಂತೆಯೇ,
.

ಈಗ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ (4) ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ

ಅಥವಾ
ಇತ್ಯಾದಿ
, ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

.

ಇಲ್ಲಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಅದು

ಅಥವಾ
ಮತ್ತು

,
. (5)

ಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ (5) ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
, ಅಂದರೆ ಬಿಂದು M(x, y) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಒಂದು ಬಿಂದು, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಮೀಕರಣ (4) ಅನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರಧಾನ ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಷರತ್ತು 3. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಪ್ರಮೇಯ. (ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.)

1. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕಾಗಿ ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲವೂ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಬಿಂದುಗಳು ಆಯತದಲ್ಲಿವೆ

,
.

2. ಅಂಕಗಳು ಸುಳ್ಳು

3. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಅವರ ಮುಖ್ಯ ಅಕ್ಷಗಳು.

4. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಅದರ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ. 1, 2) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

3, 4) M(x, y) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (4) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ನಂತರ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (4) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಇದರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ.

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಪ್ರಮಾಣ 2a ಅನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು a ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಪ್ರಮಾಣ 2b ಅನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೈನರ್ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು b ಅನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸೆಮಿಮೈನರ್ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಶೃಂಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ, ನಾವು "ನಾಭಿ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಉಗುರು ಸುತ್ತಿಗೆ" ಮತ್ತು ಅವರಿಗೆ ಥ್ರೆಡ್ ಉದ್ದವನ್ನು ಜೋಡಿಸುತ್ತೇವೆ
. ನಂತರ ನಾವು ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಥ್ರೆಡ್ ಅನ್ನು ಬಿಗಿಗೊಳಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಸೀಸವನ್ನು ಸಮತಲದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ಥ್ರೆಡ್ ಬಿಗಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ನಾವು a ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸೋಣ ಮತ್ತು c ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸೋಣ. ನಂತರ ನಲ್ಲಿ
,
ಮತ್ತು
. ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ

ಅಥವಾ
- ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣ.

ಈಗ ನಿರ್ದೇಶಿಸೋಣ
. ನಂತರ
,
ಮತ್ತು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ
ಚಿತ್ರ 3 ರ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ.

ಷರತ್ತು 4. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಪ್ರಮೇಯ. ಅವಕಾಶ
- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

,
(6)

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ.

ಪುರಾವೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (6) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (4) ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕು, ಅಂದರೆ. ಅವರು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ.

1) ಸಿಸ್ಟಮ್ (6) ಗೆ (x, y) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪರಿಹಾರವಾಗಿರಲಿ. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು a ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಎರಡನೆಯದನ್ನು b ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಸೇರಿಸಿ:

.

ಆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರ (x, y) (6) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (4) ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

2) ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಜೋಡಿ (x, y) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (4) ಪರಿಹಾರವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ.

.

ಈ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಇದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಘಟಕ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನವು ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ
:

ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

,
, ಎಲ್ಲಿ
, ಇದು ಜೋಡಿ (x, y) ಸಿಸ್ಟಮ್ (6) ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಕಡೆಗೆ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ಏಕರೂಪದ "ಸಂಕುಚನ" ದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಅವಕಾಶ
- ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣ. ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ವೃತ್ತದ "ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುವಿಕೆ" ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು M(x, y) ಗೆ ನಾವು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ
, ಎಲ್ಲಿ
,
- ಸಂಕೋಚನ ಅನುಪಾತ.

ಈ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ, ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ "ಪರಿವರ್ತನೆ" ಆಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದೇ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಆರ್ಡಿನೇಟ್. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಹಳೆಯ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಸದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:

ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:

.

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

. (7)

"ಸಂಕೋಚನ" ರೂಪಾಂತರದ ಮೊದಲು M (x, y) ಬಿಂದುವು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದವು, ನಂತರ "ಸಂಕೋಚನ" ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ ಈ ಬಿಂದುವು "ಪರಿವರ್ತನೆ" ಬಿಂದುವಿಗೆ
, ಇದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (7) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ನಾವು ಸೆಮಿಮೈನರ್ ಆಕ್ಸಿಸ್ಬ್ನೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನಾವು ಸಂಕೋಚನ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ

.

ಷರತ್ತು 5. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಅವಕಾಶ
- ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು

.

ನಂತರ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಈ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣ
ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

. (8)

ಪುರಾವೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದ ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುವಿದ್ದಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಕು:
. ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

. (9)

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸೋಣ
ಹಂತದಲ್ಲಿ
:

ಎಲ್ಲಿ
- ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯ
. ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ (8) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸ್ಪರ್ಶದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

,

. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದು ಎಂಬ ಅಂಶದ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ
ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (9) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ.

.

ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (10) ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

,

ನಾವು ಎಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಇದರಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸೋಣ
:

.

ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಉಳಿದಿದೆ
, ಏಕೆಂದರೆ ಚುಕ್ಕೆ
ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದ ಮೂರನೇ ಅಥವಾ ನಾಲ್ಕನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಟ್ಯಾಂಜೆನ್ಸಿಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವು (8) ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣವು (8) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು
,
:

ಅಥವಾ
, ಮತ್ತು
ಅಥವಾ
.

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಷರತ್ತು 6. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕನ್ನಡಿ ಆಸ್ತಿ.

ಪ್ರಮೇಯ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಅವಕಾಶ
- ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದು,
,
– ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುವಿನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು, P ಮತ್ತು Q – ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಮೇಲಿನ ಫೋಸಿಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು
.

ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯ ಹೇಳುತ್ತದೆ

. (11)

ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅದರ ಗಮನದಿಂದ ಬಿಡುಗಡೆಯಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದಿಂದ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣದ ಘಟನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನದ ಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಬಹುದು. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕನ್ನಡಿ ಆಸ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕನ್ನಡಿಯಿಂದ ಪ್ರತಿಫಲನದ ನಂತರ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುದಿಂದ ಬಿಡುಗಡೆಯಾದ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮತ್ತೊಂದು ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ. ಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು (11), ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ
ಮತ್ತು
, ಇದರಲ್ಲಿ ಪಕ್ಷಗಳು
ಮತ್ತು
ಇದೇ ಇರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಲಂಬಕೋನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಈ ಸಮತಲದ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ದೂರದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಫೋಸಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಫೋಸಿಯ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ) .

ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಮೂಲಕ ನಾವು foci ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ - ಮೂಲಕ , ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯ, ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಫೋಸಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಗಳು, ಮೂಲಕ (ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ).

ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಫೋಸಿಗಳು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವು ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 44). ನಂತರ foci ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: ಎಡ ಗಮನ ಮತ್ತು ಬಲ ಫೋಕಸ್. ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಈ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಫೋಸಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಥವಾ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸರಳೀಕರಣಗಳ ನಂತರ:

ಈಗ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಅಥವಾ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ

ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (26) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣ (29) ಸಮೀಕರಣದ (26) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಇದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಕೂಡ ತೃಪ್ತವಾಗುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರದ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (29) ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣ (29) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಆಕಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸೋಣ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡೋಣ ಪದವಿಗಳನ್ನೂ ಸಹ x ಮತ್ತು y. ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು ಇರುವ ಅಕ್ಷ (ಇನ್ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ x-ಆಕ್ಸಿಸ್) ಅನ್ನು ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಆಕಾರವನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, y ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (28) ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ಇಲ್ಲಿ , y ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ನೀವು 0 ರಿಂದ a ಗೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, y b ನಿಂದ 0 ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಇರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಭಾಗವು B (0; b) ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆರ್ಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿರುತ್ತದೆ (Fig. 45). ಈಗ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. 45.

ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಶೃಂಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಶೃಂಗಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಚಿತ್ರ 45 ನೋಡಿ).

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿರುದ್ಧ ಶೃಂಗಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಫೋಸಿಯ ನಡುವಿನ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಅಂತರವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ಏಕತೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದರಿಂದ: ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಆಕಾರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸೂತ್ರದಿಂದ (28) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ಚಿಕ್ಕದಾದಷ್ಟೂ ಅದರ ಅರೆ-ಚಿಕ್ಕ ಅಕ್ಷದ b ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಕಡಿಮೆ ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ).

ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ a: , ಅಥವಾ . ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಲೀನಗೊಳ್ಳುವಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ - ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ. ವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು. ಅರೆ ಅಕ್ಷಗಳು a ಮತ್ತು b ಹೊಂದಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು a ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸೋಣ.

P ಮತ್ತು Q ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅಂತಹ ಕೋನವನ್ನು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ a , ಇದಕ್ಕಾಗಿ (Fig. 46). ನಾವು P ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ, ಮತ್ತು Q ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿ Oxy ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲ O ಮತ್ತು ಸಮತಲಗಳ ಛೇದನದ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಸಾಮಾನ್ಯ abscissa ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ. P ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು a ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ. ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, Q ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿರಲಿ. ಬಿಂದುವು ಅರೆ ಅಕ್ಷಗಳು a ಮತ್ತು b ನೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಸಾಲುಗಳು.
ಎಲಿಪ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ. ವೃತ್ತ

ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಧ್ಯಯನದ ನಂತರ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳುನಾವು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಪ್ರಪಂಚದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಕ್ಕನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳ ಸುಂದರವಾದ ಗ್ಯಾಲರಿಗೆ ಭೇಟಿ ನೀಡಲು ನಾನು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸುತ್ತೇನೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಲುಗಳು. ವಿಹಾರವು ಈಗಾಗಲೇ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲನೆಯದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಮಾಹಿತಿವಸ್ತುಸಂಗ್ರಹಾಲಯದ ವಿವಿಧ ಮಹಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರದರ್ಶನದ ಬಗ್ಗೆ:

ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕ್ರಮ

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೀಜಗಣಿತ, ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಅದರ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ , ಅಲ್ಲಿ ರೂಪದ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ (-ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ, - ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು).

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಸೈನ್‌ಗಳು, ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಬ್ಯೂ ಮಾಂಡೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕೇವಲ X ಮತ್ತು Y ಗಳು ಮಾತ್ರ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳುಪದವಿಗಳು.

ಸಾಲಿನ ಆದೇಶಅದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ನಿಯಮಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕ್ರಮವು ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಸುಲಭಕ್ಕಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ನಡೆಯುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಎರಡನೇ ಆರ್ಡರ್ ಲೈನ್ ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಇದನ್ನು ಎರಡು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯುವುದು ವಾಡಿಕೆ), ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ವೇಳೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ , ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ "ಫ್ಲಾಟ್" ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ, ಇದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಸಾಲು.

ಅನೇಕರು ಹೊಸ ಪದಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, 100% ವಸ್ತುವನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ನಮ್ಮ ಬೆರಳುಗಳನ್ನು ಸಾಕೆಟ್ಗೆ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಸಾಲಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳುಅದರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಹುಡುಕಿ ಪದವಿಗಳ ಮೊತ್ತಒಳಬರುವ ಅಸ್ಥಿರ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಪದವು 1 ನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ "x" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ;
ಪದವು 1 ನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ "Y" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ;
ಪದದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೆಯನ್ನು ಏಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ ಎರಡನೆಯದುಆದೇಶ:

ಪದವು 2 ನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ "x" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ;
ಸಾರಾಂಶವು ಅಸ್ಥಿರ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: 1 + 1 = 2;
ಪದವು 2 ನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ "Y" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ;
ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ನಿಯಮಗಳು - ಕಡಿಮೆಪದವಿಗಳು.

ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ: 2

ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದು ಈಗಾಗಲೇ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಲು. 3 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು "ಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್" ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮೂರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
, ಅಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾದ ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ , ನಂತರ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ 4 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಲುಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ

ನಾವು 3 ನೇ, 4 ನೇ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಎದುರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಾಗ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಸರಳವಾದ ಶಾಲಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಸ್ವತಃ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ, ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲವೂ ಅಷ್ಟು ಸುಗಮವಾಗಿಲ್ಲ ...

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ಗಮನಾರ್ಹ ನ್ಯೂನತೆಯೆಂದರೆ ಅದು ಯಾವ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಹ, ಇದು ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ ಎಂದು ನೀವು ತಕ್ಷಣ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ವಿನ್ಯಾಸಗಳು ಮಾಸ್ಕ್ವೆರೇಡ್ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಉತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ 2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುವುದು.

ಸಮೀಕರಣದ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪ ಯಾವುದು?

ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ನೋಟಸಮೀಕರಣ, ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಯಾವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಅನೇಕವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವು ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ "ಫ್ಲಾಟ್" ನೇರವಾಗಿ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ನೇರ ರೇಖೆ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಅದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಸುಲಭವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಲುನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಮಹಡಿಯಲ್ಲಿ, ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ನಮಗಾಗಿ ಕಾಯುತ್ತಿರುವ ಕಾವಲುಗಾರನಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂಬತ್ತು ಪ್ರತಿಮೆಗಳ ಹೆಚ್ಚು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಕಂಪನಿ:

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಲುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ

ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ವಿಶೇಷ ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ರಿಯೆಗಳು, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೆಯ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

(ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು)

1) - ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ;

2) - ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ;

3) - ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ;

4) – ಕಾಲ್ಪನಿಕದೀರ್ಘವೃತ್ತ;

5) - ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿ;

6) - ಜೋಡಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು (ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಛೇದನದ ಒಂದು ಮಾನ್ಯವಾದ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ);

7) - ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿ;

8) - ಜೋಡಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು;

9) - ಒಂದು ಜೋಡಿ ಕಾಕತಾಳೀಯ ಸಾಲುಗಳು.

ಕೆಲವು ಓದುಗರು ಪಟ್ಟಿಯು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅನಿಸಿಕೆ ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಂಖ್ಯೆ 7 ರಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವು ಜೋಡಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ ನೇರ, ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣ ಎಲ್ಲಿದೆ? ಉತ್ತರ: ಇದು ಅಂಗೀಕೃತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ, 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಂದ ತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ರವೇಶವು ಅನಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಹೊಸದನ್ನು ತರುವುದಿಲ್ಲ.

ಹೀಗೆ ಒಂಬತ್ತು ಮತ್ತು ಒಂಬತ್ತು ಮಾತ್ರ ಇವೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ 2 ನೇ ಕ್ರಮದ ಸಾಲುಗಳು, ಆದರೆ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ.

ಮೊದಲು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಎಂದಿನಂತೆ, ನಾನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತೇನೆ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮತ್ತು ನಿಮಗೆ ಸೂತ್ರಗಳ ವಿವರವಾದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪುರಾವೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, Bazylev/Atanasyan ಅಥವಾ Aleksandrov ರ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ.

ಎಲಿಪ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ

ಕಾಗುಣಿತ... ದಯವಿಟ್ಟು "ಎಲಿಪ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು", "ಎಲಿಪ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅಂಡಾಕಾರದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ" ಮತ್ತು "ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ" ಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಯಾಂಡೆಕ್ಸ್ ಬಳಕೆದಾರರ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಡಿ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು . ನಾನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಂತರ ರೂಪಿಸುತ್ತೇನೆ, ಆದರೆ ಈಗ ಮಾತನಾಡುವ ಅಂಗಡಿಯಿಂದ ವಿರಾಮ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಮಯ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು?

ಹೌದು, ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಸೆಳೆಯಿರಿ. ಕಾರ್ಯವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಮನಾರ್ಹ ಭಾಗವು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿಭಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರೋಣ:

ಏಕೆ ತರಬೇಕು? ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಅದು ತಕ್ಷಣವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಶೃಂಗಗಳು, ಇದು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ:


ವಿಭಾಗಎಂದು ಕರೆದರು ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷದೀರ್ಘವೃತ್ತ;
ವಿಭಾಗ – ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷ;
ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆದರು ಅರೆ-ಮೇಜರ್ ಶಾಫ್ಟ್ದೀರ್ಘವೃತ್ತ;
ಸಂಖ್ಯೆ – ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷ.
ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ: .

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಊಹಿಸಲು, ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದ "a" ಮತ್ತು "be" ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

ಎಲ್ಲವೂ ಉತ್ತಮ, ನಯವಾದ ಮತ್ತು ಸುಂದರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ಎಚ್ಚರಿಕೆ ಇದೆ: ನಾನು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡಿದ್ದೇನೆ. ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಬಳಸಿ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರಲ್ಲಿ ಕಠಿಣ ವಾಸ್ತವಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಚೆಕ್ಕರ್ ಪೇಪರ್ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಇಲಿಗಳು ನಮ್ಮ ಕೈಯಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಾಕಾರವಾಗಿ ನೃತ್ಯ ಮಾಡುತ್ತಿವೆ. ಕಲಾತ್ಮಕ ಪ್ರತಿಭೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜನರು, ಸಹಜವಾಗಿ, ವಾದಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು ಇಲಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ (ಸಣ್ಣ ಆದರೂ). ಮಾನವೀಯತೆಯು ಆಡಳಿತಗಾರ, ದಿಕ್ಸೂಚಿ, ಪ್ರೊಟ್ರಾಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಇತರ ಸರಳ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ ಎಂಬುದು ವ್ಯರ್ಥವಾಗಿಲ್ಲ.

ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದುಕೊಂಡು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೆಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸರಿಯಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನೀವು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಆಯಾಮಗಳು. ಆದರೆ ಒಳಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ - ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತ. ದಿಕ್ಸೂಚಿ ಮತ್ತು ಆಡಳಿತಗಾರನನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾನು ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಚಿಕ್ಕದಲ್ಲ ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿದೆ. ತುರ್ತು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ದಯವಿಟ್ಟು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಡ್ರಾಫ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ:
- ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಚಾಪವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ;
- ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೆಳಗಿನ ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ. ಮತ್ತು ಇದು ಅದ್ಭುತವಾಗಿದೆ - ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಉಚಿತಗಳ ಮುನ್ನುಡಿಯಾಗಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, 1 ನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ತ್ರೈಮಾಸಿಕವನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ಸಾಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಮಗೆ ಕಾರ್ಯ ಬೇಕು . ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಇದು ಬೇಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ . ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೂರು SMS ಸಂದೇಶಗಳನ್ನು ಟ್ಯಾಪ್ ಮಾಡೋಣ:

ಸಹಜವಾಗಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಗಂಭೀರವಾದ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ, ನಿರ್ಮಾಣದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ (ಕೆಂಪು), ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಿಂದುಗಳುಉಳಿದ ಕಮಾನುಗಳ ಮೇಲೆ ( ನೀಲಿ) ಮತ್ತು ಇಡೀ ಕಂಪನಿಯನ್ನು ಒಂದು ಸಾಲಿನೊಂದಿಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ:


ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಕೆಚ್ ಅನ್ನು ತುಂಬಾ ತೆಳುವಾಗಿ ಸೆಳೆಯುವುದು ಉತ್ತಮ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಕಷ್ಟು ಯೋಗ್ಯವಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿರಬೇಕು. ಅಂದಹಾಗೆ, ಈ ಕರ್ವ್ ಏನೆಂದು ತಿಳಿಯಲು ನೀವು ಬಯಸುವಿರಾ?

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಎಲಿಪ್ಸ್ ಫೋಸಿ ಮತ್ತು ಎಲಿಪ್ಸ್ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ

ಎಲಿಪ್ಸ್ ಆಗಿದೆ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಅಂಡಾಕಾರದ "ಅಂಡಾಕಾರದ" ಪದವನ್ನು ಫಿಲಿಸ್ಟೈನ್ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಾರದು ("ಮಗು ಅಂಡಾಕಾರವನ್ನು ಸೆಳೆಯಿತು", ಇತ್ಯಾದಿ). ಇದು ವಿವರವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗಣಿತದ ಪದವಾಗಿದೆ. ಈ ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶವು ಅಂಡಾಣುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅದು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಗಮನವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕೋರ್ಸ್ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ. ಮತ್ತು, ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಕಾರ ಪ್ರಸ್ತುತ ಅಗತ್ಯತೆಗಳು, ನಾವು ತಕ್ಷಣ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ದೂರದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತಂತ್ರಗಳುದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಈ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: .
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಫೋಕಸ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಈ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ: .

ಈಗ ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ:

ನೀಲಿ ಚುಕ್ಕೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ "ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತದೆ" ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಯಾವ ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ, ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ:

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತದ ಮೌಲ್ಯವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಎಂಟಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ "ಉಮ್" ಬಿಂದುವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಬಲ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ, ನಂತರ: , ಇದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾದದ್ದು.

ಅದನ್ನು ಸೆಳೆಯುವ ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತವು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಮತ್ತೊಂದು ಅನ್‌ಲೋಡಿಂಗ್ ಸೆಷನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಲು ಸಮಯವಾಗಿದೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ವಾಟ್‌ಮ್ಯಾನ್ ಪೇಪರ್ ಅಥವಾ ರಟ್ಟಿನ ದೊಡ್ಡ ಹಾಳೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಎರಡು ಉಗುರುಗಳಿಂದ ಟೇಬಲ್‌ಗೆ ಪಿನ್ ಮಾಡಿ. ಇವು ತಂತ್ರಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಚಾಚಿಕೊಂಡಿರುವ ಉಗುರು ತಲೆಗಳಿಗೆ ಹಸಿರು ದಾರವನ್ನು ಕಟ್ಟಿಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಪೆನ್ಸಿಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಿರಿ. ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಸೀಸವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈಗ ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಹಸಿರು ದಾರವನ್ನು ಬಿಗಿಯಾಗಿ ಬಿಗಿಯಾಗಿ ಇರಿಸಿ. ನೀವು ಹಿಂತಿರುಗುವವರೆಗೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತ... ಅದ್ಭುತವಾಗಿದೆ... ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ವೈದ್ಯರು ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಪರಿಶೀಲನೆಗಾಗಿ ಸಲ್ಲಿಸಬಹುದು =)

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾನು "ಸಿದ್ಧ" ಫೋಕಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಆಳದಿಂದ ಹೇಗೆ ಹೊರತೆಗೆಯಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಕೇಂದ್ರಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ , ಇದು ಎಲ್ಲಿದೆ ಪ್ರತಿ ಗಮನದಿಂದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ದೂರ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸರಳಕ್ಕಿಂತ ಸರಳವಾಗಿದೆ:

! ಫೋಸಿಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು "ತ್ಸೆ" ಯ ಅರ್ಥದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ!ಇದು ಎಂದು ನಾನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇನೆ ಪ್ರತಿ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ದೂರ(ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ).
ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಫೋಸಿ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಕಟ್ಟಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಸರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಫೋಸಿಗಳು ತಮ್ಮ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತವೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿವಿಷಯದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಧ್ಯಯನದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ಒಂದು ಅನುಪಾತವಾಗಿದ್ದು ಅದು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಳಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಆಕಾರವು ಅದರ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ, ಅಂದರೆ, ಸೆಮಿಮೇಜರ್ ಅಕ್ಷದ ಮೌಲ್ಯವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: .

ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಏಕತೆಗೆ ಹತ್ತಿರ ತರಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಸಾಧ್ಯ. ಇದರ ಅರ್ಥವೇನು? ... ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ . ಇದರರ್ಥ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪಾರ್ಶ್ವ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ "ಹೊರಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ". ಮತ್ತು, "ಹಸಿರು ಭಾಗಗಳು ರಬ್ಬರ್ ಅಲ್ಲ," ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿ ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ, ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕಟ್ಟಲಾದ ತೆಳುವಾದ ಮತ್ತು ತೆಳುವಾದ ಸಾಸೇಜ್ ಆಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಹೇಗೆ ಹತ್ತಿರದ ಮೌಲ್ಯದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ಏಕತೆಗೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಹೆಚ್ಚು ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು ವಿರುದ್ಧ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡೋಣ: ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು ಒಬ್ಬರಿಗೊಬ್ಬರು ನಡೆದರು, ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದರು. ಇದರರ್ಥ "ce" ನ ಮೌಲ್ಯವು ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ: .
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, "ಹಸಿರು ವಿಭಾಗಗಳು" ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, "ಜನಸಂದಣಿಯಾಗುತ್ತವೆ" ಮತ್ತು ಅವರು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಕ್ಕೆ "ತಳ್ಳಲು" ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಹೆಚ್ಚು ಹೋಲುತ್ತದೆ... ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಫೋಸಿಗಳು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪುನಃ ಸೇರಿದಾಗ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ನೋಡಿ:

ವೃತ್ತವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ , ಇದು ಶಾಲೆಯಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವ "a" ತ್ರಿಜ್ಯದ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಫಲಿತವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, "ಮಾತನಾಡುವ" ಅಕ್ಷರ "er" ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: . ತ್ರಿಜ್ಯವು ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ, ವೃತ್ತದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಅಂತರದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸರಿಯಾಗಿಯೇ ಉಳಿದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: ಫೋಸಿ ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕಾಕತಾಳೀಯ ಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫೋಸಿ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ತ್ವರಿತ, ದಿಕ್ಸೂಚಿ ಬಳಸಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅದರ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪರಿಚಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ - ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹರ್ಷಚಿತ್ತದಿಂದ ಮಾತನೋವ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ:

- ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ಕಾರ್ಯ;
- ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ಕಾರ್ಯ.

ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ಸಂಯೋಜಿಸಲುಮತ್ತು ಇತರ ಒಳ್ಳೆಯ ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ.

ಲೇಖನ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಉಲ್ಲೇಖಕ್ಕಾಗಿ ಮಾತ್ರ, ಆದರೆ ಪ್ರೀತಿಯಿಲ್ಲದೆ ನೀವು ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಬದುಕಬಹುದು? ಗಾಗಿ ಸೃಜನಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ

ಉದಾಹರಣೆ 2

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು ಮತ್ತು ಅರೆ-ಚಿಕ್ಕ ಅಕ್ಷವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ (ಕೇಂದ್ರವು ಮೂಲದಲ್ಲಿದೆ) ರಚಿಸಿ. ಶೃಂಗಗಳು, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರ

ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಅನುವಾದಿಸಿ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಸ್ಥಿತಿಗೆ, ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೊದಲ ಉಲ್ಲೇಖದಿಂದ ಜಿಜ್ಞಾಸೆಯ ಮನಸ್ಸನ್ನು ಹಿಂಸಿಸಿರುವ ರಹಸ್ಯ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ನೋಡಿದೆವು , ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ? ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಇಲ್ಲಿ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ತುಂಬಾ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ!

ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣವು ಅಪರೂಪ, ಆದರೆ ಇದು ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಬರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಮಿಸ್ಟಿಫೈ ಮಾಡೋಣ:

ನಿರ್ಮಾಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಸ್ಥಳೀಯ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಂದ ತಿರುಗಿಸಲಾಯಿತು. ಅಂದರೆ, - ಇದು ಅಂಗೀಕೃತವಲ್ಲದ ಪ್ರವೇಶದೀರ್ಘವೃತ್ತ . ದಾಖಲೆ!- ಸಮೀಕರಣ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ (foci) ಯಾವುದೇ ಇತರ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

11.1 ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ

ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ A, B, ಅಥವಾ C ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೆಗಳು (ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣವು (11.1) ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಅಥವಾ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕೆಳಗೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ತೆರಳುವ ಮೊದಲು, ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡೋಣ.

11.2 ವೃತ್ತ

ಸರಳವಾದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ R ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತವು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಮತಲದ M ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವು x 0, y 0 ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ - ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು (ಚಿತ್ರ 48 ನೋಡಿ).

ನಂತರ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

(11.2)

ಸಮೀಕರಣವು (11.2) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಮೀಕರಣ (11.2) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮತ್ತು , ನಾವು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ .

ಸರಳ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು (11.2) ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ (11.1) ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ:

1) x 2 ಮತ್ತು y 2 ಗಾಗಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;

2) ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ xy ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರಿಲ್ಲ.

ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (11.1), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

(11.4)

ಸಮೀಕರಣವು (11.3) ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ . ಇದರ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿದೆ

.

, ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ ಒಂದು ವೇಳೆ

.

, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ (11.3) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಇದು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ

. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ: "ವೃತ್ತವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸಿದೆ" (ಶೂನ್ಯ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ). ಒಂದು ವೇಳೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ (11.4), ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣ(11.3) ಯಾವುದೇ ಸಾಲನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದಿಲ್ಲ

ಬಲಭಾಗ

ಸಮೀಕರಣ (11.4) ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಡವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲ (ಹೇಳಿ: "ವೃತ್ತವು ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿದೆ").

11.3. ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಅಂಗೀಕೃತ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣ ತಂತ್ರಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತ

ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಿಂದ ಈ ಸಮತಲದ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ದೂರದ ಮೊತ್ತ , foci ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.ಮೂಲಕ ಗಮನವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಎಫ್ 1, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 2 ಆಗಿದೆ ಸಿ, ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಫೋಸಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಗಳ ಮೊತ್ತ - 2 ರಲ್ಲಿ ಎ(ಚಿತ್ರ 49 ನೋಡಿ). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ 2 ಎ > 2ಸಿ, ಅಂದರೆ ಎ > ಸಿ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಇದರಿಂದ ಫೋಸಿ , foci ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.ಮೂಲಕ ಗಮನವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಎಫ್ 1ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಮೂಲವು ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಯಿತು ಎಫ್ 1 ಎಫ್ 2.

ನಂತರ foci ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: ಮತ್ತು .

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಂದರೆ.

ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (11.5) ಹೆಚ್ಚಿನದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣಸರಳ ನೋಟ

ಕೆಳಗಿನಂತೆ: ಎ>ಏಕೆಂದರೆಜೊತೆಗೆ

(11.6)

, ಆ. ಹಾಕೋಣ

(11.7)

ನಂತರ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣವು (11.7) ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ .

ಅಂಗೀಕೃತ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಆಕಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸೋಣ.

ಅದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಆಕಾರದ ಅಧ್ಯಯನ

1. ಸಮೀಕರಣವು (11.7) x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಸಮ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಬಿಂದುಗಳು , ಸಹ ಅದಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 1 , 2. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಹಾಕುವುದು , ನಾವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು , ಅಕ್ಷವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 50 ನೋಡಿ). ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (11.7) ಹಾಕಿದರೆ, ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು . ಅಂಕಗಳು , ಎ, ಎ 2ಬಿ 1 ಬಿ 2ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 1 2. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಹಾಕುವುದು , ನಾವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು , ಅಕ್ಷವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 50 ನೋಡಿ). ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (11.7) ಹಾಕಿದರೆ, ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು . ಅಂಕಗಳುಮೂಲಕ ಗಮನವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಶೃಂಗಗಳು. ವಿಭಾಗಗಳು ಎಬಿ 1 ಬಿ 2 , ಹಾಗೆಯೇ ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳು 2ಮತ್ತು 2 ಬಿಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಮೂಲಕ ಗಮನವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ , ಹಾಗೆಯೇ ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳು 2ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಕ್ರಮವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಆಕ್ಸಲ್ ಶಾಫ್ಟ್ಗಳು

ದೀರ್ಘವೃತ್ತ.

3. ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (11.7) ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು ಒಂದನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಥವಾ ಮತ್ತು ನಡೆಯುತ್ತವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಆಯತದ ಒಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ.

4. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (11.7), ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಪದವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಹೆಚ್ಚಾದರೆ, ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.

ಮೇಲಿನಿಂದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. 50 (ಅಂಡಾಕಾರದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕರ್ವ್).

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿ<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ಚಿಕ್ಕದಾದಷ್ಟೂ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಕಡಿಮೆ ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ; ನಾವು ε = 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ವೃತ್ತವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎಫ್ 1 ಮತ್ತು ಎಫ್ 2 ಜೊತೆ M(x;y) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ 51 ನೋಡಿ). F 1 M = r 1 ಮತ್ತು F 2 M = r 2 ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನು M ಬಿಂದುವಿನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ,

ಸೂತ್ರಗಳು ಹಿಡಿದಿವೆ

ನೇರ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಪ್ರಮೇಯ 11.1.ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕೆಲವು ಫೋಕಸ್‌ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, d ಎಂಬುದು ಅದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಈ ಫೋಕಸ್‌ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವಾಗಿದೆ, ಆಗ ಅನುಪಾತವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ:

ಸಮಾನತೆಯಿಂದ (11.6) ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಮೀಕರಣವು (11.7) ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷವು Oy ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಮೈನರ್ ಅಕ್ಷವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 52 ನೋಡಿ). ಅಂತಹ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು , ಅಲ್ಲಿ .

11.4. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ

ಅಂಗೀಕೃತ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಸಮೀಕರಣ

ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್, ಈ ಸಮತಲದ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಅಂತರದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತಂತ್ರಗಳು , foci ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಿಂದ ಈ ಸಮತಲದ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ದೂರದ ಮೊತ್ತ , foci ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.ಮೂಲಕ ಗಮನವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಎಫ್ 1ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ 2ಸೆ, ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಫೋಸಿಯವರೆಗಿನ ಅಂತರದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ 2a. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ 2a < 2ಸೆ, ಅಂದರೆ ಎ < ಸಿ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಫೋಸಿ , foci ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.ಮೂಲಕ ಗಮನವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಎಫ್ 2ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇಡುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಮೂಲವು ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಯಿತು ಎಫ್ 1 ಎಫ್ 2(ಚಿತ್ರ 53 ನೋಡಿ). ನಂತರ foci ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಅಥವಾ , ಅಂದರೆ ಸರಳೀಕರಣಗಳ ನಂತರ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುವಾಗ ಮಾಡಿದಂತೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಅಂಗೀಕೃತ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಸಮೀಕರಣ

(11.9)

(11.10)

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಎನ್ನುವುದು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಒಂದು ಸಾಲು.

ಅದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಆಕಾರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು

ಅದರ ಕ್ಯಾಕೋನಿಕಲ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ರೂಪವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸೋಣ.

1. ಸಮೀಕರಣವು (11.9) x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಸಮ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಅಕ್ಷಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಬಗ್ಗೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಕೇಂದ್ರ.

2. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (11.9) ಹಾಕಿದರೆ, ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಛೇದನದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು. (11.9) ಹಾಕಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ Oy ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಶಿಖರಗಳು

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಾಗ ನಿಜವಾದ ಅಕ್ಷ , ವಿಭಾಗ - ನಿಜವಾದ ಅರೆ-ಅಕ್ಷ

ಅತಿಶಯ. ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷ , ಸಂಖ್ಯೆ ಬಿ - ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷ 2aಮೂಲಕ ಗಮನವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ .ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಯತ 2b .

3. ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (11.9) ಮಿನುಯೆಂಡ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಅದು ಅಥವಾ .

ಇದರರ್ಥ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಬಿಂದುಗಳು ರೇಖೆಯ ಬಲಕ್ಕೆ (ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಬಲ ಶಾಖೆ) ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಎಡಕ್ಕೆ (ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಎಡ ಶಾಖೆ) ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ.

4. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (11.9) ಅದು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಅದು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನವುಗಳಿಂದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಚಿತ್ರ 54 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಎರಡು ಅನಿಯಮಿತ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆ). ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ರೋಗಲಕ್ಷಣಗಳು

ನೇರ ರೇಖೆ L ಅನ್ನು ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

(11.11)

ಅನಿಯಮಿತ ಕರ್ವ್ K, ಮೂಲದಿಂದ ಕರ್ವ್ K ನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ಅಂತರವು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದ್ದಾಗ ಕರ್ವ್ K ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ d ನಿಂದ ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ.

ಚಿತ್ರ 55 ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್‌ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ: ನೇರ ರೇಖೆ L ಎಂಬುದು ಕರ್ವ್ K ಗಾಗಿ ಒಂದು ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಎರಡು ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ:

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು (11.11) ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ (11.9) ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವ ಸೂಚಿಸಲಾದ ರೇಖೆಗಳ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಕು. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಬಿಂದುವಿನಂತೆಯೇ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದು N ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ

(ಚಿತ್ರ 56 ನೋಡಿ), ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, x ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ; ಅಂಶವು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ

ΜΝ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. MΝ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೇಖೆಯವರೆಗಿನ ದೂರ d ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ d ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೆಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ (11.9) ದ ಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು (11.9) ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ, ಮೊದಲು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಮುಖ್ಯ ಆಯತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 57 ನೋಡಿ), ಈ ಆಯತದ ವಿರುದ್ಧ ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ - ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು , ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ.

(11.12)

ಸಮಬಾಹು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣ.

ಇದರ ಲಕ್ಷಣಗಳೆಂದರೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ (11.9) ಅನ್ನು ಅದರ ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳು () ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಸಮಬಾಹು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ

ಸಮಬಾಹು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್‌ಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮನ್ವಯ ಕೋನಗಳ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳಾಗಿವೆ.

ಈ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 58 ನೋಡಿ), ಕೋನದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಳೆಯದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ (11.9) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ foci ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ε ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಕ್ಕೆ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ: . ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಆಕಾರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಮಾನತೆಯಿಂದ (11.10) ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಅಂದರೆ. .

ಮತ್ತು

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು ಚಿಕ್ಕದಾದಷ್ಟೂ ಅದರ ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳ ಅನುಪಾತವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಆಯತವು ಹೆಚ್ಚು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದರಿಂದ ತಿಳಿಯಬಹುದು.

ಸಮಬಾಹು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯು . ನಿಜವಾಗಿಯೂ, ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯ .

ಬಲ ಶಾಖೆಯ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು , ಮತ್ತು ಎಡ ಶಾಖೆಗೆ -

ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ε > 1 ರಿಂದ, ನಂತರ .

ಇದರರ್ಥ ಬಲ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಮಧ್ಯ ಮತ್ತು ಬಲ ಶೃಂಗದ ನಡುವೆ ಇದೆ, ಎಡ - ಮಧ್ಯ ಮತ್ತು ಎಡ ಶೃಂಗದ ನಡುವೆ ಇದೆ. ಎಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸಹ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಆಗಿದೆ, ಇದರ ನೈಜ ಅಕ್ಷ 2b Oy ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷ 2

- ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ. ಚಿತ್ರ 59 ರಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ರೇಖೆಯಂತೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳನ್ನು ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

11.5 ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ

ಅಂಗೀಕೃತ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಸಮೀಕರಣ

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಎಂಬುದು ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮಾನವಾಗಿ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ, ಇದನ್ನು ಫೋಕಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯನ್ನು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫೋಕಸ್ F ನಿಂದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ನಿಯತಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು p (p > 0) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಆಕ್ಸಿ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷವು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಎಫ್‌ಗೆ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಫೋಕಸ್ ಎಫ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವು ಓ ನಡುವೆ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿದೆ ಫೋಕಸ್ ಮತ್ತು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಚಿತ್ರ 60 ನೋಡಿ). ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಫೋಕಸ್ ಎಫ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಥವಾ .

1. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (11.13) ವೇರಿಯೇಬಲ್ y ಸಮ ಡಿಗ್ರಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ; ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ.

2. ρ > 0 ರಿಂದ, ಅದು (11.13) ರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಓಯ್ ಅಕ್ಷದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ.

3. ನಾವು y = 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. 4. x ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ y ಸಹ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವು ಚಿತ್ರ 61 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ರೂಪವನ್ನು (ಆಕಾರ) ಹೊಂದಿದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ O (0; 0) ಅನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಿಭಾಗ FM = r ಅನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.ಸಮೀಕರಣಗಳು,, (

ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿ, ಅಲ್ಲಿ , B ಮತ್ತು C ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಗಿದೆ.

11.6. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಇವುಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿ ಅಕ್ಷಗಳು ಆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಓಯ್ ಎಂಬ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅರೆ ಅಕ್ಷಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಮೂಲಕ ಗಮನವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ , ಹಾಗೆಯೇ ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳು 2. ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳ ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಾರಂಭವನ್ನು ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ O 1 ನ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಇಡೋಣ ಎಮೂಲಕ ಗಮನವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ , ಹಾಗೆಯೇ ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳು 2(ಚಿತ್ರ 64 ನೋಡಿ):

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಚಿತ್ರ 65 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಸಮೀಕರಣ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಸರಿಸಿ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತರಲು, ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಹೊಸ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿ) ಒಂದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ರೂಪ

ಅಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು A ಮತ್ತು C ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ರೂಪದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವು (11.14) ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು (ವೃತ್ತ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ) ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆಯೇ? ಉತ್ತರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 11.2. ಸಮೀಕರಣ (11.14) ಯಾವಾಗಲೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ: ವೃತ್ತ (A = C ಗಾಗಿ), ಅಥವಾ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ (A C > 0 ಗಾಗಿ), ಅಥವಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ (A C ಗಾಗಿ)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಸಮೀಕರಣ

ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಪದವಿ:

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ (B¹ 0) ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಪದದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಇದು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (11.14) ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಪದವು ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ಅಕ್ಷದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಹೊಸದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಳೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:

ನಾವು ಕೋನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ಆದ್ದರಿಂದ x" · y" ಗಾಗಿ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸಮಾನತೆ

ಹೀಗಾಗಿ, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (11.17) ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕೋನದಿಂದ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ (11.15) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (11.14) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ಸಾಮಾನ್ಯ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣವು (11.15) ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (ಕ್ಷೀಣತೆ ಮತ್ತು ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಕೆಳಗಿನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ: ವೃತ್ತ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ.

ಗಮನಿಸಿ: A = C ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣ (11.17) ಅರ್ಥಹೀನವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, cos2α = 0 (ನೋಡಿ (11.16)), ನಂತರ 2α = 90°, ಅಂದರೆ α = 45°. ಆದ್ದರಿಂದ, A = C ಮಾಡಿದಾಗ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು 45 ° ತಿರುಗಿಸಬೇಕು.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಿಂದ ಎರಡು ನೀಡಿದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ F_1 ಅಂತರಗಳ ಮೊತ್ತ, ಮತ್ತು F_2 ಇವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ (2c) ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (2a) ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ(ಚಿತ್ರ 3.36, ಎ). ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಫೋಕಲ್ ಆಸ್ತಿ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಫೋಕಲ್ ಆಸ್ತಿ

F_1 ಮತ್ತು F_2 ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಫೋಸಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 2c=F_1F_2 ನಾಭಿದೂರವಾಗಿದೆ, F_1F_2 ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದ O ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 2a ಎಂಬುದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತ (ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಸಂಖ್ಯೆ a ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ). ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು M ಅನ್ನು ಅದರ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ F_1M ಮತ್ತು F_2M ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು M ಬಿಂದುವಿನ ಫೋಕಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸ್ವರಮೇಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

e=\frac(c)(a) ಅನುಪಾತವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ (2a>2c) ಇದು 0\leqslant e ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಅದರ ಫೋಕಲ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು, ಅದರ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ - ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆ:

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (Fig. 3.36c) ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ O ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ; ನಾವು ಫೋಸಿ (ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷ ಅಥವಾ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೊದಲ ಅಕ್ಷ) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಅದರ ಮೇಲೆ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ F_2 ಪಾಯಿಂಟ್ ವರೆಗೆ); ನಾವು ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗೋಣ (ಅಂಡವೃತ್ತದ ಎರಡನೇ ಅಕ್ಷ) .

ಫೋಕಲ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ. ಆಯ್ದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಫೋಸಿಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ F_1(-c,0),~F_2(c,0). ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು M(x,y) ಗಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

ನಾವು ಎರಡನೇ ರಾಡಿಕಲ್ ಅನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತರುತ್ತೇವೆ:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\ಲೆಫ್ಟ್‌ರೈಟ್‌ಟಾರೋ ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\ಲೆಫ್ಟ್‌ರೈಟ್‌ಟಾರೋ~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ನಂತರ b=\sqrt(a^2-c^2)>0, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು a^2b^2\ne0 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಂಗೀಕೃತವಾಗಿದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ವೃತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 3.36,6), ಏಕೆಂದರೆ a=b. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಂಗೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತದೆ O\equiv F_1\equiv F_2, ಮತ್ತು x^2+y^2=a^2 ಸಮೀಕರಣವು O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು a ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ.

ತರ್ಕಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮ, ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (3.49) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ಮಾತ್ರ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬಿಂದುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಫೋಕಲ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಡೈರೆಕ್ಟರಿ ಆಸ್ತಿ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಅದರಿಂದ ಅದೇ ದೂರದಲ್ಲಿ \frac(a^2)(c). c=0 ನಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ವೃತ್ತವಾಗಿರುವಾಗ, ಯಾವುದೇ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಿಲ್ಲ (ನಿರ್ದೇಶನಗಳು ಅನಂತದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು).

ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ 0 ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ ದೂರದ ಅನುಪಾತ ಎಫ್ (ಫೋಕಸ್) ನೀಡಿದ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ದೂರಕ್ಕೆ d (ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಇ ( ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ನಿರ್ದೇಶಕ ಆಸ್ತಿ). ಇಲ್ಲಿ F ಮತ್ತು d ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ.

F_1,d_1 ಅಥವಾ F_2,d_2 . ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫೋಕಸ್ F_2 ಮತ್ತು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ d_2 (Fig. 3.37,6) ಸ್ಥಿತಿ\frac(r_2)(\rho_2)=e

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right) ಅತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವುದು ಮತ್ತು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2 , ನಾವು ಅಂಗೀಕೃತ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (3.49) ತಲುಪುತ್ತೇವೆ. ಫೋಕಸ್ F_1 ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಕರಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು.

d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e

ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣ

ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ F_1r\varphi (Fig. 3.37, c ಮತ್ತು 3.37 (2)) ನಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

ಇಲ್ಲಿ p=\frac(b^2)(a) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಫೋಕಲ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಆಗಿದೆ.

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು F_1M+F_2M=2a ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

ನಾವು ಆಮೂಲಾಗ್ರ, ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

ಧ್ರುವೀಯ ತ್ರಿಜ್ಯ r ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಬದಲಿ ಮಾಡಿ e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ (ಚಿತ್ರ 3.37a ನೋಡಿ) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು (ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಶೃಂಗಗಳು). ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ y=0 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ): x=\pm a. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದೊಳಗೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷದ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವು 2a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು, ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ a ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ. x=0 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು y=\pm b ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಒಳಗಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಎರಡನೇ ಅಕ್ಷದ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವು 2b ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೈನರ್ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸೆಮಿಮೈನರ್ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ.

ನಿಜವಾಗಿಯೂ, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆ b=a ಅನ್ನು c=0 ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ವರ್ತನೆ k=\frac(b)(a)\leqslant1ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಂಕುಚಿತ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು 3.9

1. ನೇರ ರೇಖೆಗಳು x=\pm a,~y=\pm b ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಆಯತವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ, ಅದರೊಳಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಿದೆ (Fig. 3.37, a ನೋಡಿ).

2. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ವೃತ್ತವನ್ನು ಅದರ ವ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಕುಗ್ಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಆಕ್ಸಿಯಲ್ಲಿನ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು x^2+y^2=a^2 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. 0 ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ x- ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಿದಾಗ

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(ಕೇಸ್)

x=x" ಮತ್ತು y=\frac(1)(k)y" ವಲಯಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, M(x,y) ಬಿಂದುವಿನ M"(x",y") ಚಿತ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ):

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

ರಿಂದ b=k\cdot a . ಇದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

3. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು (ಕ್ಯಾನೋನಿಕಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ) ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳಾಗಿವೆ (ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮುಖ್ಯ ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಅದರ ಕೇಂದ್ರವು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, M(x,y) ಬಿಂದುವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ . ನಂತರ ಅಂಕಗಳು M"(x,-y) ಮತ್ತು M""(-x,y), ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ M ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದೇ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ.

4. ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(ಚಿತ್ರ 3.37, ಸಿ ನೋಡಿ), ಇದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಫೋಕಲ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಫೋಕಲ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಅದರ ಫೋಕಸ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸ್ವರಮೇಳದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ (r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ ಇ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಆಕಾರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ದೊಡ್ಡದಾದ e, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಹೆಚ್ಚು ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು e ಸೊನ್ನೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (Fig. 3.38a). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, e=\frac(c)(a) ಮತ್ತು c^2=a^2-b^2 , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

ಇಲ್ಲಿ k ಎಂಬುದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಂಕುಚಿತ ಅನುಪಾತ, 0

6. ಸಮೀಕರಣ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 a ನಲ್ಲಿ

7. ಸಮೀಕರಣ \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b O"(x_0,y_0) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳ ಅಕ್ಷಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (Fig. 3.38, c). ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಭಾಷಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂಗೀಕೃತ ಒಂದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ (3.36).

ಯಾವಾಗ a=b=R ಸಮೀಕರಣ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 O"(x_0,y_0) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ R ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (3.49) ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಾವು ಮುಖ್ಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತನ್ನು \cos^2t+\sin^2t=1 ತಲುಪುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.20.ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಆಕ್ಸಿಯಲ್ಲಿ. ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳು, ನಾಭಿದೂರ, ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ, ಸಂಕೋಚನ ಅನುಪಾತ, ಫೋಕಲ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್, ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿ, ನಾವು ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ: a=2 - ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷ, b=1 - ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರೆ-ಚಿಕ್ಕ ಅಕ್ಷ. ನಾವು ಮೂಲ ಆಯತವನ್ನು 2a = 4, ~ 2b = 2 ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ (Fig. 3.39). ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಆಯತಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ x=1 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \ಲೆಫ್ಟ್‌ರೈಟ್‌ಟಾರೋ \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \ಲೆಫ್ಟ್‌ರೈಟ್‌ಟಾರೋ \ ಕ್ವಾಡ್ y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಳು \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\ಬಲ)- ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ.

ಸಂಕೋಚನ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ನಾಭಿದೂರ 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆ e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ಫೋಕಲ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). ನಾವು ಡೈರೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

ನಿಮ್ಮ ಬ್ರೌಸರ್‌ನಲ್ಲಿ Javascript ಅನ್ನು ನಿಷ್ಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು, ನೀವು ActiveX ನಿಯಂತ್ರಣಗಳನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಬೇಕು!