ಮನೆ ಲೇಪಿತ ನಾಲಿಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ a ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ರೇಖೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಲೇಪಿತ ನಾಲಿಗೆ

ಪಾಯಿಂಟ್ a ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ರೇಖೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ (x0, y0) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮಲಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಮಾನವು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಬಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು

1. ಎರಡೂ ಬಿಂದುಗಳು - ನೀಡಿದ ಮತ್ತು ಅಪೇಕ್ಷಿತ - ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಈ ರೇಖೆಯು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೊದಲ ಭಾಗವು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

2. ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: Ax + By + C = 0, ಅಲ್ಲಿ A, B ಮತ್ತು C ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯ: y = kx + b, ಇಲ್ಲಿ k ಎಂಬುದು ಕೋನೀಯ ಘಾತವಾಗಿದೆ, b ಎಂಬುದು ಈ ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನೀವು ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಬಹುದು. Ax + By + C = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ y = – (Ax + C)/B. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ y = kx + b, ಕೋನೀಯ ಘಾತಾಂಕ k = -A/B, ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಾಂತರ b = -C/B. ಕೈಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಅದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ತರ್ಕಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಆರಾಮದಾಯಕವಾಗಿದೆ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣನೇರ.

3. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು Ax + By + C = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ 2 ನೇ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು Bx – Ay + D = 0 ನಂತೆ ಕಾಣಬೇಕು, ಅಲ್ಲಿ D ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. D ಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು, ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯು ಯಾವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. IN ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಇದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ (x0, y0) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, D ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು: Bx0 - Ay0 + D = 0, ಅಂದರೆ, D = Ay0 - Bx0.

4. ಲಂಬ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ನಂತರ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದರೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು:Ax + By + C = 0,Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. ಇದರ ಪರಿಹಾರವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (x1, y1), ಇದು ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

5. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಬಿಂದುವು ಪತ್ತೆಯಾದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅದರ ಅಂತರವು ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬಿಂದುವಿಗೆ (x0, y0) ಇರುವ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಬಿಂದುವಿಗೆ (x0, y0) ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. ಆದರೆ ನೀವು ಅದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಬಿಂದುಗಳು (x0, y0) ಮತ್ತು (x, y) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ (x1, y1) ಸಮಾನ ಅಂತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಆಗ: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0 ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅದರ ಬಲಭಾಗವು ಎಡಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಬಿಂದುಗಳು (x0, y0) ಮತ್ತು (x1, y1) ಅದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ (x, y) ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. .

ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. . ಹಂತಗಳನ್ನು ನೀವೇ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನಾನು ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ, ಆದರೆ ಮಧ್ಯಂತರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾನು ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇನೆ:

1) ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

2) ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: .

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

3) ಬಿಂದುವು ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ಮೂಲಕ ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳುನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಅಂತರವೂ 2.2 ಯೂನಿಟ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು.

ಇಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆಗಳು ಉಂಟಾಗಬಹುದು, ಆದರೆ ಮೈಕ್ರೊಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಗೋಪುರದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಸಹಾಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ನಿಮಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು. ನಾನು ನಿಮಗೆ ಹಲವು ಬಾರಿ ಸಲಹೆ ನೀಡಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇನೆ.

ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಉದಾಹರಣೆ 9

ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಇದಕ್ಕೆ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ. ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸುಳಿವು ನೀಡುತ್ತೇನೆ: ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನಂತವಾದ ಹಲವು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುವುದು, ಆದರೆ ನಿಮಗಾಗಿ ಊಹಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ, ನಿಮ್ಮ ಜಾಣ್ಮೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲೆಯೂ ಜಂಬ್ ಆಗಿದೆ:

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸಣ್ಣ ಕೋನ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಅದು ಚೂಪಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೆಂಪು ಚಾಪದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಕೋನವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಅವನ "ಹಸಿರು" ನೆರೆಹೊರೆಯವರು ಅಥವಾ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಆಧಾರಿತ"ರಾಸ್ಪ್ಬೆರಿ" ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ.

ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, 4 ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಕೋನವನ್ನು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಕೋನಗಳು ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ? ದೃಷ್ಟಿಕೋನ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಕೋನವನ್ನು "ಸ್ಕ್ರೋಲ್" ಮಾಡುವ ದಿಕ್ಕು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಧಾರಿತ ಕೋನವನ್ನು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವೇಳೆ .

ನಾನು ಇದನ್ನು ನಿನಗೆ ಯಾಕೆ ಹೇಳಿದೆ? ಕೋನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ನಾವು ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಸೂತ್ರಗಳು ಸುಲಭವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಆಶ್ಚರ್ಯದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಾರದು. ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನವು ಕೆಟ್ಟದ್ದಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ. ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಕೋನಕ್ಕಾಗಿ, ಬಾಣದೊಂದಿಗೆ (ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ) ಅದರ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮರೆಯದಿರಿ.

ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?ಎರಡು ಕೆಲಸದ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 10

ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರಮತ್ತು ವಿಧಾನ ಒಂದು

ರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನೀಡಿದ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ:

ನೇರವಾಗಿದ್ದರೆ ಲಂಬವಾಗಿಲ್ಲ, ಅದು ಆಧಾರಿತಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು:

ನಾವು ಛೇದದ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಗಮನ ಹರಿಸೋಣ - ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನನೇರ ರೇಖೆಗಳ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸುವುದು:

ವೇಳೆ , ನಂತರ ಸೂತ್ರದ ಛೇದವು ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಲಂಬವಾಗಿರದ ಬಗ್ಗೆ ಮೀಸಲಾತಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:

1) ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

2) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ವಿಚಿತ್ರತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ (ನೋಡಿ. ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ):

ಉತ್ತರ:

ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯ, ಹಾಗೆಯೇ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯ (ಆದ್ಯತೆ ಎರಡೂ ಡಿಗ್ರಿ ಮತ್ತು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ), ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸರಿ, ಮೈನಸ್, ಮೈನಸ್, ದೊಡ್ಡ ವಿಷಯವಿಲ್ಲ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿವರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಕೋನವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಲ್ಲಿ ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೋನದ "ಬಿಚ್ಚುವುದು" ಅದರೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು.

ನೀವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಕೋನವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನೀವು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ , ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು .

ನಾನು ಅದನ್ನು ಮರೆಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ನಾನು ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ ಇದರಿಂದ ಕೋನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸುಂದರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಇಲ್ಲ.

ನಿಮ್ಮ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನೀವು ಪ್ರೊಟ್ರಾಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಕೋನವನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು.

ವಿಧಾನ ಎರಡು

ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿಲ್ಲ, ಅದು ಆಧಾರಿತಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ರೇಖೆಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ, ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: , ಇದನ್ನು ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಮೊದಲು, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಳಿಜಾರುಗಳು:

1) ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
, ಅಂದರೆ ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿಲ್ಲ.

2) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ:

ಉತ್ತರ:

ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದಾಗ ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸೂತ್ರವು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ).

ಮೂರನೇ ಪರಿಹಾರವಿದೆ. ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಕಲ್ಪನೆ ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ:

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಆಧಾರಿತ ಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ "ಕೇವಲ ಒಂದು ಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ," ಅಂದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾಚ್ ಎಂದರೆ ನೀವು ಚೂಪಾದ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬಹುದು (ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಲ್ಲ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಚಿಕ್ಕ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಾಯ್ದಿರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು "ಪೈ" ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಿಂದ (180 ಡಿಗ್ರಿ) ಕಳೆಯಿರಿ.

ಬಯಸುವವರು ಮೂರನೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿರುವ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಆಧಾರಿತ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾನು ಇನ್ನೂ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 11

ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಹೇಗಾದರೂ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕಥೆ ದಾರಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ ಸತ್ತುಹೋಯಿತು ... ಏಕೆಂದರೆ ಅಮರ ಕಶ್ಚೇ ಇಲ್ಲ. ನಾನು ಇದೆ, ಮತ್ತು ನಾನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಆವಿಯಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ. ನಿಜ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಲೇಖನವು ಹೆಚ್ಚು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸಿದೆ. ಆದರೆ ನಾನು ಇನ್ನೂ ನನ್ನ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ಟೋಪಿ ಮತ್ತು ಕನ್ನಡಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ ಸರೋವರದ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಈಜಲು ಹೋಗುತ್ತೇನೆ. ಆಯಾಸ ಮತ್ತು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿವಾರಿಸುತ್ತದೆ.

ಗೆ ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಭೇಟಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ!

ಮತ್ತು ನೆನಪಿಡಿ, ಬಾಬಾ ಯಾಗವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ =)

ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 3:ಪರಿಹಾರ : ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ :

ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಯಸಿದ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ . ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, Eq. ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ಉತ್ತರ :

ಉದಾಹರಣೆ 5:ಪರಿಹಾರ :
1) ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ :

2) ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ :

3) ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿಲ್ಲ: , ಅಂದರೆ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.
4) ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ :

ಗಮನಿಸಿ : ಇಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ 1 ನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ 2 ನೇ ಪದವನ್ನು ಪದದಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉತ್ತರ :

ಓಹ್-ಓಹ್-ಓಹ್-ಓಹ್ ... ಅಲ್ಲದೆ, ಇದು ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ, ಅವನು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ವಾಕ್ಯವನ್ನು ಓದುತ್ತಿದ್ದಂತೆ =) ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಶ್ರಾಂತಿ ನಂತರ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಇಂದಿನಿಂದ ನಾನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಪರಿಕರಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯೋಣ, ಲೇಖನದ ಅಂತ್ಯದ ವೇಳೆಗೆ ನಾನು ಹರ್ಷಚಿತ್ತದಿಂದ ಮನಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನ

ಪ್ರೇಕ್ಷಕರು ಕೋರಸ್ನಲ್ಲಿ ಹಾಡಿದಾಗ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಮಾಡಬಹುದು:

1) ಹೊಂದಾಣಿಕೆ;

2) ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಲಿ:

3) ಅಥವಾ ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿ:

ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗೆ ಸಹಾಯ : ದಯವಿಟ್ಟು ಗಣಿತದ ಛೇದನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ, ಅದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತ ಎಂದರೆ ರೇಖೆಯು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು?

ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ "ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ" ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ

ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸೋಣ: . ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಾಲುಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳಿದ್ದರೆ -1 (ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ), ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ 2 ರಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿ, ನೀವು ಅದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ: .

ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣ, ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವಾಗ:

ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ: , ಆದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಪ್ರಕರಣ, ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದಾಗ:

ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ "ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ" ಮೌಲ್ಯವಿಲ್ಲ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ , ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ: , ಅಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ(ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ). ಹೀಗಾಗಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ತೀರ್ಮಾನ: ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈಗ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಪರಿಹಾರ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಅಂದಹಾಗೆ, ಇದು ನಾವು ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ನೋಡಿರುವ ಕೊಲಿನಿಯರಿಟಿಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಹಳ ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ (ಇನ್) ಅವಲಂಬನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ವಾಹಕಗಳ ಆಧಾರ. ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಸುಸಂಸ್ಕೃತ ಪ್ಯಾಕೇಜಿಂಗ್ ಇದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನನೇರ:

ಪರಿಹಾರನೇರ ರೇಖೆಗಳ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸುವ ಅಧ್ಯಯನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ:

ಎ) ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಾವು ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: .

, ಅಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ, ನಾನು ಅಡ್ಡಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಲ್ಲನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇನೆ:

ಉಳಿದವರು ಕಲ್ಲಿನ ಮೇಲೆ ಜಿಗಿಯುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅನುಸರಿಸುತ್ತಾರೆ, ನೇರವಾಗಿ ಕಶ್ಚೆ ಇಮ್ಮಾರ್ಟಲ್ =)

ಬಿ) ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಂದರೆ ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಅಪರಿಚಿತರ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು .

ಸಮಾನತೆ ನಿಜವೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಹೀಗಾಗಿ,

ಸಿ) ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:
ಆದ್ದರಿಂದ, ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕ "ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ" ಅನ್ನು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ಅನುಪಾತದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ನೋಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕವೂ ಇದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು: .

ಈಗ ಸಮಾನತೆ ನಿಜವೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಎರಡೂ ಉಚಿತ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯ, ಆದ್ದರಿಂದ:

ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ).

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಲುಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

ಉತ್ತರ:

ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಲವೇ ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ನೀವು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಕಲಿಯುವಿರಿ (ಅಥವಾ ಈಗಾಗಲೇ ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ). ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಡಿಪಾಯದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಇಟ್ಟಿಗೆಯನ್ನು ಹಾಕುವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಏನನ್ನೂ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ:

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು?

ಇದರ ಅಜ್ಞಾನಕ್ಕಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯನೈಟಿಂಗೇಲ್ ರಾಬರ್ ತೀವ್ರವಾಗಿ ಶಿಕ್ಷಿಸುತ್ತಾನೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಅಜ್ಞಾತ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಅವಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ಹೇಳುತ್ತದೆ? ನೇರ ರೇಖೆಯು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೇರ ರೇಖೆಯ "tse" ನ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ "de" ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಹ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸರಳವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮುಂದಿನ ಹಂತಗಳು:

1) ಸಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ (ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಸರಳೀಕರಿಸದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ).

2) ಪಾಯಿಂಟ್ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿ, ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿ ಅನೇಕರು ಯಾವುದೇ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಿಲ್ಲದೆಯೇ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಇಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸೃಜನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಇನ್ನೂ ಬಾಬಾ ಯಾಗದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಧಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅವಳು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಒಗಟುಗಳ ಪ್ರೇಮಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ

ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದ ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಗವು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿದೆ.

ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವರಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ. ಕಾಕತಾಳೀಯ ರೇಖೆಗಳ ಪ್ರಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮ:

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ನೇರವಾಗಿದ್ದರೆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿ, ನಂತರ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು

ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಹೋಗಿ ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ- ಇವುಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ (ಹೆಚ್ಚಾಗಿ) ರೇಖೆಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ: ಪರಿಹರಿಸಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ - ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ.

ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಈ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸೆಳೆಯುವುದು ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

ಇಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಪಾಯಿಂಟ್: . ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನೀವು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಬೇಕು, ಅವು ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ನಾವು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳುಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ, ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರು.

ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವು ಸಹಜವಾಗಿ, ಕೆಟ್ಟದ್ದಲ್ಲ, ಆದರೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಅನಾನುಕೂಲತೆಗಳಿವೆ. ಇಲ್ಲ, ಏಳನೇ ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಈ ರೀತಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ, ಸರಿಯಾದ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಕೆಲವು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಛೇದನದ ಬಿಂದುವು ನೋಟ್ಬುಕ್ ಹಾಳೆಯ ಹೊರಗೆ ಮೂವತ್ತನೇ ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೋ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರಬಹುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಛೇದಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಯ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಸಂಬಂಧಿತ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು, ಪಾಠವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?

ಉತ್ತರ:

ಚೆಕ್ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ - ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ ಅವುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಇದು ಅಗತ್ಯವೆಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ:
1) ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
2) ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
3) ರೇಖೆಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
4) ಸಾಲುಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಅನೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಾನು ಇದನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರಮತ್ತು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ:

ನಾವು ಪಾಠದ ಎರಡನೇ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಮೊದಲು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಬೂಟುಗಳು ಸಹ ಧರಿಸಿರಲಿಲ್ಲ:

ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳು. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರ.
ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಆರಂಭಿಸೋಣ ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯ. ಮೊದಲ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಎಂದು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಈಗ ಕೋಳಿ ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ಗುಡಿಸಲು 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳಷ್ಟು ತಿರುಗುತ್ತದೆ:

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು?

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ ಅದು ತಿಳಿದಿದೆ. ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು. ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಟ್ರಿಕ್ ಸರಳವಾಗಿದೆ:

ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು "ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ" : , ಇದು ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಉತ್ತರ:

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಕೆಚ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ:

ಹಾಂ... ಕಿತ್ತಳೆ ಬಣ್ಣದ ಆಕಾಶ, ಕಿತ್ತಳೆ ಸಮುದ್ರ, ಕಿತ್ತಳೆ ಬಣ್ಣದ ಒಂಟೆ.

ಪರಿಹಾರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಶೀಲನೆ:

1) ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಹಾಯದಿಂದ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಸಾಲುಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಲಂಬವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ನಾವು ಬರುತ್ತೇವೆ: .

ಮೂಲಕ, ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದು ಇನ್ನೂ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.

2) ಪಾಯಿಂಟ್ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ .

ಪರೀಕ್ಷೆ, ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಸಮೀಕರಣವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವಧಿ.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಕ್ರಮಗಳಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರ ಬಿಂದುವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ನಮ್ಮ ರೋಚಕ ಪ್ರಯಾಣ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ:

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಅಂತರ

ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ನದಿಯ ನೇರ ಪಟ್ಟಿ ಇದೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ತಲುಪುವುದು. ಯಾವುದೇ ಅಡೆತಡೆಗಳಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿ ಚಲಿಸುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೇಖೆಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು ಲಂಬವಾದ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರ "rho" ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: - "em" ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆ "de" ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರ.

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಅಂತರ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 8

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ: ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಬದಲಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು:

ಉತ್ತರ:

ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೇಖೆಗೆ ಕಂಡುಬರುವ ದೂರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಕೆಂಪು ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ನೀವು 1 ಘಟಕದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಚೆಕ್ಕರ್ ಪೇಪರ್ನಲ್ಲಿ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಿದರೆ. = 1 ಸೆಂ (2 ಕೋಶಗಳು), ನಂತರ ದೂರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಡಳಿತಗಾರನೊಂದಿಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದು.

ಅದೇ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

1) ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

2) ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: .

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅಂತರವೂ 2.2 ಯೂನಿಟ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು.

ಇಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆಗಳು ಉಂಟಾಗಬಹುದು, ಆದರೆ ಮೈಕ್ರೊಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಗೋಪುರದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಸಹಾಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ನಾನು ನಿಮಗೆ ಹಲವು ಬಾರಿ ಸಲಹೆ ನೀಡಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇನೆ.

ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಉದಾಹರಣೆ 9

ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ನೀವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸುಳಿವು ನೀಡುತ್ತೇನೆ: ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನಂತವಾದ ಹಲವು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುವುದು, ಆದರೆ ನಿಮಗಾಗಿ ಊಹಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ, ನಿಮ್ಮ ಜಾಣ್ಮೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ನಾನು ಇದನ್ನು ನಿನಗೆ ಯಾಕೆ ಹೇಳಿದೆ? ಕೋನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ನಾವು ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಸೂತ್ರಗಳು ಸುಲಭವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಆಶ್ಚರ್ಯದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಾರದು. ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನವು ಕೆಟ್ಟದ್ದಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಕೋನಕ್ಕಾಗಿ, ಬಾಣದೊಂದಿಗೆ (ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ) ಅದರ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮರೆಯದಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 10

ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರಮತ್ತು ವಿಧಾನ ಒಂದು

ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

1) ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:
, ಅಂದರೆ ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿಲ್ಲ.

2) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ವಿಚಿತ್ರತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ (ನೋಡಿ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು):

ಉತ್ತರ:

ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ, ನಾವು ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಜೊತೆಗೆ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (ಆದ್ಯತೆ ಎರಡೂ ಡಿಗ್ರಿ ಮತ್ತು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ), ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ವಿಮಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ.

ಪರಿಹಾರ ಯೋಜನೆ.

1. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ . ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಂದರೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಇರುತ್ತದೆ

2. ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಛೇದಕ ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳು (ಸಮಸ್ಯೆ 13 ನೋಡಿ).

3. ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿಂದು ಇರುವ ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ , ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ

ಸಮಸ್ಯೆ 14. ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಎಲ್ಲಿ - ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವು ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಭಾಗವಾಗಿದೆ

ಆ. .

ಏಕರೂಪದ ಸಮತಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಅವಕಾಶ ಎಂ X ಮತ್ತು

ಅವಕಾಶ(ಎಂ, ಮತ್ತುನಲ್ಲಿ (ಎಂ, ಮತ್ತುಮೇ

ನಲ್ಲಿ (ಎಂ, ಮತ್ತು

ನಲ್ಲಿ (ಎಂ, ಮತ್ತು , 1) ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ 8).

ಹು.

(hx, hy, h), h  0,

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿಗಂ ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ

(ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ

(hx, hy, h), h  0,

ಉದಾಹರಣೆ 1.

ಬಿ) ಒಂದು ಕೋನಕ್ಕೆ (ಚಿತ್ರ 9).

1 ನೇ ಹಂತ.

2 ನೇ ಹಂತ.ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗಿಸಿ 

ಅನುಗುಣವಾದ ರೂಪಾಂತರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

3 ನೇ ಹಂತ.ವೆಕ್ಟರ್ A (a, ಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿ b)

ಅನುಗುಣವಾದ ರೂಪಾಂತರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

ಉದಾಹರಣೆ 3

 x-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು

1 ನೇ ಹಂತ.

ಅನುಗುಣವಾದ ರೂಪಾಂತರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

2 ನೇ ಹಂತ.

3 ನೇ ಹಂತ.

ನಾವು ಅದನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

(hx, hy, h), h  0,

[ಆರ್],[ಡಿ],[ಎಂ],[ಟಿ],

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಅವಕಾಶ- ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು ಎಂ X ಮತ್ತು, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ. ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಟ್ರಿಪಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ x 1, x 2, x 3, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಮೂಲಕ ನೀಡಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು x ಮತ್ತು y ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ:

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಮೂದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅವಕಾಶ(ಎಂ, ಮತ್ತು) ವಿಮಾನಕ್ಕೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ನಲ್ಲಿ (ಎಂ, ಮತ್ತುಮೇ

ಮೂಲ, ಪಾಯಿಂಟ್ 0(0, 0, 0) ಅನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ ನಲ್ಲಿ (ಎಂ, ಮತ್ತು, 1), ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂರು ಪಟ್ಟು (hx, hy, h) ಮೂಲಕ ನೀಡಬಹುದು.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ hx, hy, ನೇರ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳು 0 (0, 0, 0) ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ (ಎಂ, ಮತ್ತು, 1). ಈ ರೇಖೆಯು z = 1 ಸಮತಲವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ (x, y, 1) ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದ ಬಿಂದುವನ್ನು (x, y) ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ , 1) ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ 8).

ಹೀಗಾಗಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (x, y) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್‌ಗಳ ನಡುವೆ

ಹು.

a (ಒಂದು-ಒಂದು) ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಅದು ನಮಗೆ hx, hy, h ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈ ಹಂತದ ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

(hx, hy, h), h  0,

ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ, ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಸಮರ್ಪಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು (ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಪರಿಚಿತ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಿಂದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲವು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ) ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾದ ಹೊಸ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳ ಕುರಿತು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳನ್ನು ಈ ಅಧ್ಯಾಯದ ನಾಲ್ಕನೇ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗಾಗಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ:

x:y:1, ಅಥವಾ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, x1:x2:x3

(ಇಲ್ಲಿ x 1, x 2, x 3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗದಿರುವುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ).

ಸರಳವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗಲೂ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬಳಕೆಯು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಪ್ರದರ್ಶನ ಸಾಧನವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ (ಅಥವಾ ನೀವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕಾದರೆ), ನಂತರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿಗಂ ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ= 1) ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದು

ಊಹಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯ. ಆದಾಗ್ಯೂ, h ನ ಸಮಂಜಸವಾದ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ h = 10 ಗಾಗಿ

ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಓವರ್‌ಫ್ಲೋಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ರೂಪಾಂತರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ತಡೆಯಲು, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (80000 40000 1000) ನೀವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, h=0.001. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (80 40 1).

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಡೆಸುವಾಗ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ಉದ್ದೇಶವೆಂದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವಲ್ಲಿ ಅವರ ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾದ ಅನುಕೂಲತೆಯಾಗಿದೆ.

ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು.

(ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ= 1, ಎರಡು ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ: ಚಿಹ್ನೆ * ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್:

ಕೊನೆಯ ಸಂಬಂಧದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (*) ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆ 1=1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ.

(hx, hy, h), h  0,

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಸ್ತಂಭಾಕಾರದ ಸಂಕೇತ:

ಈ ಸಂಕೇತವು ಮೇಲಿನ ಸಾಲು-ಸಾಲಿನ ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಅಂಶಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಅಥವಾ ಆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು, ಅಂದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿವರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಅನುಗುಣವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ವಿಶೇಷ ತಂತ್ರಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಮಾಣ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಅನುಗುಣವಾದ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.

A. ತಿರುಗುವಿಕೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

ಬಿ. ಡಿಲೇಟೇಶನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

ಬಿ. ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

D. ವರ್ಗಾವಣೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಅನುವಾದ)

ವಿಮಾನದ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.

ಪಾಯಿಂಟ್ A (a,) ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿಬಿ) ಒಂದು ಕೋನಕ್ಕೆ (ಚಿತ್ರ 9).

1 ನೇ ಹಂತ.ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿ – A (-a, -b) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಜೋಡಿಸಲು;

ಅನುಗುಣವಾದ ರೂಪಾಂತರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

2 ನೇ ಹಂತ.ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗಿಸಿ 

ಅನುಗುಣವಾದ ರೂಪಾಂತರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

3 ನೇ ಹಂತ.ವೆಕ್ಟರ್ A (a, ಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿ b)ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲು;

ಅನುಗುಣವಾದ ರೂಪಾಂತರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯುವ ಅದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸೋಣ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೂಪಾಂತರವು (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ) ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಅಂಶಗಳು (ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ) ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ತುಂಬಾ ಸುಲಭವಲ್ಲ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿವರಣೆಯಿಂದ ಮೂರು ಗುಣಿಸಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಸ್ಟ್ರೆಚ್ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಟ್ರೆಚ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ x-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಬಿಂದು A (a, b) ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ.

1 ನೇ ಹಂತ.ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಜೋಡಿಸಲು ವೆಕ್ಟರ್ -A (-a, -b) ಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿ;

ಅನುಗುಣವಾದ ರೂಪಾಂತರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

2 ನೇ ಹಂತ.ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ  ಮತ್ತು  ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು; ರೂಪಾಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

3 ನೇ ಹಂತ.ಒತ್ತಡದ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲು ವೆಕ್ಟರ್ A (a, b) ಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿ; ಅನುಗುಣವಾದ ರೂಪಾಂತರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ -

ಒಂದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು

ನಾವು ಅದನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

(hx, hy, h), h  0,

ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕ ಕ್ರಿಯೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬೆಂಬಲಿಸುವ ಹಂತಗಳಾಗಿ ಮುರಿಯುವುದು[ಆರ್],[ಡಿ],[ಎಂ],[ಟಿ], ಅದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿವರಣೆಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.

ಶಿಫ್ಟ್ ಅನ್ನು ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ರೂಪಾಂತರ (ವಿಸ್ತರಣೆ) ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ:

ಎಲ್ಲಿ ಡಿx,ಡಿವೈಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು

- ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

ಯಾವಾಗ D > 1, ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಯಾವಾಗ 0<=D<1- сжатие

ತಿರುಗುವಿಕೆ ರೂಪಾಂತರ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ:

ಅಲ್ಲಿ φ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನ, ಮತ್ತು

- ತಿರುಗುವಿಕೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

ಕಾಮೆಂಟ್:ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಲುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾಗಿವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಾಲು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದದ ಚೌಕಗಳು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 ಮತ್ತು (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

ಮತ್ತು ಸಾಲು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಎ · ಬಿ = |ಎ| ·| ಬಿ| ·cosψ, ಎಲ್ಲಿ | ಎ| - ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದ ಎ, |ಬಿ| - ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದ ಬಿ, ಮತ್ತು ψ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಕೋನವಾಗಿದೆ, ನಂತರ 1 ಉದ್ದದ ಎರಡು ಸಾಲು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಮಾನತೆ 0 ರಿಂದ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 90 ° ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರವಲ್ಲದ ವಿಮಾನಗಳ ಛೇದನದ ರೇಖೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡನೇ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ

ಇಲ್ಲಿ ಕೋಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದ
. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನೇರವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ.

ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಈ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪಾಯಿಂಟ್ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ
ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್
, ನಂತರ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

. (9)

ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ

ಇಲ್ಲಿಂದ, ನಾವು ಸಾಲಿನ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(10)

ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಛೇದನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ.

ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ
ಮತ್ತು
ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಮತ್ತು

ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರವನ್ನು (4) ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು:

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಸ್ಥಿತಿ:

ವಿಮಾನಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರಬೇಕಾದ ಸ್ಥಿತಿ:

ರೇಖೆಯಿಂದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ದೂರ

ಪಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ
ಮತ್ತು ನೇರವಾಗಿ

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಾವು ಬಿಂದುವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ
, ಒಂದು ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದ, ಮತ್ತು ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್
. ನಂತರ ಬಿಂದುವಿನ ಅಂತರ
ನೇರ ರೇಖೆಯಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು
. ಆದ್ದರಿಂದ,

ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಸ್ಥಿತಿ

ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳು

ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ

ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನ.

ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಲಿ
ಮತ್ತು ವಿಮಾನ. ಮೂಲೆ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು

ಸಮಸ್ಯೆ 73.ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ

(11)

ಪರಿಹಾರ. ರೇಖೆಯ (9) ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು, ರೇಖೆಯ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ , ಈ ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ. ಇದು ಈ ವಿಮಾನಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ.

,
, ಅದು

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
,
. ನಂತರ

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ
ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು, ನಂತರ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಇತರ ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (11):

ಇಲ್ಲಿಂದ,
.

ಹೀಗಾಗಿ, ಬಯಸಿದ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಅಥವಾ
.

ಸಮಸ್ಯೆ 74.

ಮತ್ತು
.

ಪರಿಹಾರ.ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ, ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
, ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿದ, ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು
. ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು
.

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಬಿಂದುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಎರಡನೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಿಂದ. ಈ ದೂರವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ
:

ಸಮಸ್ಯೆ 75.ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಿಂದು
ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನೇರ

ಪರಿಹಾರ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯೋಣ . ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ನೀವು ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಂತರ
. ಆದ್ದರಿಂದ,

ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
ಈ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಸಮತಲ P. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (10) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ,
.

ಅವಕಾಶ
ಬಿಂದು ಬಿಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ
ಈ ಸಾಲಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ. ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್
ಮಧ್ಯಬಿಂದು
. ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

,
,
.

ಆದ್ದರಿಂದ,
.

ಸಮಸ್ಯೆ 76.ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ
ಮತ್ತು

a) ಒಂದು ಹಂತದ ಮೂಲಕ
;

ಬಿ) ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಈ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಇದರರ್ಥ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಮತಲವು ಜನರೇಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲಗಳ ಬಂಡಲ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು (8):

ಎ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
ಮತ್ತು ವಿಮಾನವು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ
ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು. ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ
ವಿಮಾನಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ:

ಮೌಲ್ಯ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ
ಅದನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (12) ಬದಲಿಸೋಣ. ನಾವು ಬಯಸಿದ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಬಿ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
ಮತ್ತು ಬಯಸಿದ ವಿಮಾನವು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್
, ಬಯಸಿದ ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ (ವಿಮಾನಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡಿ (12).