Sadales likums. Izplatības daudzstūris

2. lapa

Grafiski sadales likums diskrēta vērtība ir dots tā sauktā sadalījuma daudzstūra formā.

Sadalījuma sērijas grafisko attēlojumu (skat. 5. att.) sauc par sadalījuma daudzstūri.

Lai raksturotu sadales likumu, pārtraukts nejaušais mainīgais Bieži tiek izmantota rinda (tabula) un sadalījuma daudzstūris.

Lai to attēlotu, punkti (Y Pi) (x - i Pa) tiek konstruēti taisnstūra koordinātu sistēmā un savienoti ar līniju segmentiem. Sadalījuma daudzstūris sniedz aptuvenu vizuālu gadījuma lieluma sadalījuma raksturu.

Skaidrības labad grafiski var attēlot arī diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu, kuram taisnstūrveida koordinātu sistēmā konstruē punktus (x/, p), un pēc tam tos savieno ar taisnes posmiem.Iegūto figūru sauc par sadalījuma daudzstūri.

M (xn; pn) (hp - - iespējamās vērtības Xt pi - atbilstošās varbūtības) un savienojiet tās ar taisniem segmentiem. Iegūto skaitli sauc par sadalījuma daudzstūri.

Apsveriet punktu summas varbūtības sadalījumu uz kauliņi. Zemāk esošie attēli parāda sadalījuma daudzstūrus viena, divu un trīs kaulu gadījumā.

Šajā gadījumā gadījuma lieluma sadalījuma daudzstūra vietā tiek konstruēta sadalījuma blīvuma funkcija, ko sauc par diferenciālā sadalījuma funkciju un attēlo diferenciālā sadalījuma likumu. Varbūtību teorijā nejauša lieluma x (x Xr) sadalījuma blīvums tiek saprasts kā vērtības x iekrišanas intervālā (x, x - Ax) pret Ax attiecības robežas robeža, kad Al; tiecas uz nulli. Papildus diferenciālajai funkcijai nejauša lieluma sadalījuma raksturošanai izmanto integrālā sadalījuma funkciju, ko bieži sauc vienkārši par sadalījuma funkciju vai integrālā sadalījuma likumu.

Izmantojot šo konstrukciju, relatīvās iekrišanas frekvences intervālos būs vienādas ar atbilstošo histogrammas stieņu laukumiem, tāpat kā varbūtības ir vienādas ar atbilstošo līknes trapecveida trapeces laukumiem Ja pieņemtais teorētiskais sadalījums labi sakrīt ar eksperimentu, tad ar pietiekami lielu n un veiksmīgu intervālu izvēli (YJ-I, y Dažkārt salīdzināšanas skaidrības labad sadales daudzstūris tiek konstruēts, secīgi savienojot histogrammas stieņu augšējo pamatu viduspunktus.

Dodot m dažādas vērtības no 0 līdz i, tiek iegūtas varbūtības PQ, P RF - Pn, kuras tiek attēlotas grafikā. Dota p; z11, izveidojiet varbūtības sadalījuma daudzstūri.

Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums ir jebkura atbilstība starp tā iespējamajām vērtībām un to varbūtībām. Likumu var norādīt tabulas veidā (sadales sērijas), grafiski (izplatījuma daudzstūris utt.) un analītiski.

Sadalījuma līknes atrašana, citiem vārdiem sakot, paša nejaušā lieluma sadalījuma noteikšana ļauj padziļināti izpētīt parādību, kas ne tuvu nav pilnībā izteikta konkrētajā sadalījuma sērijā. Uzzīmējot gan atrasto nivelēšanas sadalījuma līkni, gan sadalījuma daudzstūri, kas izveidots no daļējās populācijas, pētnieks var skaidri redzēt īpašības pētāmajai parādībai. Pateicoties tam, statistiskā analīze pievērš pētnieka uzmanību novēroto datu novirzēm no kaut kādām dabiskām parādības izmaiņām, un pētnieka uzdevums ir noskaidrot šo noviržu cēloņus.

Pēc tam no intervālu vidus tiek izvilktas abscises (uz skalas), kas atbilst mēnešu skaitam ar patēriņu šajā intervālā. Šo abscisu galus savieno un tādējādi iegūst daudzstūri jeb sadales daudzstūri.

Punkti, kas dod grafisku diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likuma attēlojumu daudzuma vērtības koordinātu plaknē - vērtību varbūtība, parasti tiek savienoti ar taisniem segmentiem un iegūto rezultātu sauc. ģeometriskā figūra sadales daudzstūris. Attēlā 3 46. tabulā (kā arī 4. un 5. attēlā) ir parādīti sadalījuma daudzstūri.

Diskrēts To sauc par nejaušu mainīgo, kas ar noteiktām varbūtībām var iegūt atsevišķas, izolētas vērtības.

1. PIEMĒRS. Reižu skaits, kad ģerbonis parādās trīs monētu metienos. Iespējamās vērtības: 0, 1, 2, 3, to varbūtības ir attiecīgi vienādas:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

2. PIEMĒRS. Neveiksmīgo elementu skaits ierīcē, kas sastāv no pieciem elementiem. Iespējamās vērtības: 0, 1, 2, 3, 4, 5; to varbūtības ir atkarīgas no katra elementa uzticamības.

Diskrēts nejaušības lielums X var norādīt ar sadalījuma sēriju vai sadalījuma funkciju (integrālā sadalījuma likums).

Blakus izplatīšanai ir visu iespējamo vērtību kopa Xi un to atbilstošās varbūtības Ri = P(X = xi), to var norādīt kā tabulu:

x i				x n
p i				р n

Tajā pašā laikā varbūtības Ri apmierināt nosacījumu

Ri= 1, jo

kur ir iespējamo vērtību skaits n var būt ierobežots vai bezgalīgs.

Sadalījuma sērijas grafiskais attēlojums sauc par sadales daudzstūri . Lai to izveidotu, iespējamās nejaušā mainīgā vērtības ( Xi) ir attēlotas gar x asi, un varbūtības Ri- pa ordinātu asi; punktus Ai ar koordinātām ( Xi,рi) ir savienoti ar pārtrauktām līnijām.

Sadales funkcija nejaušais mainīgais X sauc par funkciju F(X), kura vērtība punktā X ir vienāda ar varbūtību, ka nejaušais mainīgais X būs mazāka par šo vērtību X, tas ir

F(x) = P(X< х).

Funkcija F(X) Priekš diskrētais gadījuma mainīgais aprēķina pēc formulas

F(X) = Ri , (1.10.1)

kur tiek veikta visu vērtību summēšana i, par kuru Xi< х.

3. PIEMĒRS. No partijas, kurā ir 100 produkti, no kuriem 10 ir bojāti, pēc nejaušības principa tiek atlasīti pieci produkti, lai pārbaudītu to kvalitāti. Izveidojiet sadalījumu sēriju nejaušs skaitlis X paraugā esošajiem produktiem ar trūkumiem.

Risinājums. Tā kā izlasē bojāto produktu skaits var būt jebkurš vesels skaitlis no 0 līdz 5 ieskaitot, tad iespējamās vērtības Xi nejaušais mainīgais X ir vienādi:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Varbūtība R(X = k) ka paraugs satur tieši k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) preces ar defektiem, vienāds

P (X = k) = .

Aprēķinu rezultātā, izmantojot šo formulu ar precizitāti 0,001, mēs iegūstam:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Vienlīdzības izmantošana, lai pārbaudītu Rk=1, pārliecināmies, ka aprēķini un noapaļošana veikti pareizi (skat. tabulu).

x i
p i

4. PIEMĒRS. Dota nejauša lieluma sadalījuma sērija X :

x i
p i

Atrodiet varbūtības sadalījuma funkciju F(X) no šī nejaušā mainīgā lieluma un izveidojiet to.

Risinājums. Ja X£10 tad F(X)= P(X<X) = 0;

ja 10<X£20 tad F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

ja 20<X£30 tad F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

ja 30<X£40 tad F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

ja 40<X£50 tad F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Ja X> 50, tad F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

Atbilde: Apsveriet nepārtrauktu gadījuma mainīgo X ar iespējamām vērtībām. Katra no šīm vērtībām ir iespējama, bet nav noteikta, un vērtība X var pieņemt katru no tiem ar zināmu varbūtību. Eksperimenta rezultātā vērtība X izmantos vienu no šīm vērtībām, t.i., notiks viena no visas nesaderīgo notikumu grupas:

Apzīmēsim šo notikumu varbūtības ar burtiem R ar atbilstošajiem indeksiem:

Tas nozīmē, ka dažādu vērtību varbūtības sadalījumu var norādīt ar sadalījuma tabulu, kurā augšējā rindā ir norādītas visas vērtības, kas iegūtas ar noteiktu diskrētu gadījuma lielumu, un atbilstošo vērtību varbūtības. ir norādīti apakšējā rindā. Tā kā nesaderīgi notikumi (3.1) veido pilnīgu grupu, tad, t.i., nejaušā lieluma visu iespējamo vērtību varbūtību summa ir vienāda ar vienu. Nepārtraukto gadījuma lielumu varbūtības sadalījumu nevar uzrādīt tabulas veidā, jo šādu gadījuma lielumu vērtību skaits ir bezgalīgs pat ierobežotā intervālā. Turklāt varbūtība iegūt kādu konkrētu vērtību ir nulle. Gadījuma lielums tiks pilnībā aprakstīts no varbūtības viedokļa, ja mēs precizēsim šo sadalījumu, tas ir, mēs precīzi norādīsim, kāda ir katra notikuma varbūtība. Ar to mēs izveidosim tā saukto nejaušā lieluma sadalījuma likumu. Gadījuma lieluma sadalījuma likums ir jebkura sakarība, kas nosaka saikni starp nejaušā lieluma iespējamām vērtībām un atbilstošajām varbūtībām. Par nejaušu mainīgo teiksim, ka uz to attiecas noteikts sadalījuma likums. Nosakīsim formu, kādā var norādīt pārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma likumu X. Vienkāršākā šī likuma precizēšanas forma ir tabula, kurā uzskaitītas iespējamās gadījuma lieluma vērtības un to atbilstošās varbūtības:

x i	x 1	x 2	× × ×	x n
p i	lpp 1	lpp 2	× × ×	p n

Šādu tabulu sauksim par nejauša lieluma sadalījumu sēriju X.

Rīsi. 3.1

Lai piešķirtu sadalījuma sērijai vizuālāku izskatu, viņi bieži izmanto tās grafisko attēlojumu: iespējamās nejaušā mainīgā vērtības tiek attēlotas pa abscisu asi, un šo vērtību varbūtības tiek attēlotas pa ordinātu asi. Skaidrības labad iegūtie punkti ir savienoti ar taisniem segmentiem. Šādu figūru sauc par sadalījuma daudzstūri (3.1. att.). Sadalījuma daudzstūris, kā arī sadalījuma rinda pilnībā raksturo nejaušo mainīgo. tā ir viena no sadales likuma formām. Dažreiz ir ērta izplatīšanas sērijas tā sauktā “mehāniskā” interpretācija. Iedomāsimies, ka noteikta masa, kas vienāda ar vienotību, tiek sadalīta pa abscisu asi tā, lai iekšā n masas tiek koncentrētas attiecīgi atsevišķos punktos . Tad sadalījuma sērija tiek interpretēta kā materiālu punktu sistēma ar dažām masām, kas atrodas uz abscisu ass.

Nejaušs mainīgais ir lielums, kas eksperimenta rezultātā var iegūt tādu vai citu vērtību, kas iepriekš nav zināma. Ir nejauši mainīgie pārtraukts (diskrēts) Un nepārtraukts veids. Nepārtraukto daudzumu iespējamās vērtības var uzskaitīt iepriekš. Nepārtraukto daudzumu iespējamās vērtības nevar uzskaitīt iepriekš un nepārtraukti aizpildīt noteiktu plaisu.

Diskrētu gadījuma mainīgo piemērs:

1) ģerboņa parādīšanās reižu skaits trīs monētu metienos. (iespējamās vērtības 0;1;2;3)

2) ģerboņa parādīšanās biežums tajā pašā eksperimentā. (iespējamās vērtības)

3) Bojāto elementu skaits ierīcē, kas sastāv no pieciem elementiem. (Iespējamās vērtības 0;1;2;3;4;5)

Nepārtrauktu nejaušo mainīgo piemēri:

1) Trieciena punkta abscisa (ordināta) izšaušanas brīdī.

2) Attālums no trieciena punkta līdz mērķa centram.

3) Ierīces (radio lampas) darbības laiks.

Nejaušie mainīgie tiek apzīmēti ar lielajiem burtiem, un to iespējamās vērtības ir apzīmētas ar atbilstošiem mazajiem burtiem. Piemēram, X ir trīs sitienu sitienu skaits; iespējamās vērtības: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Apskatīsim nepārtrauktu gadījuma lielumu X ar iespējamām vērtībām X 1, X 2, ..., X n. Katra no šīm vērtībām ir iespējama, bet nav noteikta, un vērtība X var pieņemt katru no tām ar zināmu varbūtību. Eksperimenta rezultātā X vērtībai būs viena no šīm vērtībām, tas ir, notiks viena no visas nesaderīgo notikumu grupas.

Apzīmēsim šo notikumu varbūtības ar burtiem p ar atbilstošajiem indeksiem:

Tā kā nesaderīgi notikumi veido pilnīgu grupu, tad

tas ir, nejauša lieluma visu iespējamo vērtību varbūtības summa ir vienāda ar 1. Šī kopējā varbūtība ir kaut kādā veidā sadalīta starp atsevišķām vērtībām. Gadījuma lielums tiks pilnībā aprakstīts no varbūtības viedokļa, ja mēs definēsim šo sadalījumu, tas ir, mēs precīzi norādīsim, kāda ir katra notikuma varbūtība. (Tas izveidos tā saukto nejaušo mainīgo sadalījuma likumu.)

Gadījuma lieluma sadalījuma likums ir jebkura sakarība, kas izveido saikni starp iespējamām gadījuma lieluma vērtībām un atbilstošo varbūtību. (Par nejaušu mainīgo mēs teiksim, ka uz to attiecas noteikts sadalījuma likums)

Vienkāršākā gadījuma lieluma sadalījuma likuma noteikšanas forma ir tabula, kurā uzskaitītas iespējamās nejaušā lieluma vērtības un atbilstošās varbūtības.

1. tabula.

X i	X 1	X 2	…	Xn
P i	P 1	P2	…	Pn

Šo tabulu sauc tuvu izplatīšanai nejaušie mainīgie.

Lai piešķirtu sadalījuma sērijai vizuālāku izskatu, viņi izmanto tās grafisko attēlojumu: iespējamās nejaušā mainīgā vērtības tiek attēlotas pa abscisu asi, un šo vērtību varbūtības tiek attēlotas pa ordinātu asi. (Skaidrības labad iegūtie punkti ir savienoti ar taisnu līniju segmentiem.)

1. attēls – sadalījuma daudzstūris

Šo skaitli sauc sadales daudzstūris. Sadalījuma daudzstūris, tāpat kā sadalījuma rinda, pilnībā raksturo nejaušo mainīgo; tā ir viena no sadales likuma formām.

Piemērs:

tiek veikts viens eksperiments, kurā var parādīties vai neparādīties notikums A. Notikuma A varbūtība = 0,3. Mēs uzskatām gadījuma lielumu X - notikuma A gadījumu skaitu dotajā eksperimentā. Nepieciešams izveidot X vērtības sadalījuma sēriju un daudzstūri.

2. tabula.

X i
P i	0,7	0,3

2. attēls. Sadales funkcija

Sadales funkcija ir nejauša lieluma universāls raksturlielums. Tas pastāv visiem nejaušajiem mainīgajiem: gan pārtrauktajiem, gan nepārtrauktajiem. Sadalījuma funkcija pilnībā raksturo gadījuma lielumu no varbūtības viedokļa, tas ir, tā ir viena no sadalījuma likuma formām.

Lai kvantitatīvi raksturotu šo varbūtību sadalījumu, ir ērti izmantot nevis notikuma X=x varbūtību, bet gan notikuma X varbūtību.

Sadalījuma funkciju F(x) dažreiz sauc arī par kumulatīvā sadalījuma funkciju vai kumulatīvā sadalījuma likumu.

Gadījuma lieluma sadalījuma funkcijas īpašības

1. Sadalījuma funkcija F(x) ir tās argumenta nesamazinoša funkcija, tas ir, priekš ;

2. Pie mīnus bezgalības:

3. Plus bezgalība:

3.attēls – sadalījuma funkcijas grafiks

Sadales funkcijas grafiks kopumā tas ir nesamazinošas funkcijas grafiks, kura vērtības sākas no 0 un iet uz 1.

Zinot gadījuma lieluma sadalījuma rindas, ir iespējams konstruēt gadījuma lieluma sadalījuma funkciju.

Piemērs:

iepriekšējā piemēra nosacījumiem konstruē gadījuma lieluma sadalījuma funkciju.

Konstruēsim sadalījuma funkciju X:

4. attēls – sadalījuma funkcija X

Sadales funkcija jebkuram pārtrauktam diskrētam gadījuma mainīgajam vienmēr ir pārtraukta soļu funkcija, kuras lēcieni notiek punktos, kas atbilst nejaušā mainīgā iespējamām vērtībām un ir vienādi ar šo vērtību varbūtībām. Visu sadalījuma funkciju lēcienu summa ir vienāda ar 1.

Palielinoties nejaušā lieluma iespējamo vērtību skaitam un samazinoties intervāliem starp tām, lēcienu skaits kļūst lielāks un paši lēcieni kļūst mazāki:

5. attēls

Pakāpeniskā līkne kļūst vienmērīgāka:

6. attēls

Nejaušais lielums pakāpeniski tuvojas nepārtrauktai vērtībai, un tā sadalījuma funkcija tuvojas nepārtrauktai funkcijai. Ir arī nejauši mainīgie, kuru iespējamās vērtības nepārtraukti aizpilda noteiktu intervālu, bet kuriem sadalījuma funkcija nav nepārtraukta visur. Un noteiktos punktos tas saplīst. Šādus nejaušības lielumus sauc par jauktiem.

7. attēls

Gadījuma lieluma jēdziens. Gadījuma lieluma sadalījuma likums

Nejaušie mainīgie (saīsināti: r.v.) ir apzīmēti ar lielajiem latīņu burtiem X, Y, Z,...(vai mazie grieķu burti ξ (xi), η (eta), θ (teta), ψ (psi) utt.), un to izmantotās vērtības ir attiecīgi ar maziem burtiem x 1 , x 2 ,…, plkst.1 , plkst.2 , plkst.3 …

Piemēri Ar. V. var kalpot: 1) X- punktu skaits, kas parādās, metot kauliņu; 2) Y - šāvienu skaits pirms pirmā trāpījuma mērķī; 3) Z- ierīces bezproblēmas darbības laiks utt. (personas augums, dolāra kurss, bojāto detaļu skaits partijā, gaisa temperatūra, spēlētāja laimests, punkta koordināte, ja tas ir nejauši izvēlēts, uzņēmuma peļņa, . ..).

Nejaušs mainīgais XΏ w

X(w), t.i. X= X(w), wО Ώ (vai X = f(w)) (31)

1. piemērs. Eksperiments sastāv no monētas mešanas 2 reizes. PES Ώ=(w 1, w 2, w 3, w 4), kur w 1 = GG, w 2 = GR, w 3 = RG, w 4 = RR, varat apsvērt p. V. X- ģerboņa izskatu skaits. S.v. X ir elementārā notikuma w i funkcija : X( w 1 ) = 2, X( w 2 ) = 1, X( w 3 ) = 1, X( w 4 )= 0; X- d.s. V. ar vērtībām x 1 = 0, x 2 =1 , x 3 = 2.

X(w) S Р(А) = Р(Х< X).

X- d.s. V.,

x 1 , x 2 , x 3 ,…, x n ,…

p i , Kur i = 1,2,3, ...,n,… .

Sadales likums d.s. V. p i = P(X=x i}, i=1,2,3,... ,n,...,

Ar. V. X x i. :

X	x 1	x 2	….	x n	…
P	1. lpp	p2	….	p n	…

Kopš notikumiem (X = x 1), (X = x 2),…, (X = x n ), t.i. .

(x 1 , 1. lpp ), Tiek izsaukti (x 2 , p 2),…, (x n , p n). daudzstūris(vai daudzstūris) sadalījums(skat. 17. att.).

Izlases vērtība X ir diskrēts, ja ir ierobežota vai saskaitāma skaitļu kopa x 1 , x 2 , ..., x n tāds, ka P(X = x i ) = p i > 0 (i = 1, 2,...) 1. lpp + p2 + 3. lpp +…= 1 (32)

Summa d.s. V. X, ņemot vērtības x i ar varbūtībām p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n un d.s. V. Y, ņemot vērtības y j ar varbūtībām p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, sauc par d.s. V. Z = X + Y, ņemot vērtības z ij = x i + y j ar varbūtībām p ij = P( X = x i, Y = y j), visām norādītajām vērtībām i un j. Ja dažas summas x i + y j sakrīt, tiek saskaitītas atbilstošās varbūtības.

Pēc atšķirības d.s. V. X, ņemot vērtības x i ar varbūtībām p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n un d.s. V. Y, ņemot vērtības y j ar varbūtībām p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, sauc par d.s. V. Z = X - Y, ņemot vērtības z ij = x i - y j ar varbūtībām p ij = P ( X = x i , Y = y j ), visām norādītajām vērtībām i un j. Ja dažas atšķirības x i – y j sakrīt, tiek saskaitītas atbilstošās varbūtības.

Darbs d.s. V. X, ņemot vērtības x i ar varbūtībām p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n un d.s. V. Y, ņemot vērtības y j ar varbūtībām p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, sauc par d.s. V. Z = X × Y, ņemot vērtības z ij = x i × y j ar varbūtībām p ij = P( X = x i, Y = y j), visām norādītajām vērtībām i un j. Ja daži produkti x i × y j sakrīt, tiek pievienotas atbilstošās varbūtības.

d.s. V. сХ, с x i р i = Р(Х = x i ).

X un Y notikumi (X = x i) = A i un (Y = y j) = B j ir neatkarīgi jebkuram i= 1,2,...,n; j = l,2,...,m, t.i.

P(X = x i ; Y = y j ) = P(X = x i ) × P (Y = y j ) (33)

2. piemērs. Urnā ir 8 bumbiņas, no kurām 5 ir baltas, pārējās melnas. No tā nejauši tiek izvilktas 3 bumbiņas. Atrodiet balto bumbiņu skaita sadalījuma likumu paraugā.