പ്രഭാഷണം: വിഭജിക്കുന്നതും സമാന്തരവും കടന്നുപോകുന്നതുമായ വരികൾ; വരികളുടെ ലംബത

വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ

ഒരു വിമാനത്തിൽ നിരവധി നേർരേഖകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, താമസിയാതെ അല്ലെങ്കിൽ പിന്നീട് അവ ഏകപക്ഷീയമായി അല്ലെങ്കിൽ വലത് കോണുകളിൽ വിഭജിക്കും അല്ലെങ്കിൽ സമാന്തരമായിരിക്കും. ഓരോ കേസും നോക്കാം.

കവലയുടെ ഒരു പോയിന്റെങ്കിലും ഉള്ള ആ വരികളെ ഇന്റർസെക്റ്റിംഗ് എന്ന് വിളിക്കാം.

എന്തുകൊണ്ടാണ് കുറഞ്ഞത് ഒരു നേർരേഖയ്ക്ക് മറ്റൊരു നേർരേഖയെ രണ്ടോ മൂന്നോ തവണ വിഭജിക്കാൻ കഴിയാത്തതെന്ന് നിങ്ങൾ ചോദിച്ചേക്കാം. നീ പറഞ്ഞത് ശരിയാണ്! എന്നാൽ നേർരേഖകൾക്ക് പരസ്പരം പൂർണ്ണമായും യോജിക്കാൻ കഴിയും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അനന്തമായ പൊതുവായ പോയിന്റുകൾ ഉണ്ടാകും.

സമാന്തരവാദം

സമാന്തരംഅനന്തതയിൽ പോലും ഒരിക്കലും വിഭജിക്കാത്ത ആ വരികൾക്ക് നിങ്ങൾക്ക് പേരിടാം.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു പൊതു പോയിന്റ് പോലും ഇല്ലാത്തവയാണ് സമാന്തരം. വരികൾ ഒരേ തലത്തിലാണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഈ നിർവ്വചനം സാധുവാകൂ, എന്നാൽ അവയ്ക്ക് പൊതുവായ പോയിന്റുകൾ ഇല്ലെങ്കിൽ, വ്യത്യസ്ത തലങ്ങളിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, അവ വിഭജിക്കുന്നതായി കണക്കാക്കുന്നു.

ജീവിതത്തിലെ സമാന്തര വരകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ: ഒരു മോണിറ്റർ സ്‌ക്രീനിന്റെ രണ്ട് വിപരീത അറ്റങ്ങൾ, നോട്ട്ബുക്കുകളിലെ വരികൾ, അതുപോലെ ചതുരവും ചതുരാകൃതിയും മറ്റ് ആകൃതികളും ഉള്ള വസ്തുക്കളുടെ മറ്റ് പല ഭാഗങ്ങളും.

ഒരു വരി മറ്റൊന്നിന് സമാന്തരമാണെന്ന് എഴുതി കാണിക്കാൻ അവർ ആഗ്രഹിക്കുമ്പോൾ, അവർ ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ a||b ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ എൻട്രി പറയുന്നത് a ലൈൻ b ലൈനിന് സമാന്തരമാണെന്ന്.

ഈ വിഷയം പഠിക്കുമ്പോൾ, ഒരു പ്രസ്താവന കൂടി മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്: ഒരു നിശ്ചിത രേഖയിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത ഒരു പ്രത്യേക പോയിന്റിലൂടെ, ഒരു സമാന്തര രേഖ വരയ്ക്കാൻ കഴിയും. എന്നാൽ ശ്രദ്ധിക്കുക, വീണ്ടും തിരുത്തൽ വിമാനത്തിലാണ്. നമ്മൾ ത്രിമാന സ്പേസ് പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് അനന്തമായ വരികൾ വരയ്ക്കാം, അത് വിഭജിക്കില്ല, പക്ഷേ വിഭജിക്കും.

മുകളിൽ വിവരിച്ച പ്രസ്താവനയെ വിളിക്കുന്നു സമാന്തരരേഖകളുടെ സിദ്ധാന്തം.

ലംബത

നേരിട്ടുള്ള ലൈനുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ മാത്രമേ വിളിക്കാൻ കഴിയൂ ലംബമായി, അവർ 90 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമായ ഒരു കോണിൽ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ.

ബഹിരാകാശത്ത്, ഒരു വരിയിലെ ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിലൂടെ, അനന്തമായ ലംബരേഖകൾ വരയ്ക്കാൻ കഴിയും. എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾ ഒരു വിമാനത്തെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നതെങ്കിൽ, ഒരു വരിയിലെ ഒരു പോയിന്റിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ലംബ രേഖ വരയ്ക്കാം.

നേർരേഖകൾ മുറിച്ചുകടന്നു. സെക്കന്റ്

ചില വരികൾ ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിൽ ഏകപക്ഷീയമായ കോണിൽ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവയെ വിളിക്കാം പ്രജനനം.

വിഭജിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും വരികൾക്ക് ലംബവും അടുത്തുള്ളതുമായ കോണുകൾ ഉണ്ട്.

വിഭജിക്കുന്ന രണ്ട് നേർരേഖകളാൽ രൂപം കൊള്ളുന്ന കോണുകൾക്ക് ഒരു വശം പൊതുവായുണ്ടെങ്കിൽ, അവയെ തൊട്ടടുത്ത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു:

അടുത്തുള്ള കോണുകൾ 180 ഡിഗ്രി വരെ ചേർക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം. ഒരു വരി ഒരു നിശ്ചിത തലത്തിൽ കിടക്കുകയും മറ്റൊരു ലൈൻ ഈ തലത്തെ ആദ്യ വരിയിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത ഒരു പോയിന്റിൽ വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, ഈ രണ്ട് വരികളും വിഭജിക്കുന്നു. ക്രോസിംഗ് ലൈനുകളുടെ അടയാളം തെളിവ്. പ്ലെയിനിൽ ഒരു ലൈനിനെ അനുവദിക്കുക, കൂടാതെ ബി ലൈൻ എ രേഖയിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത ബി പോയിന്റിൽ വിമാനത്തെ വിഭജിക്കട്ടെ. a, b എന്നീ വരികൾ ഒരേ തലത്തിലാണ് കിടക്കുന്നതെങ്കിൽ, ബി പോയിന്റും ഈ തലത്തിൽ തന്നെ കിടക്കും, ഈ രേഖയ്ക്ക് പുറത്ത് ഒരു തലവും ഈ രേഖയ്ക്ക് പുറത്ത് ഒരു പോയിന്റും മാത്രമേ കടന്നുപോകുന്നുള്ളൂ എന്നതിനാൽ, ഈ തലം ഒരു തലം ആയിരിക്കണം. എന്നാൽ പിന്നീട് b എന്ന നേർരേഖ വിമാനത്തിൽ കിടക്കും, അത് വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് വിരുദ്ധമാണ്. തൽഫലമായി, a, b എന്നീ നേർരേഖകൾ ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നില്ല, അതായത്. ഇണചേരൽ.

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പ്രിസത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന എത്ര ജോഡി ചരിഞ്ഞ വരകളുണ്ട്? പരിഹാരം: അടിത്തറയുടെ ഓരോ അരികിലും അതുമായി വിഭജിക്കുന്ന മൂന്ന് അരികുകൾ ഉണ്ട്. ഓരോ ലാറ്ററൽ എഡ്ജിനും അതുമായി വിഭജിക്കുന്ന രണ്ട് വാരിയെല്ലുകൾ ഉണ്ട്. അതിനാൽ, ആവശ്യമായ ജോഡി സ്ക്യൂ ലൈനുകളുടെ എണ്ണം വ്യായാമം 5 ആണ്

ഒരു സാധാരണ ഷഡ്ഭുജാകൃതിയിലുള്ള പ്രിസത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന എത്ര ജോടി ചരിഞ്ഞ വരകളുണ്ട്? പരിഹാരം: അടിത്തറയുടെ ഓരോ അരികും 8 ജോഡി ക്രോസിംഗ് ലൈനുകളിൽ പങ്കെടുക്കുന്നു. ഓരോ ലാറ്ററൽ എഡ്ജും 8 ജോഡി ക്രോസിംഗ് ലൈനുകളിൽ പങ്കെടുക്കുന്നു. അതിനാൽ, ആവശ്യമായ ജോഡി സ്ക്യൂ ലൈനുകളുടെ എണ്ണം വ്യായാമം 6 ആണ്

ബഹിരാകാശത്ത് രണ്ട് വരികളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം.

ബഹിരാകാശത്ത് രണ്ട് വരികളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം ഇനിപ്പറയുന്ന മൂന്ന് സാധ്യതകളാൽ സവിശേഷതയാണ്.

വരികൾ ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നു, പൊതുവായ പോയിന്റുകളൊന്നുമില്ല - സമാന്തര രേഖകൾ.

വരികൾ ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നു, കൂടാതെ ഒരു പൊതു പോയിന്റുണ്ട് - വരികൾ വിഭജിക്കുന്നു.

ബഹിരാകാശത്ത്, ഒരു വിമാനത്തിലും കിടക്കാത്ത വിധത്തിൽ രണ്ട് നേർരേഖകൾ സ്ഥാപിക്കാനും കഴിയും. അത്തരം വരികളെ സ്കെവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു (അവ വിഭജിക്കുന്നില്ല അല്ലെങ്കിൽ സമാന്തരമാണ്).

ഉദാഹരണം:

പ്രശ്നം 434 ട്രയാംഗിൾ എബിസി ഒരു വിമാനത്തിൽ കിടക്കുന്നു, a

ട്രയാംഗിൾ എബിസി തലത്തിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്, എന്നാൽ പോയിന്റ് ഡി ഈ തലത്തിൽ ഇല്ല. പോയിന്റുകൾ M, N, K എന്നിവ യഥാക്രമം DA, DB, DC എന്നീ സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ മധ്യ പോയിന്റുകളാണ്

സിദ്ധാന്തം.രണ്ട് വരികളിൽ ഒന്ന് ഒരു നിശ്ചിത തലത്തിൽ കിടക്കുന്നുവെങ്കിൽ, മറ്റൊന്ന് ഈ തലത്തെ ആദ്യ വരിയിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു പോയിന്റിൽ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ വരികൾ വിഭജിക്കുന്നു.

ചിത്രത്തിൽ. 26 നേർരേഖ a തലത്തിൽ കിടക്കുന്നു, കൂടാതെ c നേർരേഖ N പോയിന്റിൽ വിഭജിക്കുന്നു. a, c എന്നിവ വിഭജിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം.വിഭജിക്കുന്ന ഓരോ വരികളിലൂടെയും മറ്റൊരു ലൈനിന് സമാന്തരമായി ഒരു തലം മാത്രമേ കടന്നുപോകുന്നുള്ളൂ.

ചിത്രത്തിൽ. 26 വരികൾ a, b എന്നിവ വിഭജിക്കുന്നു. ഒരു നേർരേഖ വരച്ച് ഒരു വിമാനം വരയ്ക്കുന്നു (ആൽഫ) || b (തലം B (ബീറ്റ) ൽ a1 നേർരേഖ || b സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു).

സിദ്ധാന്തം 3.2.

മൂന്നാമത്തേതിന് സമാന്തരമായ രണ്ട് വരികൾ സമാന്തരമാണ്.

ഈ വസ്തുവിനെ വിളിക്കുന്നു ട്രാൻസിറ്റിവിറ്റിവരികളുടെ സമാന്തരത.

തെളിവ്

വരികൾ a, b എന്നിവ ഒരേസമയം c ലൈനിന് സമാന്തരമായിരിക്കട്ടെ. a എന്നത് b ന് സമാന്തരമല്ലെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം, എന്നിട്ട് വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം c രേഖയിൽ കിടക്കാത്ത ചില പോയിന്റിൽ b എന്ന വരിയെ വിഭജിക്കുന്നു. തൽഫലമായി, നമുക്ക് രണ്ട് വരികൾ a, b എന്നിവയുണ്ട്, ഒരു പോയിന്റ് A യിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു, തന്നിരിക്കുന്ന വരി c യിൽ കിടക്കുന്നില്ല, അതേ സമയം അതിന് സമാന്തരമായി. ഇത് ആക്സിയം 3.1 ന് വിരുദ്ധമാണ്. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

സിദ്ധാന്തം 3.3.

തന്നിരിക്കുന്ന വരിയിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു പോയിന്റിലൂടെ, തന്നിരിക്കുന്ന വരികൾക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു വരി മാത്രമേ വരയ്ക്കാൻ കഴിയൂ.

തെളിവ്

(AB) തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു വരയായിരിക്കട്ടെ, C ഒരു ബിന്ദുവിൽ കിടക്കരുത്. ലൈൻ എസി വിമാനത്തെ രണ്ട് ഹാഫ് പ്ലെയിനുകളായി വിഭജിക്കുന്നു. പോയിന്റ് ബി അവയിലൊന്നിലാണ്. ആക്സിയം 3.2 അനുസരിച്ച്, C A കിരണത്തിൽ നിന്ന് കോണിന് (CAB) തുല്യമായ ഒരു ആംഗിൾ (ACD) മറ്റൊരു അർദ്ധ-തലത്തിലേക്ക് നിക്ഷേപിക്കാൻ കഴിയും. എ.സി.ഡി.യും സി.എ.ബി.യും എബി, സിഡി, സെക്കന്റ് (എസി) എന്നീ വരികൾക്കൊപ്പം ആന്തരിക ക്രോസ്വൈസ് തുല്യമാണ്, തുടർന്ന്, സിദ്ധാന്തം 3.1 (എബി) പ്രകാരം || (സിഡി). ആക്സിയം 3.1 കണക്കിലെടുക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

സമാന്തരരേഖകളുടെ സ്വഭാവം ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം നൽകുന്നു, സിദ്ധാന്തം 3.1 ലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക.

സിദ്ധാന്തം 3.4.

രണ്ട് സമാന്തര രേഖകൾ മൂന്നാമതൊരു വരയാൽ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇന്റീരിയർ കോണുകൾ തുല്യമായിരിക്കും.

തെളിവ്

അനുവദിക്കുക (AB) || (സിഡി). നമുക്ക് ACD ≠ BAC എന്ന് ഊഹിക്കാം. പോയിന്റ് എ വഴി നമ്മൾ ഒരു നേർരേഖ AE വരയ്ക്കുന്നു, അങ്ങനെ EAC = ACD. എന്നാൽ പിന്നീട്, സിദ്ധാന്തം 3.1 (AE ) പ്രകാരം || (CD ), കൂടാതെ വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം – (AB ) || (സിഡി). സിദ്ധാന്തം 3.2 (AE ) അനുസരിച്ച് || (എബി). ഇത് സിദ്ധാന്തം 3.3 ന് വിരുദ്ധമാണ്, അതനുസരിച്ച് ലൈൻ സിഡിയിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു പോയിന്റ് എ വഴി, അതിന് സമാന്തരമായി ഒരു അദ്വിതീയ രേഖ വരയ്ക്കാൻ കഴിയും. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ചിത്രം 3.3.1.

ഈ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളെ എളുപ്പത്തിൽ ന്യായീകരിക്കാൻ കഴിയും.

രണ്ട് സമാന്തര രേഖകൾ മൂന്നാമതൊരു വരയാൽ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അനുബന്ധ കോണുകൾ തുല്യമായിരിക്കും.

രണ്ട് സമാന്തര രേഖകൾ മൂന്നാമതൊരു വരയാൽ ഛേദിക്കപ്പെട്ടാൽ, ആന്തരിക ഏകപക്ഷീയ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180° ആണ്.

അനന്തരഫലം 3.2.

ഒരു രേഖ സമാന്തരരേഖകളിലൊന്നിന് ലംബമാണെങ്കിൽ, അത് മറ്റൊന്നിലേക്ക് ലംബമായിരിക്കും.

സമാന്തരത എന്ന ആശയം ഇനിപ്പറയുന്ന പുതിയ ആശയം അവതരിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, അത് പിന്നീട് 11-ാം അധ്യായത്തിൽ ആവശ്യമായി വരും.

രണ്ട് കിരണങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു തുല്യമായി സംവിധാനം, അത്തരം ഒരു രേഖ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒന്നാമതായി, അവ ഈ രേഖയ്ക്ക് ലംബമാണ്, രണ്ടാമതായി, കിരണങ്ങൾ ഈ രേഖയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഒരേ അർദ്ധതലത്തിൽ കിടക്കുന്നു.

രണ്ട് കിരണങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു വിപരീതമായി സംവിധാനം, അവ ഓരോന്നും മറ്റൊന്നിന് പൂരകമായ ഒരു കിരണത്തോടൊപ്പം തുല്യമായി നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ.

ഞങ്ങൾ ഒരേപോലെ സംവിധാനം ചെയ്ത രശ്മികളായ AB, CD എന്നിവയെ സൂചിപ്പിക്കും: വിപരീത ദിശയിലുള്ള കിരണങ്ങൾ AB, CD -

ചിത്രം 3.3.2.

ക്രോസിംഗ് ലൈനുകളുടെ അടയാളം.

രണ്ട് വരികളിൽ ഒന്ന് ഒരു നിശ്ചിത തലത്തിൽ കിടക്കുന്നുവെങ്കിൽ, മറ്റൊരു ലൈൻ ഈ തലത്തെ ആദ്യ വരിയിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു പോയിന്റിൽ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ വരികൾ വിഭജിക്കുന്നു.

ബഹിരാകാശത്ത് വരികളുടെ പരസ്പര ക്രമീകരണത്തിന്റെ കേസുകൾ.

1. ബഹിരാകാശത്ത് രണ്ട് വരികൾ ക്രമീകരിക്കുന്നതിന് നാല് വ്യത്യസ്ത കേസുകളുണ്ട്:

   
   

   - നേരായ ക്രോസിംഗ്, അതായത്. ഒരേ വിമാനത്തിൽ കിടക്കരുത്;

   - നേർരേഖകൾ വിഭജിക്കുന്നു, അതായത്. ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുകയും ഒരു പൊതു പോയിന്റ് ഉണ്ടായിരിക്കുകയും ചെയ്യുക;

   - സമാന്തര വരികൾ, അതായത്. ഒരേ വിമാനത്തിൽ കിടക്കുക, വിഭജിക്കരുത്;

   - വരികൾ യോജിക്കുന്നു.

   
   

   കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ നൽകുന്ന വരികളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനത്തിന്റെ ഈ കേസുകളുടെ സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് നേടാം

   
   
   എവിടെ - വരികളിൽ പെട്ട പോയിന്റുകൾഒപ്പം അതനുസരിച്ച്, എ- ദിശ വെക്റ്ററുകൾ (ചിത്രം 4.34). എന്ന് നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാംനൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിന്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വെക്റ്റർ.
   
   

   ഇനിപ്പറയുന്ന സവിശേഷതകൾ മുകളിൽ ലിസ്റ്റുചെയ്തിരിക്കുന്ന വരികളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു:

   
   

   - നേരായതും കടന്നുപോകുന്നതുമായ വെക്‌ടറുകൾ കോപ്ലനാർ അല്ല;

   
   

   - നേർരേഖകളും വിഭജിക്കുന്ന വെക്‌ടറുകളും കോപ്ലനാർ ആണ്, എന്നാൽ വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയർ അല്ല;

   
   

   - നേരിട്ടുള്ളതും സമാന്തരവുമായ വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയറാണ്, എന്നാൽ വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയറല്ല;

   
   

   - നേർരേഖകളും യാദൃശ്ചികമായ വെക്‌ടറുകളും കോളിനിയറാണ്.

   
   

   മിക്സഡ്, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ വ്യവസ്ഥകൾ എഴുതാം. വലത് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം സൂത്രവാക്യം വഴി കണ്ടെത്തുന്നുവെന്ന് ഓർക്കുക:

   
   
   കൂടാതെ ഡിറ്റർമിനന്റ് കവലകൾ പൂജ്യമാണ്, അതിന്റെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും വരികൾ ആനുപാതികമല്ല, അതായത്.
   

   - ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ നേരായതും സമാന്തരവുമായ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും വരികൾ ആനുപാതികമാണ്, അതായത്. ആദ്യത്തെ രണ്ട് വരികൾ ആനുപാതികമല്ല, അതായത്.

   
   

   - നേർരേഖകളും ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ എല്ലാ വരികളും യോജിക്കുകയും ആനുപാതികവുമാണ്, അതായത്.

സ്‌ക്യൂ ലൈൻ ടെസ്റ്റിന്റെ തെളിവ്.

രണ്ട് വരികളിൽ ഒന്ന് ഒരു തലത്തിൽ കിടക്കുകയും മറ്റൊന്ന് ഈ തലത്തെ ആദ്യ വരിയിൽ പെടാത്ത ഒരു പോയിന്റിൽ വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, ഈ രണ്ട് വരികളും വിഭജിക്കുന്നു.

തെളിവ്

a എന്നത് α യുടേതായിരിക്കട്ടെ, b വിഭജിക്കുന്നു α = A, A എന്നത് a-യുടെതല്ല (ഡ്രോയിംഗ് 2.1.2). a, b വരികൾ കടക്കാത്തവയാണ്, അതായത് അവ വിഭജിക്കുന്നു എന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. അപ്പോൾ a, b എന്നീ വരികൾ ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു തലം β ഉണ്ട്. ഈ തലത്തിൽ β ഒരു രേഖയും A പോയിന്റും കിടക്കുന്നു. a വരിയും A പോയിന്റും അതിന് പുറത്തുള്ള പോയിന്റും ഒരൊറ്റ തലത്തെ നിർവചിക്കുന്നതിനാൽ, β = α. എന്നാൽ b ഡ്രൈവുകൾ β, b എന്നിവ α-യുടേതല്ല, അതിനാൽ സമത്വം β = α അസാധ്യമാണ്.

ബഹിരാകാശത്ത് രണ്ട് വരികൾക്ക് ഒരു പൊതു പോയിന്റുണ്ടെങ്കിൽ, ഈ രണ്ട് വരികളും വിഭജിക്കുന്നതായി പറയപ്പെടുന്നു. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിൽ, a, b വരികൾ A പോയിന്റിൽ വിഭജിക്കുന്നു. a, c വരികൾ വിഭജിക്കുന്നില്ല.

ഏതെങ്കിലും രണ്ട് നേർരേഖകൾക്ക് ഒന്നുകിൽ ഒരു പൊതു പോയിന്റ് മാത്രമേയുള്ളൂ അല്ലെങ്കിൽ പൊതുവായ പോയിന്റുകൾ ഇല്ല.

സമാന്തര വരികൾ

ബഹിരാകാശത്തെ രണ്ട് വരികൾ ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുകയും വിഭജിക്കാതിരിക്കുകയും ചെയ്താൽ അവയെ സമാന്തരമായി വിളിക്കുന്നു. സമാന്തര വരകൾ സൂചിപ്പിക്കാൻ, ഒരു പ്രത്യേക ഐക്കൺ ഉപയോഗിക്കുക - ||.

a||b എന്ന നൊട്ടേഷൻ അർത്ഥമാക്കുന്നത് a ലൈൻ b രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമാണ് എന്നാണ്. മുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ച ചിത്രത്തിൽ, a, c എന്നീ വരികൾ സമാന്തരമാണ്.

സമാന്തര രേഖ സിദ്ധാന്തം

ഒരു നിശ്ചിത രേഖയിൽ കിടക്കാത്ത ബഹിരാകാശത്തെ ഏത് ബിന്ദുവിലൂടെയും, തന്നിരിക്കുന്ന ഒന്നിന് സമാന്തരമായി ഒരു രേഖ കടന്നുപോകുന്നു, മാത്രമല്ല, ഒന്ന് മാത്രം.

ക്രോസിംഗ് ലൈനുകൾ

ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്ന രണ്ട് വരികൾ ഒന്നുകിൽ വിഭജിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ സമാന്തരമാകാം. എന്നാൽ ബഹിരാകാശത്ത്, ഈ വിമാനത്തിന് രണ്ട് നേർരേഖകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്നില്ല. അവ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വിമാനങ്ങളിൽ സ്ഥാപിക്കാം.

വ്യത്യസ്‌ത തലങ്ങളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന വരികൾ വിഭജിക്കുന്നില്ലെന്നും സമാന്തരരേഖകളല്ലെന്നും വ്യക്തമാണ്. ഒരേ വിമാനത്തിൽ കിടക്കാത്ത രണ്ട് ലൈനുകളെ വിളിക്കുന്നു നേർരേഖകൾ മുറിച്ചുകടക്കുന്നു.

ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രം വ്യത്യസ്ത തലങ്ങളിൽ കിടക്കുന്ന a, b എന്നീ രണ്ട് നേർരേഖകൾ കാണിക്കുന്നു.

സ്ക്യൂ ലൈനുകളിൽ ടെസ്റ്റും സിദ്ധാന്തവും

രണ്ട് വരികളിൽ ഒന്ന് ഒരു നിശ്ചിത തലത്തിൽ കിടക്കുന്നുവെങ്കിൽ, മറ്റൊരു ലൈൻ ഈ തലത്തെ ആദ്യ വരിയിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു പോയിന്റിൽ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ വരികൾ വിഭജിക്കുന്നു.

ചരിഞ്ഞ വരകളിലെ സിദ്ധാന്തം: വിഭജിക്കുന്ന ഓരോ വരികളിലൂടെയും മറ്റൊരു ലൈനിന് സമാന്തരമായി ഒരു തലം കടന്നുപോകുന്നു, കൂടാതെ, ഒന്ന് മാത്രം.

അങ്ങനെ, ബഹിരാകാശത്തെ വരികളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനങ്ങളുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ കേസുകളും ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു. അവയിൽ മൂന്നെണ്ണമേ ഉള്ളൂ.

1. വരികൾ വിഭജിക്കുന്നു. (അതായത്, അവർക്ക് ഒരു പൊതു പോയിന്റ് മാത്രമേയുള്ളൂ.)

2. വരികൾ സമാന്തരമാണ്. (അതായത്, അവർക്ക് പൊതുവായ പോയിന്റുകൾ ഇല്ല, ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നു.)

3. നേർരേഖകൾ ക്രോസ്. (അതായത്, അവ വ്യത്യസ്ത വിമാനങ്ങളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു.)