Sa seksyong ito ay isasaalang-alang natin ang mga gawaing nauugnay sa iba't ibang sistema mga coordinate sa pamamagitan ng paghahati ng isang segment sa isang ibinigay na ratio.
Ang mga coordinate ng mga puntos ay ibinigay: A(4; 3), SA(7; 6), SA(2; 11). Patunayan natin na ang tatsulok ABC hugis-parihaba.
Hanapin ang mga haba ng mga gilid ng tatsulok ABC. Para sa layuning ito, gumagamit kami ng isang formula na nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang punto sa isang eroplano:
Ang haba ng mga gilid ay magiging pantay:
Isinasaalang-alang na ang Pythagorean theorem ay humahawak para sa mga gilid ng tatsulok na ito
pagkatapos ay isang tatsulok ABC– hugis-parihaba.
Binibigyan ng mga puntos A(2; 1) at SA(8; 4). Hanapin ang mga coordinate ng punto M(X; sa), na naghahati sa segment sa isang ratio na 2:1.
Alalahanin na ang punto M(X; sa) hinahati ang segment AB, Saan A(x A , y A), B(x B , y B), na may kaugnayan sa λ: μ, kung ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa mga kondisyon:
,
.
Maghanap tayo ng punto M para sa isang partikular na segment
,
.
Kaya ang punto M(6; 3) hinahati ang segment AB sa ratio na 2:1.
Hanapin ang mga parihaba na coordinate ng punto A(
3π/4), kung ang poste ay nag-tutugma sa pinagmulan ng mga coordinate, at ang polar axis ay nakadirekta sa kahabaan ng abscissa axis.
Isinasaalang-alang ang mga formula para sa paglipat mula sa polar hanggang sa mga rectangular coordinate system
x = r cosφ, y = r kasalananφ,
nakukuha namin
,
.
Sa isang rectangular Cartesian coordinate system, ang mga coordinate ng isang punto ay A(–2; 2).
Hanapin natin ang mga polar coordinate ng mga puntos na mayroong mga sumusunod na rectangular coordinate:
A(
;
2),SA(–4;
4), SA(–7;
0).
Ginagamit namin ang mga formula para sa paglipat mula sa hugis-parihaba na mga coordinate sa mga polar:
,
.
Kunin natin ang mga coordinate para sa punto A:
,
.
Sa gayon A(4; π/6) - polar coordinates (Larawan 15).
Para sa isang punto SA(Larawan 16) mayroon tayo
,
.
Samakatuwid, ang mga polar coordinate ng punto SA(
, 3π/4).
Isaalang-alang ang punto SA(–7; 0) (Larawan 17). Sa kasong ito
,
,
.
Maaari mong isulat ang mga polar coordinates ng isang punto SA(7; π).
Hanapin natin ang haba ng vector a = 20i + 30j – 60k at ang direksyon nito ay cosine.
Alalahanin na ang mga cosine ng direksyon ay ang mga cosine ng mga anggulo na vector a (a 1 , a 2 , a 3) mga form na may mga coordinate axes:
,
,
,
saan 
.
Ang paglalapat ng mga formula na ito sa vector na ito, nakukuha namin
,
.
Normalize namin ang vector a = 3i + 4j – 12k .
Upang gawing normal ang isang vector ay ang paghahanap ng isang vector ng haba ng yunit A
0, nakadirekta sa parehong paraan tulad ng vector na ito. Para sa isang di-makatwirang vector a
(a 1 ,
a 2 ,
a 3) ang katumbas na vector ng haba ng yunit ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpaparami a
sa isang fraction 
.
.
Sa aming kaso, isang vector ng haba ng yunit:
.
Hanapin natin ang scalar product ng mga vectors
a = 4i + 5j + 6k At b = 3i – 4j + k .
Upang mahanap ang scalar product ng mga vector, kailangan mong i-multiply ang kaukulang mga coordinate at idagdag ang mga resultang produkto. Kaya, para sa mga vectors a = a 1 i + a 2 j + a 3 k At b = b 1 i + b 2 j + b 3 k ang scalar product ay may anyo:
(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 .
Para sa mga vector na ito nakukuha namin
(a , b ) = 4∙3 + 5∙(–4) + 6∙1 = 12 – 20 + 6 = –2.
Ipakita natin na ang mga vectors a = 2i – 3j + 5k At b = i + 4j + 2k patayo.
Ang dalawang vector ay patayo kung ang kanilang dot product ay zero.
Hanapin natin ang scalar product:
(a , b ) = 2∙1 + (–3)∙4 + 5∙2 = 2 – 12 + 10 = 0.
Kaya, ang mga vectors A At b patayo.
Alamin natin kung anong halaga ng parameter m mga vector a = 2i + 3j + mk At b = 3i + mj – 2k patayo.
Hanapin natin ang scalar product ng mga vectors A At b :
(a , b ) = 2∙3 + 3∙m – 2∙m = 6 + m.
Ang mga vector ay patayo kung ang kanilang scalar product ay zero. Tinutumbas namin sa zero ang produkto ( A , b ):
6 + m = 0.
Sa m= – 6 na vector A At b patayo.
Halimbawa 10.
Hanapin natin ang scalar product (3 A + 4b , 2A – 3b ), kung | a | = 2, |b | = 1 at anggulo φ sa pagitan A At b katumbas ng π/3.
Gamitin natin ang mga katangian ng scalar product:
(α a , β b ) = αβ( a , b ),
(a + b , c ) = (a , c ) + (b , c ),
(a , b ) = (b , a )
(a , a ) = |a | 2 ,
pati na rin ang kahulugan ng scalar product ( a , b ) = |a |∙|b |∙cosφ. Isulat muli natin ang scalar product sa form
(3a + 4b , 2a – 3b ) = 6(a , a ) – 9(a , b ) + 8(b , a ) – 12(b , b ) =
6|a | 2 – (a , b ) – 12|b | 2 = 6∙2 2 – 2∙1∙cos(π/3) – 12∙1 2 = 11.
Halimbawa 11.
Tukuyin natin ang anggulo sa pagitan ng mga vector
a = i + 2j + 3k At b = 6i + 4j – 2k .
Upang mahanap ang anggulo, ginagamit namin ang kahulugan ng scalar product ng dalawang vectors
(a , b ) = |a |∙|b |∙cosφ,
kung saan ang φ ay ang anggulo sa pagitan ng mga vectors A At b . Ipahayag natin ang cosφ mula sa formula na ito
.
Isinasaalang-alang na ( A
,
b
)
= 1∙6 + 2∙4 + 3∙(–2) = 8,
,, nakukuha namin:
.
Kaya naman, 
.
Halimbawa 12.
a = 5i – 2j + 3k At b = i + 2j – 4k .
Ito ay kilala na ang produkto ng vector ng mga vectors a = a 1 i + a 2 j + a 3 k At b = b 1 i + b 2 j + b 3 k ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula
.
Samakatuwid, para sa mga vectors na ito
2i + 23j + 12k .
Isaalang-alang natin ang isang halimbawa kung saan, upang mahanap ang modulus ng isang produkto ng vector, ang kahulugan ng isang produkto ng vector ay gagamitin, at hindi ipahayag ito sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga kadahilanan, tulad ng nangyari sa nakaraang halimbawa.
Halimbawa 13.
Hanapin natin ang modulus ng vector product ng mga vectors A + 2b at 2 A – 3b , kung | a | = 1, |b | = 2 at ang anggulo sa pagitan ng mga vectors A At b katumbas ng 30°.
Mula sa kahulugan ng isang produkto ng vector ay malinaw na para sa mga arbitrary na vector A At b ang modulus nito ay
|[a , b ] | = |a | ∙ |b | ∙ kasalanan φ.
Isinasaalang-alang ang mga katangian ng produkto ng vector
[a , b ] = – [b , a ],
[a , a ] = 0,
[α a + β b , c ] = α[ a , c ] + β[ b , c ],
nakukuha namin
[a + 2b , 2a – 3b ] = 2[a , a ] – 3[a , b ] + 4[b , a ] – 6[b , b ] = –7[a , b ].
Nangangahulugan ito na ang modulus ng produkto ng vector ay katumbas ng
|[a + 2b , 2a – 3b ]| = |–7[a , b ]| = 7 ∙ |a | ∙ |b | ∙ sin 30° = 7∙1∙2∙0.5 = 7.
Halimbawa 14.
Kalkulahin natin ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vector
a = 6i + 3j – 2k At b = 3i – 2j + 6k .
Ito ay kilala na ang modulus ng vector produkto ng dalawang vectors katumbas ng lugar paralelogram na itinayo sa mga vector na ito. Hanapin natin ang produkto ng vector gamit ang formula:
,
saan a = a 1 i + a 2 j + a 3 k At b = b 1 i + b 2 j + b 3 k . Pagkatapos ay kinakalkula namin ang modulus nito.
Para sa mga vector na ito nakukuha namin
14i – 42j – 21k .
Samakatuwid, ang lugar ng paralelogram ay
S = |[a , b ]| = (sq. units).
Halimbawa 15.
Kalkulahin ang lugar ng isang tatsulok na may mga vertex A(1;2;1), SA(3;3;4), SA(2;1;3).
Malinaw, ang lugar ng tatsulok ABC katumbas ng kalahati ng lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vector 
At 
.
Sa turn, ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vectors 
At 
, ay katumbas ng modulus ng produkto ng vector [ 
]. Sa gayon
|[
]|.
Hanapin natin ang mga coordinate ng mga vector 
At 
, na binabawasan ang kaukulang mga coordinate ng simula mula sa mga coordinate ng dulo ng vector, nakuha namin
= (3 –
1)i
+ (3 – 2)j
+ (4 – 1)k
= 2i
+ j
+ 3k
,
= (2 –
1)i
+ (1 – 2)j
+ (3 – 1)k
= i
– j
+ 2k
.
Hanapin natin ang produkto ng vector:
[
,
]
=
5i
– j
– 3k
.
Hanapin natin ang module ng produkto ng vector:
|[
]|
=
.
Samakatuwid, maaari nating makuha ang lugar ng tatsulok:
(sq. units).
Halimbawa 16.
Kalkulahin natin ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vector a + 3b at 3 a – b , kung | a | = 2, |b | = 1 at ang anggulo sa pagitan A At b katumbas ng 30°.
Hanapin natin ang modulus ng produkto ng vector gamit ang kahulugan nito at mga katangian na tinukoy sa halimbawa 13, nakukuha natin
[a + 3b , 3a – b ] = 3[a , a ] – [a , b ] + 9[b , a ] – 3[b , b ] = –10[a , b ].
Nangangahulugan ito na ang kinakailangang lugar ay katumbas ng
S = |[a + 3b , 3a – b ]| = |–10[a , b ]| = 10 ∙ |a | ∙ |b | ∙ sin 30° =
10∙2∙1∙0.5 = 10 (sq. unit).
Kasama sa mga sumusunod na halimbawa ang paggamit ng isang halo-halong produkto ng mga vector.
Halimbawa 17.
Ipakita na ang mga vectors a = i + 2j – k , b = 3i + k At Sa = 5i + 4j – k coplanar.
Ang mga vector ay coplanar kung ang kanilang pinaghalong produkto ay zero. Para sa mga di-makatwirang vectors
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k , b = b 1 i + b 2 j + b 3 k , c = c 1 i + c 2 j + c 3 k
hinahanap namin ang pinaghalong produkto gamit ang formula:
.
Para sa mga vector na ito nakukuha namin
.
Kaya, ang mga vector na ito ay coplanar.
Hanapin ang volume ng isang triangular na pyramid na may mga vertices A(1;1;1), SA(3;2;1), SA(2;4;3), D(5;2;4).
Hanapin natin ang mga coordinate ng mga vector 
,
At 
, kasabay ng mga gilid ng pyramid. Ang pagbabawas ng kaukulang mga coordinate ng simula mula sa mga coordinate ng dulo ng vector, nakuha namin
= 2i
+ 3j
,
= i
+ 3j
+ 2k
,
= 4i
+ j
+ 3k
.
Ito ay kilala na ang dami ng isang pyramid ay katumbas ng 1/6 ng dami ng isang parallelepiped na binuo sa mga vector. 
,
At 
. kaya,
.
Sa turn, ang dami ng parallelepiped ay katumbas ng modulus ng pinaghalong produkto
V paral
= |(
,
,
)|.
Maghanap tayo ng halo-halong produkto
(
,
,
)
=
.
Kaya, ang dami ng pyramid ay
(mga yunit ng kubiko).
Sa mga sumusunod na halimbawa ay ipapakita namin ang mga posibleng aplikasyon ng vector algebra.
Halimbawa 19.
Suriin natin kung ang mga vectors 2 ay collinear A + b At A – 3b , Saan a = 2i + j – 3k At b = i + 2j + 4k .
Hanapin natin ang mga coordinate ng mga vectors 2 A + b At A – 3b :
2A + b = 2(2i + j – 3k ) + i + 2j + 4k = 5i + 4j – 2k ,
A – 3b = 2i + j – 3k – 3(i + 2j + 4k ) = –i – 5j – 15k .
Ito ay kilala na ang mga collinear vectors ay may proporsyonal na mga coordinate. Isinasaalang-alang na
,
nakita namin na mayroong 2 vectors A + b At A – 3b hindi collinear.
Ang problemang ito ay maaaring malutas sa ibang paraan. Ang criterion para sa collinearity ng mga vector ay ang pagkakapantay-pantay ng produkto ng vector sa zero:
2[a , a ] – 6[a , b ] + [b , a ] – 3[b , b ] = –7[a , b ].
Hanapin natin ang produkto ng vector ng mga vector A At b :
10i – 11j + 3k ≠ 0.
Kaya naman,
= –7[a , b ] ≠ 0
at mga vector 2 A + b At A – 3b hindi collinear.
Halimbawa 20.
Hanapin natin ang gawain ng puwersa F (3; 2; 1), kapag ang punto ng aplikasyon nito A(2; 4;–6), gumagalaw nang patuwid, ay gumagalaw sa punto SA(5; 2; 3).
Ito ay kilala na ang gawain ng puwersa ay ang scalar product of force F
sa displacement vector 
.
Hanapin natin ang mga coordinate ng vector 
:
= 3i
– 2j
+ 9k
.
Samakatuwid, ang gawain ng puwersa F sa pamamagitan ng paglipat ng isang punto A eksakto SA ay magiging katumbas ng scalar product
(F
,
)
= 3∙3 + 2∙(–2) + 1∙9 = 9 – 4 + 9 = 14.
Halimbawa 21.
Nawa ang puwersa F (2;3;–1) ay inilapat sa punto A(4;2;3). Sa ilalim ng puwersa F tuldok A gumagalaw sa isang punto SA(3;1;2). Hanapin natin ang modulus ng moment of force F kaugnay sa punto SA.
Ito ay kilala na ang sandali ng puwersa ay katumbas ng produkto ng vector ng puwersa at pag-aalis. Hanapin natin ang displacement vector 
:
= (3 –
4)i
+
(1 – 2)j
+ (2 – 3)k
= – i
–
j
– k
.
Hanapin natin ang sandali ng puwersa bilang isang produkto ng vector:
= – 4i + 3j + k .
Samakatuwid, ang modulus ng moment of force ay katumbas ng modulus ng vector product:
|[F
,
]|
=
.
60) Dahil sa isang sistema ng mga vector a =(1, 2, 5), b =(4, 0, -1), c =(0, 0, 0). I-explore ito sa linear dependence.
a) Ang sistema ng mga vectors ay linearly dependent;
b) Ang sistema ng mga vectors ay linearly independent;
c) walang tamang sagot.
61) Galugarin ang vector system
a =(1, -1, 2, 0), b =(1, 5, -2, ), c =(3, -3, 6, 0) sa isang linear na relasyon.
a) ang sistema ng mga vectors ay linearly independent;
b) ang sistema ng mga vectors ay linearly dependent;
c) walang tamang sagot.
62) Ay ang sistema ng mga vectors a =(1, 2), b =(7, ), c =(0, ), d =( , 1) linearly dependent?
a) hindi, hindi;
b) oo, ito ay.
63) Ay isang vector na ipinahayag b =(2, -1, 3) sa pamamagitan ng vector system = (1, 0, 2), = (-1, 1, 1), = (0, 1, 3), = (1, 1, 5)
a) hindi, hindi ipinahayag;
b) oo, ito ay ipinahayag.
64) Siyasatin ang isang sistema ng mga vectors para sa linear dependence
a = , b = , c = .
a) linearly independent;
b) linearly dependent;
c) walang tamang sagot.
65) Siyasatin ang isang sistema ng mga vectors para sa linear dependence
a = , b = , c =
a) linearly independent;
b) linearly dependent;
c) walang tamang sagot.
66) Ay ang sistema ng mga vectors linearly umaasa?
= (2, 0, 6, 0), = (2, 1, 0, 1), = (3, 1, 0, 1), = (3, 0, 4, 0).
a) linearly dependent;
b) linearly independent;
c) walang tamang sagot.
67) Hayaang ang bilang ng mga linearly independent na matrix row ay katumbas ng m, at ang bilang ng mga linearly independent na matrix column ay katumbas ng n. Piliin ang tamang pahayag.
d) ang sagot ay depende sa matrix.
68) Ang mga batayang vector ng linear space ay
a) linearly dependent;
b) linearly independent;
c) ang sagot ay depende sa tiyak na batayan.
69) ano ang vector?
a) ito ay isang sinag na nagpapakita ng direksyon ng paggalaw
b) ito ay isang nakadirekta na segment na may simula sa punto A at isang dulo sa punto B, na maaaring ilipat parallel sa sarili nito
c) ito ay isang figure na binubuo ng maraming puntos na katumbas ng layo mula sa isa't isa.
d) ito ay isang segment na may simula sa punto A at isang dulo sa punto B, na hindi maaaring ilipat parallel sa sarili nito
70) Kung isang linear na kumbinasyon 1 + 2 +...+ƛ r ay maaaring kumatawan sa isang zero vector kapag kabilang sa mga numero ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛ r mayroong hindi bababa sa isang hindi zero, pagkatapos ay ang sistema ng mga vectors a 1, a 2,…., a p tinatawag na:
a) linearly independent;
b) linearly dependent;
c) walang halaga;
d) hindi mahalaga.
71) Kung isang linear na kumbinasyon 1 + 2 +...+ƛ r kumakatawan lamang sa isang zero vector kapag ang lahat ng mga numero ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛ r ay katumbas ng zero, pagkatapos ay ang sistema ng mga vectors a 1, a 2,…., a p tinatawag na:
a) linearly independent;
b) linearly dependent;
c) walang halaga;
d) hindi mahalaga.
72) Ang batayan ng isang vector space ay isang sistema ng mga vector na tinukoy sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod at natutugunan ang mga kondisyon:
a) Ang sistema ay linearly independent;
b) Ang anumang vector ng espasyo ay isang linear na kumbinasyon ng isang ibinigay na sistema;
c) Parehong tama;
d) Parehong mali.
73) Ang isang subset ng espasyo R n na may pag-aari na sarado na may kinalaman sa mga operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami sa pamamagitan ng mga numero ay tinatawag na:
a) Linear prespace ng space Rn;
b) Projection ng espasyo R n ;
c) Linear subspace ng space Rn;
d) walang tamang sagot.
74) Kung ang isang may hangganan na sistema ng mga vector ay naglalaman ng isang linearly dependent na subsystem, kung gayon ito ay:
a) Linearly dependent;
b) Linearly independent;
75) Kung ang sistema ay linear umaasa na vector magdagdag ng isa o higit pang mga vector, ang magreresultang sistema ay:
a) Linearly dependent;
b) Linearly independent;
c) Ni linearly dependent o linearly independent.
76) Tatlong vector ang tinatawag na coplanar kung sila ay:
a) Nakahiga sila sa magkatulad na linya;
b) Nakahiga sila sa parehong tuwid na linya;
c) Linearly independent;
d) Nakahiga sila sa magkatulad na mga eroplano;
77) Dalawang vector ang tinatawag na collinear kung sila ay:
a) Nakahiga sila sa parehong eroplano;
b) Nakahiga sila sa magkatulad na mga eroplano;
c) Linearly independent;
d) Nakahiga sila sa magkatulad na linya;
78) Upang ang dalawang vector ay maging linearly dependent, kinakailangan na sila ay:
a) Collateral;
b) Coplanar;
c) Linearly independent;
d) Walang tamang opsyon.
79) produkto ng isang vector a=(a 1 ,a 2 ,a 3) ang isang numero ay tinatawag na vector b, katumbas
A) ( a 1 , a 2 , a 3)
b) ( + a 1 , +a 2 , +a 3)
V) ( /a 1 , /a 2 , /a 3)
80) kung ang dalawang vector ay nasa parehong linya, kung gayon ang mga vector ay
a) pantay
b) co-directed
c) collinear
d) salungat na direksyon
81) ang scalar product ng mga vector ay katumbas ng
a) ang produkto ng kanilang mga haba;
b) ang produkto ng kanilang mga haba sa pamamagitan ng cosine ng anggulo sa pagitan nila;
c) ang produkto ng kanilang mga haba sa pamamagitan ng sine ng anggulo sa pagitan nila;
d) ang produkto ng kanilang mga haba sa pamamagitan ng padaplis ng anggulo sa pagitan nila;
82) produkto ng isang vector A tinawag ang sarili
a) haba ng vector A
b) scalar square ng vector A
c) direksyon ng vector A
d) walang tamang sagot
83) kung ang produkto ng mga vector ay katumbas ng 0, kung gayon ang mga naturang vector ay tinatawag
a) collinear
b) co-directed
c) orthogonal
d) parallel
84) ang haba ng vector ay
a) ang scalar square nito
b) ang ugat ng scalar square nito
c) ang kabuuan ng mga coordinate nito
d) ang pagkakaiba sa pagitan ng mga coordinate ng dulo at simula ng vector
85) ano ang mga patakaran para sa paghahanap ng kabuuan ng mga vectors (maraming sagot)
a) tuntunin ng tatsulok
b) ang panuntunan ng bilog
c) tuntunin ng paralelogram
d) ang panuntunan ni Gauss
e) tuntuning polygon
f) tuntunin ng parihaba
86) kung punto A sumasabay sa punto SA, pagkatapos ay tinatawag ang vector
a) vector ng yunit
c) zero vector
d) walang kuwentang vector
87) upang ang dalawang vector ay maging collinear, kinakailangan iyon
a) ang kanilang mga coordinate ay pareho
b) proporsyonal ang kanilang mga coordinate
c) ang kanilang mga coordinate ay kabaligtaran
d) ang kanilang mga coordinate ay katumbas ng 0
88) dalawang vectors a=2m+4n at b=m-n ang ibinigay, kung saan ang m at n ay unit vectors na bumubuo ng isang anggulo na 120 0. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vectors a at b.
89) Dalawang unit vectors m at n ang ibinibigay sa eroplano. Ito ay kilala na ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 60 degrees. Hanapin ang haba ng vector a=m+2n (ikot ang sagot sa 0.1)
90) Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga diagonal ng isang paralelogram na binuo sa mga vectors a=-4k at b=2i+j
91) ang mga haba ng mga vector |a|=2, |b|=3, |a-b|=1 ay ibinibigay. Tukuyin ang |a+b|
92) Tatlong vector ang ibinigay: a=(2;-2), b=(2;-1), c=(2;4). Hanapin ang mga coordinate ng vector p=2a-b+c.
93) Hanapin ang haba ng vector a=2i+3j-6k.
94) sa anong halaga ng λ ang mga vectors a=λi-3j+2k at b=i+2j-λk patayo?
95) Ibinigay na mga vector a=6i-4j+k at b=2i-4j+k. Hanapin ang anggulo na nabuo ni vector a-b na may Oz axis.
96) Mga binigay na vectors = (4; –2; –6) at = (–3; 4; –12). Hanapin ang projection ng vector a sa vector axis b.
97) Hanapin ang anggulo A tatsulok na may mga vertex A (–1; 3; 2), SA(3; 5; –2) at
SA(3; 3; –1). Ilagay ang iyong sagot bilang 15cos A.
98) Hanapin ang squared modulus ng vector 
, kung saan at ang mga unit vector ay gumagawa ng isang anggulo na 60 o.
99) Hanapin ang produkto ng tuldok 
At 
100) Ibinigay na puntos A (3; –1; 2), B (1; 2; –1), C (–4; 4; 1), D (0; –2; 7). Tukuyin ang uri ng may apat na gilid ABCD.
a) Parallelepiped;
b) Parihaba;
c) Trapezoid;
101) Ang Vector = (3; 4) ay nabubulok sa mga vectors = (3; –1) at = (1; –2). Piliin ang tamang agnas.
