a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Solusyon. Hinahanap karaniwang desisyon mga sistema ng equation

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Pamamaraan ng Gauss. Upang gawin ito, isinulat namin ang homogenous system na ito sa mga coordinate:

System Matrix

Ang pinahihintulutang sistema ay may anyo: (r A = 2, n= 3). Ang sistema ay kooperatiba at hindi sigurado. Ang pangkalahatang solusyon nito ( x 2 – libreng variable): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Ang pagkakaroon ng isang non-zero partikular na solusyon, halimbawa, ay nagpapahiwatig na ang mga vectors a 1 , a 2 , a 3 nakadepende sa linear.

Halimbawa 2.

Alamin kung ang sistemang ito linearly dependent o linearly independent vectors:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Solusyon. Isaalang-alang ang isang homogenous na sistema ng mga equation a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

o sa pinalawak na anyo (sa pamamagitan ng mga coordinate)

Ang sistema ay homogenous. Kung ito ay hindi degenerate, kung gayon mayroon itong natatanging solusyon. Kailan homogenous na sistema– zero (walang halaga) solusyon. Nangangahulugan ito na sa kasong ito ang sistema ng mga vector ay independyente. Kung ang sistema ay degenerate, pagkatapos ay mayroon itong mga non-zero na solusyon at, samakatuwid, ito ay nakasalalay.

Sinusuri namin ang system para sa pagkabulok:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Ang sistema ay non-degenerate at, kaya, ang mga vectors a 1 , a 2 , a 3 linearly independent.

Mga gawain. Alamin kung ang isang ibinigay na sistema ng mga vector ay linearly dependent o linearly independent:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Patunayan na ang isang sistema ng mga vector ay magiging linearly dependent kung naglalaman ito ng:

a) dalawang pantay na vectors;

b) dalawang proporsyonal na vector.

Kahulugan. Linear na kumbinasyon ng mga vector a 1 , ..., a n na may coefficients x 1 , ..., x n ay tinatawag na vector

x 1 a 1 + ... + x n a n .

walang kuwenta, kung ang lahat ng coefficients x 1 , ..., x n ay katumbas ng zero.

Kahulugan. Ang linear na kumbinasyon x 1 a 1 + ... + x n a n ay tinatawag hindi mahalaga

, kung hindi bababa sa isa sa mga coefficients x 1, ..., x n ay hindi katumbas ng zero. linearly independent

, kung walang di-trivial na kumbinasyon ng mga vector na ito na katumbas ng zero vector.

Ibig sabihin, ang mga vectors a 1, ..., a n ay linearly independent kung x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 kung at kung x 1 = 0, ..., x n = 0. Kahulugan., kung mayroong isang di-trivial na kumbinasyon ng mga vector na ito na katumbas ng zero vector.

Mga katangian ng linearly dependent vectors:

Para sa 2 at 3 dimensional na vector.

Dalawang linear umaasa na mga vector- collinear. (Ang mga collinear vectors ay linearly dependent.)

Para sa mga 3-dimensional na vector.

Tatlong linearly dependent vectors ay coplanar. (Tatlong coplanar vector ang linearly dependent.)

• Para sa mga n-dimensional na vector.

  Ang mga n + 1 na vector ay palaging nakadepende sa linya.

Mga halimbawa ng mga problema sa linear dependence at linear independence ng mga vectors:

Halimbawa 1. Suriin kung ang mga vectors a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) ay linearly independent .

Solusyon:

Ang mga vector ay magiging linearly dependent, dahil ang dimensyon ng mga vector ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga vector.

Halimbawa 2. Suriin kung ang mga vectors a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) ay linearly independent.

Solusyon:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

ibawas ang pangalawa sa unang linya; magdagdag ng pangalawang linya sa ikatlong linya:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Ang solusyon na ito ay nagpapakita na ang sistema ay may maraming mga solusyon, iyon ay, mayroong isang non-zero na kumbinasyon ng mga halaga ng mga numero x 1, x 2, x 3 upang ang linear na kumbinasyon ng mga vectors a, b, c ay katumbas ng ang zero vector, halimbawa:

A+b+c=0

na nangangahulugang ang mga vectors a, b, c ay linearly dependent.

Sagot: ang mga vectors a, b, c ay linearly dependent.

Halimbawa 3. Suriin kung ang mga vectors a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) ay linearly independent.

Solusyon: Hanapin natin ang mga halaga ng mga coefficient kung saan ang linear na kumbinasyon ng mga vector na ito ay magiging katumbas ng zero vector.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Ang vector equation na ito ay maaaring isulat bilang isang sistema ng mga linear equation

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Lutasin natin ang sistemang ito gamit ang Gauss method

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

ibawas ang una sa pangalawang linya; ibawas ang una sa ikatlong linya:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

ibawas ang pangalawa sa unang linya; magdagdag ng pangalawa sa ikatlong linya.

Linear dependence at linear independence ng mga vectors.
Batayan ng mga vector. Affine coordinate system

Mayroong isang cart na may mga tsokolate sa auditorium, at bawat bisita ngayon ay makakakuha ng isang matamis na mag-asawa - analytical geometry na may linear algebra. Tatalakayin ng artikulong ito ang dalawang seksyon ng mas mataas na matematika nang sabay-sabay, at makikita natin kung paano sila magkakasamang nabubuhay sa isang wrapper. Magpahinga, kumain ng Twix! ...damn, ang daming kalokohan. Although, okay, I won’t score, in the end, you should have a positive attitude towards studying.

Linear dependence ng mga vectors, linear vector pagsasarili, batayan ng mga vector at iba pang mga termino ay hindi lamang isang geometriko na interpretasyon, ngunit, higit sa lahat, isang algebraic na kahulugan. Ang mismong konsepto ng "vector" mula sa punto ng view ng linear algebra ay hindi palaging ang "ordinaryong" vector na maaari nating ilarawan sa isang eroplano o sa kalawakan. Hindi mo kailangang maghanap ng malayo para sa patunay, subukang gumuhit ng vector ng limang-dimensional na espasyo . O ang weather vector, na pinuntahan ko lang sa Gismeteo para sa: – temperatura at Presyon ng atmospera ayon sa pagkakabanggit. Ang halimbawa, siyempre, ay hindi tama mula sa punto ng view ng mga katangian ng vector space, ngunit, gayunpaman, walang sinuman ang nagbabawal na gawing pormal ang mga parameter na ito bilang isang vector. Hininga ng taglagas...

Hindi, hindi ako magsasawa sa iyo ng teorya, mga linear vector space, ang gawain ay maintindihan mga kahulugan at teorema. Ang mga bagong termino (linear dependence, independence, linear combination, basis, atbp.) ay nalalapat sa lahat ng vectors mula sa algebraic point of view, ngunit ang mga geometric na halimbawa ay ibibigay. Kaya, ang lahat ay simple, naa-access at malinaw. Bilang karagdagan sa mga problema ng analytical geometry, isasaalang-alang din namin ang ilang karaniwang mga problema sa algebra. Upang makabisado ang materyal, ipinapayong maging pamilyar sa mga aralin Mga vector para sa mga dummies At Paano makalkula ang determinant?

Linear na pag-asa at pagsasarili ng mga vector ng eroplano.
Plane basis at affine coordinate system

Isaalang-alang natin ang eroplano ng iyong computer desk (isang mesa, bedside table, sahig, kisame, kahit anong gusto mo). Ang gawain ay susunod na hakbang:

1) Piliin ang batayan ng eroplano. Sa halos pagsasalita, ang isang tabletop ay may haba at lapad, kaya intuitive na kakailanganin ng dalawang vector upang mabuo ang batayan. Ang isang vector ay malinaw na hindi sapat, tatlong mga vector ay masyadong marami.

2) Batay sa napiling batayan itakda ang coordinate system(coordinate grid) upang magtalaga ng mga coordinate sa lahat ng mga bagay sa talahanayan.

Huwag magtaka, sa una ang mga paliwanag ay nasa daliri. Bukod dito, sa iyo. Mangyaring ilagay hintuturo kaliwang kamay sa gilid ng tabletop para tumingin siya sa monitor. Ito ay magiging isang vector. Ngayon lugar hinliliit kanang kamay sa gilid ng talahanayan sa parehong paraan - upang ito ay nakadirekta sa screen ng monitor. Ito ay magiging isang vector. Ngumiti ka, ang galing mo! Ano ang masasabi natin tungkol sa mga vector? Mga vector ng data collinear, ibig sabihin linear ipinahayag sa bawat isa:
, well, o vice versa: , kung saan ang ilang numero ay naiiba sa zero.

Makakakita ka ng larawan ng pagkilos na ito sa klase. Mga vector para sa mga dummies, kung saan ipinaliwanag ko ang panuntunan para sa pagpaparami ng vector sa isang numero.

Itatakda ba ng iyong mga daliri ang batayan sa eroplano ng computer desk? Halatang hindi. Ang mga collinear vector ay naglalakbay nang pabalik-balik mag-isa direksyon, at ang isang eroplano ay may haba at lapad.

Ang ganitong mga vector ay tinatawag Kahulugan..

Sanggunian: Ang mga salitang "linear", "linearly" ay nagpapahiwatig ng katotohanan na sa mga mathematical equation at expression ay walang mga parisukat, cubes, iba pang kapangyarihan, logarithms, sines, atbp. Mayroon lamang mga linear (1st degree) na expression at dependencies.

Dalawang vector ng eroplano nakadepende sa linear kung at kung sila ay collinear.

I-cross ang iyong mga daliri sa mesa upang mayroong anumang anggulo sa pagitan ng mga ito maliban sa 0 o 180 degrees. Dalawang vector ng eroplanolinear Hindi nakasalalay kung at kung hindi sila collinear. Kaya, nakuha ang batayan. Hindi na kailangang ikahiya na ang batayan ay naging "skewed" na may mga di-perpendicular na vector na may iba't ibang haba. Sa lalong madaling panahon makikita natin na hindi lamang isang anggulo ng 90 degrees ang angkop para sa pagtatayo nito, at hindi lamang mga unit vector na may pantay na haba

Anuman vector ng eroplano ang tanging paraan ay pinalawak ayon sa batayan:
, nasaan ang mga tunay na numero. Tinatawag ang mga numero mga coordinate ng vector sa batayan na ito.

Sinasabi rin na vectoripinakita bilang linear na kumbinasyon mga batayan ng vector. Ibig sabihin, ang expression ay tinatawag pagkabulok ng vectorsa pamamagitan ng batayan o linear na kumbinasyon mga batayan ng vector.

Halimbawa, maaari nating sabihin na ang vector ay nabubulok sa isang orthonormal na batayan ng eroplano, o maaari nating sabihin na ito ay kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga vector.

Bumalangkas tayo kahulugan ng batayan pormal: Ang batayan ng eroplano ay tinatawag na isang pares ng linearly independent (non-collinear) vectors, , kung saan anuman ang plane vector ay isang linear na kumbinasyon ng mga batayang vector.

Ang isang mahalagang punto ng kahulugan ay ang katotohanan na ang mga vector ay kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Mga base – ito ay dalawang ganap na magkaibang base! Tulad ng sinasabi nila, hindi mo maaaring palitan ang maliit na daliri ng iyong kaliwang kamay sa halip na ang maliit na daliri ng iyong kanang kamay.

Naisip namin ang batayan, ngunit hindi sapat na magtakda ng coordinate grid at magtalaga ng mga coordinate sa bawat item sa iyong computer desk. Bakit hindi sapat? Ang mga vector ay libre at gumagala sa buong eroplano. Kaya paano ka magtatalaga ng mga coordinate sa mga maliliit na maruruming lugar sa mesa na natitira pagkatapos ng ligaw na katapusan ng linggo? Kailangan ng panimulang punto. At ang gayong palatandaan ay isang punto na pamilyar sa lahat - ang pinagmulan ng mga coordinate. Unawain natin ang coordinate system:

Magsisimula ako sa sistema ng "paaralan". Nasa panimulang aralin na Mga vector para sa mga dummies Na-highlight ko ang ilang pagkakaiba sa pagitan ng rectangular coordinate system at ang orthonormal na batayan. Narito ang karaniwang larawan:

Kapag pinag-uusapan nila rectangular coordinate system, kung gayon kadalasan ang ibig sabihin ng mga ito ay ang pinagmulan, mga coordinate na palakol at sukat sa kahabaan ng mga palakol. Subukang mag-type ng "rectangular coordinate system" sa isang search engine, at makikita mo na maraming source ang magsasabi sa iyo tungkol sa mga coordinate axes na pamilyar mula sa ika-5-6 na baitang at kung paano mag-plot ng mga puntos sa isang eroplano.

Sa kabilang banda, tila ang isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay maaaring ganap na tukuyin sa mga tuntunin ng isang orthonormal na batayan. At iyon ay halos totoo. Ang mga salita ay ang mga sumusunod:

pinagmulan, At orthonormal itinakda ang batayan Cartesian rectangular plane coordinate system . Iyon ay, ang rectangular coordinate system tiyak ay tinukoy ng isang solong punto at dalawang unit orthogonal vectors. Iyon ang dahilan kung bakit nakikita mo ang pagguhit na ibinigay ko sa itaas - sa mga problemang geometriko, ang parehong mga vector at coordinate axes ay madalas (ngunit hindi palaging) iginuhit.

Sa palagay ko naiintindihan ng lahat na ang paggamit ng isang punto (pinagmulan) at isang orthonormal na batayan ANUMANG PUNTO sa eroplano at ANUMANG VECTOR sa eroplano maaaring italaga ang mga coordinate. Sa makasagisag na pagsasalita, "lahat ng bagay sa isang eroplano ay maaaring bilangin."

Kailangan bang maging unit ang mga coordinate vectors? Hindi, maaari silang magkaroon ng di-zero na haba. Isaalang-alang ang isang punto at dalawang orthogonal na vector ng di-zero na haba:

Ang ganitong batayan ay tinatawag orthogonal. Ang pinagmulan ng mga coordinate na may mga vector ay tinukoy ng isang coordinate grid, at anumang punto sa eroplano, ang anumang vector ay may mga coordinate sa isang ibinigay na batayan. Halimbawa, o. Ang halatang abala ay ang coordinate vectors V pangkalahatang kaso may iba't ibang haba maliban sa pagkakaisa. Kung ang mga haba ay katumbas ng pagkakaisa, kung gayon ang karaniwang orthonormal na batayan ay nakuha.

! Tandaan : sa orthogonal na batayan, pati na rin sa ibaba sa mga base ng affine ng eroplano at espasyo, ang mga yunit sa kahabaan ng mga palakol ay isinasaalang-alang KONDISYONAL. Halimbawa, ang isang yunit sa kahabaan ng x-axis ay naglalaman ng 4 cm, ang isang yunit sa kahabaan ng ordinate axis ay naglalaman ng 2 cm Ang impormasyong ito ay sapat upang, kung kinakailangan, i-convert ang "hindi pamantayan" na mga coordinate sa "aming karaniwang sentimetro".

At ang pangalawang tanong, na talagang nasagot na, ay kung ang anggulo sa pagitan ng mga batayang vector ay dapat na katumbas ng 90 degrees? Hindi! Tulad ng sinasabi ng kahulugan, ang mga batayan ng vector ay dapat non-collinear lang. Alinsunod dito, ang anggulo ay maaaring maging anuman maliban sa 0 at 180 degrees.

Isang punto sa eroplano ang tinawag pinagmulan, At hindi collinear mga vector, , itakda affine plane coordinate system :

Minsan tinatawag ang ganitong coordinate system pahilig sistema. Bilang mga halimbawa, ang pagguhit ay nagpapakita ng mga puntos at vectors:

Tulad ng naiintindihan mo, ang sistema ng affine coordinate ay hindi gaanong maginhawa sa mga pormula para sa mga haba ng mga vector at mga segment, na tinalakay namin sa ikalawang bahagi ng aralin, ay hindi gumagana dito; Mga vector para sa mga dummies, maraming masasarap na formula na may kaugnayan sa scalar na produkto ng mga vector. Ngunit ang mga patakaran para sa pagdaragdag ng mga vector at pagpaparami ng isang vector sa isang numero, mga formula para sa paghahati ng isang segment sa kaugnayang ito, pati na rin ang ilang iba pang mga uri ng mga problema na isasaalang-alang namin sa lalong madaling panahon ay wasto.

At ang konklusyon ay ang pinaka-maginhawang espesyal na kaso ng isang affine coordinate system ay ang Cartesian rectangular system. Iyon ang dahilan kung bakit madalas mo siyang makita, mahal ko. ...Gayunpaman, ang lahat sa buhay na ito ay kamag-anak - maraming mga sitwasyon kung saan ang isang pahilig na anggulo (o iba pa, halimbawa, polar) coordinate system. At maaaring gusto ng mga humanoid ang mga ganitong sistema =)

Lumipat tayo sa praktikal na bahagi. Ang lahat ng mga problema sa araling ito ay may bisa kapwa para sa rectangular coordinate system at para sa pangkalahatang affine case. Walang kumplikado dito; ang lahat ng materyal ay naa-access kahit na sa isang mag-aaral.

Paano matukoy ang collinearity ng mga vector ng eroplano?

Tipikal na bagay. Para sa dalawang plane vectors ay collinear, ito ay kinakailangan at sapat na ang kanilang kaukulang mga coordinate ay proporsyonal Sa esensya, ito ay isang coordinate-by-coordinate na nagdedetalye ng malinaw na relasyon.

Halimbawa 1

a) Suriin kung ang mga vector ay collinear .
b) Ang mga vectors ba ay bumubuo ng batayan? ?

Solusyon:
a) Alamin natin kung mayroong para sa mga vectors koepisyent ng proporsyonalidad, upang ang mga pagkakapantay-pantay ay nasiyahan:

Talagang sasabihin ko sa iyo ang tungkol sa "foppish" na uri ng aplikasyon ng panuntunang ito, na gumagana nang maayos sa pagsasanay. Ang ideya ay agad na gawin ang proporsyon at tingnan kung ito ay tama:

Gumawa tayo ng isang proporsyon mula sa mga ratio ng kaukulang mga coordinate ng mga vectors:

Paikliin natin:
, kaya ang kaukulang mga coordinate ay proporsyonal, samakatuwid,

Ang relasyon ay maaaring gawing kabaligtaran; ito ay isang katumbas na opsyon:

Para sa self-test, maaari mong gamitin ang katotohanan na ang mga collinear vector ay linearly na ipinahayag sa bawat isa. SA sa kasong ito may mga pagkakapantay-pantay . Ang kanilang validity ay madaling ma-verify sa pamamagitan ng elementary operations na may mga vectors:

b) Dalawang plane vector ang bumubuo ng batayan kung hindi sila collinear (linearly independent). Sinusuri namin ang mga vector para sa collinearity . Gumawa tayo ng system:

Mula sa unang equation ito ay sumusunod na , mula sa pangalawang equation ito ay sumusunod na , na nangangahulugan hindi pare-pareho ang sistema(walang solusyon). Kaya, ang kaukulang mga coordinate ng mga vectors ay hindi proporsyonal.

Konklusyon: ang mga vector ay linearly independent at bumubuo ng isang batayan.

Ang isang pinasimple na bersyon ng solusyon ay ganito ang hitsura:

Gumawa tayo ng isang proporsyon mula sa kaukulang mga coordinate ng mga vectors :
, na nangangahulugan na ang mga vector na ito ay linearly independent at bumubuo ng isang batayan.

Karaniwan, ang opsyong ito ay hindi tinatanggihan ng mga tagasuri, ngunit may problemang lumitaw sa mga kaso kung saan ang ilang mga coordinate ay katumbas ng zero. Ganito: . O tulad nito: . O tulad nito: . Paano magtrabaho sa pamamagitan ng proporsyon dito? (sa katunayan, hindi mo maaaring hatiin sa zero). Ito ay para sa kadahilanang ito na tinawag ko ang pinasimple na solusyon na "foppish".

Sagot: a) , b) anyo.

Isang maliit na malikhaing halimbawa para sa malayang desisyon:

Halimbawa 2

Sa anong halaga ng parameter ang mga vectors magiging collinear ba sila?

Sa sample na solusyon, ang parameter ay matatagpuan sa pamamagitan ng proporsyon.

Mayroong isang eleganteng algebraic na paraan upang suriin ang mga vectors para sa collinearity Let's systematize our knowledge and add it as the five point:

Para sa dalawang plane vector ang mga sumusunod na pahayag ay katumbas:

2) ang mga vector ay bumubuo ng isang batayan;
3) ang mga vector ay hindi collinear;

+ 5) ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito ay nonzero.

Ayon sa pagkakabanggit, ang mga sumusunod na kasalungat na pahayag ay katumbas:
1) ang mga vector ay linearly na umaasa;
2) ang mga vector ay hindi bumubuo ng isang batayan;
3) ang mga vector ay collinear;
4) ang mga vector ay maaaring linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng bawat isa;
+ 5) ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito ay katumbas ng zero.

Sana talaga sa sandaling ito naiintindihan mo na ang lahat ng mga termino at pahayag na iyong nararanasan.

Tingnan natin ang bago, ikalimang punto: dalawang vector ng eroplano ay collinear kung at kung ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng ibinigay na mga vector ay katumbas ng zero:. Para gamitin ng katangiang ito Natural, kailangan mong kayanin maghanap ng mga determinant.

Magdesisyon tayo Halimbawa 1 sa pangalawang paraan:

a) Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vectors :
, na nangangahulugan na ang mga vector na ito ay collinear.

b) Dalawang plane vector ang bumubuo ng batayan kung hindi sila collinear (linearly independent). Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng vector :
, na nangangahulugang ang mga vector ay linearly independent at bumubuo ng isang batayan.

Sagot: a) , b) anyo.

Mukhang mas compact at mas maganda kaysa sa isang solusyon na may mga proporsyon.

Sa tulong ng materyal na isinasaalang-alang, posible na maitatag hindi lamang ang collinearity ng mga vectors, kundi pati na rin upang patunayan ang parallelism ng mga segment at tuwid na linya. Isaalang-alang natin ang ilang problema sa mga partikular na geometric na hugis.

Halimbawa 3

Ang mga vertices ng isang quadrilateral ay ibinibigay. Patunayan na ang quadrilateral ay isang paralelogram.

Patunay: Hindi na kailangang gumawa ng guhit sa problema, dahil ang solusyon ay puro analytical. Tandaan natin ang kahulugan ng paralelogram:
Paralelogram Ang isang may apat na gilid na ang magkabilang panig ay parallel sa mga pares ay tinatawag na.

Kaya, ito ay kinakailangan upang patunayan:
1) paralelismo ng magkabilang panig at;
2) paralelismo ng magkabilang panig at.

Patunayan namin:

1) Hanapin ang mga vector:

2) Hanapin ang mga vector:

Ang resulta ay ang parehong vector ("ayon sa paaralan" - pantay na mga vector). Ang collinearity ay medyo halata, ngunit ito ay mas mahusay na gawing pormal ang desisyon nang malinaw, na may pag-aayos. Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng vector:
, na nangangahulugan na ang mga vector na ito ay collinear, at .

Konklusyon: Ang magkasalungat na gilid ng isang may apat na gilid ay magkapareho sa mga pares, na nangangahulugang ito ay isang paralelogram sa pamamagitan ng kahulugan. Q.E.D.

Higit pang mahusay at iba't ibang mga figure:

Halimbawa 4

Ang mga vertices ng isang quadrilateral ay ibinibigay. Patunayan na ang quadrilateral ay isang trapezoid.

Para sa isang mas mahigpit na pagbabalangkas ng patunay, ito ay mas mahusay, siyempre, upang makuha ang kahulugan ng isang trapezoid, ngunit ito ay sapat na upang matandaan lamang kung ano ang hitsura nito.

Ito ay isang gawain para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Kumpletong solusyon sa pagtatapos ng aralin.

At ngayon ay oras na upang dahan-dahang lumipat mula sa eroplano patungo sa kalawakan:

Paano matukoy ang collinearity ng space vectors?

Ang panuntunan ay halos magkatulad. Upang ang dalawang space vector ay maging collinear, kinakailangan at sapat na ang kanilang kaukulang mga coordinate ay proporsyonal..

Halimbawa 5

Alamin kung ang mga sumusunod na space vector ay collinear:

A);
b)
V)

Solusyon:
a) Suriin natin kung mayroong isang koepisyent ng proporsyonalidad para sa kaukulang mga coordinate ng mga vectors:

Ang sistema ay walang solusyon, na nangangahulugan na ang mga vector ay hindi collinear.

Ang "Simplified" ay ginawang pormal sa pamamagitan ng pagsuri sa proporsyon. Sa kasong ito:
– ang kaukulang mga coordinate ay hindi proporsyonal, na nangangahulugan na ang mga vector ay hindi collinear.

Sagot: ang mga vector ay hindi collinear.

b-c) Ito ay mga punto para sa malayang desisyon. Subukan ito sa dalawang paraan.

Mayroong isang paraan para sa pagsuri sa mga spatial vectors para sa collinearity sa pamamagitan ng third-order determinant, ang pamamaraang ito sakop sa artikulo Vector na produkto ng mga vector.

Katulad ng kaso ng eroplano, ang mga itinuturing na tool ay maaaring gamitin upang pag-aralan ang paralelismo ng mga spatial na segment at tuwid na linya.

Maligayang pagdating sa pangalawang seksyon:

Linear dependence at independence ng mga vectors sa three-dimensional na espasyo.
Spatial na batayan at affine coordinate system

Marami sa mga pattern na aming napagmasdan sa eroplano ay magiging wasto para sa espasyo. Sinubukan kong i-minimize ang theory notes kasi bahagi ng leon ngumunguya na ang impormasyon. Gayunpaman, inirerekumenda kong basahin mo nang mabuti ang panimulang bahagi, dahil lalabas ang mga bagong termino at konsepto.

Ngayon, sa halip na ang eroplano ng computer desk, ginalugad namin ang three-dimensional na espasyo. Una, gawin natin ang batayan nito. May nasa loob na ngayon, may nasa labas, ngunit sa anumang kaso, hindi natin matatakasan ang tatlong dimensyon: lapad, haba at taas. Samakatuwid, upang makabuo ng isang batayan, tatlong spatial vectors ang kakailanganin. Ang isa o dalawang vector ay hindi sapat, ang ikaapat ay labis.

At muli kaming nagpainit sa aming mga daliri. Mangyaring itaas ang iyong kamay at ikalat ito sa iba't ibang direksyon hinlalaki, index at hinlalato . Ang mga ito ay magiging mga vector, tumingin sila sa iba't ibang direksyon, may iba't ibang haba at may iba't ibang mga anggulo sa pagitan nila. Binabati kita, ang batayan ng tatlong-dimensional na espasyo ay handa na! Sa pamamagitan ng paraan, hindi na kailangang ipakita ito sa mga guro, kahit paano mo iikot ang iyong mga daliri, ngunit walang pagtakas sa mga kahulugan =)

Susunod, magtanong tayo mahalagang isyu, gawin ang anumang tatlong vectors na bumubuo ng isang batayan tatlong-dimensional na espasyo ? Mangyaring pindutin nang mahigpit ang tatlong daliri sa tuktok ng computer desk. Anong nangyari? Tatlong mga vector ang matatagpuan sa parehong eroplano, at, halos nagsasalita, nawala namin ang isa sa mga sukat - taas. Ang ganitong mga vector ay coplanar at, ito ay lubos na halata na ang batayan ng tatlong-dimensional na espasyo ay hindi nilikha.

Dapat pansinin na ang mga coplanar vectors ay hindi kailangang magsinungaling sa parehong eroplano, maaari silang magkatulad na mga eroplano (huwag lang gawin ito sa iyong mga daliri, si Salvador Dali lamang ang gumawa nito =)).

Kahulugan: tinatawag na mga vector coplanar, kung mayroong isang eroplano kung saan sila ay parallel. Ito ay lohikal na idagdag dito na kung ang naturang eroplano ay hindi umiiral, kung gayon ang mga vector ay hindi magiging coplanar.

Ang tatlong coplanar vector ay palaging nakadepende sa linear, iyon ay, ang mga ito ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng bawat isa. Para sa pagiging simple, muli nating isipin na nakahiga sila sa parehong eroplano. Una, ang mga vector ay hindi lamang coplanar, maaari rin silang maging collinear, kung gayon ang anumang vector ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng anumang vector. Sa pangalawang kaso, kung, halimbawa, ang mga vector ay hindi collinear, kung gayon ang ikatlong vector ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga ito sa isang natatanging paraan: (at bakit madaling hulaan mula sa mga materyales sa nakaraang seksyon).

Totoo rin ang kabaligtaran: tatlong non-coplanar vectors ay palaging linearly independent, ibig sabihin, hindi sila ipinahayag sa bawat isa. At, malinaw naman, ang gayong mga vector lamang ang maaaring maging batayan ng tatlong-dimensional na espasyo.

Kahulugan: Ang batayan ng tatlong-dimensional na espasyo ay tinatawag na triple ng linearly independent (non-coplanar) vectors, kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, at anumang vector ng espasyo ang tanging paraan ay decomposed sa isang naibigay na batayan, kung saan ay ang mga coordinate ng vector sa batayan na ito

Ipaalala ko sa iyo na maaari rin nating sabihin na ang vector ay kinakatawan sa form linear na kumbinasyon mga batayan ng vector.

Ang konsepto ng isang sistema ng coordinate ay ipinakilala sa eksaktong parehong paraan tulad ng para sa kaso ng eroplano; independiyenteng mga vector:

pinagmulan, At hindi koplanar mga vector, kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, itakda affine coordinate system ng three-dimensional na espasyo :

Siyempre, ang coordinate grid ay "pahilig" at hindi maginhawa, ngunit, gayunpaman, ang itinayong sistema ng coordinate ay nagpapahintulot sa amin tiyak tukuyin ang mga coordinate ng anumang vector at ang mga coordinate ng anumang punto sa espasyo. Katulad ng isang eroplano, ang ilang mga formula na nabanggit ko na ay hindi gagana sa affine coordinate system ng espasyo.

Ang pinakapamilyar at maginhawang espesyal na kaso ng isang affine coordinate system, gaya ng hula ng lahat, ay rectangular space coordinate system:

Isang punto sa espasyo na tinatawag pinagmulan, At orthonormal itinakda ang batayan Cartesian rectangular space coordinate system . Pamilyar na larawan:

Bago lumipat sa mga praktikal na gawain, muli nating i-systematize ang impormasyon:

Para sa tatlong space vector ang mga sumusunod na pahayag ay katumbas:
1) ang mga vector ay linearly independent;
2) ang mga vector ay bumubuo ng isang batayan;
3) ang mga vector ay hindi coplanar;
4) ang mga vector ay hindi maaaring linearly na ipahayag sa pamamagitan ng bawat isa;
5) ang determinant, na binubuo ng mga coordinate ng mga vectors na ito, ay iba sa zero.

Sa tingin ko ang kabaligtaran na mga pahayag ay naiintindihan.

Ang linear dependence/independence ng space vectors ay tradisyunal na sinusuri gamit ang determinant (punto 5). Natitira mga praktikal na gawain magkakaroon ng binibigkas na algebraic character. Oras na para ibaba ang geometry stick at gamitin ang baseball bat ng linear algebra:

Tatlong vector ng espasyo ay coplanar kung at kung ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng ibinigay na mga vector ay katumbas ng zero: .

Dinadala ko ang iyong pansin sa isang maliit teknikal na nuance: Ang mga coordinate ng mga vector ay maaaring isulat hindi lamang sa mga haligi, kundi pati na rin sa mga hilera (ang halaga ng determinant ay hindi magbabago mula dito - tingnan ang mga katangian ng mga determinant). Ngunit ito ay mas mahusay sa mga haligi, dahil ito ay mas kapaki-pakinabang para sa paglutas ng ilang mga praktikal na problema.

Para sa mga mambabasa na medyo nakalimutan ang mga paraan ng pagkalkula ng mga determinant, o marahil ay may kaunting pag-unawa sa mga ito, inirerekomenda ko ang isa sa aking mga pinakalumang aralin: Paano makalkula ang determinant?

Halimbawa 6

Suriin kung ang mga sumusunod na vector ay bumubuo ng batayan ng tatlong-dimensional na espasyo:

Solusyon: Sa katunayan, ang buong solusyon ay bumababa sa pagkalkula ng determinant.

a) Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga vector coordinates (ang determinant ay ipinahayag sa unang linya):

, na nangangahulugan na ang mga vector ay linearly independent (hindi coplanar) at bumubuo ng batayan ng three-dimensional na espasyo.

Sagot: ang mga vector na ito ay bumubuo ng isang batayan

b) Ito ay isang punto para sa independiyenteng desisyon. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Mayroon ding mga malikhaing gawain:

Halimbawa 7

Sa anong halaga ng parameter magiging coplanar ang mga vector?

Solusyon: Ang mga vector ay coplanar kung at kung ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito ay katumbas ng zero:

Mahalaga, kailangan mong lutasin ang isang equation na may determinant. Bumababa kami sa mga zero tulad ng mga saranggola sa jerboas - pinakamahusay na buksan ang determinant sa pangalawang linya at agad na alisin ang mga minus:

Nagsasagawa kami ng mga karagdagang pagpapasimple at binabawasan ang bagay sa pinakasimple linear equation:

Sagot: sa

Madaling suriin dito; upang gawin ito, kailangan mong palitan ang resultang halaga sa orihinal na determinant at tiyaking iyon , muling binuksan ito.

Sa konklusyon, tingnan natin ang isa pa tipikal na gawain, na mas algebraic sa kalikasan at tradisyonal na kasama sa kurso ng linear algebra. Ito ay karaniwan na nararapat sa sarili nitong paksa:

Patunayan na ang 3 vector ay bumubuo ng batayan ng three-dimensional na espasyo
at hanapin ang mga coordinate ng ika-4 na vector sa batayan na ito

Halimbawa 8

Ibinigay ang mga vector. Ipakita na ang mga vector ay bumubuo ng isang batayan sa tatlong-dimensional na espasyo at hanapin ang mga coordinate ng vector sa batayan na ito.

Solusyon: Una, harapin natin ang kundisyon. Sa pamamagitan ng kundisyon, apat na vector ang ibinibigay, at, tulad ng nakikita mo, mayroon na silang mga coordinate sa ilang batayan. Kung ano ang batayan na ito ay hindi interesado sa amin. At ang sumusunod na bagay ay interesado: tatlong vectors ay maaaring bumuo ng isang bagong batayan. At ang unang yugto ay ganap na nag-tutugma sa solusyon sa Halimbawa 6, kinakailangan upang suriin kung ang mga vector ay tunay na independyente:

Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng vector:

, na nangangahulugan na ang mga vector ay linearly independent at bumubuo ng batayan ng three-dimensional na espasyo.

! Mahalaga : mga coordinate ng vector Kailangan isulat sa mga hanay determinant, hindi sa mga string. Kung hindi, magkakaroon ng kalituhan sa karagdagang algorithm ng solusyon.

Ipinakilala sa amin mga linear na operasyon sa mga vector gawin itong posible upang lumikha ng iba't ibang mga expression para sa dami ng vector at baguhin ang mga ito gamit ang mga katangiang itinakda para sa mga operasyong ito.

Batay sa isang ibinigay na hanay ng mga vectors a 1, ..., a n, maaari kang lumikha ng isang expression ng form

kung saan ang isang 1, ..., at n ay mga arbitrary na tunay na numero. Ang ekspresyong ito ay tinatawag na linear na kumbinasyon ng mga vector isang 1, ..., isang n. Ang mga numerong α i, i = 1, n, ay kumakatawan linear na kumbinasyon coefficients. Ang isang hanay ng mga vector ay tinatawag din sistema ng mga vector.

Kaugnay ng ipinakilalang konsepto ng isang linear na kumbinasyon ng mga vector, ang problema ay lumitaw sa paglalarawan ng isang hanay ng mga vectors na maaaring isulat bilang isang linear na kumbinasyon ng isang naibigay na sistema ng mga vectors a 1, ..., a n. Bilang karagdagan, may mga natural na tanong tungkol sa mga kondisyon kung saan mayroong representasyon ng isang vector sa anyo ng isang linear na kumbinasyon, at tungkol sa pagiging natatangi ng naturang representasyon.

Kahulugan 2.1. Ang mga vectors a 1, ..., at n ay tinatawag Kahulugan., kung mayroong isang set ng coefficients α 1 , ... , α n tulad na

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

at hindi bababa sa isa sa mga coefficient na ito ay hindi zero. Kung ang tinukoy na hanay ng mga coefficient ay hindi umiiral, kung gayon ang mga vector ay tinatawag , kung hindi bababa sa isa sa mga coefficients x 1, ..., x n ay hindi katumbas ng zero..

Kung α 1 = ... = α n = 0, kung gayon, malinaw naman, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Sa pag-iisip na ito, masasabi natin ito: mga vectors a 1, ..., at Ang n ay linearly independent kung ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay (2.2) na ang lahat ng coefficients α 1 , ... , α n ay katumbas ng zero.

Ang sumusunod na theorem ay nagpapaliwanag kung bakit ang bagong konsepto ay tinatawag na terminong "dependence" (o "independence"), at nagbibigay ng isang simpleng criterion para sa linear dependence.

Teorama 2.1. Upang ang mga vectors a 1, ..., at n, n > 1, ay maging linearly dependent, kinakailangan at sapat na ang isa sa mga ito ay isang linear na kumbinasyon ng iba.

◄ Pangangailangan. Ipagpalagay natin na ang mga vectors a 1, ..., at n ay linearly dependent. Ayon sa Depinisyon 2.1 ng linear dependence, sa pagkakapantay-pantay (2.2) sa kaliwa ay mayroong kahit isang non-zero coefficient, halimbawa α 1. Iniiwan ang unang termino sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, ililipat namin ang natitira sa kanang bahagi, binabago ang kanilang mga palatandaan, gaya ng dati. Ang paghahati ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng α 1, nakukuha natin

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

mga. representasyon ng vector a 1 bilang isang linear na kumbinasyon ng natitirang mga vectors a 2, ..., a n.

Kasapatan. Hayaan, halimbawa, ang unang vector a 1 ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng mga natitirang vectors: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Ang paglilipat ng lahat ng mga termino mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa, makakakuha tayo ng 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, i.e. isang linear na kumbinasyon ng mga vectors a 1, ..., a n na may coefficients α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, katumbas ng zero vector. Sa linear na kumbinasyong ito, hindi lahat ng coefficient ay zero. Ayon sa Definition 2.1, ang mga vectors a 1, ..., at n ay linearly dependent.

Ang kahulugan at criterion para sa linear dependence ay binuo upang ipahiwatig ang pagkakaroon ng dalawa o higit pang mga vector. Gayunpaman, maaari rin nating pag-usapan ang tungkol sa isang linear na pag-asa ng isang vector. Upang mapagtanto ang posibilidad na ito, sa halip na "ang mga vector ay linearly dependent," kailangan mong sabihin na "ang sistema ng mga vectors ay linearly dependent." Madaling makita na ang expression na "isang sistema ng isang vector ay linearly dependent" ay nangangahulugan na ang solong vector na ito ay zero (sa isang linear na kumbinasyon ay mayroon lamang isang koepisyent, at hindi ito dapat katumbas ng zero).

Ang konsepto ng linear dependence ay may simpleng geometric na interpretasyon. Nililinaw ng sumusunod na tatlong pahayag ang interpretasyong ito.

Teorama 2.2. Ang dalawang vector ay linearly dependent kung at kung sila lang collinear.

◄ Kung ang mga vectors a at b ay linearly dependent, kung gayon ang isa sa mga ito, halimbawa a, ay ipinahayag sa pamamagitan ng isa, i.e. a = λb para sa ilang totoong numero λ. Ayon sa kahulugan 1.7 gumagana mga vector bawat numero, ang mga vectors a at b ay collinear.

Hayaan ngayon ang mga vectors a at b ay collinear. Kung pareho silang zero, malinaw na nakadepende sila sa linya, dahil ang anumang linear na kumbinasyon ng mga ito ay katumbas ng zero vector. Hayaan ang isa sa mga vector na ito ay hindi katumbas ng 0, halimbawa vector b. Tukuyin natin sa pamamagitan ng λ ang ratio ng mga haba ng vector: λ = |a|/|b|. Ang mga collinear vector ay maaaring unidirectional o salungat na direksyon. Sa huling kaso, binabago namin ang tanda ng λ. Pagkatapos, pagsuri sa Depinisyon 1.7, kami ay kumbinsido na a = λb. Ayon sa Theorem 2.1, ang mga vectors a at b ay linearly dependent.

Puna 2.1. Sa kaso ng dalawang vectors, na isinasaalang-alang ang criterion ng linear dependence, ang napatunayang theorem ay maaaring reformulated tulad ng sumusunod: dalawang vectors ay collinear kung at kung ang isa sa kanila ay kinakatawan bilang produkto ng isa sa pamamagitan ng isang numero. Ito ay isang maginhawang criterion para sa collinearity ng dalawang vectors.

Teorama 2.3. Tatlong vector ang linearly na umaasa kung at kung sila lang coplanar.

◄ Kung ang tatlong vectors a, b, c ay linearly dependent, kung gayon, ayon sa Theorem 2.1, isa sa mga ito, halimbawa a, ay isang linear na kumbinasyon ng iba pa: a = βb + γc. Pagsamahin natin ang mga pinagmulan ng mga vectors b at c sa punto A. Pagkatapos ang mga vectors βb, γс ay magkakaroon ng isang karaniwang pinagmulan sa punto A at kasama ayon sa paralelogram na tuntunin, ang kanilang kabuuan ay mga. Ang vector a ay magiging isang vector na may pinanggalingan A at wakas, na siyang vertex ng isang paralelogram na binuo sa mga component vector. Kaya, ang lahat ng mga vector ay namamalagi sa parehong eroplano, ibig sabihin, coplanar.

Hayaang maging coplanar ang mga vectors a, b, c. Kung ang isa sa mga vector na ito ay zero, kung gayon ay malinaw na ito ay magiging isang linear na kumbinasyon ng iba. Ito ay sapat na upang kunin ang lahat ng mga coefficient ng isang linear na kumbinasyon na katumbas ng zero. Samakatuwid, maaari nating ipagpalagay na ang lahat ng tatlong mga vector ay hindi zero. Magkatugma nagsimula ng mga vector na ito sa isang karaniwang punto O. Hayaang ang kanilang mga dulo ay mga puntos A, B, C, ayon sa pagkakabanggit (Larawan 2.1). Sa pamamagitan ng point C gumuhit kami ng mga linya na kahanay sa mga linya na dumadaan sa mga pares ng mga puntos na O, A at O, B. Ang pagtatalaga ng mga punto ng intersection bilang A" at B", nakakakuha kami ng parallelogram OA"CB", samakatuwid, OC" = OA" + OB". Vector OA" at ang di-zero na vector a = OA ay collinear, at samakatuwid ang una sa mga ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng pangalawa sa isang tunay na numero α:OA" = αOA. Katulad nito, OB" = βOB, β ∈ R. Bilang resulta, nakuha natin na ang OC" = α OA. + βOB, ibig sabihin, ang vector c ay isang linear na kumbinasyon ng mga vectors a at b. Ayon sa Theorem 2.1, ang mga vectors a, b, c ay linearly dependent.

Teorama 2.4. Anumang apat na vectors ay linearly dependent.

◄ Isinasagawa namin ang patunay ayon sa parehong pamamaraan tulad ng sa Theorem 2.3. Isaalang-alang ang arbitrary na apat na vectors a, b, c at d. Kung ang isa sa apat na vectors ay zero, o kasama ng mga ito ay mayroong dalawang collinear vectors, o tatlo sa apat na vectors ay coplanar, ang apat na vectors na ito ay linearly dependent. Halimbawa, kung ang mga vectors a at b ay collinear, maaari nating gawin ang kanilang linear na kumbinasyon na αa + βb = 0 na may mga non-zero coefficients, at pagkatapos ay idagdag ang natitirang dalawang vector sa kumbinasyong ito, na kumukuha ng mga zero bilang coefficient. Nakukuha namin ang isang linear na kumbinasyon ng apat na vector na katumbas ng 0, kung saan mayroong mga non-zero coefficient.

Kaya, maaari nating ipagpalagay na sa mga napiling apat na vector, walang mga vector ang zero, walang dalawa ang collinear, at walang tatlo ang coplanar. Piliin natin ang puntong O bilang kanilang karaniwang simula Pagkatapos ang mga dulo ng mga vectors a, b, c, d ay magiging ilang puntos A, B, C, D (Larawan 2.2). Sa pamamagitan ng punto D gumuhit kami ng tatlong eroplanong parallel sa mga eroplanong OBC, OCA, OAB, at hayaan ang A", B", C" na maging mga punto ng intersection ng mga eroplanong ito na may mga tuwid na linya na OA, OB, OS, ayon sa pagkakabanggit. parallelepiped OA" C "B" C" B"DA", at ang mga vectors a, b, c ay nakahiga sa mga gilid nito na lumalabas mula sa vertex O. Dahil ang quadrilateral OC"DC" ay isang parallelogram, kung gayon ang OD = OC" + OC " Sa turn, ang segment na OC" ay isang parallelogram na OA"C"B", kaya OC" = OA" + OB" at OD = OA" + OB" + OC" .

Nananatiling tandaan na ang mga pares ng mga vectors OA ≠ 0 at OA" , OB ≠ 0 at OB" , OC ≠ 0 at OC" ay collinear, at samakatuwid posible na piliin ang mga coefficient α, β, γ upang OA" = αOA , OB" = βOB at OC" = γOC. Sa wakas ay nakuha namin ang OD = αOA + βOB + γOC. Dahil dito, ang OD vector ay ipinahayag sa pamamagitan ng iba pang tatlong vectors, at lahat ng apat na vectors, ayon sa Theorem 2.1, ay linearly dependent.

Ang sistema ng vector ay tinatawag nakadepende sa linear, kung mayroong mga numero kung saan hindi bababa sa isa ang naiiba sa zero, upang ang pagkakapantay-pantay https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Kung ang pagkakapantay-pantay na ito ay nasiyahan lamang sa kaso kapag lahat , kung gayon ang sistema ng mga vector ay tinatawag linearly independent.

Teorama. Ang sistema ng vector ay nakadepende sa linear kung at kung hindi bababa sa isa sa mga vectors nito ay isang linear na kumbinasyon ng iba.

Halimbawa 1. Polinomyal ay isang linear na kumbinasyon ng mga polynomial https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Ang mga polynomial ay bumubuo ng isang linearly independent system, dahil ang polynomial https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Halimbawa 2. Ang matrix system, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> ay linearly independent, dahil ang isang linear na kumbinasyon ay katumbas ng zero matrix lamang sa kaso kapag https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> linearly dependent.

Solusyon.

Gumawa tayo ng linear na kumbinasyon ng mga vector na ito https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" taas=" 22">.

Pag-equate ng parehong mga coordinate ng pantay na mga vector, nakukuha namin ang https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Sa wakas nakuha namin

At

Ang sistema ay may isang natatanging trivial na solusyon, kaya ang isang linear na kumbinasyon ng mga vector na ito ay katumbas ng zero lamang sa kaso kapag ang lahat ng mga coefficient ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang sistemang ito ng mga vectors ay linearly independent.

Halimbawa 4. Ang mga vector ay linearly independent. Ano ang magiging hitsura ng mga vector system?

a).;

b).?

Solusyon.

a). Gumawa tayo ng linear na kumbinasyon at ipantay ito sa zero

Gamit ang mga katangian ng mga pagpapatakbo na may mga vector sa linear na espasyo, muling isinusulat namin ang huling pagkakapantay-pantay sa anyo

Dahil ang mga vector ay linearly independent, ang mga coefficient sa ay dapat na katumbas ng zero, ibig sabihin..gif" width="12" height="23 src=">

Ang nagresultang sistema ng mga equation ay may kakaibang walang kuwentang solusyon .

Dahil pagkakapantay-pantay (*) naisakatuparan lamang kapag https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linearly independent;

b). Gumawa tayo ng pagkakapantay-pantay https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Paglalapat ng katulad na pangangatwiran, nakukuha namin

Ang paglutas ng sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss, nakuha namin

o

Ang huling sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Kaya, mayroong hindi- zero set ng coefficients kung saan mayroong pagkakapantay-pantay (**) . Samakatuwid, ang sistema ng mga vectors – nakadepende sa linear.

Halimbawa 5 Ang sistema ng mga vector ay linearly independent, at ang isang sistema ng mga vector ay linearly dependent..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Sa pagkakapantay-pantay (***) . Sa katunayan, sa , ang system ay magiging linearly dependent.

Mula sa relasyon (***) nakukuha namin o Tukuyin natin .

Nakukuha namin

Mga problema para sa independiyenteng solusyon (sa silid-aralan)

1. Ang isang sistemang naglalaman ng zero vector ay linearly dependent.

2. System na binubuo ng isang vector A, ay linearly dependent kung at kung, a=0.

3. Ang isang sistemang binubuo ng dalawang vectors ay linearly dependent kung at kung proporsyonal lang ang mga vectors (iyon ay, ang isa sa mga ito ay nakukuha mula sa isa sa pamamagitan ng pagpaparami ng numero).

4. Kung nagdagdag ka ng vector sa isang linearly dependent system, makakakuha ka ng linearly dependent system.

5. Kung ang isang vector ay tinanggal mula sa isang linearly independent system, ang resultang sistema ng mga vectors ay linearly independent.

6. Kung ang sistema S ay linearly independent, ngunit nagiging linearly dependent kapag nagdadagdag ng vector b, pagkatapos ay ang vector b linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng system vectors S.

c). System of matrices , , sa espasyo ng second-order matrices.

10. Hayaan ang sistema ng mga vectors a,b,c Ang vector space ay linearly independent. Patunayan ang linear na kalayaan ang mga sumusunod na sistema mga vector:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– arbitrary na numero

c).a+b, a+c, b+c.

11. Hayaan a,b,c– tatlong vector sa eroplano kung saan maaaring mabuo ang isang tatsulok. Magiging linearly dependent ba ang mga vector na ito?

12. Dalawang vector ang ibinigay a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Maghanap ng dalawa pang four-dimensional na vector a3 ata4 upang ang sistema a1,a2,a3,a4 ay linearly independent .