Ang direktang pagbibilang ng mga kaso na pumapabor sa isang partikular na kaganapan ay maaaring mahirap. Samakatuwid, upang matukoy ang posibilidad ng isang kaganapan, maaaring maging kapaki-pakinabang na isipin ang kaganapang ito bilang kumbinasyon ng ilang iba pang mas simpleng mga kaganapan. Sa kasong ito, gayunpaman, kailangan mong malaman ang mga patakaran na namamahala sa mga probabilidad sa mga kumbinasyon ng mga kaganapan. Sa mga tuntuning ito ang mga teorema na binanggit sa pamagat ng talata ay nauugnay.
Ang una sa mga ito ay nauugnay sa pagkalkula ng posibilidad na hindi bababa sa isa sa ilang mga kaganapan ang magaganap.
Pagdaragdag ng teorama.
Hayaang ang A at B ay dalawang hindi magkatugmang pangyayari. Kung gayon ang posibilidad na mangyari man lang ang isa sa dalawang kaganapang ito ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga probabilidad:
Patunay. Hayaan ang isang kumpletong pangkat ng magkapares na hindi tugmang mga kaganapan. Kung gayon sa mga elementarya na kaganapang ito ay may eksaktong mga kaganapang paborable sa A at eksaktong mga kaganapang paborable sa B. Dahil ang mga kaganapan A at B ay hindi magkatugma, kung gayon walang kaganapan ang maaaring pabor sa parehong mga kaganapang ito. Ang isang kaganapan (A o B), na binubuo sa paglitaw ng hindi bababa sa isa sa dalawang kaganapang ito, ay malinaw na pinapaboran ng bawat isa sa mga kaganapang pumapabor sa A at bawat isa sa mga kaganapan.
Paborable B. Samakatuwid, ang kabuuang bilang ng mga kaganapang paborable sa kaganapan (A o B) ay katumbas ng kabuuan na sumusunod:
Q.E.D.
Madaling makita na ang karagdagan theorem na binuo sa itaas para sa kaso ng dalawang kaganapan ay madaling mailipat sa kaso ng anumang may hangganang bilang ng mga ito. Eksakto kung mayroong magkapares na hindi tugmang mga kaganapan, kung gayon
Para sa kaso ng tatlong mga kaganapan, halimbawa, ang isa ay maaaring magsulat
Ang isang mahalagang kahihinatnan ng teorem ng karagdagan ay ang pahayag: kung ang mga kaganapan ay magkapares na hindi magkatugma at natatanging posible, kung gayon
Sa katunayan, ang kaganapan ay alinman o o ay sa pamamagitan ng pagpapalagay na tiyak at ang posibilidad nito, tulad ng ipinahiwatig sa § 1, ay katumbas ng isa. Sa partikular, kung ang ibig nilang sabihin ay dalawang magkasalungat na kaganapan, kung gayon
Ilarawan natin ang addition theorem na may mga halimbawa.
Halimbawa 1. Kapag bumaril sa isang target, ang posibilidad na makagawa ng mahusay na pagbaril ay 0.3, at ang posibilidad na gumawa ng "mahusay" na pagbaril ay 0.4. Ano ang posibilidad na makakuha ng marka ng hindi bababa sa "mahusay" para sa isang shot?
Solusyon. Kung ang kaganapan A ay nangangahulugan ng pagtanggap ng isang "mahusay" na rating, at ang kaganapan B ay nangangahulugan ng pagtanggap ng isang "mahusay" na rating, kung gayon
Halimbawa 2. Sa isang urn na naglalaman ng mga puti, pula at itim na bola, may mga puting bola at I pulang bola. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng bola na hindi itim?
Solusyon. Kung ang kaganapan A ay binubuo ng hitsura ng isang puting bola, at ang kaganapan B ay binubuo ng isang pulang bola, kung gayon ang hitsura ng bola ay hindi itim
nangangahulugang ang hitsura ng alinman sa puti o pulang bola. Dahil sa pamamagitan ng kahulugan ng posibilidad
pagkatapos, sa pamamagitan ng karagdagan theorem, ang posibilidad ng isang di-itim na bola na lumilitaw ay pantay;
Ang problemang ito ay maaaring malutas sa ganitong paraan. Hayaan ang kaganapan C na binubuo sa hitsura ng isang itim na bola. Ang bilang ng mga itim na bola ay pantay-pantay upang ang P (C) Ang hitsura ng isang di-itim na bola ay ang kabaligtaran ng kaganapan ng C, samakatuwid, batay sa itaas na corollary mula sa karagdagan theorem, mayroon tayong:
gaya ng dati.
Halimbawa 3. Sa isang cash-material lottery, para sa isang serye ng 1000 na mga tiket mayroong 120 cash at 80 materyal na panalo. Ano ang posibilidad na manalo ng anuman sa isang tiket sa lottery?
Solusyon. Kung tinukoy natin sa pamamagitan ng A ang isang kaganapan na binubuo ng isang pakinabang sa pananalapi at sa pamamagitan ng B ng isang materyal na pakinabang, pagkatapos ay mula sa kahulugan ng posibilidad na ito ay sumusunod.
Ang kaganapan ng interes sa amin ay kinakatawan ng (A o B), samakatuwid ito ay sumusunod mula sa karagdagan theorem
Kaya, ang posibilidad ng anumang panalo ay 0.2.
Bago lumipat sa susunod na teorama, kinakailangan na maging pamilyar sa isang bagong mahalagang konsepto - ang konsepto ng conditional probability. Para sa layuning ito, magsisimula tayo sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa sumusunod na halimbawa.
Ipagpalagay na mayroong 400 na bombilya sa isang bodega, na ginawa sa dalawang magkaibang pabrika, at ang una ay gumagawa ng 75% ng lahat ng mga bombilya, at ang pangalawa - 25%. Ipagpalagay natin na sa mga ilaw na bombilya na ginawa ng unang halaman, 83% ang nakakatugon sa mga kondisyon ng isang tiyak na pamantayan, at para sa mga produkto ng pangalawang halaman ang porsyentong ito ay 63. Alamin natin ang posibilidad na ang isang bombilya ay random na kinuha mula sa bodega ay masisiyahan ang mga kondisyon ng pamantayan.
Tandaan na ang kabuuang bilang ng karaniwang mga bumbilya na magagamit ay binubuo ng mga bumbilya na ginawa ng una
pabrika, at 63 bombilya na ginawa ng pangalawang planta, iyon ay, katumbas ng 312. Dahil ang pagpili ng anumang bombilya ay dapat isaalang-alang na pantay na posible, mayroon kaming 312 paborableng mga kaso sa 400, kaya
kung saan ang kaganapan B ay ang ilaw na bombilya na napili namin ay pamantayan.
Sa panahon ng pagkalkula na ito, walang mga pagpapalagay na ginawa tungkol sa produkto kung saan planta ang ilaw na bombilya na napili namin ay pag-aari. Kung gumawa kami ng anumang mga pagpapalagay ng ganitong uri, malinaw na ang posibilidad na interesado kami ay maaaring magbago. Kaya, halimbawa, kung alam na ang napiling bombilya ay ginawa sa unang halaman (kaganapan A), kung gayon ang posibilidad na ito ay pamantayan ay hindi na 0.78, ngunit 0.83.
Ang ganitong uri ng posibilidad, iyon ay, ang posibilidad ng kaganapan B na ibinigay na ang kaganapan A ay nangyari, ay tinatawag na kondisyon na posibilidad ng kaganapan B na ibinigay ang paglitaw ng kaganapan A at ay denoted
Kung sa nakaraang halimbawa ay tinutukoy namin sa pamamagitan ng A ang kaganapan na ang napiling bombilya ay ginawa sa unang halaman, pagkatapos ay maaari naming isulat
Ngayon ay maaari tayong magbalangkas ng isang mahalagang teorama na may kaugnayan sa pagkalkula ng posibilidad ng pagsasama-sama ng mga kaganapan.
Teorama ng pagpaparami.
Ang posibilidad ng pagsasama-sama ng mga kaganapan A at B ay katumbas ng produkto ng posibilidad ng isa sa mga kaganapan at ang kondisyon na posibilidad ng isa pa, sa pag-aakalang naganap ang una:
Sa kasong ito, ang kumbinasyon ng mga kaganapan A at B ay nangangahulugang ang paglitaw ng bawat isa sa kanila, iyon ay, ang paglitaw ng parehong kaganapan A at kaganapan B.
Patunay. Isaalang-alang natin ang isang kumpletong pangkat ng magkaparehong posibleng magkapares na hindi magkatugma na mga kaganapan, na ang bawat isa ay maaaring maging paborable o hindi paborable para sa parehong kaganapan A at kaganapan B.
Hatiin natin ang lahat ng mga kaganapang ito sa apat iba't ibang grupo sa sumusunod na paraan. Kasama sa unang pangkat ang mga kaganapang pumapabor sa parehong kaganapan A at kaganapan B; Ang pangalawa at pangatlong grupo ay kinabibilangan ng mga kaganapang pumapabor sa isa sa dalawang kaganapang kinaiinteresan natin at hindi pumapabor sa isa pa, halimbawa, ang pangalawang pangkat ay kinabibilangan ng mga pumapabor sa A ngunit hindi pumapabor sa B, at ang ikatlong pangkat ay kinabibilangan ng mga pabor sa B ngunit huwag pabor kay A; sa wakas sa
Kasama sa ikaapat na grupo ang mga kaganapang hindi pabor sa A o B.
Dahil ang pagbilang ng mga kaganapan ay hindi mahalaga, maaari nating ipagpalagay na ang dibisyong ito sa apat na grupo ay ganito ang hitsura:
Pangkat I:
Pangkat II:
IV pangkat:
Kaya, sa pantay na posible at magkapares na hindi magkatugma na mga kaganapan, may mga kaganapan na pumapabor sa parehong kaganapan A at kaganapan B, mga kaganapan na pumapabor sa kaganapan A, ngunit hindi pumapabor sa kaganapan A, mga kaganapan na pumapabor sa B, ngunit hindi pumapabor sa A, at, sa wakas, mga pangyayaring hindi pumapabor sa A o B.
Tandaan natin, sa pamamagitan ng paraan, na alinman sa apat na pangkat na aming napag-isipan (at higit pa sa isa) ay maaaring hindi naglalaman ng isang kaganapan. Sa kasong ito, ang katumbas na numero na nagsasaad ng bilang ng mga kaganapan sa naturang pangkat ay magiging katumbas ng zero.
Ang aming paghahati-hati sa mga pangkat ay nagbibigay-daan sa iyo na agad na magsulat
dahil ang kumbinasyon ng mga pangyayaring A at B ay pinapaboran ng mga pangyayari sa unang pangkat at sa kanila lamang. Ang kabuuang bilang ng mga kaganapang pumapabor sa A ay katumbas ng kabuuang bilang ng mga kaganapan sa una at ikalawang pangkat, at ang mga pumapabor sa B ay katumbas ng kabuuang bilang ng mga kaganapan sa una at ikatlong pangkat.
Kalkulahin natin ngayon ang posibilidad, iyon ay, ang posibilidad ng kaganapan B, sa kondisyon na ang kaganapan A ay naganap. Ngayon ang mga kaganapang kasama sa ikatlo at ikaapat na grupo ay nawawala, dahil ang kanilang hitsura ay sasalungat sa paglitaw ng kaganapan A, at ang bilang posibleng mga kaso lumalabas na hindi na pantay. Sa mga ito, ang kaganapan B ay pinapaboran lamang ng mga kaganapan ng unang pangkat, kaya't makuha natin ang:
Upang patunayan ang teorama, sapat na ngayon na isulat ang malinaw na pagkakakilanlan:
at palitan ang lahat ng tatlong fraction ng mga probabilidad na kinakalkula sa itaas. Dumating tayo sa pagkakapantay-pantay na nakasaad sa theorem:
Malinaw na ang pagkakakilanlan na isinulat namin sa itaas ay may katuturan lamang kung ito ay palaging totoo, maliban kung ang A ay isang imposibleng kaganapan.
Dahil ang mga kaganapan A at B ay pantay, kung gayon, sa pamamagitan ng pagpapalit sa kanila, nakakakuha tayo ng isa pang anyo ng multiplication theorem:
Gayunpaman, ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring makuha sa parehong paraan tulad ng nauna, kung mapapansin mo na gamit ang pagkakakilanlan
Ang paghahambing sa kanang bahagi ng dalawang expression para sa probabilidad na P(A at B), nakakakuha tayo ng kapaki-pakinabang na pagkakapantay-pantay:
Isaalang-alang natin ngayon ang mga halimbawa na naglalarawan ng multiplication theorem.
Halimbawa 4. Sa mga produkto ng isang partikular na negosyo, 96% ng mga produkto ay itinuturing na angkop (kaganapan A). 75 mga produkto mula sa bawat daang angkop na mga produkto ay nabibilang sa unang baitang (kaganapan B). Tukuyin ang posibilidad na ang isang random na napiling produkto ay magiging angkop at kabilang sa unang baitang.
Solusyon. Ang nais na posibilidad ay ang posibilidad ng pagsasama-sama ng mga kaganapan A at B. Sa kondisyon mayroon tayong: . Samakatuwid ang multiplication theorem ay nagbibigay
Halimbawa 5. Ang posibilidad na matamaan ang target sa isang shot (kaganapan A) ay 0.2. Ano ang posibilidad na matamaan ang target kung 2% ng mga piyus ay nabigo (i.e., sa 2% ng mga kaso ang shot ay hindi
Solusyon. Hayaan ang kaganapan B na ang isang pagbaril ay magaganap, at hayaang B ang ibig sabihin ng kabaligtaran na kaganapan. Pagkatapos ay sa pamamagitan ng kondisyon at ayon sa corollary ng addition theorem. Dagdag pa, ayon sa kondisyon.
Ang pagpindot sa target ay nangangahulugan ng kumbinasyon ng mga kaganapan A at B (ang pagbaril ay magpapaputok at tumama), samakatuwid, ayon sa multiplication theorem
Mahalaga espesyal na kaso Ang multiplication theorems ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paggamit ng konsepto ng pagsasarili ng mga pangyayari.
Ang dalawang kaganapan ay tinatawag na independyente kung ang posibilidad ng isa sa mga ito ay hindi nagbabago bilang isang resulta kung ang isa ay nangyayari o hindi nangyayari.
Ang mga halimbawa ng mga malayang kaganapan ay dropout iba't ibang numero mga puntos kapag muling naghagis ng dice o isa o ibang bahagi ng mga barya kapag muling naghagis ng barya, dahil malinaw na ang posibilidad na mahulog ang isang sandata sa ikalawang paghagis ay pantay-pantay kahit na nahulog man ang coat of arms o hindi sa una.
Katulad nito, ang posibilidad ng pagguhit ng isang puting bola sa pangalawang pagkakataon mula sa isang urn na naglalaman ng mga puti at itim na bola kung ang unang bola na iginuhit ay naibalik dati ay hindi nakasalalay sa kung ang bola ay nabunot sa unang pagkakataon, puti o itim. Samakatuwid, ang mga resulta ng una at pangalawang pag-alis ay independyente sa bawat isa. Sa kabaligtaran, kung ang bola na kinuha muna ay hindi bumalik sa urn, kung gayon ang resulta ng pangalawang pag-alis ay nakasalalay sa una, dahil ang komposisyon ng mga bola sa urn pagkatapos ng unang pag-alis ay nagbabago depende sa kinalabasan nito. Narito mayroon kaming isang halimbawa ng mga umaasa na kaganapan.
Gamit ang notasyon na pinagtibay para sa mga probabilidad na may kondisyon, maaari nating isulat ang kundisyon para sa kalayaan ng mga kaganapan A at B sa anyo
Gamit ang mga pagkakapantay-pantay na ito, maaari nating bawasan ang multiplication theorem para sa mga independiyenteng kaganapan sa sumusunod na anyo.
Kung ang mga kaganapan A at B ay independyente, kung gayon ang posibilidad ng kanilang kumbinasyon ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito:
Sa katunayan, ito ay sapat na upang ilagay sa paunang pagpapahayag ng multiplication theorem, na sumusunod mula sa pagsasarili ng mga kaganapan, at makukuha natin ang kinakailangang pagkakapantay-pantay.
Isaalang-alang natin ngayon ang ilang mga kaganapan: Tatawagin natin ang mga ito nang sama-samang independyente kung ang posibilidad ng paglitaw ng alinman sa mga ito ay hindi nakasalalay sa kung ang anumang iba pang mga kaganapan na isinasaalang-alang ay naganap o hindi.
Sa kaso ng mga kaganapan na sama-samang independiyente, ang multiplication theorem ay maaaring palawigin sa anumang may hangganang bilang ng mga ito, upang ito ay mabuo tulad ng sumusunod:
Ang posibilidad ng pagsasama-sama ng mga independiyenteng kaganapan sa pinagsama-samang ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito:
Halimbawa 6. Ang isang manggagawa ay nagseserbisyo ng tatlong awtomatikong makina, bawat isa ay dapat lapitan upang itama ang isang malfunction kung ang makina ay huminto. Ang posibilidad na ang unang makina ay hindi titigil sa loob ng isang oras ay 0.9. Ang parehong posibilidad para sa pangalawang makina ay 0.8 at para sa pangatlo - 0.7. Tukuyin ang posibilidad na sa loob ng isang oras ang manggagawa ay hindi na kailangang lumapit sa alinman sa mga makina na kanyang sineserbisyuhan.
Halimbawa 7. Probabilidad na mabaril ang isang eroplano gamit ang isang putok ng rifle Ano ang posibilidad na masira ang isang eroplano ng kaaway kung ang 250 rifle ay pinaputok ng sabay?
Solusyon. Ang posibilidad na ang eroplano ay hindi mabaril ng isang shot ay katumbas ng addition theorem. Pagkatapos ay maaari nating kalkulahin, gamit ang multiplication theorem, ang posibilidad na ang eroplano ay hindi mabaril ng may 250 shot, bilang ang posibilidad ng pagsasama mga pangyayari. Katumbas ito ng Pagkatapos nito, muli nating magagamit ang addition theorem at hanapin ang posibilidad na ang eroplano ay mabaril bilang probabilidad ng kabaligtaran na kaganapan.
Mula dito makikita na, kahit na ang posibilidad na mabaril ang isang eroplano na may isang pagbaril ng rifle ay bale-wala, gayunpaman, kapag nagpaputok mula sa 250 rifle, ang posibilidad ng pagbaril sa isang eroplano ay kapansin-pansin na. Ito ay tumataas nang malaki kung ang bilang ng mga riple ay tumaas. Kaya, kapag bumaril mula sa 500 rifle, ang posibilidad ng pagbaril sa isang eroplano, na madaling kalkulahin, ay katumbas ng kapag bumaril mula sa 1000 rifle - kahit na.
Ang multiplication theorem na pinatunayan sa itaas ay nagpapahintulot sa amin na medyo palawakin ang addition theorem, pagpapalawak nito sa kaso ng magkatugmang mga kaganapan. Malinaw na kung magkatugma ang mga kaganapan A at B, kung gayon ang posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga ito ay hindi katumbas ng kabuuan ng kanilang mga probabilidad. Halimbawa, kung ang event A ay nangangahulugan ng even number
ang bilang ng mga puntos kapag naghahagis ng die, at ang kaganapan B ay ang pagkawala ng isang bilang ng mga puntos na isang multiple ng tatlo, pagkatapos ang kaganapan (A o B) ay pinapaboran ng pagkawala ng 2, 3, 4 at 6 na puntos, yan ay
Sa kabilang banda, iyon ay. Kaya sa kasong ito
Mula dito ay malinaw na sa kaso ng mga katugmang kaganapan ang teorama ng pagdaragdag ng mga probabilidad ay dapat baguhin. Tulad ng makikita natin ngayon, maaari itong mabalangkas sa paraang ito ay wasto para sa parehong magkatugma at hindi magkatugma na mga kaganapan, upang ang dating itinuturing na teorama ng karagdagan ay lumabas na isang espesyal na kaso ng bago.
Mga kaganapang hindi pabor sa A.
Ang lahat ng elementarya na kaganapan na pumapabor sa isang kaganapan (A o B) ay dapat pumabor sa alinman lamang sa A, o B lamang, o parehong A at B. Kaya, ang kabuuang bilang ng mga naturang kaganapan ay katumbas ng
at ang posibilidad
Q.E.D.
Ang paglalapat ng formula (9) sa halimbawa sa itaas ng bilang ng mga puntos na lumilitaw kapag naghahagis ng dice, nakukuha namin ang:
na kasabay ng resulta ng direktang pagkalkula.
Malinaw, ang formula (1) ay isang espesyal na kaso ng (9). Sa katunayan, kung ang mga kaganapan A at B ay hindi magkatugma, kung gayon ang posibilidad ng kumbinasyon
Halimbawa. Dalawang piyus ay konektado sa serye sa electrical circuit. Ang posibilidad ng pagkabigo ng unang fuse ay 0.6, at ang pangalawa ay 0.2. Alamin natin ang posibilidad ng pagkawala ng kuryente bilang resulta ng pagkabigo ng kahit isa sa mga piyus na ito.
Solusyon. Dahil ang mga kaganapan A at B, na binubuo ng pagkabigo ng una at pangalawa ng mga piyus, ay magkatugma, ang kinakailangang probabilidad ay matutukoy ng formula (9):
Mga ehersisyo
Ang konsepto ng isang kaganapan at ang posibilidad ng isang kaganapan. Maaasahan at imposibleng mga kaganapan. Klasikong kahulugan ng posibilidad. Probability addition theorem. Probability multiplication theorem. Paglutas ng pinakasimpleng mga problema sa pagtukoy ng posibilidad gamit ang pagdaragdag ng mga probabilidad.
Mga patnubay para sa paksa 3.1:
Ang konsepto ng isang kaganapan at ang posibilidad ng isang kaganapan. Maaasahan at imposibleng mga kaganapan. Klasikong kahulugan ng mga probabilidad:
Ang pag-aaral ng bawat kababalaghan sa pagkakasunud-sunod ng pagmamasid o eksperimento ay nauugnay sa pagpapatupad ng isang tiyak na hanay ng mga kondisyon (mga pagsubok). Ang bawat resulta o kinalabasan ng pagsusulit ay tinatawag kaganapan.
Kung ang isang kaganapan sa ilalim ng mga ibinigay na kondisyon ay maaaring mangyari o hindi mangyari, kung gayon ito ay tinatawag random. Kapag ang isang kaganapan ay tiyak na mangyayari, ito ay tinatawag maaasahan, at sa kaso kung kailan malinaw na hindi ito mangyayari, - imposible.
Tinatawag ang mga pangyayari hindi magkatugma, kung isa lang sa kanila ang posibleng lumitaw sa bawat pagkakataon. Tinatawag ang mga pangyayari pinagsamang, kung, sa ilalim ng mga ibinigay na kundisyon, ang paglitaw ng isa sa mga kaganapang ito ay hindi ibinubukod ang paglitaw ng isa pa sa panahon ng parehong pagsubok.
Tinatawag ang mga pangyayari kabaligtaran, kung sa ilalim ng mga kondisyon ng pagsubok sila, bilang mga resulta lamang nito, ay hindi magkatugma.
Ang posibilidad ng isang kaganapan ay isinasaalang-alang bilang isang sukatan ng layunin na posibilidad ng paglitaw ng isang random na kaganapan.
Probability Ang mga kaganapan ay tinatawag na ratio ng bilang ng mga kinalabasan m, paborable para sa paglitaw ng isang naibigay na kaganapan, sa bilang n ng lahat ng mga kinalabasan (hindi tugma, posible lamang at pantay na posible), i.e.
Ang posibilidad ng anumang kaganapan ay hindi maaaring mas mababa sa zero at mas malaki sa isa, i.e. . Ang isang imposibleng kaganapan ay tumutugma sa isang posibilidad, at isang maaasahang kaganapan ay tumutugma sa isang posibilidad
Halimbawa 1. Sa lottery ng 1000 na tiket, mayroong 200 nanalo. Ang isang tiket ay kinuha nang random. Ano ang posibilidad na ang tiket na ito ay isang panalo?
Ang kabuuang bilang ng iba't ibang resulta ay n= 1000. Ang bilang ng mga resultang paborable sa pagkapanalo ay m= 200. Ayon sa formula, nakukuha natin ang .
Halimbawa 2. Ang isang bola ay nakuha mula sa isang urn na naglalaman ng 5 puti at 3 itim na bola. Hanapin ang posibilidad na ang bola ay itim.
Tukuyin natin ang kaganapang binubuo ng hitsura ng isang itim na bola ni . Kabuuang bilang ng mga kaso. Bilang ng mga kaso m, kanais-nais para sa paglitaw ng kaganapan, ay katumbas ng 3. Gamit ang formula, nakukuha namin ang .
Halimbawa 3. Mula sa isang urn na naglalaman ng 12 puti at 8 itim na bola, dalawang bola ang iginuhit nang random. Ano ang posibilidad na ang parehong bola ay itim?
Tukuyin natin ang kaganapang binubuo ng paglitaw ng dalawang itim na bola sa pamamagitan ng . Kabuuang bilang ng mga posibleng kaso n katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon ng 20 elemento (12 + 8) ng dalawa:
Bilang ng mga kaso m, pabor sa kaganapan, ay
Gamit ang formula, nakita namin ang posibilidad ng paglitaw ng dalawang itim na bola:
Probability addition theorem. Paglutas ng pinakasimpleng mga problema sa pagtukoy ng posibilidad gamit ang probability addition theorem:
Theorem para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan. Ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa ilang magkapares na hindi magkatugma na mga kaganapan, kahit alin, ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito:
Theorem para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng magkasanib na mga kaganapan. Ang posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa dalawang magkasanib na kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito nang walang posibilidad ng kanilang magkasanib na pangyayari:
Halimbawa 4. Mayroong 20 bahagi na nakaayos sa isang random na pagkakasunud-sunod sa isang kahon, lima sa mga ito ay pamantayan. Ang isang manggagawa ay kumukuha ng tatlong bahagi nang random. Hanapin ang posibilidad na kahit isa sa mga napiling bahagi ay magiging pamantayan.
Malinaw, hindi bababa sa isa sa mga bahaging kinuha ay magiging pamantayan kung ang alinman sa tatlong hindi magkatugma na mga kaganapan ay magaganap: B- isang bahagi ay pamantayan, dalawa ay hindi pamantayan; C- dalawang karaniwang bahagi, isang hindi pamantayan at D- tatlong bahagi ang pamantayan.
Kaya ang kaganapan A ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng tatlong kaganapang ito: A = B + C + D. Sa pamamagitan ng karagdagan teorama na mayroon kami P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Hanapin ang posibilidad ng bawat isa sa mga kaganapang ito:
Ang pagdaragdag ng mga nahanap na halaga, nakukuha namin 
Halimbawa 5. Hanapin ang posibilidad na ang isang random na kinuha dalawang-digit na numero ay magiging isang multiple ng alinman sa 3 o 5, o pareho.
Hayaan A- isang kaganapan na binubuo sa katotohanan na ang isang random na piniling numero ay isang multiple ng 3, at B- ito ba ay multiple ng 5. Hanapin natin Since A At B magkasanib na mga kaganapan, pagkatapos ay ginagamit namin ang formula:
Mayroong kabuuang 90 dalawang-digit na numero: 10, 11, 98, 99. Sa mga ito, 30 ay multiple ng 3 (pabor sa paglitaw ng kaganapan A); 18 - multiple ng 5 (paboran ang paglitaw ng isang kaganapan B) at 6 - mga multiple ng 3 at 5 sa parehong oras (paboran ang paglitaw ng kaganapan AB). Kaya, i.e.
Probability multiplication theorem:
Theorem para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga malayang kaganapan. Ang posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng dalawang independiyenteng kaganapan ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito:
Ang posibilidad ng paglitaw ng ilang mga kaganapan na independiyente sa pinagsama-samang ay kinakalkula ng formula:
Theorem para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng umaasa na mga kaganapan. Ang posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng dalawang umaasa na mga kaganapan ay katumbas ng produkto ng isa sa mga ito at ang kondisyon na posibilidad ng pangalawa:
Halimbawa 6. Ang isang urn ay naglalaman ng 4 na puti at 8 itim na bola, ang isa ay naglalaman ng 3 puti at 9 na itim na bola. Isang bola ang kinuha sa bawat urn. Hanapin ang posibilidad na ang parehong mga bola ay puti.
Hayaan ang hitsura ng isang puting bola mula sa unang urn, at hayaan ang hitsura ng isang puting bola mula sa pangalawang urn. Obvious naman na independent ang mga pangyayari. Hahanapin natin
Gamit ang formula na nakukuha natin:
Mga tanong sa sariling pagsusulit sa paksa 3.1:
1. Ano ang isang kaganapan?
2. Anong mga pangyayari ang tinatawag na maaasahan?
3. Anong mga pangyayari ang tinatawag na imposible?
4. Tukuyin ang posibilidad.
5. Bumuo ng theorem para sa pagdaragdag ng mga probabilidad.
6. Bumuo ng probability multiplication theorem.
Mga gawain para sa malayang desisyon sa paksa 3.1:
1. Ang isang kahon ay naglalaman ng 10 bahagi sa isang random na pagkakasunud-sunod, kung saan 4 ay pamantayan. Kinuha ng inspektor ang 3 bahagi nang random. Hanapin ang posibilidad na kahit isa sa mga kinuhang bahagi ay naging pamantayan.
2. Ang isang urn ay naglalaman ng 10 puti, 15 itim, 20 asul at 25 pulang bola. Hanapin ang posibilidad na ang iginuhit na bola ay magiging: 1) puti; 2) itim o pula.
3. Hanapin ang posibilidad na ang isang dalawang-digit na numero na pinili nang random ay magiging isang multiple ng alinman sa 4 o 5, o pareho.
4. Ang isang manggagawa ay nagseserbisyo ng dalawang makina na gumagana nang hiwalay sa isa't isa. Ang posibilidad na ang unang makina ay hindi mangangailangan ng atensyon ng isang manggagawa sa loob ng isang oras ay 0.8, at para sa pangalawang makina ang posibilidad na ito ay 0.7. Hanapin ang posibilidad na sa loob ng isang oras ay hindi isang makina ang mangangailangan ng atensyon ng isang manggagawa.
5. Ang urn ay naglalaman ng 6 na bola, 3 sa mga ito ay puti. Dalawang bola ang iginuhit nang random, isa-isa. Kalkulahin ang posibilidad na ang parehong mga bola ay puti.
6. Ang isang urn ay naglalaman ng 10 puti at 6 na itim na bola. Hanapin ang posibilidad na ang tatlong bola na iginuhit nang random na magkasunod ay magiging itim.
Isinasaalang-alang ang isang eksperimento E. Ipinapalagay na maaari itong isagawa nang paulit-ulit. Bilang resulta ng eksperimento, maaaring lumitaw ang iba't ibang mga kaganapan, na bumubuo sa isang tiyak na hanay F. Ang mga napapansing kaganapan ay nahahati sa tatlong uri: maaasahan, imposible, random.
Maaasahan tinatawag ang isang kaganapan na tiyak na magaganap bilang resulta ng isang eksperimento E. Tinutukoy ng Ω.
Imposible tinatawag ang isang kaganapan na alam na hindi mangyayari bilang resulta ng isang eksperimento E. Tinutukoy ng .
Random tinatawag ang isang kaganapan na maaaring mangyari o hindi bilang resulta ng isang eksperimento E.
Karagdagang (kabaligtaran) kaganapan A ay isang kaganapan, na tinutukoy ng , na nangyayari kung at kung hindi lang nangyari ang kaganapan A.
Sum (kumbinasyon) Ang mga kaganapan ay isang kaganapan na nangyayari kung at kung hindi bababa sa isa sa mga kaganapang ito ay nangyari (Figure 3.1). Notasyon.
Larawan 3.1
Produkto (intersection) Ang mga kaganapan ay isang kaganapan na nangyayari kung at kung ang lahat ng mga kaganapang ito ay nangyayari nang magkasama (sabay-sabay) (Figure 3.2). Notasyon. Malinaw na ang mga kaganapan A at B hindi magkatugma , Kung .
Larawan 3.2
Buong pangkat ng mga kaganapan ay isang set ng mga kaganapan na ang kabuuan ay isang tiyak na kaganapan:
Kaganapan SA tinawag isang espesyal na kaso ng isang kaganapan A, kung may pangyayari SA lalabas ang kaganapan A. Sinasabi rin nila na ang kaganapan SA nagsasangkot ng isang kaganapan A(Larawan 3.3). Pagtatalaga
Larawan 3.3
Mga kaganapan A At SA ay tinatawag katumbas , kung nangyari ang mga ito o hindi magkasama sa panahon ng eksperimento E. Pagtatalaga Halata naman na kung.
Isang mahirap na pangyayari tumawag sa isang naobserbahang kaganapan na ipinahayag sa pamamagitan ng iba pang mga kaganapang naobserbahan sa parehong eksperimento gamit ang algebraic operations.
Ang posibilidad ng isang partikular na kumplikadong kaganapan na nagaganap ay kinakalkula gamit ang mga formula para sa pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad.
Probability addition theorem
Mga kahihinatnan:
1) kung mga pangyayari A At SA ay hindi pare-pareho, ang addition theorem ay nasa anyo:
2) sa kaso ng tatlong termino, ang addition theorem ay nakasulat sa form
3) ang kabuuan ng mga probabilidad ng magkasalungat na kaganapan ay katumbas ng 1:
Ang set ng mga pangyayari ,, ..., ay tinatawag buong pangkat ng mga kaganapan , Kung
Ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapan na bumubuo ng isang kumpletong pangkat ay katumbas ng 1:
Probability ng pangyayari A sa kondisyon na ang kaganapan SA nangyari, tinatawag nila ito kondisyon na maaaring mangyari at tukuyin o.
A At SA – mga pangyayaring nakasalalay , Kung .
A At SA – mga malayang kaganapan , Kung .
Probability multiplication theorem
Mga kahihinatnan:
1) para sa mga independiyenteng kaganapan A At SA
2) sa pangkalahatang kaso para sa produkto ng tatlong kaganapan, ang probability multiplication theorem ay may anyo:
Mga halimbawa ng paglutas ng problema
Halimbawa1 - Tatlong elemento ay konektado sa serye sa mga de-koryenteng circuit, na gumagana nang nakapag-iisa sa bawat isa. Ang mga probabilidad ng pagkabigo ng una, pangalawa at pangatlong elemento ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng ,. Hanapin ang posibilidad na walang magiging kasalukuyang sa circuit.
Solusyon
Unang paraan.
Ipahiwatig natin ang mga sumusunod na kaganapan: - Ang pagkabigo ng una, pangalawa at pangatlong elemento ay naganap sa circuit, ayon sa pagkakabanggit.
Kaganapan A– walang magiging kasalukuyang sa circuit (hindi bababa sa isa sa mga elemento ang mabibigo, dahil konektado sila sa serye).
Kaganapan - mayroong kasalukuyang sa circuit (tatlong elemento ang gumagana), . Ang posibilidad ng magkasalungat na mga kaganapan ay nauugnay sa pamamagitan ng formula (3.4). Ang isang kaganapan ay produkto ng tatlong mga kaganapan na magkapares na independyente. Gamit ang theorem para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan, nakuha namin
Kung gayon ang posibilidad ng nais na kaganapan ay .
Pangalawang paraan.
Isinasaalang-alang ang dating tinanggap na notasyon, isinulat namin ang nais na kaganapan A– hindi bababa sa isa sa mga elemento ang mabibigo:
Dahil ang mga terminong kasama sa kabuuan ay magkatugma, dapat isalapat ang teorama ng pagdaragdag ng mga probabilidad sa pangkalahatang pananaw para sa kaso ng tatlong termino (3.3):
Sagot: 0,388.
Mga problema upang malutas nang nakapag-iisa
1 Ang silid ng pagbabasa ay may anim na aklat-aralin sa teorya ng posibilidad, tatlo sa mga ito ay nakatali. Kinuha ng librarian ang dalawang textbook nang random. Hanapin ang posibilidad na magkatali ang parehong mga aklat-aralin.
2 May mga sinulid na pinaghalo sa bag, 30% nito ay puti at ang iba ay pula. Tukuyin ang mga posibilidad na ang dalawang thread na iginuhit nang random ay magiging: magkapareho ang kulay; iba't ibang Kulay.
3 Ang aparato ay binubuo ng tatlong elemento na gumagana nang nakapag-iisa. Ang mga probabilidad ng operasyon na walang kabiguan para sa isang tiyak na tagal ng panahon ng una, pangalawa at pangatlong elemento, ayon sa pagkakabanggit, ay 0.6; 0.7; 0.8. Hanapin ang mga posibilidad na sa panahong ito ay isang elemento lamang ang gagana nang walang kabiguan; dalawang elemento lamang; lahat ng tatlong elemento; hindi bababa sa dalawang elemento.
4 Tatlong itinapon dais. Hanapin ang mga probabilidad ng mga sumusunod na kaganapan:
a) limang puntos ang lalabas sa bawat panig na iginuhit;
b) ang parehong bilang ng mga puntos ay lilitaw sa lahat ng mga nahulog na panig;
c) isang punto ay lilitaw sa dalawang nahulog na panig, at isa pang bilang ng mga puntos ay lilitaw sa ikatlong panig;
d) ibang bilang ng mga puntos ang lilitaw sa lahat ng nalaglag na mukha.
5 Ang posibilidad na matamaan ng isang tagabaril ang target sa isang shot ay 0.8. Ilang putok ang dapat magpaputok ng baril upang may posibilidad na mas mababa sa 0.4 ay maaaring asahan na walang mga miss?
6 Mula sa mga numero 1, 2, 3, 4, 5, ang isa ay unang pipiliin, at pagkatapos ay ang pangalawang digit ay pinili mula sa natitirang apat. Ipinapalagay na ang lahat ng 20 posibleng resulta ay pantay na posibilidad. Hanapin ang posibilidad na pipiliin ang isang kakaibang numero: sa unang pagkakataon; sa pangalawang pagkakataon; parehong beses.
7 Ang posibilidad na ang isang pares ng size 46 na sapatos ay muling ibebenta sa panlalaking seksyon ng sapatos ng tindahan ay 0.01. Ilang pares ng sapatos ang dapat ibenta sa isang tindahan upang may posibilidad na hindi bababa sa 0.9 ang maaaring asahan na hindi bababa sa isang pares ng size 46 na sapatos ang maibebenta?
8 Ang kahon ay naglalaman ng 10 bahagi, kabilang ang dalawang hindi karaniwan. Hanapin ang posibilidad na sa anim na random na napiling bahagi ay hindi hihigit sa isang hindi pamantayan.
9 Sinusuri ng departamento ng teknikal na kontrol ang mga produkto para sa pagiging pamantayan. Ang posibilidad na ang produkto ay hindi pamantayan ay 0.1. Hanapin ang posibilidad na:
a) sa tatlong nasubok na mga produkto, dalawa lamang ang lalabas na hindi pamantayan;
b) tanging ang ikaapat na produkto na nasubok sa pagkakasunud-sunod ay magiging hindi pamantayan.
10 Ang 32 titik ng alpabetong Ruso ay nakasulat sa mga ginupit na alphabet card:
a) tatlong card ay kinuha nang random nang sunud-sunod at inilagay sa mesa sa pagkakasunud-sunod ng hitsura. Hanapin ang posibilidad na makuha ang salitang "mundo";
b) ang tatlong card na inalis ay maaaring palitan sa anumang paraan. Ano ang posibilidad na magagamit ang mga ito upang mabuo ang salitang "mundo"?
11 Inatake ng isang manlalaban ang isang bomber at nagpaputok ng dalawang independyenteng pagsabog dito. Ang posibilidad na mabaril ang isang bomber na may unang pagsabog ay 0.2, at ang pangalawa - 0.3. Kung ang bomber ay hindi nabaril, pinaputok nito ang manlalaban mula sa mga baril sa likuran nito at pinaputukan ito na may posibilidad na 0.25. Hanapin ang posibilidad na ang isang bomber o manlalaban ay nabaril bilang resulta ng isang air battle.
Takdang aralin
1 Kabuuang formula ng posibilidad. Formula ni Bayes.
2 Lutasin ang mga problema
Gawain1 . Ang isang manggagawa ay nagpapatakbo ng tatlong makina na gumagana nang hiwalay sa isa't isa. Ang posibilidad na ang unang makina ay hindi mangangailangan ng atensyon ng manggagawa sa loob ng isang oras ay 0.9, ang pangalawa - 0.8, at ang pangatlo - 0.85. Hanapin ang posibilidad na sa loob ng isang oras hindi bababa sa isang makina ay mangangailangan ng atensyon ng isang manggagawa.
Gawain2 . Ang computer center, na dapat patuloy na magproseso ng papasok na impormasyon, ay may dalawang computing device. Ito ay kilala na ang bawat isa sa kanila ay may posibilidad ng pagkabigo sa ilang oras na katumbas ng 0.2. Kailangan mong matukoy ang posibilidad:
a) ang katotohanan na ang isa sa mga aparato ay mabibigo, at ang pangalawa ay magpapatakbo;
b) walang problema na operasyon ng bawat device.
Gawain3 . Apat na mangangaso ang sumang-ayon na bumaril sa laro sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod: ang susunod na mangangaso ay magpapaputok lamang kung ang nauna ay makaligtaan. Ang posibilidad ng isang hit para sa unang mangangaso ay 0.6, para sa pangalawa - 0.7, para sa pangatlo - 0.8. Hanapin ang posibilidad na maputok ang mga putok:
d) apat.
Gawain4 . Ang bahagi ay dumaan sa apat na operasyon sa pagpoproseso. Ang posibilidad na makatanggap ng depekto sa unang operasyon ay 0.01, sa pangalawa - 0.02, sa pangatlo - 0.03, at sa pang-apat - 0.04. Hanapin ang posibilidad na makatanggap ng isang bahagi na walang mga depekto pagkatapos ng apat na operasyon, sa pag-aakalang ang mga kaganapan ng pagtanggap ng mga depekto sa mga indibidwal na operasyon ay independyente.
Institusyon ng edukasyon "Estado ng Belarus
akademya ng agrikultura"
Kagawaran ng Mas Mataas na Matematika
ADDITION AT MULTIPLICATION OF PROBABILITIES. PAULIT-ULIT NA MGA INDEPENDENTENG PAGSUSULIT
Lecture para sa mga mag-aaral ng Faculty of Land Management
mga kurso sa pagsusulatan
Gorki, 2012
Pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad. Paulit-ulit
mga independiyenteng pagsusulit
Pagdaragdag ng mga probabilidad
Ang kabuuan ng dalawang magkasanib na kaganapan A At SA tinatawag na kaganapan SA, na binubuo sa paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapan A o SA. Katulad nito, ang kabuuan ng ilang magkasanib na kaganapan ay isang kaganapan na binubuo ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapang ito.
Ang kabuuan ng dalawang hindi magkatugmang kaganapan A At SA tinatawag na kaganapan SA binubuo ng isang pangyayari o pangyayari A, o mga kaganapan SA. Katulad nito, ang kabuuan ng ilang hindi magkatugma na mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo ng paglitaw ng alinman sa mga kaganapang ito.
Ang theorem para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan ay wasto: ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang hindi magkatugmang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito , ibig sabihin. . Ang theorem na ito ay maaaring palawigin sa anumang may hangganang bilang ng mga hindi tugmang kaganapan.
Mula sa teorama na ito ay sumusunod:
ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapan na bumubuo ng isang kumpletong grupo ay katumbas ng isa;
ang kabuuan ng mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan ay katumbas ng isa, i.e. 
.
Halimbawa 1 . Ang kahon ay naglalaman ng 2 puti, 3 pula at 5 asul na bola. Ang mga bola ay halo-halong at ang isa ay iginuhit nang random. Ano ang posibilidad na makulayan ang bola?
Solusyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:
A=(kulay na bola na iginuhit);
B=( iginuhit na puting bola);
C=( iginuhit na pulang bola);
D=( iginuhit na asul na bola).
Pagkatapos A= C+ D. Mula sa mga pangyayari C, D ay hindi pare-pareho, pagkatapos ay gagamitin namin ang theorem para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan: .
Halimbawa 2 . Ang urn ay naglalaman ng 4 na puting bola at 6 na itim. 3 bola ay iginuhit nang random mula sa urn. Ano ang posibilidad na pareho silang lahat ng kulay?
Solusyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:
A=(Ang mga bola ng parehong kulay ay iginuhit);
B=(Ang mga puting bola ay inilabas);
C=(Inilabas ang mga itim na bola).
kasi A=
B+
C at mga pangyayari SA At SA ay hindi pare-pareho, pagkatapos ay sa pamamagitan ng theorem ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan 
. Probability ng pangyayari SA katumbas ng 
, Saan 
4,
. Palitan natin k At n sa formula at makuha namin 
Katulad nito, nakita namin ang posibilidad ng kaganapan SA:
, Saan 
,
, ibig sabihin. 
. Pagkatapos 
.
Halimbawa 3 . Mula sa isang deck ng 36 na baraha, 4 na baraha ang iginuhit nang random. Hanapin ang posibilidad na magkakaroon ng hindi bababa sa tatlong ace sa kanila.
Solusyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:
A=(sa mga card na kinuha ay mayroong hindi bababa sa tatlong aces);
B=(kabilang sa mga card na kinuha ay tatlong aces);
C=(kabilang sa mga card na kinuha ay apat na aces).
kasi A=
B+
C, at mga kaganapan SA At SA ay hindi magkatugma, kung gayon 
. Hanapin natin ang mga probabilidad ng mga pangyayari SA At SA:
,
. Samakatuwid, ang posibilidad na sa mga iginuhit na card ay may hindi bababa sa tatlong aces ay katumbas ng
0.0022.
Pagpaparami ng mga Probability
Ang trabaho
dalawang pangyayari A At SA tinatawag na kaganapan SA, na binubuo ng magkasanib na paglitaw ng mga kaganapang ito: 
. Nalalapat ang kahulugang ito sa anumang may hangganang bilang ng mga kaganapan.
Tinatawag ang dalawang pangyayari malaya
, kung ang posibilidad na mangyari ang isa sa mga ito ay hindi nakasalalay sa kung naganap ang ibang kaganapan o hindi. Mga kaganapan 
,
,
… ,
ay tinatawag sama-samang independyente
, kung ang posibilidad ng paglitaw ng bawat isa sa kanila ay hindi nakasalalay sa kung ang iba pang mga kaganapan ay naganap o hindi naganap.
Halimbawa 4 . Dalawang shooters ang bumaril sa isang target. Tukuyin natin ang mga pangyayari:
A=(natamaan ng unang bumaril ang target);
B=(natamaan ng pangalawang tagabaril ang target).
Malinaw, ang posibilidad na matamaan ng unang tagabaril ang target ay hindi nakasalalay sa kung ang pangalawang tagabaril ay tumama o hindi, at kabaliktaran. Samakatuwid, ang mga kaganapan A At SA malaya.
Ang teorama para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan ay wasto: ang posibilidad ng produkto ng dalawang malayang kaganapan ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito : .
Ang teorama na ito ay wasto din para sa n sama-samang independiyenteng mga kaganapan: .
Halimbawa 5 . Dalawang shooters ang bumaril sa parehong target. Ang posibilidad na matamaan ang unang tagabaril ay 0.9, at ang pangalawa ay 0.7. Ang parehong mga shooter ay nagpaputok ng isang putok sa isang pagkakataon. Tukuyin ang posibilidad na magkakaroon ng dalawang hit sa target.
Solusyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:
A
B
C=(Ang parehong shooters ay tatama sa target).
kasi 
, at mga kaganapan A At SA ay independyente, kung gayon 
, ibig sabihin..
Mga kaganapan A At SA ay tinatawag umaasa
, kung ang posibilidad na mangyari ang isa sa mga ito ay depende sa kung may nangyaring isa pang kaganapan o hindi. Probability ng isang kaganapan na naganap A sa kondisyon na ang kaganapan SA dumating na, tinatawag na kondisyon na maaaring mangyari
at itinalaga 
o 
.
Halimbawa 6 . Ang urn ay naglalaman ng 4 na puti at 7 itim na bola. Kinukuha ang mga bola mula sa urn. Tukuyin natin ang mga pangyayari:
A=(nabunot na puting bola);
B=(itim na bola na iginuhit).
Bago simulan ang pag-alis ng mga bola sa urn 
. Isang bola ang kinuha sa urn at ito ay itim. Tapos yung probability ng event A pagkatapos ng kaganapan SA magkakaroon ng isa pa, kapantay 
. Nangangahulugan ito na ang posibilidad ng isang kaganapan A depende sa event SA, ibig sabihin. ang mga kaganapang ito ay nakasalalay.
Ang theorem para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng umaasa na mga kaganapan ay wasto: ang posibilidad ng dalawang umaasang kaganapan na naganap ay katumbas ng produkto ng posibilidad ng isa sa mga ito at ang kondisyon na posibilidad ng isa pa, na kinakalkula sa ilalim ng pagpapalagay na ang unang kaganapan ay naganap na., ibig sabihin. o.
Halimbawa 7 . Ang urn ay naglalaman ng 4 na puting bola at 8 pulang bola. Dalawang bola ang sunud-sunod na kinukuha mula dito nang random. Hanapin ang posibilidad na ang parehong mga bola ay itim.
Solusyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:
A=(itim na bola ang unang iginuhit);
B=(Ang pangalawang itim na bola ay iguguhit).
Mga kaganapan A At SA umaasa kasi 
, A 
. Pagkatapos 
.
Halimbawa 8 . Tatlong shooters ang bumaril sa target nang nakapag-iisa sa isa't isa. Ang posibilidad na matamaan ang target para sa unang tagabaril ay 0.5, para sa pangalawa - 0.6 at para sa pangatlo - 0.8. Hanapin ang posibilidad na magkakaroon ng dalawang hit sa target kung ang bawat tagabaril ay magpapaputok ng isang putok.
Solusyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:
A=(magkakaroon ng dalawang hit sa target);
B=(matatamaan ng unang tagabaril ang target);
C=(Ang pangalawang tagabaril ay tatama sa target);
D=(matatamaan ng ikatlong tagabaril ang target);
=(hindi tatama sa target ang unang bumaril);
=(hindi tatama sa target ang pangalawang tagabaril);
=(hindi tatama sa target ang pangatlong tagabaril).
Ayon sa halimbawa 
,
,
,
,
,
. Dahil, gamit ang theorem para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan at ang theorem para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan, nakuha namin ang:
Hayaan ang mga kaganapan 
bumuo ng isang kumpletong grupo ng mga kaganapan ng ilang pagsubok, at ang mga kaganapan A maaari lamang mangyari sa isa sa mga kaganapang ito. Kung alam ang probabilities at conditional probabilities ng event A, kung gayon ang posibilidad ng kaganapan A ay kinakalkula ng formula:
o 
. Ang formula na ito ay tinatawag na kabuuang pormula ng posibilidad
, at mga kaganapan 
mga hypotheses
.
Halimbawa 9
. Ang linya ng pagpupulong ay tumatanggap ng 700 bahagi mula sa unang makina at 300 bahagi 
mula sa pangalawa. Ang unang makina ay gumagawa ng 0.5% scrap, at ang pangalawa - 0.7%. Hanapin ang posibilidad na ang bahaging kinuha ay may depekto.
Solusyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:
A=(Ang bahaging kinuha ay may depekto);
=(Ang bahagi ay ginawa sa unang makina);
=(Ang bahagi ay ginawa sa pangalawang makina).
Ang posibilidad na ang bahagi ay ginawa sa unang makina ay katumbas ng 
. Para sa pangalawang makina 
. Ayon sa kondisyon, ang posibilidad na makatanggap ng isang may sira na bahagi na ginawa sa unang makina ay katumbas ng 
. Para sa pangalawang makina ang posibilidad na ito ay katumbas ng 
. Pagkatapos ay ang posibilidad na ang kinuhang bahagi ay may depekto ay kinakalkula gamit ang kabuuang pormula ng posibilidad 
Kung ito ay kilala na ang ilang mga kaganapan ay naganap bilang isang resulta ng pagsubok A, pagkatapos ay ang posibilidad na nangyari ang kaganapang ito kasama ng hypothesis 
, ay katumbas 
, Saan 
- kabuuang posibilidad ng isang kaganapan A. Ang formula na ito ay tinatawag na Formula ng Bayes
at nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang mga probabilidad ng mga kaganapan 
matapos malaman na ang kaganapan A dumating na.
Halimbawa 10 . Ang parehong uri ng mga bahagi ng kotse ay ginawa sa dalawang pabrika at inihatid sa tindahan. Ang unang halaman ay gumagawa ng 80% ng kabuuang bilang ng mga bahagi, at ang pangalawa - 20%. Ang mga produkto ng unang halaman ay naglalaman ng 90% ng mga karaniwang bahagi, at ang pangalawa - 95%. Bumili ng isang bahagi ang bumibili at ito ay naging pamantayan. Hanapin ang posibilidad na ang bahaging ito ay ginawa sa pangalawang planta.
Solusyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:
A=(karaniwang bahagi na binili);
=(Ang bahagi ay ginawa sa unang halaman);
=(Ang bahagi ay ginawa sa pangalawang halaman).
Ayon sa halimbawa 
,
,
At 
. Kalkulahin natin ang kabuuang posibilidad ng kaganapan A: 0.91. Kinakalkula namin ang posibilidad na ang bahagi ay ginawa sa pangalawang halaman gamit ang formula ng Bayes: 
.
Mga gawain para sa malayang gawain
Ang posibilidad na matamaan ang target para sa unang tagabaril ay 0.8, para sa pangalawa - 0.7 at para sa pangatlo - 0.9. Ang mga bumaril ay nagpaputok ng tig-iisang putok. Hanapin ang posibilidad na mayroong hindi bababa sa dalawang hit sa target.
Nakatanggap ang repair shop ng 15 traktora. Ito ay kilala na 6 sa kanila ay kailangang palitan ang makina, at ang iba ay kailangang palitan ang mga indibidwal na bahagi. Tatlong traktor ang pinili nang random. Hanapin ang posibilidad na ang pagpapalit ng makina ay kinakailangan para sa hindi hihigit sa dalawang napiling traktor.
Ang reinforced concrete plant ay gumagawa ng mga panel, 80% nito ay may pinakamataas na kalidad. Hanapin ang posibilidad na sa tatlong random na napiling mga panel, hindi bababa sa dalawa ang magiging pinakamataas na grado.
Tatlong manggagawa ang nag-iipon ng mga bearings. Ang posibilidad na ang tindig na binuo ng unang manggagawa ay may pinakamataas na kalidad ay 0.7, sa pangalawa - 0.8 at sa pangatlo - 0.6. Para sa kontrol, ang isang tindig ay kinuha nang random mula sa mga binuo ng bawat manggagawa. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa dalawa sa kanila ang may pinakamataas na kalidad.
Ang posibilidad na manalo sa unang tiket sa lottery ay 0.2, ang pangalawa ay 0.3 at ang pangatlo ay 0.25. May isang tiket para sa bawat isyu. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa dalawang tiket ang manalo.
Ang accountant ay nagsasagawa ng mga kalkulasyon gamit ang tatlong reference na libro. Ang posibilidad na ang data na interesado siya ay nasa unang direktoryo ay 0.6, sa pangalawa - 0.7 at sa pangatlo - 0.8. Hanapin ang posibilidad na ang data na interesado ang accountant ay nakapaloob sa hindi hihigit sa dalawang direktoryo.
Tatlong makina ang gumagawa ng mga bahagi. Ang unang makina ay gumagawa ng isang bahagi ng pinakamataas na kalidad na may posibilidad na 0.9, ang pangalawa ay may posibilidad na 0.7 at ang pangatlo ay may posibilidad na 0.6. Ang isang bahagi ay kinuha nang random mula sa bawat makina. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa dalawa sa kanila ang may pinakamataas na kalidad.
Ang parehong uri ng mga bahagi ay pinoproseso sa dalawang makina. Ang posibilidad na makagawa ng hindi karaniwang bahagi para sa unang makina ay 0.03, para sa pangalawa - 0.02. Ang mga naprosesong bahagi ay nakaimbak sa isang lugar. Kabilang sa mga ito, 67% ay mula sa unang makina, at ang natitira ay mula sa pangalawa. Ang bahaging kinuha nang random ay naging pamantayan. Hanapin ang posibilidad na ito ay ginawa sa unang makina.
Nakatanggap ang workshop ng dalawang kahon ng parehong uri ng mga capacitor. Ang unang kahon ay naglalaman ng 20 capacitor, kung saan 2 ay may sira. Ang pangalawang kahon ay naglalaman ng 10 capacitor, kung saan 3 ay may sira. Ang mga capacitor ay inilagay sa isang kahon. Hanapin ang posibilidad na ang isang kapasitor na kinuha nang random mula sa isang kahon ay nasa mabuting kondisyon.
Tatlong makina ang gumagawa ng parehong uri ng mga bahagi, na ibinibigay sa isang karaniwang conveyor. Sa lahat ng bahagi, 20% ay mula sa unang makina, 30% mula sa pangalawa at 505 mula sa ikatlo. Ang posibilidad ng paggawa ng isang karaniwang bahagi sa unang makina ay 0.8, sa pangalawa - 0.6 at sa pangatlo - 0.7. Ang bahaging kinuha ay naging pamantayan. Hanapin ang posibilidad na ang bahaging ito ay ginawa sa ikatlong makina.
Ang assembler ay tumatanggap ng 40% ng mga bahagi mula sa pabrika para sa pagpupulong A, at ang iba pa - mula sa pabrika SA. Ang posibilidad na ang bahagi ay mula sa pabrika A– superyor na kalidad, katumbas ng 0.8, at mula sa pabrika SA– 0.9. Kinuha ng assembler ang isang bahagi nang random at ito ay naging mahina ang kalidad. Hanapin ang posibilidad na ang bahaging ito ay mula sa pabrika SA.
10 mag-aaral mula sa unang pangkat at 8 mula sa pangalawa ay inilaan para lumahok sa mga paligsahan sa palakasan ng mga mag-aaral. Ang posibilidad na ang isang mag-aaral mula sa unang pangkat ay isasama sa pangkat ng akademya ay 0.8, at mula sa pangalawa - 0.7. Ang isang random na napiling mag-aaral ay kasama sa pangkat. Hanapin ang posibilidad na siya ay mula sa unang pangkat.
Formula ni Bernoulli
Ang mga pagsubok ay tinatawag malaya
, kung para sa bawat isa sa kanila ang kaganapan A nangyayari na may parehong posibilidad 
, independyente kung ang kaganapang ito ay lumitaw o hindi lumitaw sa iba pang mga pagsubok. Ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan 
sa kasong ito ay katumbas 
.
Halimbawa 11
. Inihahagis ang dice n minsan. Tukuyin natin ang kaganapan A=(gumulong ng tatlong puntos). Probability ng isang kaganapan na naganap A sa bawat pagsubok ay pantay-pantay at hindi nakadepende sa kung ang kaganapang ito ay naganap o hindi naganap sa ibang mga pagsubok. Samakatuwid, ang mga pagsusulit na ito ay independyente. Ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan 
(hindi lumiligid ng tatlong puntos) ay katumbas ng 
.
Ang posibilidad na sa n mga independiyenteng pagsubok, kung saan ang bawat isa ay may posibilidad na mangyari ang kaganapan A katumbas ng p, eksaktong magaganap ang kaganapan k beses (hindi mahalaga kung anong pagkakasunud-sunod), kinakalkula ng formula 
, Saan 
. Ang formula na ito ay tinatawag na Formula ni Bernoulli
at ito ay maginhawa kung ang bilang ng mga pagsubok n ay hindi masyadong malaki.
Halimbawa 12 . Ang proporsyon ng mga prutas na nahawaan ng sakit sa latent form ay 25%. 6 na prutas ang random na pinili. Hanapin ang posibilidad na sa mga napili ay mayroong: a) eksaktong 3 nahawaang prutas; b) hindi hihigit sa dalawang nahawaang prutas.
Solusyon . Ayon sa mga halimbawang kondisyon.
a) Ayon sa pormula ni Bernoulli, ang posibilidad na sa anim na napiling prutas eksaktong tatlo ang mahawaan ay katumbas ng
0.132.
b) Tukuyin natin ang pangyayari A=(hindi hihigit sa dalawang prutas ang mahahawa). Tapos . Ayon sa formula ni Bernoulli:
0.297.
Kaya naman, 
0.178+0.356+0.297=0.831.
Ang mga teorema ni Laplace at Poisson
Ang formula ni Bernoulli ay ginagamit upang mahanap ang posibilidad na ang isang kaganapan A darating k isang beses bawat n mga independiyenteng pagsubok at sa bawat pagsubok ang posibilidad ng isang kaganapan A ay pare-pareho. Para sa malalaking halaga ng n, ang mga kalkulasyon gamit ang formula ni Bernoulli ay nagiging matrabaho. Sa kasong ito, upang kalkulahin ang posibilidad ng isang kaganapan A Mas mainam na gumamit ng ibang formula.
Lokal na Laplace theorem . Hayaan ang posibilidad p paglitaw ng isang pangyayari A sa bawat pagsubok ay pare-pareho at naiiba mula sa zero at isa. Pagkatapos ang posibilidad na ang kaganapan A eksaktong darating k beses na may sapat na malaking bilang n ng mga pagsubok, ay kinakalkula ng formula
, Saan 
, at ang mga halaga ng function 
ay ibinigay sa talahanayan.
Mga pangunahing katangian ng pag-andar 
ay:
Function 
tinukoy at tuloy-tuloy sa pagitan 
.
Function 
ay positibo, i.e. 
>0.
Function 
kahit, i.e. 
.
Dahil ang function 
ay pantay, pagkatapos ay ipinapakita ng talahanayan ang mga halaga nito para lamang sa mga positibong halaga X.
Halimbawa 13 . Ang rate ng pagtubo ng mga buto ng trigo ay 80%. 100 buto ang napili para sa eksperimento. Hanapin ang posibilidad na eksaktong 90 sa mga napiling buto ang tutubo.
Solusyon
. Ayon sa halimbawa n=100,
k=90,
p=0.8,
q=1-0.8=0.2. Pagkatapos 
. Gamit ang talahanayan nakita namin ang halaga ng function 
:
. Ang posibilidad na ang eksaktong 90 sa mga napiling buto ay umusbong ay katumbas ng 
0.0044.
Kapag nilulutas ang mga praktikal na problema, nagiging kinakailangan upang mahanap ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap A sa n mga independiyenteng pagsusulit 
minsan at hindi na 
minsan. Ang problemang ito ay nalutas gamit integral theorem ni Laplace
: Hayaan ang posibilidad p paglitaw ng isang pangyayari A sa bawat n ang mga independiyenteng pagsusulit ay pare-pareho at naiiba sa zero at isa. Kung gayon ang posibilidad na mangyari ang kaganapan ay hindi bababa sa 
minsan at hindi na 
beses na may sapat na malaking bilang ng mga pagsubok, ay kinakalkula ng formula
saan 
,
.
Function 
tinawag Laplace function
at hindi ipinahayag sa pamamagitan ng elementarya na mga pag-andar. Ang mga halaga ng pagpapaandar na ito ay ibinibigay sa mga espesyal na talahanayan.
Mga pangunahing katangian ng pag-andar 
ay:
.
Function 
pagtaas sa pagitan 
.
sa 
.
Function 
kakaiba, i.e. 
.
Halimbawa 14 . Gumagawa ang kumpanya ng mga produkto, 13% nito ay hindi sa pinakamataas na kalidad. Tukuyin ang posibilidad na sa isang hindi pa nasubok na batch ng 150 mga yunit ng pinakamataas na kalidad ng produkto ay magkakaroon ng hindi bababa sa 125 at hindi hihigit sa 135.
Solusyon
. Tukuyin natin ang . Magkalkula tayo 
,
Probability addition at multiplication theorems.
Theorem para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng dalawang kaganapan. Ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito nang walang posibilidad ng magkasanib na pangyayari.:
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
Theorem para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan. Ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang hindi magkatugmang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga ito:
P(A+B)=P(A)+P(B).
Halimbawa 2.16. Ang tagabaril ay bumaril sa isang target na nahahati sa 3 lugar. Ang posibilidad na matamaan ang unang lugar ay 0.45, ang pangalawa - 0.35. Hanapin ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang una o pangalawang lugar sa isang shot.
Solusyon.
Mga kaganapan A- "natamaan ng tagabaril ang unang lugar" at SA- "ang tagabaril ay tumama sa pangalawang lugar" - ay hindi pare-pareho (ang pagpasok sa isang lugar ay hindi kasama ang pagpasok sa isa pa), kaya ang addition theorem ay naaangkop.
Ang kinakailangang probabilidad ay:
P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.
Probability addition theorem P mga pangyayaring hindi magkatugma. Ang posibilidad ng isang kabuuan ng n hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga ito:
P(A 1 +A 2 +…+A p)=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A p).
Ang kabuuan ng mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan ay katumbas ng isa:
Probability ng pangyayari SA sa kondisyon na nangyari ang kaganapan A, ay tinatawag na conditional probability ng kaganapan SA at ipinapahiwatig ng mga sumusunod: P(V/A), o R A (B).
. Ang posibilidad ng dalawang kaganapan na naganap ay katumbas ng produkto ng posibilidad ng isa sa mga ito at ang kondisyon na posibilidad ng isa pa, sa kondisyon na ang unang kaganapan ay naganap:
P(AB)=P(A)P A (B).
Kaganapan SA hindi nakadepende sa kaganapan A, Kung
R A (V) = R (V),
mga. posibilidad ng isang kaganapan SA ay hindi nakasalalay sa kung ang kaganapan ay naganap A.
Ang theorem para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng dalawang independiyenteng kaganapan.Ang posibilidad ng produkto ng dalawang independiyenteng kaganapan ay katumbas ng produkto ng kanilang mga probabilidad:
P(AB)=P(A)P(B).
Halimbawa 2.17. Ang mga posibilidad na matamaan ang target kapag nagpaputok ng una at pangalawang baril ay pantay-pantay: p 1 = 0,7; p 2= 0.8. Hanapin ang posibilidad na matamaan ng isang salvo (mula sa parehong baril) ng hindi bababa sa isa sa mga baril.
Solusyon.
Ang posibilidad ng bawat baril na tumama sa target ay hindi nakasalalay sa resulta ng pagpapaputok mula sa kabilang baril, kaya ang mga kaganapan A– “tinamaan ng unang baril” at SA– Ang "natamaan ng pangalawang baril" ay independyente.
Probability ng pangyayari AB- "parehong tumama ang baril":
Kinakailangang posibilidad
P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.
Probability multiplication theorem P mga pangyayari.Ang posibilidad ng isang produkto ng n mga kaganapan ay katumbas ng produkto ng isa sa mga ito sa pamamagitan ng mga kondisyon na probabilidad ng lahat ng iba pa, na kinakalkula sa ilalim ng pagpapalagay na ang lahat ng nakaraang mga kaganapan ay naganap:
Halimbawa 2.18. Mayroong 5 puti, 4 na itim at 3 asul na bola sa urn. Ang bawat pagsubok ay binubuo ng pag-alis ng isang bola nang random nang hindi ibinabalik ito. Hanapin ang posibilidad na sa unang pagsubok ay may lalabas na puting bola (kaganapan A), sa pangalawa - isang itim na bola (kaganapan B) at sa pangatlo - isang asul na bola (kaganapan C).
Solusyon.
Ang posibilidad ng isang puting bola na lumitaw sa unang pagsubok:
Ang posibilidad ng isang itim na bola na lumitaw sa ikalawang pagsubok, na kinakalkula sa ilalim ng pagpapalagay na ang isang puting bola ay lumitaw sa unang pagsubok, ibig sabihin, may kondisyong posibilidad:
Ang posibilidad ng isang asul na bola na lumitaw sa ikatlong pagsubok, na kinakalkula sa ilalim ng pagpapalagay na ang isang puting bola ay lumitaw sa unang pagsubok at isang itim na bola sa pangalawa, ibig sabihin, may kondisyong posibilidad:
Ang kinakailangang probabilidad ay:
Probability multiplication theorem P mga malayang kaganapan.Ang posibilidad ng isang produkto ng n independiyenteng mga kaganapan ay katumbas ng produkto ng kanilang mga probabilidad:
P(A 1 A 2…A p)=P(A 1)P(A 2)…P(A p).
Ang posibilidad ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapan na nagaganap. Ang posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapan A 1, A 2, ..., A n, independiyente sa pinagsama-samang, ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng pagkakaisa at produkto ng mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan.:
.
Halimbawa 2.19. Ang mga posibilidad na matamaan ang target kapag nagpaputok mula sa tatlong baril ay ang mga sumusunod: p 1 = 0,8; p 2 = 0,7;p 3= 0.9. Hanapin ang posibilidad ng hindi bababa sa isang hit (kaganapan A) na may isang salvo mula sa lahat ng baril.
Solusyon.
Ang posibilidad ng bawat baril na tumama sa target ay hindi nakasalalay sa mga resulta ng pagpapaputok mula sa iba pang mga baril, kaya ang mga kaganapan na isinasaalang-alang A 1(tinamaan ng unang baril), A 2(tinamaan ng pangalawang baril) at A 3(tinamaan ng ikatlong baril) ay independyente sa pinagsama-samang.
Mga probabilidad ng mga pangyayaring kabaligtaran ng mga pangyayari A 1, A 2 At A 3(ibig sabihin, ang posibilidad ng mga makaligtaan) ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng:
, , 
.
Ang kinakailangang probabilidad ay:
Kung malayang pangyayari A 1, A 2, …, A p ay may parehong posibilidad ng R, kung gayon ang posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapang ito ay ipinahayag ng formula:
Р(А)= 1 – q n ,
saan q=1- p
2.7. Kabuuang formula ng posibilidad. Formula ni Bayes.
Hayaan ang kaganapan A maaaring mangyari napapailalim sa paglitaw ng isa sa mga hindi tugmang kaganapan N 1, N 2, …, N p, na bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan. Dahil hindi alam nang maaga kung alin sa mga kaganapang ito ang magaganap, tinawag ang mga ito mga hypotheses.
Probability ng pangyayari A kinakalkula ng kabuuang formula ng posibilidad:
P(A)=P(N 1)P(A/N 1)+ P(N 2)P(A/N 2)+…+ P(N p)P(A/N p).
Ipagpalagay na ang isang eksperimento ay natupad bilang isang resulta kung saan ang kaganapan A nangyari. Mga kondisyong probabilidad ng mga kaganapan N 1, N 2, …, N p patungkol sa kaganapan A ay determinado Mga formula ng Bayes:
,
Halimbawa 2.20. Sa isang pangkat ng 20 mag-aaral na dumating para sa pagsusulit, 6 ang mahusay na naghanda, 8 ay mahusay na handa, 4 ay kasiya-siya at 2 ay hindi maganda ang paghahanda. Ang mga papel ng pagsusulit ay naglalaman ng 30 katanungan. Ang isang handang mag-aaral ay masasagot ang lahat ng 30 tanong, ang isang handang mag-aaral ay makakasagot ng 24 na tanong, ang isang handang mag-aaral ay makakasagot ng 15 mga katanungan, at ang isang mahinang mag-aaral ay makakasagot ng 7 mga tanong.
Isang estudyanteng tinawag na random ang sumagot ng tatlo nang random. mga tanong. Hanapin ang posibilidad na ang mag-aaral na ito ay handa: a) mahusay; b) masama.
Solusyon.
Hypotheses - "ang mag-aaral ay handa na mabuti";
– “ang mag-aaral ay handa nang husto”;
– “ang mag-aaral ay handa nang kasiya-siya”;
- "Ang mag-aaral ay hindi gaanong handa."
Bago ang karanasan:
; ; ; ;
7. Ano ang tawag sa kumpletong pangkat ng mga pangyayari?
8. Anong mga pangyayari ang tinatawag na equally possible? Magbigay ng mga halimbawa ng mga ganitong pangyayari.
9. Ano ang tinatawag na elementarya na kinalabasan?
10. Anong mga resulta ang itinuturing kong paborable para sa kaganapang ito?
11. Anong mga operasyon ang maaaring isagawa sa mga pangyayari? Tukuyin ang mga ito. Paano sila itinalaga? Magbigay ng halimbawa.
12. Ano ang tinatawag na posibilidad?
13. Ano ang posibilidad ng isang mapagkakatiwalaang pangyayari?
14. Ano ang posibilidad ng isang imposibleng pangyayari?
15. Ano ang mga limitasyon ng posibilidad?
16. Paano tinutukoy ang geometric na probabilidad sa isang eroplano?
17. Paano tinutukoy ang posibilidad sa kalawakan?
18. Paano tinutukoy ang posibilidad sa isang tuwid na linya?
19. Ano ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang pangyayari?
20. Ano ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang hindi magkatugmang pangyayari?
21. Ano ang posibilidad ng kabuuan ng n hindi magkatugmang mga pangyayari?
22. Anong probabilidad ang tinatawag na conditional? Magbigay ng halimbawa.
23. Sabihin ang probability multiplication theorem.
24. Paano mahahanap ang posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapan?
25. Anong mga pangyayari ang tinatawag na hypotheses?
26. Kailan ginagamit ang kabuuang probability formula at Bayes formula?
