Ders: Kesişen, paralel ve kesişen çizgiler; çizgilerin dikliği

Kesişen çizgiler

Bir düzlemde birkaç düz çizgi varsa, er ya da geç bunlar ya keyfi olarak ya da dik açılarla kesişecek ya da paralel olacaktır. Her duruma bakalım.

En az bir kesişme noktasına sahip olan çizgilere kesişen çizgiler denilebilir.

Neden en az bir düz çizginin başka bir düz çizgiyle iki veya üç kez kesişemediğini sorabilirsiniz. Haklısın! Ancak düz çizgiler birbiriyle tamamen örtüşebilir. Bu durumda sonsuz sayıda ortak nokta olacaktır.

Paralellik

Paralel Sonsuzda bile asla kesişmeyecek olan çizgileri adlandırabilirsiniz.

Başka bir deyişle paralel, tek bir ortak noktası olmayanlardır. Lütfen bu tanımın yalnızca doğruların aynı düzlemde olması durumunda geçerli olduğunu, ancak ortak noktaları yoksa, farklı düzlemlerde olmaları durumunda kesişen kabul edildiğini unutmayın.

Hayattaki paralel çizgilere örnekler: Bir monitör ekranının iki karşıt kenarı, dizüstü bilgisayarlardaki çizgiler ve ayrıca kare, dikdörtgen ve diğer şekillere sahip diğer birçok şey.

Bir doğrunun diğerine paralel olduğunu yazılı olarak göstermek istediklerinde aşağıdaki a||b gösterimini kullanırlar. Bu girdi, a çizgisinin b doğrusuna paralel olduğunu söylüyor.

Bu konuyu incelerken bir ifadeyi daha anlamak önemlidir: belirli bir çizgiye ait olmayan düzlemdeki belirli bir noktadan tek bir paralel çizgi çizilebilir. Ama dikkat edin yine uçakta düzeltme var. Üç boyutlu uzayı düşünürsek, kesişmeyecek, ancak kesişecek sonsuz sayıda çizgi çizebiliriz.

Yukarıda açıklanan ifadeye denir paralel çizgiler aksiyomu.

diklik

Doğrudan hatlar yalnızca şu durumlarda aranabilir: dik 90 dereceye eşit bir açıyla kesişirlerse.

Uzayda bir doğrunun belirli bir noktasından geçen sonsuz sayıda dik çizgi çizilebilir. Ancak bir düzlemden bahsediyorsak, o zaman bir çizgi üzerindeki bir noktadan tek bir dik çizgi çizebilirsiniz.

Düz çizgiler geçti. Sekant

Bazı doğrular belirli bir noktada keyfi bir açıyla kesişiyorsa bunlara çağrılabilir. melezleme.

Kesişen çizgilerin dikey ve bitişik açıları vardır.

Kesişen iki düz çizginin oluşturduğu açıların bir tarafı ortaksa, bunlara bitişik denir:

Bitişik açıların toplamı 180 dereceye kadar çıkar.

Teorem. Bir doğru belirli bir düzlemde yer alıyorsa ve başka bir doğru bu düzlemi birinci doğruya ait olmayan bir noktada kesiyorsa, bu iki doğru kesişir. Geçiş çizgilerinin işareti Kanıt. A doğrusu düzlemde olsun ve b doğrusu düzlemi a doğrusuna ait olmayan B noktasında kessin. Eğer a ve b doğruları aynı düzlemde yer alıyorsa B noktası da bu düzlemde olacaktır.Doğrudan geçen tek bir düzlem ve bu doğrunun dışında bir nokta olduğuna göre bu düzlemin bir düzlem olması gerekir. Ancak o zaman b düz çizgisi düzlemde yer alır ve bu da koşulla çelişir. Sonuç olarak, a ve b düz çizgileri aynı düzlemde yer almaz; melez.

Düzgün bir üçgen prizmanın kenarlarını içeren kaç çift eğri çizgi vardır? Çözüm: Tabanların her bir kenarı için onunla kesişen üç kenar vardır. Her yan kenar için onunla kesişen iki kaburga vardır. Bu nedenle, gerekli sayıda çarpık çizgi çifti Alıştırma 5'tir.

Düzenli bir altıgen prizmanın kenarlarını içeren kaç çift eğri çizgi vardır? Çözüm: Tabanların her kenarı 8 çift kesişen çizgiye katılıyor. Her bir yan kenar 8 çift geçiş çizgisine katılır. Bu nedenle, gerekli sayıda çarpık çizgi çifti Alıştırma 6'dır.

İki çizginin uzaydaki göreceli konumu.

İki çizginin uzaydaki göreceli konumu aşağıdaki üç olasılık ile karakterize edilir.

Doğrular aynı düzlemde yer alır ve ortak noktaları yoktur - paralel çizgiler.

Doğrular aynı düzlemde yer alır ve ortak bir noktaya sahiptirler; çizgiler kesişir.

Uzayda iki düz çizgi herhangi bir düzlemde yer almayacak şekilde de yerleştirilebilir. Bu tür çizgilere çarpıklık denir (kesişmezler veya paraleldirler).

ÖRNEK:

SORUN 434 ABC Üçgeni bir düzlemde yer almaktadır.

ABC üçgeni düzlemde yer alır, ancak D noktası bu düzlemde değildir. M, N ve K noktaları sırasıyla DA, DB ve DC segmentlerinin orta noktalarıdır

Teorem.İki doğrudan biri belirli bir düzlemde yer alıyorsa ve diğeri bu düzlemi birinci çizginin üzerinde olmayan bir noktada kesiyorsa bu doğrular kesişir.

İncirde. 26 a düz çizgisi düzlemde yer alır ve c düz çizgisi N noktasında kesişir. a ve c doğruları kesişir.

Teorem. Kesişen iki doğrunun her birinden, diğer doğruya paralel yalnızca bir düzlem geçer.

İncirde. 26 doğru a ve b kesişiyor. Düz bir çizgi çizilir ve bir düzlem çizilir (alfa) || b (B düzleminde (beta) a1 || b düz çizgisi gösterilir).

Teorem 3.2.

Üçüncüye paralel iki doğru paraleldir.

Bu özelliğe denir geçişlilikçizgilerin paralelliği.

Kanıt

a ve b doğruları c doğrusuna aynı anda paralel olsun. A'nın b'ye paralel olmadığını varsayalım, o zaman a doğrusu b doğrusu ile koşul gereği c doğrusu üzerinde olmayan bir A noktasında kesişiyor. Sonuç olarak, bir A noktasından geçen, belirli bir c çizgisi üzerinde yer almayan ve aynı zamanda ona paralel olan iki a ve b çizgimiz var. Bu aksiyom 3.1 ile çelişmektedir. Teorem kanıtlandı.

Teorem 3.3.

Belirli bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan, verilen doğruya paralel yalnızca bir doğru çizilebilir.

Kanıt

(AB) verilen bir doğru, C ise onun üzerinde olmayan bir nokta olsun. AC doğrusu düzlemi iki yarım düzleme böler. B noktası bunlardan birinde yer almaktadır. Aksiyom 3.2'ye göre, CA ışınından (CAB) açısına eşit bir açıyı (ACD) başka bir yarım düzleme yerleştirmek mümkündür. ACD ve CAB eşittir iç çaprazlama AB ve CD doğruları ve sekant (AC) ile uzanır. Bu durumda Teorem 3.1 (AB) || (CD). Aksiyom 3.1 dikkate alınarak. Teorem kanıtlandı.

Paralel çizgilerin özelliği Teorem 3.1'in tersi olan aşağıdaki teorem ile verilmektedir.

Teorem 3.4.

İki paralel doğru üçüncü bir çizgiyle kesişirse kesişen iç açılar eşittir.

Kanıt

(AB) || olsun (CD). ACD ≠ BAC olduğunu varsayalım. A noktasından EAC = ACD olacak şekilde AE ​​düz bir çizgi çiziyoruz. Ama sonra Teorem 3.1 (AE) || (CD ) ve koşula göre – (AB ) || (CD). Teorem 3.2 (AE)'ye göre || (AB). Bu, CD çizgisi üzerinde bulunmayan bir A noktasından ona paralel tek bir çizgi çizilebileceğini söyleyen Teorem 3.3 ile çelişir. Teorem kanıtlandı.

Şekil 3.3.1.

Bu teoreme dayanarak aşağıdaki özellikler kolaylıkla doğrulanabilir.

İki paralel doğru üçüncü bir çizgiyle kesişirse, karşılık gelen açılar eşittir.

İki paralel doğru üçüncü bir çizgiyle kesişirse iç tek taraflı açıların toplamı 180° olur.

Sonuç 3.2.

Bir doğru paralel doğrulardan birine dik ise diğerine de diktir.

Paralellik kavramı, Bölüm 11'de daha sonra ihtiyaç duyulacak olan aşağıdaki yeni kavramı tanıtmamıza olanak tanır.

İki ışın denir eşit yönlendirilmiş, eğer birincisi bu çizgiye dik olacak ve ikinci olarak ışınlar bu çizgiye göre aynı yarım düzlemde yer alacak şekilde bir çizgi varsa.

İki ışın denir zıt yönlü, eğer her biri diğerini tamamlayan bir ışınla eşit şekilde yönlendirilirse.

Aynı yönlü AB ve CD ışınlarını ve zıt yönlü AB ve CD ışınlarını göstereceğiz.

Şekil 3.3.2.

Çizgileri geçme işareti.

İki doğrudan biri belli bir düzlemde yer alıyorsa ve diğer doğru bu düzlemi birinci doğru üzerinde olmayan bir noktada kesiyorsa bu doğrular kesişir.

Uzayda çizgilerin karşılıklı düzenlenmesi durumları.

1. Uzayda iki çizginin düzenlenmesinin dört farklı durumu vardır:

   
   

   – düz geçiş, yani aynı düzlemde yatmayın;

   – düz çizgiler kesişir, yani. aynı düzlemde yer alan ve tek bir ortak noktaya sahip olan;

   – paralel çizgiler, yani. aynı düzlemde yer alır ve kesişmez;

   - çizgiler çakışıyor.

   
   

   Kanonik denklemlerle verilen çizgilerin göreceli konumlarının bu durumlarının özelliklerini elde edelim.

   
   
   Nerede — çizgilere ait noktalar Ve buna göre, bir— yön vektörleri (Şekil 4.34). ile belirtelimVerilen noktaları birleştiren bir vektör.
   
   

   Aşağıdaki özellikler, yukarıda listelenen hatların göreceli konumu durumlarına karşılık gelir:

   
   

   – düz ve kesişen vektörler aynı düzlemde değildir;

   
   

   – düz çizgiler ve kesişen vektörler eş düzlemlidir, ancak vektörler eşdoğrusal değildir;

   
   

   – doğrudan ve paralel vektörler eşdoğrusaldır, ancak vektörler eşdoğrusal değildir;

   
   

   – düz çizgiler ve çakışan vektörler eşdoğrusaldır.

   
   

   Bu koşullar karma ve vektör çarpımlarının özellikleri kullanılarak yazılabilir. Sağ dikdörtgen koordinat sistemindeki vektörlerin karışık çarpımının aşağıdaki formülle bulunduğunu hatırlayın:

   
   
   ve determinantın kesiştiği nokta sıfırdır ve ikinci ve üçüncü satırları orantılı değildir, yani.
   

   – determinantın düz ve paralel ikinci ve üçüncü çizgileri orantılıdır, yani. ve ilk iki satır orantılı değildir, yani.

   
   

   – düz çizgiler ve determinantın tüm çizgileri çakışır ve orantılıdır, yani.

Eğrilik çizgisi testinin kanıtı.

İki doğrudan biri bir düzlemde yer alıyorsa ve diğeri bu düzlemi birinci doğruya ait olmayan bir noktada kesiyorsa, bu iki doğru kesişir.

Kanıt

a, α'ya ait olsun, b, α = A ile kesişsin, A, a'ya ait değildir (Çizim 2.1.2). a ve b doğrularının kesişmediğini, yani kesiştiklerini varsayalım. O halde a ve b doğrularının ait olduğu bir β düzlemi vardır. Bu β düzleminde bir a doğrusu ve bir A noktası bulunur. a doğrusu ve onun dışındaki A noktası tek bir düzlemi tanımladığından β = α olur. Ancak b, β'yı tahrik eder ve b, α'ya ait değildir, bu nedenle β = α eşitliği imkansızdır.

Uzaydaki iki doğrunun ortak bir noktası varsa bu iki doğrunun kesiştiği söylenir. Aşağıdaki şekilde a ve b doğruları A noktasında kesişmektedir. a ve c doğruları kesişmemektedir.

Herhangi iki düz çizginin ya tek bir ortak noktası vardır ya da hiçbir ortak noktası yoktur.

Paralel çizgiler

Uzaydaki iki doğru aynı düzlemde bulunuyorsa ve kesişmiyorsa paralel olarak adlandırılır. Paralel çizgileri belirtmek için özel bir simge kullanın - ||.

a||b gösterimi, a çizgisinin b doğrusuna paralel olduğu anlamına gelir. Yukarıdaki şekilde a ve c çizgileri paraleldir.

Paralel Doğrular Teoremi

Uzayda belirli bir çizgi üzerinde yer almayan herhangi bir noktadan, verilen çizgiye paralel ve üstelik yalnızca tek bir çizgi geçer.

Geçiş hatları

Aynı düzlemde bulunan iki doğru kesişebilir veya paralel olabilir. Ancak uzayda iki düz çizginin mutlaka bu düzleme ait olması gerekmez. İki farklı düzlemde bulunabilirler.

Farklı düzlemlerde bulunan doğruların kesişmediği ve paralel doğrular olmadığı açıktır. Aynı düzlemde yer almayan iki doğruya denir düz çizgileri geçmek.

Aşağıdaki şekilde farklı düzlemlerde bulunan, kesişen iki düz çizgi a ve b gösterilmektedir.

Eğik çizgiler üzerinde test ve teorem

İki doğrudan biri belli bir düzlemde yer alıyorsa ve diğer doğru bu düzlemi birinci doğru üzerinde olmayan bir noktada kesiyorsa bu doğrular kesişir.

Eğik doğrular üzerine teorem: Kesişen iki çizginin her birinden diğer doğruya paralel bir düzlem geçer, üstelik yalnızca bir tane.

Böylece, uzaydaki çizgilerin göreceli konumlarının tüm olası durumlarını göz önünde bulundurduk. Sadece üç tane var.

1. Doğrular kesişiyor. (Yani tek bir ortak noktaları vardır.)

2. Doğrular paraleldir. (Yani ortak noktaları yoktur ve aynı düzlemde yer alırlar.)

3. Düz çizgiler kesişiyor. (Yani farklı düzlemlerde bulunurlar.)