Значение знаков символов логика. Язык логики

Именно она используется для вычисления логических операций. Рассмотрим ниже все самые элементарные логические операции в информатике. Ведь если задуматься, именно они используются при создании логики вычислительных машин и приборов.

Отрицание

Перед тем как начать подробно рассматривать конкретные примеры, перечислим основные логические операции в информатике:

• отрицание;
• сложение;
• умножение;
• следование;
• равенство.

Также перед началом изучения логических операций стоит сказать, что в информатике ложь обозначается "0", а правда "1".

Для каждого действия, как и в обычной математике, используются следующие знаки логических операций в информатике: ¬, v, &, ->.

Каждое действие возможно описать либо цифрами 1/0, либо просто логическими выражениями. Начнём рассмотрение математической логики с простейшей операции, использующей всего одну переменную.

Логическое отрицание - операция инверсии. Суть заключается в том, что если исходное выражение - истина, то результат инверсии - ложь. И наоборот, если исходное выражение - ложь, то результатом инверсии станет - правда.

При записи этого выражения используется следующее обозначение "¬A".

Приведём таблицу истинности - схему, которая показывает все возможные результаты операции при любых исходных данных.

То есть, если у нас исходное выражение - истина (1), то его отрицание будет ложным (0). А если исходное выражение - ложь (0), то его отрицание - истина (1).

Сложение

Оставшиеся операции требуют наличия двух переменных. Обозначим одно выражение -

А, второе - В. Логические операции в информатике, обозначающие действие сложения (или дизъюнкция), при написании обозначаются либо словом "или", либо значком "v". Распишем возможные варианты данных и результаты вычислений.

1. Е=1, Н=1 ,тогда Е v Н = 1. Если оба тогда и их дизъюнкция также истинна.
2. Е=0, Н=1 ,в итоге Е v Н = 1. Е=1, Н=0 , тогда Е v Н= 1. Если хотябы одно из выражений истинно, тогда и результат их сложения будет истиной.
3. Е=0, Н=0 ,результат Е v Н = 0. Если оба выражения ложны, то их сумма также - ложь.

Для краткости создадим таблицу истинности.

Дизъюнкция

Е	х	х	о	о
Н	х	о	х	о
Е v Н	х	х	х	о

Умножение

Разобравшись с операцией сложения, переходим к умножению (конъюнкции). Воспользуемся теми же обозначениями, которые были приведены выше для сложения. При письме логическое умножение обозначается значком "&", либо буквой "И".

1. Е=1, Н=1 ,тогда Е & Н = 1. Если оба тогда их конъюнкция - истина.
2. Если хотя бы одно из выражений - ложь, тогда результатом логического умножения также будет ложь.

• Е=1, Н=0, поэтому Е & Н = 0.
• Е=0, Н=1, тогда Е & Н = 0.
• Е=0, Н=0, итог Е & Н = 0.

Конъюнкция

Е	х	х	0	0
Н	х	0	х	0
Е & Н	х	0	0	0

Следствие

Логическая операция следования (импликация) - одна из простейших в математической логике. Она основана на единственной аксиоме - из правды не может следовать ложь.

1. Е=1, Н=, поэтому Е -> Н = 1. Если пара влюблена, то они могут целоваться - правда.
2. Е=0, Н=1, тогда Е -> Н = 1. Если пара не влюблена, то они могут целоваться - также может быть истиной.
3. Е=0, Н=0, из этого Е -> Н = 1. Если пара не влюблена, то они и не целуются - тоже правда.
4. Е=1, Н=0, результатом будет Е -> Н = 0. Если пара влюблена, то они не целуются - ложь.

Для облегчения выполнения математических действий также приведём таблицу истинности.

Равенство

Последней рассмотренной операцией станет логическое тождественное равенство или эквивалентность. В тексте оно может обозначаться как "...тогда и только тогда, когда...". Исходя из этой формулировки, напишем примеры для всех исходных вариантов.

1. А=1, В=1, тогда А≡В = 1. Человек пьёт таблетки тогда и только тогда, когда болеет. (истина)
2. А=0, В=0, в итоге А≡В = 1. Человек не пьёт таблетки тогда и только тогда, когда не болеет. (истина)
3. А=1, В=0, поэтому А≡В = 0. Человек пьёт таблетки тогда и только тогда, когда не болеет. (ложь)
4. А=0, В=1 ,тогда А≡В = 0. Человек не пьёт таблетки тогда и только тогда, когда болеет. (ложь)

Свойства

Итак, рассмотрев простейшие в информатике, можем приступить к изучению некоторых их свойств. Как и в математике, у логических операций существует свой порядок обработки. В больших логических выражениях операции в скобках выполняются в первую очередь. После них первым делом подсчитываем все значения отрицания в примере. Следующим шагом станет вычисление конъюнкции, а затем дизъюнкции. Только после этого выполняем операцию следствия и, наконец, эквивалентности. Рассмотрим небольшой пример для наглядности.

А v В & ¬В -> В ≡ А

Порядок выполнения действий следующий.

1. В&(¬В)
2. А v(В&(¬В))
3. (А v(В&(¬В)))->В
4. ((А v(В&(¬В)))->В)≡А

Для того чтобы решить этот пример, нам потребуется построить расширенную таблицу истинности. При её создании помните, что столбцы лучше располагать в том же порядке, в каком и будут выполняться действия.

Решение примера

А	В				(А v(В&(¬В)))->В	((А v(В&(¬В)))->В)≡А
х	о	х	о	х	х	х
х	х	о	о	х	х	х
о	о	х	о	о	х	о
о	х	о	о	о	х	о

Как мы видим, результатом решения примера станет последний столбец. Таблица истинности помогла решить задачу с любыми возможными исходными данными.

Заключение

В этой статье были рассмотрены некоторые понятия математической логики, такие как информатика, свойства логических операций, а также - что такое логические операции сами по себе. Были приведены некоторые простейшие примеры для решения задач по математической логике и таблицы истинности, необходимые для упрощения этого процесса.

Символика логическая

система знаков (символов), используемая в логике для обозначения термов, предикатов, выска-зываний, логических функций, отношений между высказываниями. В разных логических системах могут использоваться различные системы обозначений, поэтому ниже мы приводим лишь наиболее употребительные символы из числа используемых в литературе по логике:

Начальные буквы латинского алфавита, обычно используются для обозначения индивидуальных константных выражений, термов;

Прописные начальные буквы латинского алфавита, обычно используются для обозначения конкретных высказываний;

Буквы, стоящие в конце латинского алфавита, обычно используются для обозначения индивидных переменных;

Прописные буквы, стоящие в конце латинского алфавита, обычно используются для обозначения переменных высказываний или пропозициональных переменных; для той же цели часто используют маленькие буквы середины латинского алфавита: р, q, r, ...;

символика логическая; u

Знаки, служащие для обозначения отрицания; читаются: "не", "неверно что";

Знаки для обозначения конъюнкции - логической связки и высказывания, содержащего такую связку в качестве главного знака; читаются: "и";

Знак для обозначения неисключающей дизъюнкции - логической связки и высказывания, содержащего такую связку в качестве главного знака; читается: "или";

Знак для обозначения строгой, или исключающей, дизъюнкции; читается: "либо, либо";

Знаки для обозначения импликации - логической связки и высказывания, содержащего такую связку в качестве главного знака; читаются: "если, то";

Знаки для обозначения эквивалентности высказываний; читаются: "если и только если";

Знак, обозначающий выводимость одного высказывания из другого, из множества высказываний; читается: "выводимо" (если высказывание А выводимо из пустого множества посылок, что записывается как " A", то знак " " читается: "доказуемо");

Истина (от англ. true - истина); - ложь (от англ. false - ложь);

Квантор общности; читается "для всякого", "всем";

Квантор существования; читается: "существует", "имеется по крайней мере один";

Знаки для обозначения модального оператора необходимости; читаются: "необходимо, что";

Знаки для обозначения модального оператора возможности; читаются: "возможно, что".

Наряду с перечисленными в многозначных, временных, деонтических и других системах логики используются свои специфические символы, однако каждый раз разъясняется, что именно тот или иной символ обозначает и как он читается (см.: Знак логический).

Словарь по логике. - М.: Туманит, изд. центр ВЛАДОС . А.А.Ивин, А.Л.Никифоров . 1997 .

Смотреть что такое "символика логическая" в других словарях:

- (Логические постоянные) термины, относящиеся к логической форме рассуждения (доказательства, вывода) и являющиеся средством передачи человеческих мыслей и выводов, заключений в любой области. К Л. к. относятся такие слова, как не, и, или, есть … Словарь терминов логики

ГОСТ Р ИСО 22742-2006: Автоматическая идентификация. Кодирование штриховое. Символы линейного штрихового кода и двумерные символы на упаковке продукции - Терминология ГОСТ Р ИСО 22742 2006: Автоматическая идентификация. Кодирование штриховое. Символы линейного штрихового кода и двумерные символы на упаковке продукции оригинал документа: 3.8 Data Matrix: Двумерная матричная символика с коррекцией… …

- (Wittgenstein) Людвиг (1889 1951) австро англ. философ, Проф. философии в Кембриджском ун те в 1939 1947. Филос. взгляды В. сформировались как под воздействием определенных явлений в австр. культуре нач. 20 в., так и в результате творческого… … Философская энциклопедия

- (греч. logike̅́) наука о приемлемых способах рассуждения. Слово «Л.» в его современном употреблении многозначно, хотя и не столь богато смысловыми оттенками, как древнегреч. lógos, от которого оно происходит. В духе традиции с понятием Л … Большая советская энциклопедия

- (от греч. semeiot знак) общая теория знаковых систем, изучающая свойства знаковых комплексов самой различной природы. К таким системам относятся естественные языки, письменные и устные, разнообразные искусственные языки, начиная с формализованных … Философская энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Корова (значения). ? Домашняя корова … Википедия

Исчисление понятий - «ИСЧИСЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ» («Запись в понятиях») сочинение немецкого математика и логика Готтлоба Фреге, положившее начало современной форме математической (символической) логики. Полное название этого сочинения включало указание на то, что в… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

ВИТГЕНШТЕЙН (WITTGENSTEIN) Людвиг - (1889 1951) австр. философ. Проф. философии в Кембриджском ун те в 1939 47 . Философские взгляды В. сформировались как под воздействием определенных явлений в австр. культуре начала XX в., так и в результате творческого освоения новых достижений… … Современная западная философия. Энциклопедический словарь

код - 01.01.14 код [ code]: Совокупность правил, с помощью которых устанавливается соответствие элементов одного набора элементам другого набора. [ИСО/МЭК 2382 4, 04.02.01] Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

- (Comte) основатель позитивизма, род. 19 го января 1798 г. в Монпелье, где отец его был сборщиком податей. В лицее особенно успевал в математике. Поступив в политехническую школу, он удивлял профессоров и товарищей своим умственным развитием. В… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Необходимая связь мышления и языка, при которой язык выступает материальной оболочкой мыслей, означает, что выявление логических структур возможно лишь путем анализа языковых выражений. Подобно тому, как к ядру ореха можно добраться лишь вскрыв его скорлупу, так и логические формы могут быть выявлены лишь путем анализа языка.

В целях овладения логико-языковым анализом рассмотрим кратко структуру и функции языка, соотношение логических и грамма-

Язык - это знаковая информационная система, выполняющая функцию формирования, хранения и передачи информации в процессе познания действительности и общения между людьми.

Основным строительным материалом при конструировании языка выступают используемые в нем знаки. Знак - это любой чувственно воспринимаемый (зрительно, на слух или иным способом) предмет, выступающий представителем другого предмета. Среди различных знаков выделим два вида: знаки-образы и знаки-символы.

Знаки-образы имеют определенное сходство с обозначаемыми предметами. Примеры таких знаков: копии документов; дактилоскопические отпечатки пальцев; фотоснимки; некоторые дорожные знаки с изображением детей, пешеходов и других объектов. Знаки-символы не имеют сходства с обозначаемыми предметами. Например: нотные знаки; знаки азбуки Морзе; буквы в алфавитах национальных языков.

Множество исходных знаков языка составляет его алфавит.

Комплексное изучение языка осуществляется общей теорией знаковых систем - семиотикой, которая анализирует язык в трех аспектах: синтаксическом, семантическом и прагматическом.

Синтаксис - это раздел семиотики, изучающий структуру языка: способы образования, преобразования и связи между знаками. Семантика занимается проблемой интерпретации, т.

е. анализом отношений между знаками и обозначаемыми объектами. Прагматика анализирует коммуникативную функцию языка - эмоциональные, психологические, эстетические, экономические и другие отношения носителя языка к самому языку.

По происхождению языки бывают естественные и искусственные.

Естественные языки - это исторически сложившиеся в обществе звуковые (речь), а затем и графические (письмо) информационные знаковые системы. Они возникли для закрепления и передачи накопленной информации в процессе общения между людьми. Естественные языки выступают носителями многовековой культуры народов. Они отличаются богатыми выразительными возможностями и универсальным охватом самых различных областей жизни.

Искусственные языки - это вспомогательные знаковые системы, создаваемые на базе естественных языков для точной и экономной передачи научной и другой информации. Они конструируются с помощью естественного языка или ранее построенного искусст-

венного языка. Язык, выступающий средством построения или изучения другого языка, называют метаязыком, основной-языком-объектом. Метаязык, как правило, обладает более богатыми по сравнению с языком-объектом выразительными возможностями.

Искусственные языки различной степени строгости широко используются в современной науке и технике: химии, математике, теоретической физике, вычислительной технике, кибернетике, связи, стенографии.

Особую группу составляют смешанные языки, базой в которых выступает естественный (национальный) язык, дополняемый символикой и условными обозначениями, относящимися к конкретной предметной области. К этой группе можно отнести язык, условно называемый «юридическим языком», или «языком права». Он строится на базе естественного (в нашем случае русского) языка, а также включает множество правовых понятий и дефиниций, правовых презумпций и допущений, правил доказательства и опровержения. Исходной клеточкой этого языка выступают нормы права, объединяемые в сложные нормативно-правовые системы.

Искусственные языки успешно используются и логикой для точного теоретического и практического анализа мыслительных структур.

Один из таких языков - язык логики высказываний. Он применяется в логической системе, называемой исчислением высказываний, которая анализирует рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений. Принципы построения этого языка будут изложены в главе о дедуктивных умозаключениях.

Второй язык - это язык логики предикатов. Он применяется в логической системе, называемой исчислением предикатов, которая при анализе рассуждений учитывает не только истинностные характеристики логических связок, но и внутреннюю структуру суждений. Рассмотрим кратко состав и структуру этого языка, отдельные элементы которого будут использованы в процессе содержательного изложения курса.

Предназначенный для логического анализа рассуждений, язык логики предикатов структурно отражает и точно следует за смысловыми характеристиками естественного языка. Основной смысловой (семантической) категорией языка логики предикатов является понятие имени.

Имя - это имеющее определенный смысл языковое выражение в виде отдельного слова или словосочетания, обозначающее или именующее какой-либо внеязыковой объект. Имя как языковая ка

тегория имеет таким образом две обязательные характеристики или значения:предметное значение и смысловое значение.

Предметное значение (денотат) имени - это один или множество каких-либо объектов, которые этим именем обозначаются. Например, денотатом имени «дом» в русском языке будет все многообразие сооружений, которые этим именем обозначаются: деревянные, кирпичные, каменные; одноэтажные и многоэтажные и т.д.

Смысловое значение (смысл, или концепт) имени - это информация о предметах, т.е. присущие им свойства, с помощью которых выделяют множество предметов. В приведенном примере смыслом слова «дом» будут следующие характеристики любого дома: 1) это сооружение (здание), 2) построено человеком, 3) предназначено для жилья.

Отношение между именем, смыслом и денотатом (объектом) можно представить следующей семантической схемой:

объект / денотат

Это значит, что имя денотирует, т.е. обозначает объекты только через смысл, а не непосредственно. Языковое выражение, не имеющее смысла, не может быть именем, поскольку оно не осмысленно, а значит и не опредмечено, т.е. не имеет денотата.

Типы имен языка логики предикатов, определяемые спецификой объектов именования и представляющие собою его основные семантические категории, это имена: 1) предметов, 2) признаков и 3) предложений.

Имена предметов обозначают единичные предметы, явления, события или их множества. Объектом исследования в этом случае могут быть как материальные (самолет, молния, сосна), так и идеальные (воля, правоспособность, мечта) предметы.

По составу различают имена простые, которые не включают других имен (государство), и сложные, включающие другие имена (спутник Земли). По денотату имена бывают единичные и общие.

Единичное имя обозначает один объект и бывает представлено в языке именем собственным (Аристотель) или дается описательно (самая большая река в Европе). Общее имя обозначает множество, состоящее более чем из одного объекта; в языке оно бывает представлено нарицательным именем (закон) либо дается описательно (большой деревянный дом).

Имена признаков - качеств, свойств или отношений - называются предика/порами. В предложении они обычно выполняют роль сказуемого (например, «быть синим», «бегать», «дарить», «любить» и т.д.). Число имен предметов, к которым относится предикатор, называется его местностью. Предикаторы, выражающие свойства, присущие отдельным предметам, называются одноместными (например, «небо синее»). Предикаторы, выражающие отношения между двумя и более предметами, называются многоместными. Например, предикатор «любить» относится к двухместным («Мария любит Петра»), а предикатор «дарить» - к трехместным («Отец дарит книгу сыну»).

Предложения - это имена для выражений языка, в которых нечто утверждается или отрицается. По своему логическому значению они выражают истину либо ложь.

Алфавит языка логики предикатов включает следующие виды знаков(символов):

1) а, Ь, с,... - символы для единичных (собственных или описательных) имен предметов; их называют предметными постоянными, или константами;

2) х, у, z, ... - символы общих имен предметов, принимающие значения в той или другой области; их называют предметными переменными;

3) Р", Q", R",... - символы для предикатов, индексы над которыми выражают их местность; их называют предикатными переменными;

4) р, q, r, ... - символы для высказываний, которые называют высказывательными, или пропозициональными переменными (от латинского propositio - «высказывание»);

5) V, 3 - символы для количественной характеристики высказываний; их называют кванторами: V - квантор общности; он символизирует выражения - все, каждый, всякий, всегда и т.п.; 3 - квантор существования; он символизирует выражения - некоторый, иногда, бывает, встречается, существует и т.п.;

6) логические связки:

л - конъюнкция (союз «и»);

V - ДИЗЪЮНКЦИЯ (СОЮЗ «ИЛИ»);

-> - импликация (союз «если..., то...»);

Эквиваленция, или двойная импликация (союз «если и только если..., то...»);

"1 - отрицание («неверно, что...»). Технические знаки языка: (,) - левая и правая скобки.

Других знаков данный алфавит не включает. Допустимые, т.е. имеющие смысл в языке логики предикатов выражения называются правильно построенными формулами - ППФ. Понятие ППФ вводится следующими определениями:

1. Всякая пропозициональная переменная-p,q, r,... есть ППФ.

2. Всякая предикатная переменная, взятая с последовательностью предметных переменных или констант, число которых соответствует ее местности, является ППФ: А" (х), А2 (х, у), А^х, у, z), А" (х, у,..., п), где А1, А2, А3,..., А" - знаки метаязыка для предикаторов.

3. Для всякой формулы с предметными переменными, в которой любая из переменных связывается квантором, выражения V хА (х) и Э хА(х) также будут ППФ.

4. Если А и В - формулы (А и В - знаки метаязыка для выражения схем формул), то выражения:

I А, -1 В также являются формулами.

5. Любые иные выражения, помимо предусмотренных в п. 1-4, не являются ППФ данного языка.

С помощью приведенного логического языка строится формализованная логическая система, называемая исчислением предикатов. Элементы языка логики предикатов будут использованы в дальнейшем изложении для анализа отдельных фрагментов естественного языка.

	Способ употребления	Название	Читается
		конъюнкция
		дизъюнкция
	р v q	Строгая дизъюнкция	либо р, либо q
		импликация	если р, то q
		эквивалентность	р тогда и только тогда, когда q
		отрицание	Неверно, что р
		Квантор всеобщности	Для всякого х верно, что Р(х)
		Квантор существования	Существует такой х, что Р(х)
		Индивидные переменные	Обозначения какого угодно предмета из универсума (области наших рассуждений)
		Пропозициональные переменны	Обозначения высказываний (предложений, которые могут быть оценены как истинные или ложные)
		Предикатные переменные	Переменные, значениями которых являются имена свойств или отношений

ЛОГИКА И ЯЗЫК. СЕМАНТИЧЕСКИЕ КАТЕГОРИИ ЯЗЫКА

Современная формальная логика называется символической потому, что она использует специальный язык для анализа структуры и законов мышления.

Необходимая связь мышления и языка, при которой язык выступает материальной оболочкой мыслей, означает, что выявление логических структур возможно лишь путем анализа языковых выражений. Подобно тому, как к ядру ореха можно добраться лишь вскрыв его скорлупу, так и логические формы могут быть выявлены лишь путем анализа языка.

Логический язык основывается на определенных предпосылках. С одной стороны – это философские онтологические допущения. Онтология – от греческого ontos – бытие и logos – учение, что значит учение о бытие. Онтологические допущения выражаются в определенной картине мира, в знании о строении мира, его свойствами закономерностях. С другой стороны, поскольку логическая теория мышления основана на анализе свойств языкового мышления, то логическая теория включает в себя определенные предпосылки о языке и его структуре.

Основным строительным материалом при конструировании языка выступают используемые в нем знаки. Знак - это любой (чувственно воспринимаемый (зрительно, на слух или иным способом) предмет, выступающий представителем другого предмета. Среди различных знаков выделим два вида: знаки-образы и знаки-символы.

Знаки-образы имеют определенное сходство с обозначаемыми предметами. Примеры таких знаков: копии документов; фотоснимки; некоторые дорожные знаки с изображением детей, пешеходов и других объектов.

Знаки-символы не имеют сходства с обозначаемыми предметами. Например: нотные знаки; знаки азбуки Морзе; буквы в алфавитах национальных языков.

Множество исходных знаков языка составляет его алфавит .

Комплексное изучение языка осуществляется общей теорией знаковых систем - семиотикой , которая анализирует язык в трех аспектах: синтаксическом, семантическом и прагматическом.

Синтаксис - это раздел семиотики, изучающий структуру языка: способы образования, преобразования и связи между знаками. Семантика занимается проблемой интерпретации, т.е. анализом отношений между знаками и обозначаемыми объектами. Прагматика анализирует коммуникативную функцию языка - эмоциональные, психологические, эстетические, экономические и другие отношения носителя языка к самому языку.

Рассмотрим кратко состав и структуру этого языка.

Предназначенный для логического анализа рассуждений, язык логики предикатов структурно отражает и точно следует за смысловыми характеристиками естественного языка. Основной смысловой (семантической) категорией языка логики предикатов является понятие имени.

Имя - это имеющее определенный смысл языковое выражение в виде отдельного слова или словосочетания, обозначающее или именующее какой-либо внеязыковой объект. Имя как языковая категория имеет таким образом две обязательные характеристики или значения: предметное значение и смысловое значение.

Предметное значение (денотат) имени - это один или множество каких-либо объектов, которые этим именем обозначаются. Например, денотатом имени «дом» в русском языке будет все многообразие сооружений, которые этим именем обозначаются: деревянные, кирпичные, каменные; одноэтажные и многоэтажные и т.д.

Смысловое значение (смысл, или концепт) имени - это информация о предметах, т.е. присущие им свойства, с помощью которых выделяют множество предметов. В приведенном примере смыслом слова «дом» будут следующие характеристики любого дома: 1) это сооружение (здание), 2) построено человеком, 3) предназначено для жилья. Имя денотирует, т.е. обозначает объекты только через смысл, а не непосредственно. Языковое выражение, не имеющее смысла, не может быть именем, поскольку оно не осмысленно, а значит и не опредмечено, т.е. не имеет денотата.

Типы имен языка логики предикатов, определяемые спецификой объектов именования и представляющие собою его основные семантические категории, это имена: 1) предметов, 2) признаков и 3) предложений. Имена предметов обозначают единичные предметы, явления, события или их множества. Объектом исследования в этом случае могут быть как материальные (самолет, молния, сосна), так и идеальные (воля, правоспособность, мечта) предметы.

По составу различают имена простые , которые не включают других имен (государство), и сложные , включающие другие имена (спутник Земли). По денотату имена бывают единичные и общие . Единичное имя обозначает один объект и бывает представлено в языке именем собственным (Аристотель) или дается описательно (самая большая река в Европе). Общее имя обозначает множество, состоящее более чем из одного объекта; в языке оно бывает пред­ставлено нарицательным именем (закон) либо дается описательно (большой деревянный дом).

Имена признаков - качеств, свойств или отношений - называются предикопорами. В предложении они обычно выполняют роль сказуемого (например, «быть синим», «бегать», «дарить», «любить» и т.д.). Число имен предметов, к которым относится предикатор, называется его местностью. Предикаторы, выражающие свойства, присущие отдельным предметам, называются одноместными (например, «небо синее»). Предикаторы, выражающие отношения между двумя и более предметами, называются многоместными. Например, предикатор «любить» относится к двухместным («Мария любит Петра»), а предикатор «дарить» - к трехместным («Отец дарит книгу сыну»).

Предложения - это имена для выражений языка, в которых нечто утверждается или отрицается. По своему логическому значе­нию они выражают истину либо ложь.

Алфавит языка логики предикатов включает следующие виды знаков (символов):

1) а, b , с,... - символы для единичных (собственных или описательных) имен предметов; их называют предметными постоянными, или константами;

2) х, у, z , ... - символы общих имен предметов, принимающие значения в той или другой области; их называют предметными переменными;

3) Р 1 , О 1 , К 1 ,... - символы для предикатов, индексы над которыми выражают их местность; их называют предикатными переменными;

4) р, q , r , ... - символы для высказываний, которые называют высказывательными, или пропозициональными переменными (от латинского рroposito - «высказывание»);

5) ,  - символы для количественной характеристики высказываний; их называют кванторами: - квантор общности; он символизирует выражения - все, каждый, всякий, всегда и т.п.;  - квантор существования; он символизирует выражения - некоторый, иногда, бывает, встречается, существует и т.п.;

6) логические связки:

– конъюнкция (союз «и»); – дизъюнкция (союз «или»);

-> - импликация (союз «если..., то,..»);

 - эквиваленция, или двойная импликация (союз «если и только если..., то...»);

 - отрицание («неверно, что...»).

Технические знаки языка: (,) - левая и правая скобки.

Других знаков данный алфавит не включает. Допустимые, т.е. имеющие смысл в языке логики предикатов выражения называются правильно построенными формулами – ППФ. Понятие ППФ вводится следующими определениями:

1. Всякая пропозиционная переменная – p, q, r … есть ППФ.

2. Всякая предикатная переменная, взятая с последовательностью предметных переменных или контакт, число которых соответствует ее местности, является ППФ: А 1 (х), А 2 (х, у), А 3 (x , y , z ), A n (x , y , … , n ) , где А 1 , А 2 , А 3 , A n – знаки метаязыка для предикаторов.

3. Для всякой формулы с предметными переменными, в которой любая из переменных связывается квантором, выражения  хА(х) и  хА(х) также будут ППФ.

4. Если А и В – формулы (А и В – знаки метаязыка для выражения схем формул), то выражения:

также являются формулами.

5. Любые иные выражения, помимо предусмотренных в п. 1– 4, не являются ППФ данного языка. С помощью приведенного логического языка строится форматизированная логическая система, называемая исчислением предикатов. Элементы языка логики предикатов будут использованы в дальнейшем изложении для анализа отдельных фрагментов естественного языка.

Понятие как форма мышления. Образование понятий.

Слово и понятие. Образование понятий

Язык и мышление неразрывно связаны в нашем познании. Слово является мощным орудием анализа мира, оно выводит нас за пределы чувственного опыта и позволяет проникнуть в сферу рационального.

Смысл слова – это функция выделения отдельных признаков в предмете, обобщения их и введения предмета в определенную систему категорий.

Основные этапы образования понятий.

Сначала мы выделяем отдельные признаки интересующего нас предмета (производим анализ).

Затем рассматриваем выделенные признаки по отдельности (операция абстрагирования).

Следующая операция – сравнение, она предполагает выделение общих признаков и отбрасывание частных.

На этапе синтеза мы соединяем общие признаки в единое целое, в мысленный образ предмета.

И наконец с помощью познавательного обобщения на основе выделенных признаков мы мыслим все множество объектов, обладающих этим признаком.

Объяснение использованных понятий

Анализ – мысленное расчленение предметов на их составные части, мысленное выделение в них признаков.

Абстрагирование – мысленное выделение одних признаков предмета и отвлечение от других; часто задача состоит в выделении существенных признаков и в отвлечении от несущественных, второстепенных.

Сравнение – мысленное установление сходства или различия предметов по существенным или несущественным признакам.

Синтез – мысленное соединение в единое целое частей предмета или его признаков, полученных в процессе анализа и сравнения.

Познавательное обобщение – мысленное объединение отдельных предметов в некотором понятии.

Понятие неразрывно связано с языковой единицей – словом. Понятия выражаются и закрепляются в словах и словосочетаниях, например, «право», «закон», «соучастие» и т.п. Слова являются материальной, языковой основой понятий, без которой невозможно на их формирование, ни оперирование ими.

Каждое слово не только обозначает предмет, но производит и гораздо более глубокую работу. Оно выделяет признак, существенный для этого предмета, анализирует данный предмет.

Признаки – это то, в чем предметы сходны друг с другом или отличны друг от друга; свойства или отношения – это признаки.

Признаки бывают существенные и несущественные.

Существенный признак – это, во-первых, признак, присущий всем предметам данного класса, во-вторых, признак, без которого мы не можем этот предмет помыслить. Вторая характеристика существенного признака отражает относительность философского понятия сущности. Сущность вещи – это отражение глубины нашего познания этой вещи на данном временном этапе. Например, древние греки выделяли в качестве начала всех вещей некие первостихии: воду, огонь, воздух и землю. Но сами эти первостихии могли определяться через сочетания основных качеств: влажное, сухое, горячее, холодное. Вода при таком подходе определялась как влажное и холодное, это понималось как её сущность. А для современного школьника сущность воды будет выражаться формулой H 2 О.

Несущественные признаки – это признаки, которые не являются определяющими в отношении качественной специфики обобщенных в понятии предметов.

Признаки бывают отличительные и неотличительные.

Отличительные признаки класса каких-либо предметов – это признаки, присущие только предметам этого класса.

Неотличительные признаки – это признаки, которые принадлежат не только данным предметами.

Понятие является основной формой мышления, посредством которой мы выделяем определенные классы вещей и отличаем их друг от друга. Понятие выступает, во-первых, как результат абстракции и сравнения, т.е. мысленного выделения и отделения существенных свойств вещей от несущественных, а, во-вторых, как обобщение этих существенных свойств и едином понятии.

Дадим более сжатое определение: Понятие – это мысль, которая объекты некоторого множества и выделяет это множество по существенным и отличительным для него признакам .

В языке понятия обозначаются именами . Именами собственным («Москва», «Пушкин») соответствуют конкретные предметы, именам общим («столица», «человек») – целые множества объектов. Можно сказать, что понятие – это смысл имени.

Слово не только обозначает вещь, но и обобщает вещи, относит их к определенной категории. Например, «преступление – это предусмотренное уголовным законодательством общественно опасное деяние».

В понятии «преступление » мы выделяем два существенных и (в совокупности) отличительных признака: (1) быть общественно опасным деянием; (2) быть предусмотренным уголовным законодательством.

Слово не только обозначает предмет, но и выполняет функцию анализа предмета, передает опыт, сформировавшийся в процессе исторического развития поколений людей. Так, «самовар» обозначает предмет, который сам варит; «телефон» обозначает предмет, который передает звук на расстоянии, «телевизор» обозначает предмет, который дает возможность видеть на расстоянии.

Имена и понятия являются исходными, элементарными средствами понимания, формирования и выражения мысли. Из понятий складываются, из суждений – рассуждения: пояснения, сомнения, возражения, доказательства и любые другие способы «разворачивания» мысли. Именно поэтому понятия выступают как смысл имени, как-то, что должно быть понятно при адекватном общении, при передаче научной или деловой информации.

Такие характеристики понимания, как ясность восприятия, точность в выражении и уяснении смысла, четкое осознание всех взаимосвязей между понятиями зависят от:

Степени систематизации знания;

Степени определённости знания и его выражения;

Степени развернутости формулировок, полноты раскрытия деталей.

В живой коммуникации успех во многом зависит от умения «схватить» суть разговора в целом, от умения уточнить детали путем анализа и выявления подробностей, от умения предвидеть возможные интерпретации и толкования понятий. В конфликтных ситуациях часто жертвуют определенностью и последовательностью изложения, допуская нечеткость и обтекаемость формулировок с целью достичь согласия.

Если иметь в виду систематизированное (научное) знание, то каноном выступает следующее: необходимо четко, ясно и детально дать информацию об обобщаемых в понятии предметах. С этой целью в логике различают объем и содержание понятий.

Понятие является основной формой мышления, посредством которой мы выделяем определенные классы вещей и отличаем их друг от друга. Понятие выступает, во – первых, как результат абстракции и сравнения, т.е. мысленного выделения и отделения существенных свойств вещей от несущественных, а, во – вторых, как обобщение этих существенных свойств в едином понятии. Для образования понятия необходимо выделить существенные признаки предмета, применив с этой целью ряд логических приемов: сравнение, анализ, синтез, абстрагирование, обобщение. Эти приемы широко используются в познании. Важную роль они играют в формировании понятий, основанном на выявлении существенных признаков: -чтобы составить понятие о предмете, нужно сравнить данный предмет с другими предметами, найти признаки сходства и различия. Логический прием, устанавливающий сходство или различие предметов, называется сравнением. -выделение признаков связано с мысленным расчленением предмета на составляющие его части, стороны, элементы. Мысленное расчленение предмета на части называется анализом. -выделение с помощью анализа признаков позволяет отличить существенные признаки от несущественных и отвлечься, абстрагироваться от последних. Мысленное выделение признаков одного предмета и отвлечение от других признаков называется абстрагированием. -элементы, стороны, признаки предмета, выделенные с помощью анализа, должны быть соединены в единое целое. Это достигается с помощью приема, противоположного анализу, - синтеза, представляющего собой мысленное соединение частей предмета, расчлененного анализом.

Содержание понятия составляют все его элементы, которые могут быть выделены в качестве отдельных понятий.Объем понятия есть все другие понятия, для которых оно служит признаком, главной их частью. Первое можно обозначить символом А, тогда второе будет выглядеть как Аа, Ав, Ас, Аd… Если наш символ А (содержание), допустим, означает понятие «государство», то другие символы (Аа, Ав, Ас…) (объем) будут означать «рабовладельческое государство», «феодальное государство», «буржуазное государство», «тоталитарное государство», «демократическое государство» и т.д. Нетрудно заметить, что А выступает подчиняющим (родовым), а Аа, Ав, Ас… - подчиненными понятиями.

Из сказанного следует, что если признается наличие объема понятия А, то это значит, что должно признаваться наличие понятий, для каждого из которых оно является частью содержания. Отсутствие их означает отсутствие и самого понятия А, так как понятий без объема не бывает . Это можно понять так, что каждому понятию всегда соответствует реальный предмет. В случае же, если мы имеем дело с понятиями о фантастических существах («кентавр», «фавн», «наяда» и т.п.), то и они имеют объем в логическом смысле, хотя реальных объектов для них мы не знаем.

Каково же отношение между объемом и содержанием понятия? Из приведенных выше рассуждений мы можем заключить, что если содержание понятия А находится в содержании понятия В, то В находится в объема понятия А. И наоборот, если понятие В содержится в объеме понятия А, то последнее составляет часть содержания первого. Содержание и объем понятия, таким образом, находятся в обратном отношении .

Закон обратного отношения между объемом и содержанием понятий имеет силу только для тех понятий, одно из которых является родовым (подчиняющим), а другое видовым (подчиненным). Поясним это на примере.

Возьмем родовое понятие «космическое тело», здесь мы понимаем все общее, что присуще всем космическим телам. Видовым понятием будет «звездные системы», под которым мы понимаем класс космических тел, обладающих особенными отличительными признаками (эти системы существуют как скопления звезд, где они взаимодействуют друг с другом, возникают и «умирают», на их месте появляются «черные дыры» и т.д.). Давайте теперь соотнесем эти понятия. Родовое понятие «космическое тело» «поглощает» (или включает в себя) видовое понятие «звездные системы», но наше родовое понятие включает и другие видовые понятия, например, «планетные системы», «планеты» и т.д. Включая самые общие признаки, свойственные всем космическим телам, родовое понятие имеет тенденцию к сужению объема, но при этом, в смысле содержания, оно включает множество понятий, раскрывающих видовые признаки, и таким образом, наше родовое понятие стремится к расширению. Видовое же понятие «звездные системы» представляет собой более богатое содержание (включает больше признаков), но оно оказывается уже по объему, ибо «поглощается» родовым понятием «космическое тело».

Этот закон отражает тот объективный факт, что количество общих признаков предмета и количество предметов, обладающих этими признаками, находятся в обратном соотношении (молодой специалист – инженер – Иванов А.П.).

В практике мышления необходимо отличать отношения рода и вида от отношения части и целого. Целое состоит из своих частей, а род в логическом смысле состоит из видов как своих частей лишь тогда, когда род и вид рассматриваются со стороны их объемов. Взятые же со стороны содержания, они находятся в обратном отношении, т.е. род является частью вида. Например, «роза есть растение». О части, которая не является видом, нельзя утверждать, что она есть целое. Например, волосы есть часть тела человека, но нельзя сказать, что волосы – это тело человека. Кроме того, имеются понятия, которые являются только родами по отношению к другим понятиям, а видами не могут быть. Такие понятия называются категориями. У них наибольший объем и наименьшее содержание по сравнению с остальными понятиями. Возьмем философские понятия «время», «пространство», «движение», «количество», «качество», «свойство», «отношение» и т.д. Они будут отличаться от категорий частных наук, которые не могут быть видами по отношению к понятиям этих же наук, но являются видами по отношению к философским категориям. Примеры категорий в частных науках: «живой организм» - в биологии, «элементарная частица» - в физике элементарных частиц, «фигура» - в геометрии, «атом» - в химии и т.д.

В формальной логике широко применяются категории «вещь», «свойство» и «отношение». Поэтому есть необходимость рассмотреть их содержание. Объекты, обозначаемые категорией «вещь», отличаются от объектов, обозначаемых категорией «свойство» и категорией «отношение». Объекты, обозначаемые как «вещь», обладают относительной самостоятельностью существования проявляющейся в том, что каждая вещь (камень, яблоко, луна, речка, элементарная частица и т.п.) имеет особые пространственные границы и отличается от другой вещи. Свойства же вещей, например, цвет, твердость, запах и т.п., не имеют самостоятельных пространственных границ, они «привязаны» к вещам. То же можно сказать и об отношениях. Например, отношения «больше - меньше», «темное - светлое», «доброе - злое» и т.д. не существуют вне вещей или людей – их носителей.

Каждая вещь представляет собой совокупность свойств, и они находятся в тех же самых пространственных границах, в каких существует и сама вещь, как бы ни менялись эти границы в связи с движением вещи, т.е. ее изменением. В любом случае свойства не существуют отдельно от вещи, которая является их носителем. Вещь может утрачивать какое-то свойство, как и отдельные отношения с другими вещами, но при этом она остается сама собой. И свойства вещей, и их отношения проявляются в отношениях вещей друг к другу, либо в отношениях одной части вещи к другой.

Операции ограничения и обобщения понятий

Операции над понятиями - это такие логические действия, вследствие которых образуются новые понятия Поскольку объем понятий рассматривается как класс, с которым проводятся эти операции, то последние и называются операциями с классами результате ци их операций (операций над понятиями) приобретают новые классы Рассмотрим такие операции над понятиями: а) составление, б) умножения, в) отрицание, г) обобщение и ограничение понять.

А Операция сложения понятий заключается в объединении двух или нескольких классов в один класс

Так, операция сложения понятий \"обвинительный приговор\" и \"оправдательный приговор\" заключается в объединении класса обвинительных приговоров с классом оправдательных приговоров в один класс или в одно понятие \"об бинувальний приговор \"буквой А, а понятие\" оправдательный приговор \"- буквой В, то результат этой операции можно отобразить графически так (см. рис 7) Заштрихованная поверхность е класс приговоре. 7.

С помощью операции сложения можно объединить классы (понятия), находящихся между собой в самых отношениях: тождества, подчинения, пересечения, соподчинения, противоречия., Например, при объединении понятий \"свидетели\" (А) и \"родственники\" (В), которые находятся в отношении пересечения, мы получим новый класс (рис 8), в который войдут не только свидетели, не является родственникам и, и родственники, которые не являются свидетелями, но и родственники-свидетели При составлении понятий \"договор\" (А) и \"соглашение\" (В), между которыми существуют отношения подчинения, получат новый класс (заштрихованная поверхность рис 9), в который войдут не только сделки, не являются договорами, но и соглашения.

При операции сложения понятий часто пользуются союзом \"или\" Он употребляется не в разделительном, а в связующем-разделительном смысле Это следует иметь в виду при толковании правовых норм.

Объем понятий \"А или В\", полученный вследствие операции сложения, е объединение классов соответствуют понятиям А и В Поэтому выражение \"А или В\", например \"студенты или спортсмены\", означает, что к этому новому класса входят не только студенты, не является спортсменами, и спортсмены, которые не являются студентами, но и студенты, которые одновременно являются и спортсменами.

Б Операция умножения понятий заключается в поиске таких предметов (элементов), входящих одновременно к классу обоих понятий Например, операция умножения понятий \"свидетель\" (А) и \"родственник\" (В) заключается ае в поиске таких элементов среди класса свидетелей и таких элементов среди класса родственников, которые одновременно входят в обоих классов, то есть таких людей, которые являются одновременно и свидетелями и родственникам.

Графически результат этой операции можно отразить следующим образом (см. рис 10) Заштрихованная часть поверхности и означает искомое класса предметов, то есть тех людей, которые являются одновременно и свидетелями, и родственниками

Операцию умножения можно проводить с понятиями, находящихся между собой в различных отношениях Например, если нам нужно провести операцию умножения понятий \"преступление\" (А) и \"должностное преступление\" (В), что перебои бывают в отношении подчинения, то мы выделяем следующие элементы подчинения, которые одновременно входят в обоих этих классов, то есть находим такие преступления вообще, которые одновременно являются.

Графически результат операции умножения этих понятий будет такое отображение (см. рис 11) Заштрихованная поверхность обозначает класс тех элементов (преступлений), которые одновременно входят в понятие А (\"преступление\") и к в понятие В (\"должностное преступление).

При умножения понятий, объем которых не совпадает, мы получаем нулевое понятие Например, нам необходимо провести операцию умножения над понятиями \"понарошку\" и \"неосторожно\" Поскольку объем этих понятий н не имеет общих элементов, то полученное в результате операции умножения множественность действий является одновременно умышленные и неосторожные и будет нулевым класом.

Операция умножения сказывается основном с помощью союза \"и\" (\"студент и спортсмен\", \"право и государственное право\", \"взятка и халатность\"), который употребляется в соединительнотканной смысле

В Операция отрицания понятия А заключается в образовании нового понятия - не-А, объем которого, составленный с объемом понятия А, составляет логический класс сферы предметов, о которой мы рассуждаем

Например, сферой нашего рассуждения являются юридические соглашения Отрицая понятия \"купля-продажа\" (А), мы получим понятие \"не купля-продажа\" (не-А) Сложив понятия \"купля-продажа\" и \"не купля-продажа\", мы получим класс юридических.

Графически результат этой операции можно представить так (см. рис 12) Здесь квадрат - это сфера предметов, о которой мы рассуждаем (в данном случае юридические соглашения) Круг понятия (А) \"купля-продажа\" Заштрихованная часть квадрата - понятие (не-А) \"не купля-продажа\" Понятия не-А, отрицает понятие А, имеет определенный объем Так, в объем понятия \"не купля-продажа\" (не-А) войдет не все, предмет действительности, например дерево, дом, человек и т д, а только те элементы класса юридических сделок, не является куплей-продажей, не входят в объем понятия А И поскольку каждый предмет или явление материального мира может рассматриваться нами в составе различных классов предметов, то объем конкретного понятия не-А находиться в зависимости от объема той сферы предметов, о которой мы рассуждаем.

Например, если сферой предметов, о которой мы думаем, является класс преступлений вообще, то к объему понятия \"не кража\" (не-А), полученного благодаря отрицанию понятия \"кража\" (А), войдут все преступления, а именно: все государственные преступления, все преступления против собственности, за исключением кражи, преступления против жизни, здоровья, свободы и достоинства личности и т д Если же сферой предметов, являются преступления против личной собственности граждан, то к объему понятия \"не кража\" (не-А), образованного посредством отрицания понятия \"кража\" (А), войдут уже не все преступления, предусмотренные кодексом, кроме кражи, а только преступления против личной собственности граждан, не является кражей, то есть грабеж, разбой, мошенничество, шантаж и т.д. Понятия (А и не-А), полученные благодаря операции отрицания, находятся между собой в отношении противоречия

Обобщение и ограничение понятий

В практике мышления нам часто приходится переходить от одних понятий к другим Так, мы можем перейти от понятия \"халатность\" к понятию \"должностное преступление\", от понятия \"должностное преступление преступление\", от последнего - к понятию \"деяния\" и, наоборот, от понятия \"действие\" к понятию \"преступление\", от него - к понятию \"должностное преступление\".

Логическая операция, с помощью которой происходит переход от понятия с меньшим объемом к понятию с большим объемом, называется обобщением Обобщить понятие - значит перейти от вида к роду

Логическая действие, в процессе которой происходит переход от понятия с большим объемом к понятию с меньшим объемом, называется ограничением При ограничении мы уходим от рода к виду

Например, когда от понятия \"договор\" мы переходим к понятию \"сделка\", а от него к понятию \"гражданские правоотношения\", а затем к понятию \"правоотношения\" - мы обобщаем понятие \"договор\" мы перейдем к понятию \"страхование\", а от него - к понятию \"имущественное страхование\", то мы ограничиваем понятия (см. рис 13).

Процесс обобщения и ограничения понятий не бесконечен

Пределом обобщения являются категории Категории - это понятия с предельно широким объемом Категории не имеют рода, поэтому не поддаются обобщению Например, такие категории, как \"материя\", \"сознание\", \"движение\" \"сущность\", \"явление\", \"количество\", \"качество\" и т.д.,

Пределом ограничения является единичное понятие Так, ограничением понятия \"кража\" будет \"кража, совершенная Петровым\"

Обобщение и ограничение может быть как правильным, так и неправильным Чтобы эти операции были правильными, необходимо при обобщении переходить от вида к роду, а при ограничении - от рода к виду Если же же при обобщении мы перейдем к понятию, которое родом относительно исходного понятия, то такс обобщения будет неправильным Нельзя, например, обобщая понятие \"кража\", перейти к понятию \"грабеж\", поскольку грабеж не является родом для кражи.

При ограничении случаются ошибки, когда понятие, к которому приходят, не является видом относительно того понятия, которое ограничивается Если, например, ограничивая понятие \"государство\", мы перейдем к понятию \"семья\", то такое е ограничение будет неправильно

Обобщение и ограничение понятий позволяет уточнить содержание и объем понятий, установить отношения между ними, что весьма важно для познания

Виды понятий

Понятия принято делить на следующие виды: 1) единичные и общие, 2) собирательные и несобирательные, 3) конкретные и абстрактные, 4) положительные и отрицательные, 5) безотносительные и соотносительные.

1. Понятия делятся наединичные и общие в зависимости от того, мыслится в них один элемент или множество элементов. Понятие, в котором мыслится один элемент, называетсяединичным (например, «Москва», «Л.Н. Толстой», «Российская Федерация»). Понятие, в котором мыслится множество элементов, называетсяобщим (например, «столица», «писатель», «федерация»).

Общие понятия могут бытьрегистрирующими и нерегистрирующими. Регистрирующими называются понятия, в которых множество мыслимых в нем элементов поддается учету, регистрируется (во всяком случае в принципе). Например, «участник Великой Отечественной войны 1941-1945 гг.», «родственники потерпевшего Шилова», «планета Солнечной системы». Регистрирующие понятия имеют конечный объем.

Общее понятие, относящееся к неопределенному числу элементов, называетсянерегистрирующим. Так, в понятиях «человек», «следователь», «указ» множество мыслимых в них элементов не под­дается учету: в них мыслятся все люди, следователи, указы прошед­шего, настоящего и будущего. Нерегистрирующие понятия имеют бесконечный объем.

2. Понятия делятся на собирательные и несобирательные. Понятия, в которых мыслятся признаки некоторой совокупности элементов, составляющих единое целое, называютсясобирательными. На­пример, «коллектив», «полк», «созвездие». Эти понятия отражают множество элементов (членов коллектива, солдат и командиров полка, звезд), однако это множество мыслится как единое целое.

Понятие, в котором мыслятся признаки, относящиеся к каждому его элементу, называетсянесобирательным. Таковы, например, понятия «звезда», «командир полка», «государство».

3. Понятия делятся на конкретные и абстрактные в зависимости от того, что они отражают: предмет (класс предметов) или его признак (отношение между предметами).

Понятие, в котором мыслится предмет или совокупность предметов как нечто самостоятельно существующее, называетсяконкретным; понятие, в котором мыслится признак предмета или отноше­ние между предметами, называетсяабстрактным. Так, понятия «книга», «свидетель», «государство» являются конкретными; понятия «белизна», «смелость», «ответственность» - абстрактными.

Различие между конкретными и абстрактными понятиями основано на различии между предметом, который мыслится как целое, и свойством предмета, отвлеченным от последнего и отдельно от него не существующим. Абстрактные понятия образуются в результате отвлечения, абстрагирования определенного признака предмета.

4. Понятия делятся на положительные и отрицательные в зависимости от того, составляют ли их содержание свойства, присущие предмету, или свойства, отсутствующие у него.

Понятия, содержание которых составляют свойства, присущие предмету, называютсяположительными. Понятия, в содержании которых указывается на отсутствие у предмета определенных свойств, называютсяотрицательными. Так, понятия «грамотный», «порядок», «верующий» являются положительными; понятия «неграмотный», «беспорядок», «неверующий» - отрицательными.

5. Понятия делятся на безотносительные и соотносительные в зависимости от того, мыслятся ли в них предметы, существующие раздельно или в отношении с другими предметами.

Понятия, отражающие предметы, существующие раздельно и мыслящиеся вне их отношения к другим предметам, называются безотносительными. Таковы понятия «студент», «государство», «место преступления» и др.Соотносительные понятия содержат признаки, указывающие на отношение одного понятия к другому понятию. Например: «родители» (по отношению к понятию «дети») или «дети» (по отношению к понятию «родители»), «начальник» («подчиненный»), «получение взятки» («дача взятки»). Соотносительными являются также понятия «часть», «причина», «брат», «сосед» и др. В этих понятиях отражены предметы, существование одного из которых не мыслится вне его отношения к другому.

Отношения между понятиями

В зависимости от содержания и объема все понятия делятся на конкретные виды. Для наглядности представим их в виде схемы, а затем последовательно рассмотрим каждый вид более подробно. Единичными называются понятия, в которых мыслится один предмет (например, "великий русский писатель Александр Николаевич Островский", "Организация Объединенных Наций", "столица России" и другие).

Общим называется понятие, в котором мыслится множество предметов (например, "столица", "государство", "правовед", "экономист" и другие). Общие понятия могут быть регистрирующими и нерегистрирующими.Регистрирующими называются понятия, в которых множество мыслимых в них предметов подается учету, регистрации (например, "участник Великой Отечественной войны", "народный депутат России" и другие).Нерегистрирующим называется общее понятие, относящееся к неопределенному числу предметов (например, "человек", "философ", "ученый" и другие). Нерегистрирующие понятия имеют бесконечный объем.

Нулевыми (пустыми) называются понятия, объемы которых представляют собой классы реально не существующих предметов и существование которых в принципе невозможно: "вечный двигатель", "русалка", "леший" и др.). От нулевых следует отличать понятия, отражающие предметы, которые реально не существуют в настоящее время, но существовали в прошлом или существование которых возможно в будущем: "древнегреческий философ", "термоядерная электростанция". Такие понятия не являются нулевыми.

Конкретные - это понятия, в которых мыслится предмет или совокупность предметов как нечто самостоятельно существующее: "академия", "студент", "романс", "дом", "поэма А. Блока "Двенадцать" и др.

Абстрактные - это понятия, в которых мыслится не сам предмет, а какой-либо из признаков предмета, взятый отдельно от самого предмета: "смелость", "добросовестность", "храбрость", "синева", "тождество" и др.

Относительные - это такие понятия, в которых мыслятся предметы, существование одного из которых предполагает существование другого: " родители "-" дети "," учитель "- "ученик "," начальник "-" подчиненный "," истец "-" ответчик " и др.

Безотносительные - это такие понятия, в которых мыслятся предметы, существующие самостоятельно, вне зависимости от другого предмета: "фермер", "правило", "деревня", "человек" и др.

Положительные - это понятия, содержание которых составляют свойства, присущие предмету: "принципиальность", "благородный поступок", "живущий по средствам", "успевающий студент" и др.

Отрицательными называются понятия, в содержании которых указывается на отсутствие у предмета определенных свойств (например, "некрасивый поступок", "некрашеный дом", "некошеный луг" и др.). В русском языке отрицательные понятия выражаются обычно словами с отрицательными приставками "не" или "без" ("бес "): "неграмотный", "неверующий", "беззаконие", "беспорядок" и др. В словах иностранного происхождения - чаще всего словами с отрицательной приставкой "а": "агностицизм", "аморальный" и др.

Собирательными называются понятия, в которых группа однородных предметов мыслится как единое целое: "лес", "созвездие", "роща", "студенческий строительный отряд" и др. Содержание собирательного понятия нельзя отнести к каждому отдельному элементу, входящему в объем этого понятия.

Несобирательные - это такие понятия, содержание которых можно отнести к каждому предмету данного класса, который охватывается понятием: "дерево", "звезда", "студент" и др.

Определить, к какому из указанных видов относится конкретное понятие, означает дать ему логическую характеристику. Например, понятие "невнимательность" - общее, несобирательное, абстрактное, отрицательное, безотносительное. Логическая характеристика понятий помогает уточнить их содержание и объем, вырабатывает навыки более точного употребления понятий в процессе рассуждения.

Логические отношения между понятиями

Так как все предметы мира находятся во взаимодействии и взаимообусловленности, то и понятия, отражающие предметы мира, также находятся в определенных отношениях. Конкретные виды отношений устанавливаются в зависимости от содержания и объема понятий, которые сравниваются.

Если понятия не имеют общих признаков, далеки друг от друга по своему содержанию, то они называются несравнимыми (например, "симфоническая музыка" и "солнечное затмение", "воздушное пространство" и "библиотека "). Сравнимыми называются понятия, имеющие общие признаки (например, "язык" и "иностранный язык", "экономист" и "работник банка "). Сравнимые понятия делятся по объему на совместимые и несовместимые.

Совместимые - это такие понятия, объемы которых совпадают полностью или частично. Несовместимые - это понятия, объемы которых не совпадают ни в одном элементе.

Отношения между понятиями принято иллюстрировать с помощью круговых схем (кругов Эйлера),где каждый круг обозначает объем понятия, а каждая точка - предмет, входящий в его объем. Круговые схемы позволяют наглядно представить отношения между различными понятиями, лучше понять и усвоить эти отношения.

В отношениях тождества находятся понятия, которые различаются по своему содержанию, но объемы, которых совпадают. В таких понятиях мыслится один предмет или класс однородных предметов. Однако содержание таких понятий различно, так как каждое из них отражает только определенную сторону (признак) данного предмета или класса однородных предметов. Например, "автор рассказа "Человек в футляре" и "автор рассказа "Каштанка"

В отношении пересечения находятся понятия, у которых объемы частично совпадают. Содержание этих понятий различно. Например, пересекающимися понятиями являются "студент" и "филателист" (А и В): не все студенты являются филателистами, и не все филателисты - студенты. В совместившейся (заштрихованной) части кругов мыслятся те студенты, которые являются филателистами.

В отношении подчинения находятся понятия, объем одного из которых полностью входит в объем другого, составляя его часть. В таком отношении, например, находятся понятия "герой" (А) и "театральный герой" (В). Объем первого понятия шире объема второго понятия: кроме театрального героя существуют и другие виды: герой литературный, художественный, телеэкрана, кинематографический и другие. Понятие "театральный герой" полностью входит в объем понятия "герой".

При иллюстрации отношений между несовместимыми понятиями возникает потребность во введении более широкого по объему понятия, которое включало бы объемы несовместимых понятий.

В отношении соподчинения находятся два или более неперекрещивающихся понятий, принадлежащих общему родовому понятию. Соподчиненные понятия (В и С)- это виды одного рода (А), у них общий родовой признак, но видовые признаки различны. Например, "должностное преступление" (А), "взятка" (В), "растрата" (С).

В отношении противоположности (контрарности) находятся понятия, которые являются видами одного и того же рода, и притом одно из них содержит какие-то признаки, а другое эти признаки не только отрицает, но и заменяет их другими, исключающими (т.е. противоположными признаками). Например, "демократическое государство" и "тоталитарное государство " (А и В), "свой" и "чужой", "храбрость" и "трусость" и т.д. Слова, выражающие противоположные понятия, являются антонимами. Объемы противоположных понятий составляют в своей сумме лишь часть объема общего для них родового понятия.

В отношении противоречия находятся такие два понятия, которые являются видами одного и того же рода, и при этом одно понятие указывает на некоторые признаки, а другое эти признаки отрицает, исключает, не заменяя их никакими другими признаками. Например, "знающий философию" и "незнающий философию", "друг" и "недруг" и т.д. Объемы двух противоречащих понятий составляют весь объем рода, видами которого они являются. Таким образом, уяснение логической структуры понятия, раскрытие их видов и отношений между сравнимыми понятиями дает возможность перейти к рассмотрению логических действий, или операций, над понятиями.

Определение понятий и виды определений. Приемы, сходные с определением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ КАК ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ

Определение – это логическая операция, раскрывающая содержание понятия.

Виды определений:

1) номинальное – это определение, посредством которого взамен описания какого-либо предмета вводится новый термин (имя). Цель данного определения – формирование нового термина. Например, несоответствие субъективных представлений человека объективному положению вещей называется заблуждением. В данном случае мы ввели новый термин – заблуждение – вместо описания процесса;

2) реальное – это определение, раскрывающее существенные признаки предмета. Например, логика – философская наука о законах и формах человеческого мышления, рассматриваемого как средство познания окружающей действительности.

Так как определение понятия состоит в установлении его существенных признаков, то правила определения должны, очевидно, заключать в себе указания приемов, с помощью которых могут быть найдены именно существенные, а не иные признаки определяемого понятия.

Во многих случаях перечисление всех таких признаков – слишком продолжительное занятие. Существует иной способ, который состоит в том, что указывается, во-первых, ближайший род, к которому данное определяемое понятие принадлежит. Во-вторых, указывается особый признак, посредством которого данное понятие отличается как вид от всех других видов указанного рода. Этот признак называют «видовым отличием», а сам прием определения называется определением «через ближайший род и через видовое отличие».

Определение через ближайший род и видообразующее отличие применяется всюду, где предыдущее исследование выяснило, что определяемое понятие есть понятие о предмете, принадлежащем к одному из видов некоторого рода. Таковы многие понятия математических, физических и других наук. Например, логику можно определить, как философскую науку о законах и формах человеческого мышления, рассматриваемого как средство познания окружающей действительности. Это есть определение через род и видовое отличие.

Определение через ближайший род и видообразующее отличие предполагает, что определяемое понятие есть понятие о предмете, который:

1) уже возник и существует;

2) связан определенным отношением принадлежности к другому классу предметов, заключающему его в себе так, как род включает вид.

При этом способ возникновения предмета не отмечается в самом определении.

Приемы, сходные с определением: описание, сравнение, характеристика, различение.

Описание – перечисление, как правило, внешних признаков предмета. Оно играет важную роль в деятельности. Так, принимая какое-либо решение, необходимо стремиться к наиболее полному описанию всех следствий, к которым приведет данное действие.

Характеристика – это указание отличительных, характерных черт и признаков единичного предмета.

Сравнение – это прием, который используется для образной характеристики предмета.

С помощью различения устанавливаются признаки, отличающие один предмет от других, сходных с ним, предметов. Например, в практике следователя часто встречаются так называемые «особые приметы».

Стефаном Цвейгом облика Оноре Бальзака, облика его отца и других людей, описание пейзажей, деревьев, птиц и т. д.), в исторической литературе (описание Куликовской битвы, описание обликов военачальников, монархов и других личностей); в специальной технической литературе приводится описание внешнего вида машин, в том числе ЭВМ, описание конструкций различных предметов (например, замков, электрохолодильников, электронагревательных приборов и др.).

При розыске преступников дается описание их внешности и в первую очередь особых примет, чтобы люди могли их опознать и сообщить об их месте нахождения.

Характеристика дает перечисление лишь некоторых внутренних, существенных свойств человека, явления, предмета, а не его внешнего вида, как это делается с помощью описания.

Иногда характеристика дается путем указания одного признака. К. Маркс называл Аристотеля «величайшим мыслителем древности», а Луначарский характеризовал Клима Самгина (из романа М. Горького) как «микроскопическую индивидуальность на больших каблуках самомнения». К. Д. Ушинский писал: «Леность - это отвращение человека от усилий».

В книге рекордов Гиннесса (1988 г.) даны такие характеристи­ки: «Сергей Бубка (СССР). Первый прыгун с шестом, преодолевший шестиметровый рубеж»; «Сэр Эдмунд Хиллари (Новая Зеландия). Его выдающееся достижение заключается в том, что он первым покорил Эверест»; «Самая дорогая картина. «Подсолнухи», одна из серии в 7 картин Винсента ван Гога, была продана на аукционе Кристи 30 марта 1987 г. в Лондоне за 22 500 000 ф. ст.».

Характеристика литературных героев дается путем перечисления их деловых качеств, моральных, общественно-политических взглядов, а также соответствующих действий, черт характера и темперамента, целей, которые они ставят перед собой. Характеристика этих персонажей позволяет четко, метко подметить типичные черты того или иного собирательного образа.

Такую, например, характеристику идеального человека дал Аристотель. «Идеальный человек испытывает радость от того, что делает благодеяния другим; но ему стыдно принимать благодеяние от других. Возвышенные натуры творят добро, низшие натуры принимают его».

Ж.-Ж. Руссо считал, что можно сделать человека добрее, изменив его потребности. Развивая эту мысль, К. Д. Ушинский дает также характеристики сильного и слабого существа: «Тот, чья сила превосходит его потребности, будь то насекомое, червяк, есть существо сильное; тот же, чьи потребности превосходят силу, будь это слон, лев, будь это победитель, герой, будь это бог, есть существо слабое». И далее: «...чувство доброты появляется, когда силы наши превышают требовательность стремлений».

Дейл Карнеги дает такую характеристику в сочетании со сравнениями. «Одним из самых трагических свойств человеческой натуры, насколько мне известно, является наша склонность откладывать осуществление своих чаяний на будущее. Мы все мечтаем о каком-то волшебном саде, полном роз, который виднеется где-то за горизонтом, - вместо того, чтобы наслаждаться теми розами, которые растут под нашим окном сегодня. Почему мы такие глупцы - такие ужасающие глупцы? «Как странно мы проводим тот маленький отрезок времени, называемый нашей жизнью, - писал Стивен Ликок. - Ребенок говорит: «Когда я стану юношей». Но что это означает? Юноша говорит: «Когда я стану взрослым». И, наконец, став взрослым, он говорит: «Когда я женюсь». Наконец, он женится, но от этого мало что меняется. Он начинает думать: «Когда я смогу уйти на пенсию». А затем, когда он достигает пенсионного возраста, он оглядывается на пройденный им жизненный путь; как бы холодный ветер дует ему в лицо, и перед ним раскрывается жестокая правда о том, как много он упустил в жизни, как все безвозвратно ушло. Мы слишком поздно понимаем, что смысл жизни заключается в самой жизни, в ритме каждого дня и часа».

Часто применяется сочетание описания и характеристики. Оно используется при изучении химии, биологии, географии, истории и других наук. Например, «Нефть - маслянистая жидкость, лег­че воды, темного цвета, с резким запахом. Главное свойство нефти - горючесть. При сгорании нефть дает больше теплоты, чем каменный уголь. Нефть залегает глубоко в земле». Этот прием часто используется и в художественной литературе.

Разъяснение посредством примера используется тогда, когда легче привести пример или примеры, иллюстрирующие данное понятие, чем дать его строгое определение через род и видовое отличие.

Объяснение понятия «животный мир пустыни» происходит путем перечисления видов ее обитателей: верблюд, джейран, черепаха, ящерица варан, кулан и др.

Понятие «полезное ископаемое» объясняется перечислением видов (примеров): нефть, каменный уголь, металлы и др. Разъяснение посредством примера используется и в средней школе, и в начальной.

Разновидностью этого приема являются остенсивные определения, к которым часто прибегают при обучении иностранному языку, когда называют и показывают предмет (или картинку с его изображением). Так же иногда поступают при разъяснении непонятных слов родного языка.

Другим приемом, заменяющим определение понятий, является сравнение. К сравнению прибегают как на уровне научного познания, так и на уровне художественного отображения действительности. В. А. Сухомлинский использовал сравнение мозга ребенка с цветком розы: «Мы, учителя, имеем дело с самым нежным, самым тонким, самым чутким, что есть в природе, - с мозгом ребенка. Когда думаешь о детском мозге, представляешь нежный цветок розы, на котором дрожит капелька росы. Какая осторожность и нежность нужны для того, чтобы, сорвав цветок, не уронить каплю. Вот такая же осторожность нужна и нам каждую минуту: ведь мы прикасаемся к тончайшему и нежнейшему в природе - к мыслящей материи растущего организма».

В науке сравнение позволяет выяснить сходства и различия сопоставляемых предметов. В учебнике по биологии приводятся такие сравнения: «Тело медузы студенистое, похожее на зонтик»; «Почки - небольшие парные органы, имеющие форму бобов»; «Цветок гороха напоминает сидящего мотылька»; «Завязи пестиков шиповника скрыты в разросшемся цветоложе, похожем на бокал». Во всех приведенных сравнениях общим признаком (основанием сравнения) является форма.

Сравнение на уровне художественного отображения действительности позволяет подметить общее, сходное в двух предметах, и в яркой форме, образно выразить это сходство. М. Горький использует такое сравнение: «Грубость - такое же уродство, как горб».

Художественные сравнения часто включают в свой состав слова: «как», «как будто», «словно» и др.

В. Набоков в рассказе «Весна в Фиальте» использует такие интересные сравнения: «... елки молча торговали своими голубоватыми пирогами»; «... кто-то, спасаясь, падая, хрустя, хохоча с запышкой, влез на сугроб, побежал, охнул сугроб, произвел ампутацию валенка»; «... точно женская любовь была родниковой водой, содержащей целебные соли, которой она из своего ковшика охотно поила всякого, только напомни».

Артур Конан Дойл в одном предложении использует сразу три приема, заменяющие определение (приводит описание, характеристику и ряд сравнений). «Стоит мне и теперь закрыть глаза, Мари встает передо мной: щеки смуглые, как лепестки мускатной розы; взгляд карих глаз нежен и в то же время смел; волосы черные, как смоль, будят волнение в крови и в стихи просятся; а фигурка - точно молодая березка на ветру».

Различение есть прием, позволяющий установить отличие данного предмета от сходных с ним предметов. Например, «Истерия - не болезнь, а характер: главная черта этого характера - самовнушаемость»(П. Дюбуа).

Правила определения. Ошибки в определениях.

Соблюдение данных правил является обязательным во избежание совершения логических ошибок. Эти правила следующие:

1. Определение должно быть соразмерным , т.е. объем определяемого понятия должен совпадать с объемом определяющего, они должны быть равнозначащими понятиями. Эта соразмерность легко проверяется через перестановку мест членов определительного суждения. Приведем примеры. «Наука о законах и формах правильного мышления есть логика». Если переставить местами это логическое уравнение, то можно обнаружить тождество, как и в первом случае. Иное дело, когда мы прибегнем к таким примерам: «Молодой человек, обладающий дипломом, есть специалист». Если переставить местами определяемое и определяющее, то можно заметить, что понятие «специалист» шире понятия «молодой человек с дипломом». Значит, в этом случае данное правило нарушено.

2. Нельзя допускать круга в определении , т.е. когда определяющее само разъясняется через определяемое понятие. Нарушение этого правила ведет к логической ошибке –тавтологии . Вот некоторые примеры тавтологии: «Преступник – это человек, совершивший преступление»; «Сравнительная аналогия» (из газеты «Телегород», № 21, 2003). Здесь видно, что определяющее понятие повторяет сказанное в определяемом, не раскрывая его значения. Во избежание этой ошибки нужно помнить, что определяемое и определяющее понятия равны по объему, но не тождественны по своему содержанию, представляют самостоятельные понятия.

3. Определение не должно быть только отрицательным . Ведь целью определения является ответ на вопрос: чем является данный предмет, отображенный в понятии. Для этого необходимо выявить и перечислить в утвердительной форме его существенные признаки. Отрицательное определение отмечает лишь отсутствующие признаки, т.е. указывает, чем не является данный предмет. Однако негативный момент в составе определяющего понятия иногда необходим, он более четко выделяет предмет нашей мысли. Например, понятие «невидимый мир» не дает позитивного представления об этом мире, но подчеркивает сам предмет, который отображен в понятии.

4. Определение должно быть кратким, точным и ясным .

Слишком многословное определение выходит за рамки своего назначения и грозит превратиться в простое описание. В определении надо избегать двусмысленных, расплывчатых терминов, которые можно толковать по-разному. Нечеткое определение ведет к непониманию предмета, к смутным представлениям и путанице.

Точность определения предполагает его однозначность на протяжении всего рассуждения (выступления перед аудиторией, письменного текста, процесса и вывода). Этого требует логический закон тождества. В практике нередко возникает необходимость изменить определение, но при этом обязательно должна быть сделана специальная оговорка. Ясность определения зависит от его краткости и точности.

Деление понятий и его виды

Правила деления понятий в логике

1. Деление должно быть соразмерным.

Задача деления заключается в том, чтобы перечислить все виды делимого понятия. Поэтому объем членов деления должен быть равен в своей сумме объему делимого понятия. Если, например, при делении преступлений в зависимости от характера и степени общественной опасности выделить преступления небольшой тяжести, средней тяжести и тяжкие преступления, то правило соразмерности деления будет нарушено, так как не указан еще один член деления: особо тяжкие преступления.

Такое деление называетсянеполным.

Правило соразмерности будет нарушено и в том случае, если будут указаны лишние члены деления, т.е. понятия, не являющиеся видами данного рода. Такая ошибка будет иметь место, если, например, при делении понятия «уголовное наказание» кроме всех видов наказания указывается предупреждение, которое не входит в перечень мер наказания в уголовном законодательстве, а является видом административного взыскания.

Такое деление называется делением с лишними членами.

Математика характерно широкое использование символики, которая, до сути, является аппаратом формальной логики. Формальная, или символическая, логика - это специальный метод познания структуры мышления. Такой разработанный аппарат используют везде. В математике многие важные положения удается записывать в виде символов. Запись логических рассуждений в символах придает доказательствам более краткий, простой вид. Формальная логика оперирует высказываниями (из них, кстати, состоит и наша речь). Высказыванием называют предложение, относительно которого имеет смысл утверждать, что оно истинно или ложно. Пример 1.3. „Москва - столица России**, „Петров И.И. - студент МГТУ ", х2+у2 = 1, х € R - высказывания; х2 -2х + + У2 - не является высказыванием. # Соединяя простые высказывания словами „и", „или", „не", „если..., то", мы получаем более сложные высказывания, которые определяют нашу речь. В математике эти слова называют логическими связками, в формальной логике они соответствуют основным логическим символам, на которых мы кратко и остановимся. 1. Конъюнкцией pAq высказываний р и q называют высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания (и р, и q) истинны. Логический симвЪл конъюнкции А заменяет в речи союз „и". Конъюнкцию обозначают также р & q. 2. Дизъюнкцией pW q высказываний р и q называют высказывание, которое ложно в том и только в том случае, когда оба высказывания ложны, а истинно, когда хотя бы одно из них (р или q) истинно. Логический символ дизъюнкции V в речи заменяет слово „или". 3. Импликацией р => q высказываний р и q называют высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда р истинно, a q - ложно. Логический символ импликации => используют при указании на последствия некоторого факта. Он заменяет слова „если..., то". Можно также читать „р влечет qu. 4. Логический символ эквиваленции & означает, что высказывание р q истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания р и q истинны или оба высказывания ложны. Этот символ заменяет в речи слово „равносильно". 5. Отрицанием высказывания р называют высказывание -»р, которое истинно, если р ложно, и ложно, когда р истинно. Логический символ -» в речи заменяет слово „не". Для сокращения и уточнения записи высказываний вводят два знака V и 3, называемых соотвеНекоторые основные логические символы. Формальная, или символическая, логика. тственно кванторами общности и существования. Выражение „для всякого элемента х множества Еи записывают в виде Vs 6 Е. Эта запись означает, что утверждение, следующее за ней, будет выполнено для произвольного элемента множества Е. Запись V&i, «2» хп€Е означает: „каковы бы ни были элементы xi, 32, хп множества Еи. Выражение „существует по крайней мере один элемент множества Е, такой, что..." заг писывают Зх £ Е: ... Все, что следует за этой записью, выпол- дается хотя бы для одного элемента множества Е. Наоборот, $х е Е: ... означает, что все следующее далее не выполняется ни для одного элемента из Е. Выражение „ существует один и только один элемент из Е, такой, что...u записывают в виде Э!ж € Е: ... Запись Зх\} хз, хп € Е: ... означает: ясуществуют такие элементы х\у а?2» » я» множества Е, что...ц. Введенными символами удобно пользоваться, например, при определении операций над множествами. Так, AUB:<*{х: (х € А) V (х € В)}, АПВ:*>{х: {х € А) Л (ж € В)}, А\В:*>{х: {х € А) Л (х g В)}, А:<${х: (ж €Й)Л(х£ Л)}, где символ означает эквивалентность по определению. Связь теории множеств и формальной логики достаточно широка. Исследованием этой связи впервые занимался английский математик Джордж Буль (1815-1864), работы которого положили начало одному из важнейших направлений современной алгебры, называемому булевой алгеброй. Ясно, что взятие дополнения тесно связано с отрицанием высказывания, операции объединены и пересечения множеств - с дизъюнкцией и конъюнкцией высказываний соответственно, включение подмножества в множество - с импликацией, а равенство множеств - с эквиваленцией высказываний. В силу этой связи с помощью теории множеств можно решать некоторые логические задачи. Пример 1.4. Рассмотрим набор высказываний: 1) животные, которых не видно в темноте, серы; 2) соседи не любят тех, кто не дает им спать; 3) кто кредко спит, громко храпит; 4) соседи любят животных, которых видно в темноте; 5) все слоны крепко спят; 6) кто громко храпит, не дает спать соседям. Эти высказывания можно перевести на язык теории множеств, если ввести следующие обозначения: А - множество тех, кто будит соседей; В - множество тех, кто крепко спит; С - множество тех, кто громко храпит; D - множество животных, которых видно в темноте; Е - множество слонов; F - множество тех, кого любят соседи; G - множество тех, кто серые. Высказывание 1) означает, что элементы, не лежащие в D) содержатся в G, т.е. 1) D С G. Остальные высказывания принимают вид: 2) Л С F; 3) £ С С; 4) D С F; 5) Е С В; б)ССЛ. Взяв дополнения множеств D и F, из 4) согласно принципу двойственности получим F С D и затем соединим все выскаг зывания в цепочку ECCCACFCDCG. Из этой цепочки (с учетом свойства транзитивности символа включения) следует, что ECGy т.е. все слоны серы. # Рассмотренные логические символы и кванторы существования и общности широко используют математики для записи предложений, в которых они, по сути, воплощают плоды своего творчества. Эти предложения представляют собой устанавливающие свойства математических объектов теоремы, леммы, утверждения и следствия из них, а также различные формулы. Однако следует отметить, что часть предложений приходится все же выражать словами. Любая теорема состоит, вообще говоря, в задании некоторого свойства Л, называемого условием, из которого выводят свойство Ву называемое заключением. Коротко теорему пА влечет Ви записывают в виде А В и говорят, что А является достаточным условием для Б, а Б - необходимым условием для А. Тогда обратная теорема имеет вид В А (возможна запись при помощи обратной импликации А <= В), но справедливость прямой теоремы еще не гарантирует справедливости обратной ей теоремы. Если справедливы данная тедрема и обратная ей, то свойства А я В эквивалентны, и такую теорему можно записать в виде А о В. Эта запись соответствует фразам: „Для того, чтобы Л, необходимо и достаточно, чтобы В", „А тогда и только тогда, когда Ви или „А, если и только если Ви. Ясно, что в этих фразах А и В можно поменять местами. Утверждение, противоположное утверждению А} записывают -^Л, что соответствует словам „не Аи. Если в символьную запись утверждения А входят кванторы 3, V и условие Р, то при построении символьной записи противоположного утверждения -*А квантор 3 заменяют на V, квантор V - на 3, а условие Р заменяют на условие -»Р. Пример 1.6. Рассмотрим утверждение Зх € Е: Р (существует элемент х множества Е, обладающий свойством Р) и построим его отрицание. Если это утверждение неверно, то указанного элемента не существует, т.е. для каждого х € Е свойство Р не выполняется, или -.(За: 6 Е: Р) = Vx € Е: -.Р. Теперь построим отрицание утверждения Vx 6 Е: Р (для каждого элемента х множества Е имеет место свойство Р). Если данное утверждение неверно, то свойство Р имеет место не для каждого элемента указанного множества, т.е. существует хотя бы один элемент х € Е, не обладающий этим свойством, или -.(УхбЕ: Р) = Зх€Я: -чР. # Доказательство предложения представляет собой проводимое по определенным правилам рассуждение, в котором для обоснования сформулированного предложения используют определения, аксиомы и ранее доказанные предложения. Примеры доказательств свойств абсолютных значений действительных чисел приведены доше (см. 1.3), а первого из соотношений свойства дистрибутивности операций объединения и пересечения и первого из законов де Моргана (1.7) - в 1.4. Одним из используемых приемов является метод доказательства от противного. Для доказательства таким методом теоремы А => В предполагают, что верно -«В. Если рассуждения приводят к тому, что при таком предположении условие А невыполнимо, т.е. возникает противоречие, то теорему считают доказанной. Пример 1.6. Используем метод доказательства от противного, чтобы убедиться в справедливости второго закона де Моргана (1.7) AC\B = AUB. Если это равенство верно, то каждый элемент х € А П В должен принадлежать и A U В, т.е. х € A U В. Предположим противное: s £ AUB. Тогда по принципу двойственности (см. 1.4) х € АПВ, т.е. х ^ АПВ, а это противоречит исходному условию х € А П В, что доказывает справедливость импликации высказываний х€ АГ\В=>хе лив. Наоборот, каждый элемент х 6 A U В должен принадлежать и Л Г) В, т.е. х € А О В. Снова предположим противное: х £ i АП В, т.е. х £ АП В, или (хбА)Л(хбВ). Тогда (х£А)Л Л (х £ В) и х £ AUB, а это опять противоречит принятому условию х £ A U В, что доказывает справедливость обратной импликации высказываний х€ АПВ«=х€ AUB. Некоторые основные логические символы. Формальная, или символическая, логика. В итоге справедливость второй формулы (1.7) доказана полностью. # При доказательстве предложений, справедливых для произвольного натурального числа п G N, иногда применяют метод математической индукции: непосредственной проверкой устанавливают справедливость предложения для нескольких первых значений п (n= 1, 2, ...), а затем предполагают, что оно верно для п = к} и если из этого предположения следует справедливость данного предложения для п = к -f 1, то его считают доказанным для всех п € N. Пример 1.7. Докажем справедливость формулы «П = «1 (1.8) для суммы первых п членов геометрической прогрессии 0|, a2 = aitf, a3 = alq2) an = aign_1 со знаменателем прогрессии q ^ 1. Ясно, что формула верна для п= 1 и п = 2. Предположим, что она верна и для п = к, т.е. Некоторые основные логические символы. Формальная, или символическая, логика. Если в (1.9) обозначить к +1 = п, то снова придем к (1.8), что доказывает справедливость этой формулы.