بيت تجويف الفم طريقة ديلوناي للكرة الفارغة. البناء في الحالة العامة

تجويف الفم

طريقة ديلوناي للكرة الفارغة. البناء في الحالة العامة

20 أغسطس 2012 الساعة 10:41 مساءً

تحسين خوارزمية التحقق من حالة ديلوناي من خلال معادلة الدائرة المحيطية وتطبيقها

سأخبرك بسر حول كيفية التحقق بسرعة من حالة Delaunay لمثلثين.
في الواقع، تم وصف التحسين نفسه أدناه قليلاً (راجع "تحسين الخوارزمية للتحقق من حالة Delaunay من خلال معادلة الدائرة الدائرية")، لكنني سأخبرك بكل شيء بالترتيب.

في حالتي، يتم استخدام التثليث في تتبع الصور لتقسيم المستوى إلى قطاعات بدائية (مثلثات). وكما تعلم، فهي مقسمة أيضًا إلى عدة مراحل: التعديل، وتحديد الحدود، والتجول حول الحدود، ومسح الخطوط. إنه في غاية منظر عام. أعتقد أنني أود حقًا أن أتوقف مرحلة صعبة: تجتاح الطائرة.

في المدخل

بعد اكتشاف الحدود واجتيازها، حصلت على الكثير من الحلقات الخارجية عند الإخراج. كل كفاف لمس لديه ألوان مختلفة. تحتوي كل دائرة أيضًا على عدد معروف من الدوائر الداخلية.
وهكذا، من وجهة نظر "مسح المستوى"، إذا نظرنا إلى الخطوط الخارجية بشكل منفصل، فلدينا مجموعة من النقاط، لكل منها جار واحد على اليمين واليسار. أولئك. جميع النقاط مغلقة في سلسلة، ولا توجد نقطة "معلقة" واحدة، وكل سلسلة تحتوي على 3 نقاط على الأقل (الشكل 1).

الصورة 1

ما يجب القيام به

تحتاج إلى تغطية الشكل بمثلثات.

يبحث

بعد قراءة الكتاب، لم أجد طريقة واحدة (واحدة على الأقل) لبناء مثلث ديلوناي والتي كانت على الأقل مناسبة إلى حد ما لحالتي. ولم أبحث عن كتب أخرى. وكان هذا كافياً، لقد رتب الأفكار في رأسي. ونتيجة لذلك، اخترع "دراجته" الخاصة.

خوارزمية

1) لنفترض، في البداية، أن هناك تسلسلًا واحدًا فقط في الشكل قيد النظر. ثم يعود الأمر كله إلى أخذ المثلثات بالتسلسل. نأخذ أي نقطة ونحاول بناء مثلث بالنقاط المجاورة. إذا لم يكن من الممكن بناء مثلث (الخط الذي يربط هاتين النقطتين يتقاطع مع تلك التي تم بناؤها بالفعل أو يمر الخط في منطقة الحظر (الشكل 2)، فإننا ننتقل إلى النقطة التالية، على سبيل المثال إلى اليمين. عندما يكون المثلث التالي تم العثور عليه، نضيفه إلى القائمة (الشكل 3)، ونحذف النقطة التي بني منها (الشكل 4).

الشكل 2

الشكل 3

الشكل 4

شيء آخر: عند حفظ المثلث التالي، من الضروري تسجيل القمم في اتجاه عقارب الساعة (في نظام الإحداثيات الصحيح). سيكون هذا مفيدًا في المستقبل لتقليل موارد الحوسبة.

2) كرر الخطوة 1 حتى اجتاحنا الطائرة بأكملها.

3) إذا كان هناك عدة تسلسلات، أي. واحد، وبداخله محيط داخلي واحد أو أكثر (الشكل 1). هنا لا بد من النظر في كل تسلسل على حدة. لنأخذ كفافًا داخليًا آخر. من واحدة خارجية وأخرى داخلية سنصنع دائرتين منفردتين. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على "ميناءين" من دائرة إلى أخرى. شرط "المنافذ": ألا تتقاطع مع بعضها البعض (حتى أطرافها لا يجب أن تتلامس)، ويجب ألا تتقاطع مع الخطوط الكنتورية (الشكل 5).

الشكل 5

الشكل 6
4) بعد ذلك، يجب عليك إدخال جميع التسلسلات الداخلية واحدة تلو الأخرى في التسلسلات التي تم تشكيلها بالفعل، مفصولة عن بعضها البعض (النقطة 3). تحتاج إلى دمجه مع الذي يحتوي على الجديد. بحكم التعريف، لا يوجد تسلسل داخلي يلامس أو يتقاطع مع الآخرين (سواء كان خارجيًا أو داخليًا)، لذلك كل شيء سوف يسير بسلاسة.
بعد العثور على المنافذ (الشكل 6)، من السهل إنشاء تسلسلات جديدة وتجاوزها باستخدام النقطتين 1 و2 من الخوارزمية الحالية (الشكل 7).

الشكل 7

5) بعد المرحلة الرابعة لدينا قائمة المثلثات (الشكل 8). يبدو الأمر كما لو أن المهمة قد اكتملت بالفعل، ولكن كل ما تبقى هو جعل الصورة جميلة: التحقق من استيفاء شرط ديلوناي (الشكل 9).

الشكل 8

الشكل 9

6) وبالنظر إلى المستقبل، سأخبركم بالنقطة السادسة. ويتكون من التشغيل التسلسلي لقائمة المثلثات التي تم الحصول عليها باستخدام الخطوة رقم 5. أولاً، نضع علامة على جميع المثلثات على أنها "قذرة". في كل دورة نقوم بفحص حالة ديلوناي لكل مثلث. إذا لم يتم استيفاء الشرط، فإننا نعيد البناء ونضع علامة على الجيران والمثلث الحالي على أنهم "قذرون". إذا تم استيفاء الشرط، فإننا نحدده نظيفا. في تطبيقي للخوارزمية، كل مثلث لديه رابط لجيرانه. في هذه الحالة، النقطة 6 تعمل بشكل أسرع.

تحسين الخوارزمية للتحقق من حالة Delaunay من خلال معادلة الدائرة المحيطة

التالي هو الرياضيات البحتة.

اذا لدينا:
يمكن التحقق من حالة النقطة M(X, Y) بمعادلة الدائرة التي تمر بالنقاط A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) على النحو التالي:

(أ ⋅ (X^2 + Y^ 2) − ب ⋅ X + ج ⋅ Y − د) ⋅ إشارة أ ≥ 0

التفاصيل تجدونها في الكتاب الممتاز. (لا، أنا لست المؤلف)
إذن، الإشارة a هي علامة اتجاه الاجتياز، منذ البداية قمت ببناء المثلثات في اتجاه عقارب الساعة، لذا يمكن حذفها (وهي تساوي واحدًا).

أ(x1 - X، y1 - Y)، B(x2 - X، y2 - Y)، B(x3 - X، y3 - Y)؛

د>=0

الشكل 11

بسيطة أليس كذلك؟

ووفقا للكتاب، مرة أخرى.

(x1^2 + y1^2)*(y2*x3 - x2*y3) + (x2^2 + y2^2)*(x1*y3 - y1*x3) + (x3^2 + y3^2)* (ص1*س2 - س1*ص2)<= 0

لدينا: 15 عملية ضرب/قسمة و14 عملية جمع/طرح.

شكرًا لكم على اهتمامكم. أنا في انتظار النقد.

فهرس

1. سكفورتسوف أ.ف. تثليث ديلوناي وتطبيقاته – تومسك: دار النشر توم. الجامعة، 2002. – 128 ص. ردمك 5-7511-1501-5

نماذج GRID هي نماذج للخلايا العادية.

دعونا نعرض نظام الإحداثيات
و و
. مجموعات المستخدم
وخطوات أخذ العينات
.

- الإحداثيات المادية للنقطة.

نحن نحسب
و
,
- شبكة بت.

- القيم الكمية. حقيقي:

- معلمة الخوارزمية - عدد النقاط، - وزن. كلما اقتربت النقطة كلما زاد الوزن.

- درجة المسافة (1 أو 2).

معامل التطبيع:

كيف أقرب إلى 1، يتم أخذ المزيد من النقاط ذات الأوزان الأعلى في الاعتبار.

هذه هي طريقة IDW - طويلة، لكل t من الضروري العثور على جيران. يمكن العثور على مجموعة الجيران بكفاءة - الأقرب. تنتج كل نقطة "ربطًا" بارتفاع معين. يعتمد الكثير على عدم انتظام تحديد النقطة؛
أو
أولئك. مقسمة إلى قطاعات وبناء نقاط في المنطقة المجاورة.

ميزة- البساطة

عيب:

------التذكرة 14. نموذج القصدير. خوارزميات التثليث ديلوناي ------

1) التثليث (القصدير).

التثليث- بناء دالة على شكل مجموعة من الدوال الخطية المتعددة التعريف

التثليث- الاستيفاء داخل منطقة محدبة.

التثليث- رسم بياني مستو، جميع حوافه الداخلية مثلثات؛ طريقة تمثيل الفضاء على شكل مثلثات متجاورة دون تداخل. يتم بناء التثليث على مجموعة من النقاط بعدة طرق.

هناك حاجة إلى خوارزمية لبناء التثليث الأمثل.

طائرة تمر عبر 3 نقاط.

1) العثور على مثلث ذلك
;

2)
- بناء معادلة المستوى.

للتحقق مما إذا كانت النقاط داخل المثلث أم لا، تحتاج إلى استبدال القيمة في معادلة الخطوط - حواف المثلث. إذا كانت جميع المعادلات الثلاث > 0، ثم بالداخل.

هيكل العرض:

يحتوي كل مثلث على نفس عدد المثلثات.

، أين - عدد النقاط الداخلية،
- كمية النقاط.

التثليث الجشع.

نقوم بربط جميع النقاط بالحواف، ونختار الحد الأدنى، ونضيفها إلى التثليث. بعد ذلك، نأخذ الحد الأدنى التالي الذي لا يتقاطع مع السابق، وما إلى ذلك. والنتيجة هي التثليث الجشع.

تثليث ديلوناي.

الجزء الداخلي من الدائرة المحصورة حول أي مثلث لا يشمل نقاط المثلثات الأخرى. تم بناؤه بالطريقة الوحيدة.

الوجه هو نقل الحواف. يسمح لك بالانتقال من التثليث التقليدي إلى تثليث ديلوناي. للتحقق مما إذا كانت النقطة تنتمي إلى دائرة: استبدل إذا< R, то внутри.

حالة ديلوناي.

معادلة الدائرة التي تمر بثلاث نقاط:

إذا كان أقل من الصفر، ثم خارجي، وإلا - داخلي.

– حالة ديلوناي.

خوارزمية بناء مثلث ديلوناي:

1) إضافة النقاط قيد التحقيق- خوارزمية تكرارية بسيطة:

هناك مجموعة
أضف إلى المثلث، ويتم البناء
تقسيم المثلث
إعادة البناء. في مرحلة الصفر، نضيف 3-4 نقاط وهمية، والتي من الواضح أنها تغطي غلافنا، كل النقاط الموجودة بداخله. بعد أن نرمي النقطة، ننظر إلى المثلث الذي تضربه، ونقسمه إلى 3، لكل مثلث نتحقق من حالة Delaunay ونقوم بنقل الحواف. متوسط عدد تغييرات المسار هو ثلاثة.

التعقيد النظري

2) طرق التسريع.بناء على النقاط المعتمدة إحصائيا. مثلث البذرة هو المثلث الذي سقطت فيه النقطة السابقة. ثم نقوم بتوصيل نقطتين - النقطة السابقة والجديدة.

ننتقل من النقطة الأولى إلى أخرى.

20 أغسطس 2012 الساعة 10:41 مساءً

تحسين خوارزمية التحقق من حالة ديلوناي من خلال معادلة الدائرة المحيطية وتطبيقها

معالجة الصورة ،
برمجة

في حالتي، يتم استخدام التثليث في تتبع الصور لتقسيم المستوى إلى قطاعات بدائية (مثلثات). وكما تعلم، فهي مقسمة أيضًا إلى عدة مراحل: التعديل، وتحديد الحدود، والتجول حول الحدود، ومسح الخطوط. هذا في المصطلحات الأكثر عمومية. أود أن أتوقف، على ما أعتقد، عند أصعب مرحلة: عملية مسح الطائرة.

في المدخل

بعد اكتشاف الحدود واجتيازها، حصلت على الكثير من الحلقات الخارجية عند الإخراج. كل مخطط مؤثر له لون مختلف. تحتوي كل دائرة أيضًا على عدد معروف من الدوائر الداخلية.
وهكذا، من وجهة نظر "مسح المستوى"، إذا نظرنا إلى الخطوط الخارجية بشكل منفصل، فلدينا مجموعة من النقاط، لكل منها جار واحد على اليمين واليسار. أولئك. جميع النقاط مغلقة في سلسلة، ولا توجد نقطة "معلقة" واحدة، وكل سلسلة تحتوي على 3 نقاط على الأقل (الشكل 1).

الصورة 1

ما يجب القيام به

تحتاج إلى تغطية الشكل بمثلثات.

يبحث

خوارزمية

الشكل 2

الشكل 3

الشكل 4

2) كرر الخطوة 1 حتى اجتاحنا الطائرة بأكملها.

تحسين الخوارزمية للتحقق من حالة Delaunay من خلال معادلة الدائرة المحيطة

التالي هو الرياضيات البحتة.

(أ ⋅ (X^2 + Y^ 2) − ب ⋅ X + ج ⋅ Y − د) ⋅ إشارة أ ≥ 0

أ(x1 - X، y1 - Y)، B(x2 - X، y2 - Y)، B(x3 - X، y3 - Y)؛

د>=0

الشكل 11

بسيطة أليس كذلك؟

ووفقا للكتاب، مرة أخرى.

(x1^2 + y1^2)*(y2*x3 - x2*y3) + (x2^2 + y2^2)*(x1*y3 - y1*x3) + (x3^2 + y3^2)* (ص1*س2 - س1*ص2)<= 0

لدينا: 15 عملية ضرب/قسمة و14 عملية جمع/طرح.

شكرًا لكم على اهتمامكم. أنا في انتظار النقد.

فهرس

1. سكفورتسوف أ.ف. تثليث ديلوناي وتطبيقاته – تومسك: دار النشر توم. الجامعة، 2002. – 128 ص. ردمك 5-7511-1501-5

التعريفات والخصائص الأساسية

التثليث هو رسم بياني مستو تكون مناطقه الداخلية كلها مثلثات.

ملكيات:

· يتوافق مثلث ديلوناي واحد لواحد مع مخطط فورونوي لنفس مجموعة النقاط.

· ونتيجة لذلك: إذا لم تقع أربع نقاط على نفس الدائرة، فإن مثلث ديلوناي يكون فريدًا.

· يؤدي تثليث ديلوناي إلى تعظيم الحد الأدنى للزاوية بين جميع زوايا المثلثات المبنية، وبالتالي تجنب المثلثات "الرفيعة".

· تثليث ديلوناي يزيد من مجموع أنصاف أقطار المجالات المنقوشة.

· يقلل تثليث ديلوناي من وظيفة ديريشليت المنفصلة.

· تثليث ديلوناي يقلل من الحد الأقصى لنصف قطر الحد الأدنى للكرة المحيطة.

· تثليث ديلوناي على المستوى له أقل مجموع لأنصاف أقطار الدوائر الموصوفة حول المثلثات من بين جميع المثلثات الممكنة.

الشكل 1. التثليث.

التثليث المحدب هو تثليث يكون فيه الحد الأدنى للمضلع الذي يضم جميع المثلثات محدبًا. التثليث غير المحدب يسمى غير محدب.

إن مشكلة إنشاء التثليث من مجموعة معينة من النقاط ثنائية الأبعاد هي مشكلة ربط النقاط المعطاة بقطع غير متقاطعة بحيث يتم تشكيل التثليث.

يقال إن التثليث يحقق شرط ديلوناي إذا لم تقع أي من نقاط التثليث المعطاة داخل الدائرة المحددة حول أي مثلث مبني.

يسمى التثليث بتثليث ديلوناي إذا كان محدبًا ويحقق شرط ديلوناي.

الشكل 2. تثليث ديلوناي.

طريقة ديلوناي للكرة الفارغة. البناء في الحالة العامة

دعونا نستخدم كرة فارغة، والتي سنقوم بتحريكها، وتغيير حجمها بحيث يمكنها لمس نقاط النظام (أ)، ولكنها تظل فارغة دائمًا.

لذا، دعونا نضع كرة ديلوناي فارغة في نظام النقاط (أ). يكون هذا ممكنًا دائمًا إذا اخترت كرة صغيرة بدرجة كافية. لنبدأ بزيادة نصف قطرها، مع ترك مركز الكرة في مكانه. عند نقطة ما، سيلتقي سطح الكرة بنقطة ما من النظام (A). سيحدث هذا بالتأكيد، لأنه لا توجد فراغات كبيرة بلا حدود في نظامنا. سنستمر في زيادة نصف قطر الكرة الفارغة بحيث تبقى النقطة i على سطحها. للقيام بذلك، سيكون عليك تحريك مركز الكرة من النقطة i. عاجلاً أم آجلاً ستصل الكرة بسطحها إلى نقطة أخرى في النظام (أ).

تين. 3

Delaunay simplex تملأ المساحة بدون فجوات أو تداخلات.

المجال الموصوف لأي بسيط لا يحتوي على نقاط أخرى من النظام داخل نفسه.

فلتكن هذه النقطة j. دعونا نستمر في زيادة نصف قطر الكرة، مع إبقاء النقطتين على سطحها. ومع زيادة الكرة، ستصل إلى نقطة ثالثة من النظام، وهي النقطة k. وفي الحالة ثنائية الأبعاد، ستكون «دائرتنا الفارغة» ثابتة في هذه اللحظة، أي. سيصبح من المستحيل زيادة نصف قطرها مع إبقاء الدائرة فارغة. في الوقت نفسه، نحدد تكوينًا أوليًا ثنائي الأبعاد لثلاث نقاط (i، j، k)، يحدد مثلثًا معينًا، وتكمن خصوصيته في عدم وجود نقاط أخرى للنظام (A) داخل دائرته المحيطة. في الفضاء ثلاثي الأبعاد، لا يتم تعريف الكرة بثلاث نقاط. دعونا نستمر في زيادة نصف قطرها، مع الحفاظ على النقاط الثلاث الموجودة على سطحه. سيكون هذا ممكنًا حتى يلتقي سطح الكرة بالنقطة الرابعة l من النظام. بعد ذلك، ستصبح حركة ونمو الكرة الفارغة مستحيلة. تحدد النقاط الأربع التي تم العثور عليها (i،j،k،l) رؤوس رباعي الاسطح، والذي يتميز بحقيقة أنه لا توجد داخل مجاله المحدد نقاط أخرى للنظام (A). ويسمى هذا الرباعي السطوح Delaunay simplex.

في الرياضيات، الشكل البسيط هو أبسط شكل في مساحة ذات بعد معين: رباعي السطوح - في مساحة ثلاثية الأبعاد؛ مثلث - في بعدين. تحدد دائمًا ثلاث (أربعة) من نقاط النظام التي لا تقع في نفس المستوى نوعًا معينًا من الإرسال البسيط. ومع ذلك، فإنه لن يكون ديلوناي البسيط إلا إذا كانت الكرة الموصوفة فارغة. بمعنى آخر، يتم تحديد بساطة ديلوناي من خلال اختيار خاص لثلاثية (رباعية) من النقاط في النظام (أ).

لقد قمنا ببناء Delaunay simplex، ولكن من خلال وضع الكرة الفارغة في أماكن مختلفة وتكرار نفس الإجراء، يمكن تحديد الآخرين. ويذكر أن مجموعة جميع بساطة ديلوناي للنظام (أ) تملأ الفراغ دون تداخلات وفجوات، أي. ينفذ تقسيم الفضاء، ولكن هذه المرة إلى رباعيات السطوح. يسمى هذا القسم بلاط ديلوناي(تين. 3).

تطبيق تثليث ديلوناي

غالبًا ما تستخدم مثلثات ديلوناي في الفضاء الإقليدي. من المؤكد أن الحد الأدنى من الشجرة الممتدة الإقليدية يقع على تثليث ديلوناي، لذلك تستخدم بعض الخوارزميات التثليث. وأيضًا، من خلال تثليث ديلوناي، تم حل مشكلة البائع المتجول الإقليدية تقريبًا.

في الاستيفاء ثنائي الأبعاد، يقوم تثليث ديلوناي بتقسيم المستوى إلى المثلثات الأكثر سمكًا الممكنة، مع تجنب الزوايا الحادة جدًا والمنفرجة جدًا. باستخدام هذه المثلثات، يمكنك بناء، على سبيل المثال، الاستيفاء الخطي.

هناك مشكلة أخرى يتم مواجهتها بشكل متكرر في المعلوماتية الجغرافية وهي إنشاء تعريضات المنحدرات. من الضروري هنا تحديد الاتجاهات السائدة للمنحدرات بالاتجاه الأساسي وتقسيم السطح إلى مناطق يهيمن عليها اتجاه معين. وبما أن تحديد التعريض غير منطقي بالنسبة للمساحات الأفقية من السطح، يتم تخصيص المناطق الأفقية أو ذات الانحدار الطفيف إلى منطقة منفصلة، على سبيل المثال<5 о. По странам света деление обычно выполняется на 4, 8 или 16 частей.

الشكل 4.

عادةً ما تُستخدم مشكلة حساب تعرضات المنحدرات لتحليل إضاءة الأرض. في هذا الصدد، غالبًا ما تكون هناك حاجة إلى مراعاة الموقع الحالي للشمس، أي. يتم حساب التعرض على أنه الاتجاه بين العمودي للمثلث والاتجاه للشمس.

وهكذا يمكن تصنيف كل مثلث تثليث حسب مبدأ انتمائه إلى منطقة معينة. بعد ذلك، تحتاج فقط إلى استدعاء خوارزمية اختيار المنطقة.

التثليث هو تقريب سطح كائن مجسم بواسطة صفائح مثلثة متباعدة عنه على مسافة لا تتجاوز قيمة معينة محددة 6. يجب ضم جميع الصفائح المثلثة معًا. قممهم تقع على السطح. من السهل التعامل مع مجموعة من الألواح المثلثة مقارنة بالسطح العام. سوف نسمي الصفائح المثلثة مثلثات. بالنسبة للمثلث، يتم حساب المسافة إلى نقطة معينة أو نقطة التقاطع مع خط معين في الفضاء بسرعة. يتم إجراء تثليث الوجوه من أجل الإدراك البصري للنموذج الهندسي، بحيث يتم اختيار جوانب المثلثات بحيث لا تتمكن العين من ملاحظة مكامن الخلل.

عند عرض كائنات هندسية بمثلثات على مستويات بارامترية من الأسطح، يجب إنشاء التثليث المكاني لأوجه الجسم عن طريق حساب مجموعة من النقاط في الفضاء ومجموعة من القيم الطبيعية لأوجه الجسم عند هذه النقاط باستخدام مجموعة من النقاط نقاط ثنائية الأبعاد لعرض الأجسام بسرعة، يتم تقريب وجوهها بواسطة لوحات مثلثة مبنية على نقاط عادية مطلوبة لتحديد سلوك أشعة الضوء المتفاعلة مع وجوه الجسم. تم عمل الرسومات النغمية في الفصول السابقة وفي هذا الفصل باستخدام التثليث.

نتيجة للتثليث السطحي، نريد أن يكون لدينا مصفوفة من النقاط ثنائية الأبعاد على المستوى البارامتري ومصفوفة من ثلاثة أعداد صحيحة، وهي أعداد النقاط في المصفوفة المذكورة أولاً. وبالتالي، سيتم تمثيل كل مثلث بثلاثة أرقام من رؤوسه في مصفوفة المعلمات. لكل نقطة ثنائية الأبعاد من المجال البارامترى يمكن حساب نقطة مكانية على السطح والسطح الطبيعي فيه. يمكن تخزين النقاط المكانية والقيم الطبيعية في صفائف مشابهة لمصفوفة النقاط ثنائية الأبعاد.

دعونا نلقي نظرة على بعض طرق التثليث. بالنسبة للأسطح المسطحة، هناك طرق تثليث فعالة من حيث التكلفة حيث يتم بناء المثلثات عند النقاط الحدودية للسطح وليس هناك حاجة للبحث عن نقاط داخل المنطقة البارامترية.

تثليث ديلوناي.

دعونا نفكر في بعض المناطق على متن الطائرة. سوف نسمي المنطقة محدبة إذا كان عليك، عند التحرك على طول حدودها، أن تدور في اتجاه واحد فقط (فقط إلى اليسار أو إلى اليمين فقط). يمكن استخدام خوارزمية Delaunay لتثليث المناطق المستوية المحدبة. لن نكون قادرين على تطبيق هذه الخوارزمية بشكل مباشر لتثليث الأسطح ذات الشكل الحر، لكننا سنستخدم طريقتها لبناء المثلثات.

أرز. 9.7.1. منطقة محدبة مع نقاط معينة في الداخل

دع بعض المناطق المحدبة ثنائية الأبعاد يحدها خط مغلق ومكسور ومجموعة من النقاط داخل هذه المنطقة (الشكل 9.7.1).

يشترط تقسيم المنطقة المحددة إلى مثلثات، رؤوسها هي النقاط المعطاة داخل المنطقة ورؤوس الخط المتقطع المحيط بها. يجب ألا يتداخل المثلثان مع بعضهما البعض، ولا يمكن أن تتقاطع أضلاعهما إلا عند القمم.

يمكن إنشاء عدة مجموعات مختلفة من المثلثات لملء منطقة محددة. في جميع الحالات، عدد المثلثات يساوي حيث K هو عدد رؤوس الخط المتعدد المحيط، وI هو عدد النقاط المعطاة داخل المنطقة.

أرز. 9.7.2. اختيار النقطة الثالثة من خوارزمية Delaunay

سيكون تثليث المنطقة بمثابة تثليث ديلوناي إذا لم يكن هناك رؤوس لمثلثات أخرى داخل الدائرة الموصوفة حول كل مثلث. يقوم تثليث ديلوناي ببناء مثلثات قريبة من متساوية الزوايا قدر الإمكان (لا يسمح ببناء مثلثات ممدودة بشكل غير معقول).

يمكن أن يطلق عليه متوازن. سيكون مثلث ديلوناي فريدًا إذا لم تقع أربعة رؤوس على نفس الدائرة.

دعونا نفكر في مثلث ديلوناي. سنسمي رؤوس الخطوط المتعددة التي تحيط بالمنطقة والنقاط المعطاة داخل المنطقة رؤوس التثليث. سوف نسمي جوانب المثلثات الحواف. من بين الحواف، نختار أجزاء من الخط المتعدد المحيط، والذي سنسميه الحواف الحدودية. دعونا نوجه جميع الحواف الحدودية بحيث تقع المنطقة المحدبة على يسار كل حافة. يجب أن يكون من الضروري بناء مثلث، ضلعه هو الحافة الحدودية AB، الموضحة في الشكل. 9.7.2.

من خلال القمم A، B وأي قمة لا تقع على نفس الخط معهم، يمكن رسم دائرة. باعتبارها الرأس الثالث للمثلث، نختار الرأس V، ولا تحتوي الدائرة المقابلة على رؤوس أخرى على نفس الجانب بالنسبة للقطعة AB التي تقع عليها النقطة V. بالنسبة للحافة الحدودية، في الحالة العامة، يمكن استخدام رأس واحد من هذا القبيل يتم إيجاده. سوف نسميها الأقرب. يقع مركز الدائرة التي تمر بالنقاط A وB وV عند تقاطع الخطوط المتعامدة مع نقاط منتصف القطع AB وBV وVA. سيتم تمييز موضع مركز الدائرة بالمعلمة t للقطعة MN، المتعامدة مع الحافة AB، والمتساوية في الطول والتي تمر عبر منتصف الحافة AB.

أرز. 9.7.3. عملية التثليث ديلوناي

بالنسبة لجميع القمم الواقعة على يسار القطعة AB، فإن أقرب قمة لها أصغر معلمة t. الدائرة المقابلة لأقرب قمة لا تحتوي على رؤوس أخرى على يسار القطعة AB. دع القمم A و B و V توصف بمتجهات نصف قطر ثنائية الأبعاد، على التوالي. ستكون متجهات نصف القطر لنقطتي المنتصف للقطاعين AB وBV متساوية

قيمة المعلمة t للخط، المقابلة لموضع مركز الدائرة التي تمر عبر النقاط A و B و V، تساوي

بالنسبة للقمة الأقرب إلى يسار المقطع AB، فإن المعلمة t لها قيمة دنيا.

دعونا نوجه جميع الحواف الحدودية بحيث تقع المنطقة المراد تشكيلها على يسار كل منها. نبدأ في بناء المثلثات من أي حافة حدودية. دعونا نجد أقرب قمة له، والتي لا تحتوي الدائرة المقابلة لها على رؤوس أخرى. لنجد أقرب قمة V للحافة الحدودية AB ثم نقوم ببناء مثلث ABV ونقل الحافة AB إلى فئة غير نشطة. سوف نطلق على الحواف والقمم غير النشطة التي لا تشارك في خوارزمية التثليث. إذا لم تكن هناك حافة BV بين الحواف الحدودية، فإننا نبني حافة حدودية جديدة على القطعة VB. إذا كان من بين الحواف الحدودية حافة BV، فإننا ننقلها والقمة B إلى فئة غير نشطة. إذا لم تكن هناك حافة VA بين الحواف الحدودية، فسنقوم ببناء حافة حدودية جديدة على المقطع AV. إذا كان هناك حافة VA بين الحواف الحدودية، فإننا ننقلها والرأس A إلى فئة غير نشطة. تظهر عملية التثليث في الشكل. 9.7.3.

أرز. 9.7.4. تثليث ديلوناي

ننتهي من التثليث عندما تصبح جميع القمم والحواف غير نشطة. تظهر نتيجة التثليث لمنطقة معينة في الشكل. 9.7.4.

التثليث بطريقة التصحيح.

دعونا نفكر في تثليث سطح معين بمجال مستطيل لتحديد المعلمات، فلنقسم المجال لتحديد معلمات السطح إلى خلايا مستطيلة ذات خطوط ثنائية الأبعاد. لنأخذ المسافات البارامترية بين الخطوط المتجاورة طبقاً للصيغة (9.4.7) متساوية

لنأخذ المسافات البارامترية بين الخطوط المتجاورة وفق الصيغة (9.4.8) متساوية

من خلال بناء الأقطار في جميع الخلايا المستطيلة، نحصل على تثليث السطح (نحصل على مجموعة من المثلثات التي تلبي المتطلبات). في التين. 9.7.5 يوضح تثليث سطح الثورة باستخدام الطريقة الموصوفة.

دعونا نفكر في تثليث السطح بحدود تعسفية. سوف نبني طريقة التثليث على التصحيح بواسطة الخطوط الحدودية للتثليث السطحي الموصوف أعلاه بمساحة مستطيلة لتحديد المعلمات.

أرز. 9.7.5. تثليث سطح بمجال مستطيل لتحديد المعلمات

دع حدود السطح في مجال تعريف المعلمة توصف بعدة خطوط ثنائية الأبعاد غير متقاطعة (2.12.7). أحد الخطوط خارجي ويحتوي على الخطوط المتبقية. بالنسبة للاتجاه الإيجابي لكل كفاف، سنأخذ الاتجاه الذي تكون منطقة تعريف السطح دائمًا على يسار الكفاف عند التحرك على طوله، عند النظر نحو السطح بشكل طبيعي. لنقم ببناء مضلعات في الاتجاه الإيجابي للخطوط الحدودية لمنطقة تعريف السطح. لإنشاء مضلعات حدودية، تحتاج إلى السير على طول الخطوط الحدودية للسطح بخطوات متغيرة وملء مجموعة من النقاط ثنائية الأبعاد، تكون إحداثياتها هي معلمات السطح. سوف نبني مضلعًا من نقاط على مستوى حدودي، لكن الخطوة عند الانتقال من نقطة إلى أخرى سيتم تحديدها من الهندسة المكانية، أي من شرط أن انحراف قوس المنحنى بين النقاط المتجاورة لا يزيد عن معلوم قيمة. قمنا بحساب الخطوات البارامترية لإنشاء مضلع لمنحنى كفاف حدود السطح باستخدام الصيغة (9.4.4).

يتكون كل مضلع من مجموعة مرتبة من النقاط ثنائية الأبعاد، ويمكن اعتبار كل قسم من المضلع قطعة مستقيمة ثنائية الأبعاد مبنية على نقطتين متجاورتين. سوف نستخدم هذه المناطق كحواف حدودية، وسيتم استخدام نقاط المضلعات التي تعتمد عليها الحواف كرؤوس تثليث. نظرًا لأن منطقة تحديد معلمات السطح تقع على يسار المضلعات الحدودية، عند إنشاء مثلثات لكل حافة تثليث حدودية، يجب عليك البحث عن الرأس الثالث للمثلث الموجود على يسار الحافة.

دعونا نحدد العقد التي تقع داخل المضلعات الحدودية، والتي تقع على الحدود أو خارج منطقة تعريف السطح. باستخدام هذه المعلومات، نقوم بفرز خلايا الشبكة المستطيلة إلى مجموعتين. تتضمن المجموعة الأولى الخلايا التي تقع بالكامل داخل المنطقة التي يتم فيها تحديد معلمات السطح (يجب ألا تلمس الخلايا المضلعات الحدودية). تتضمن المجموعة الثانية الخلايا المتبقية (التي تقع خارج منطقة تعريف السطح أو تتقاطع مع مضلعات حدودية).

أرز. 9.7.6. التثليث السطحي غير المكتمل

داخل كل خلية من المجموعة الأولى، باستخدام قطري، سنقوم ببناء مثلثين. وهكذا نحصل على مثلث غير مكتمل. يظهر في الشكل مثال على بناء مثلثات في خلايا المجموعة الأولى لسطح دوران محدد بخطوط. 9.7.6.

سنقوم ببناء حواف حدودية على الجوانب غير المتقاطعة لخلايا المجموعة الثانية ونوجهها بحيث تكون الخلية المقابلة على يسار الحافة. حول خلايا المجموعة الأولى، سنقوم ببناء خط مغلق متقطع (ربما عدة خطوط مغلقة) بحيث عند التحرك على طوله، يقع جزء المنطقة غير المقسم إلى مثلثات على اليسار، عند النظر نحو السطح بشكل طبيعي . سوف نستخدم أيضًا الأجزاء المستقيمة من هذا الخط المكسور كحواف حدودية. سنعتبر جميع الحواف متساوية. لإكمال التثليث، نحتاج إلى إنشاء مثلثات بين الحواف الحدودية. سنبحث لكل حافة عن قمة تقع على يسارها ويمكن استخدامها لبناء مثلث. سنبحث عن قمة فقط بين تلك القمم التي تقع في نفس الخلية مع الحافة. لتحديد قمة، نستخدم طريقة Delaunay الموضحة أعلاه والموضحة في الشكل. 9.7.2. إذا تم العثور على مثل هذه القمة، فيجب عليك التحقق مما إذا كانت حافتان جديدتان للمثلث تتقاطعان مع أي حافة حدودية. دع أقرب قمة V يتم العثور عليها للحافة الحدودية AB وتأكد من أن القطع BV و VA لا تتقاطع مع الحواف الحدودية الأخرى. ثم سنقوم ببناء المثلث ABV ونقل الحافة AB إلى الفئة غير النشطة. إذا لم تكن هناك حافة BV بين الحواف الحدودية، فسنقوم ببناء حافة حدية جديدة على القطعة VB، أما إذا كانت هناك حافة BV بين الحواف الحدودية، فسننقلها والقمة B إلى فئة غير نشطة. إذا لم تكن هناك حافة VA بين الحواف الحدودية، فسنقوم ببناء حافة حدودية جديدة على المقطع AV، ولكن إذا كانت هناك حافة VA بين الحواف الحدودية، فسننقلها والرأس A إلى فئة غير نشطة.

إذا تقاطع مقطع أو VA مع حواف حدودية أخرى، فإننا ننتقل إلى البحث عن أقرب قمة لحافة حدودية أخرى. سيتم الانتهاء من التثليث بعد تصنيف جميع الحواف والقمم على أنها غير نشطة.

أرز. 9.7.7. التثليث بطريقة التصحيح

في التين. 9.7.7 يوضح التثليث السطحي بطريقة تصحيح المثلثات في الخلايا المتقاطعة مع الخطوط الحدودية. في التين. 9.7.8، باستخدام التثليث الناتج، يتم عرض السطح نفسه.

إذا كان للمضلعات الحدودية والسطح بعض التماثل، فإن التثليث بطريقة التصحيح سيكون له تماثل مماثل.

التثليث بطريقة الامتصاص.

دعونا نفكر في طريقة تثليث أخرى. من حيث السرعة، فهو أدنى من تثليث ديلوناي وتعديلاته. للبدء في إجراء التثليث، من الضروري تمثيل حدود السطح في شكل مضلعات مغلقة. أثناء عملية التثليث، سنحتاج إلى تحديد الخطوات بناءً على معلمات السطح. مع اتجاه معروف للحركة، يتم تحديد هذه الخطوات من خلال الصيغ (9.4.6). ويمكن الاطلاع على الخطوات التقريبية لمعلمات السطح على النحو التالي. دعونا نحدد منطقة على مستوى المعلمة حول نقطة معينة بحيث لا يكون أي مقطع مكاني من نقطة إلى أخرى في هذه المنطقة أبعد من قيمة معينة S من السطح.

للقيام بذلك، نحسب الزيادات المسموح بها للمعلمات على طول خطوط الإحداثيات

أين معاملات الشكلين التربيعيين الأول والثاني للسطح عند النقطة . كحدود للمنطقة المرغوبة، نأخذ شكلًا بيضاويًا مركزه عند نقطة وأنصاف المحاور. هذا القطع الناقص لديه المعادلة

إذا كنت تريد العثور على نقطة على المستوى بجوار نقطة في الاتجاه المعطى بواسطة الزاوية مع المحور و، فستكون معلماتها

أولاً، دعونا نفكر في حالة أبسط عندما تقتصر مساحة معلمات السطح على كفاف خارجي واحد. نحن نقرب حدود السطح بواسطة مضلع مغلق في المجال البارامترى. عند إنشاء التثليث، سوف نستخدم مضلع العمل، والذي في هذه الحالة سنأخذه كمضلع الكفاف الخارجي. سنضيف نقاط المضلع إلى مجموعة النقاط ثنائية الأبعاد الناتجة. سنقوم ببناء مثلثات من حافة منطقة العمل، وتضييقها حتى لا يتبقى سوى ثلاث نقاط في منطقة العمل.

دعونا نجد قمة في مضلع العمل الذي يتحول عنده إلى المنطقة. مثل هذه النقطة موجودة دائمًا وتكون زاوية الدوران عندها أصغر. دعونا نشير إلى هذه النقطة بـ O، ومعلماتها بـ بالقرب من هذه النقطة سنبني مثلثًا أو مثلثين، اعتمادًا على زاوية الدوران. إذا كانت الزاوية أصغر سنبني مثلثًا واحدًا على هذه النقاط الثلاث (الشكل 9.7.9). وإلا فإننا سوف نبني مثلثين على هذا، نقطتين متجاورتين وواحدة جديدة (الشكل 9.7.11). يتم تحديد النقطة الجديدة بواسطة P. سنبحث عن النقطة P على قطري متوازي الأضلاع B OS P. إذا كانت قمة متوازي الأضلاع تقع داخل القطع الناقص (الشكل 9.7.10)، فسنأخذها كنقطة P. بخلاف ذلك، سنأخذ تقاطع القطع الناقص وقطر متوازي الأضلاع بالنقطة P. في الحالة الأخيرة، ليس من الضروري على الإطلاق البحث عن تقاطع القطع الناقص والجزء.

يتم تحديد إحداثيات النقطة P من خلال إحداثيات النقاط O BC

يتم تحديد زاوية القطعة OP مع الأفقي بالمساواة

(9.7.8)

تتيح هذه البيانات تحديد موضع النقطة P بالنسبة إلى القطع الناقص (9.7.5).

في الحالة الموضحة في الشكل. 9.7.9، لنقم ببناء مثلث (تذكر أرقام رؤوسه) ونحذف النقطة O في منطقة العمل في الحالة الموضحة في الشكل. 9.7.11، سنقوم ببناء مثلثين وفي منطقة العمل سنستبدل النقطة O بالنقطة P ونضع الأخيرة في مجموعة النقاط الناتجة. في التين. يوضح الشكل 9.7.12 المضلع الذي تم الحصول عليه بعد إنشاء مثلثين وإزالة النقطة O. وفي كلتا الحالتين، ستتم إزالة النقطة O من المضلع العامل وسيضيق المضلع العامل. لاحظ أنه لا يمكن بناء المثلثات إلا عندما لا تتقاطع منطقة العمل مع نفسها بعد تضييقها.

أرز. 9.7.9. بناء مثلث

أرز. 9.7.10. مضلع النتيجة

أرز. 9.7.11. بناء مثلثين

أرز. 9.7.12. مضلع النتيجة

تظهر مثل هذه المواقف في الشكل. 9.7.13. يمكن أن تحدث عندما تتقاطع جوانب المثلثات المبنية مع جوانب منطقة العمل غير المجاورة لها. قبل بناء مثلث جديد كما في الحالة الموضحة في الشكل. 9.7.9، وفي الحالة المبينة في الشكل. 9.7.11، يجب إجراء فحص للتأكد من أن المضلع الناتج لا يتقاطع مع نفسه.

علاوة على ذلك، عند تحديد موضع النقطة P، من المهم أن تكون على مسافة كافية من النقاط الأخرى في منطقة العمل ولم تقترب من الأجزاء التي تربط نقاط المنطقة. خلاف ذلك، قد تنشأ صعوبات في المستقبل عند بناء المثلثات. لذلك، قبل تضييق مضلع العمل، يجب عليك التحقق من المضلع الناتج للتأكد من التقاطع الذاتي. إذا كان من المستحيل بناء مثلث (مثلثات) بالقرب من النقطة O، فبدلاً من ذلك، يجب عليك العثور على نقطة أخرى يلتف عندها المضلع داخل الكفاف أكثر من الآخرين، وتنفيذ الإجراءات الموصوفة عليه.

بعد ذلك، مع منطقة العمل المعدلة، سنقوم بنفس الإجراءات التي وصفناها للتو. فلنجد نقطة في مضلع العمل يتحول عندها داخل المنطقة أكثر من النقاط الأخرى، ونتحقق من إمكانية تضييق المضلع فيه بإنشاء مثلث أو مثلثين وتضييق المضلع.

أرز. 9.7.13. لا يمكنك بناء مثلثات في هذه الزاوية.

بمواصلة هذه العملية، سنقوم بتوسيع مصفوفة النقاط ثنائية الأبعاد ومصفوفة المثلثات، وفي نفس الوقت سنقوم بتضييق مضلع العمل، وتقليل المساحة التي يغطيها وعدد نقاطه. في مرحلة ما من هذه الإجراءات سوف نحصل على مضلع عمل يتكون من ثلاث نقاط. دعونا نبني المثلث الأخير عند هذه النقاط، ونحذف منطقة العمل وننهي عملية التثليث. في طريقة التثليث الموصوفة، يتم التخلص من المنطقة المحدودة بمنطقة العمل عن طريق قطع المثلثات منها.

لنفكر في الحالة العامة عندما تكون مساحة معلمات السطح محدودة بكفاف خارجي واحد والعديد من الخطوط الداخلية التي تقع بالكامل داخل الكفاف الخارجي. نحن نقرب حدود السطح بواسطة المضلعات المغلقة في المجال البارامترى. لكل كفاف سنبني مضلعنا الخاص. تمامًا كما هو الحال بالنسبة للخطوط الكنتورية، بالنسبة للمضلعات المبنية عليها، يجب تحقيق قاعدة التوجه المتبادل. يجب أن يكون اتجاه المضلعات الداخلية عكس اتجاه المضلع الخارجي. لنبدأ في إنشاء التثليث باستخدام مضلع الكفاف الخارجي. دعونا نضع نقاطه في المصفوفة الناتجة من النقاط ثنائية الأبعاد، ونجعل المضلع نفسه مضلعًا عاملاً.

سنقوم ببناء مثلثات بنفس الطريقة كما في حالة المنطقة المتصلة ببساطة. فلنبحث عن النقطة O في منطقة العمل، ونتحقق من إمكانية تضييق منطقة العمل هناك، وتضييق المنطقة. إذا كانت هناك ملامح داخلية، يصبح من الصعب التحقق من إمكانية تضييق منطقة العمل عند نقطة محددة. بالإضافة إلى الفحوصات الموصوفة لتقاطع جوانب المثلثات مع جوانب منطقة العمل، من الضروري التحقق من تقاطع جوانب المثلثات مع جوانب جميع المضلعات الداخلية.

دعونا نتحقق من إمكانية بناء مثلثين عند النقطة O (الشكل 9.7.11)، ونجد أن النقطة الجديدة P، بمجرد إنشائها، سوف تقع داخل أحد المضلعات الداخلية أو ستكون على مقربة غير مقبولة من أجزائها. في هذه الحالة، لن نقوم ببناء النقطة P، ولكن بدلاً من ذلك سنقوم بتضمين هذا المضلع الداخلي في المضلع العامل من خلال بناء المثلثين الموضحين في الشكل. 9.7.14.

من أجل إدراج نقاط أحد المضلعات الداخلية في مضلع العمل، نجد من بين نقاط المضلع الداخلي النقطة الأقرب إلى النقطة C (المجاورة للنقطة O) من مضلع العمل.

لنقم ببناء مثلثات عند النقطتين OCF وCEF وبين النقطتين O وC من منطقة العمل، ندرج نقاط المضلع الداخلي، بدءًا من النقطة F وتنتهي بالنقطة E. وبالتالي، سنقوم بتقسيم منطقة العمل على مقطع OS، وكسر المضلع الداخلي على الجزء EF وتوحيدهم مع قطاعات الاتحاد الأوروبي.

أرز. 9.7.14. بناء مثلثين

أرز. 9.7.15. دمج المضلعات الخارجية والداخلية

وتظهر نتيجة الدمج في الشكل. 9.7.15. وبالطبع، قبل دمج المضلعات الخارجية والداخلية، يجب إجراء فحوصات للتأكد من صحة هذه العملية.

بعد ذلك، سنستمر في تضييق منطقة العمل بالطريقة الموصوفة حتى نجد أنفسنا على مقربة من منطقة داخلية أخرى ونقوم بإدراجها في منطقة العمل. ونتيجة لذلك، سيتم تضمين كافة المضلعات الداخلية في مضلع العمل، والذي ينبغي تضييقه إلى النقاط الثلاث الأخيرة. ونتيجة لذلك، سيتم تغطية المنطقة المتصلة المضاعفة بأكملها لتحديد معلمات السطح بمثلثات.

أرز. 9.7.16. لا يمكنك بناء مثلثات في هذه الزاوية.

قد تكون هناك حالات عندما يكون من المستحيل إنشاء مثلث واحد على المضلعات المحددة. في التين. يوضح الشكل 9.7.16 منطقة محدودة بمضلعين، يتكون كل منهما من أربعة أجزاء. بالنسبة للمضلع الخارجي، لا يمكننا الاستمرار في التثليث لأن المضلع الداخلي موجود في الطريق. في هذه الحالة، سنجد نقطتين متجاورتين B وC للمضلع، حيث يمكننا إنشاء مثلث HRV لهما. يتم إسقاط النقطة P على منتصف الجانب BC وتقع على مسافة منها بحيث لا يتقاطع المثلث الجديد مع المضلعات.

طرق أخرى للتثليث.

هناك طرق أخرى للتثليث. على سبيل المثال، بعد إنشاء مضلعات الخطوط الخارجية والداخلية لمنطقة تعريف السطح، يمكن اختيار استراتيجية مختلفة لبناء المثلثات. هناك خيار آخر وهو دمج المضلعات الخارجية والداخلية في مضلع واحد قبل البدء في التثليث. يمكنك "رسم" نقاط داخل منطقة تعريف المعلمة باستخدام خوارزمية معينة وإجراء تثليث Delaunay باستخدامها ونقاط مضلعات الكفاف الحدودية. هناك خوارزميات تقوم أولاً ببناء مثلثات كبيرة ثم تقسمها إلى أحجام يمكن التحكم فيها.

تثليث الجسم.

تثليث الجسم عبارة عن مجموعة من المثلثات يتم الحصول عليها عن طريق تثليث أسطح وجوهها. يختلف تثليث الأسطح الفردية عن تثليث وجوه الجسم في أنه في الحالة الأخيرة، يجب أن تكون المضلعات الحدودية للوجوه المجاورة متسقة (الشكل 9.7.17).

أرز. 9.7.17. تناسق مضلع حدود الجسم والوجه

ستكون أقسام مضلعات الوجوه المتجاورة التي تمر على طول الحواف المشتركة متسقة إذا كانت نقاطها متطابقة في الفضاء.

تطبيق التثليث.

يتم استخدام المثلثات التي تم إنشاؤها نتيجة التثليث للحصول على صور النغمات. في التين. يُظهر الشكل 9.7.18 و9.7.19 تثليثات لوجه جسم الصفيحة، والتي تظهر صورة النغمة لها في الشكل. 6.5.1.

أرز. 9.7.18. تثليث وجه الجسم بطريقة التصحيح

يمكن استخدام تقسيم مجال تحديد معلمات السطح إلى مثلثات في التكاملات (8.6.2)، (8.6.3)، (8.6.12)، (8.7.17)-(8.7.22) عند حساب الخصائص الهندسية للأجسام . أثناء التكامل العددي، يجب حساب الخطوة البارامترية للمنحنيات باستخدام الصيغة (8.11.5)، وبالنسبة للأسطح، يجب حساب الخطوات البارامترية باستخدام الصيغتين (8.11.1) و (8.11.2).