كثيرات الحدود أحادية الحدود لصيغة الضرب المختصرة. أحادية ومتعددة الحدود

ناقشت الفصول السابقة خمسة إجراءات بشأن أرقام عقلانية: الجمع والطرح والضرب والقسمة والأسي.

وسنتناول في هذا الفصل العبارات الجبرية المكونة باستخدام هذه الأفعال الخمسة. كل هذه التعبيرات تسمى عقلانية.

التعريف 1. تسمى التعبيرات الجبرية المكونة من أرقام، والمحددة بالأرقام والحروف، باستخدام عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة والأُس، عقلانية.

أمثلة على التعبيرات العقلانية.

2. التعبيرات الصحيحة والكسرية.

النظر في التعبيرات العقلانية التالية:

عند النظر في التعبيرات المختلفة في الجبر، يتم إيلاء الاهتمام الرئيسي للإجراءات التي يجب تنفيذها على الأرقام المشار إليها بالحروف.

إن التعبيرين الأول والثاني من هذه التعبيرات لا يحتويان على الإطلاق على عملية القسمة على الأرقام المحددة بالحروف. تسمى هذه التعبيرات الأعداد الصحيحة.

أما التعبير الثاني فيحتوي على عملية القسمة على الرقم 4 المشار إليه بالرقم. لكن يمكننا، بقسمة 5 على 4 أولاً، كتابة التعبير الثاني هكذا:

تعبير

هو أيضا كامل؛ يمكن تمثيله في النموذج

وأخيرًا، التعبير الثالث يحتوي على القسمة على الرقم المكتوب بالحرف. (ويقال أيضًا أن هذا التعبير يحتوي على حرف مقسوم عليه). وتسمى هذه التعبيرات بالتعبيرات الكسرية.

المزيد من الأمثلة على التعبيرات الكسرية:

التعريف 2. يسمى التعبير العقلاني عددًا صحيحًا إذا لم يحتوي على قسمة على تعبير حرفي.

التعريف 3. يسمى التعبير العقلاني كسرًا إذا كان يحتوي على القسمة على تعبير حرفي.

وباختصار يمكن القول: عقلاني التعبير الجبرييسمى عددًا صحيحًا أو كسرًا، اعتمادًا على ما إذا كان يحتوي على حرف مقسوم عليه أم لا.

3. أحادية الحد.

من بين العبارات الصحيحة، أبسطها هي تلك التي تحتوي فقط على عمليات الضرب والأس، على سبيل المثال:

وتسمى هذه التعبيرات monomials.

التعريف 4. التعبير الجبري الذي يحتوي فقط على عمليات الضرب والأسي يسمى أحادي الحد.

وبالتالي، فإن وحيدة الحد هي حاصل ضرب عامل عددي وحروف، يؤخذ كل منها إلى قوة معينة.

ملحوظة. منذ الأس هو حالة خاصةالضرب (يمكننا، على سبيل المثال، كتابته بالشكل الذي يمكننا من خلاله القول أن وحيدة الحد تحتوي على إجراء واحد فقط - الضرب.

يعتبر التعبير الذي يتكون من حرف واحد فقط أحادي الحد أيضًا.

أي رقم فردي مكتوب بالأرقام يعتبر أيضًا أحادي الحد.

يعتبر تعبير النموذج أيضًا أحادي الحد، لأنه على الرغم من أنه يحتوي على القسمة، إلا أنه يمكننا أن نعزو المقسوم عليه 4 إلى عامل عددي ونكتب التعبير كما يلي:

4. كثير الحدود.

تشكل العديد من أحاديات الحد المرتبطة بعلامات الجمع والطرح تعبيرًا جبريًا جديدًا يسمى متعدد الحدود.

على سبيل المثال:

نحن نعلم بالفعل أنه يمكن دائمًا استبدال الطرح بالجمع، وأي تعبير يتضمن الجمع والطرح هو مجموع جبري. على سبيل المثال، يمكن كتابة التعبير أعلاه على النحو التالي:

التعريف 5. يسمى المجموع الجبري لعدة أحاديات الحد متعدد الحدود.

كل وحيدة حد تكون جزءًا من كثيرة الحدود تسمى عضوًا فيها.

كثيرة الحدود التي تتكون من حدين تسمى أيضًا ذات الحدين؛ كثير الحدود الذي يتكون من ثلاثة حدود يسمى ثلاثي الحدود، الخ.

أمثلة على ذات الحدين:

أمثلة على ثلاثيات الحدود:

تعتبر أحادية الحد حالة خاصة من كثيرة الحدود: فهي كثيرة الحدود تتكون من حد واحد.

ملحوظة. بعد دراسة العمليات على وحيدات الحد ومتعددات الحدود، يمكننا تمثيل أي تعبير جبري كامل كمجموع جبري من أحاديات الحد (على وجه الخصوص، يمكن الحصول على أحادية الحد). ولذلك فإن كل تعبير كامل، مثل

يعتبر كثير الحدود. المجموع الجبري لأحاديات الحد هو ما يسمى العادي (العادي)، وهو أبسط شكل للتعبير الجبري بأكمله. بهذا الشكل الأبسط سنبدأ بدراسة كثيرات الحدود.

التعبيرات العقلانية الكسرية، مثل

19. لنأخذ الصيغة

نقرأها هكذا: "الفرق بين العددين a وb". يمكننا استبدال الرقم a بالصفر في هذه الصيغة؛ ثم سوف تلجأ إلى

0 - ب أو فقط في -ب.

وطرح b من الصفر يعني، حسب ما نعرفه عن طرح الأعداد النسبية، إضافة الرقم b المأخوذ بالإشارة المعاكسة إلى الصفر. لذلك، يجب أن يُفهم التعبير –b على أنه الإشارة العكسية للرقم b. على سبيل المثال، إذا كان b = +5، فإن –b = –5؛ إذا كان b = –4، إذن –b = +4، وما إلى ذلك. إذا كتبنا التعبير +a، فيجب فهمه على أنه رقم يساوي الرقم a. إذا كانت أ = +5، فإن +أ = +5؛ إذا كانت أ = -4، فإن +أ = 4، وما إلى ذلك.

وبالتالي فإن الصيغة

يمكننا أن نفهم دون تمييز في النتيجة، أو في المعنى

أو بالمعنى

وبالتالي، يمكننا دائمًا استبدال الطرح بالجمع وفهم أي فرق على أنه مجموع رقمين:
أ - ب هو مجموع الأرقام أ و (-ب)
x – y هو مجموع الأرقام x و (–y)
–a – b هو مجموع الأرقام (–a) و (–b)، إلخ.

تلك الصيغ التي، من وجهة نظر حسابية، يتم فيها إجراء العديد من عمليات الجمع والطرح، على سبيل المثال،

أ – ب + ج + د – ه – و،

يمكننا الآن، من وجهة نظر الجبر، أن نفهم فقط كمجموع، أي:

أ – ب + ج + د – ه – و = (+أ) + (–ب) + (+ج) + (+د) + (–ه) + (–و).

لذلك، من المعتاد تسمية هذه التعبيرات باسم "المجموع الجبري".

20. لنأخذ بعض المجموع الجبري

أ – ب – ج أو –3bc² + 2ab – 4a²b، إلخ.

ومن المعتاد تسمية هذه التعبيرات بالاسم متعدد الحدود، وتحل هذه الكلمة محل كلمة "المجموع" أو اسم "المجموع الجبري". نحن نعرف ذلك

أ – ب – ج = (+أ) + (–ب) + (–ج)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b)، إلخ.

بشكل منفصل، يسمى كل مصطلح عضوا في كثير الحدود.

متعدد الحدود الأول

يتكون من ثلاثة حدود: (+أ)، (-ب)، و (+ج).

متعدد الحدود الثاني

–اي بي سي – 3bc² + 2ab – 4a²b،

يتكون من أربعة مصطلحات: (–abc)، (–3bc²)، (+2ab) و(–4a²b).

يمكن إعادة ترتيب المبالغ بأي ترتيب:

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.

يمكن الآن التعبير عن خاصية المجموع هذه بشكل مختلف: يمكن إعادة ترتيب حدود كثيرة الحدود بأي ترتيب. لقد تم ذلك أعلاه بالنسبة للكثيرة الحدود –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b، بحيث أصبح المصطلح (+2ab) في المقدمة الآن. هذا جعل من الممكن تبسيط التعبير إلى حد ما: ليس عليك كتابة علامة + في المقدمة. وبطبيعة الحال، يجب أن تتم عمليات إعادة الترتيب هذه على الفور، دون وضع كل حد أولاً (كما هو مذكور أعلاه) بين قوسين.

مثال آخر:

1 – 3أ + 2أ² – أ³ + 3أ 4 = 3أ 4 – أ³ + 2أ² – 3أ + 1.

كان الحد الأول من كثير الحدود هذا في الأصل (+1) - تم تضمين علامة + قبل الوحدة؛ عندما ننقل هذا العضو إلى مكان آخر غير الأول (في الأعلى قمنا بنقله إلى المكان الأخير)، فلا يمكن تخطي هذه الإشارة +.

يمكننا أن نلاحظ أنه في المثال السابق، من خلال إعادة ترتيب حدود كثيرة الحدود، حققنا ترتيبًا معينًا: في المقام الأول هو الحد الذي يحتوي على الحرف a للقوة الرابعة، وفي المكان التالي هو الحد الذي يحتوي على الحرف a إلى القوة الثالثة، ثم يأتي المصطلح الذي يحتوي على الحرف a إلى القوة الثالثة من الدرجة الثانية، ثم - a إلى الدرجة الأولى، وأخيرًا، مصطلح لا يوجد فيه حرف a على الإطلاق.

يتم التعبير عن هذا الترتيب لحدود كثيرة الحدود بالكلمات "كثيرة الحدود مرتبة بقوى تنازلية للحرف أ".

فيما يلي أمثلة أخرى على هذا الترتيب:

3x 5 - 2ax 3 + b (بقوى تنازلية للحرف x)
أ 4 – أ 3 ب + أ 2 ب 2 – أ 3 + ب 4 (بقوى تنازلية للحرف أ)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (بقوى تنازلية للحرف b)
4x 4 - 3x 3 + 2x 3 (بقوى تنازلية للحرف x).

غالبًا ما يتم استخدام ترتيب "الدرجات التصاعدية" العكسي، حيث تزداد درجة الحرف المختار تدريجيًا، وفي الفصل الأول إما أن هذا الحرف غير موجود على الإطلاق، أو أن يكون له أدنى درجة هنا مقارنة بالمصطلحات الأخرى. في المثال الثاني من الأمثلة السابقة، يمكننا القول أن كثيرة الحدود هنا مرتبة بقوى تصاعدية للحرف b. فيما يلي أمثلة:
3 - 2أ + 3أ 2 - 4أ 3 (في قوى تصاعدية للحرف أ)؛
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (بقوى تصاعدية للحرف x)؛
الفأس 2 - bx 3 + cx 5 - dx 6 (بقوى تصاعدية للحرف x)؛
أ 3 - 2ab + ب 2 (بقوى تصاعدية للحرف b أو بقوى تنازلية للحرف a)؛
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (بقوى تنازلية للحرف x أو بقوى تصاعدية للحرف y).

21. تسمى كثيرة الحدود ذات حدين ذات الحدين(على سبيل المثال، 3a + 2b)، حوالي ثلاثة حدود - ثلاثي الحدود (على سبيل المثال، 2a² - 3ab + 4b²)، وما إلى ذلك. من الممكن التحدث عن مجموع حد واحد (الحد الآخر هو صفر)، أو عن كثيرة الحدود حول مصطلح واحد. ثم، بطبيعة الحال، فإن اسم "متعدد الحدود" غير مناسب ويتم استخدام اسم "أحادي الحد". كل حد من أي كثيرة الحدود، إذا أخذ على حدة، هو أحادي الحد. فيما يلي أمثلة على أبسط أحاديات الحد:

2؛ -3أ؛ أ²؛ 4x³; -5x4؛ أب. أب²؛ -3ابك؛ إلخ.

جميع أحاديات الحد المذكورة أعلاه تقريبًا هي منتجات عاملين أو أكثر، ومعظمها لها عامل عددي وعامل أبجدي. على سبيل المثال، وحيدة الحد -3abc لها عامل عددي -3 وعوامل حرفية a وb وc؛ في وحيدة الحد 4x³ يوجد عامل رقمي +4 (علامة + ضمنية) وعامل حرفي x³، وما إلى ذلك. إذا أردنا كتابة وحيدة الحد بعدة عوامل رقمية (وأيضًا عوامل أبجدية)، مثل ما يلي

,

فمن الأفضل إعادة ترتيب العوامل بحيث تكون العوامل العددية قريبة، أي.

,

اضرب هذه العوامل العددية واحصل على

-4a²bc² (يتم تخطي النقاط وعلامات الضرب).

ومن المعتاد أيضًا، في الغالبية العظمى من الحالات، كتابة العامل العددي في المقدمة. يكتبون:

4 أ وليس 4
-3a²b، وليس a²(-3)b

العامل العددي لمونوميال يسمى المعامل.

إذا لم يكن العامل العددي مكتوبًا بوحدة واحدة، على سبيل المثال، ab، فيمكنك دائمًا الإشارة إليه ضمنيًا. بالفعل

أ = (+1) ∙ أ; أب = (+1) أب؛
–أ = (–1) ∙ أ; أ³ = (–1) ∙ أ³، إلخ.

لذا، فإن وحيدات الحد a²، ab، ab² لها معامل 1 (بشكل أكثر دقة: +1). إذا كتبنا أحاديات الحد -ab، -a²، -ab²، وما إلى ذلك، فيجب أن يكون معاملها -1.

22. أمثلة أكثر تعقيدا من كثيرات الحدود ووحيدات الحد.

(أ + ب)² + 3(أ – ب)²... هذه الصيغة تعبر عن مجموع حدين: الأول هو مربع مجموع العددين a وb، والثاني هو حاصل ضرب العدد 3 على مربع الفرق بين نفس الأرقام. ولذلك، ينبغي التعرف على هذه الصيغة باعتبارها ذات الحدين: الحد الأول هو (أ + ب)² والثاني 3(أ – ب)². إذا أخذنا التعبير (أ + ب)² بشكل منفصل، فبموجب التعبير السابق، يجب اعتباره أحادي الحد، ومعامله = +1.

a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) … يجب التعرف عليها كثلاثية (مجموع ثلاثة حدود): الحد الأول هو a(b – 1) ) ومعامله = +1 ، الحد الثاني –b(a – 1)، معامله = –1، الحد الثالث –(a – 1)(b – 1)، معامله = – 1.

في بعض الأحيان يتم تقليل عدد حدود كثيرة الحدود بشكل مصطنع. هكذا ثلاثي الحدود

يمكن، على سبيل المثال، اعتبارها ذات الحدين، وa + b، على سبيل المثال، تعتبر حدًا واحدًا (حدًا واحدًا). ولتوضيح الأمر أكثر، استخدم الأقواس:

إذن فإن المصطلح (a + b) له معامل ضمني قدره +1

[فعلاً (أ + ب) = (+1)(أ + ب)].

أحادية الحد –هو حاصل ضرب عاملين أو أكثر، كل عامل منهم إما رقم أو حرف أو قوة حرف.

على سبيل المثال، 3 أ 2 ب 4 ,ب د 3 , – 17 أ ب ج- أحادية الحد.

المفردأو يمكن أيضًا اعتبار حرفًا واحدًا أحاديًا. يسمى أي عامل في أحادية الحد معامل.في كثير من الأحيان يتم استدعاء المعامل فقط عامل رقمي.تسمى أحاديات الحد مشابه، إذا كانت متماثلة أو تختلف في المعاملات فقط. لذلك، إذا كان هناك اثنان أو أكثر من أحاديات الحد لها نفس الحروف أو قواها، فهي متشابهة أيضًا.

قوة أحادية الحدهو مجموع أسس جميع حروفه.

إضافة أحاديات الحد.إذا كان هناك أشياء متشابهة بين مجموع أحاديات الحد، فيمكن تخفيض المبلغ إلى المزيد عرض بسيط:

س 3 ذ 2 – 5 ب 3 س 3 ذ 2 +ج 5 س 3 ذ 2 = (أ – 5 ب 3 +ج 5 )x 3 ذ 2 .

هذه العملية تسمى جلب أعضاء مماثلين . الإجراء الذي يتم تنفيذه هنا يسمى أيضًا بين قوسين.

ضرب أحاديات الحد. يمكن تبسيط حاصل ضرب العديد من أحاديات الحد إذا كان يحتوي فقط على قوى لها نفس الحروف أو المعاملات الرقمية. في هذه الحالة، يتم إضافة الأسس، ويتم ضرب المعاملات العددية.

مثال: 5 س 3 ض 8 (– 7 أ 3 س 3 ذ 2 ) = –35 أ 4 س 6 ذ 2 ض 8 .

تقسيم أحاديات الحد. يمكن تبسيط حاصل قسمة اثنين من أحاديات الحد إذا كان للمقسوم والمقسوم بعض القوى لنفس الحروف أو المعاملات العددية. في هذه الحالة، يتم طرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم، ويتم قسمة المعامل العددي للمقسوم على المعامل العددي للمقسوم عليه.

مثال: 35 أ 4 س 3 ض 9: 7 س 2 ض 6 = 5 أ 3 س ض 3 .

متعدد الحدودهو المجموع الجبري للأحاديات. درجة متعددة الحدود هي أعظم قوى أحاديات الحد المتضمنة في كثيرة حدود معينة.

تسمى كثيرة الحدود المكونة من حدين ذات الحدين، وتسمى كثيرة الحدود المكونة من ثلاثة حدود ثلاثية الحدود. عادة ما تعتبر أحاديات الحد حالة خاصة من متعددات الحدود - فهي تعتبر متعددة الحدود تتكون من عضو واحد.

إذا كان جميع أعضاء كثيرة الحدود عبارة عن أحاديات ذات صيغة قياسية ولا يوجد أعضاء متشابهون بينهم، فإن كثيرة الحدود هذه تسمى كثيرة الحدود ذات الصيغة القياسية.

دعونا نمثل كثير الحدود Zab-a 2 +b-2ab + 5b في الصورة القياسية.

للقيام بذلك، يكفي إعطاء مصطلحات مماثلة، أي مصطلحات مماثلة لهذا كثير الحدود: Зab – а 2 + b - 2аb + 5b_ = аb - а 2 + 6b.

إذا كانت كثيرة الحدود ذات الشكل القياسي تحتوي على متغير واحد، فعادةً ما يتم ترتيب حدودها بترتيب تنازلي لقوىها. في هذه الحالة، يتم وضع الحد الحر لكثيرة الحدود، أي الحد الذي لا يحتوي على حرف، في المركز الأخير.

على سبيل المثال، كثيرة الحدود 5x 2 + 1 - x 3 + 4x مكتوبة على النحو التالي: -x 3 + 5x 2 + 4x - 1.

أكبر أس يظهر له المتغير في كثيرة الحدود هذه هو 3. يقولون أن -x 3 + - 5x 2 + 4x - 1 - متعدد الحدود من الدرجة الثالثة.

ضرب المبالغ ومتعددة الحدود.إن حاصل ضرب مجموع تعبيرين أو أكثر في أي تعبير يساوي مجموع حاصل ضرب كل حد من الحدود في هذا التعبير.

في الصف السابع، سيتم تعريف الطلاب بمفاهيم وموضوعات جديدة كجزء من دورة الجبر. تفتح لهم أبواب جديدة في متاهة رائعة تسمى الرياضيات. ويشمل ذلك دراسة أحاديات الحد ومتعددات الحدود، بالإضافة إلى تطبيقاتها.

ما هذا؟

أولا، دعونا نفهم المفاهيم. هناك العديد من التعبيرات المحددة في الرياضيات، والعديد منها لها أسماء ثابتة خاصة بها. إحدى هذه الكلمات هي أحادية الحد. هذا مصطلح رياضي يتكون من منتج أرقام ومتغيرات، كل منها يمكن أن يظهر في المنتج إلى حد ما. متعدد الحدود،بحكم التعريف، فهو تعبير جبري يمثل مجموع أحاديات الحد. غالبا ما تكون هناك حاجة لجلب أحادية الحدإلى شكله القياسي. للقيام بذلك، تحتاج إلى مضاعفة جميع العوامل العددية الموجودة في أحادية الحد ووضع الرقم الناتج في المقام الأول. ثم قم بضرب جميع القوى التي لها نفس قاعدة الحروف. يتم أيضًا تحويل كثير الحدود إلى شكل قياسي، وهو عبارة عن منتج يتكون من عامل عددي وقوى لمتغيرات مختلفة.

المزالق

يبدو للوهلة الأولى أنه لا يوجد شيء معقد بشكل قاتل، ولكن بالنسبة لأطفال المدارس الحديثة هناك عدد من الظروف التي يمكن أن تحجب الصورة. عدد كبير من العناصر المنهج المدرسيإن النقص التام في ساعات الدراسة والعقلية الإنسانية لدى العديد من الأطفال بالإضافة إلى التعب الأساسي يمكن أن يجعل تعلم مواد جديدة أمرًا صعبًا للغاية. غالبًا ما يحدث أن يشعر الطفل، الذي لم يفهم شيئًا ما، بالحرج أو الخوف من سؤال المعلم، لكنه غير قادر على إتقان الموضوع بمفرده، وتبدأ الصعوبات.

حل المشكلة

هناك عدة طرق لتجنب هذه المزالق. أولاً، يجب على أولياء أمور تلاميذ المدارس الانتباه إلى كيفية تعامل أطفالهم مع البرنامج بشكل عام ومع الموضوعات المشمولة بشكل خاص. ولا ينبغي أن يأخذ هذا شكل الإشراف الصارم أو السيطرة على الطفل، ولكن الهدف يجب أن يكون تطوير نهج مسؤول وجاد للتعلم. المفتاح لهذا هو علاقة الثقة، ولكن ليس الخوف.

هناك موقف شائع إلى حد ما في المدرسة عندما لا يفهم الطفل تماما موضوعا جديدا، ويخشى السخرية من زملاء الدراسة واستنكار المعلم، وبالتالي يفضل التزام الصمت بشأن تردده. تختلف العلاقات مع المعلمين أيضًا، ولسوء الحظ، لا يتمكن جميع المعلمين من إيجاد نهج تجاه الأطفال، كما تظهر الممارسة. وهناك عدة خيارات للخروج:

• يزور فصول إضافيةفي المدرسة، إن وجدت؛
• دروس مع مدرس.
• التدريب عبر الإنترنت باستخدام مصادر تعليمية خاصة.

في الحالتين الأوليين، هناك عيوب تكمن في الوقت والموارد المالية، خاصة عندما يتعلق الأمر بالدروس الخصوصية. والثالث مناسب لأن خيار التدريب هذا:

• حر؛
• يمكنك الدراسة في أي وقت مناسب؛
• لا يوجد انزعاج نفسي للطالب أو خوف من السخرية وما إلى ذلك.
• يمكنك دائمًا مشاهدة درس الفيديو مرة أخرى إذا لم يكن هناك شيء واضح في المرة الأولى.

مما لا شك فيه الجوانب الإيجابيةيوجد المزيد هنا، لذا يجب على الآباء ملاحظة أنه يمكن أن يُعرض على طفلهم مثل هذا الخيار للأنشطة الإضافية. من الممكن أن الطالب في البداية لن يقبل هذا الاقتراح بحماس، ولكن بعد تجربته سيقدر مزاياه. من سنة إلى أخرى، يزداد العبء على المواد الدراسية في المدرسة، في الصف السابع، أصبح الأمر خطيرا بالفعل.

على مواردنا عبر الإنترنت، يمكن للطفل بسهولة العثور على درس حول موضوع قد يكون صعبا بالنسبة له، على سبيل المثال، "متعدد الحدود. التخفيض إلى النموذج القياسي." بعد أن فهمها، سيكون قادرًا على فهم وإتقان المزيد من المواد بشكل أكثر بساطة وسهولة.

- كثيرات الحدود. في هذه المقالة سوف نقوم بتوضيح جميع المعلومات الأولية والضرورية حول كثيرات الحدود. وتشمل هذه، أولاً، تعريف كثيرة الحدود مع التعريفات المصاحبة لمصطلحات كثيرة الحدود، على وجه الخصوص، المصطلح الحر والمصطلحات المشابهة. ثانيا، سوف نتناول كثيرات الحدود ذات الصيغة القياسية ونقدم التعريف المناسب ونعطي أمثلة عليها. وأخيرا، سوف نقدم تعريف درجة كثيرة الحدود، ونتعرف على كيفية العثور عليها، ونتحدث عن معاملات حدود كثيرة الحدود.

التنقل في الصفحة.

كثيرات الحدود ومصطلحاتها - تعريفات وأمثلة

في الصف السابع، تتم دراسة كثيرات الحدود مباشرة بعد أحاديات الحد، وهذا أمر مفهوم، لأنه تعريف متعدد الحدوديتم إعطاء من خلال monomials. دعونا نعطي هذا التعريف لشرح ما هو كثير الحدود.

تعريف.

متعدد الحدودهو مجموع أحاديات الحد. تعتبر أحادية الحد حالة خاصة من كثيرات الحدود.

يتيح لك التعريف المكتوب تقديم العديد من الأمثلة على كثيرات الحدود كما تريد. أي من أحاديات الحد 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0.6 x (−2) y 12, إلخ. هو كثير الحدود. أيضًا، بحكم التعريف، 1+x، a 2 +b 2 وهي كثيرة الحدود.

لتسهيل وصف كثيرات الحدود، تم تقديم تعريف لمصطلح متعدد الحدود.

تعريف.

مصطلحات متعددة الحدودهي الوحدات المكونة لكثيرة الحدود.

على سبيل المثال, كثير الحدود 3 x 4 −2 x y+3−y 3 يتكون من أربعة حدود: 3 x 4 , −2 x y , 3 و −y 3 . يعتبر أحادي الحد متعدد الحدود يتكون من مصطلح واحد.

تعريف.

كثيرات الحدود التي تتكون من حدين وثلاثة حدود لها أسماء خاصة - ذات الحدينو ثلاثي الحدودعلى التوالى.

إذًا x+y هي ذات الحدين، و2 x 3 q−q x x x+7 b هي ثلاثية الحدود.

في المدرسة، يتعين علينا في أغلب الأحيان العمل معهم ذات الحدين الخطية a x+b ، حيث a و b عبارة عن بعض الأرقام، و x متغير، وكذلك c ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية a·x 2 +b·x+c، حيث a وb وc هي بعض الأرقام، وx متغير. فيما يلي أمثلة على ذوات الحدين الخطية: x+1 , x 7,2−4 , وهنا أمثلة ثلاثية الحدود مربعة: س 2 +3 س−5 و .

كثيرات الحدود في تدوينها يمكن أن يكون لها مصطلحات مماثلة. على سبيل المثال، في كثير الحدود 1+5 x−3+y+2 x المصطلحات المتشابهة هي 1 و−3، بالإضافة إلى 5 x و2 x. لديهم اسم خاص بهم - مصطلحات مشابهة لكثيرة الحدود.

تعريف.

شروط مماثلة من كثير الحدودتسمى المصطلحات المتشابهة في كثير الحدود.

في المثال السابق، 1 و−3، وكذلك الزوج 5 x و2 x، هي مصطلحات متشابهة في كثيرة الحدود. في كثيرات الحدود التي لها حدود متشابهة، يمكنك تبسيط الحدود المتشابهة لتبسيط شكلها.

كثير الحدود من النموذج القياسي

بالنسبة لكثيرات الحدود، كما هو الحال مع أحاديات الحد، هناك ما يسمى بالشكل القياسي. دعونا نعبر عن التعريف المقابل.

مرتكز على هذا التعريف، يمكننا إعطاء أمثلة على كثيرات الحدود ذات الشكل القياسي. لذا فإن كثيرات الحدود 3 x 2 −x y+1 و مكتوبة في النموذج القياسي. والتعبيرات 5+3 x 2 −x 2 +2 x z و x+x y 3 x z 2 +3 z ليست متعددة الحدود بالشكل القياسي، لأن أولها يحتوي على مصطلحات مماثلة 3 x 2 و −x 2 ، وفي الثاني – أحادي الحد x·y 3 ·x·z 2 , ويختلف شكله عن الشكل القياسي.

لاحظ أنه، إذا لزم الأمر، يمكنك دائمًا تقليل كثيرة الحدود إلى الصورة القياسية.

هناك مفهوم آخر متعلق بمتعددات الحدود ذات الشكل القياسي وهو مفهوم الحد الحر لكثيرة الحدود.

تعريف.

مصطلح مجاني لكثير الحدودهو عضو في كثيرة الحدود ذات الشكل القياسي بدون جزء من الحرف.

بمعنى آخر، إذا كانت كثيرة الحدود ذات الشكل القياسي تحتوي على رقم، فإنها تسمى عضوًا حرًا. على سبيل المثال، 5 هو الحد الحر لكثيرة الحدود x 2 z+5، لكن كثير الحدود 7 a+4 a b+b 3 لا يحتوي على حد حر.

درجة كثير الحدود - كيفية العثور عليه؟

آخر مهم التعريف المصاحبهو تحديد درجة كثير الحدود. أولاً، نحدد درجة كثيرة الحدود بالشكل القياسي؛ ويعتمد هذا التعريف على درجات أحاديات الحد التي تكون في تركيبها.

تعريف.

درجة كثير الحدود من الشكل القياسيهي أكبر قوى أحاديات الحد المتضمنة في تدوينها.

دعونا نعطي أمثلة. درجة كثير الحدود 5 × 3 −4 تساوي 3، نظرًا لأن أحاديات الحد 5 × 3 و −4 المتضمنة فيه لها درجات 3 و 0 على التوالي، فإن أكبر هذه الأرقام هو 3، وهي درجة كثير الحدود حسب التعريف. ودرجة كثيرة الحدود 4 × 2 ص 3 −5 × 4 ص+6 سيساوي أكبر الأعداد 2+3=5، 4+1=5 و1، أي 5.

الآن دعونا نتعرف على كيفية العثور على درجة كثيرة الحدود بأي شكل من الأشكال.

تعريف.

درجة كثير الحدود من الشكل التعسفياستدعاء درجة كثير الحدود المقابلة من النموذج القياسي.

لذلك، إذا لم يتم كتابة كثير الحدود في شكل قياسي، وتحتاج إلى العثور على درجته، فأنت بحاجة إلى تقليل كثير الحدود الأصلي إلى الشكل القياسي، والعثور على درجة كثير الحدود الناتج - سيكون هو المطلوب. دعونا نلقي نظرة على الحل المثال.

مثال.

أوجد درجة كثيرة الحدود 3 أ 12 −2 أ ب ج أ ج ب+ص 2 ض 2 −2 أ 12 −أ 12.

حل.

تحتاج أولاً إلى تمثيل كثير الحدود بالشكل القياسي:
3 أ 12 −2 أ ب ج أ ج ب+y 2 ض 2 −2 أ 12 −a 12 = =(3 أ 12 −2 أ 12 −أ 12)− 2·(أ·أ)·(ب·ب)·(ج·ج)+ص 2 ·ض 2 = =−2 أ 2 ب 2 ج 2 +ص 2 ض 2.

يتضمن كثير الحدود الناتج بالشكل القياسي اثنين من أحاديات الحد −2 · a 2 · b 2 · c 2 و y 2 · z 2 . لنجد درجاتهم: 2+2+2=6 و 2+2=4. من الواضح أن أكبر هذه القوى هو 6، والتي بحكم تعريفها هي قوة كثيرة الحدود بالشكل القياسي −2 أ 2 ب 2 ج 2 +ص 2 ض 2، وبالتالي درجة كثيرة الحدود الأصلية., 3 x و 7 من كثيرة الحدود 2 x−0.5 x y+3 x+7 .

مراجع.

• الجبر:كتاب مدرسي للصف السابع. التعليم العام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ تم تحريره بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة 17. - م: التربية، 2008. - 240 ص. : سوف. -ردمك 978-5-09-019315-3.
• موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف السابع. الساعة 2 بعد الظهر الجزء 1. الكتاب المدرسي للطلاب المؤسسات التعليمية/ أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة 17، إضافة. - م: منيموسين، 2013. - 175 ص: مريض. ردمك 978-5-346-02432-3.
• الجبروبدأت التحليل الرياضي. الصف العاشر: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات: الأساسية والملف الشخصي. المستويات / [يو. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M. I. Shabunin]؛ تم تحريره بواسطة أ.ب. زيزتشينكو. - الطبعة الثالثة. - م: التربية، 2010.- 368 ص. : سوف. -ردمك 978-5-09-022771-1.
• غوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج.الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية): بروك. بدل.- م. أعلى المدرسة، 1984.-351 ص، مريض.