حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام المصفوفة. كيفية حل نظام المعادلات باستخدام طريقة المصفوفة

دعونا نفكر نظام المعادلات الجبرية الخطية(SLAU) نسبيا نمجهول س 1 ، س 2 ، ...، خ ن :

ويمكن كتابة هذا النظام في صورة "مطوية" على النحو التالي:

س ن أنا = 1 أ اي جاي س ي = ب أنا ، ط=1،2، ...، ن.

وفقا لقاعدة ضرب المصفوفات، النظام المدروس المعادلات الخطيةيمكن الكتابة فيها شكل مصفوفة الفأس = ب، أين

, ,.

مصفوفة أالتي تكون أعمدتها معاملات المجهولين المتناظرين، والصفوف معاملات المجهولين في المعادلة المتناظرة تسمى مصفوفة النظام. مصفوفة العمود ب، والتي تكون عناصرها الأطراف اليمنى من معادلات النظام، تسمى مصفوفة الجانب الأيمن أو ببساطة الجانب الأيمن من النظام. مصفوفة العمود س الذي عناصره المجهول المجهول يسمى حل النظام.

نظام من المعادلات الجبرية الخطية مكتوبة بالشكل الفأس = ب، يكون معادلة المصفوفة.

إذا كانت مصفوفة النظام غير منحط، ثم لديها مصفوفة معكوسةومن ثم حل النظام الفأس = بتعطى بواسطة الصيغة:

س = أ -1 ب.

مثالحل النظام طريقة المصفوفة.

حلدعونا نجد المصفوفة العكسية لمصفوفة المعاملات للنظام

لنحسب المحدد من خلال التوسع على طول السطر الأول:

بسبب ال Δ ≠ 0 ، الذي - التي أ -1 موجود.

تم العثور على المصفوفة العكسية بشكل صحيح.

دعونا نجد حلا للنظام

لذلك، س 1 = 1، س 2 = 2، س 3 = 3 .

فحص:

7. نظرية كرونيكر-كابيلي حول توافق نظام المعادلات الجبرية الخطية.

نظام المعادلات الخطيةلديه النموذج:

أ 21 × 1 + أ 22 × 2 +... + أ 2ن × ن = ب 2، (5.1)

أ م1 × 1 + أ م1 × 2 +... + أ مليون × ن = ب م.

هنا a i j و b i (i = ; j = ) معطاة، وx j أعداد حقيقية غير معروفة. باستخدام مفهوم حاصل ضرب المصفوفات يمكننا إعادة كتابة النظام (5.1) بالصيغة:

حيث A = (a i j) عبارة عن مصفوفة تتكون من معاملات مجاهيل النظام (5.1) والتي تسمى مصفوفة النظام, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T هي متجهات أعمدة تتكون على التوالي من مجهولات x j وشروط حرة b i .

جمع أمر نيتم استدعاء الأعداد الحقيقية (c 1 , c 2 ,..., c n). حل النظام(5.1)، إذا نتيجة استبدال هذه الأرقام بدلا من المتغيرات المقابلة x 1، x 2،...، x n، تتحول كل معادلة من معادلة النظام إلى هوية حسابية؛ بمعنى آخر، إذا كان هناك متجه C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T بحيث يكون AC  B.

تم استدعاء النظام (5.1). مشترك،أو قابلة للحل،إذا كان لديه حل واحد على الأقل. يسمى النظام غير متوافق،أو غير قابل للحل، إذا لم يكن له حلول.

,

يتم تشكيلها عن طريق تعيين عمود من المصطلحات الحرة على الجانب الأيمن من المصفوفة A مصفوفة موسعة للنظام.

يتم حل مسألة توافق النظام (5.1) من خلال النظرية التالية.

نظرية كرونيكر كابيلي . يكون نظام المعادلات الخطية ثابتًا إذا وفقط إذا تطابقت رتب المصفوفات A وA، أي. ص(ا) = ص(ا) = ص.

بالنسبة لمجموعة حلول M للنظام (5.1) هناك ثلاثة احتمالات:

1) M =  (في هذه الحالة يكون النظام غير متناسق)؛

2) M تتكون من عنصر واحد وهو . النظام لديه حل فريد (في هذه الحالة يتم استدعاء النظام تأكيد);

3) يتكون M من أكثر من عنصر (ثم يسمى النظام غير مؤكد). وفي الحالة الثالثة يكون للنظام (5.1) عدد لا نهائي من الحلول.

النظام لديه حل فريد فقط إذا كان r(A) = n. وفي هذه الحالة لا يقل عدد المعادلات عن عدد المجهولات (mn)؛ إذا م> ن، ثم معادلات م نهي عواقب الآخرين. إذا 0

لحل نظام تعسفي من المعادلات الخطية، يجب أن تكون قادرًا على حل الأنظمة التي يكون فيها عدد المعادلات مساويًا لعدد المجهولين - ما يسمى أنظمة نوع كريمر:

أ 11 × 1 + أ 12 × 2 +... + أ 1ن × ن = ب 1،

أ 21 × 1 + أ 22 × 2 +... + أ 2ن × ن = ب 2، (5.3)

... ... ... ... ... ...

أ n1 × 1 + أ n1 × 2 +... + أ ن × ن = ب ن .

يتم حل الأنظمة (5.3) بإحدى الطرق التالية: 1) طريقة غاوس، أو طريقة حذف المجهولات؛ 2) وفقا لصيغ كريمر. 3) طريقة المصفوفة.

مثال 2.12. استكشاف نظام المعادلات وحلها إذا كانت متسقة:

5س 1 - س 2 + 2س 3 + س 4 = 7،

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1،

س 1 - 3س 2 - 6س 3 + 5س 4 = 0.

حل.نكتب المصفوفة الموسعة للنظام:

 .

دعونا نحسب رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام. ومن الواضح، على سبيل المثال، أن الصغرى من الدرجة الثانية في الزاوية اليسرى العليا = 7  0؛ صغرى الدرجة الثالثة التي تحتوي عليه تساوي صفرًا:

ولذلك فإن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام هي 2، أي. r(A) = 2. لحساب رتبة المصفوفة الموسعة A، ضع في اعتبارك الحد الثانوي

وهذا يعني أن رتبة المصفوفة الموسعة r(A) = 3. وبما أن r(A)  r(A) فإن النظام غير متناسق.

تناولنا في الجزء الأول بعض المواد النظرية، وطريقة التعويض، بالإضافة إلى طريقة جمع معادلات النظام حداً تلو الآخر. وأوصي كل من دخل الموقع من خلال هذه الصفحة بقراءة الجزء الأول. ربما يجد بعض الزوار أن المادة بسيطة للغاية، ولكن في عملية حل أنظمة المعادلات الخطية، قدمت عددًا من التعليقات والاستنتاجات المهمة جدًا فيما يتعلق بحل المشكلات الرياضية بشكل عام.

سنقوم الآن بتحليل قاعدة كرامر، وكذلك حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام المصفوفة العكسية (طريقة المصفوفة). يتم تقديم جميع المواد ببساطة وتفصيل ووضوح، وسيتمكن جميع القراء تقريبًا من تعلم كيفية حل الأنظمة باستخدام الطرق المذكورة أعلاه.

أولاً، سوف نلقي نظرة فاحصة على قاعدة كرامر لنظام مكون من معادلتين خطيتين في مجهولين. لماذا؟ – في النهاية، أبسط نظام يمكن حله باستخدام الطريقة المدرسية، طريقة الجمع فصلًا بفصل!

والحقيقة هي أنه، وإن كان في بعض الأحيان، تحدث مثل هذه المهمة - لحل نظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين باستخدام صيغ كريمر. ثانيًا، سيساعدك مثال أبسط على فهم كيفية استخدام قاعدة كرامر في حالة أكثر تعقيدًا - نظام من ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل.

بالإضافة إلى ذلك، هناك أنظمة معادلات خطية ذات متغيرين، والتي يُنصح بحلها باستخدام قاعدة كرامر!

النظر في نظام المعادلات

في الخطوة الأولى، نحسب المحدد، ويسمى المحدد الرئيسي للنظام.

طريقة غاوس.

إذا، فإن النظام لديه حل فريد، ولإيجاد الجذور يجب علينا حساب محددين آخرين:
و

ومن الناحية العملية، يمكن أيضًا الإشارة إلى المؤهلات المذكورة أعلاه بحرف لاتيني.

نجد جذور المعادلة باستخدام الصيغ:
,

مثال 7

حل نظام المعادلات الخطية

حل: نرى أن معاملات المعادلة كبيرة جدًا؛ على الجانب الأيمن توجد كسور عشرية بفاصلة. الفاصلة هي ضيف نادر إلى حد ما في المهام العملية في الرياضيات؛ لقد أخذت هذا النظام من مشكلة الاقتصاد القياسي.

كيفية حل مثل هذا النظام؟ يمكنك محاولة التعبير عن متغير واحد بدلالة متغير آخر، ولكن في هذه الحالة، من المحتمل أن ينتهي بك الأمر إلى كسور خيالية فظيعة غير مريحة للغاية للعمل معها، وسيبدو تصميم الحل فظيعًا بكل بساطة. يمكنك ضرب المعادلة الثانية في 6 وطرح حد تلو الآخر، لكن نفس الكسور ستظهر هنا أيضًا.

ما يجب القيام به؟ في مثل هذه الحالات، تأتي صيغ كريمر للإنقاذ.

;

;

إجابة: ,

كلا الجذرين لهما ذيول لا نهائية ويوجدان بشكل تقريبي، وهو أمر مقبول تمامًا (وحتى شائع) لمسائل الاقتصاد القياسي.

ليست هناك حاجة للتعليقات هنا، حيث يتم حل المهمة باستخدام الصيغ الجاهزة، ولكن هناك تحذير واحد. عند استخدام هذه الطريقة، إلزاميجزء من تصميم المهمة هو الجزء التالي: "وهذا يعني أن النظام لديه حل فريد". وإلا فإن المراجع قد يعاقبك على عدم احترام نظرية كرامر.

لن يكون من غير الضروري التحقق مما يمكن إجراؤه بسهولة على الآلة الحاسبة: فنحن نستبدل القيم التقريبية في الجانب الأيسر من كل معادلة في النظام. ونتيجة لذلك، مع وجود خطأ بسيط، يجب أن تحصل على الأرقام الموجودة على الجانب الأيمن.

مثال 8

قدّم الإجابة في صورة كسور عادية غير حقيقية. قم بالفحص.

وهذا مثال عليك حله بنفسك (مثال للتصميم النهائي والإجابة في نهاية الدرس).

دعونا ننتقل إلى النظر في قاعدة كرامر لنظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجهولين:

نجد المحدد الرئيسي للنظام:

إذا كان النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول أو أنه غير متناسق (ليس لديه حلول). في هذه الحالة، لن تساعد قاعدة كرامر، فأنت بحاجة إلى استخدام طريقة غاوس.

إذا، فإن النظام لديه حل فريد ولإيجاد الجذور يجب علينا حساب ثلاثة محددات أخرى:
, ,

وأخيرًا، يتم حساب الإجابة باستخدام الصيغ:

كما ترون، فإن حالة "ثلاثة في ثلاثة" لا تختلف بشكل أساسي عن حالة "اثنان في اثنين"؛ حيث "يسير" عمود المصطلحات الحرة بالتتابع من اليسار إلى اليمين على طول أعمدة المحدد الرئيسي.

مثال 9

حل النظام باستخدام صيغ كرامر.

حل: دعونا نحل النظام باستخدام صيغ كرامر.

مما يعني أن النظام لديه حل فريد.

إجابة: .

في الواقع، هنا مرة أخرى لا يوجد شيء خاص للتعليق عليه، نظرًا لأن الحل يتبع الصيغ الجاهزة. ولكن هناك بضعة تعليقات.

يحدث أنه نتيجة للحسابات يتم الحصول على كسور "سيئة" غير قابلة للاختزال، على سبيل المثال: .
أوصي بخوارزمية "العلاج" التالية. إذا لم يكن لديك جهاز كمبيوتر في متناول اليد، فافعل ما يلي:

1) قد يكون هناك خطأ في الحسابات. بمجرد أن تواجه جزءًا "سيئًا"، يجب عليك التحقق منه على الفور هل تمت إعادة كتابة الشرط بشكل صحيح؟. إذا تمت إعادة كتابة الشرط دون أخطاء، فأنت بحاجة إلى إعادة حساب المحددات باستخدام التوسع في صف (عمود) آخر.

2) إذا لم يتم تحديد أي أخطاء نتيجة التدقيق، فمن المرجح أن يكون هناك خطأ مطبعي في شروط المهمة. في هذه الحالة، بهدوء وحذر، قم بتنفيذ المهمة حتى النهاية، وبعد ذلك تأكد من التحققونخرجها بشباك نظيفة بعد القرار. بالطبع، يعد التحقق من الإجابة الكسرية مهمة غير سارة، ولكنها ستكون حجة مقنعة للمعلم، الذي يحب حقًا إعطاء علامة ناقص لأي هراء مثل . كيفية التعامل مع الكسور موصوفة بالتفصيل في إجابة المثال 8.

إذا كان لديك جهاز كمبيوتر في متناول اليد، فاستخدم برنامجا آليا للتحقق، والذي يمكن تنزيله مجانا في بداية الدرس. بالمناسبة، من الأكثر ربحية استخدام البرنامج على الفور (حتى قبل بدء الحل)، سترى على الفور الخطوة الوسيطة التي ارتكبت فيها خطأ! تقوم نفس الآلة الحاسبة تلقائيًا بحساب حل النظام باستخدام طريقة المصفوفة.

الملاحظة الثانية. بين الحين والآخر توجد أنظمة في المعادلات تفتقد بعض المتغيرات، على سبيل المثال:

هنا في المعادلة الأولى لا يوجد متغير، وفي الثانية لا يوجد متغير. في مثل هذه الحالات، من المهم جدًا كتابة المحدد الرئيسي بشكل صحيح وبعناية:
– يتم وضع الأصفار بدلاً من المتغيرات المفقودة.
بالمناسبة، من المنطقي فتح المحددات بالأصفار وفقًا للصف (العمود) الذي يوجد فيه الصفر، نظرًا لوجود عدد أقل بشكل ملحوظ من الحسابات.

مثال 10

حل النظام باستخدام صيغ كرامر.

وهذا مثال لحل مستقل (عينة من التصميم النهائي والإجابة في نهاية الدرس).

في حالة وجود نظام مكون من 4 معادلات مع 4 مجهولين، تتم كتابة صيغ كرامر وفقًا لمبادئ مماثلة. يمكنك مشاهدة مثال حي في الدرس خصائص المحددات. تقليل ترتيب المحدد - خمسة محددات من الدرجة الرابعة قابلة للحل تمامًا. على الرغم من أن المهمة تذكرنا بالفعل بحذاء الأستاذ على صدر طالب محظوظ.

حل نظام باستخدام مصفوفة معكوسة

طريقة المصفوفة العكسية هي في الأساس حالة خاصة معادلة المصفوفة(أنظر المثال رقم 3 من الدرس المخصص).

لدراسة هذا القسم، يجب أن تكون قادرًا على توسيع المحددات، وإيجاد معكوس المصفوفة، وإجراء ضرب المصفوفات. سيتم توفير الروابط ذات الصلة مع تقدم التوضيحات.

مثال 11

حل النظام باستخدام طريقة المصفوفة

حل: لنكتب النظام في شكل مصفوفة:
، أين

يرجى إلقاء نظرة على نظام المعادلات والمصفوفات. أعتقد أن الجميع يفهم المبدأ الذي نكتب به العناصر في المصفوفات. التعليق الوحيد: إذا كانت بعض المتغيرات مفقودة من المعادلات، فيجب وضع الأصفار في الأماكن المقابلة في المصفوفة.

نجد المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة:
، أين هي المصفوفة المنقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

أولا، دعونا ننظر إلى المحدد:

هنا يتم توسيع المحدد في السطر الأول.

انتباه! إذا كانت المصفوفة العكسية غير موجودة، ومن المستحيل حل النظام باستخدام طريقة المصفوفة. في هذه الحالة يتم حل النظام بطريقة حذف المجهولات (طريقة غاوس).

نحن الآن بحاجة إلى حساب 9 قاصرين وكتابتهم في مصفوفة القصر

مرجع:من المفيد معرفة معنى الحروف المزدوجة في الجبر الخطي. الرقم الأول هو رقم السطر الذي يقع فيه العنصر. الرقم الثاني هو رقم العمود الذي يقع فيه العنصر:

أي أن الحرف المزدوج يشير إلى أن العنصر موجود في الصف الأول والعمود الثالث، وعلى سبيل المثال، العنصر موجود في الصف الثالث والعمود الثاني

يجب أن تكون هناك مصفوفة مربعة من الرتبة n

تسمى المصفوفة A -1 مصفوفة معكوسةبالنسبة للمصفوفة A، إذا كانت A*A -1 = E، حيث E هي مصفوفة الهوية من الترتيب n.

مصفوفة الهوية- مثل هذه المصفوفة المربعة التي تكون فيها جميع العناصر الموجودة على طول القطر الرئيسي، والتي تمر من الزاوية اليسرى العليا إلى الزاوية اليمنى السفلى، واحدة، والباقي أصفار، على سبيل المثال:

مصفوفة معكوسةقد تكون موجودة فقط للمصفوفات المربعةأولئك. لتلك المصفوفات التي يتطابق فيها عدد الصفوف والأعمدة.

نظرية وجود شرط وجود مصفوفة معكوسة

لكي تكون للمصفوفة مصفوفة معكوسة، من الضروري والكافي أن تكون غير مفردة.

تسمى المصفوفة A = (A1, A2,...A n). غير منحطإذا كانت متجهات الأعمدة مستقلة خطيًا. يُطلق على عدد ناقلات الأعمدة المستقلة خطيًا للمصفوفة اسم رتبة المصفوفة. ولذلك يمكننا القول أنه لكي توجد مصفوفة معكوسة، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة مساوية لبعدها، أي. ص = ن.

خوارزمية لإيجاد المصفوفة العكسية

1. اكتب المصفوفة A في الجدول لحل أنظمة المعادلات باستخدام الطريقة الغوسية وقم بتعيين المصفوفة E لها على اليمين (بدلاً من الأطراف اليمنى من المعادلات).
2. باستخدام تحويلات جوردان، اختزل المصفوفة A إلى مصفوفة تتكون من أعمدة الوحدة؛ في هذه الحالة، من الضروري تحويل المصفوفة E في نفس الوقت.
3. إذا لزم الأمر، قم بإعادة ترتيب الصفوف (المعادلات) في الجدول الأخير بحيث تحصل تحت المصفوفة A من الجدول الأصلي على مصفوفة الهوية E.
4. اكتب المصفوفة العكسية A -1 الموجودة في الجدول الأخير أسفل المصفوفة E في الجدول الأصلي.

مثال 1

بالنسبة للمصفوفة A، أوجد المصفوفة العكسية A -1

الحل: نكتب المصفوفة A ونخصص مصفوفة الهوية E إلى اليمين باستخدام تحويلات جوردان، نقوم بتبسيط المصفوفة A إلى مصفوفة الهوية E. وترد الحسابات في الجدول 31.1.

دعونا نتحقق من صحة الحسابات عن طريق ضرب المصفوفة الأصلية A والمصفوفة العكسية A -1.

ونتيجة لضرب المصفوفة، تم الحصول على مصفوفة الهوية. ولذلك، تم إجراء الحسابات بشكل صحيح.

إجابة:

حل المعادلات المصفوفية

يمكن أن تبدو معادلات المصفوفة كما يلي:

الفأس = ب، ها = ب، AXB = ج،

حيث A، B، C هي المصفوفات المحددة، X هي المصفوفة المطلوبة.

يتم حل معادلات المصفوفات عن طريق ضرب المعادلة بالمصفوفات العكسية.

على سبيل المثال، للعثور على مصفوفة من المعادلة، عليك ضرب هذه المعادلة في الطرف الأيسر.

لذلك، لإيجاد حل للمعادلة، عليك إيجاد المصفوفة العكسية وضربها في المصفوفة الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلة.

يتم حل المعادلات الأخرى بالمثل.

مثال 2

حل المعادلة AX = B إذا

حل: بما أن المصفوفة العكسية تساوي (انظر المثال 1)

طريقة المصفوفة في التحليل الاقتصادي

جنبا إلى جنب مع الآخرين، يتم استخدامها أيضا طرق المصفوفة. تعتمد هذه الطرق على الجبر الخطي والمصفوفة المتجهة. وتستخدم هذه الأساليب لأغراض تحليل الظواهر الاقتصادية المعقدة والمتعددة الأبعاد. في أغلب الأحيان، يتم استخدام هذه الأساليب عندما يكون من الضروري إجراء تقييم مقارن لعمل المنظمات وأقسامها الهيكلية.

في عملية تطبيق أساليب تحليل المصفوفة، يمكن التمييز بين عدة مراحل.

في المرحلة الأولىيتم تشكيل نظام للمؤشرات الاقتصادية وعلى أساسه يتم تجميع مصفوفة البيانات الأولية، وهي عبارة عن جدول تظهر فيه أرقام النظام في صفوفه الفردية (ط = 1،2،....ن)وفي الأعمدة الرأسية - أرقام المؤشرات (ي = 1،2،....م).

في المرحلة الثانيةلكل عمود رأسي، يتم تحديد أكبر قيم المؤشرات المتاحة، والتي يتم أخذها كواحدة.

بعد ذلك، يتم تقسيم جميع المبالغ المنعكسة في هذا العمود على القيمة الأكبر ويتم تشكيل مصفوفة من المعاملات الموحدة.

في المرحلة الثالثةجميع مكونات المصفوفة مربعة. إذا كانت لها أهمية مختلفة، فسيتم تعيين معامل وزن معين لكل مؤشر مصفوفة ك. يتم تحديد قيمة هذا الأخير من خلال رأي الخبراء.

على الأخير، المرحلة الرابعةتم العثور على قيم التصنيف الملكية الفكريةيتم تجميعها حسب زيادتها أو نقصانها.

وينبغي استخدام أساليب المصفوفة الموضحة، على سبيل المثال، في التحليل المقارن لمختلف المشاريع الاستثمارية، وكذلك في تقييم المؤشرات الاقتصادية الأخرى لأنشطة المنظمات.

(تسمى هذه الطريقة أحيانًا طريقة المصفوفة أو طريقة المصفوفة العكسية) تتطلب التعرف الأولي على مفهوم مثل شكل المصفوفة لتدوين SLAE. تهدف طريقة المصفوفة العكسية إلى حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية التي يختلف فيها محدد مصفوفة النظام عن الصفر. وبطبيعة الحال، يفترض هذا أن مصفوفة النظام مربعة (مفهوم المحدد موجود فقط للمصفوفات المربعة). يمكن التعبير عن جوهر طريقة المصفوفة العكسية في ثلاث نقاط:

1. اكتب ثلاث مصفوفات: مصفوفة النظام $A$، مصفوفة المجهولات $X$، مصفوفة الحدود الحرة $B$.
2. أوجد المصفوفة العكسية $A^(-1)$.
3. باستخدام المساواة $X=A^(-1)\cdot B$، احصل على حل لـ SLAE المحدد.

يمكن كتابة أي SLAE في شكل مصفوفة بالشكل $A\cdot X=B$، حيث $A$ هي مصفوفة النظام، $B$ هي مصفوفة المصطلحات الحرة، $X$ هي مصفوفة المجهولات. دع المصفوفة $A^(-1)$ موجودة. دعونا نضرب طرفي المساواة $A\cdot X=B$ في المصفوفة $A^(-1)$ الموجودة على اليسار:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

بما أن $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ هي مصفوفة الهوية)، فإن المساواة المكتوبة أعلاه تصبح:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

بما أن $E\cdot X=X$، إذن:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

المثال رقم 1

قم بحل SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ باستخدام المصفوفة العكسية.

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$

دعونا نجد المصفوفة العكسية لمصفوفة النظام، أي. دعونا نحسب $A^(-1)$. في المثال رقم 2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

الآن دعونا نستبدل المصفوفات الثلاث ($X$, $A^(-1)$, $B$) في المساواة $X=A^(-1)\cdot B$. ثم نقوم بإجراء ضرب المصفوفات

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$

لذلك، حصلنا على المساواة $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( صفيف )\يمين)$. من هذه المساواة لدينا: $x_1=-3$، $x_2=2$.

إجابة: $x_1=-3$، $x_2=2$.

المثال رقم 2

حل SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ باستخدام طريقة المصفوفة العكسية.

دعونا نكتب مصفوفة النظام $A$، ومصفوفة الحدود الحرة $B$، ومصفوفة المجهولات $X$.

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$

الآن حان دور العثور على المصفوفة العكسية لمصفوفة النظام، أي. ابحث عن $A^(-1)$. في المثال رقم 3 في الصفحة المخصصة لإيجاد المصفوفات العكسية، تم العثور على المصفوفة العكسية بالفعل. دعنا نستخدم النتيجة النهائية ونكتب $A^(-1)$:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 و 37\النهاية(صفيف)\يمين). $$

الآن دعونا نعوض بالمصفوفات الثلاثة ($X$, $A^(-1)$, $B$) في المساواة $X=A^(-1)\cdot B$، ثم نقوم بإجراء عملية ضرب المصفوفة على الجانب الأيمن من هذه المساواة.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$

لذلك، حصلنا على المساواة $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(array)\right)$. من هذه المساواة لدينا: $x_1=0$، $x_2=-4$، $x_3=9$.

هذا هو المفهوم الذي يعمم جميع العمليات الممكنة التي يتم إجراؤها باستخدام المصفوفات. المصفوفة الرياضية - جدول العناصر. حول طاولة حيث مخطوط و نالأعمدة، ويقال أن هذه المصفوفة لها البعد معلى ن.

نظرة عامة على المصفوفة:

ل حلول المصفوفةمن الضروري أن نفهم ما هي المصفوفة ومعرفة معالمها الرئيسية. العناصر الرئيسية للمصفوفة:

• القطر الرئيسي يتكون من عناصر 11، 22….. مليون.
• قطري جانبي يتكون من العناصر أ 1ن، أ 2ن-1 .....أ م1.

الأنواع الرئيسية للمصفوفات:

• المربع عبارة عن مصفوفة حيث عدد الصفوف = عدد الأعمدة ( م = ن).
• صفر - حيث جميع عناصر المصفوفة = 0.
• مصفوفة منقولة - مصفوفة في، والتي تم الحصول عليها من المصفوفة الأصلية أعن طريق استبدال الصفوف بالأعمدة.
• الوحدة - جميع عناصر القطر الرئيسي = 1، وجميع العناصر الأخرى = 0.
• المصفوفة العكسية هي مصفوفة، عندما يتم ضربها في المصفوفة الأصلية، ينتج عنها مصفوفة الهوية.

يمكن أن تكون المصفوفة متناظرة فيما يتعلق بالأقطار الرئيسية والثانوية. وهذا هو، إذا أ 12 = أ 21, أ 13 = أ 31،….أ 23 = أ 32…. أ م-1ن = أ م-1، فإن المصفوفة متناظرة حول القطر الرئيسي. المصفوفات المربعة فقط هي التي يمكن أن تكون متماثلة.

طرق حل المصفوفات.

الكل تقريبا طرق حل المصفوفاتتتمثل في إيجاد محدده ن-الترتيب ومعظمهم مرهقون للغاية. للعثور على محدد الترتيبين الثاني والثالث هناك طرق أخرى أكثر عقلانية.

إيجاد محددات الدرجة الثانية

لحساب محدد المصفوفة أالترتيب الثاني: من الضروري طرح حاصل ضرب عناصر القطر الثانوي من حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي:

طرق إيجاد محددات الدرجة الثالثة

فيما يلي قواعد العثور على محدد الدرجة الثالثة.

قاعدة مبسطة للمثلث كأحد طرق حل المصفوفات، يمكن تصويرها بهذه الطريقة:

بمعنى آخر، يتم أخذ حاصل ضرب عناصر المحدد الأول المرتبطة بخطوط مستقيمة بعلامة "+"؛ أيضًا، بالنسبة للمحدد الثاني، يتم أخذ المنتجات المقابلة بعلامة "-"، أي وفقًا للمخطط التالي:

في حل المصفوفات باستخدام قاعدة ساروس، على يمين المحدد، أضف العمودين الأولين ويتم أخذ منتجات العناصر المقابلة على القطر الرئيسي وعلى الأقطار الموازية له بعلامة "+"؛ وحاصل ضرب العناصر المقابلة للقطر الثانوي والأقطار الموازية له بالعلامة "-":

تحلل المحدد في صف أو عمود عند حل المصفوفات.

المحدد يساوي مجموع منتجات عناصر صف المحدد ومكملاتها الجبرية. عادةً ما يتم تحديد الصف/العمود الذي يحتوي على أصفار. سيتم الإشارة إلى الصف أو العمود الذي يتم من خلاله التحلل بواسطة سهم.

تقليل المحدد إلى الشكل الثلاثي عند حل المصفوفات.

في حل المصفوفاتطريقة اختزال المحدد إلى شكل مثلث، تعمل على النحو التالي: باستخدام أبسط التحويلات على الصفوف أو الأعمدة، يصبح المحدد مثلثيًا في الشكل ومن ثم تصبح قيمته، وفقًا لخصائص المحدد، مساوية لحاصل الضرب من العناصر الموجودة على القطر الرئيسي.

نظرية لابلاس لحل المصفوفات.

عند حل المصفوفات باستخدام نظرية لابلاس، عليك أن تعرف النظرية نفسها. نظرية لابلاس: دع Δ - وهذا هو المحدد ن- الترتيب. نختار أي كالصفوف (أو الأعمدة)، المقدمة ك≤ ن - 1. في هذه الحالة، مجموع منتجات جميع القاصرين ك-الترتيب الوارد في المحدد كالصفوف (الأعمدة)، من خلال مكملاتها الجبرية ستكون مساوية للمحدد.

حل المصفوفة العكسية.

تسلسل الإجراءات ل حلول المصفوفات العكسية:

1. تحديد ما إذا كانت المصفوفة المعطاة مربعة. إذا كانت الإجابة بالنفي، يصبح من الواضح أنه لا يمكن أن يكون هناك مصفوفة عكسية لها.
2. نحن نحسب المكملات الجبرية.
3. نحن نؤلف مصفوفة اتحادية (متبادلة، مجاورة). ج.
4. نقوم بتكوين المصفوفة العكسية من الإضافات الجبرية: جميع عناصر المصفوفة المجاورة جالقسمة على محدد المصفوفة الأولية. ستكون المصفوفة النهائية هي المصفوفة العكسية المطلوبة بالنسبة للمصفوفة المعطاة.
5. نتحقق من العمل المنجز: ضرب المصفوفة الأولية والمصفوفة الناتجة، يجب أن تكون النتيجة مصفوفة الهوية.

حل أنظمة المصفوفات.

ل حلول أنظمة المصفوفاتيتم استخدام الطريقة الغوسية في أغلب الأحيان.

طريقة غاوس هي طريقة قياسية لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية (SLAEs) وتتكون من حقيقة أنه يتم حذف المتغيرات بشكل تسلسلي، أي بمساعدة التغييرات الأولية، يتم إحضار نظام المعادلات إلى نظام مكافئ من المثلثات النموذج ومنه، بالتتابع، بدءًا من الأخير (حسب الرقم)، ابحث عن كل عنصر من عناصر النظام.

طريقة غاوسهي الأداة الأكثر تنوعًا والأفضل لإيجاد حلول المصفوفات. إذا كان النظام يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول أو كان النظام غير متوافق، فلا يمكن حله باستخدام قاعدة كرامر وطريقة المصفوفة.

تتضمن طريقة غاوس أيضًا التحركات المباشرة (تقليل المصفوفة الموسعة إلى شكل تدريجي، أي الحصول على أصفار تحت القطر الرئيسي) والعكس (الحصول على أصفار فوق القطر الرئيسي للمصفوفة الموسعة). الحركة الأمامية هي طريقة غاوس، والحركة العكسية هي طريقة غاوس-جوردان. تختلف طريقة غاوس-جوردان عن طريقة غاوس فقط في تسلسل حذف المتغيرات.