حل معادلة برنولي. المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى ومعادلة برنولي

معادلة برنولي التفاضلية هي معادلة من الشكل

حيث ن≠0،ن≠1.

يمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة باستخدام الاستبدال

الخامس معادلة خط مستقيم

في الممارسة المعادلة التفاضليةعادة لا يؤدي برنولي إلى معادلة خطية، ولكن يتم حلها على الفور باستخدام نفس طرق المعادلة الخطية - إما طريقة برنولي أو طريقة تغيير ثابت اعتباطي.

دعونا نلقي نظرة على كيفية حل معادلة برنولي التفاضلية باستخدام الاستبدال y=uv (طريقة برنولي). مخطط الحل هو نفسه بالنسبة لـ .

أمثلة. حل المعادلات:

1) ص'س+ص=-xy².

هذه هي معادلة برنولي التفاضلية. دعونا نصل إلى النموذج القياسي. للقيام بذلك، قم بتقسيم كلا الجزأين على x: y'+y/x=-y². هنا p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. ولكننا لا نحتاج إلى حلها طريقة العرض القياسية. سنعمل مع نموذج التسجيل الوارد في الحالة.

1) الاستبدال y=uv، حيث u=u(x) وv=v(x) هي بعض الوظائف الجديدة لـ x. ثم y'=(uv)'=u'v+v'u. نعوض بالتعبيرات الناتجة في الشرط: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) لنفتح الأقواس: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². الآن دعونا نجمع الحدود مع v: v+v'ux=-xu²v² (I) (لا نلمس الحد بالدرجة v، الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلة). الآن نطلب أن يكون التعبير بين قوسين يساوي الصفر: u’x+u=0. وهذه معادلة بمتغيرين منفصلين u وx. بعد حلها، سوف نجدك. نعوض u=du/dx ونفصل بين المتغيرات: x·du/dx=-u. نضرب طرفي المعادلة في dx ونقسم على xu≠0:

(عند إيجاد u C نعتبرها مساوية للصفر).

3) في المعادلة (I) نعوض بـ =0 والدالة الموجودة u=1/x. لدينا المعادلة: v'·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². بعد التبسيط: v'=-(1/x)·v². هذه معادلة ذات متغيرين منفصلين v وx. نستبدل v'=dv/dx ونفصل بين المتغيرات: dv/dx=-(1/x)·v². نضرب طرفي المعادلة في dx ونقسم على v²≠0:

(أخذنا -C لكي نتخلص من الطرح بضرب كلا الطرفين في -1). ثم اضرب في (-1):

(لا يمكن للمرء أن يأخذ C، بل ln│C│، وفي هذه الحالة سيكون v=1/ln│Cx│).

2) 2y’+2y=xy².

دعونا نتأكد من أن هذه هي معادلة برنولي. بقسمة كلا الجزأين على 2، نحصل على y’+y=(x/2) y². هنا p(x)=1، q(x)=x/2، n=2. نحل المعادلة باستخدام طريقة برنولي.

1) الاستبدال y=uv، y’=u’v+v’u. نعوض بهذه التعبيرات في الحالة الأصلية: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) افتح الأقواس: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². الآن دعونا نجمع المصطلحات التي تحتوي على v: +2v'u=xu²v² (II). نحن نطلب أن يكون التعبير بين قوسين يساوي الصفر: 2u'+2u=0، وبالتالي u'+u=0. هذه معادلة قابلة للفصل بالنسبة لـ u وx. دعونا حلها والعثور عليك. نستبدل u'=du/dx، من حيث du/dx=-u. بضرب طرفي المعادلة في dx والقسمة على u≠0 نحصل على: du/u=-dx. دعونا ندمج:

3) عوض في (II) =0 و

الآن نعوض بـ v'=dv/dx ونفصل بين المتغيرات:

دعونا ندمج:

الجانب الأيسر من المساواة هو تكامل جدولي، ويمكن العثور على التكامل على الجانب الأيمن باستخدام صيغة التكامل بالأجزاء:

استبدال v الموجود وdu باستخدام صيغة التكامل بالأجزاء لدينا:

ومنذ ذلك الحين

لنجعل C=-C:

4) بما أن y=uv، فإننا نستبدل الدالتين الموجودتين u وv:

3) ادمج المعادلة x²(x-1)y'-y²-x(x-2)y=0.

نقسم طرفي المعادلة على x²(x-1)≠0 وننقل الحد الذي يحتوي على y² إلى الجانب الأيمن:

هذه هي معادلة برنولي

1) الاستبدال y=uv، y’=u’v+v’u. كالعادة، نعوض بهذه التعابير في الحالة الأصلية: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) وبالتالي x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². نقوم بتجميع المصطلحات التي تحتوي على v (v² - لا تلمس):

v+x²(x-1)v'u=u²v² (III). الآن نطلب أن يكون التعبير بين قوسين مساويًا للصفر: x²(x-1)u'-x(x-2)u=0، وبالتالي x²(x-1)u'=x(x-2)u. في المعادلة نقوم بفصل المتغيرين u وx، u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. نضرب طرفي المعادلة في dx ونقسم على x²(x-1)u≠0:

على الجانب الأيسر من المعادلة يوجد تكامل جدولي. جزء عقلانيعلى الجانب الأيمن تحتاج إلى التحلل إلى كسور بسيطة:

عند x=1: 1-2=A·0+B·1، ومن هنا B=-1.

عند x=0: 0-2=A(0-1)+B·0، ومن هنا A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. وفقًا لخصائص اللوغاريتمات: ln│u│=ln│x²/(x-1)│، حيث u=x²/(x-1).

3) في المساواة (III) نعوض بـ =0 و u=x²/(x-1). نحصل على: 0+x²(x-1)v'u=u²v²،

v’=dv/dx، البديل:

بدلاً من C، نأخذ - C، بحيث بضرب كلا الجزأين في (-1)، نتخلص من السلبيات:

الآن دعونا نختصر التعبيرات الموجودة على الجانب الأيمن إلى قاسم مشترك ونجد v:

4) بما أن y=uv، فبالتعويض عن الدالتين u وv، نحصل على:

أمثلة على الاختبار الذاتي:

1) دعونا نتأكد من أن هذه هي معادلة برنولي. بقسمة الطرفين على x نحصل على:

1) الاستبدال y=uv، من حيث y’=u’v+v’u. نعوض بـ y و y' في الشرط الأصلي:

2) قم بتجميع المصطلحات مع v:

الآن نطلب أن يكون التعبير بين القوسين يساوي صفرًا ونجد u من هذا الشرط:

دعونا ندمج طرفي المعادلة:

3) في المعادلة (*) نعوض بـ =0 و u=1/x²:

دعونا ندمج طرفي المعادلة الناتجة.

تسمى المعادلة من الشكل y' + P(x)y = Q(x)، حيث P(x) و Q(x) دالتين معروفتين لـ x، خطية فيما يتعلق بالدالة y ومشتقتها y'، معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى.

إذا كانت q(x)=0، تسمى المعادلة معادلة خطية متجانسة. ف(س)=0 – معادلة خطية غير متجانسة.

يتم اختزال المعادلة الخطية إلى معادلتين بمتغيرات قابلة للفصل باستخدام الاستبدال y = u*v، حيث u = u(x) وv = v(x) هي بعض الوظائف المستمرة المساعدة.

إذن، y = u*v، y' = u'*v + u * v' (1)،

ثم نعيد كتابة المعادلة الأصلية بالصيغة: u'*v + u * v' + P(x)*v = Q(x) (2).

وبما أن الدالة المجهولة y يتم البحث عنها كحاصل ضرب وظيفتين، فيمكن اختيار إحداهما بشكل تعسفي، ويمكن تحديد الأخرى بالمعادلة (2).

دعونا نختار بحيث يكون v' + P(x)*v = 0 (3). لهذا، يكفي أن يكون v(x) حلاً جزئيًا للمعادلة (3) (عند C = 0). لنجد هذا الحل :

V*P(x) ; = -;ln |v| = -؛الخامس = (4)

بتعويض الدالة (4) في المعادلة (2)، نحصل على معادلة ثانية بمتغيرات قابلة للفصل، منها نجد الدالة u(x):

ش' * = س(س) ; دو = س(س) *؛ ش = +ج (5)

وأخيرا نحصل على:

ص(س) = ش(س)*الخامس(س) = *( +ج)

معادلة برنولي:ذ’ + ذ = س* ذ 3

هذه المعادلة لها الشكل: y' + P(x)*y = y'' * Q(x)، حيث P(x) وQ(x) دالتان مستمرتان.

إذا كانت n = 0، تصبح معادلة برنولي معادلة تفاضلية خطية. إذا كان n = 1، تصبح المعادلة معادلة قابلة للفصل.

بشكل عام، عندما ن ≠ 0، 1، مكافئ. يتم اختزال برنولي إلى معادلة تفاضلية خطية باستخدام التعويض: z = y 1- n

المعادلة التفاضلية الجديدة للدالة z(x) لها الصيغة: z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) ويمكن حلها بنفس طرق حل التفاضلات الخطية. معادلات من الدرجة الأولى.

20. المعادلات التفاضلية ذات الرتب العليا.

لنفكر في المعادلة التي لا تحتوي على الدالة بشكل صريح:

يتم تقليل ترتيب هذه المعادلة بمقدار واحد باستخدام الاستبدال:

وبالفعل إذن:

ونحصل على معادلة يتم فيها تخفيض الترتيب بمقدار واحد:

فرق. المعادلات ذات الرتبة الأعلى من الثانية لها الشكل و أين الأعداد الحقيقية و الدالة و (خ)مستمرة على فترة التكامل X.

ليس من الممكن دائمًا حل مثل هذه المعادلات تحليليًا وعادةً ما يتم استخدام الطرق التقريبية. ومع ذلك، في بعض الحالات من الممكن العثور عليها قرار مشترك.

نظرية.

الحل العام ذ 0 معادلة تفاضلية خطية متجانسة على الفترة Xمع معاملات مستمرة على Xهو مزيج خطي نالحلول الجزئية المستقلة خطيًا لـ LODE مع التعسفي معاملات ثابتة ، إنه .

نظرية.

قرار مشترك ذالتفاضل الخطي غير المتجانس

المعادلات على الفترة Xمع تلك المستمرة على نفسه

ما بين أثنين Xالمعاملات والوظيفة و (خ)يمثل المبلغ

أين ذ 0 هو الحل العام لـ LODE المقابل، وهو حل خاص لـ LODE الأصلي.

وهكذا يكون الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة ذات الثوابت

أبحث عن معاملات في النموذج حيث - بعض

حله الخاص، و - الحل العام للتفاضل المتجانس المقابل

المعادلات

21. الاختبارات والأحداث. أنواع الأحداث. أمثلة.

الاختبار هو إنشاء مجموعة معينة من الشروط لحدوث الأحداث. مثال: رمي النرد

الحدث - حدوث/عدم حدوث نتيجة اختبار أو أخرى؛ نتيجة الاختبار. مثال: تدوير الرقم 2

الحدث العشوائي هو حدث قد يحدث أو لا يحدث أثناء اختبار معين. مثال: تداول رقم أكبر من 5

موثوق - حدث يحدث حتمًا أثناء اختبار معين. مثال: الحصول على رقم أكبر من أو يساوي 1

ممكن - حدث يمكن أن يحدث أثناء اختبار معين. مثال: تدوير الرقم 6

مستحيل - حدث لا يمكن أن يحدث أثناء اختبار معين. مثال: تدوير الرقم 7

دع A يكون حدثًا ما. من خلال حدث معاكس له، سوف نفهم حدثًا يتكون من عدم وقوع الحدث أ. التسمية: Ᾱ. مثال: أ – تم دحرجة الرقم 2، ب – تم دحرجة أي رقم آخر

يكون الحدثان A وB غير متوافقين إذا كان وقوع أحدهما ينفي وقوع الآخر في نفس التجربة. مثال: الحصول على الرقمين 1 و 3 في نفس القائمة.

يُطلق على الحدثين A وB اسم مشترك إذا كان من الممكن حدوثهما في تجربة واحدة. مثال: الحصول على رقم أكبر من 2 والرقم 4 في نفس القائمة.

22. مجموعة كاملة من الأحداث. أمثلة.

مجموعة كاملة من الأحداث - الأحداث A، B، C، D، ...، L، والتي تعتبر الأحداث الوحيدة الممكنة إذا حدث بالتأكيد واحد منهم على الأقل نتيجة لكل اختبار. مثال: الرقم 1، الرقم 2، 3، 4، 5، 6 يظهر على النرد.

23. تردد الحدث. التعريف الإحصائي للاحتمال.

دع اختبارات n يتم تنفيذها، وسيحدث الحدث A m مرات. نسبة m:n هذه هي تكرار حدوث الحدث A.

مواطنه. احتمال وقوع حدث عشوائي هو رقم ثابت مرتبط بحدث معين، والذي يتقلب حوله تكرار حدوث هذا الحدث في سلسلة طويلة من الاختبارات.

يتم حساب الاحتمال قبل التجربة والتكرار بعدها.

24. التعريف الكلاسيكي للاحتمال. خصائص احتمال الحدث.

احتمالية الحدث x هي نسبة عدد النتائج المفضلة للحدث A إلى العدد الإجمالي لجميع النتائج المحتملة غير المتوافقة والمحتملة بشكل فريد للتجربة. ف(أ) =

خصائص احتمال الحدث:

لأي حدث أ 0<=m<=n

بقسمة كل حد على n، نحصل على احتمال أي حدث A: 0<=Р(А) <=1

إذا كانت m=0 فإن الحدث مستحيل: P(A)=0

إذا كانت m=n، فإن الحدث موثوق: P(A)=1

إذا م

25. التعريف الهندسي للاحتمال. أمثلة.

يتطلب التعريف الكلاسيكي للاحتمالية النظر في عدد محدود من النتائج الأولية، وكذلك النتائج الممكنة على قدم المساواة. ولكن من الناحية العملية، غالبًا ما تكون هناك اختبارات يكون فيها عدد النتائج المحتملة لا نهائيًا.

المساعدة الإنمائية الرسمية. إذا ظهرت نقطة عشوائيا في منطقة ذات بعد واحد أو ثنائي أو ثلاثي الأبعاد من منطقة القياس S (المقياس هو طولها أو مساحتها أو حجمها)، فإن احتمال ظهورها في جزء من منطقة القياس هذه يكون متساويا ل

حيث S هو مقياس هندسي يعبر عن العدد الإجمالي كل ممكن وممكن على قدم المساواةنتائج هذا الاختبار، وS أنا- مقياس يعبر عن عدد النتائج المؤاتية للحدث أ.

مثال 1.تم وضع دائرة نصف قطرها R في دائرة أصغر نصف قطرها r أوجد احتمال أن تقع نقطة عشوائية داخل الدائرة الأكبر في الدائرة الصغيرة.

مثال 2.افترض أن قطعة طولها l متضمنة في قطعة طولها L. أوجد احتمال وقوع الحدث A "سقوط نقطة عشوائيًا على قطعة طولها l".

مثال 3. يتم اختيار نقطة بشكل عشوائي في الدائرة. ما احتمال أن تكون المسافة بينه وبين مركز الدائرة أكبر من النصف؟

مثال 4.واتفق الشخصان على اللقاء في مكان معين بين الساعة الثانية والثالثة بعد الظهر. أول شخص يصل ينتظر الشخص الآخر لمدة 10 دقائق ثم يغادر. ما هو احتمال اجتماع هؤلاء الأشخاص إذا تمكن كل منهم من الوصول في أي وقت خلال الساعة المحددة بغض النظر عن الآخر؟

26. عناصر التوافقيات: التنسيب، التقليب، التركيبات.

1) التقليبيسمى الترتيب المنشأ في مجموعة محدودة.

يتم حساب عدد جميع التباديل المختلفة بواسطة الصيغة

2) التنسيبمن نالعناصر بواسطة مدعا أي شيء منظم مجموعة فرعية من المجموعة الرئيسية تحتوي على عناصر m.

3) الجمعمن نالعناصر بواسطة مدعا أي شيء غير منظم مجموعة فرعية من المجموعة الرئيسية تحتوي على عناصر.

تسمى المعادلة التفاضلية y" +a 0 (x)y=b(x)y n معادلة برنولي.
بما أنه مع n=0 يتم الحصول على معادلة خطية، ومع n=1 - مع متغيرات قابلة للفصل، فإننا نفترض أن n ≠ 0 و n ≠ 1. اقسم طرفي (1) على y n. ثم نضع ، لدينا . استبدال هذا التعبير، نحصل على أو، وهو نفس الشيء، z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). هذه معادلة خطية نعرف كيفية حلها.

الغرض من الخدمة. يمكن استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت للتحقق من الحل معادلات برنولي التفاضلية.

=

مثال 1. أوجد الحل العام للمعادلة y" + 2xy = 2xy 3. هذه هي معادلة برنولي لـ n=3. نحصل على قسمة طرفي المعادلة على y 3. قم بإجراء تغيير. ثم، وبالتالي، تتم إعادة كتابة المعادلة كـ -z " + 4xz = 4x. وبحل هذه المعادلة بطريقة تغيير ثابت اعتباطي، نحصل على ذلك أين أو ما هو نفسه، .

مثال 2. ص"+ص+ص 2 =0
ص"+ص = -ص 2

القسمة على ص 2
ص"/ص 2 + 1/ص = -1

نقوم بعمل بديل:
ض=1/ص ن-1، أي. ض = 1/ص 2-1 = 1/ص
ض = 1/ص
ض"= -ص"/ص 2

نحصل على: -z" + z = -1 أو z" - z = 1

مثال 3. س'+2ص+س ٥ ذ ٣ ه س =٠
حل.
أ) الحل من خلال معادلة برنولي.
لنعرضها في الصورة: xy'+2y=-x 5 y 3 e x . هذه هي معادلة برنولي لـ n=3. بقسمة طرفي المعادلة على y 3 نحصل على: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x. نقوم بالتعويض: z=1/y 2. ثم z"=-2/y 3 وبالتالي يتم إعادة كتابة المعادلة في الصورة: -xz"/2+2z=-x 5 e x. هذه معادلة غير متجانسة. خذ بعين الاعتبار المعادلة المتجانسة المقابلة: -xz"/2+2z=0
1. بحلها نحصل على: z"=4z/x

بالتكامل نحصل على:
قانون الجنسية (ض) = 4ln (ض)
ض=x4. نبحث الآن عن حل للمعادلة الأصلية في الصورة: y(x) = C(x)x 4 , y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x أو C(x)" = 2e x . بالتكامل نحصل على: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
من الشرط y(x)=C(x)y، نحصل على: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) أو y = Cx 4 +2x 4 e x. بما أن z=1/y 2، نحصل على: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x

معادلة برنوليهي واحدة من الأكثر شهرة المعادلات التفاضلية غير الخطية من الدرجة الأولى. هو مكتوب في النموذج

أين أ(س) و ب(س) هي وظائف مستمرة. لو م= 0، فإن معادلة برنولي تصبح معادلة تفاضلية خطية. في حالة عندما م= 1، تصبح المعادلة معادلة قابلة للفصل. على العموم متى م≠ 0.1، تم تقليل معادلة برنولي إلى معادلة تفاضلية خطية باستخدام الاستبدال

معادلة تفاضلية جديدة للدالة ض(س) لديه النموذج

ويمكن حلها باستخدام الطرق الموضحة في صفحة المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى.

طريقة برنولي.

يمكن حل المعادلة قيد النظر بطريقة برنولي. للقيام بذلك، نبحث عن حل للمعادلة الأصلية في صورة حاصل ضرب دالتين: أين ش، ضد- وظائف من س. التفاضل: عوض في المعادلة الأصلية (1): (٢) كما الخامسلنأخذ أي حل غير الصفر للمعادلة: (3) المعادلة (3) هي معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل. بعد أن وجدنا الحل الخاص بها ت = ت(خ)، استبدله في (2). وبما أنه يحقق المعادلة (3)، يصبح التعبير الموجود بين قوسين صفرًا. نحن نحصل: وهذه أيضًا معادلة قابلة للفصل. نجد الحل العام لها، ومعها حل المعادلة الأصلية ذ = الأشعة فوق البنفسجية.

64. المعادلة في مجموع الفروق. عامل التكامل. طرق الحل

المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى من النموذج

مُسَمًّى المعادلة في مجموع التفاضلات، إذا كان الجانب الأيسر يمثل التفاضل الكلي لبعض الوظائف، أي.

نظرية.لكي تكون المعادلة (1) معادلة في إجمالي التفاضلات، من الضروري والكافي أن يتم استيفاء الشرط في بعض مجالات تغيير المتغيرات المتصلة ببساطة

التكامل العام للمعادلة (1) له الشكل أو

مثال 1. حل المعادلة التفاضلية.

حل. دعونا نتحقق من أن هذه المعادلة هي معادلة تفاضلية كلية:

حتى لا يكون الشرط (2) محقق. وبالتالي فإن هذه المعادلة هي معادلة في مجموع التفاضلات و

ولذلك، حيث لا تزال وظيفة غير محددة.

بالتكامل نحصل على . يجب أن يكون المشتق الجزئي للدالة التي تم العثور عليها مساوياً لـ، مما يعطي من حيث ذلك، وهكذا.

التكامل العام للمعادلة التفاضلية الأصلية.

عند دمج بعض المعادلات التفاضلية، يمكن تجميع المصطلحات بطريقة يمكن الحصول على مجموعات قابلة للتكامل بسهولة.

65. المعادلات الخطية التفاضلية العادية ذات الرتب العليا: متجانسة وغير متجانسة. العامل التفاضلي الخطي، خصائصه (مع الإثبات).

العامل التفاضلي الخطي وخصائصه.مجموعة الوظائف التي لها على الفاصل الزمني ( أ , ب ) لا اقل ن المشتقات تشكل مساحة خطية. النظر في المشغل ل ن (ذ )، الذي يعرض الوظيفة ذ (س ) ، وجود مشتقات، في وظيفة وجود ك - ن المشتقات.

المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى هي معادلة خطية بالنسبة إلى دالة مجهولة ومشتقتها. يبدو الأمر كذلك

\frac(دي)(dx)+p(x)y=q(x),

حيث يتم إعطاء p(x) وq(x) دوال x، المستمرة في المنطقة التي تحتاج المعادلة (1) إلى التكامل فيها.

إذا كانت q(x)\equiv0 فإن المعادلة (1) تسمى متجانسة خطية. وهي معادلة قابلة للفصل ولها حل عام

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

يمكن إيجاد الحل العام للمعادلة غير المتجانسة طريقة تغيير ثابت تعسفي، والذي يتكون من حقيقة أن حل المعادلة (1) مطلوب في النموذج

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)، حيث C(x) هي دالة جديدة غير معروفة لـ x.

مثال 1.حل المعادلة y"+2xy=2xe^(-x^2) .

حل.دعونا نستخدم طريقة التغير المستمر. خذ بعين الاعتبار المعادلة المتجانسة y"+2xy=0، المقابلة لهذه المعادلة غير المتجانسة. هذه معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل. حلها العام له الصيغة y=Ce^(-x^2) .

نحن نبحث عن حل عام للمعادلة غير المتجانسة في الصورة y=C(x)e^(-x^2)، حيث C(x) هي دالة غير معروفة لـ x. بالتعويض، نحصل على C"(x)=2x، حيث C(x)=x^2+C. إذن، الحل العام للمعادلة غير المتجانسة سيكون y=(x^2+C)e^(-x^ 2) حيث C - ثابت التكامل.

تعليق.قد يتبين أن المعادلة التفاضلية خطية في x كدالة لـ y. الشكل الطبيعي لمثل هذه المعادلة هو

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

مثال 2.حل المعادلة \frac(دي)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

حل.هذه المعادلة خطية إذا اعتبرنا x دالة لـ y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

نحن نستخدم طريقة اختلاف ثابت تعسفي. أولاً نحل المعادلة المتجانسة المقابلة

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

وهي معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل. الحل العام له الشكل x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

نحن نبحث عن حل عام للمعادلة في الصورة x=C(y)e^(\sin(y))، حيث C(y) هي دالة غير معروفة لـ y. استبدال، نحصل على

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yأو C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

من هنا، التكامل بالأجزاء، لدينا

\begin(محاذاة)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ الخطيئة (ص))،\النهاية (محاذاة)

لذا،

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

باستبدال هذه المعادلة في x=C(y)e^(\sin(y)) ، نحصل على حل عام للمعادلة الأصلية، وبالتالي لهذه المعادلة:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

يمكن أيضًا دمج المعادلة الأصلية على النحو التالي. نعتقد

ص=ش(س)الخامس(س)،

حيث u(x) وv(x) دالتان غير معروفتين لـ x، ويمكن اختيار إحداهما، على سبيل المثال، v(x) بشكل تعسفي.

استبدال y=u(x)v(x) في ، بعد التحويل نحصل عليه

Vu"+(pv+v")u=q(x).

تحديد v(x) من الشرط v"+pv=0، ثم نجد من vu"+(pv+v")u=q(x) الدالة u(x) وبالتالي الحل y=uv لـ المعادلة \frac(دي)(dx)+p(x)y=q(x). مثل v(x) يمكننا أن نأخذ أي حل متكرر للمعادلة v"+pv=0,~v\not\equiv0.

مثال 3.حل مشكلة كوشي: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

حل.نحن نبحث عن حل عام للمعادلة في الصورة y=u(x)v(x) ; لدينا y"=u"v+uv". وبالتعويض عن التعبير y وy" في المعادلة الأصلية، سيكون لدينا

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)أو x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

نجد الدالة v=v(x) من الشرط x(x-1)v"+v=0. بأخذ أي حل معين للمعادلة الأخيرة، على سبيل المثال v=\frac(x)(x-1) و باستبدالها نحصل على المعادلة u"=2x-1، والتي منها نجد الدالة u(x)=x^2-x+C. وبالتالي الحل العام للمعادلة س(س-1)ص"+ص=س^2(2س-1)سوف

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),أو ص=\فارك(Cx)(x-1)+x^2.

باستخدام الشرط الأولي y|_(x=2)=4، نحصل على معادلة إيجاد C 4=\فارك(2C)(2-1)+2^2، من حيث C=0 ؛ لذا فإن حل مشكلة كوشي المذكورة سيكون الدالة y=x^2.

مثال 4.من المعروف أن هناك علاقة بين التيار i والقوة الدافعة الكهربائية E في دائرة ذات مقاومة R ومحاثة ذاتية L E=ري+L\frac(دي)(dt)، حيث R وL ثوابت. إذا اعتبرنا E دالة للوقت t، نحصل على معادلة خطية غير متجانسة لقوة التيار i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

أوجد القوة الحالية i(t) للحالة متى E=E_0=\text(const)و i(0)=I_0 .

حل.لدينا \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. الحل العام لهذه المعادلة له الشكل أنا(ر)=\فارك(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). وباستخدام الشرط الأولي (13) نحصل على من C=I_0-\frac(E_0)(R)، فيكون الحل المطلوب

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

يوضح هذا أنه عند t\to+\infty فإن القوة الحالية i(t) تميل إلى قيمة ثابتة \frac(E_0)(R) .

مثال 5.يتم إعطاء عائلة C_\alpha من منحنيات التكامل للمعادلة الخطية غير المتجانسة y"+p(x)y=q(x).

أظهر أن المماسات عند النقاط المقابلة للمنحنيات C_\alpha المحددة بالمعادلة الخطية تتقاطع عند نقطة واحدة (الشكل 13).

حل.خذ بعين الاعتبار المماس لأي منحنى C_\alpha عند النقطة M(x,y). معادلة المماس عند النقطة M(x,y) لها الشكل

\eta-q(x)(\xi-x)=y، حيث ‎\xi,\eta هي الإحداثيات الحالية لنقطة الظل.

بحكم التعريف، عند النقاط المقابلة x ثابت و y متغير. بأخذ أي مماسين للخطين C_\alpha عند النقاط المقابلة، بالنسبة لإحداثيات النقطة S عند تقاطعهما، نحصل على

\xi=x+\frac(1)(p(x)))، \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

يوضح هذا أن جميع مماسات المنحنيات C_\alpha عند النقاط المقابلة (x ثابتة) تتقاطع عند نفس النقطة

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

بحذف الوسيطة x في النظام، نحصل على معادلة موضع النقاط S\colon f(\xi,\eta)=0.

مثال 6.أوجد حل المعادلة ص"-y=\cos(x)-\sin(x)، يستوفي الشرط: y محدود عند y\to+\infty .

حل.الحل العام لهذه المعادلة هو y=Ce^x+\sin(x) . أي حل للمعادلة يتم الحصول عليه من الحل العام لـ C\ne0 سيكون غير محدود، لأنه بالنسبة لـ x\to+\infty تكون الدالة \sin(x) محدودة و e^x\to+\infty . ويترتب على ذلك أن هذه المعادلة لها حل فريد y=\sin(x) ، يحدها x\to+\infty ، والذي يتم الحصول عليه من الحل العام عند C=0 .

معادلة برنولي

معادلة برنولي التفاضليةيشبه

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n، حيث n\ne0;1 (بالنسبة لـ n=0 و n=1 تكون هذه المعادلة خطية).

باستخدام استبدال متغير ض=\فارك(1)(ص^(ن-1))تم اختزال معادلة برنولي إلى معادلة خطية ودمجها كمعادلة خطية.

مثال 7.حل معادلة برنولي y"-xy=-xy^3.

حل.اقسم طرفي المعادلة على y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

إجراء تغيير متغير \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z"، أين \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). بعد الاستبدال، تتحول المعادلة الأخيرة إلى معادلة خطية

-\frac(z")(2)-xz=-xأو z"+2xz=2x، والحل العام لها هو z=1+Ce^(-x^2).

ومن هنا نحصل على التكامل العام لهذه المعادلة

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)أو ص^2(1+Ce^(-x^2))=1.

تعليق.يمكن أيضًا دمج معادلة برنولي بطريقة تغيير الثابت، مثل المعادلة الخطية، واستخدام الاستبدال y(x)=u(x)v(x) .

مثال 8.حل معادلة برنولي xy"+y=y^2\ln(x). .

حل.دعونا نطبق طريقة اختلاف ثابت تعسفي. الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة xy"+y=0 له الصيغة y=\frac(C)(x). نبحث عن الحل العام للمعادلة في الصورة y=\frac(C(x)) (x) حيث C(x) - دالة جديدة غير معروفة بالتعويض في المعادلة الأصلية

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

لإيجاد الدالة C(x)، نحصل على معادلة بمتغيرات قابلة للفصل، منها بفصل المتغيرات والتكامل نجد

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

لذلك، الحل العام للمعادلة الأصلية ص=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

يمكن اختزال بعض المعادلات غير الخطية من الدرجة الأولى إلى معادلات خطية أو معادلات برنولي باستخدام تغيير المتغيرات الذي تم العثور عليه بنجاح.

مثال 9.حل المعادلة y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

حل.دعونا نكتب هذه المعادلة في الصورة y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

قسمة طرفي المعادلة على 2\cos^2\frac(y)(2)، نحن نحصل \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatorname(tg)\frac(y)(2)+x=0.

إستبدال \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))يقلل هذه المعادلة إلى خطية \frac(dz)(dx)+z=-x، الحل العام هو z=1-x+Ce^(-x) .

بالتعويض عن z بتعبيرها بدلالة y، نحصل على التكامل العام لهذه المعادلة \اسم المشغل(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

في بعض المعادلات، قد تكون الدالة المطلوبة y(x) تحت علامة التكامل. في هذه الحالات، من الممكن أحيانًا اختزال هذه المعادلة إلى معادلة تفاضلية عن طريق الاشتقاق.

مثال 10.حل المعادلة x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

حل.بتفاضل طرفي هذه المعادلة بالنسبة لـ x نحصل على

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (خ)أو مصدر المعلومات