افعل مع الجانب الأيمن الخاص. المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة

تمت دراسة LNDEs في المحاضرة - غير متجانسة خطية المعادلات التفاضلية. تم النظر في بنية الحل العام، حل LPDE باستخدام طريقة تغيير الثوابت التعسفية، حل LPDE مع معاملات ثابتةوالجانب الأيمن من نوع خاص . تُستخدم القضايا قيد النظر في دراسة التذبذبات القسرية في الفيزياء والهندسة الكهربائية والإلكترونيات ونظرية التحكم الآلي.

1. هيكل الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية.

دعونا نفكر أولاً في معادلة خطية غير متجانسة ذات ترتيب تعسفي:

مع مراعاة التدوين يمكننا أن نكتب:

في هذه الحالة، سنفترض أن المعاملات والطرف الأيمن من هذه المعادلة مستمران على فترة معينة.

نظرية. الحل العام لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة في مجال معين هو مجموع أي من حلولها والحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة المقابلة.

دليل.دع Y يكون حلاً لمعادلة غير متجانسة.

ثم عند استبدال هذا الحل في المعادلة الأصلية نحصل على الهوية:

يترك
- النظام الأساسيحلول معادلة خطية متجانسة
. ثم قرار مشتركيمكن كتابة المعادلة المتجانسة على النحو التالي:

على وجه الخصوص، بالنسبة للمعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية، فإن بنية الحل العام لها الشكل:

أين
هو النظام الأساسي للحلول للمعادلة المتجانسة المقابلة، و
- أي حل معين لمعادلة غير متجانسة.

وبالتالي، لحل معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة، من الضروري إيجاد حل عام للمعادلة المتجانسة المقابلة وإيجاد حل معين بطريقة أو بأخرى معادلة غير متجانسة. عادة ما يتم العثور عليه عن طريق الاختيار. سننظر في طرق اختيار الحل الخاص في الأسئلة التالية.

2. طريقة الاختلاف

من الناحية العملية، من الملائم استخدام طريقة تغيير الثوابت التعسفية.

للقيام بذلك، ابحث أولاً عن حل عام للمعادلة المتجانسة المقابلة في النموذج:

ثم وضع المعاملات ج أناوظائف من X، يتم البحث عن حل للمعادلة غير المتجانسة:

يمكن إثبات ذلك للعثور على وظائف ج أنا (س) نحن بحاجة إلى حل نظام المعادلات:

مثال.حل المعادلة

حل معادلة خطية متجانسة

حل المعادلة غير المتجانسة سيكون له الشكل:

لنقم بإنشاء نظام المعادلات:

دعونا نحل هذا النظام:

ومن العلاقة نجد الدالة أوه).

الآن نجد ب(خ).

نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في صيغة الحل العام للمعادلة غير المتجانسة:

الجواب النهائي:

بشكل عام، طريقة تغيير الثوابت العشوائية مناسبة لإيجاد حلول لأي معادلة خطية غير متجانسة. ولكن يمكن أن يكون العثور على النظام الأساسي للحلول للمعادلة المتجانسة المقابلة مهمة صعبة للغاية؛ تستخدم هذه الطريقة بشكل أساسي للمعادلات غير المتجانسة ذات المعاملات الثابتة.

3. المعادلات مع الجانب الأيمن من نموذج خاص

ويبدو من الممكن تصور نوع حل معين اعتمادًا على نوع الطرف الأيمن من المعادلة غير المتجانسة.

تتميز الحالات التالية:

I. الجانب الأيمن من المعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة له الشكل:

حيث هو كثير الحدود من الدرجة م.

ثم يتم البحث عن حل معين في النموذج:

هنا س(س) - كثير الحدود من نفس الدرجة ص(س) ، أنف معاملات غير مؤكدة، أ ص- رقم يوضح عدد المرات التي يكون فيها الرقم  هو جذر المعادلة المميزة للمعادلة التفاضلية المتجانسة الخطية المقابلة.

مثال.حل المعادلة
.

دعونا نحل المعادلة المتجانسة المقابلة:

الآن دعونا نجد حلًا محددًا للمعادلة الأصلية غير المتجانسة.

دعونا نقارن الجانب الأيمن من المعادلة بشكل الجانب الأيمن الذي تمت مناقشته أعلاه.

نحن نبحث عن حل معين في النموذج:
، أين

أولئك.

الآن دعونا نحدد المعاملات المجهولة أو في.

دعونا نعوض بالحل الخاص في الصورة العامة في المعادلة التفاضلية غير المتجانسة الأصلية.

إجمالي الحل الخاص:

ثم الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة هو:

ثانيا. الجانب الأيمن من المعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة له الشكل:

هنا ر 1 (X)و ر 2 (X)- كثيرات الحدود من الدرجة م 1 و م 2 على التوالى.

عندها سيكون الحل الخاص للمعادلة غير المتجانسة بالشكل:

أين هو الرقم صيظهر عدد مرات الرقم
هو جذر المعادلة المميزة للمعادلة المتجانسة المقابلة، و س 1 (س) و س 2 (س) - كثيرات الحدود من درجة لا تزيد عن م، أين م- أكبر الدرجات م 1 و م 2 .

جدول ملخص لأنواع الحلول الخاصة

لأنواع مختلفة من الجوانب اليمنى

	الجانب الأيمن من المعادلة التفاضلية	معادلة مميزة	أنواع خاصة
		1. الرقم ليس جذر المعادلة المميزة
		2. الرقم هو جذر المعادلة المميزة للتعدد
		1. الرقم ليس جذرًا للمعادلة المميزة
		2. الرقم هو جذر المعادلة المميزة للتعدد
		1. الأرقام
		2. الأرقام هي جذور المعادلة المميزة للتعدد
		1. الأرقام ليست جذور معادلة التعددية المميزة
		2. الأرقام هي جذور المعادلة المميزة للتعدد

لاحظ أنه إذا كان الجانب الأيمن من المعادلة عبارة عن مجموعة من التعبيرات من النوع المذكور أعلاه، فسيتم العثور على الحل كمجموعة من حلول المعادلات المساعدة، ولكل منها جانب أيمن يتوافق مع التعبير المتضمن في الجمع.

أولئك. إذا كانت المعادلة:
، فإن الحل المحدد لهذه المعادلة سيكون
أين في 1 و في 2 - حلول خاصة للمعادلات المساعدة

و

للتوضيح، دعونا نحل المثال أعلاه بطريقة مختلفة.

مثال.حل المعادلة

دعونا نمثل الجانب الأيمن من المعادلة التفاضلية كمجموع دالتين F 1 (س) + F 2 (س) = س + (- خطيئة س).

دعونا نؤلف ونحل المعادلة المميزة:

نحصل على: أي.

المجموع:

أولئك. الحل المحدد المطلوب له الشكل:

الحل العام للمعادلة التفاضلية غير المتجانسة:

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لتطبيق الأساليب الموصوفة.

مثال 1..حل المعادلة

دعونا نؤلف معادلة مميزة للمعادلة التفاضلية المتجانسة الخطية المقابلة:

الآن دعونا نجد حلاً خاصًا للمعادلة غير المتجانسة في الصورة:

دعونا نستخدم طريقة المعاملات غير المحددة.

وبالتعويض في المعادلة الأصلية نحصل على:

الحل الخاص له الشكل:

الحل العام للمعادلة الخطية غير المتجانسة:

مثال.حل المعادلة

المعادلة المميزة:

الحل العام للمعادلة المتجانسة:

الحل الخاص للمعادلة غير المتجانسة:
.

نوجد المشتقات ونعوض بها في المعادلة الأصلية غير المتجانسة:

نحصل على حل عام للمعادلة التفاضلية غير المتجانسة:

أساسيات حل المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية (LNDE-2) ذات المعاملات الثابتة (PC)

LDDE من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة $p$ و $q$ له الشكل $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$، حيث $f\left(x) \right)$ هي دالة مستمرة.

فيما يتعلق بـ LNDU 2 مع الكمبيوتر الشخصي، فإن العبارتين التاليتين صحيحتان.

لنفترض أن بعض الوظائف $U$ هي حل جزئي تعسفي لمعادلة تفاضلية غير متجانسة. لنفترض أيضًا أن بعض الوظائف $Y$ هي الحل العام (GS) للمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة المقابلة (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. ثم GR لـ LHDE-2 يساوي مجموع الحلول الخاصة والعامة المشار إليها، أي $y=U+Y$.

إذا كان الجانب الأيمن من LMDE من الرتبة الثانية عبارة عن مجموع الوظائف، أي $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$، ثم يمكننا أولاً العثور على PDs $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ التي تتوافق إلى كل من الوظائف $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$، وبعد ذلك اكتب CR LNDU-2 بالصيغة $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

حل مشكلة LPDE من الدرجة الثانية مع الكمبيوتر

من الواضح أن نوع واحد أو آخر من PD $U$ لوحدة LNDU-2 معينة يعتمد على الشكل المحدد لجانبها الأيمن $f\left(x\right)$. تتم صياغة أبسط حالات البحث عن PD LNDU-2 في شكل القواعد الأربع التالية.

المادة 1.

الجانب الأيمن من LNDU-2 له الصيغة $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$، حيث $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $، أي أنه يسمى متعدد الحدود من الدرجة $n$. ثم يتم البحث عن PD $U$ الخاص به في النموذج $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $، حيث $Q_(n) \left(x\right)$ هو شكل آخر كثيرة الحدود بنفس درجة $P_(n) \left(x\right)$، و$r$ هو عدد الجذور معادلة مميزةالموافق LOD-2، يساوي الصفر. تم العثور على معاملات كثيرة الحدود $Q_(n) \left(x\right)$ بطريقة المعاملات غير المحددة (المملكة المتحدة).

القاعدة رقم 2.

الجانب الأيمن من LNDU-2 له الصيغة $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$، حيث $P_(n) \left( x\right)$ هي كثيرة الحدود من الدرجة $n$. ثم يتم البحث عن PD $U$ في النموذج $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $، حيث $Q_(n ) \ left(x\right)$ هي كثيرة حدود أخرى بنفس درجة $P_(n) \left(x\right)$، و $r$ هو عدد جذور المعادلة المميزة لـ LODE-2 المقابلة يساوي $\alpha $. تم العثور على معاملات كثيرة الحدود $Q_(n) \left(x\right)$ بواسطة طريقة NC.

القاعدة رقم 3.

الجانب الأيمن من LNDU-2 له الشكل $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $، حيث يوجد $a$ و$b$ و$\beta$ أرقام معروفة. ثم يتم البحث عن PD $U$ في النموذج $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $، حيث $A$ و$B$ معاملات غير معروفة، و $r$ هو عدد جذور المعادلة المميزة لمعادلة LODE-2 المقابلة، والتي تساوي $i\cdot \ بيتا $. تم العثور على المعاملين $A$ و $B$ باستخدام الطريقة غير المدمرة.

القاعدة رقم 4.

الجانب الأيمن من LNDU-2 له الصيغة $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$، حيث $P_(n) \left(x\right)$ هو كثيرة الحدود من الدرجة $ n$، و$P_(m) \left(x\right)$ هي كثيرة الحدود من الدرجة $m$. ثم يتم البحث عن PD $U$ الخاص به في النموذج $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $، حيث $Q_(s) \left(x\right)$ و $ R_(s) \left(x\right)$ هي متعددات الحدود من الدرجة $s$، والرقم $s$ هو الحد الأقصى لعددين $n$ و$m$، و$r$ هو عدد الجذور من المعادلة المميزة لـ LODE-2 المقابلة، والتي تساوي $\alpha +i\cdot \beta $. تم العثور على معاملات كثيرات الحدود $Q_(s) \left(x\right)$ و$R_(s) \left(x\right)$ بواسطة طريقة NC.

تتكون طريقة NK من تطبيق القاعدة التالية. من أجل إيجاد المعاملات المجهولة لكثيرة الحدود التي تشكل جزءاً من الحل الجزئي للمعادلة التفاضلية غير المتجانسة LNDU-2، من الضروري:

• استبدل PD $U$، المكتوب بشكل عام، في الجهه اليسرى LNDU-2؛
• على الجانب الأيسر من LNDU-2، قم بإجراء عمليات التبسيط وجمع المصطلحات بنفس الصلاحيات $x$؛
• في الهوية الناتجة، قم بمساواة معاملات الحدود بنفس القوى $x$ للجانبين الأيسر والأيمن؛
• حل النظام الناتج المعادلات الخطيةنسبة إلى معاملات غير معروفة.

مثال 1

المهمة: ابحث عن OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. ابحث أيضًا عن PD ، مع استيفاء الشروط الأولية $y=6$ لـ $x=0$ و $y"=1$ لـ $x=0$.

نكتب LOD-2 المقابل: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

المعادلة المميزة: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. جذور المعادلة المميزة هي: $k_(1) =-3$، $k_(2) =6$. هذه الجذور صالحة ومتميزة. وبالتالي، فإن OR الخاص بـ LODE-2 المقابل له الصيغة: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

الجانب الأيمن من LNDU-2 له الشكل $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. من الضروري النظر في معامل الأس $\alpha =3$. لا يتطابق هذا المعامل مع أي من جذور المعادلة المميزة. لذلك، فإن PD الخاص بـ LNDU-2 له الشكل $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

سوف نبحث عن المعاملات $A$، $B$ باستخدام طريقة NC.

نجد المشتق الأول لجمهورية التشيك:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

نجد المشتق الثاني لجمهورية التشيك:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

نقوم باستبدال الوظائف $U""$ و$U"$ و$U$ بدلاً من $y""$ و $y"$ و $y$ في NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ علاوة على ذلك، بما أن الأس $e^(3\cdot x)$ تم تضمينه كعامل في جميع المكونات فيمكن حذفه فنحصل على:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

نقوم بتنفيذ الإجراءات على الجانب الأيسر من المساواة الناتجة:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

نحن نستخدم طريقة NDT. نحصل على نظام المعادلات الخطية مع مجهولين:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

الحل لهذا النظام هو: $A=-2$، $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ تبدو مشكلتنا كما يلي: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

يبدو OR $y=Y+U$ لمشكلتنا كما يلي: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ يسار(-2\cdot x-1\يمين)\cdot e^(3\cdot x) $.

من أجل البحث عن PD الذي يلبي الشروط الأولية المحددة، نجد المشتق $y"$ من OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

نعوض في $y$ و $y"$ بالشروط الأولية $y=6$ لـ $x=0$ و $y"=1$ لـ $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

لقد حصلنا على نظام المعادلات:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

دعونا حلها. نجد $C_(1) $ باستخدام صيغة كرامر، و$C_(2) $ نحددها من المعادلة الأولى:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ البدء (المصفوفة)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

وبالتالي، فإن احتمالية الاحتمال لهذه المعادلة التفاضلية لها الشكل: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة

هيكل الحل العام المعادلة الخطية غير المتجانسة من هذا النوع لها الشكل: أين ص, س- الأعداد الثابتة (والتي يمكن أن تكون حقيقية أو معقدة). لكل معادلة من هذا القبيل يمكننا كتابة المقابلة معادلة متجانسة: نظرية: الحل العام لمعادلة غير متجانسة هو مجموع الحل العام ذ 0 (س) للمعادلة المتجانسة المقابلة والحل الخاص ذ 1 (س) معادلة غير متجانسة: أدناه سننظر في طريقتين لحل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة. طريقة اختلاف الثوابت إذا كان الحل العام ذ 0 من المعادلة المتجانسة المرتبطة بها معروفة، ثم يمكن إيجاد الحل العام للمعادلة غير المتجانسة باستخدام طريقة التغير المستمر. دع الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة من الدرجة الثانية يكون بالشكل: بدلا من الدائم ج 1 و ج 2 سننظر في الوظائف المساعدة ج 1 (س) و ج 2 (س). سوف نبحث عن هذه الوظائف بحيث يكون الحل حقق المعادلة غير المتجانسة مع الطرف الأيمن F(س). وظائف غير معروفة ج 1 (س) و ج 2 (س) يتم تحديدها من نظام من معادلتين: طريقة معامل غير مؤكدة الجزء الأيمن F(س) في معادلة تفاضلية غير متجانسة غالبًا ما تكون دالة متعددة الحدود أو أسية أو مثلثية، أو مزيج من هذه الوظائف. في هذه الحالة، يكون البحث عن حل أكثر ملاءمة باستخدام طريقة المعاملات غير المؤكدة. دعونا نؤكد على ذلك هذه الطريقةيعمل فقط مع فئة محدودة من الوظائف على الجانب الأيمن، مثل وفي كلتا الحالتين، يجب أن يتوافق اختيار حل معين مع بنية الجانب الأيمن من المعادلة التفاضلية غير المتجانسة. في الحالة 1، إذا كان الرقم α الخامس وظيفة الأسيةيتزامن مع جذر المعادلة المميزة، فإن الحل المعين سيحتوي على عامل إضافي س س، أين س- تعدد الجذور α في المعادلة المميزة في الحالة 2، إذا كان الرقم α + βiيتزامن مع جذر المعادلة المميزة، فإن التعبير الخاص بالحل المعين سيحتوي على عامل إضافي س. يمكن تحديد المعاملات غير المعروفة عن طريق استبدال التعبير الموجود بحل معين في المعادلة التفاضلية غير المتجانسة الأصلية. مبدأ التراكب إذا كان الجانب الأيمن من المعادلة غير المتجانسة هو كميةالعديد من وظائف النموذج فإن الحل المعين للمعادلة التفاضلية سيكون أيضًا مجموع الحلول الجزئية التي تم إنشاؤها بشكل منفصل لكل حد على الجانب الأيمن.

مثال 1

حل المعادلة التفاضلية ذ"" + ذ= الخطيئة (2 س). حل. أولاً نحل المعادلة المتجانسة المقابلة ذ"" + ذ= 0.V في هذه الحالةجذور المعادلة المميزة خيالية بحتة: وبالتالي، فإن الحل العام للمعادلة المتجانسة يعطى بالتعبير دعنا نعود مرة أخرى إلى المعادلة غير المتجانسة. وسوف نبحث عن حلها في النموذج باستخدام طريقة اختلاف الثوابت. المهام ج 1 (س) و ج 2 (س) يمكن العثور عليها من النظام القادمالمعادلات: دعونا نعبر عن المشتقة ج 1 " (س) من المعادلة الأولى: بالتعويض في المعادلة الثانية، نجد المشتقة ج 2 " (س): إنه يتبع هذا تكامل التعبيرات للمشتقات ج 1 " (س) و ج 2 " (س)، نحن نحصل: أين أ 1 , أ 2 – ثوابت التكامل . الآن دعونا نستبدل الوظائف الموجودة ج 1 (س) و ج 2 (س) في الصيغة ل ذ 1 (س) واكتب الحل العام للمعادلة غير المتجانسة:

مثال 2

أوجد الحل العام للمعادلة ص"" + ذ" −6ذ = 36س. حل. دعونا نستخدم طريقة المعاملات غير المحددة. الجانب الأيمن من المعادلة المعطاة هو دالة خطية F(س)= الفأس + ب. لذلك، سوف نبحث عن حل معين في النموذج المشتقات متساوية: وبالتعويض في المعادلة التفاضلية نحصل على: والمعادلة الأخيرة هي الهوية، أي أنها صالحة للجميع س، وبالتالي فإننا نساوي معاملات الحدود بنفس الدرجات سعلى الجانبين الأيسر والأيمن: ومن النظام الناتج نجد: أ = −6, ب= -1. ونتيجة لذلك، يتم كتابة الحل المحدد في النموذج الآن دعونا نجد الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة. دعونا نحسب جذور المعادلة المميزة المساعدة: ولذلك، فإن الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة له الشكل: لذا، يتم التعبير عن الحل العام للمعادلة غير المتجانسة الأصلية بالصيغة

التكامل العام للDE.

حل المعادلة التفاضلية

لكن الشيء المضحك هو أن الإجابة معروفة بالفعل: وبشكل أكثر دقة، يجب علينا أيضًا إضافة ثابت: التكامل العام هو حل للمعادلة التفاضلية.

طريقة اختلاف الثوابت التعسفية. أمثلة على الحلول

يتم استخدام طريقة اختلاف الثوابت التعسفية لحل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة. هذا الدرس مخصص لأولئك الطلاب الذين هم بالفعل على دراية جيدة بالموضوع إلى حد ما. إذا كنت قد بدأت للتو في التعرف على جهاز التحكم عن بعد، أي. إذا كنت إبريق شاي، أنصحك بالبدء بالدرس الأول: المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. أمثلة على الحلول. وإذا كنت قد انتهيت بالفعل، فيرجى التخلص من التصور المسبق المحتمل بأن الطريقة صعبة. لأنه بسيط.

في أي الحالات يتم استخدام طريقة تغيير الثوابت التعسفية؟

1) يمكن استخدام طريقة اختلاف الثابت التعسفي لحلها DE خطي غير متجانس من الدرجة الأولى. وبما أن المعادلة من الدرجة الأولى، فإن الثابت هو أيضًا واحد.

2) تم استخدام طريقة اختلاف الثوابت التعسفية لحل بعضها المعادلات الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية. هنا يختلف ثوابتان.

ومن المنطقي أن نفترض أن الدرس سيتكون من فقرتين... لذلك كتبت هذه الجملة، ولمدة 10 دقائق كنت أفكر بشكل مؤلم في الأشياء الذكية الأخرى التي يمكنني إضافتها للانتقال السلس إلى الأمثلة العملية. ولكن لسبب ما، ليس لدي أي أفكار بعد الإجازة، على الرغم من أنني لا أسيء استخدام أي شيء. لذلك، دعونا ننتقل مباشرة إلى الفقرة الأولى.

طريقة تغيير ثابت تعسفي لمعادلة خطية غير متجانسة من الدرجة الأولى

قبل النظر في طريقة تغيير ثابت اعتباطي، من المستحسن أن تكون على دراية بالمادة المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى. في هذا الدرس تدربنا الحل الأولغير متجانسة من الدرجة الأولى DE. أذكرك أن هذا الحل الأول يسمى طريقة الاستبدالأو طريقة برنولي(يجب عدم الخلط بينه وبين معادلة برنولي!!!)

الآن سوف ننظر الحل الثاني– طريقة تغيير ثابت تعسفي. سأعطي ثلاثة أمثلة فقط، وسأأخذها من الدرس المذكور أعلاه. لماذا القليل جدا؟ لأنه في الحقيقة الحل في الطريقة الثانية سيكون مشابهًا جدًا للحل في الطريقة الأولى. بالإضافة إلى ذلك، وفقًا لملاحظاتي، يتم استخدام طريقة تغيير الثوابت التعسفية بشكل أقل تكرارًا من طريقة الاستبدال.

مثال 1

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية (الاختلاف عن المثال رقم 2 من الدرس المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الأولى)

حل:هذه المعادلة خطية غير متجانسة ولها شكل مألوف:

في المرحلة الأولى، من الضروري حل معادلة أبسط: أي أننا قمنا بغباء بإعادة تعيين الجانب الأيمن إلى الصفر - اكتب صفرًا بدلاً من ذلك. سأسمي المعادلة المعادلة المساعدة.

في هذا المثال، عليك حل المعادلة المساعدة التالية:

قبلنا معادلة قابلة للفصلوالذي (آمل) لم يعد حله صعبًا بالنسبة لك:

وبالتالي: - الحل العام للمعادلة المساعدة.

في الخطوة الثانية سوف نستبدلبعض ثابت في الوقت الراهندالة غير معروفة تعتمد على "x":

ومن هنا اسم الطريقة - نغير الثابت. بدلًا من ذلك، يمكن أن يكون الثابت دالة ما علينا الآن إيجادها.

في إبداعيفي المعادلة غير المتجانسة نقوم بالتعويض:

لنعوض في المعادلة:

نقطة تحكم - إلغاء المصطلحين الموجودين على الجانب الأيسر. إذا لم يحدث هذا، يجب عليك البحث عن الخطأ أعلاه.

ونتيجة للاستبدال تم الحصول على معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل. نحن نفصل المتغيرات ونتكامل.

ويا لها من نعمة، فإن الأسس تلغى أيضًا:

نضيف ثابتًا "عاديًا" إلى الوظيفة التي تم العثور عليها:

في المرحلة النهائية، نتذكر استبدالنا:

تم العثور على الوظيفة للتو!

إذن الحل العام هو:

إجابة:القرار المشترك:

إذا قمت بطباعة الحلين، ستلاحظ بسهولة أنه في كلتا الحالتين وجدنا نفس التكاملات. والفرق الوحيد هو في خوارزمية الحل.

الآن لأمر أكثر تعقيدًا، سأعلق أيضًا على المثال الثاني:

مثال 2

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية (الفرق عن المثال رقم 8 من الدرس المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الأولى)

حل:دعنا نأتي بالمعادلة إلى النموذج:

لنعيد ضبط الطرف الأيمن ونحل المعادلة المساعدة:

نفصل المتغيرات ونتكامل: الحل العام للمعادلة المساعدة:

في المعادلة غير المتجانسة نقوم بالتعويض:

وفقا لقاعدة تمايز المنتج:

دعونا نعوض في المعادلة الأصلية غير المتجانسة:

يُلغى المصطلحان الموجودان على الجانب الأيسر، مما يعني أننا نسير على الطريق الصحيح:

دعونا نتكامل بالأجزاء. الحرف اللذيذ من صيغة التكامل بالأجزاء موجود بالفعل في الحل، لذلك نستخدم، على سبيل المثال، الحرفين "a" و"be":

مؤخراً:

الآن دعونا نتذكر الاستبدال:

إجابة:القرار المشترك:

طريقة اختلاف الثوابت التعسفية لمعادلة خطية غير متجانسة من الدرجة الثانية بمعاملات ثابتة

لقد سمعت كثيرًا رأيًا مفاده أن طريقة تغيير الثوابت التعسفية لمعادلة من الدرجة الثانية ليست بالأمر السهل. لكنني أفترض ما يلي: على الأرجح، تبدو الطريقة صعبة للكثيرين لأنها لا تحدث كثيرًا. ولكن في الواقع لا توجد صعوبات خاصة - فمسار القرار واضح وشفاف ومفهوم. و جميل.

لإتقان الطريقة، من المستحسن أن تكون قادرًا على حل المعادلات غير المتجانسة من الدرجة الثانية عن طريق اختيار حل معين بناءً على شكل الطرف الأيمن. هذه الطريقةتمت مناقشته بالتفصيل في المقال غير متجانسة من الدرجة الثانية DEs. نتذكر أن المعادلة الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة لها الشكل:

طريقة الاختيار، التي تمت مناقشتها في الدرس أعلاه، تعمل فقط في عدد محدود من الحالات عندما يحتوي الجانب الأيمن على كثيرات الحدود، والأُسيات، وجيب التمام، وجيب التمام. ولكن ماذا تفعل عندما يكون على اليمين، على سبيل المثال، كسر أو لوغاريتم أو مماس؟ في مثل هذه الحالة، تأتي طريقة تغيير الثوابت للإنقاذ.

مثال 4

أوجد الحل العام لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية

حل:هناك كسر على الجانب الأيمن من هذه المعادلة، لذلك يمكننا أن نقول على الفور أن طريقة اختيار حل معين لا تعمل. نحن نستخدم طريقة اختلاف الثوابت التعسفية.

لا يوجد أي بوادر لعاصفة رعدية، بداية الحل عادية تماما:

سوف نجد قرار مشتركملائم متجانسالمعادلات:

دعونا نؤلف ونحل المعادلة المميزة: - يتم الحصول على جذور معقدة مترافقة، وبالتالي فإن الحل العام هو:

انتبه إلى سجل الحل العام - إذا كان هناك قوسين، فافتحهما.

الآن نقوم بنفس الخدعة تقريبًا كما في المعادلة من الدرجة الأولى: نقوم بتغيير الثوابت، واستبدالها بدوال غير معروفة. إنه، الحل العام غير متجانسةسنبحث عن المعادلات بالصيغة:

أين - في الوقت الراهنوظائف غير معروفة.

يبدو وكأنه مكب النفايات النفايات المنزليةولكن الآن سنقوم بتسوية كل شيء.

المجهولة هي مشتقات الوظائف. هدفنا هو إيجاد المشتقات، ويجب أن تحقق المشتقات الموجودة المعادلتين الأولى والثانية للنظام.

من أين يأتي "اليونانيون"؟ اللقلق يجلبهم. ننظر إلى الحل العام الذي تم الحصول عليه سابقًا ونكتب:

لنجد المشتقات:

تمت معالجة الأجزاء اليسرى. ماذا يوجد على اليمين؟

- هذا هو الجانب الأيمن المعادلة الأصلية، في هذه الحالة:

تتناول هذه المقالة مسألة حل المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة. وستتم مناقشة النظرية مع أمثلة لمشاكل معينة. لفك رموز المصطلحات غير الواضحة، من الضروري الرجوع إلى موضوع التعريفات والمفاهيم الأساسية لنظرية المعادلات التفاضلية.

لنفكر في معادلة تفاضلية خطية (LDE) من الدرجة الثانية بمعاملات ثابتة بالشكل y "" + p · y " + q · y = f (x)، حيث p و q أرقام عشوائية، والدالة الحالية f (x) مستمرة على فترة التكامل x.

دعنا ننتقل إلى صياغة نظرية الحل العام لـ LNDE.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

نظرية الحل العام لـ LDNU

النظرية 1

حل عام يقع على الفترة x لمعادلة تفاضلية غير متجانسة على الصورة y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) مع معاملات التكامل المستمر على الفاصل الزمني x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , و ن - 1 (خ) و وظيفة مستمرة f (x) يساوي مجموع الحل العام y 0، الذي يتوافق مع LOD وبعض الحلول المحددة y ~، حيث المعادلة الأصلية غير المتجانسة هي y = y 0 + y ~.

يوضح هذا أن حل هذه المعادلة من الدرجة الثانية له الصيغة y = y 0 + y ~ . تمت مناقشة خوارزمية إيجاد y 0 في المقالة حول المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة. وبعد ذلك يجب أن ننتقل إلى تعريف y ~.

يعتمد اختيار حل معين لـ LPDE على نوع الدالة المتاحة f (x) الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلة. للقيام بذلك، من الضروري النظر بشكل منفصل في حلول المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة.

عندما تعتبر f (x) متعددة الحدود من الدرجة n f (x) = P n (x)، فإنه يترتب على ذلك أنه تم العثور على حل معين لـ LPDE باستخدام صيغة النموذج y ~ = Q n (x) ) x γ، حيث Q n ( x) هي متعددة الحدود من الدرجة n، r هو عدد الجذور الصفرية للمعادلة المميزة. القيمة y ~ هي حل معين y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) ، ثم المعاملات المتاحة التي يتم تعريفها بواسطة كثير الحدود
Q n (x) نجد باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة من المساواة y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

مثال 1

احسب باستخدام نظرية كوشي y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

حل

بمعنى آخر، من الضروري الانتقال إلى حل معين لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الدرجة الثانية بمعاملات ثابتة y "" - 2 y " = x 2 + 1، والتي ستحقق الشروط المحددة y (0) = 2, ص " (0) = 1 4 .

الحل العام للمعادلة الخطية غير المتجانسة هو مجموع الحل العام الذي يتوافق مع المعادلة y 0 أو حل معين للمعادلة غير المتجانسة y ~، أي y = y 0 + y ~.

أولاً، سنجد حلاً عامًا لوحدة LNDU، ثم حلًا خاصًا.

دعنا ننتقل إلى إيجاد y 0. ستساعدك كتابة المعادلة المميزة في العثور على الجذور. لقد حصلنا على ذلك

ك 2 - 2 ك = 0 ك (ك - 2) = 0 ك 1 = 0، ك 2 = 2

لقد وجدنا أن الجذور مختلفة وحقيقية. لذلك، دعونا نكتب

ص 0 = ج 1 ه 0 س + ج 2 ه 2 س = ج 1 + ج 2 ه 2 س.

دعونا نجد y ~ . يمكن ملاحظة أن الطرف الأيمن من المعادلة المعطاة هو كثيرة الحدود من الدرجة الثانية، وأن أحد الجذور يساوي صفرًا. من هذا نحصل على حل معين لـ y ~ سيكون

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x، حيث تأخذ قيم A، B، C معاملات غير محددة.

لنوجدها من المساواة بالشكل y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

ثم نحصل على ذلك:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (أ x 3 + ب x 2 + ج x) "" - 2 (أ x 3 + ب x 2 + ج x) " = x 2 + 1 3 أ س 2 + 2 ب س + ج " - 6 أ س 2 - 4 ب س - 2 ج = س 2 + 1 6 أ س + 2 ب - 6 أ س 2 - 4 ب س - 2 ج = س 2 + 1 - 6 أ × 2 + س (6 أ - 4 ب) + 2 ب - 2 ج = س 2 + 1

بمساواة المعاملات بنفس أسس x، نحصل على نظام من التعبيرات الخطية - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. عند الحل بأي من الطرق، سنوجد المعاملات ونكتب: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 و y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 × 3 - 1 4 × 2 - 3 4 × .

يُسمى هذا الإدخال بالحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية الأصلية ذات المعاملات الثابتة.

لإيجاد حل معين يحقق الشروط y (0) = 2, y "(0) = 1 4، من الضروري تحديد القيم ج1و ج2, على أساس المساواة في الصيغة y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

لقد حصلنا على ذلك:

ص (0) = ج 1 + ج 2 ه 2 س - 1 6 س 3 + 1 4 س 2 + 3 4 س س = 0 = ج 1 + ج 2 ذ " (0) = ج 1 + ج 2 ه 2 س - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

نحن نعمل مع نظام المعادلات الناتج من الصيغة C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4، حيث C 1 = 3 2، C 2 = 1 2.

وبتطبيق نظرية كوشي، نحصل على ذلك

ص = ج 1 + ج 2 ه 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 ه 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

إجابة: 3 2 + 1 2 ه 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

عندما يتم تمثيل الدالة f (x) على أنها حاصل ضرب كثيرة الحدود بالدرجة n والأس f (x) = P n (x) · e a x ، فإننا نحصل على أن الحل المعين لـ LPDE من الدرجة الثانية سيكون معادلة من الشكل y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ، حيث Q n (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة n، و r هو عدد جذور المعادلة المميزة التي تساوي α.

تم العثور على المعاملات التي تنتمي إلى Q n (x) بالمساواة y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

مثال 2

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية من الصورة y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

حل

المعادلة منظر عامص = ص 0 + ص ~ . المعادلة المشار إليها تتوافق مع LOD y "" - 2 y " = 0. من المثال السابق يمكن ملاحظة أن جذورها متساوية ك 1 = 0و k 2 = 2 و y 0 = C 1 + C 2 e 2 x بالمعادلة المميزة.

يمكن ملاحظة أن الطرف الأيمن من المعادلة هو x 2 + 1 · e x . من هنا يتم العثور على LPDE من خلال y ~ = e a x · Q n (x) · x γ، حيث Q n (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة الثانية، حيث α = 1 و r = 0، لأن المعادلة المميزة لا لها جذر يساوي 1. من هنا حصلنا على ذلك

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A، B، C هي معاملات غير معروفة يمكن إيجادها بالمساواة y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

تلقيت ذلك

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = ه × أ × 2 + × 4 أ + ب + 2 أ + 2 ب + ج

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + ب + ج = س 2 + 1 · ه س ⇔ ه س · - أ س 2 - ب س + 2 أ - ج = (س 2 + 1) · ه س ⇔ - أ س 2 - ب س + 2 أ - ج = س 2 + 1 ⇔ - أ × 2 - ب × + 2 أ - ج = 1 × 2 + 0 × + 1

نحن نساوي المؤشرات بنفس المعاملات ونحصل على نظام من المعادلات الخطية. ومن هنا نجد أ، ب، ج:

أ = 1 - ب = 0 2 أ - ج = 1 ⇔ أ = - 1 ب = 0 ج = - 3

إجابة:من الواضح أن y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 هو حل خاص لـ LNDDE، و y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - حل عام لمعادلة dif غير المتجانسة من الدرجة الثانية.

عندما يتم كتابة الدالة بالشكل f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x، و أ 1و في 1هي أرقام، فإن الحل الجزئي لـ LPDE يعتبر معادلة من الشكل y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ، حيث A و B تعتبر معاملات غير محددة، و r هو عدد الجذور المترافقة المعقدة المتعلقة بالمعادلة المميزة، تساوي ± i β . في هذه الحالة، يتم البحث عن المعاملات باستخدام المساواة y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

مثال 3

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية من الصورة y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

حل

قبل كتابة المعادلة المميزة نجد y 0. ثم

ك 2 + 4 = 0 ك 2 = - 4 ك 1 = 2 ط , ك 2 = - 2 ط

لدينا زوج من الجذور المترافقة المعقدة. دعونا نتحول ونحصل على:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

تعتبر جذور المعادلة المميزة هي الزوج المترافق ± 2 i، ثم f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). هذا يوضح أن البحث عن y ~ سيتم من y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. سوف نبحث عن المعاملين A و B من المساواة في الصيغة y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

دعونا تحويل:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = (- 2 A cos (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2) x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

ثم فمن الواضح أن

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 ب cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 ب جتا (٢ س) = جتا (٢ س) + ٣ جا (٢ س)

من الضروري مساواة معاملات الجيب وجيب التمام. نحصل على نظام من النموذج:

4 أ = 3 4 ب = 1 ⇔ أ = - 3 4 ب = 4 1

ويترتب على ذلك أن y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

إجابة:تم النظر في الحل العام لـ LDDE من الدرجة الثانية الأصلية بمعاملات ثابتة

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

عندما f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x)، ثم y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. لدينا أن r هو عدد الأزواج المترافقة المعقدة من الجذور المرتبطة بالمعادلة المميزة، ويساوي α ± i β، حيث P n (x)، Q k (x)، ل م (س) و نانومتر (خ)هي متعددات الحدود من الدرجة n، k، m، m، أين م = م أ س (ن، ك). إيجاد المعاملات م (خ)و نانومتر (خ)يتم على أساس المساواة y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

مثال 4

أوجد الحل العام y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

حل

ووفقا للشرط فمن الواضح أن

α = 3، β = 5، P n (x) = - 38 x - 45، Q k (x) = - 8 x + 5، n = 1، k = 1

ثم م = م أ س (ن، ك) = 1. نجد y 0 عن طريق كتابة معادلة مميزة من النموذج أولاً:

ك 2 - 3 ك + 2 = 0 د = 3 2 - 4 1 2 = 1 ك 1 = 3 - 1 2 = 1، ك 2 = 3 + 1 2 = 2

وجدنا أن الجذور حقيقية ومتميزة. وبالتالي y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. بعد ذلك، من الضروري البحث عن حل عام يعتمد على المعادلة غير المتجانسة y ~ للنموذج

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

ومن المعروف أن A، B، C هي معاملات، r = 0، لأنه لا يوجد زوج من الجذور المترافقة المتعلقة بالمعادلة المميزة مع α ± i β = 3 ± 5 · i. نجد هذه المعاملات من المساواة الناتجة:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - ه 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( أ x + ب) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (ه 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + د) الخطيئة (5 س))) = - ه 3 س ((38 س + 45) الخطيئة (5 س) + (8 س - 5) جتا (5 س))

العثور على المشتقات والمصطلحات المشابهة يعطي

هـ ٣ × ((١٥ أ + ٢٣ ج) × جا (٥ ×) + + (١٠ أ + ١٥ ب - ٣ ج + ٢٣ د) جا (٥ ×) + + (٢٣ أ - ١٥ ج) · x · cos (5 س) + (- 3 أ + 23 ب - 10 ج - 15 د) · جتا (5 س)) = = - ه 3 س · (38 · س · خطيئة (5 س) + 45 · خطيئة (5 س) ) + + 8 x جتا (5 س) - 5 جتا (5 س))

بعد معادلة المعاملات، نحصل على نظام النموذج

15 أ + 23 ج = 38 10 أ + 15 ب - 3 ج + 23 د = 45 23 أ - 15 ج = 8 - 3 أ + 23 ب - 10 ج - 15 د = - 5 ⇔ أ = 1 ب = 1 ج = 1 د = 1

من كل شيء يترتب على ذلك

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (س + ١) الخطيئة (٥ س))

إجابة:لقد حصلنا الآن على حل عام للمعادلة الخطية المعطاة:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

خوارزمية لحل LDNU

التعريف 1

أي نوع آخر من الوظائف f (x) للحل يتطلب الامتثال لخوارزمية الحل:

• إيجاد حل عام للمعادلة المتجانسة الخطية المقابلة، حيث y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2، حيث ذ 1و ذ 2هي حلول جزئية مستقلة خطيا من LODE، ج1و ج2تعتبر ثوابت اعتباطية؛
• اعتماد كحل عام لـ LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ؛
• تحديد مشتقات الدالة من خلال نظام من الشكل C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) وإيجاد الدوال ج 1 (خ)وC 2 (x) من خلال التكامل.

مثال 5

أوجد الحل العام لـ y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

حل

ننتقل إلى كتابة المعادلة المميزة، بعد أن كتبنا سابقًا y 0, y "" + 36 y = 0. لنكتب ونحل:

ك 2 + 36 = 0 ك 1 = 6 i , ك 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , ص 2 (س) = الخطيئة (6 س)

لدينا أن الحل العام للمعادلة المعطاة سيتم كتابته بالشكل y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . من الضروري الانتقال إلى تعريف الوظائف المشتقة ج 1 (خ)و C2(خ)وفقا لنظام المعادلات:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (الخطيئة (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) الخطيئة (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 الخطيئة (6 x) + C 2 "(س) (6 جتا (6 س)) = = 24 جا (6 س) - 12 جتا (6 س) + 36 ه 6 س

يجب اتخاذ قرار بشأن ج 1" (خ)و ج 2" (خ)باستخدام أي وسيلة. ثم نكتب:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) كوس (6 س) - 2 كوس 2 (6 س) + 6 ه 6 س كوس (6 س)

يجب أن تكون كل من المعادلات متكاملة. ثم نكتب المعادلات الناتجة:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 ه 6 × الخطيئة (6 ×) + ج 4

ويترتب على ذلك أن الحل العام سيكون له الشكل:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 cos (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 س) + ج 4 خطيئة (6 س)

إجابة: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 ×)

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter